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Arquimedes

http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/arquimedes.htm[19/01/2012 08:44:01 p.m.]

Arqumedes de SiracusaNaci : hacia el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia

Muri : en el 212 a.C. en Siracusa, Sicilia

Considerado como el cientfico y matemtico ms importante de la Edad Antigua, y uno de los msgrandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrnomo e influy de forma notable en su educacin.En aquella poca, Alejandra estaba considerada como el centro de investigacin y estudio msimportante del mundo conocido. Arqumedes viaj hasta esta ciudad y estudi con los discpulos deEuclides, lo cual represent una influencia importante en su forma de entender las matemticas. El restode su vida la pas en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con unadedicacin y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones eraobligado por la fuerza a baarse y perfumarse, sola trazar figuras geomtricas en las cenizas delfuego y diagramas en los ungentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupacin y,en un muy cierto sentido, por una posesin divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arqumedes) utilizado para elevar agua, lapolea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrosttica y la ley de la palanca. Duranteel asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construy mquinas de guerra basadas en palancas,catapultas y un sistema de espejos con el que incendi las naves romanas.

"...pero cuando Arqumedes comenz a maniobrar con sus mquinas, inmediatamente lanz contra lasfuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caan con unruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatan a cuantos les caana montones, rompiendo toda formacin." (Plutarco)

Aunque todo la anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arqumedes un personaje famoso, suslogros ms importantes los consigue en el terreno de las matemticas. Fue sta la ciencia que ms leinteres y donde consigui alcanzar las ms altas cumbres. Algunos dicen incluso que su inters por susdescubrimientos ms prcticos radica en los principios matemticos que los mantienen. l mismo seconsider siempre como un gemetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no slo por losresultados conseguidos, sino por los mtodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de suestructura lgica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemtica moderna, como porejemplo, el uso que hizo del mtodo de exhaucin de Eudoxo para calcular reas y volmenes, que

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desemboc casi 2000 aos ms tarde en el clculo integral.

Arqumedes determin el volumen de una esfera

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidi a sus amigos y parientes que,cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribindola en la proporcin del

slido continente respecto al contenido; esto es, la razn 3:2"(Plutarco, Vidas Paralelas)

Mencionamos a continuacin, algunas de sus obras ms importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planos Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parbolaDemuestra que: "Una seccin de parbola excede en un tercio al rea del tringulo de igual base que laseccin y cuyo vrtice es el de la parbola". Dicho de otra forma, la superficie de la seccin de parbolaes igual a cuatro tercios de la superficie del tringulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura esobvia.

3) El Mtodo (Sobre el mtodo relativo a los teoremas mecnicos)Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teora de las razonesy de las proporciones entre magnitudes geomtricas y sobre todo el mtodo de exhaucin de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindroEl resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en l, el volumen de la esfera es dostercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera apartir del volumen del cilindro. (ms informacin)

5) Sobre espiralesUn estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se creeque el objetivo que se persegua era resolver alguno de los grandes problemas de la poca, como lacuadratura del circulo o la triseccin de un ngulo. (ms informacin)

6) Sobre los conoides y esferoidesEstudio sobre las figuras geomtricas que se obtienen al hacer girar las cnicas.

7) Sobre los cuerpos flotantes

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Estudio sobre hidrosttica. Se cree que descubri el principio de la hidrosttica cuando estaba bandosey pensando en el problema que le haba propuesto el rey Hiern de Siracusa. ste haba encargado unacorona de oro a un artesano y sospechaba que haban sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo lacorona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido tambin su peso pudodemostrar que el artesano intentaba engaar al rey. Cuando a Arqumedes se le ocurri la idea salirpidamente de la baera exclamando: Eureka! Eureka! (que en griego significa "Lo encontr")

8) Sobre la medida del circuloDonde encuentra la frmula para el rea de un circulo y en un prodigio de clculo e ingenio paraaquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximacin del nmero pi inscribiendo y circunscribiendopolgonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotacin que encontr fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

aproximadamente 3'140845... < pi < 3'142857... (ms informacin)

9) El ArenarioEn el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que puedencaber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeracin con el que se pueden representar talesmagnitudes. No olvidemos que el sistema de numeracin indo-arbigo no era conocido todava en lacultura occidental.

Sobre la medida del crculo

Los gemetras de la poca conocan que la razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro,era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de los Elementos de Euclides, aparece la demostracin de que la razn entre el rea de un crculo y su dimetro al cuadrado,tambin es una constante. Arqumedes consigui demostrar que la constante que aparece en este casotambin tiene que ver con el (hoy llamado) nmero pi. El primer paso fue demostrar la siguiente:

PROPOSICIN: El rea de un polgono regular es (P*a)/2, donde P representa el permetro y a laapotema del polgono. La demostracin que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposicin delpolgono en tringulos congruentes.

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A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho ms importante.

PROPOSICIN: El rea de cualquier crculo es igual a la de un tringulo rectngulo en el cual uno de loscatetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del crculo. Demostracin:

Llamamos A al rea del crculo y T a la del tringulo. C es la longitud de la circunferencia.

Supongamos que A>T; es decir, A-T>0. Podemos inscribir un polgono en la circunferencia de forma quela diferencia entre sus reas sea tan pequea como queramos. Por tanto, existe un polgono inscrito en lacircunferencia cuya rea es S y tal que A-S

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travs de los genios")

No s si desde entonces o quizs desde antes, el clculo de pi ha ocupado a muchos eruditos, cientficosy matemticos. Los algoritmos de clculo han mejorado con los siglos y la llegada de los ordenadores hapermitido calcular ms cifras y con ms rapidez. (Ver el nmero pi)

Puedes ver una tabla con

Valores aproximados de pi a lo largo de la historia

y tambin un listado de

Los 1500 primeros decimales de pi.

Sobre la esfera y el cilindro

El volumen del cilindro y del cono eran conocidos desde la poca de Demcrito y Eudoxo, y unademostracin de que el volumen del cono es igual a un tercio del cilindro que lo contiene tambin esatribuida a Eudoxo. Euclides haba demostrado en sus "Elementos" que el volumen de dos esferas esentre s como los cubos de sus dimetros, o como diramos actualmente, que el volumen de una esfera esproporcional al cubo de su dimetro. Arqumedes demostr, una vez ms, que esa constante deproporcionalidad estaba muy relacionada con pi. Adems de determinar el rea y el volumen de laesfera, tambin encuentra el rea lateral del cilindro y del cono?. Por todo ello, est obra estconsiderada como una de sus cumbres ms importantes, y quizs la ms apreciada por l mismo, comose puede ver en su epitafio . Una de los resultados ms notables del libro es la

PROPOSICIN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su crculo mximo.La demostracin vuelve a ser una doble reduccin al absurdo, suponiendo primero que la superficie de laesfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en amboscasos a una contradiccin. La tcnica empleada es el mtodo de exhaucin de Eudoxo; es decir,inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geomtricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficieshaba demostrado previamente), y aproximndose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera.Qued establecido por lo tanto que S=4*pi*r2.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados ms importantes del libro, la

PROPOSICIN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al crculomximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. La demostracin la hace basndose en los volmenes del cono y del cilindro que haba halladopreviamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual alradio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual alradio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio,demuestra que la superficie de la seccin correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficiesde las secciones correspondientes al cono y a la esfera.

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La imagen est tomada de http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/lamejor.htm

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto ms alto de la figura, entonces el radio del circulo queaparece en la esfera es la raz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro elradio es R. Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2. Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implicaque el volumen de media esfera ms el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como elvolumen de este cilindro es pi*r3 y el del cono pi*r3/3, entonces tenemos que el volumen de la esferacompleta es 4/3*pi*r3, quod eram demostrandum.

Como corolario de estos resultados obtiene que la relacin entre una esfera y el cilindro que la contienees 2:3, tanto en superficie como en volumen.

Sobre espirales

(Continuar)

JM

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