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TOMO II

Prof. JORGE INOSTROZA L. Magster en Matemtica 2010

1

INDICE.CAPITULO 1.- Clculo Integral.1.1.- La integral definida. 1.2.- Teorema fundamental. 1.3.- Aplicaciones: Clculo de reas planas. 1.4.- rea en paramtricas. 1.5.- rea en polares . 1.6.- Volmenes de rotacin 1.7.-Longitud de curva. 1.8.-rea de una superficie de rotacin. 1.9.-Integrales Impropias. 1.10.- Gua de Ejercicios. ANEXO # 1.Series de Taylor y de Fourier. ANEXO # 2. El vector geomtrico. 61

Pg.

3 10 13 21 23 32 47 51 53 57

80

CAPITULO 2.- Funcin en Varias Variables2.1.-Introduccin. 2.2.- Funciones en Varias Variables. 2.3.-Grfico de una funcin : Superficies cudricas. 2.4.- Lmite y Continuidad. 2.5.- Gua de Ejercicios. 2.6.- La Derivada Parcial. 2.7.- Diferenciabilidad de una funcin. 2.8.- Derivada Direccional. 2.9.- Aplicaciones de la derivada parcial. 2.10.-Valores extremos. 2.11.- Gua de Ejercicios. 91 94 95 101 110 114 125 132 136 143 155

2

CAPITULO 3.- Integracin Mltiple y de lnea3.1.- La Integral doble y triple 3.2.- Integrales Iteradas. 3.3.- Teorema fundamental. 3.4.- Cambio de Coordenadas. 3.5.- Momentos y Centro de Masa . 3.6.- rea de una Superficie. 3.7.- Gua de Ejercicios. 3.8.-La Integral de lnea. 3.9.- La Integral independiente del Camino. 3.10.-Gua de Ejercicios. 3.11.-Bibliografa. 157 160 162 169 178 179 183 188 194 201 201

3

CAPITULO 1.- Clculo Integral1.1.- La Integral definida Introduccin: La integral definida viene a llenar la necesidad de resolver problemas geomtricos como reas de una figura plana encerrada por curvas y rectas, o volumen de un cuerpo de revolucin y su superficie, y tambin problemas de fsica como trabajos realizados por una fuerza variable, centro de masa, etc. Pero no solo eso sino que tambin la encontramos en temas de Ingeniera, Economa, Medicina etc. En particular tomamos el concepto de rea que resulta ms adecuado para entender la definicin de Integral definida; as el concepto de rea, por ejemplo, deja de ser el producto de magnitudes como para el caso del rectngulo y triangulo; cuando se habla de rea del crculo, ello porque previene de un concepto mas amplio y terico como lo es el de integral definida. Para motivar, una definicin, abordemos el problema de calcular el rea de una regin plana acotada por: la curva y = f (x); (f(x) funcin positiva); las rectas x = a; x = b y el eje 0x. y

ax r 1 x r

b x

Se consideran los siguientes pasos: A) Hagamos un particin P de [a, b] P : a = x 0 < < x1 < x2 < ...... < xr 1 < xr < ...... < xn = b En n partes iguales o no, en el segundo caso ser: de magnitud xr xr 1 = simplemente r x = xr xr 1

ba n

B) en cada sub-intervalo x r 1 , x r __ escogemos un punto intermedio r arbitrario o que puede ser el extremo derecho o sea

[

]

4

r = a + r

b a : r = 1,2,3,..., n. n

C) por cada sub-intervalo de construye un rectngulo de base r x y altura f ( r ) cuya rea ser:

Ar = f (r )r xY cuya suma:

o

Ar = f (a + k

ba ba ) n n

S= f (r ) r x ; r

S = f (a + r (r

ba ba ))( ) n n

que se llama suma intermedia de Riemann, y que parece una buena aproximacin del rea buscada sobre todo si n crece indefinidamente o r x tiene a cero, luego :

A = lim

r x0

f (r )r xr

Por ejemplo si la regin esta acotada por y = 2 x 2 + 3 entre x = 1 y x = 3 , y tomamos en cada sub-intervalo el extremo derecho de ste para una particin de n intervalos iguales tendremos:

a = 1; b = 3; b a = 2 n 2 2 s = f 1 + r n n r =1

1

3

s=r =1

n

8r 8r 2 2 5 + + 2 n n n

s=

2 n 8 n 8 5+ r + 2 n r =1 n r =1 n

r

2

5 2 8 n(n + 1) 8 n(n + 1)(2n + 1) + 2 5n + n n 2 6 n 1 1 16 1 s = 10 + 81 + + 1 + 2 + n n 6 n s=

Luego:

lim f 1 + r n = lim 10 + 8 1 + n + 3 1 + n 2 + n n n

2

1

8

1

1

= 10 + 8 +

16 1 =23 3 3

Retornando al plano conceptual, abordemos la definicin de una integral definida.Definicin

Sea f (x) una funcin definida, continua en [a, b] . Se llama la integral definida de la funcin, en el intervalo dado, al nmero real I definido por:

I = lim f ( r ) r x,P 0 r

Donde: P es la particin : a = x0 < x1 < x2 < ..... < xk < .... < xn ; p es llamada la norma de la particin y que equivale al mx k x ; r ( x r 1 , x r ) ,punto intermedio arbitrario, r x = x r x r 1 y que denotaremos

I = f ( x )dxa

b

A)

f ( x )dx = lim f ( r ) r xa r x 0 r

b

Observacin.

1.- En resumen se puede decir que la integral definida de una funcin real est dada como lmite de una suma intermedia de Riemannba b a 2.- Si en particular r = a + r ; r x = n es decir la particin comprende n sub n b a intervalos iguales de magnitudes y el punto elegido r corresponde al extremo n derecho de cada sub-intervalo, entonces:

6

B)

a

b

n b a b a f ( x )dx = lim f a + r n n n r =1

3.- En la expresin:

f (x )dx; f (x ) es el integrando, a el extremo inferior y b el extremoa

b

superior de integracin. 4.- si f ( x ) >0 en [a, b] podemos definir el rea bajo una curva entre paralelas x = a y x = b y el eje x como:Definicin.

El rea A de la regin acotada por y = f ( x ) ; f ( x) > 0 las rectas x = a; x = b y el eje 0x, se define por:

= f ( x )dx.a

b

Adems:Definicin.

Si f ( x ) es una fuerza continua; se define el trabajo realizado por ella sobre una partcula que se desplaza por el eje x desde x = a a, x = b como:

W = f ( x )dxa

b

Propiedades

Atendiendo a la definicin como limite de una suma intermedia, se tiene casi de inmediato las siguientes propiedades 1.2.3.-

k dx = k ( b a ) ;k constantea

b

f (x )dx = f (x )dx + f (x )dxa a c

b

c

b

acb

f (x )dx = 0a

a

7

4.- Si f ( x ) g ( x ) f ( x ) dx g ( x ) dxab

b

b

a

Y si f (x ) 0 f ( x )dx 0a

5.-

f (x )dx = f (x )dx . Esto porquea b

b

a

a

b

f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx = 0 f ( x )dx = f ( x ) dxb a a b

a

a

b

a

6.- Si M = max f ( x ) y m = min f ( x ) en [a, b]

m(b a ) f (x )dx M (b a ) . Esto se puede entender como una forma de acotar el valora

b

de la integralb

7.-

a

f ( x )dx f ( x ) dx ; Puesa

b

xi xi

8.- Si f ( x ) par en [ a, a ] por la simetra de la figura:

a

f (x )dx = 2 f (x )dx :o a

a

a

9.- Si f ( x ) impar en [a, a ]

f (x )dx = 0 .Lo que se puede respaldar con un grfico.

a

Ejemplos:

1.- Calcular con la definicin:

(xo

2

3

2 x 2 dx

)

Solucin:

Aplicando forma B) y siendo a = 0; b = 2; b a = 2

82 n 2 2 2 x 2 dx = lim f 0 + r n n n r =1

(xo

3

)

3 2 n 2 2 2 = lim r 2 r n n n 1 n n 8 8 2 = lim 3 r 3 2 r 2 n n n 1 n n 16 r 3 = lim 3 r 2 n 1 n n

16 n 16 n n(n + 1) = lim 4 r 3 3 r 2 ;Puesto que: r 3 = y n n n 1 2 1 1 1 8 1 = lim 41 + 1 + 2 + n n n 3 n 8 4 = 4 = 3 3 2.- Expresar como una integral:2

2

r

2

=

n(n + 1)(2n + 1) 6

lim

1 p + 2 p `+3 p ...... + n p : p 1 n n p +1

Solucin:

Como

a n

b

n b a b a f ( x )dx = lim f a + r n n n r =1

rp = lim 0 + p n n r =1 n p

1 ba 1 ; con = a = 0; b = 1 n n n

r 1 = lim ( ) = n n r =1 n

xo

1

p

dx El calculo de la integral queda pendiente!

3.- Expresar como una integral: r x0

lim

(xn r =1

r

9 + x r2 r x en [ 1,1]

)

9

Solucin:

Segn definicin y de acuerdo a forma A)

r x 0

lim

(xn r =1

r

9 + x r2 r x = x 9 + x 2 dx1

)

1

4.- Expresar como integral: Segn definicin y de acuerdo a forma B)

1 1 lim n r n r =1 1+ n n

Solucin:

1 o + 1 1 b a = 1; a = 0 1 dx lim 1+ x n r n o 1+ n Su evaluacin depende del Teorema siguiente.

1.2.-Teorema Fundamental del Clculo .

Teorema:

Si f ( x) es una funcin integrable con F(x) primitiva de ella . Entonces

f ( x ) dx = F ( b ) F ( a )a

b

Demostracin:

Partiendo del hecho que es integrable cosa que demanda ciertas condiciones de la funcin, definimos

10

Sea G ( x ) = f (t )dt : a x b a

x

G(a ) = 0 y G ( b ) = f ( t )dt a

b

G ( x + h) G ( x ) =Pero por definicin:x+h

x+h

a

f (t )dt f (t )dt = f (t )dt +a x

x

a

x+h

a

x+ h

f (t )dt =

x

f (t ) dt

x

n h h f (t )dt = lim f x + r n n n r =1

n G(x + h ) G(x ) = lim n h r =1

h 1 f x + r n n

Por otra parte en [x, x + h]; si m(h ) = min f (x ) , M ( h ) = max f ( x ) Para una particin P: h m ( h ) f x + r M ( h ) : r = 1, 2......n n

El valor de la funcin en cada sub-intervalo est entre el minimo y el mximo en el intervalo sealado Luego sumado en r

h n m( h) f x + r n M ( h) n r h 1 m ( h ) f x + r M ( h ) si n n n rm (h) G ( x + h) G ( x) h M ( h ) si h o m ( h ) f ( x ) : M ( h ) f ( x )

Por

lo tanto:f ( x ) = G ( h ) G ( x ) es primitiva de f ( x ) : luego si F(x) tambin lo es

Pues G(a ) = 0 si x = b : F ( b ) G ( b ) = c = F ( a )

F ( x ) G ( x ) = c (cons tan te) si x = a : F ( a ) G ( a ) = c F ( a ) = c

11

G ( b ) = F ( b ) F ( a ) = f ( x ) dxa

b

Observacin:

Tngase presente que f ( x ) sea integrable en [a, b] para aplicar el teorema. La condicin de integrabilidad se cumple si la funcin es continua. 1.- Calcular: I = (2 x 2 + 3)dx1 3

Solucin:

F ( x) = (2 x 2 + 3)dx =I = F (3) F (1) = 2312

2x 3 + 3x 3

1 3

2.- Calcular:Solucin:

x0

3

x 2 + 25 dx

Veamos primero la primitiva: hacemos x 2 + 25 = u 2 2 xdx = 2 u du .-

x

3

x 2 + 25 dx = x 2 x 2 + 25 x dx

= u 2 25 u 2 du

(

)

= (u 4 25u 2 )du

u 5 25 u 3 5 3 1 = x 2 + 25 5 =

(

)

5

2

25 2 x + 25 3

(

)

3

2

= F (x)

x 3 x 2 + 25dx = F (12) F (0)0

12

5 3 1 5 3 25 25 1 F (12 ) F ( 0 ) = (169 ) 2 (169 ) 2 ( 25 ) 2 ( 25 ) 2 3 3 5 5 1 25 1 5 25 3 5 2 (5) = (13) (13) (5) 5 3 3 5

12

Observacin

Se advierte que al hacer un cambio de variables los extremos de integracin deben cambiar. As si hacemos x 2 + 25 = u 2 Entonces si x = 0 u = 5 y si x = 12 u = 13 .Luego tendramos la integral:13

(u5

4

25)u du = x 3 x 2 + 25dx2 0

12

De modo que se puede proceder de las dos maneras. 3.- Calcular:Solucin:

o

3

u 2 + 1 u du

Si hacemos u 2 + 1 = t u du =

dt luego llevando el cambio a los lmites de integracin: 2 u = 0 t = 1 u = 3 t = 4 luego

o

3

u 2 + 1 u du =

1 t dt 2 1

4

=

3 1 2 32 1 32 t = 4 1 2 2 3 3

Observacin.-

Como se puede apreciar, el xito en el clculo de integrales definidas pasa por un buen dominio del clculo de primitivas.1.3.-Clculo de reas planas.i) rea bajo una curva y = f(x)

a Ya se vio que para la regin acotada por

b x

y = f ( x ); f ( x ) 0; x = a; x = b; y = 0 ; tenamos

13

= f ( x )dx = lim f ( r ) r xa n r

b

donde f ( r ) r x; es el llamado elemento fundamental de rea,la del rectngulo base r x y altura f (r ) En este tema se pueden dar diferentes situaciones que ilustramos a continuacin, Para el caso anterior, ya se vio que :b

A = f ( x)dxa

Para el caso de la Fig siguiente; en [c, d ] , f ( x ) < 0 luego: y

1 = f ( x )dxa

c

2 = f ( x )dxc

d

a

c

d

b x

3 = f ( x )dx.d

b

El rea total ser: = f ( x )dx f ( x )dx + f ( x )dxa c d

c

d

b

Queda claro entonces que aqu

f ( x )dx.a

b

Ejemplo:

1.- calcular el rea encerrada por la curva: y = 4 2 2 x y el eje 0 x 9

14

Solucin: y 4

2 y = 4 x2 9

3 2a) Grafico e intersecciones:y = 0 x = 3 2 x=0 y =4

0

3 2 x

b) Clculo

3 2

=

3

2 2 4 x dx 9 23 2

A= 2

0

2 2 4 x dx 9

= 2(4 x

2 3 3 2 x ) = F ( x) 27 0

= F (3 2 ) F (0) 2 = 2(12 2 54 2 ) = 16 2 27

Observacin:

Si aplicamos la definicin para calcula la mitad de la regin tendramos:

15

n 1 = lim n 2 r =1n

3 2 f 0 + r n

2 4 2 3r 2 3 2 = lim n 9 n n r =1 n r2 3 2 4 4 2 = lim n n n r =1 2 n 12 2 r 1 = lim n n n2 r =1

= lim

12 2 n(n + 1)(2n + 1) n n n 6n 2

1 1 1 + 2 + n n 24 2 = lim 12 2 1 = n 6 3 = 16 2

Esto es con el propsito de observar que el rea se obtiene sumado pequesimas franjas f ( x ) de alto y ancho x ; desde el extremo izquierdo x = 3 2 a 3 2 como un verdadero barrido.

2.- Calcular el rea de la circunferencia de radio R.Solucin:

Tenemos f ( x ) = R 2 x 2 Luego: = 4 R 2 x 2 dxo R

R

Si hacemos x = R sen t dx = R cos t dt x=0t =0

x=Rt =

2

16

= 4 R cos tdt = 4 RSento

2

/20

= R 2 (El rea debe ser positiva

rea entre curvas:Considerando la figura y buscando una expresin para el rea. Planteando como limite de una suma intermedia; tendramos

A = lim

r x 0

f (r

r

) r x o bin:

y f( d g( a d b x

A

n b a b a A = lim ( f g ) a + r ; Donde n n n r =1

b a b a r = ( f g ) a + r n n es un elemento fundamental de rea, las que deben sumarse y llevarla al limite.

Por lo tanto: = ( f g )( x )dx .a

b

Esto se condice con el hecho que el rea es la suma de elementos fundamentales de rea llevada al lmite. Esta frmula sigue siendo vlida cuando una o ambas funciones cambian el signo en [a, b] . b a b a Puesto que: r = ( f g ) a + r n n

17

y y=f(x) x y = g(x)

En cualquier circunstancia; como se observa en la figura, la altura del elemento fundamental del rea es siempre: ( f g )( r )Ejemplos:

1.- Calcular el rea encerrada entre la parbola: 2 x 2 + 9 y = 36 y la recta 2 x + 3 y = 0Solucin:

a) grafico e intersecciones y = 4 2 2 2 x y= x 9 3 x1 = 6 x 2 = 3 -3 6 x

b) clculo del rea: 2 2 2 4 9 x 3 x dx 3 x2 2 3 6 = 4x + x = 27 3 27 3 =6

2.- Encontrar el rea encerrada por:

y 2 = x + 4; x 2 y + 1 = 0

18

Solucin:

a) grafico e intersecciones:

La figura induce a considerar los elementos fundamentales de rea (franjas) en forma horizontal. 3

(x = y

2

4 ( x = 2 y 1)

)

y 2 2 y 3 = 0 y1 = 3 y2 = 1b) Clculo del rea: -1

=

1

{( 2 y 1) ( y3 2

2

4 dy

)}

2 3 y3 = y + 3y = 10 3 1 3

Como se observa los elementos fundamentales de rea fueron escogidos en forma horizontal y as evitamos tener que dividir el rea en dos partes 3.- Calcular el rea encerrada por: i) y = x 2 x 4 y la recta tangente horizontal; y>0 ii) La curva y el eje Ox ySolucin:

i) a) grafico: y = x 2 1 x 2

1/4

(

)-1 1 0 x

19 Se trata de una funcin par es decir simtrica respecto del eje Oy que corta el eje x en x = 0 x = 1. La tangente horizontal se obtiene haciendo y ( x) = 0 y = 1 / 4 ,

b) Calculo: 1 A = 2 1 / 4 ( x 2 x 4 ) dx = 2 x / 4 x 3 / 3 + x 5 / 5 = 1 / 4 1 / 3 + 1 / 5 = 7 / 60 0 0 1

[

]

ii) Al rea del rectngulo (1/2) restamos lo obtenido en i) resulta 23/60 4.- hallar el rea encerrada por: y = x 2 ; x = 0 y la recta tangente a ella en (1,1)Solucin

Recta tangente:

y y0 = y ( x0 )( x x0 ) y 1 = 2 ( x 1) y = 2x 1 1 0 a) rea : x y

= x 2 2 x + 1 dx =o

1

(

)

1 x3 x2 + x = 3 3

5.- calcular el rea que encierran: i) f ( x ) = cos x + senx; y = 0; x = 0; x =

2

;y = 0

ii) f ( x) =Cosx y g ( x) = Senx ; / 4 x 5 / 4

20

Solucin: i) a) grfico:

/4 /2

b) rea: /2

i) A =

(sen x

+ cos x ) dx = - cos x + sen x

/20

=2

5 / 4

ii) A =

(Senx Cosx)dx = Cosx Senx / 4 /4

5 / 4

=2 2

1.4.-rea en coordenadas paramtricas.

Como la forma paramtrica para la curva

y = f(x) esta dada por

x = x (t ) y = y (t )Luegot

t0 < t < t1

A = f ( x ) dx =a

b

t

y(t )t0

t1

x (t ) dt

Ejemplo:

6.- Si la elipse esta dada paramtricamente por:x = a cos t ;

y = b sen t

0 t 2

21 Calcular su rea interiory Solucin: x/2

A=4

(b sen t) ( a sen t) dt0

/2

A = 4 ab

seno

2

t dt

1 t - sen t cos t / /2 = a b. El signo menos se debe a que el recorrido es tomado o 2 de menor a mayor. = 4 ab 7.- Hallar el rea interior de la astroide y

(

)

x = a cos 3 t

y = a sen 3 tSolucin/2

0 t 2

xa

A=4

(a sen t ) (3a3 oo

cos 2 t (- sen t ) dt

)

A = 12 a 2 sen 4 t cos 2 t dt ; Como Sen 2 t =2

1 1 (1 Cos 2t ) ; Cos 2 t = (1 + Cos 2t ) 2 2

A=

3 2 a 2

(1 - 2 cos2 t 2

o

+ cos 2 2t (1 + cos 2t ) dt

)

3 A = a 2 1 cos 2t cos 2 2t + cos 3 2t dt 2 /2

o

(

)

22

A=

3 2 a 1 cos 2t cos 2 2t + cos 3 2t (2dt ) 4 2

o

(

)

A=

o 3 2 1 0 + cos 2 2t (cos2t dt ) a 2t sen 2t ) (2t + sen2t cos2t 4 2 / 2 /2

o 3 2 2 A = a / 2 + (1 sen 2t ) d(sen 2t ) 4 2 3 0 3 2 + sen 2t - sen 2t . A= a / 2 4 2 3

3 a 2 A= 8

1.5.-rea en coordenadas polares IntroduccinO En el plano las coordenadas Polares estan dadas por un angulo y un Radio polar feridas a un eje polar y un centro polar 0. Un punto P del plano queda, entonces determinado por el angulo y la magnitud del radio estan re

P

y esas son las "coordenadas polares"Si en el sistema de ejes Cartesinos , el eje polar coincide con el eje x. se tinen las siguientes ecuaciones del cambio.

23 x = cos y = sen

Cambio de coordenadas Cartesianas a polares

P

x

y

= x2 + y2 Polares a cartesianas y ; x0 = Arc tg x

Si x = 0, y>0 = Ejemplos:

2

,

si y0 las rectas x = 3 ; y = 2 3 que definen las reas A1 , A 2 Determinar el volumen por rotacin cuando:

2 3

A2

A1a) A1 gira en torno del eje 0x

A1

3

Solucin:

El radio del elemento fundamental es y (x)

V = y 2 (x )dx = 4x dx = 18 3 3

o

o

Observacin

Aqu el elemento fundamental, como lo seala la Fig. es un cilindro o tajada circular de radio y ( x ) = 2 x que se suman en direccin del eje de giro desde 0 a 3. Argumento similar para los casos que siguen.

33 b) A2 gira en torno del eje 0y

Solucin:

Aqu los elementos se suman en direccin del eje 0y y el radio es x = x( y )

V =

2 3

o

x 2 ( y )dy =

2 3

o

4 2 3 y y2 dy = dy 4 o 16

y5 2 3 = = 80 80

( )

5

=

18 3 5

c) A1 gira en torno del eje 0y (Es un slido abierto por dentro)Solucin:

Se trata de restar dos volmenes .V1 = cilindro ; 3 2 2 3 = 18 3

V = V1 V2

V2 = A2 girando sobre eje 0y : =18 72 V = 3 18 = 3 5 5

18 3 5

d) A2 gira en torno del eje 0x .(Es un slido abierto en su interior )Solucin:

V = V1 V2V1 = 2 3 3

( )

2

V2 = 18

34

V = (36 8) = 28e) A1 gira en torno x = 3 .(Es un slido desplazado)Solucin:

y2 r = 3 (Radio de giro variable) 4 V =2 3

o

(3 y

2

/ 4) dy V = 2

2 3

o

3y2 y4 43 9 + dy = 3 2 16 5

f) A2 gira en torno y = 2

3.

Solucin:

(2

3 y ( x ) Radio de giro3

)

V = 2 3 2 x dxo

(

)

2

V = 4 3 2 3 x + x dxo

3

(

)

2 x2 3 V = 4 3x 2 3 x 3 / 2 + 3 2 0 9 4 3 V = 4 9 3 3 + 2 3 V = 6

g) A1 gira en torno y = 2 3 (Para el estudiante) h) A2 gira en torno x = 3 (Para el estudiante).

2.- Calcular el volumen de la esfera de radio R.

35

Solucin:

Girando el cuarto de un crculo se tendr:

V = 2 y 2 ( x ) dxr o

V = 2 R 2 x 2 dxo

r

(

)

x3 V = 2 R 2 x 3 R 3 4 R 3 = V = 2 R 3 3 3 3.- Calcular el volumen del toro; que se forma por la rotacin del crculo:x 2 + ( y b) = a 2 ; a b2

En torno del eje x.Solucin:

Debemos restar dos volmenes:

V = V1 V2V1 = b + a 2 x 2 dxa a

V2

( = (b a aa

a2

) x ) dx2 2 2a

b

V = 4b a 2 x 2 dx = 4b a

a

a 2 x 2 dx

(tabla)

1 x a = 2 2 a 2 b V = 4 b x a 2 x 2 + a 2 arc sen 2 a a

4.- Hallar el volumen del elipsoide, generado por la rotacin de la elipse: el eje 0x

x2 y2 + = 1 sobre a2 b2

36

Solucin:

b a

a x2 V = 2 b 2 1 2 dx a o

V=

2 b 2 a2

(aa o

2

x 2 dx =

)

2 b 2 a2

2 x 3 a 4 2 a x - = ab 3 0 3

5.- Calcular el volumen del paraboloide de revolucin de radio R y altura h Solucin: La parbola que gira sobre el eje Oy es: x 2 = 2 py ,como el punto (R,h) est en ella entonces reemplazando se tiene: R 2 = 2 ph 2 p = volumen: V = 0 h

R2 R2 y y el ,por lo que la curva que gira ser: x 2 = h h

R2 R2 ydy = h. 2 h

6.-Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotacin en torno de la recta y=-p de la p figura limitada por la parbola y 2 = 2 px y la recta x = 2 Solucin: La parbola al girar sobre la recta hace que restemos dos volmenes as:p/2

V = V =

(p +0

2 px

) (p 2

2 px dx

)

2

p/2

0

4 4 p 2 px dx = p 3 3

37

Para esto podemos tambin trasladar la paralela de modo que el eje recta y=-p. As queda

0x coincida con la

( y p )2 = 2 pV = V1 V2

x

o

y = p 2 p x

V1 = V2

(p + = (p p/2 o p/2 o p/2 o

) 2 px ) dx2 2

2 px dx

V =

4 p 2 px dx =

4 p3 3

Clculo de volumen en coordenadas paramtricas.

Si la curva que limita la regin esta dada en coordenadas paramtricas: x = x(t ) to t t1 y = f (x ) y = y (t )

Entonces; Si el eje de giro es el eje 0x

V = y 2 ( x ) dx = y 2 (t )x' (t ) dtx1 t1 xo t0

38Ejemplo:

1.- Hallar el volumen que genera la rotacin del arco de cicloide:

x = a(t sent ) y = a(1 cos t ): 0 t 2

Girando en torno del eje 0x

Solucin:

V = a 2 (1 - cos t ) a (1 - cos t ) dt2 o

2

= a 3 = a 3

2

0 2

(1 Cost ) 3 dt (1 3Cost + 3 cos 2 t Cos 3 t )dt

0

= 5 a3 22.- Calcular el volumen de la esfera de radio RSolucin:x = R cos t ;

y = R sen t : 0 t 2 Girando la semi circunferencia sobre el eje x /20

V = 2 V = 2

y 2 (t ) dx (t )

/2

o

(Ro

2

sen 2 t ( R sen t ) dtsen 3t dt

)

V = 2R 3

/2

39

cos 3 t / 2 V = 2R 3 3 cos t 0 V = 4 R 3 3

Observacin:

El signo menos es debido a que el orden de integracin de mayor a menor es el contrario al asignado.Calculo de volumen en coordenadas polares.

Si la regin plana esta acotada por una curva dada en polares

= ( )Que gira en torno del eje polar.

Por tratarse de un cuerpo de forma casi cnica para un ngulo pequeo, tomamos como elemento fundamental de volumen un cono circular con interior vaco. 1 V = 3

[(r + r ) [

2

r2

]

1 2 2r r + (r ) 3

]

2 r r : 3

r 2 0 y r = sen ; r =

V =

2 3 sen ; Sumando y llevando al lmite 3V=

2 3

p

3

sen d

Ejemplos

1.- Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotacin de la cardioide:

= a(1+ cos )

40 En torno al eje polar. Solucin:V =

2 3 3 a (1 + cos ) sen d o 3

V =V =

2 a 3 32 a 3 3

(1 + cos ) (d cos )3 o

(1 + cos )4 4

0

2 a 3 2 4 8 a 3 = V = 3 4 3 2.- Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotacin, sobre el eje polar de

= a cos 2 Solucin:

V = V =

4 3

/2

o

a 3 cos 6 sen d

4 3 cos 7 / 2 a 3 7 0

4 a 3 V= 21

Mtodo de capas cilndricasPara calcular el volumen de un cuerpo generado por la rotacin de la regin encerrada por y = f ( x ) ; y = c ; y = d , en torno al eje y Tenemos una modalidad alternativa a la de las secciones transversales; conocida como mtodo de las capas cilndricas Y la diferencia est en que se suma en direccin del eje 0x y los elementos fundamentales de volumen son cilindros de interior vaco como en la fig. y cuyo volumen es:

41V = ( x + x ) x 2 y (x)2

(

)

y

((x )

2

0

)y

V 2 x x y(x)

Sumando y llevando al lmiteV = 2 xy dxa b

y2(x)x

y1(x) x

V = 2 xf (x ) dx .En la figura la altura esb a

0 a

dx

y1 ( x) y 2 ( x) V = 2 x( y1 ( x) y 2 ( x))dx0

b

Ejemplo: 1.- Hallar el volumen que se genera por la rotacin de una onda torno del eje y. Solucin:y = sen x

cuando gira en

V = 2 x sen x dxo

= 2 (sen x - x cos x )

0

= 2 2

En cambio la forma anterior resultaV = ( arc sen y ) (arc sen y )1 2

o

[

2

] dy

= 2 ( 2 arc sen y ) dy1

o

= 3 2 2 y arc sen u + 1 - y 2

(

)

42

) = 2 2 (mas laborioso!

2.-Calcular el volumen por rotacin en el eje 0y de la regin acotada por x=a ; y=0 Solucin:V = 2 x f (x ) dx4

y= x ;

o

V = 2 x 3 / 2 dx =o

4

4 5 / 2 x 5

V=

128 5

3.- Calcular el volumen por rotacin sobre el eje 0y de la regin acotada por y = x(2 x ); y = 0 Solucin:V = 2 x 2 x x 2 dxo2

(

)

V = 2 2 x 2 x 3 dxo

2

(

)

V=

8 3

4.- El rea acotada por y=x 2 ; y=x+2 gira en torno de la recta x=3. Evaluar el volumen. Solucin: Interseccin:

( y = x 2 ) ( y = 2 x x 2 ) x = 1; x = 2 ,El radio es (3 x ) y la altura del elemento fundamental ser la diferencia de las ordenadas.V = 2 xy( x )dx2

1

43

x 4 4x3 x 2 2 V = 2 + + 6x 4 1 3 2 V = 22 1/2

Volumen de un cuerpo de seccin conocida.A diferencia de los cuerpo de revolucin; estos tienen una seccin no circular; y la idea bsica para determinar su volumen esta en definir un elemento fundamental de volumen que sumada y llevada al limite quedara expresada como una integral, pero la expresin de su volumen depende del tipo de figura por lo que no se cuenta con una frmula para ello.El grfico de estos cuerpos se los encomendamos al estudiante. Ejemplo: 1.- Calcular el volumen generado por un triangulo variable equiltero de modo que el punto medio de la base se desplaza sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 16 , dems un vrtice esta sobre el eje 0x y el plano que lo contiene es paralelo al plano (yz). Solucin:Vr =

1 (2 y ) y 3 x 24

( ))

V = y 2 3 dxo

V = 16 x 2o

4

(

3 dx

x 3 4 128 3 V = 3 16 x = 3 0 3 2.- Sobre las cuerdas de la astroide: x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 se construyen cuadrado de lado igual a la cuerda y los planos que los contienen son perpendiculares al plano xy. Calcular el volumen cuando las cuerdas son paralelas al eje ox.Solucin:

y

Vk = ( 2 x k ) 2 ( x k ) 2 = a 2 / 3 y 2 / 3

(

)

3

Vk = 4 a 2 / 3 y 2 / 3 k y Luego V = 4 4 ( 2 / 3 y 2 / 3 ) dy a3 o

(

)

3

x

44

V =16 ( 2 3a 3 / 4 y 2 / 3 + 3a 2 / 3 y 4 / 3 y 2 ) dy aa o

9 9 ya a 16 3 V = 16a 2 y a 4 / 3 y 5 / 3 + a 2 / 3 y 7 / 3 V= a 5 7 3 0 105

x2 y2 3.- Un circulo deformable se desplaza de forma que su centro recorre la elipse 2 + 2 = 1 , a b el plano que lo contiene es perpendicular al plano xy; y uno de los puntos de la circunferencia descansa sobre el eje 0y. Hallar el volumen as engendrado.Solucin:

Vk = x 2 y Pero x 2 = a 2 (1 Vk = a 2 (1 y2 )y b2

y2 ) b2

Sumando estos elementos fundamentales y llevando al lmite tendremos:b 8a 2 b y2 b3 V = 4a 2 1 2 dy = 4a 2 (b 2 ) = b 3 3b 0

4.- Calcular el volumen del elipsoide Solucin: Este cuerpo tiene seccin elptica

x2 y2 z 2 + + =1 a2 b2 c2

y2 y2 Vr = (PM MQ y ) ; PM x = 0 z = c 1 2 ; MQ z = 0 x = a 1 2 b b 2 y Vr = ac1 - 2 y Luego P b

y2 V = 2 ac 1 2 dy o b 4 V = abc 3b

Q

5.- Calcular el volumen del cono elptico:

45

x2 y2 z 2 + =0 a2 b2 c2Solucin: z

0 z c

Vr = a b zaz c bz b: ( x + 0 ) y = c ab 2 Vr = 2 z z c ab c 2 abc V = 2 z dz = c o 3 a: ( y = 0) x =

y x

46

1.7.-Longitud de una curva:

Para lograr una expresin para la longitud de la curva y = f (x ) a x b ; plantearemos una suma intermedia (o suma de Riemann) cuyo limite expresa una integral definida. a) Sea la curva dada como:y = f(x) continua en [a,b] en su forma paramtrica x = x (t ) : y = y (t ) a t b una particin de [a,b] en los puntos: a = x0 < x1 < x2 .... < xk < .... < xn = b b) Los puntos p(a) = p0 , p( x1 ) = p1 ......... p n = p(b) en la curva, se corresponden a los puntos de la particin y que unidas definen una poligonal de longitud.Lp = k =1 n

(xk xk 1 )2 + ( y k y k 1 )21

;

L p=k =1 n

( k x )2 + ( k y )22

; k y = f (x k ) f (x k -1 )

k x = ( xk xk 1 )n

f (x k ) 1+ x k x 1 1 k El teorema del valor medio para f (x) continua y diferenciable nos permite aproximar:Lp =

( k x ) + (f (x k ) f (x k -1 ))

2

Lp =

Lp = 1 + f ( x k ) k x ,luego de llevar al lmite si n la poligonal tiende a la longitud1

n

de la curva, luego definimos.Definicin

Si f ( x ) continua en [a, b] . Entonces la longitud de la curva se define por:Lc = b

a

1 + f2 ( x )dx

Observacin.

Para el caso que : x = g ( y ) : c y dLc = d

c

1 + g2 ( y )dy

Observacin

47 x = x (t ) Si la curva esta dada en forma paramtrica: t o t t1 y = y (t )

Y como : y (t ) = f ( x(t ))Lc = tt

f ( x ) =

y(t ) x(t )

1

o

1+

y2 (t ) x(t ) dt x2 (t )

Lc = t

t

1

o

x2 (t ) + y2 (t ) dt

Observacin

Para una curva en polares Como

= ( )

x( ) = ( ) cos y ( ) = ( )sen

y(e) = ( )sen + ( ) cos x2 + y2 = 2 ( ) + 2 ( )Lc =

x( ) = ( ) cos - ( ) sen

as

2 + 2 d

Ejemplo:

1.- Calcular la longitud de la astroide Solucin: Con derivacin implcita:

x2/3 + y2/3 = a2/3

2/3 xLuego

-1/3

+ 2/3 y

-1/3

y y = 0 y= - x

1/ 3

Lc = 4

1+

y2/3 dx x2/3

Lc = 4

o

a1 / 3 dx = 6a x1 / 3

48

2.- Calcule la longitud de la curva y 3 = 8x 2 Solucin:

1 x 8

Conviene considerar la curva en la forma x =g (y), luego:

Lc =

y1

yo

(1 + g ( y )) dy22

3y 2 16 x x= 3y x= ; 2 y 8 16 xLc = 8

2

1 + x2 ( y ) dy

Lc =

8

2

1+

9y4 dy : x 2 = y 3 / 8 16 2 x 2

Lc =

8

2

1+

9 y dy 323/ 2

32 9 Lc = 1 + y 9 32 64 13 Lc = 27 4 3/ 2

2 8 3 23/ 2

25 16

.

Considerando la curva como: y = 2x 2 / 3 ,la integral es algo ms laboriosa. 3.- Calcular la longitud de la circunferenciax = RCost y = RSent

0 t 2

Solucin:

Lc =

2

o

x2 (t ) + y2 (t ) dt

49

Lc =

2

o

R 2 (sen 2 t + cos 2 t ) dt2

Lc = R

o

dt = 2 R

x = a (t sen t )4.- Calcular la longitud de un arco de cicloide Solucin:Lc = 2

y = a (1 - cos t )

0 t 2

o

a 2 (1 cos t ) + a 2 sen 2 t dt2 2

Lc = a 2 2

o

1 cos t dt

Lc = 2a seno

t dt = 8 a 2

5.- Calcular la longitud de la curva Solucin:

= a sen 3

3

Lc =

3

o3

a 2 sen 6

3

+

a 2 sen 4

3

cos 2

e d 3

Lc = a sen 2o

3

de =

3 a 2

1.8.-rea de una superficie de revolucin:

Haciendo girar en torno de algn eje el rea plana acotada por y = f ( x ) : a x b . Se trata de hallar una expresin para el rea de la superficie del cuerpo como una integral es decir como lmite de una suma intermedia de Riemann.

50 Si consideramos, segn la Fig. , que x = g ( y ) ; como: ds

Lc =

d

c

1 + x ( y ) dy entonces ds =2

1 + x

2

(y )

es la

diferencial de rea y un elemento fundamental de rea de superficie es un manto de cono truncado con ds como generatriz y radio xk , y de rea

Ak = 2 xk ds= 2xk ( y ) 1 + x2 ( y ) y . elementos, tenemos que:A(S ) = 2 x( y ) 1 + x2 ( y ) dyd c

Si

n para la suma de todos estos

o tambin

cambiando el eje de rotacin

A(S ) = 2 y ( x ) 1 + y2 ( x ) dxb a

En coordenadas paramtricas:A( S ) = 2 y (t ) x 2 (t ) + y 2 (t ) dtt1 t2

En polares toma la forma

A(S ) = 2 sen

2 + 2 d

Ejemplo: 1.- Calcular el rea de la superficie esfrica, de radio R. Solucin:x = R cos t

Si

0 t

y = R sen e

A(S ) = 2 t y(t ) x2 (t ) + y2 (t ) dtt

1

o

51

A(S ) = 2 R sen to

2

R 2 (sen 2 t + cos 2 t ) dt

A(S ) = 2R 2 sen t dt = 2R 2 ( - cos t )o

2

0

= 4 R 2

2.- Calcular el rea que genera un astroide girando en torno del eje 0y. Solucin:

x2/3 + y2/3 = a2/3A(S ) = 2 2

a

o

x 1 + x2 dy

A(S ) = 4 (aa oa

2/3

y

2/3

))

x 1+ y

2/3

dy

A(S ) = 4 a 2 / 3 y 2 / 3o

(

3/ 2

a1 / 3 dy y1 / 3

A(S ) = 4a1 / 3 A(S ) =

a 2 2/3 (a y 2 / 3 )5 / 2 3 0 5 2

12 5 / 3 1 / 3 (a ) a A(S ) = 12 a 2 .5 5

Observacin: Recordemos algunas frmulas para obtener la masa m de una lmina, sus momentos: Mx , My , su Centro de Gravedad ( Centro de Masa) X , Y : a) Masa: m =

b

f(x) dx

densidad =

a

masa unidad de rea

b) Momentos: Mx =

1 2

b

f (x) dx

2

My =

a

b

x f(x) dx

a

52

c) Centro de Gravedad G (X,Y):

X=

My m

;Y =

Mx m

, esto es:

X =

a

b

x f(x) dxb

Y =f(x) dx

1 2

a

b

f 2 (x) dx

a b

f(x) dx

a

Ejemplo: Hallar las coordenadas del Centroide o Centro de Gravedad de la lmina plana y homognea (es decir, de densidad constante), acotada por y = 4 x2 ;Solucin:

y=0

y

Sea k = densidad de la lmina. Entonces a) m =

k 2

b

f(x) dx

= k

a

2

(4 x 2 ) dx

2

G 2dx

m = 32 k.3

0

2

x

b) Mx =My = k

2

(4 x ) dx

2 2

= k

2 3

2

(16 8x2 + x 4 ) dx2

= 256 k.15

0

c)X = Y = a

2

(4x x ) dx

=

2

4 k 2x2 x 4 2

= k0 = 0.

b

x f(x) dxb

=f(x) dx

0 32k 3

= 0

a b

1 2

f 2 (x) dx

a b

=

256 k 15 32k 3

= 85

f(x) dx

a

Por consiguiente, el Centro de Gravedad tiene coordenadas G = (X, Y) = (0, 8 )//5

1.9.La Integral Impropia

53

En la integral definida: f ( x)dx , se ha considerado un intervalo cerrado [a, b] , y el integrandoa

b

una funcin continua o al menos acotada, de modo que aquellas en que el intervalo no es finito o la funcin no es acotada forman las llamadas integrales impropias,que de un modo breve pasamos a desarrollar: Un tipo de ellas se escriben como: f ( x)dx a

f ( x)dx

b

f ( x)dx

y su evaluacin se

consigue haciendo:a) f ( x)dx = lim f ( x)dx ,a b a b

Si el resultado es finito se dir que la integral converge a ese valor. b)

b

f ( x)dx = lim f ( x)dx.a a

b

Si el resultado es finito, la integral converge de lo contrario se dir que la integral diverge.

c)

f ( x)dx =

0

f ( x)dx + f ( x)dx .0

El otro tipo de integrales, en que es la funcin la que le da el carcter de impropia la analizaremos mediante ejemplos para mayor claridad.Ejemplos.

1.- Calcular: 1

dx . x3

Solucin. b 1 b dx dx 1 1 = lim 3 = lim 2 = lim 2 x 3 b 1 x b 2 x 1 b 2 2b 1

= 1 / 2 la integral converge a !.

2.- Calcular: xe x dx .

0

Solucin:

xe dx = lim xe dx = lim ex x a a a

0

0

x

0 ( x 1) = lim e a (a 1) 1 = 1 ,pues luego de resolver la a aa x

[

]

integral propia por partes se tiene que lim e a = lim e a = 0 .

54

3.- Evaluar:Solucin:

1+ x0

dx

2

.

dx dx 1 + x 2 = alim 1 + x 2 = alim (arcTg 0 arcTga) = alim arcTga = 2 a0

1+ x0

dx

2

= lim arcTga =a

2

1+ x

dx

2

= . Obsrvese que geomtricamente la integral

expresa el rea bajo la curva con valor finito para un intervalo infinito!. 4.- Calcular: 2 5

dx x2

.

Solucin:

La funcin no es continua en x = 2, luego procedemos como:

2

5

dx x2

= lim 2( x 2)1 / 2 +x 2

5 = 2 3. x1 x 1 x2

5.- Calcular el rea encerrada por la curva y =Solucin:

A=

dx 1 = lim(1 ) = 1 rea finita para un intervalo infinito. Sin embargo para la funcin 2 b b 1 x 1 f ( x) = ,la integral diverge. x

6.- Calcular el rea de la superficie generada por la rotacin de la curva: y = e x cuando gira sobre el eje = 0x. x>0Solucin:

A( S ) = 2 y ( x) 1 + y ( x)dx = lim 2 e x 1 + e 2 x dx2 0b

b

0

55

e0

b

x

1+ e

2 x

dx = 1 + u 2 du1

eb

Como

1 + u 2 du =

1 u 1 + u 2 + Ln(u + 1 + u 2 ) 2 2

x 2 x e 1 + e dx = b

1 ex 1 + e 2 x + Ln(e x + 1 + e 2 x .Entonces 2 2 e b 1 1 + e 2b + Ln(e b + 1 + e 2b ) e 0 1 + e 0 Ln(1 + 2 ) b 2 21 ,para x 1 . x

lim 2 e x 1 + e 2 x = 2 limb

0

= 2 ( 2 + Ln (1 + 2 ) ).7.- Calcular el volumen del cuerpo por rotacin de la curva: y =Solucin.

V =

1

b dx dx 1 = lim 2 = lim (1 ) = .La integral converge y hay volumen finito. 2 1 x b b b x

Otros ejemplos:

8.- Probar la divergencia de /2

a)

Secxdx0 2

b) 0

3

dx x 1

9.- Deducir la convergencia de : a) Lnxdx b) 0 0 1

dx x 5x + 62

10.- Calcular: a) x e4 1 x4

dx

b)

dx 2 1 (3 x + 1)

56 11.- Para qu valores de p converge la integral:

x1

p

dx ?

12.- Verifique la divergencia de:

x 1 .0

3

dx

Observacin:

Hay ciertas integrales impropias de gran aplicacin en ingeniera que si bien no estn al alcance de este curso es bueno saber de ellas y son: a) ( p) = x p 1e x dx , Llamada la funcin Gamma.0

b) F ( p) = e px f ( x)dx, Llamada la transformada de Laplace de f(x)0

1.10.-Gua de Ejercicios.

1.- Calcular el rea limitada por y = Ln x; el eje 0x y la recta x = e. 2.- Hallar el rea entre las parbolas: 3 y = x 2 ; y = 4 2 2 x 3

3.- Hallar el rea de la regin acotada por la curva de Agnesi

y=

1 1+ x2

y la parbola

y=

x2 2

4.- Calcular el rea de la figura limitada por:

y = e x ; y = e -x : x = 15.- Hallar el rea entre el eje x y un arco de la cicloide:

57

x = a(t sen t )

y = a(1 cos t )

6.- Hallar el rea de la figura limitada por una onda de:x = at b sen t

y = a b cos t

0 b a

y la tangente a ella en sus puntos inferiores. 7.- Hallar el rea de la figura limitada por el lazo del folium de Descartes.

3at 3at 2 x= ; y= 1+ t 3 1+ t 38.- Hallar el rea limitada por la curva

2 = a 2 sen 4 . = 2 + cos

9.- Hallar el rea limitada por el caracol de pascal

10.- Hallar el rea comprendida entre la primera y la segunda espira en la espiral de = a . Arqumedes 11.- Hallar el rea de una de las hojas de la curva

= a cos 2 .

12.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotacin alrededor del eje x de la regin limitada por: a) y = 1 x 2 b) y = x 1 c) y = x3

; ;;

x=0 x =1x =1 ;

; ;

x =1 x=2x=t

13.- Encontrar el volumen del slido formado por la rotacin de la regin acostada por:

y = 4 x2

;

y=3

Girando en torno de

y = 1

14.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado por giro de la superficie limitada por:

58

y = ex

;

x=0

e

y=0

15.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x=a, la parte de la parbola y 2 = 4ax es interceptada por la misma recta.

16.- hallar el volumen del cuerpo generado al girar un arco de cicloide en torno del eje 0y 17.- Hallar el volumen de giro de la curva anterior si al eje giro es el eje de simetra. 18.- Hallar l volumen de rotacin de la astroide.

x = a cos 3 t y = a sen3 t

en torno al eje y.

19.- Hallar el volumen del cono elptico recto cuya base es una elipse de semi-ejes a y b y cuya altura es h. 20.- Calcular el volumen de un cuadrado mvil cuyo plan es perpendicular al eje x y tiene 2vrtices de la base apoyados en las parbolas. y 2 = 16x ; y 2 = 4 x y tienen por lado diferencia de las dos ordenadas y se mueve de x = 0 a x = 4 21.- Hallar el volumen del Hiperboloide:

x2 y2 z 2 + =1 a2 b2 c222.- Hallar el volumen del elipsoide:

x2 y2 z 2 + + =1 a2 b2 c223.- Calcular la longitud del arco de la parbola cubica: y 2 = x 2 desde el origen a x = 4 .

24.-.- Calcule la longitud de: a)f (x ) = ( x + 1)3/ 2

entre

x =3 y x=8

59 2 3 / 2 1 1/ 2 (x ) 2 (x ) 3x

b) c) d)

f(x) =

entre entre entre

x =1 y x = 4 x =1 y x = 3 x = 8 y x = 27

f (x ) =

f (x ) = x 2 / 3 1

1

t 2 1

25.- Hallar la longitud de la curva:

a) b)

y = Ln xY =ex

entre entre

3 y

8

(0 , 1) ; (1 , 0)

26.- Hallar la longitud de curva:

x = a(2 cos t - cos2t ) y = a(2 sent - sen2t )27.- Hallar la longitud de la Astroide

x = a cos 3 t y = a sen3 t28.- Hallar la longitud total de

= a(1 + cos e)=1 e

29.- Hallar la longitud del arco de la espiral hiperblica Desde 1 1 2, a ,2 2 2

30.- Hallar el rea de la superficie del huso que resulta al girar una semi onda de la sinusoide y = sec x alrededor del eje x. 31.- Hallar el rea de la superficie de revolucin de las Astroide

x2/3 + y2/3 = a2/3

Alrededor del eje x.

32.- Hallar el rea de la superficie del elipsoide (elipse que gira en torno al eje x.) 33.- Hallar el rea de la superficie cuando gira un arco de cicloide:x = a (t sen t ) y = a (1 cos t )

En torno del eje x.

60

34.- Hallar el rea de la superficie cuando gira la lemniscata

2 = a 2 cos2 eObservacin.

En torno del eje polar.

Para dar fundamento a los temas que vienen es necesario agregar dos anexos. ANEXO # 1 .- Series de potencias y de Fourier. ANEXO # 2 .- Algebra de vectores. Se entiende que el alumno ya tiene conocimiento de Series numricas y alguna experiencia en vectores .

ANEXO # 1.SERIES DE POTENCIAS.-

El desarrollo de este tema apunta a encontrar una nueva forma de representar funciones aparte de la ley de formacin de imgenes, por lo tanto incursionaremos en dos modalidades. a) Representacin en Series de Taylor. a) Representacin en Series de Fourier. De todos modos veremos un desarrollo con algunas omisiones y licencias en atencin al tiempo de que se dispone .Definicin:

Llamamos serie de potencias a aquella serie cuyos trminos son potencias de x de (x-a) con coeficientes reales. a) b)

a

an =0

n =0

n

xn( x a) n

n

Definicin:

Se dice que la serie de potencias converge si la serie numrica converge para los valores de x que se consideren..

61

Observacin. 1.- Lo que se diga para la serie de potencias a) es igualmente vlido para b) pues bastara en esta ltima hacer (x-a) = u para que se transforme en la primera.

2.-Se deduce que la convergencia de una serie de potencias est determinada por los valores de la variable x, y se ver que en general estos no son aislados sino que conforman un intervalo. 3.- Si en la serie:

a0

n

xn

a0

n

( x a) n , tomamos x = 0 x = a, vemos que ella

converge, es decir toda serie de potencias converge al menos para un valor de la variable.a n +1 (n + 1)! x n +1 4.- Si consideramos la serie: n! x .Como lim = lim = lim(n + 1) x = , n a n n! x n n n por lo tanto la serie diverge para todo valor de la variable excepto en el cero.n

5.- Si consideramos la serie: todo el eje real. 6.- Si consideramos la serie:

x a xn . Como lim n +1 = lim = 0 x ,la serie converge en n n + 1 n a n! n a n +1 = lim x .La serie converge si x < 1 . n an

x

n

.Como limn

7.- De los ejemplos se puede suponer que la convergencia se produce en un intervalo o todo el eje solo para x=0.El siguiente teorema ayuda a establecerlo:Teorema:

a) Si la serie:

a

n

x n ,converge para x = x0 ,Entonces converge absolutamente

x x < x0 .O sea define un intervalo en el que converge.

b) Si la serie diverge para x = x1 ; Entonces diverge x x > x1 .Demostracin: a) Al ser convergente la serie numrica: a n x0 lim a n x0 = 0 ,luego la sucesinn n

{a x }es acotada superiormente es decir M Rn n

n +

0

a0 x0 < M n N ,luego sin

escogemos x x < x 0 y haciendo r =a n x n = a n x0 n

x x0

< 1 Entonces:

xn x0n

= an x0 n

x < Mr n a n x n < M r n ,esta ltima una serie x0

geomtrica convergente y por comparacin la serie

a

n

x n converge absolutamente

x si x < x 0 . Es decir se define un intervalo de convergencias.

62

b) Si la serie

a

n 1

x es divergente y del supuesto que converge para x0 > x1 ,la parte a)n

asegura que converge para x1 ,generando un contrasentido.Observacin:

Convencidos que la serie de potencias solo admite la posibilidad de un intervalo de convergencia, o todo el eje real o el punto x = 0, es que definimos:Definicin:

Sea

a

n

x n una serie de potencias de x ;Se llama Radio de Convergencia al numero real

positivo R, de modo que:R = 0 ;Si la serie solo converge para x = 0. R = , Si la serie converge para todo los reales. R = Sup{x xes punto de convergencia}

Observacin:

1.- Nuestro trabajo estar orientado a determinar el intervalo de convergencia y el radio de convergencia, aplicando los criterios conocidos para series de trminos positivos y para ello se tiene: a) Si lima n +1 = l x ,luego hay convergencia si: l x < 1 y hay divergencia si l x > 1 ,es decir n a n

1 1 1 converge cuando: x < y diverge cuando x > ,siendo entonces. R = el Radio de l l l Convergencia. 1 b) Si lim n a n = l x ,la convergencia se produce cuando l x < 1 y por lo tanto R = n l 2.- En la determinacin del intervalo de convergencia un tema importante es el comportamiento de la serie en los extremos de l. Ejemplos. n n +1 x . 1.- Determinar radio e intervalo de convergencia para: (1) n2 n Solucin: x a n +1 1 x n +1 n2 n lim n = lim = x ,luego hay convergencia si : x < 2 = lim n a n ( n + 1) 2 n +1 x n 1 2 n 21 + n 2 < x < 2 y el radio ser R = 2 .Para precisar el intervalo debemos analizar: Si x = - 2 . la serie ser:

(1)

n +1

(2) n 1 = ,serie armnica divergente. n n n2

63 1 ,que es convergente, luego I = 2 < x 2 . n 10 n n x . 2.- Encontrar el intervalo de convergencia para: n Solucin: Si x = 2 ,la serie ser:

(1)

n +1

Si aplicamos esta vez el criterio de Cauchy ,y que tambin era aplicable al ejemplo anterior, se tiene: 10 lim n a n = lim n x = 10 x ,pues como se recordar lim n n = 1 ,con ello la serie converge n n n n 1 1 1 y