apunte 7 - métodos de integración

8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración

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APUNTE DE CÁLCULO

CALCULO INTEGRAL 104

INTEGRALES INDEFINIDAS o ANTIDERIVADAS

FUNCIÓN PRIMITIVAUna función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando

F'(x) = f(x), por ejemplo F(x) = x 2 es primitiva de f(x) = 2xOtra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x 2 + 5 , o en general , F(x) = x 2 +C , donde C es una constante .

Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas . Al conjunto detodas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa

por f x dx( )∫

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

P1. ∫ dx x f )( = ∫ dx x f )( + ∫ dx x f )(

Ejemplo : ∫ + dx x g x f )()( = ∫ dx x2 + ∫ dx xcos = x2 + sen x + C

DEMOSTRACIÓN :

Por la definición ∫ dx x f )( = F(x) + C ⇒⇒⇒⇒ ( ) ( ) =+=∫ ')(')( C x F dx x f F'(x) = f(x)

Por otro lado , queremos demostrar que ∫ + dx x g x f )()( = ∫ dx x f )( +

∫ dx x g )( es decir , que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir

)()( x g x f + , por lo tanto:

(∫ dx x f )( + ∫ dx x g )( )' = ( ∫ dx x f )( )' + ( ∫ dx x g )( )' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

c. q. d.

P2. =∫ dx x f k )(• ∫ dx x f k )(•

∫ dx ) x ( f = F(x) + C ⇒⇒⇒⇒ F '(x) = f(x)


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APUNTE DE CÁLCULO


Ejemplo : =∫ dx x

1•5 ∫ dx

x

1•5 = 5·ln x + C

Ejemplo : sen •sen • sen ( cos )4 4 44

14

4 414

4x dxx

dx x dx x= = = −∫∫∫ + C

DEMOSTRACIÓN :

Queremos demostrar que ( ∫ dx x f k )(• )' = )(• x f k

( ∫ dx x f k )(• )' = k · ( ∫ dx x f )( )' = k · F'(x) = k· f(x) c. q. d.

METODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

1. ( ) C uC uduuduudx x +=+⋅===+ ∫ ∫∫ 82418

81

317

31

37723

( ) ( ) C x x F dxdudxdu

xu

++==⇒=

+=

823241

33

23

Comprobar, derivando

2. ( ) ∫ ∫∫ =⋅=+ duuduu xdx x 2521

21252512

( ) ( ) c x x F

cu xdxdu

xdxdu

xu

++=

+⋅==⇒=

+=

27

1271

72

21

2

2

12

27

Comprobar, derivando.


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APUNTE DE CÁLCULO


3. ( )( ) ∫ ∫∫ =⋅=+++ duuduudx x x x 312

1

2

131312221

( )

( ) ( ) ( ) c x x x F dx xducu x x

dxdu

x xu

+++=+=

+⋅=+=+=

++=

34

34

22241

12

43

31

1222

222

4. cuduuduudx x x +⋅===+ ∫ ∫∫2321

32

41

41

41

122

( ) ( ) c x x F xdxdu

xdxdu

xu

++==

=

+=

23

12261 4

4

122

5.

∫ ∫ ∫∫ +−=−=−== cumudu

udu

dx x

senxdx x

cos tan

( ) ( )

( ) ( ) secln

cosln

cos

c x x F senxdxdu

c x x F senxdx

du

xu

+==−

+−=−=

=

6. ∫ ∫ ∫ ∫∫−

−=−

−===

2121coscos1

secuu

du

uu

dudx

xsenx senx

dx x

dx x


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APUNTE DE CÁLCULO


2 2 21

21cos

ududz

ududz u z

senxdxdu

senx dxdu

u senx xu

−=⇒−=⇒−=

=−⇒−=

−=⇒=

7.( )

( )∫ ∫ ∫ ∫−=−=+

duu

duuudu

uudx

x x

212222

1221

2

( ) Comprobar 1

21ln2

2ln2

1

12ln2

222 11

C x

x x F

C u

u

C u

udxdu

duuu

duu x xu

++

++=

++=

+−

−−==

−−=−=⇒+= ∫ ∫

8. ∫ ∫ ∫ +==⋅= cuduu xdx

xdx ln

1ln1

ln1

( )

Comprobarlnln 1

ln

xdx

du

c x x F xdx

du

xu

=

+==

=

9. C ueduueduuedx xedx x +==== ∫ ∫ ∫∫ 2ln1

2ln1

2ln2ln2


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APUNTE DE CÁLCULO


( )

( )

0 ln

1 ndoGeneraliza

22ln

1

2ln

2ln2ln

1 2ln

2ln 2ln2 Como

>+

=

+==

+==

==

∫ ac xaadx xa

C x x F dxdu

C xe x F dxdu

xu xe x

10. ∫ ∫ +−=−=−+−

cuudu

dx xe

xeln

1

( )

( ) ( ) c.q.d. 11

1ónComprobaci

1ln

1

xe

xe x-e xe x , F

c xe x F dx xedu

xeu

−+

−=−−+

−=

+−+−=−−=

+−=

11. ∫ ∫ ∫−

+−=−+

dx xe

xe xe

dxdx xe

xe2

2cos22

2cos1


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APUNTE DE CÁLCULO


( ) ( )( ) c xe sen xec xe sen xecu senue

duuduue

dx xe

dx xedudxdu

d

xeu

dx xe xedx

xu

xe

+−+−−

=+−−−−

=

+−−=

−+−=

−=

−−=+=−

−=

−−+

−=

−

∫∫

∫∫

22212

212

21

21

21

cos21

21

22du-

22 2

2

22cos

2

2

12. numerador elenrestandoySumando 1

1 xedx xe∫ +

∫ ∫ + −+=+=+=

dx xe xe xedx xe

xedxdu

eu

11

11

1

( ) ( ) Comprobar 1ln ln

11

1

c xe x x F

cu xu

dudx

dx xe

xedx xe

xedx xedu

++−=

+−=

−=

+−

+

+==

∫∫

∫ ∫

13. ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫−=−== dududuuudutg dx xtg 212sec

21

12sec212

21

22

( ) ( ) c x xtg x F

cutgudxdu

xu

+−=

+−==

=

221

21

21

2

2


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APUNTE DE CÁLCULO


CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DEFINIDAS

Si la función )( x g u = tiene derivada continua en el intervalo cerrado[ ]ba , y f tiene una primitiva en el recorrido de g , entonces:

∫∫ = ba duu f ba

dx x g x g f )()(,))((

EJEMPLOS:

1. ∫ +1032 )1( dx x x

dx xdu

xu

2

12

=+=

10

inferior Límite=→= u

2 1

Superior Límite=→= u x

( )∫ ∫ ==+102

1

4332

421

21

1 u

duudx x x1

2=

815

41

421 =

−

2. ∫ 405 cos sen

π dx x x

Obtención de los nuevos límites de integración.Si hacemos la sustitución xdxdu xu cos sen =⇒= Entonces los nuevos límites de integración serán:

00 sen0 Si ==⇒= u x , por otro lado si22

4sen4 ==⇒=

π π u x

∫ ∫ ∫=

=

=

= ===4

0

4

0

22

0 0

226

555

6 cos sen

π π x

x

u

u

uduuduudx x x 6

6

061

22

61 −

=

48

1

8

1

6

1

2

2

6

16

3=⋅=

=

Otra forma es calcular la integral, cambiando las variables, sin cambiar loslímites de integración y luego “DESHACER EL CAMBIO” y aplicar el T.F.C.:

∫ ∫ === xuduudx x x 66

55 sen61

6 cossen

∴ ∫ =4065 sen

61

cossenπ

xdx x x0

4

=

=

x

x π ( )481

22

61

0sen4sen61

666 =

⋅=−= π


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APUNTE DE CÁLCULO


PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRADOS A LAS FORMULASBASICAS.

TÉCNICA EJEMPLO1. Desarrollar ( )∫ ∫ ∫ ∫++=+ dx xedx xedx xe 22121 2. Separador el numerador

(nunca el

denominador)

∫ ∫ ∫+

++

=+

+

1212121

x

xdx

x

dxdx

x

x

3. Completar cuadrados

( )∫ ∫

−−=

−dx

xdx

x x 211

122

1

4. Dividir si la funciónRacional es impropia ∫ ∫

+−=

+dx

xdx

x

x

121

112

2

5. Sumar y restar términosen el numerador

∫ ∫++

−+=

++dx

x x

xdx

x x

x

122222

1222

∫ ∫++

−++

+= dx

x xdx

x x

x

1222

12222

6. Usar identidades

Trigonométricas ∫ ∫ −= dx xec xdx g 12cos2cot


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APUNTE DE CÁLCULO


7. Multiplicar y dividirpor el conjugado pitagórico

dx x

senxdx

x

dx x

senxdx

x sen

senx

dx

senx

senx

senx

dx

senx

∫ ∫

∫

∫ ∫

−=

−=

−

−=

−−

+

=+

2cos2cos

1

2cos

121

1

1

1

1

1

1

1

EJERCICIO: Calcular las Integrales, que aparecen en la tabla anterior.


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APUNTE DE CÁLCULO


MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES (I. P. P.)

Se utiliza para integrados que contengan productos de FuncionesAlgebraicas o Trascendentes por ejemplo:

∫ ∫ ,ln ,ln x xdx x ∫ ∫ dx xen x senxdx xe ∫ xdx3sec

La integración por parte se basa en la fórmula de la derivada de unproducto.

( ) ,, vuuvdxduv

dxdvuuv

dxd +=+=

Donde u y v son Funciones Derivables de x si ,, vu + son Continuas podemosintegrar ambos lados de la igualdad.

( ) ,, vuuvuvdxd +=

( )

↓

−=

+=

+++=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫

I.P.P.deFórmula

,,

vduuvudv

vduudvuv

dxvudxuvuvdx

d

u es una Función que debemos derivar para hallar du dv es una Función que debemos integrar para hallar v

Para aplicar la técnica se debe seleccionar u y dv de modo que lanueva integral:

∫vdu sea “más sencilla” que la inicial.


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APUNTE DE CÁLCULO


EJEMPLOS:

1. ∫ dx xe

Hacemos dxdu xu =⇒= xevdx xedv =→=

∫ ∫ +−=−= c xe xedxe x xedx x xe

2. Calcular ∫ dx xe x3 , usando el método tabular y generalizar para ∫ dx xen x

METODO TABULAR

Signosalternados.

u y sus derivadas dv y susintegrales

+ 3 x xe - 23 x

xe + 6x xe - 6 xe + 0 xe

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xe x x F

x x x xe x x xe x F

c x x x x

e x F

c xe x xe xe x xe xdxe x

3,

662336623,

oComproband 66

23

3

662333

=

−+−++−=

+−+−=

+−+−=∫

Comprobemos el resultado anterior integrando por partes


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APUNTE DE CÁLCULO


( ) c xe x xe xe x xe x x F xevdx xedv

dxdu xu

dx xe x xe xe x xe x

dx x xe xe x xe xdx xe x xevdx xedv

xdxdu xu

dx xe x xe xdx xe x xevdx xedu

dx xdu xu

+−+−===

==

−+−=

+−===

==

−===

==

∫

∫ ∫

∫∫

66233

66233

62333 2 2

2333 23 3

Generalización ) ! n ) 1( ...x ) 1n ( n nx x ( e dx x e n x 1n 2 n 1n n x ++++= ---∫ --

3. ∫∫ ∫ −== xdx xtg xtgx xdx x xdx 2secsecsec 2sec3sec

( )∫ ∫ −−==⇒==⇒=

dx x x xtgx xdxtgxv xdu

xtgxdxdu xu12secsecsec3sec 2sec

secsec

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫-

c tgx x sec ln 2 1

xtgx sec 2 1

xdx 3 sec

xdx sec xtgx sec xdx 3 sec 2

xdx sec xdx 3 sec xtgx sec xdx 3 sec

+++=

+=

+=

4. Comprobar que ∫∫ +−=−= c x x xdx x x xdx lnlnln

En efecto, integrando por partes

( )

xvdxdv

c x x x x F xdx

du xu

==

+−===

ln ln


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APUNTE DE CÁLCULO


5. Integra ∫ ∫∫ −= vduuvudv senxdx x 2

c x xsenx

senxdx xsenx xdx x senx xdxv xdxdv

dxdu xu P P I

xdx x x x senxdx x

x senxdxv senxdxdv

xdxdu xu

++=

−===→=

=→=

+−=

−==→=

=→=

∫ ∫∫

∫ ∫

∫

cos22

22cos2coscos

22...

cos2cos22

cos

22

∫∴ +++−= c x xsenx x x senxdx x cos22cos22

6. Usar el Método tabular para integrar ∫ senxdx x3

( ) ( ) senx x g x x f == 3

DERIVANDO INTEGRANDO3 x + senx

23 x - -cosx6x + - senx 6 - cosx0 senx

Se realizan los productos indicados por las flechas.

∫ ++++−= c senx x x senx x x x senxdx x 6cos623cos33

¡Comprobar integrando por partes (sin tabular)!

Fórmula de integraciónpor partes


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APUNTE DE CÁLCULO


7. ∫ dx x senarc

Integrando por partes:

∫ ∫

∫

−−=

==→=

−=→=

dx x

x x senarc xdx x senarc

xdxvdxdv

dx x

du x senarcu

nSustitució

21

21

1

c xc z

c z dz z z

dz dx

x

-x

xdxdz

xdxdz

x z

++=+=

+⋅=−==−

−=

−=−=

∫∫ ∫

2121

2122121

212

21

2

2

21

∫ c 2 x 1x sen arc x dx x sen arc +++=

8.( )

∫+

dx x

x xe212

2


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APUNTE DE CÁLCULO


( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

121

12ln411

ln411ln

4121

41

21

41

124

1

22

1

12

212212

222

+++=

+=−+=−−−=

−=

−=

−=

=+=

+=→

+=

=→=

∫

∫ ∫ ∫∫

x x

z z z z dz z z

dz z

z dz

z

z

z

z dz z

dx z dz

x z

x

xdxvdx

x

xdv

dx xedu xeu


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APUNTE DE CÁLCULO


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Sustituciones (cambios de variable) trigonométricas.Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen

potencias de las funciones trigonométricas, podemos utilizar SustitucionesTrigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan losradicales.

22y22 ,22 auuaua −+−

El propósito de esas sustituciones (o cambios de variable) es eliminarlos radicales. Eso se consigue con las identidades de Pitágoras.

12sec2y212sec ,212cos −=+=−= θ θ θ θ θ θ tg tg sen

Por ejemplo, si 0>a , hacemos θ senau = , donde 22 π θ π ≤≤− .Entonces:

( )

θ

θ

θ

θ

cos

2cos2

212

222 22

a

a

sena

senaaua

=

=

−=

−=−

Nótese que 0cos ≥θ , ya que 22 π θ π ≤≤− .

SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA( )0>a

Caso 1. En integrales que contienen 22 ua − , hacer

θ senau =

Así θ cos22 aua =− , donde

22 π θ π ≤≤−

uθ

a

22 ua −


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APUNTE DE CÁLCULO


Caso 2. En integrales que contienen 22 ua + , hacer

θ tag au =

Así θ sec 22 aua =+ , donde

22 π θ π ≤≤−

Caso 3. En integrales que contienen 22 au − , hacer

θ sec au =

Así θ tg aau 22 ±=− , donde

π θ π π θ ≤


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APUNTE DE CÁLCULO


θ θ θ θ 292ycos329,cos3 sen x xd dx ==−=

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al resultado siguiente:

( )( )

C x

x

ctg C x

x

C ctg

d ec

d

d

x x

dx

+−=

+

−=

+=

=

=

=−

∫

∫

∫ ∫

9

29

Sustituir29

91

cosecanteladereglalaAplicar91

tricatrigonoméIdentidad 2cos9

1

r Simplifica 2sen91

Sustituir cos329sen

cos3292

θ

θ

θ θ

θ

θ

θ θ

θ θ

El triángulo de la figura anterior permite volver de la variable θ a lavariable x .

x x

ctg 29

op.ady. −==θ

EJERCICIO: Intente hallar usando un software, con integración simbólica,las integrales:

∫∫∫∫−−−− 293

292

29

29 x x

dx

x x

dx

x x

dx

x

dx

y obtenga después los resultados usando una sustitución trigonométrica.

Calcular las integrales:


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APUNTE DE CÁLCULO


∫ ∫∫ ±−± 22y22 ,22 uaudu

ua

du

au

du

Estas integrales se pueden hallar asimismo por cambios de variabletrigonométricos, como ilustra el próximo ejemplo.

EJEMPLO 2Sustitución trigonométrica θ tg a u = , identidad sec 2 θ θθ θ = tg 2 θ θθ θ + 1

Hallar ∫+ 124 x

dx

SOLUCION: Tomemos θ tg xa xu === 2y1,2 , comoindica la figura . Entonces:

θ sec 12 x 4 y θ d θ 2 sec 2 1

dx =+=

La sustitución trigonométrica hace que:

cambioelDeshacer2124ln21

secanteladereglalaAplicarsecln21

rSimplifica sec21

Sustituir sec

2sec21

124

1

C x x

C tg

d

d dx

x

+++=

++=

=

=+

∫

∫ ∫

θ θ

θ θ

θ θ θ

Verifique el resultado mediante integración simbólica. El resultado¿viene dado en esa forma o en términos de una función hiperbólica inversa?

2xθ

1x 4 2 +

1


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APUNTE DE CÁLCULO


La utilidad de los cambios de variable trigonométricos alcanza a las

integrales donde aparecen expresiones ( )2 / n 2

u 2

a - , para lo cual bastaescribir :

( ) n ) ( 2 u 2 a 2 / n 2 u 2 a -- =

EJEMPLO 3

Sustitución trigonométrica: Potencias racionales.

Hallar( )

∫+

2312 x

dx

SOLUCION: Comenzamos escribiendo

( ) 2 / 3 12 x + como 3 12 x ) ( + . Ahora hacemosθ tg x u y 1a === , como muestra la figura.

Teniendo en cuenta que :

θ sec 12

x y θ d θ 2

sec dx =+= Al aplicar la sustitución trigonométrica se obtiene:

( )

cambio el Deshacer C12 x

x

Integrado C θ sen

rica trigonomét Identidad θ d θ cos

r Simplifica θ sec

θ d

Sustituir θ 3 sec

θ d θ 2 sec

r denominado el Reescribir 3 12 x

dx 2 3

12 x

dx

++

=

+=

=

=

=

+

=+

∫∫

∫

∫ ∫

xθ

1x 2 +

1


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APUNTE DE CÁLCULO


Para las integrales definidas suele ser preferible determinar los límitesde integración en θ , lo cual evita tener que regresar a la variable x. Esteprocedimiento se repasa en los ejemplos 4 y 5.

EJEMPLO 4 Transformación de los límites de integración.

Calcular ∫ −2

332

dx x

x

SOLUCION: Como 32 − x es de la

forma ,22 au − hacemos3 a ,x u == , y hacer θ sec 3 x = ,

como indica la figura, entonces

θ θ θ θ tg xd tg dx 332ysec3 =−=

Para averiguar los límites de integración, hacemos uso de θ sec3= x ,como sigue:

Cuando 1sec,3 == θ x Cuando3

2sec,2 == θ x

θ θ =y6

yπ

θ =

En consecuencia:

( )( )

6 π 0

θ d θ 2 tg 3

2 3

6 π 0 θ sec 3

θ d θ tg θ sec 3 θ tg 3 dx

x 3 2 x

θ para x para n integració de Límites n integració de Límites

∫

∫ ∫-↓↓

=

=

32 − x θ

x

3

Límite inferior Límite inferior


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APUNTE DE CÁLCULO


[ ]

0931,0

6 π 3

1

6 π

3 1

3

θ θ tg 3

6 π 0 θ d ) 1θ

2 (sec 3

) (

6 π

0

≈

-

-

-

∫ -

=

=

=

=

NOTA: En el ejemplo 4, intente volver a la variable x y evaluar la primitivaen los límites de integración originales. Debe llegar a este resultado:

2

3

23 3

sec3

323

32∫ −−

=− x

arc x

dx x

x

Cuando se calculan integrales definidas por un cambio de variabletrigonométrico, hay que tener la precaución de comprobar que los valores deθ están en los intervalos indicados al comienzo de esta sección. Así, si enel ejemplo 4 se hubiera pedido calcular la integral:

dx x

x∫−−

−32

32

Al hacer 3y == a xu en el intervalo 3,2 −− resultaría au −< . Portanto, al determinar los límites de integración tendríamos que haber elegidoθ tal que π θ π ≤


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APUNTE DE CÁLCULO


( )( )

( )

[ ]π π θ θ

π π θ θ

π π θ θ

π

π θ

θ θ θ θ

653

65 12sec3

65 2 3

65 sec3

sec333

2

32

−−=

−−=

−=

−=

−

−

−

∫

∫

∫∫

tg

d

d tg

d tg tg dx

x

x

( )

0931,0

63

1

65

3

103

−≈

+=

−−−−−=

π

π π


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APUNTE DE CÁLCULO


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALESEL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES

DEFINICIÓN: ( ) x f es una Función Racional si es el cuociente de dosFunciones Polinómicas es decir:

( ) ( )( ) xq x p

x f =

Si el grado de ( ) x p es menor que el de ( ) ( ) x f xq , recibe el nombre deFunción Racional Propia. En caso contrario ( ) x f se denomina FunciónRacional Impropia.

EJEMPLOS:

1. ( ) x f 12542

2233

−+

++=

x x

x x x Es una Función Racional Propia.

2. ( ) x f 1

2322−

+−= x x Es una Función Racional Impropia.

Toda Función Racional Impropia se puede transformar en un

Polinomio más una Función Racional Propia, aplicando el algoritmo deDivisión de Polinomios.

EJEMPLO:

( )1

32532−

−−=

x x x x

x f

( )

( )

6 /

66(-)

6 / 1

66322

132532

323(-)

3x-23/

2232 (-)

63221:32532

−

+−

−−

−−−=−

−−=+−

−

−

−−=−−−

∴

x

x x

x x x

x x x x f x x

x

x x

x x x x x x


25/41

APUNTE DE CÁLCULO


POLINOMIOS (REPASO DE ÁLGEBRA)

Todo polinomio de grado n .

( ) na xnan xan xa x P +−++

−+=1

110 …

IN n IRaia ∈∈≠ ; ; 00

Tiene n raíces Reales o Complejas; si n∝∝∝ , ,2,1 … son las Raíces de( ) x P , entonces:

( ) ( ) 21 IRiin x x x x P ∈∝∨∈⊄∝∝−−∝∝−= …

Un polinomio de segundo grado cbxax ++2 , se dice Irreducible, si nose puede descomponer como producto de factores lineales de la forma:

2211 β β +∝+∝ x x con IR∈∝∝ 2,2,1,1 β β

Es decir cbxax ++2 se llama irreducible si la ecuación 02 =++ cbxax no tiene soluciones reales.

EJEMPLOS:1. ( )( )23652 −−=+− x x x x Es Reductible

2. ( )( )i xi x x 3392 −+=+ Es Irreducible las raíces son complejas.

EJERCICIO:Factorizar los siguientes polinomios y determinar si son Reductibles oIrreductibles.

1) 842

2 +−

x x

2) 222 +− x x

3) 12 ++ x x

TEOREMA:


26/41

APUNTE DE CÁLCULO


Todo polinomio de grado n con coeficientes Reales, se puededescomponer como producto de factores lineales y/o cuadráticosirreductibles (algunos de los factores pueden estar repetidos).EJEMPLOS:

1. ( ) ( )( )( ) ( )( )2212214233 −+=−−+=+−= x x x x x x x x p

1+ x Es un Factor Lineal

2− x Es un Factor Lineal Repetido

2. ( ) ( ) 121123 +−=−+−= x x x x x x p

1− x Es un Factor Lineal y 12 + x es un Factor CuadráticoIrreducible.

EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES

Sea ( ) ( )( ) xq x p

x f = una Función Racional Propia.

PRIMER PASO: Descomponer ( ) xq en Factores Lineales y/o CuadráticosIrreductibles.

SEGUNDO PASO: Método de las Fracciones Parciales consiste en expresar( ) x f como una suma de Fracciones Propias, cuyos denominadores solo sean

Factores Lineales o Factores Cuadráticos Irreductibles.

Existen 4 casos que se ejemplifican a continuación.

A. FACTORES LINEALES DISTINTOSA cada Factor Lineal bax + , del denominador de una Fracción

Racional Propia, le corresponde una Fracción de la forma:

bax A+

Donde A es una Constante a determinar.


27/41

APUNTE DE CÁLCULO


EJEMPLO: Calcular ∫−+

+dx

x x x

x

623

1

SOLUCION:PRIMER PASO: Factorizar ( ) x x x xq 623 −+=

( )( )2362623 −+=−+=−+ x x x x x x x x x

Para hallar los Factores Lineales de ( ) xq a menudo es útil usardivisión sintética.

SEGUNDO PASO: Expresar x x x

x

6231

−+

+ como suma de Fracciones Propias.

( )( ) 23231

6231

−+

++=

−++

=−+

+

xC

x B

x A

x x x x

x x x

x

Multiplicando por ( )( )23 −+ x x x

Obtenemos:

( )( ) ( ) ( )32231 ++−+−+=+ xCx x Bx x x A x

Existen dos maneras para determinar las constantes A ,B y C ; esto semuestra a continuación:

( )( ) ( ) ( )32231 ++−+−+=+ xCx x Bx x x A x

Multiplicando y Factorizando:

( ) ( ) A xC B A xC B A x 63221 −+−+++=+

Por igualdad de polinomios, los coeficientes de las mismas potenciasson iguales.

1A 6 ) 3 1C 3 B 2 - A ) 2 0 C B A ) 1

- ==+

=++

De 3) obtenemos 6 1-

A =

En 1) obtenemos 2 /61

⋅=+ C B


28/41

APUNTE DE CÁLCULO


En 2) obtenemos

6

732 =+− C B

152-B 103C 695C

67

32

31

22

===

=+−

=+

∴

C B

C B

Luego,

2103

315

261

6231

−+

+

−+

−=

−+

+

x x x x x x

x

Integrando con respecto a x, en ambos lados obtenemos:

∫ ∫ ∫ ∫ −++−−=

−++

2103

3152

61

6231

xdx

xdx

xdx

dx x x x

x

C x x

x

C x x xdx x x x

x

++

−=

+−++−−

=−+

+∫

1523

61

1032

ln

2ln103

3ln152

ln61

6231


29/41

APUNTE DE CÁLCULO


B. FACTORES LINEALES REPETIDOS

A cada Factor lineal bax + , que figure n veces en el denominador, lecorresponde una suma de n Fracciones de la forma:

( ) ( ) ( ) IR Ainbax

n A

bax

A

bax

A

bax

A∈

+++

++

++

+ ; 3

32

21…

EJEMPLO: Calcular:

( )∫+−

+

42334

x x

dx x

SOLUCION:

( )( ) ( )2221

Repetido

Lineal Lineal

Factor Factor

221

4

42334

−+

−+

+=

⇓⇓

−+

+=

+−

+

x

C x

B x

A

x x

x

x x

x (1)

( ) ( )( ) ( )121224 ++−++−=+ xC x x B x A x (2)

Ahora usamos otro método para hallar las constantes A, B y C. Evaluando laidentidad (2), asignamos valores de x de manera que se anule algún factor, .

Si 2 63 2 =⇒=⇒= C C x

Si31

A 39 1 =⇒=⇒−= A x

Si31

424 0 −==+−⇒= ∴ BC B A x

Sustituyendo en (1) e integrando:

( )( )

C x

x x

x

dx x

dx x

dxdx

x x

x

+−

−−−+=

−+

−−

+=

+−

+∫ ∫ ∫ ∫

22

2ln31

1ln31

222

231

131

42334


30/41

APUNTE DE CÁLCULO


EJEMPLO:

Calcular ( )∫ − dx x x

31

4

SOLUCION:

Debemos dividir porque( )31

4

x

x

− no es una Función Racional Propia.

( )

23334

3323314

: x x x x

x x x x x

−+−

−−=−+−

( ) ( ) 31

3826331

4 3826

392933

2333

x

x x x

x

x x x

x x x

x x x

−

+−+−−=

−+−

−+−

⊗

+−

∴

( ) ( ) ( )

( ) ( ) C x B x A x x

xC

x B

x A

x x x

+−+−=+−

−+

−+

−=

−+−

⊗⊗

1213826

31211313826

Si 1 1 =⇒= C x

4 6A 1624 24711 Si

21Como 3 0 Si

−===+⇒++=⇒−=

=+⇒=++=⇒=

B B AC B A x

B AC C B A x

( )( )

( )⊗⊗

−

+−+−−=

−∫ ∫ ∫ 31

3826331

4dx

x

x xdx xdx

x

x


31/41

APUNTE DE CÁLCULO


( ) ( )

( )C

x x x x x

x

dx

x

dx x

dxdx xdx

+−

+−−

−+−−

=

−

+

−

−−

+−−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

212

11

41ln632

21

31

21

41

63

( )

dxdu xu

xuuduu

u

du

x

dx

−=⇒−=

−==−=−−=−=

− ∫ ∫∫

1

11112

221

Ejercicio: Calcular( )

∫ =− 31 x

dx

C. FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

A cada Factor Cuadrático Irreductible cbxax ++2 , le corresponde unafracción de la forma:

Constantes y2 B Acbxax B Ax

+++

EJEMPLOS:

Calcular( )( )∫ +−

−+dx

x x

x x

121

223

SOLUCION:

Tenemos un Factor Lineal y un Factor Cuadrático irreductible.

( )( ) ( )( )121/

121121

223 +−⋅+

++

−=

+−

−+⊗ x x

x

C Bx x

A

x x

x x

( )( )

( ) ( ) C A x BC x B A x x

xC Bx x A x x

−+−++=−+

−+++=−+

2223

112223


32/41

APUNTE DE CÁLCULO


2 1 2)

3

)1 −=− =−

=+

C A BC

B A

2

4

)2)1

−=−=+

↓+

C A

C A 2 3 1 === BC A

Sustituyendo A, B, y C en ⊗ e integrando, obtenemos:

( )( )

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫+

++

+−

=+

++

−=

+−

−+

123

122

11232

1121

223

x

bdx

x

a xdx

xdx

dx x

x x

dxdx

x x

x x

C x Arctg x x ++++−= 312ln1ln

∫ ∫ ++===+

C xuu

du

x

xdxa 12lnln

122

)

dxdu

xu

2

12

=+=

∫ +=+ C x Arctg xdxb 3

123 )

D. FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

A cada Factor Cuadrático irreductible cbxax ++2 , que se repita n veces en el denominador le corresponde una suma de n fracciones de laforma:

( ) ( )n

cbxax

Bn x An

cbxax

B x A

cbxax

B x A

++

+++

++

++

++

+

2

2

2

222

11…

EJEMPLO:

Calcular( )

∫+

212

32

x

dx x


33/41

APUNTE DE CÁLCULO


SOLUCION:

( ) ( ) 2

12122

12

32

+

+++

+=+ x

DCx

x

B Ax

x

x ( )212x +⋅

( )( ) DCx B Bx Ax Ax x

DCx x B Ax x

+++++=

++++=

2322

1232

Por igualdad de polinomios

⇒=+ 0C A

( ) ( )

C x

x

x

xdx

x

xdx

x

dx x

++

++=

+−

+=

+∫ ∫ ∫

12

112ln

212

2

122

212

32

( )∫ ∫

+==

−−=−=

+

−

12111

2212

2

xuuu

du

x

xdx

INTEGRALES IMPROPIAS

Extenderemos el concepto de integral definida a integrales de laforma: ( )∫

∞

a dx x f .

En las que uno o ambos límites son infinitos, estas integrales seconocen como Integrales Impropias y aparecen en varias situacionesprácticas.DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA.

( )∫∞a dx x f = ∞→n

lim ( )∫na dx x f

0 2 == B A 2−=C

0= D


34/41

APUNTE DE CÁLCULO


Si el límite es un número finito, se dice que la integral converge, enotro caso se dice que la integral diverge.

En general diremos que una Integral ( )∫ba dx x f es impropia:

1. Si f se hace infinita en uno o más puntos del intervalo de integración.

2. Si uno o ambos límites de integración son infinitos.

EJEMPLOS:

1. ∫10 x

dx ( ) x

x f 1= se hace infinita en 0= x

∫ =10dx

+→ 0

lim

b ∫ =1b x

dx+→ 0

lim

b =

==

b x

x x

1 ln +→ 0

lim

b ( )bln1ln −

= +→ 0

lim

b ∞+=

b1

ln

Cuando resulta ∞ diremos que la Integral

∫1

0 x

dx diverge.

2.( )

∫−

30 321 x

dx

( )( ) 321

1

−=

x x f Si ( ) x f x 1= se hace ∞

( )∫

−

30 32

1 x

dx = −→ 1

lim

b

( )∫ +

−

b

x

dx0 32

1 +

→ 1

lim

c

( )∫

−

332

1c

x

dx

⇒ −→ 1lim

b ( )∫ =−−b dx x0

321 −→ 1

lim

b ( ) ( ) 3311033113 =−−−b

⇒ +→ 1

lim

c ( ) =−−∫3 321c dx x +→ 1

lim

c ( ) ( ) 3 23311331133 =−−− c


35/41

APUNTE DE CÁLCULO


Como los límites existen la integral converge.

3. ∫∞

11

dx xe

∞+→b

lim =−∫b dx xe1 ∞+→b

lim = −−

1

b xe∞+→b

lim 1−+−− ebe

∞+→b

lim

eebe

111 =

+

− ∴ ∫

∞1

1dx xe

Converge

4. ∫∞

=1 2

1dx

x ∞→nlim ∫ =n dx

x1 21

∞→nlim =

− n x 1

1∞→n

lim 111 =

+−n

∴ La Integral Converge

5. =∞ −∫0 dx xe ∞→n

lim ∫ =−n dx xe0' ∞→nlim e−−

0

n=

∞→nlim 116 =+−− e

6. =∞

+∫0 121

dx x ∞→n

lim

∫ =+

4

0 12

1dx

x ∞→n

lim [ ] xtg Arc0

n

=∞→n

lim [ ] 2n π =tg Arc

7. =∞

∫0 dx x senn

n 0lim

∞→ =dx x sen

∞→nlim [ ]

n x 0cos

−

=∞→n

lim ( )( )ncos1 −

Como ( )ncos no tiende a un límite cuando ∞→n , la integral

∫∞0 dx x sen Diverge.

8. ∫∞

=−0

2 dx x xe∞→n

lim ∫ −n dx x xe02

=∞→n

lim

−+−− ∫n dx xe

n x xe 02

21

02

21 (I. P. P)


36/41

APUNTE DE CÁLCULO


= ∞→nlim

02

412

21 n x

e x

xe

−

−−−

=∞→n

lim

++−−−−

41

02412

21 nenne

=41 ( Ya que 0 n 2 e →- )

OTROS TIPOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

( ) =∞∞−∫ dx x f ∞−→nlim ( ) ++∫0 n dx x f ∞→n

lim ( )∫n dx x f 0

Los Integrales de la forma ( )∫∞∞− dx x f se aplican en Estadística.

EJEMPLO:

∫ ∫ ∫∞∞− ∞−

∞

++

+=

+

00 212121

dx xe

xedx xe

xedx xe

xe

=−∞→n

lim ( )∫+ +0 n dx x f ∞→nlim ∫

+

ndx xe

xe0 21

=−∞→n

lim ( ) xe Arctg n

0 + ∞→n

lim ( ) xe Arctg 0

n

=−∞→n

lim +− ne Arctg 4π

∞→nlim −

4

π ne Arctg

= 24204 π π π π =−+− Converge

OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL

En una cierta comunidad, la demanda de gasolina está creciendoexponencialmente a un ritmo de 5% por año. Si la demanda actual es de 4millones de galones por año, ¿Cuánta gasolina se consumirá en lacomunidad en los próximos 3 años?


37/41

APUNTE DE CÁLCULO


SOLUCION:

Sea ( )t Q el consumo total de gasolina de la comunidad en lospróximos t años. Entonces,

=dt dQ Ritmo de consumo t e 05,04= Millones de galones por año.

El consumo en los próximos 3 años ( ) ( )03 QQ −=

∫ =

−== 3

0 95,12115,08005,04 edt t e Millones de galones.

Se estima que dentro de t días la cosecha de un agricultor estaráaumentando a un ritmo de 16,02 3,0 ++ t t Bushels por día. ¿En cuántoaumentará el valor de la cosecha durante los próximos 5 días si el precio demercado permanece fijo en 3 dólares por Bushel?

SOLUCION: Sea ( )t Q el número total de Bushel cosechados dentro de t días.

=dt dQ Ritmo de aumento de la cosecha.

=dt dQ 16,02 3,0 ++ t t

Como el precio es fijo en US$ 3

Aumento ( ) ( )[ ] ( )∫ ++=−= 50 16,02 3,03053 dt t t QQ 5

02

2 6,0

3

3 3,03

==++⋅=

t

t t t t

( ) 7555,75,123 =++= Dólares

Un árbol ha sido trasplantado y después de x años está creciendo a un

ritmo de ( )( )21

15,0

++=

x x f metros por año ¿Cuánto crecerá el árbol durante

el segundo año?


38/41

APUNTE DE CÁLCULO


SOLUCIÓN:

Deberemos calcular ( )( )

∫ ∫+

+=21

21 21

15,0 dx

xdx x f

( )∫ ∫ ∫ ++

−=+

−=+

−

−=−==

+c

xc

uc

uduu

u

du

x

dx1

111

12

221

( )∫ ∫ =+−−==

=+

−+=

==

++= 2

1

2

1 32

21

31

5,012

1112

15,0215,0 x

x x x

x x x

dxdx metros.

R: 0,6 metros

EL VALOR MEDIO DE UNA FUNCION

El valor medio de una Función Continua ( ) x f sobre el intervalob xa ≤≤ ; viene dado por la fórmula:

EJEMPLOS:

1. Los registros indican que t horas después de la medianoche, latemperatura en el aeropuerto local era de ( ) 10t42 3,0 ++−= t t f GradosCelsius ¿Cuál fue la temperatura media en el aeropuerto entre las 9:00 A. M.y mediodía?

SOLUCION

12 9 == ba

Valor Medio ( )∫ ++−−=129 104

2 3,0912

1dt t t

Valor medio ( )∫−= b

a dx x f

ab1


39/41

APUNTE DE CÁLCULO


Valor Medio

++

−= t t

t 102 2

3

3 3,0

3

1

9

12

=

=

t

t

+⋅+

⋅−−+⋅+

⋅−= 90292

3

393,01202122

3

3123,031

( ) C o 7,181,5631 ==

2. T.V.M. Integrales.

Después de t minutos de un experimento el número de bacterias presentesen un cultivo era de ( ) t et Q 05,0 2000= ¿Cuál fue el número medio de bacteriasdurante los 5 primeros minutos del experimento?.

3. Los registros indican que t meses después del principio del año, elprecio de la carne tipo v en los supermercados era de ( ) 6,12,02 09,0 +−= t t t P dólares por libra ¿Cuál fue el precio medio de la carne tipo v , durante los 3primeros meses del año?

EJERCICIOS:

Integre y compruebe sus resultados derivando 9. ∫ xdx sen xe 2

10. ∫ − dxe x 12

11. ∫ − dx x x 1

12. ∫ dx x x cos 13. ∫ dx sen xe 2

14. ( )∫ dx x x 2ln

15. ( )∫ + dx x x 1ln

dx x sen

xdx x

xdx x

xdx

dx x

senxdx x

xdx x

∫∫∫∫

∫∫∫

2 .22

3tan9 .21

csc 20.

sec .19

)(ln .18

.17

ln .16

2212

3

2

2


40/41

APUNTE DE CÁLCULO


∫∫∫∫∫∫∫

−

2/

04

2

1

3

3

cos .29

ln .28

24 .27

cos .26

3cos .25

2 .24

2 .232

π xdx

xdx x

xdx xsen sen

bxdxe

xdxe

xdx sene

dxe x

ax

x

x

x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+−

+−

−+

−−+

−−+

+−

++

++

++−

−++

dx x x

x x

dx x x

x x x

dx x

x x

dx x x

x x

dx x x

x x x

dx x

x x

)4()1(

32 .35

)2()1(

32 .34

27

12 .33

23

32 .32

23

32 .31

243

.30

22

2

22

23

32

2

2

2

23

2

Calcule las siguientes integrales.

36) ∫ xdxtanx 4cos 40) ∫ dx x x

4

2

cossen 44) ∫ xdx xtan 2sec2 2

37) ∫ dx x

x3csc

cot 41) ∫ ) x( 2sen

5 45) ∫ dx x x

sencos 3

38) ∫ dx x x )(sen 23 42) ∫ xdx4cot 46) ∫ xdxtan 2


41/41

APUNTE DE CÁLCULO

39) ∫ xdx2sec 4 43) ∫ − dx xe x2

47) ∫− x

x

e

dxe

23

48. Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo , para calcular lasintegrales definidas siguientes.

( )

( )

( )

( )

x x dx

x x x dx

x x dx

x x dx

2

1

2

4 2

1

0

32

12

1

3

3 2 30

2

5

3 2 5

2

2 4 1

+ −

+ −

+

− +

∫∫∫∫

−

x x

xdx

x x dx

x xdx

t dt x

x

2

1

9

0

2

2 2

1

1

1

1

1 2 6

6 29

1 0

+ +

+ +

+ −

>

∫

∫

∫

∫−

( )( )

( )

;

49. Haga alguna sustitución trigonométrica para calcular las siguientesintegrales definidas e indefinidas.

2

5

9

2 7

2

3

2

3

2

dx

x x x dx

x x dx

x

−

−

+

∫

∫

∫

dx

xdx

x x x dx

x

4

9

4

20

1

26

2 3

3

20

2 3

−

−

+

∫

∫

∫

−

−

50. En los problemas siguientes determinar si las siguientes integralesimpropias son convergentes, defina la integral impropia en cada caso.

a) ∫∞

12 x

dx b) ∫∞

+0 23

)1( x

dx c) ∫∞

1 xdx d) ∫ <

1

0

1 p p x

dx

e) ∫ −1

01 xdx f) ∫

−

−1

1

3dx x g) ∫−

−1

8

3/2 dx x h) ∫4

1

0

2

secπ

tanx

xdx

51. Comprobar que: ( )∫∞ −

=−−1

11

edx xe x

apunte 7 - métodos de integración

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