mÉtodos de integraciÓn y diferenciaciÓn.pdf

8/17/2019 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN.pdf

1/23


2/23

DIFERENCIACIÓN EINTEGRACIÓN NUMÉRICA Derivación numérica. La derivación numérica es una t

análisis numérico para calcular una aproximación a launa función en un punto utilizando los valores y propiemisma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:


3/23

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (parserán: Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrás:


4/23

La aproximación de la derivada por este método entreresultados aceptables con un determinado error. Paraerrores se estima que el promedio de ambas entrega l

aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:


5/23

REGLA TRAPEZOIDAL DEINTEGRACIÓN


6/23

Introducción

Las formulas de Newton-Cotes son los procedimientos mas

integración numérica, se basan en la estrategia de reempfunción complicada o datos tabulados con una función aque sea fácil de integrar, estas son:

La regla de integración trapezoidal.

La regla de Simpson

Estas reglas están diseñadas para los casos en los que los dintegrarse están espaciados de manera uniforme.


7/23

Regla Trapezoidal Sencilla

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera formulas cerradas de Newton-Cotes, es decir, para cuvalores de la función en los extremos de los limites de inson conocidos.

Con este método se obtiene una aproximación del árecurva de una función dividiéndola en n sub áreas de aaproximando el área de cada sub área mediante un t


8/23

Uno de los problemas matemáticos mas frecuentes es del área que se forma al graficar una función.

Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalenteaproximar el área del trapezoide bajo la línea que conf(b).

a b

f(a)

f(b)


9/23

Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximde primer orden.

En donde corresponde a una línea recta que secomo:

El área bajo la línea recta es una aproximación de la int

()entre los limites a y b:

El resultado de integración es:

()

⋅ ()

) ⋅ ( ⋅ + ⋅

+ ⋅

⋅


10/23

SEGMENTOS MÚLTIPLE


11/23

Una de las formas de mejorar la exactitud de la reglatrapezoidal es dividir en intervalos de integración “a”un numero de segmentos y aplicar el método a cadellos.

Las áreas de segmentos individuales se pueden ento

agregar para dar la integral para todo el intervalo. Lecuación resultante son llamadas formulas de integrmúltiple aplicación o compuesta.

a b

f(x)

x


12/23

En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y sintegral sobre el intervalo completo.

Por consiguiente, hay n segmentos de igual anchura:

Si a y b se igualan a 0 y a n (puntos base igualmente espaciaintegral total se representa como:

1 2

0 11

...

n

n

X x x

X x x I f x dx f x dx f x dx


13/23

Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integse obtiene:

Agrupando términos:

Usando la ecuación de la regla trapezoidal de aplicación múltla forma general, se obtiene:

1 0 2 1 ...

2 2 2

n f x f x f x f x f x f x I h h h

⋅ + ⋅ =− +

1

0 1

1

2

2

n

n

i

f x f x f x

I b an

Altura promedioAncho


14/23

Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación sobtener al sumar los errores individuales de cada segmen

El error para la regla trapezoidal se puede simplificar y se rcomo:

= ″

″ ″


15/23

REGLA DE SIMPSON


16/23

REGLA DE SIMPSON 13Otra forma de obtener una estimación más exacta de la integralpolinomios de orden superior para conectar los puntos.

Por ej., si hay un punto extra a la mitad delcamino f (a) y f (b), los tres puntos se puedenconectar en una parábola. Fig. 12.

Si hay dos puntos igualmentef (a) y f (b), los cuatro puntos scon un polinomio de tercer o

Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo

polinomios son conocidas como Regla de Simpson.

Fig. 12 Fig. 13


17/23

La Regla de Simpson 1/3 resuelta cuando una interpolación posegundo orden es sustituida en la ecuación:

Si a y b se designan como xo y x2 y f 2(x) es representada por un Lagrange de segundo orden y la integral se transforma en:

Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente

Ec

f x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x I

x

x

2

0))((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((

1202

101

2101

200

2010

21

)()(4)(32

)(

)()(4)(3

210210 x f x f x f

ab

x f x f x f h

I


18/23

Esta ecuación es conocida como Regla de Simde 1/3. Es la segunda fórmula de integración

cerrada de Newton-Cotes.

6

)()(4)()( 21

x f x f x f ab I o

Ec. 8

La especificación “1/3” surge del hecho de questá dividida entre 3 en la ecuación anterior.

Recuerde que x1 es el pumedio entre a y b.


19/23

REGLA DE SIMPSON 1/3 DE APLICACIÓNMÚLTIPLE

La Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos elintervalo [a,b] en n subintervalos, todos de la mismalongitud

Sea la partición que se forma al hacer dicy

sea el conjunto de los untos medios de los

Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

ii x xPm ,1


20/23

Al sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de las integra

)(2...

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2 232121 no

x f h

x f x f x f h

x f x f x f h I

Combinando términos y sustituyendo nos queda:

Fig. 14: Representación gráfica de laRegla de Simpson 1/3 de aplicaciónmúltiple. El método se puede emplearsólo si el número de segmentos es par.

n

x f x f x f x f

ab I

n

i

i

n

i

mo

6

)()(2)(4)(

)(2

1

11

Ec. 9


21/23

REGLA DE SIMPSON de 3/8En una manera similar a la derivación de la Regla de Simpson 1de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos

Para obtener:

Donde .

Esta ecuación se llama Regla e Simpson de 3/8 debido a que multiplica por 3/8.

NOTE QUE x1 Y x2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTESINTERVALO [a,b].


22/23

Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Code Simpson 3/8 se puede expresar también de la forma:

Fig. 15: Ilustración de cómo se puede usaren conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y3/8 para menejar aplicaciones múltiples connúmeros nones de intervalos.


23/23

REGLA DE SIMPSON de 3/8 MÚLTAl igual que en los casos anteriores, la Regla de Simpson de 3/8 se puextender si subdividimos el intervalo [a.b] en n intervalos de la misma

Sea la partición determinada de esta forma. Cada

lo dividimos en tres partes iguales, y sean y

los puntos determinados así:

Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalo

1

11

)()(2)()(3)(8

)(n

i

ni

n

i

iio

b

a

x f x f z f y f x f n

abdx x f

mÉtodos de integraciÓn y diferenciaciÓn.pdf

Documents