La Integral

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operacionesinversas. Por ejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y ladivisin es la inversa de la multiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin es laintegracin

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin.integracinEn otras palabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar quefuncin ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso deintegracin radica en la comprensin del proceso de la diferenciacin.

Supongamos que dado un funcin , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Funcin OrigenFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Obtiene

ddx f x Funcin Derivada

1

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada de una cierta funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar la funcin , la cual fue derivada (diferenciada).

Nota: A esta funcin , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva o la funcin inicial.

La idea grfica es:

f(x)

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Dado

f x dx f x'

Obtener

Funcin Derivada

Aplicando elOperador Antiderivada

As por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada ,

donde

Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada paraencontrar la funcin origen o primitiva que fue diferenciada.

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

F uncin D erivadaFuncin Prim itiva

F uncin In icia l

f'(x)

f x dx f x'

F uncin D erivada

A plicando el O peradorAntiderivada(INTE G R AL)

A plicando el O peradorD E RIV AD A

ddx f x

Matemticamente hablando diremos. Sea:

Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operacin de ahora en adelante como , con elantiderivada Integral

smbolo "operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:

Donde:

Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la funcin origen"

A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:

f x x3

3

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f x x 2

f x dx f x'

Funcin Derivada

Aplicando el OperadorAntiderivada(INTEGRAL)

Operador DERIVADA

ddx

x x3

2

3

ddx

x x

ddx

x x

ddx

x C x

32

32

32

31

32

3

Conclusin:

- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tiene infinitassoluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la mismaderivada.

Definicin:

Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas ydan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como:

; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o

negativa)

A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama IntegralIndefinida de .

Observacin:

(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de laforma tiene derivada

(2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas decada problema particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asignaun valor a .

(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una funcin dealguna variable y entonces permanece indefinida.

En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas, yaque a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria paraobtener otra Antiderivada.

Mtodos de Integracin

Regla de Integracin.

La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar lafuncin cuya derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatasque deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de laintegracin.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la funcin Constante:

2.La integral de una y una . Sea la funcin funcin constante

3.Sea

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante deintegracin.

1.

2.

3. ; con

4.

5.

6.

Para funciones trigonomtricas

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

14. 15.

16.

17. 18.

Para funciones trigonomtricas inversas

19. 20.

Otras integrales

21.

22.

23.

24.

Ejemplos resueltos de integracin aplicando las reglas bsicas de integracin.

1.

2.

3.

4.

Ejemplos propuestos.

1.

2.

3.

4.

5.

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

MTODOS DE INTEGRACIN

Integracin Por Cambio De Variables (Integracin por sustitucin)

Definicin:

Este mtodo consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata.Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

Cundo se utiliza?

Sea una funcin, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradasen forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una y la funcin cambia devariable auxiliarvariable, para posteriormente ser integrada en forma directa.

dxxx

22 Cambio de Variable:Sea

xdxduxu 222

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en trminos de la nueva variable

tenemos:

Ejemplos resueltos: Integracin por cambio de variables

Caso de la funcin exponencial:

1. Donde:

Para la variable inicial

2.

Sea: Entonces

Para la variable inicial

Nota: Cada vez que aparezca una funcin exponencial como en los casosanteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente

3.

Sea:

Para la variable inicial

Caso del logaritmo natural:

1.

Donde

Para la variable inicial

2.

Donde:

Para la variable inicial

Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar ser el

denominador siempre que se cumpla con la condicin

Caso de funciones trigonomtricas con argumento:

1.

Sea:

Para la variable inicial

2.

Sea:

Entonces:

Para la variable inicial

Nota: en las funciones trigonomtricas el candidato a variable auxiliar es elngulo siempre que su derivada sea consistente con los otros trminos.

Caso de la regla de la cadena:

1.

Sea:

Entonces:

Para la variable inicial

2.

Donde: / Factorizando por

Para la variable inicial

Integracin Por Partes.

Cundo se usa?

Cuando una funcin que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos resolver por partes a travs de otra integra. Antes veremos una frmulafundamental para este tipo de integracin.

La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:

Reordenando los trminos:

Aplicando el operador integral:

Tenemos:

Esta es la frmula fundamental para la integracin por parte. Esta frmula sugiere

el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo , podr realizarse en

funcin de una integral diferente del tipo: .

Definicin:

Sea una funcin que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta funcin se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo aclaratorio:

La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la ms directo o

menos complicado que la integral original

dxduxu

vduuvudv

vdu

integralesde formulario ver xdxvxvxdxdv sencossen

xxdx sen

Aplicando la frmula de integracin por partes:

Por frmula tenemos:

vduuvudv

dxxxxxxdx )cos(cossen

cxxx

xdxxcox

sencos

cos

Cxxdx sencos

Algunos de los casos ms usuales son

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, slo se conocede l su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante

Ejemplos

2

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o porsustitucin simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situacin es la potencia y lo restante.

Ejemplos

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o porsustitucin simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la eleccinde es arbitraria, pero debe conservarse la caracterstica de la funcin elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por parte en el ejercicio.

Ejemplos

Se resolver primero considerando

Se resolver ahora considerando

Este ejemplo muestra que la eleccin de es absolutamente arbitraria.

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es: