métodos de integración por cuadraturas:
DESCRIPTION
Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b):. Para ello tomamos n+1 puntos: (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ), …, (x n ,y n ) donde x 0 ≠ x 1 ≠... x n y buscamos un polinomio p 2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que:. P 2n+1 (x i ) = y i , i = 0,1, …,n. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Métodos de integración por cuadraturas:
Para ello tomamos n+1 puntos: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que:
P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n
p2n+1(x) =a0 +a1x+a2x2 +K +a2n+1x
2n+1 ,
ai ∈R , i =0,1,K ,2n+1
Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b):
y(x)dxa
b
∫
Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:
y(x)dxa
b
∫ ≈ p2n+1(x)dxa
b
∫
Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio deinterpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n).Lo podemos escribir del modo siguiente:
p2n+1(x) =x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ yii=0
n
∑ + x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)
donde qn(x) es un polinomio de grado n Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Sino es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :
y(x)dx−1
1
∫ ≈x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ yii=0
n
∑ + x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx
−1
1
∫
y(x)dx−1
1
∫ ≈ x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ yi dx−1
1
∫i=0
n
∑ + x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫
y(x)dx−1
1
∫ ≈x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ yii=0
n
∑ + x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx
−1
1
∫
La primera integral se puede re-escribir como:
x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ yi dx−1
1
∫i=0
n
∑ = yiwii=0
n
∑ , donde los
factores de peso wi = x−xj( )
xi −xj( )j=0j≠i
n
∏ dx−1
1
∫
La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero:
x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫ =0
Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos unabase ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces:
x−xj( )j=0
n
∏ = bkgk(x)k=0
n+1
∑
qn(x) = ckgk(x)k=0
n
∑ luego la integral se puede escribir como:
x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫ = bkcl gk(x)gl(x)dx−1
1
∫l=0
n
∑k=0
n+1
∑
x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫ = bkcl gk(x)gl(x)dx−1
1
∫l=0
n
∑k=0
n+1
∑
Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}:
x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫ = bkcl gl (x)2
l=0
n
∑k=0
n+1
∑ δlk
x−xj( )j=0
n
∏ qn(x)dx−1
1
∫ = bkck gk(x)2
k=0
n
∑
luego, para que la integral sea cero basta escoger:
bk =0 , k=0, 1,K , n
x−xj( )j=0
n
∏ =bn+1gn+1(x)
x−xj( )j=0
n
∏ =bn+1gn+1(x)
y, para que se cumpla:
basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x)
Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser losPolinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombrede: Cuadratura de Gauss-Legendre.
Ejemplo:
cos(x)dx−1
1
∫ = sen(x)[ ]−11
=sen(1)−sen(−1) =2sen(1) =1.682942
¡¡¡EN R
ADIANES!!!
Tomando n=1 (2 puntos):
x0 ≈−0.5773503 ; x1 ≈0.5773503
cos(x)dx−1
1
∫ ≈ yiwii=0
1
∑ = cos(xi)wii=0
1
∑ =cos(x0) +cos(x1)
cos(x)dx−1
1
∫ ≈cos(−0.5773503)+cos(0.5773503)≈1.6758236
Tomando n=2 (3 puntos):
x0 ≈−0.7745967 ; x1 =0 ; x2 ≈0.7745967
cos(x)dx−1
1
∫ ≈ yiwii=0
2
∑ = cos(xi)wii=0
2
∑
cos(x)dx−1
1
∫ ≈w0 cos(x0)+w1cos(x1) +w2 cos(x2)
cos(x)dx
−1
1
∫ ≈0.) 5 cos(−0.7745967) +0.
) 8 cos(0)+0.
) 5 cos(0.7745967)
cos(x)dx−1
1
∫ ≈1.6830035
valor exacto≈1.682942
ε≈1.6830035−1.682942≈6.15e−5
Por trapecios (3 puntosh=1
cos(x)dx−1
1
∫ ≈h12
cos(x0) +cos(x2)( )+cos(x1)⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
cos(x)dx−1
1
∫ ≈112
cos(−1) +cos(1)( )+cos(0)⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
cos(x)dx−1
1
∫ ≈1.5403023
valor exacto≈1.682942
ε≈1.5403023−1.682942≈−0.14
Por Simpson (3 puntosh=1
cos(x)dx−1
1
∫ ≈h3
cos(x0)+cos(x2) +4cos(x1)[ ]
cos(x)dx−1
1
∫ ≈13
cos(−1)+cos(1)+4cos(0)[ ]
cos(x)dx−1
1
∫ ≈1.6935349
valor exacto≈1.682942
ε≈1.6935349−1.682942≈0.01
Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):
x0 ≈−0.8611363 ; x1 ≈−0.3399810 ; x2 =0.3399810 ; x3 ≈0.8611363
cos(x)dx−1
1
∫ ≈ yiwii=0
3
∑ = cos(xi)wii=0
3
∑
cos(x)dx−1
1
∫ ≈w0 cos(x0)+w1cos(x1) +w2 cos(x2)+w3cos(x3)
cos(x)dx−1
1
∫ ≈0.3478548cos(−0.8611363) +cos(0.8611363)[ ]+
+0.6521451cos(−0.3399810)+cos(0.3399810)[ ]
cos(x)dx−1
1
∫ ≈1.6829417 valor exacto≈1.682942
ε≈1.6829417−1.682942≈−3.2e−7
Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente cambio de variable:
f (x)dxa
b
∫
t=2x−(a+b)
b−a⇒ x=
12
b−a( )t+a+b[ ]⇒ dx=b−a
2dt
=b−a
2f
12
b−a( )t+a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ dt
−1
1
∫
f (x)dxa
b
∫ =b−a
2f(xi )
i=0
n
∑ wi =b−a
2f
12
b−a( )ti +a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
i=0
n
∑ wi
los valores de la tabla
Ejemplo:
lnx dx1
3
∫ = xlnx−x[ ]13
=3ln3−3+1≈1.2958369
Tomando n=2 (3 puntos):
t0 ≈−0.7745967 ; t1 =0 ; t2 ≈0.7745967
lnx dx1
3
∫ ≈b−a
2f
12
b−a( )ti +a+b[ ]⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
i=0
2
∑ wi
xi =12
b−a( )ti +a+b[ ]⇒ x0 ≈1.2254033, x1 ≈2, x2 ≈2.7745967
lnx dx
1
3
∫ ≈0.) 5 ln(1.2254033) +ln(2.7745967)[ ]+0.
) 8 ln(2)
lnx dx1
3
∫ ≈1.2960061
Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos lasiguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:
erf(x) =2π
e−t2dt0
x
∫
erf(0.5)=2π
e−t2dt0
0.5
∫
z=2t−(0+0.5)
0.5−0⇒ t=
z+14
⇒ dt=dz4
=2π
14
e− z+1
4
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2
dz−1
1
∫
erf(0.5)=1
2 π{0.5688889 e
−116 +0.4786297 [e
−−0.5384693+1
4
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2
+e−
0.5384693+14
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2
]+
+0.2369269 [e−
−0.9061798+14
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2
+e−
0.9061798+14
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2
]}≈0.5204999
Calcular:
e−xcos2x dx−1
1
∫
x x−1 dx1.5
2
∫
cos x dx1
2
∫
e−xcos2x dx−1
1
∫ =−5+cos2−2sen2
10e+e10
5+cos2+2sen2( )≈1.6386376
Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):
x0 ≈−0.7745967 ; x1 =0 ; x2 ≈0.7745967
e−xcos2(x)dx−1
1
∫ ≈ yiwii=0
2
∑ = e−xi cos2(xi)wii=0
2
∑
e−xcos2x dx−1
1
∫ ≈w0e−x0 cos2x0 +w1e
−x1 cos2 x1 +w2e−x2 cos2 x2
e−xcos2x dx−1
1
∫ ≈89
+59e
−35 +e
35
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ cos2
35
e−xcos2x dx−1
1
∫ ≈1.6353975
¡¡¡EN R
ADIANES!!!
Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
e−xcos2(x)dx−1
1
∫ ≈ yiwii=0
3
∑ = e−xi cos2(xi)wii=0
3
∑
e−xcos2x dx−1
1
∫ ≈1.638712
x0 ≈−0.8611363 ; x1 ≈−0.3399810 ; x2 =0.3399810 ; x3 ≈0.8611363
e−xcos2x dx−1
1
∫ ≈0.3478548 e0.8611363+e−0.8611363( )cos2(0.8611363)[ ]+
+0.6521451 e0.3399810+e−0.3399810( )cos2(0.3399810)[ ]
¡¡¡EN R
ADIANES!!!
x x−1 dx1.5
2
∫
z=2x−(1.5+2)
2−1.5⇒ x=
z+74
⇒ dx=dz4
=z+7
4−1
1
∫z+7
4−1
dz4
=132
z+7( )−1
1
∫ z+3 dz
Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):
I ≈132
89
7 3+59
−35
+7⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −
35
+3+35
+7⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
35
+3⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
I ≈0.759157
Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
I ≈132
{0.6521451 [(−0.339981+7) −0.339981+3+
+(0.339981+7) 0.339981+3]+
+0.3478548 [(−0.8611363+7) −0.8611363+3+
(0.8611363+7) 0.8611363+3]}
I ≈0.760254
Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):
I ≈132
{0.5688889 (7 3) +
0.4786287 [(−0.5384693+7) −0.5384693+3+
+(0.5384693+7) 0.5384693+3]+
+0.2369269 [(−0.9061798+7) −0.9061798+3+
(0.9061798+7) 0.9061798+3]}
I ≈0.760254
cos x dx1
2
∫ = wi f(zi )i=0
n
∑ ; zi =b−a
2xi +
a+b2
Tomando n=1 (2 puntos):
x0 =−13
; x1 =13
z0 =12x0 +
32
≈1.2113249 , z1 =12x1 +
32
≈1.7886751
I ≈12
cos 1.2113249+cos 1.7886751[ ]
I ≈0.3421646¡¡¡E
N RADIANES!!!
Tomando n=2 (3 puntos):
x0 =−35
; x1 =0 ; x2 =35
z0 ≈1.1127017 ; z1 ≈1.5 ; z2 ≈1.8872983
I ≈12
89
cos 1.5+59
cos 1.127017+cos 1.8872983( )⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
I ≈0.3421648
Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5):
cos x dx1
2
∫ ≈12
3cos 1+cos 2 +cos 1.5[ ]≈0.342165
Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):
cos x dx1
2
∫ ≈143
[cos 1+cos 2+
+2cos 1.5+4(cos 1.25+cos 1.75)]
cos x dx1
2
∫ ≈0.3421648