'

La función variable real "F" es UNA antiderivada de la función "f", si

Dom(f) f coincide con F, e

n f

LA

orma

ANTIDERIV

simbólica : ( ) (

AD

A

)x F′∀ ∈ = ∀ ∈

0 03 2

' 2

Dom(f). Además si f es continua en x Dom(f) entonces F es derivable en x

1.- ( ) es UNA antiderivada de ( ) 3 puesto que ( ) 3 ( ) 2.- ( ) sec(5

Ejemplo 1

)

: F x x f x xF x x f x

F x x

∈

= =

= =

= +

x f x x

'

3 4

4

55 es UNA antiderivada de ( ) 5sec(5 ) (5 ) porque ( ) 5sec(5 ) (5 ) ( ) 3.- UNA antiderivada de ( ) ( ) es

1 ( ) cos( ) (compruebe este resu4

f x x tg x F x x tg x f xf x x sen x

F x x

= = ⋅ =

=

= −

'

2 '2

2'3 23 3

'

ltado derivando F(x))

Recordemos, 1 ( ( )) = x

1 2 (ln(x )) 2x

1 (6 3) ln(2x 3 1) (6 3)(2 3 1) (2 3 1)

1 1 ln(ln(ln(x)))

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5( ( )

:)

ln x

xx

xx xx x x x

ln ln x ln

= ⋅ =

+⎡ ⎤+ + = ⋅ + =⎣ ⎦ + + + +

= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

'' '

1( )

Si , con 0, 1, 0 tenemos = aplicamos ln,

1 1 1 ( ) ( ) ( ) = ( ) =ln

Ej

( ) ( ) l

emplo 6:

Ejemplo

n(a) x

l e 7: (

ay

a

a

x xy log x a a x

y log x a x

y ln a ln x y ln x y ln x ya ln a

og

⋅

= > ≠ >

= ⇔

⎛ ⎞⋅ = ⇔ = ⋅ ⇔ ⋅ ⇔ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

2 2

'

2 ' 2 ' 2

1 ' 1

1 1'

1) ( ) 1 luego ( ) (e)

( ) ( ) de Derivadas exponenciales: i) ( ) ( ) (2 ) ( ) 2

ii) ( ) ( ) (2 1)

1 iii) ( )

Ejemplo 8:

(

Ej mplos

)

e

a a

x x

x x x

x x x x

x x

ln a log x logx

a a ln a

a a ln a x a ln aa a ln a x

a a ln a

+ + + +

⋅ = = ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅' 1

21( ) xa ln a

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

'

3

21

'2

2

de logaritmos:5 Encuentre: ?

(2 7)

( ) 5 1 5 apliquemos 2 2 7( ) 2 (2 7) 2

Encuentre: ?(10 )

( ) 1 2 1 apliquemos 10(

Solución:

Ej

) 2 (

emplo

10 )

S

s

oluc ón:

2

i

dxx

f x dx dx ln x Cf x x

x dxx

f x xdx dx ln xf x x

−

=+

= ⋅ = + ++

=−

− ⎡ ⎤= − = − −⎢− ⎣

∫

∫ ∫

∫

∫3

13 3

' ' ' ' 2 '

' '

1 1 1(1) (9) (9)2 2 2

Ejemplo: Encuentre la derivada Solución:

de ( ) ( )

1 (3 ( )) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) 3 ( ( )) ( ( ))

ln ln ln

y ln x ln x

y ln x lnx lnx lnx lnx lnx lnx lnx lnxx

ln x ln xy ln x ln x lx x

−

= − + =⎥⎦

= +

⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= ⋅ + + ⋅ ⋅

∫

'

'

' 2

( ) ( ) ( ( ))

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 ( ) ( ) 3 3 (1 ( ) ( ) (1 )

n x ln x ln x

ln x ln x ln x ln x ln x ln xyx x x x

ln x ln xy ln x ln x ln xx x x x

⎡ ⎤+ ⋅⎣ ⎦

⋅ ⋅ ⋅= + + +

⋅= + = + ⋅ = +

3 42 4

4

3 3 3' 4 4

4 4

Sigamos con antiderivadas :(1 ) 1 Una antiderivada de ( ) es ( ) (1 ), compruebe:

Solu(1 ) 8

1 4 4 2 4( ) ( ) (1 ) (1 )

La Antideri

Ejemplo 1 :

va

ción:

8

d

(1 ) (1 ) 8

a

(1

x ln xf x F x ln xx

x x xf x F x ln x ln xx x

+= = +

+

⎡ ⎤ ⋅= = ⋅ + + + ⋅ =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

44

34

4

22

'2 2

(1 ))

( ) (1 )(1 )

La antiderivada de ( ) es ( ) 1, compruebe:1

1 2( ) ( )2 1 1

La antiderivada de la función nula es lNOTA

Solución

a función const

Ejemplo

:

:

2:

ln xx

xf x ln xx

xf x F x xx

x xF x f xx x

⎡ ⎤⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ⋅ ++

= = −−

= = ⋅ =− −

' '

Ejemplo

ante, es decir, si ( ) 0 ( )

( ) 0 ( ) 3comprobemos, ( )

3: ( ) (3) 0

f x F x Cf x F x

F x f x

= ⇒ =

= ⇒ =

= = =

[ ][ ]

La noción de la suma de Riemann "Una función definida en a,b , continua e integrableen a,b y sea F una antiderivada cualquiera de f en él, entonces:

( )

La Integral Definid

Ejemplo

( ) ( )

1: D m

a

e

b

a

f x dx F b F a= −∫

'

uestre que ( ), cte.

( ) , es una antiderivada de ( ) , aplicando el teorema fundamental del cálculo se tiene que:

( ) ( ) ( )

Ejemplo 2

Solució

Demuestre que :

n:

b

a

b

ab

a

kdx k b a k

F x kx f x k

kdx F b F a kb ka k b a

xdx

= − =

= =

= − = − = −

∫

∫2 2

2

2 2

55 32

2 22

22 2 31

1

41/3 3

2 2

( ) es una antiderivada de ( )2

( ) (

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemp

)2 2

125 8 393 3 3

(4 6 ) 2 2 (8 16) (2

l

2) 12

( )o 5

Solución:

:

b

a

b a

xF x f x x

b axdx F b F a

xx dx

x x dx x x

x x

−−

= −

= =

∴ = − = −

⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− = − = − − + = −⎣ ⎦

+

∫

∫

∫

∫88 4 7

3 3

11

2 2

3 3 3 3(16 1) (128 1)4 7 4 7

3 3 1839

Ejemplo 6:

(15) (127)4 7 28

1 Verificar que: , es un( )

dx x x

dx xarctg Ca aa x

⎡ ⎤= + = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= + =

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫

∫

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a primitiva dada

1 1 1 1 1 1 1 10(

Soluc :

1

n

)

ió

d x aarctg Cdx a a a a a ax a x a a x a x

a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ + = ⋅ + = ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + +⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1+

2

Verificar que sec(t) sec( ) ( ) , es una primitiva dada

( sec( ) ( ) 1 (sec( ) ( ) sec ( )) sec( )(sec( ) ( ))

AHORA: Determinar una primitiva para una

Ejemplo

función

S

7

oluci

d

ón

d

:

a a

:

dt ln t tg t C

d ln t tg tt tg t t t

dx t tg t

= + +

+= ⋅ ⋅ + =

+

∫

3

43 3 1 4

32

'

:2 Determine F(x) para una función 3

2 2 2

Ejemplo 1:

Ejemplo

Como F'(x) F(x) F(x)3 3 (3 1) 12 6

Determine F(x) para una función 2

Soluci

x

Solución:

Como F (x) F(x) 3

ó

2

n

:

:

x dx

xx dx x C x C C

dx

xx C

+= → = + = + = + =⋅ +

= → = +

∫

∫

∫

3 2

3 2 3 2

4 3

Solución:

Determine F(X) para la siguiente función:25 3

2 1'( ) 5 3 5

La An

3 2

( ) 5 3 24 3

Determine F(x)

tiderivaEjemplo 3:

Ejemplo 4: para la

da

x x dxx

F x x x dx x dx x dx dxx x

x xF x lnx C

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

→ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

2

2'

2 2

2

'

siguiente función:

1

Desarrollando el binomio:2 1 1( ) 2 ( ) 4

2 Determine F(x) para la siguiente función:

sen ( )

Ejemplo 5:

Solución

(

:

So ci n:

)

lu ó

x dxx

dx dx xF x x dx xdx F x x Cxx xx x

x dx

F x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= + + = + + → = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

'

2

' 2

Sol

1 cos 2 1 1sen ( ) cos 22 2 2

1 1 1( ) cos 2 (2 )2 2 2

1 1( ) 2 cos2 4 2 Determine F(x) para la siguiente funEjemplo 6: ción:

sec (

u

)

( ) sec ( ) S

ció

l

n:

o

xx dx dx dx x dx

F x dx x d x

xF x sen x C x senx x C

x dx

F x x dx

−⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − ⋅

→ = − ⋅ + = − ⋅ +

= →

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ( )

( )

2

' 2 2 2

ución inmediata, F(x)

Determine F(x) para la siguiente funció

Solución:

Ejemp n:

( )

( ) ( ) sec ( ) 1

lo

sec ( )

:

)

7

(

tg x C

tg x dx

F x tg x dx x dx x dx dxF x tgx x C

= +

= = − = −

→ = − +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

2

Área en Coordenadas Cartesianas: La integral definida surge de un límite

de sumas de áreas de rectangulos ( )

Hallar el área que está baEjem jo l

Área Entre Curvas

a curva , sobre el eje p o 1: xl

b

a

f x dx

y x=

∫

[ ]

55 3 3 32

2 2

2

en el intervalo 2,5

5 2 117 393 3 3 3

Hallar el área de la región comprendida entre las cur

Solución:

Solución

vas :2( ) 6 5 , ( ) 25

Lo primero

Ejempl

e :

s

o 2:

x

xA x dx

f x y x x g x y x

∈

⎡ ⎤= = = − = =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = − + − = = −

∫

( )

2 2

1 2

5 3 22

0,6

buscar los puntos de intersección entre las dos curvas, se tiene entonces que:

26 5 - 2 0 5 28 15 05

Luego: 0,6 5

2 14 21Entonces: 6 5 25 3 5 5

x x x x x

x x

x x xArea x x x dx

⎛ ⎞− + − − = ⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎡⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫5

0,6

92,25⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 2

Soluci

Hallar el área de la región comprendida entre:( ) (2 ), ( )

Determinar primero los puntos de intersección entre las dos curvas:

(2 )Luego: 0

Ejemplo 3

ón

3

E

:

:x f y y y x g y y

y y yy y

= = − = = −

− = −

= =3

0

9ntonces: ( ) ( )2

Area f y g y dy= − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫

22

2 2

Dibujar un esbozo de la región acotada por las gráficas de:4( ) , ( ) 6 9

y dSol

eterminar el área de la región ución

para 0

( ) 6 9 ( 3)Cálculo de los puntos de

E

interse

jemplo 4:

:

f x g x x xx

x

g x x x x

= = − +

>

= − + = −

2 4 3 22

1 24 3 2

3 4

cción de curvas:4 ( 3) 6 9 4 0

Donde: 1 y 2 satisfacen la ecuación, por lo tanto:6 9 4 0 posee 4 raíces. Las otras 2 son:

3- 17 3+ 17= y = 2 2

En definitiva los puntos de in

x x x xx

x xx x x

x x

= − ⇔ − + − =

= =

− + − =

⇒

3

3+ 172 2

1 2

3+ 12

2 22 2

1 2

3+ 17 8tersección son: (1,4);(2,1); , ; 2 13+3 17

nótese que está fuera del rango para 0

Cálculo de Área:

( ) ( ) ( ) ( )

4 46 9 6 9

x x

Area g x f x dx f x g x dx

A x x dx x xx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

>

= − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫7

2

3+ 1723 3 22 2

1 2

4 4 25 173 9 3 9 173 3 2 6

dx

x xA x x x xx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + − − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

2

33 22 3

3 23 2

Calcular el área encerrada por la curva:24 y el eje 9

Gráfico e intersecciones:0 3 20 4

Cálculo de Área

Área Entre Cur

:

2 24 49

Soluc

Ejemplo 1:v

ión:

a

2

s

7

y x OX

y xx y

A x dx x x++

−−

= −

= → = ±

= → =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ( ) ( )2

3 3

3

2 212 2 3 2 12 2 3 227 27

424 2 (3 2) 16 227

A

⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

2

2

1 2

Solució

Calcular el área encerrada entre la parábola:2 9 36 y la recta: 2 3 0

Gráfico e intersecciones :2 249 3

Los punt

Ejemplo 2:

os son: 6 y 3Cálculo del área:

4

n:x y x y

y x y x

x x

Area

+ = + =

= − ∩ = −

= = −

=66 2

2 3

3 3

2 2 24 29 3 3 27

xx x dx x x− −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ 7

2

Encontrar el área encerrada por las curvas:4 , 2 1 0

Gráfico e intersección:La figura induce a considerar los elementos fundamentales de área

S

(franjas) en forma horizo

ol

n

E

ta

je

ució

mpl :

n:

o 3y x x y= + − + =

( ) ( )

( ) ( )

2

21

2

33 32 2

1 1

l.4 2 1

2 3 0 3( 3) ( 1) 0 1Cálculo de área:

1 12 1 4 3 9 1 3 53 3

x y x yy y yy y y

yArea y y dy y y−

= − ∩ = −

− − = ⇒ =

− ⋅ + = ⇒ = −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − = − + = − − + = + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

163 3

( )

2 4

2

11 3 52 4

0 0

Calcular el área encerrada por: y el eje

Gráfico de una función p

Ejemplo 4:

ar que corta al eje x en: 0 11 0 1 1

Solución:

2 2 2 2 423 5 3 5 15

y x x OX

x xx x x

x xArea x x dx

= −

= ∧ = ±

− < ⇔ > ∨ < −

⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

Calcular el área acotada por las curvas de ecuaciones:1( ) , ( ) , ( ) 2

Grafiquemos luego lo

Áreas E

s punto

ntre Curv

s de inteSolució

rsecció

Ejempl

nn formados por las cur

o 1

:

:

s:

,

as

va

f x y g x y x h y xx

y x

= = = = = =

=

( ) ( )22 2

2 3

1

2

1 2

1

1 elevando al cuadrado se tiene: 1 1

1 1 1Aclaremos: Si A es el área bajo la curva , entre 1 2

1y A es el área bajo la curva , entre 1 2

Área Pedida ,

yx

x x x x xx

x x x xy x x x

y x xx

A A

=

= ⇔ = ⇔ =

⇔ ⋅ = ⇔ = ⇒ =

= = ∧ =

= = ∧ =

= −

( ) ( )1 2

22 2 2 2 21 1 12 2 2

1 21 1 1

tal que

1 2 1 32 2 2 1 22 2 2 2P

A A

xA A A xdx dx xx

>

⎡ ⎤= − = − = − = − − − = − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ 2 1

4

0

2

4 1 2 42

0 0 1 2

Calcular ( ) donde f es la función definida por:

, si 0 1( ) 2, si 1 2

4 , si 2 4Notamos que f es discontinua en 1

( )

E

2

jemplo

(4 )

2: f x dx

x xf x x

x xx

xf x dx x dx dx x dx

⎧ ⎫≤ ≤⎪ ⎪

= ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪− ≤ ≤⎩ ⎭

=

= + + − =

∫

∫ ∫ ∫ ∫ [ ]1 43 2

21

0 24

0

2 43 2

1 13( ) 2 2 2 1 4 4 4 2 8 23 3

xx x

f x dx

⎡ ⎤ ⎡+ + −

⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

⇔ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + =∫

⎦