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Taller Uno
Antiderivadas
1. Encuentre las funciones antiderivadas de:
a) f(x) = 3x2 + 2x+ 1
b) h(t) = − 1
t2
c) m(s) = s5/2 − 5
s4
d) p(x) =√x(1− x2)
e) i(x) =2x4 − 3x3 + 5
7x2
f ) f(z) = tan2 z
g) d(t) = 4 sin(2πt)− 2 sin(4π)
h) n(x) = 3ex + 7sec2x
i) l(u) = senu+ 2 senhu
j ) v(x) =senx
cos2 x
k) u(x) =x2 + 1√
x
l) q(x) = 3√x(x− 4)
m) r(θ) = 2 + tan2 θ
2. La antiderivada de x senx es
a)x2
2senx+ C b) −x cosx+ C c) −x cosx+ senx+ C
3. La antiderivada de tanx sec2 x es
a)sec3 x
3+ C b)
1
2tan2 x+ C c)
1
2sec2 x+ C
4. ¿Cual de las siguientes graficas muestra la solucion del problema de valor inicialdy
dx= −x,
y(−1) = 1
Fig 4
5. Halle f
a) f ′(x) = 2ex + secx tanx
b) f ′′(x) = 6x+ cosx
c) f ′′′(t) = et
d) f ′′(θ) = sin θ + cos θ, f(0) = 3, f ′(0) = 4
e) f ′′(t) = 2ex + 3 sinx, f(0) = 0 f ′(π) = 0
6. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/seg a partir de unaaltura inicial de 80 pies.
Encontrar la funcion posicion que expresa la altura s en una funcion del tiempo t.
¿Cuando llegara la pelota al suelo?
1
7. Muestre que las funciones claramente distintas F1(x) =1
1− xy F2 =
x
1− xson ambas
primitivas de f(x) =1
(1− x)2. ¿Cua1 es la relacion entre F1(x) y F2(x)?
8. Use las identidades cos2 x =1 + cos(2x)
2y sin2 x =
1− cos(2x)
2para determinar las
primitivas de f(x) = sin2 x y f(x) = cos2 x.
9. Resuelva los problemas con condiciones iniciales
a)dy
dx= (x− 2); y(2) = 1 b)
dy
dx= (2x+ 3)3/2; y(3) = 100
10. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′(x) = c(x) y c′(x) = −s(x) para todo x. Sis(0) = 0 y c(0) = 1. Demostrar que [s(x)]2 + [c(x)]2 = 1
11. En Fig 1. se muestra la grafica de f ′. Dibuje la grafica de f si esta es continua y f(0) = −1.
12. En la Fig 2. se ilustra la grafica de la derivada f ′ de una funcion f. Determine.
a) (a) ¿En que intervalos f es creciente o decreciente?
b) (b) ¿Para que valores de x la funcion f tiene un maximo local o un mınimo local?
c) (c) Trace la grafica de f ′′.
d) (d) Trace la grafica posible de f .
13. Dibujar las graficas de dos funciones que tengan la derivada senalada.
14. Las graficas de f y f ′ pasan a traves del origen. Usar la grafica de f ′′ mostrada en la Fig 3para bosquejar la grafica de f y f ′.
15. Sea R la region que esta bajo la grafica de y = f(x) en el intervalo [a, b] sobre el ejex. Calcular una R-estimacion y una L-estimacion de las siguientes funciones usando unaparticion regular.
a) f(x) = 2x+ 3 en [0, 3] n = 6.
b) f(x) = 1 + 2√x en [2, 3] n = 5.
c) f(x) =1
xen [1, 6], n = 5
Fig 1
Fig 2
Fig 3
16. Encontrar una funcion g tal que la grafica de esta tenga una tangente horizontal en (2, 0)y g′′(x) = 2x.
17. Si f ′(x) =
1, 0 ≤ x < 2
3x, 2 ≤ x ≤ 5f es continua y f(1) = 3 determinar f , ¿Es diferenciable
en x = 2?
2
18. Usar la grafica de f ′ que se muestra en la Fig 4 para responder lo siguiente, dado quef(0) = −4.
a) Aproximar la pendiente de f en x = 4. Explicar.
b) ¿Es posible que f(2) = −1? Explicar.
c) ¿Es f(5)− f(4) > 0? Explicar.
d) Aproximar el valor de x donde f es maxima. Explicar.
e) Aproximar cualquier intervalo en el que la grafica de f es concava hacia arriba ycualquier intervalo en el cual es concava hacia abajo.
f ) Aproximar la coordenada x a cualquier punto de inflexion.
g) Aproximar la coordenada x del mınimo de f ′′(x).
h) Dibujar una grafica aproximada de f.
Fig 4
19. Determine las sumas de Riemann para la funcion indicada y una particion regular delintervalo dado en n subintervalos. Utilice ci = xi es decir, extremo derecho.
a) f(x) = 9− x2 en [0, 3] n = 10
b) f(x) = x3 − 3x en [1, 4] n = 5
20. Demuestre
n∑
k=0
rk =1− rn+1
1− r
21. Calcule la integral definida de f(x) = ex en [0, 4] usando sumas de Riemann.
22. Calcule la integral definida de f(x) =1
x2en [1, 2] usando sumas de Riemann. (Sugerencia:
elija ci =√xi−1xi, y use la identidad
1
m(m+ 1)=
1
m− 1
m+ 1)
23. Demuestre usando sumas de Riemann que
∫ b
0
x3 =1
4b4
24. Calcule la integral definida de g(x) = 3√x en [0, 1] (Sugerencia ci =
i3
n3 y ∆xi = ci − ci−1)
25. Evalue el limite dado reconociendo primero la suma indicada como una suma de Rie-mann asociada a una particion regular de [0, 1] y evaluando a continuacion la integralcorrespondiente.
a) lımn→∞
∑
i=1
i2
n3b) lım
n→∞
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3
n4 c) lımn→∞
√1 +
√2 +
√3 + · · ·+√
n
n√n
26. Evalue la integral
∫ 5
0
√
25− x2dx interpretandola como el area bajo la grafica de cierta
funcion.27. La grafica f esta compuesta por segmentos de recta y un semicirculo, como se muestra en
la figura 3. Evalue cada integral definida utilizando formulas geometricas
a)
∫ 2
0
f(x)dx
b)
∫ 6
2
f(x)dx
c)
∫ 6
−4
f(x)dx
d)
∫ 2
−4
f(x)dx
e)
∫ 6
−4
|f(x)|dx
f )
∫ 6
−4
[f(x) + 2]dxFig 3
3
28. Emplear formulas geometricas para calcular
∫ 8
0
f(x)dx donde f(x) =
4 si x < 4
x si x ≥ 4
Teorema fundamental del Calculo
29. Calcular cada una de las siguientes integrales. Dibujese la grafica en cada caso
a)
∫ 2
0
f(x)dx f(x) =
x2 si 0 ≤ x ≤ 1
2− x si 1 < x ≤ 2
b)
∫ 3
1
f(x)dx f(x) =
1− x si −1 ≤ x < 0
x2 si 0 ≤ x < 2
−1 si 2 ≤ x ≤ 3
c)
∫ 1
0
f(x)dx, f(x) =
x si 0 ≤ x ≤ c
c1− x
1− csi c < x ≤ 1
c
es un numero real fijo, 0 < c < 1.
30. Si f(x) ≥ 0, b > 1 y
∫ b
1
f(x) =√
b2 + 1−√2. Halle f(x).
31. Determine si cada una de las siguientes formulas es cierta o falsa, y argumente brevementeel porque de su respuesta.
a)
∫ √2x+ 1dx =
√
x2 + x+ C b)
∫ √2x+ 1dx =
√
x2 + x+ C c)
∫ √2x+ 1dx =
1
3
(√2x+ 1
)3+ C
32. Hallar un polinomio cuadratico para el cual P (0) = P (1) = 0 y
∫ 1
0
P (x)dx = 1
33. Halle un polinomio cubico tal que P (0) = P (−2) = 0, P (1) = 15 y 3
∫ 0
−2
P (x)dx = 4
34. Calcule
∫ 1
0
|x(2x− 1)|dx y
∫ 2
0
|(x− 1)(3x− 1)|dx
35. Halle todos los valores c para los cuales
∫ c
0
|x(1− x)|dx = 0
36. Suponga que
f(x) =d
dx
(
1−√x)
g(x) =d
dx
(
x+ 2)
Encuentre:
a)
∫
f(x)dx
b)
∫
g(x)dx
c)
∫
[−f(x)]dx
d)
∫
[−g(x)]dx
e)
∫
[f(x) + g(x)]dx
f )
∫
[f(x)− g(x)]dx
37. Demostrar
a)
∫ b
a
f(x)dx = (b− a)
∫ 1
0
f(
a+ (b− a)x)
dx b)
∫ b
a
f(c− x)dx =
∫ c−a
c−b
f(x)dx
38. Calcule f(4) si: (a)
∫ x2
0
f(t)dt = x cos(πx) (b)
∫ f(x)
0
t2dt = x cos(πx)
39. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface
∫ x
0
f(t)dt = x2(1 + x)
4
40. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface
∫ x2(1+x)
0
f(t)dt = x
41. Suponga que f es continua en R, tal que f(3x) = 5f(x) y si
∫ 1
0
f(s)ds = 1. Calcule
∫ 3
0
f(s)ds
42. Escriba
∫ 2
−2
f(x)dx+
∫ 5
2
f(x)dx−∫ −1
−2
f(x)dx como una sola integral
∫ b
a
f(x)dx:
43. Si
∫ 5
1
f(x)dx = 12 y
∫ 5
4
f(x)dx = 3,6 encuentre
∫ 4
1
f(x)dx
44. Si
∫ 1
0
f(x)dx = 4 y f(x) ≥ 0, entonces es cierto
∫ 1
0
√
f(x)dx =√4 = 2?
45. Encontrar la integral indefinida
a)
∫
dx b)
∫
sec y(tan y − sec y) c)
∫
cosx
1− cos2 x
46. Determinar si los enunciados es Verdadero o Falso, si es falso, explicar por que proporcionarun ejemplo
a) Cada antiderivada de una funcion polinomica de grado n es un funcion polinomicade grado n+ 1
b) Si p(x) es un polinomio entonces p tiene exactamente una antiderivada cuya graficacontiene el origen.
c) Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x), entonces F (x) = G(x) + C.
d)
∫
f(x)g(x)dx =
∫
f(x)dx
∫
g(x)dx.
e) las primitivas son unicas.
f ) Si la norma de una particion tiende a cero, entonces el numero de subintervalos tiendea infinito.
g) el valor de
∫
f(x)dx debe ser positivo.
47. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor
∫ b
a
(4− x2)dx. Explique el razona-
miento
48. Evaluar, si es posible, la integral
∫ 2
0
⌊x⌋ dx
49. Usar el TFC para encontrar F ′(x) de las siguientes funciones
a) F (x) =
∫ x
2
(t2 − 2t)dt
b) F (x) =
∫ x2
2
cos(t)dt
c) F (x) =
∫ x+2
2
(2t2 − 1)dx
d) F (x) =
∫ sen x
2
√r dr
e) F (x) =
∫ x
−x
sen(θ2)dθ
f ) F (x) =
∫ x
1/x
1
tdt
g) F (x) =
∫ sen x
cos x
1
1− t2dt
h) F (y) =
∫ 2√y
√y
sen(t2)dt
i) F (x) =
∫ x2+3
x
t(5− t)dt
50. Sea f una funcion continua tal que
∫ x
0
tf(t)dt = x sinx−cosx. Calcula f(π/2) y f ′(π/2).
5
51. Una funcion f esta definida para todo real x por la formula
f(x) = 3 +
∫ x
0
1 + sin(t)
2 + t2dt
Halle un polinomio cuadratico p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0) = f(0), p′(0) = f ′(0) yp′′(0) = f ′′(0)
52. Dada una funcion g, continua para todo x, tal que g(1) = 5 y
∫ 1
0
g(t)dt = 2. Suponga
que f(x) =1
2
∫ x
0
(x− t)2g(t)dt, demostrar que
f ′(x) = x
∫ x
0
g(t)dt−∫ x
0
tg(t)dt
y calcule f ′′(1) y f ′′′(1).
53. Halle una funcion f y un numero a tal que 6 +
∫ x
a
f(t)
t2dt = 2
√x Sin integrar, explicar
por que
∫ 2
−2
x(x2 + 1)2dx = 0
54. Encontrar la funcion f(x) y todos los valores de c, tal que∫ x
c
f(t)dt = x2 + x− 2
.
55. Sea G(x) =
∫ x
0
s[
∫ s
0
f(t)dt]
ds, donde f es continua para todo t real. Determinar
G(0), G′(0), G′′(x) G′′(0).
56. Si f es continua y
∫ 8
0
f(x)dx = 32, encontrar
∫ 4
0
f(2x)dx.
57. Pruebe que y = senx+
∫ π
x
cos(2t)dt+ 1 satisface las dos condiciones siguientes:
a) y′′ = − senx+ 2 sen(2x)
b) Cuando x = π y = 1 y y′ = −2.
58. Calcular el area acotada por el eje x y la parabola y = 6− x− x2
59. Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 − 2x en el intervalo [1, 4]
60. Encuentre el area de las regiones sombreadas de las figuras 6,
Fig 6
6
61. Usando la grafica de la Fig 5. Se define la funcion g(x) =
∫ x
1
f(f)dt
a) Encuentre g(1), g(3) y g(−1)
b) Halle los x ∈ (−3, 4) donde g tiene un maximo relativo.
c) Escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica de g en x = 1.
d) Halle los x donde g tiene un punto de inflexion.
e) Encuentre el rango de g. Fig 5
62. Use una apropiada sustitucion
a)
∫
t√t+ 1dt
b)
∫
cos(√x)√
xdx
c)
∫ π/2
0
(1+sin θ)3/2 cos θdθ
d)
∫ π2
π2/4
sin√x cos
√x√
xdx
e)
∫
2− x2
x3 − 6x+ 1dx
f )
∫
x2ex3
dx
g)
∫
1
1 + exdx
h)
∫
ex
1 + e2xdx
i)
∫
x3 cos(x4)dx
j )
∫ 3
2
x+ 1√x2 + 2x+ 3
dx
7
Taller Dos
Tecnicas de Integracion
1. Suponga que f tiene una derivada positiva para todos los valores de x, y que f(1) = 0¿Cuales de los siguientes enunciados son VERDADEROS para la funcion
g(x) =
∫ x
0
f(t)dt
Justifique sus respuestas.
a) g es una funcion diferenciable de x.
b) g es una funcion continua de x.
c) La grafica de g tiene una tangente horizontal en x = 1
d) g tiene un maximo local en x = 1
e) g tiene un mınimo local en x = 1
f ) La grafica de g tiene un punto de inflexion en x = 1
g) La grafica dgdx de cruza el eje x en x = 1
2. Suponga que f es la funcion diferenciable Fig 1, y que la posicion en el tiempo t (seg) de
una partıcula que se mueve a lo largo de un eje coordenado es s(t) =
∫ t
0
f(x)dx metros. Use
la grafica para contestar las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
¿Cual es la velocidad de la partıcula en el tiempo t = 5?
¿La aceleracion de la partıcula en el tiempo t = 5 es positiva o negativa?
¿Cual es la posicion de la partıcula en el tiempo t = 3?
¿En que momento durante los primeros 9 segundos alcanza s su valor maximo?
¿Aproximadamente en que momento la aceleracion es cero?
¿Cuando se esta moviendo la partıcula hacia el origen? ¿Cuando lo hace alejandosedel origen?
¿En que lado del origen esta la partıcula en el tiempo t = 9?Fig. 1
3. Demuestre que
∫ n
0
⌊x⌋ dx =n(n− 1)
2
4. Demostrar que
∫ x
0
|t|dt = 1
2x|x| para todo real x real
5. Si f(x) =
∫ g(x)
0
1√1 + t2
dt, donde g(x) =
∫ cos x
0
[1 + sin(t2)]dt, encuentre f ′(π/2)
6. Encuentred2
dx2
∫ x
0
(
∫ sen t
1
√
1 + u4du)
dt
7. Exprese los limites como una integral definida sobre un intervalo adecuado o el que sepide
8
a) lımn→∞
n∑
i=1
xi ln(1 + x2i )∆xi en [2, 6]
b) lımn→∞
n∑
i=1
n
n2 + i2
c) lımn→∞
n∑
i=1
13√
n3(1 + i/n)
d) lımn→∞
n∑
i=1
1√n√n+ i
8. Integrales por sustitucion
a) Demostrar que
∫ 1
x
dt
1 + t2=
∫ 1/x
1
dt
1 + t2si x > 0
b) Demostrar que
∫ π
0
xf(sinx)dx =π
2
∫ π
0
f(sinx)dx sugerencia u = π − x
c) Demostrar que
∫ b
a
f(x) =
∫ b
a
f(a+ b− x)dx
d) Si f es par,
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx
e) Si f es impar,
∫ a
−a
f(x)dx = 0
f )
∫
x√1 + 3xdx
g)
∫
dx
x lnx
h)
∫ 1/3
−2/3
xdx√2− 3x
i)
∫
xdx√
1 + x2 +√
(1 + x2)3
j )
∫ 1
0
2x+ 3
(6x+ 7)3dx
k)
∫
13√x2(1 +
3√x2)
dx
l)
∫ 2
1
sin(1/x)
x2dx
m)
∫
x2√
x3 + 9dx
n)
∫
2 sin3 x cosxdx
n)
∫
z3√1− z2
dz
o)
∫
x2
(x3 + 5)4dx
p)
∫
t√t+ 1dt
q)
∫
cos(√x)√
xdx
r)
∫ π/2
0
(1 + sin θ)3/2 cos θdθ
s)
∫ π2
π2/4
sin√x cos
√x√
xdx
t)
∫
2− x2
x3 − 6x+ 1dx
u)
∫
x2ex3
dx
v)
∫
1
1 + exdx =
w)
∫
ex
1 + e2xdx =
x)
∫
x2
(1 + x2)2dx =
y)
∫
4
(x2 + 9)dx =
z)
∫
sec2(θ) e(5−7 tan θ)dθ
9. integrales Fracciones Parciales
a)
∫
x4 − 2x3 − 3x2 + 15x− 8
x3 − 3x+ 2dx
b)
∫
cosx
sinx(sinx− 1)dx
c)
∫
dx
x(x2 + 1)
d)
∫
1
(x3 − 1)3dx
e)
∫
x2 + 1
x5 + x4 − x− 1dx
f )
∫
sec2 t
tan3 t+ tan2 tdt
g)
∫
1 + ln t
t(3 + 2 ln t)2dt
h)
∫
e4t
(e2t − 1)3dt
i)
∫
x2
x4 − 1dx
j )
∫
4x4 + x+ 1
x5 + x4dx
10. Aplicacion: Suponga que la poblacion P (t) (en millones) de Ruritania satisface Ia ecuaciondiferencial
dP
dt= k P (200− P ) (k constante).
9
Su poblacion en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razon de 1 millon porano. Pronostique la poblacion de este pais para el ano 2000.
11. Integrales por partes
a) Calcular
∫ 1
0
xf ′′(2x)dx sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3 y f ′(2) = 5
b) Suponga que para cierta funcion f se sabe que
f ′(x) =cos(x)
x, f(π/2) = a, f(3π/2) = b
Utilice integracion por partes para evaluar
∫ 3π/2
π/2
f(x)dx.
c) Dada la funcion F (x) =
∫ x
0
sin t
tdt. Calcule
∫
F (x)dx
d) Suponga que existe f es una funcion continua y invertible en [0, 1], y que
∫ 1
0
f(x)dx =1
3. Calcule
∫ 1
0
f−1(x)dx
e)
∫
(z2 − 5z − 3)sen(z)dz
f )
∫
sen−1(z)dz
g)
∫
x cosxdx
h)
∫
t(ln t)2dt
i)
∫ 1
0
z2ezdz
j )
∫
ln t
t√tdt
k)
∫
sen(3x)e2xdx
l)
∫
cos3 xdx
m)
∫
x tan−1 xdx
n)
∫
sin((x− 1)1/4)dx
n)
∫ √x(lnx)dx
o)
∫
ln(x)dx
p)
∫
x sinxdx
q)
∫
x2e−xdx
r)
∫
sec3(t)dt
s)
∫
ln(1 + t2)dt
t)
∫
x5e−x2
dx
12. Sustituciones trigonometricas
a)
∫
sin2 x
cos6 xdx
b)
∫
sin2(3x)dx
c)
∫
sin3(x) cos2 xdx
d)
∫
cos5(x)dx
e)
∫
cos4(2x)dx
f )
∫
tan θdθ
g)
∫ π/2
0
sec(x
2)dx
h)
∫
tan(t) sec3(t)dt
i)
∫
sec6(t)dt
j )
∫
sin3 x√cosx
dx
k)
∫
sin3/2(t) cos3(t)dt
l)
∫
cot(t) + csc(t)
sin(t)dt
13. Halle las siguientes integrales usando una apropiada sustitucion trigonometrica.
a)
∫ r
−r
√
r2 − x2dx Geometricamente que significa?
b)
∫
dx√4x2 + 1
c)
∫
dx
(x2 + 1)3/2
d)
∫ 2
√3
√x2 − 3
xe)
∫
√
x2 + 1dx
f )
∫
1√9 + 4x2
dx
10
g)
∫
√
x2 + 1dx
h)
∫
√
x2 − 4dx
i)
∫
√
25− x2dx
j )
∫
dx√49x2 − 4
k)
∫
x3
√1− 4x2
dx
l)
∫ e
1
dy
y√1− ln y
dx
m)
∫ ln 4
0
eydy√e2y + 9
dx
14. Integrales interesantes
a)
∫
1√9 + 16x− 4x2
dx Sug: complete el cuadrado perfecto
b) Determine constantes a y b tales que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1) y luego
Calcule
∫
dx
x4 + 1
c)
∫
dx
2− sin2 xUse la sustitucion tanx = t
d) **Demuestre que
∫ 1
0
x2 + 1
x4 + 1dx =
π
2√2(Recuerde que tan−1(m) + tan−1(n) = π/2
si mn = 1)
e)
∫ √x
x3/4 + 2dx
f )
∫
√x+ 4
xdx
g)
∫
2x+ 3
9x2 + 6x+ 5dx
h)
∫
2 + 6x
(3 + 2x− x2)2dx
i)
∫
x2
√16− x6
dx =
j ) **
∫
dx
x2√
(1 + x2)3
k)
∫
(3x−2)√
9x2 + 12x+ 8dx
l) **
∫
2x3 + 3x
x4 + x2 + 1dx
m) **
∫
√
x3 − 3
x11dx use solo sustitucion sencilla.
n) **
∫
1√
(y2 + 1)ndy
15. Integre aplicando cualquier metodo
a)
∫
5xdx
b)
∫ π/2
0
7cos t sin tdt
c)
∫
xx(1 + ln(x))dx
d)
∫
ln(x+ x2)dx
e)
∫ π/3
0
x tanxdx
f )
∫
e√3s+9ds
g)
∫
x4 + 2x2
x3 − 1dx
h)
∫
1
x3 + 8dx
i)
∫
x3
x− 5dx
j )
∫
x2 − x− 2
x3 − 2x− 4dx
k)
∫
x2 + 1
x3 + 3x− 4dx
l)
∫ 2
0
(x2 − ⌊x⌋)dx
m)
∫ 2
−1
z sin(πz2
4)dz
n)
∫
1
u2 + 2u+ 5du
n)
∫
1
x2
√
1 + 1/x
1− 1/xdx
o)
∫ 1/2
−1
x2√
1− x2dx
p)
∫
x√3− 2x− x2
dx
q)
∫
1
9x2 + 6x+ 5dx
r)
∫
2 + 6x
3 + 2x− x2dx
s)
∫
senh(lnx)
xdx
t)
∫
cosx√
1 + sin2 xdx
u)
∫
x√e2x2 − 1
dx
v)
∫
1√2x− x2
dx
w)
∫
√
x2 + 1dx
x ) Demuestre que para cualquier numero a > 1
∫ a
1
lnxdx+
∫ ln a
0
eydy = a ln a
11
y) Suponga que f tiene inversa y Demuestre
∫
f−1(x)dx = xf−1(x)−∫
f(y)dy
y a partir de esto calcule
∫
cos−1 xdx
z ) Resuelva los problemas con valor inicial para y como una funcion de x.
1) xdy
dx=
√x2 − 16 x ≥ 4, y(4) = 0
2) (x2 + 1)2dy
dx=
√x2 + 1 y(0) = 1
16. Recuerde que sinhx =ex − e−x
2y que coshx =
ex + e−x
2usando esto demuestre que
senh(x) es una funcion impar y que coshx es una funcion par
cosh2 x− senh2 x = 1
senh−1 x = ln(x+√x2 + 1) para todo x
tanh−1 x =1
2ln(
1+x1−x
)
para |x| < 1.
17. Calcule
∫
dx√1 + x2
usando la sustitucion x = sinh t y tambien usando x = tan t
18. Calcule
∫
dx√x2 − 1
usando la sustitucion x = cosh t y tambien usando c = sec t
19. Determine si la expresion es Falsa o Verdadero, Si es falsa explicar por que o dar unejemplo que lo demuestre
a)
∫
dx
3x√9x2 − 16
=1
4arc sec(
3x
4) + C
b)
∫
dx
25 + x2=
1
25arctan(
x
25) + C
c)
∫
dx√4− x2
= − arc cos(x
2) + C
20. Halle
∫
2e2x√9− e4x
dx usando la funcion arcoseno.
12
21. Reglas del Trapecio y regla de Simpson
a) Use (a) la regla del trapecio, (b) la Regla de Simpson para aproximar la integral con el valorespecificado de n. (Redondee sus respuestas a seis decimales.)
1)
∫ 2
1
lnx
1 + xdx, n = 10
2)
∫ 5
1
cosx
xdx, n = 8
3)
∫ 4
1
(4− x2)dx, n = 6
4)
∫ 9
4
√xdx, n = 8
5)
∫ 3
0
1
1 + y5dy, n = 6
b) Aproximar el area de la region sombreada utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla deSimpson con n = 4.
22. Pruebe que si f es continua, entonces
∫ x
0
f(z)(x− z)dz =
∫ x
0
(
∫ z
0
f(t)dt)
dz
23. Encuentre lımx→0
1
x3
∫ x
0
t2
t4 + 1dt
24. Demostrar que
∫ b
a
f(x)f ′(x)dx =1
2
(
[
f(b)]2 +[
f(a)]2)
25. Sea f continua en el intervalo [0, b] donde f(x)− f(b− x) 6= 0 en [0, b].
a) Demuestre que
∫ b
0
f(x)
f(x)− f(b− x)dx =
b
2
b) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular
∫ 1
0
sin(x)
sin(1− x) + sin(x)dx
c) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular
∫ 3
0
√x√
x+√3− x
dx
26. Calcular f(0), sabiendo que f(π) = 2 y que
∫ π
0
[
f(x) + f ′′(x)]
sin(x)dx = 5
13
Taller Tres
Aplicaciones de la Integral
1. Calcular el area de las regiones segun la grafica
2. Dibuje y calcule el area de la region acotada por las cada una de las curvas
a) y = |x|; 2y = x+ 2.
b) y2 = x; y2 = 2(x− 3).
c) x = y2 − 2; y = ln(x); y = 1; y = −1
d) y2 = x− 4y; 2y = y2 + x
e) y = 4− x2; y + x = 2; x = −2; x = 3
f ) y = −x2 − 2x; y = x2 − 4
g) y = |x2 − 4| 2y = x2 + 8
h)√x = y − 1: x+ y = 3; x2 = 4y y x = 0
3. Encontrar c tal que la recta y = c divide la region acotada por las dos funciones en dosregiones de area igual.
a) y = 9− x2, y y = 0
b) y = 9− |x|, y y = 0
c) y = x, y = 4 x = 0
d) y2 = 4− x, x = 0
4. Encontrar el area de la region en el primer cuadrante, que esta acotada por arriba pory =
√x y por abajo por el eje x y la recta y = x− 2
5. Determine el area de la region R acotada por la recta y =1
2x y por la parabola y2 = 8−x.
14
6. Trace la region en el plano xy definida por las desigualdades x−2y2 ≥ 0 y 1−x−|y| ≥ 0,y determine su area.
7. ¿Para que valores m de la recta y = mx y la curva y =x
x2 + 1definen una region? Calcule
el area de la region.
8. Utilice el calculo para obtener la formula A = πr2 para el area de un circulo de radio r.
9. Hay una recta que pasa por el origen que divide la region definida por la parabola y = x−x2
y el eje x en dos regiones de area igual. ¿Cual es la pendiente de la recta?
10. En la figura 1se ilustra una horizontal y = c que corta a la curva y = 8x− 27x3. Encuentreel numero c tal que las areas de las regiones sombreadas sean iguales.
11. **En la figura 2 se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en lamitad de la curva y = 2x2, las areas A y B son iguales. Determine una ecuacion de C.
12. La elipsex2
a2+
y2
b2= 1. Demostrar que el area de la region que acota es A = πab. (Fig 1).
13. Sean A y B los puntos de interseccion de la parabola y = x2 y la recta y = x+ 2 y sea C elpunto de la parabola donde la recta tangente es paralela a la grafica de y = x+ 2. Muestreque el area del la region entre la parabola y la recta es 4
3 del area del triangulo ABC.
Fig 1.
Fig 2
Ejer 13 Ejer 14.
VOLUMENES DE SOLIDOS: Use cualquier metodo
1. Encontrar el volumen del solido formado al girar la region acotada por las graficas de
a) y = x2 − 1, y = 0, x = 0 y x = 1 alrededor del eje y
b) y = x2 + 1, y = −x+ 3 alrededor de y = −1.
c) y = x2 y = 4x− x2, (a) alrededor del eje x; (b) alrededor de y = 6
d) y = 6− 2x− x2 y = x+ 6, (a) alrededor del eje x (b) alrededor de y = 3
2. Un fabricante taladra una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radiode 3 pulgadas. ¿Cual es el volumen del objeto de metal resultante?
3. Suponga que la base de un solido es la region acotada por las rectas f(x) = 1 − x
2,
g(x) = −1 +x
2y x = 0; y cuando hacemos secciones transversales perpendiculares al eje
y son triangulos equilateros. Con esta informacion Calcule el Volumen de dicho solido.
4. Demostrar que el volumen de una piramide con una base cuadrada es V = 13hB, donde h
es la altura de la piramide y B es el area de la base.
15
5. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por y =3
1 + x, y = 0,
x = 0 x = 3 la cual gira alrededor de la recta y = 4.
6. Un toro se forma al girar la region acotada por la circunferencia x2 + y2 = 1 alrededor dela recta x = 2
7. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por las graficas de lasecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas.
a) (y − 2)2 = 4− x, x = 0
El eje x
la recta y = 5
El eje y
la recta x = 5
8. Se corta una cuna curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos esperpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un angulo de 45◦ en elcentro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cuna.
9. Cada una de las integrales representa el volumen de un solido de revolucion. Identificar a)la region plana que se gira y b) el eje de revolucion.
a) 2π
∫ 2
0
x3dx
b) 2π
∫ 1
0
y − y3/2dy
c) 2π
∫ 6
0
(y + 2)√
6− ydy
d) 2π
∫ 1
0
(4− x)exdx
e) π
∫ 5
1
(x− 1)dx
f ) 2π
∫ 2
0
y[5− (y2 + 1]dy
g) 2π
∫ 4
0
x(x
2)dx
h) π
∫ 2
0
[16− (2y)2]dy
10. Volumen de un casquete de una esfera Sea una esfera de radio r que se corta por unplano, formando un casquete esferico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmentoes 1
3πh2(3r − h).
11. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura es h, base inferior deradio R, y radio de la parte superior r.
12. Sean V1 y V2 los volumenes de los solidos que resultan cuando la region plana limitada por
y =1
x, y = 0, x =
1
4, y x = c (c >
1
4) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente.
Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2.
13. Considerar la grafica y2 = x(4−x)2 (ver la figura 2). Encontrar los volumenes de los solidosque se generan cuando la espira de esta grafica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y yc) la recta x = 4.
14. Determine el volumen comun a dos cilindros circulares, ambos de radio r, si los ejes de loscilindros se cortan en angulos rectos ver fig.
Fig 2
Fig 2
16
15. Determine la formula para el area A(x) de las secciones transversales del solido perpen-dicular al eje x. En cada uno delos siguientes casos
(I) El solido que se encuentra acotado por los planos x = 1 y x = 1 y las semi-circuferencias y =
√1− x2 y y = −
√1− x2.
a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.
b) Las secciones transversales son cuadrados con base en el plano xy.
c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy. (Lalongitud de la diagonal de un cuadrado es
√2 veces la longitud de sus lados).
d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.
(II) El solido se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las parabolas y = −√x y
y =√x
a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.
b) Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy.
c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy.
d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.
16. La regiones que se muestra a continuacion se hace girar alrededor del eje x para generarun solido. ¿Cual de los metodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podrıautilizarse para determinar el volumen del solido? ¿Cuantas integrales son necesarias encada caso? Explique.
17
3.1. Longitud de arco
1. Determinar la longitud de la astroide Fig 1, donde las ecuaciones parametricasson
x = cos3 t y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π
2. Un fabricante necesita hacer hojas de metal corrugado de 36 pulgadas de anchocon secciones transversales con la forma de la curva
y =1
2sin(πx) 0 ≤ x ≤ 36
¿Que ancho deben tener las hojas originales extendidas para que el fabricanteproduzca estas hojas corrugadas? Ayuda: Use Simpson n = 6
3. Determine la longitud s de la curva x = 16y
3 + 12y 1 ≤ y ≤ 2
Fig 1
4. Determine las longitudes de las curvas.
a) y = ln(cosx), de 0 ≤ x ≤ π
3
b) y = ln(ex + 1
ex − 1
)
con 0 < a ≤ x ≤ b
c) x = 8 cos t+ 8t sin t, y = 8 sin t− 8t cos t, 0 ≤ t ≤ π/2
d) x =t2
2, y =
(2t+ 1)3/2
3, 0 ≤ t ≤ 4
e) x =y3
3+
1
4yde y = 1 a y = 3
f ) x =
∫ y
0
√
sec4 t− 1dt, −π4 ≤ y ≤ π
4
g) x =
∫ y
−2
√
3t4 − 1dt, −2 ≤ y ≤ −1
5. Halle la funcion longitud de arco para la curva y = sin−1 x+√1− x2 con punto
de inicio (0, 1).
6. Determine una curva que pase por el punto (1, 1), cuya integral de longitud sea
L =
∫ 4
1
√
1 +1
4xdx. ¿Cuantas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su
respuesta.?
7. Determine una curva que pase por el punto (0, 1), cuya integral de longitud sea
L =
∫ 2
1
√
1 +1
y4dy. ¿Cuantas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su
respuesta.?
8. Determine la longitud del rizo formado por x = t2, y =t3
3− t Fig 2. El rizo
inicia en t = −√3 y termina en t =
√3
Fig 2
18
3.2. Area superficies de revolucion
1. Determine el area de cada superficie generada al hacer girar la curva dada alrededordel eje indicado.
a) x = 2√4− y 0 ≤ y ≤ 15
4 , eje y
b) x =√2y − 1 5
8 ≤ y ≤ 1, eje y
c) x =y4
4+
1
8y21 ≤ y ≤ 2 eje x
d) y =1
3(x2 + 2)3/2 0 ≤ x ≤
√2 eje y
e) x = cos t, y = 2 + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π eje x
f ) x = t+√2, y = t2
2 +√2t, −
√2 ≤ t ≤
√2, eje y
g) Tronco de Cono: x = 2t, y = t+ 1, 0 ≤ t ≤ 1, eje x.
h) Cono: x = ht, y = rt, 0 ≤ t ≤ 1, eje x
i) y =x√3, 0 ≤ x ≤
√3, eje x
j ) y =√4− x2 −1 ≤ x ≤ 1, eje x
2. Determine el area de la superficie obtenida al hacer girar la curva y =
∫ x
1
√√t− 1,
1 ≤ x ≤ 16 eje y.
3. Considere una esfera de radio r como una superficie de revolucion, y demuestre que elarea de su superficie es A = 4πr2.
4. Un departamento de manufactura necesita saber cuanto esmalte azul debe tener disponiblepara producir 5000 sartenes (ver fig 1).¿Que les dirıa?
5. Por medio de planos paralelos separados una distancia h, se corta, de una esfera de radioR, la banda sombreada que se muestra en la figura 2. Demuestre que el area de la superficiede la banda es 2πRh
19
3.2.1. Centros de masa- Centroide
1. Encuentre el centroide de las siguientes regiones acotada por las curvas
a) y = cosx, y = 0, x = 0 y x = π/2
b) y = x y y = x2
c) y = 4− x2 y y = x2
d) y =√x y x =
√y
e) y = −x2 + 2x y 16x = y2
f ) y = −x y x2 + y2 = 1
g) x = 4− y2 y y = x+ 2
2. La placa triangular que se muestra en la fig 1 tiene una densidad constante de ρ =3g/cm3. Determinar
(a) el momento, My, de la placa respecto del eje y.
(b) la masa, m, de la placa.
(c) la coordenada x del centro de masa de la placa.
Fig 1
3. Usando el teorema de Pappus, halle los volumenes de los solidos que se general rotar lasregiones limitada por las siguientes curvas
a) y = x2, x = −y2 alrededor de la recta x+ y = 3.
b) y = x3, x = y3 alrededor de la recta x+ y = 2.
c) y = −x2 + 2x, y = −4√x alrededor de la recta: (a) x = 4, (b) y = 2, (c) y = x+ 2.
d) y = −x2, y2 = x alrededor de la recta y = −2x+ 3.
e) y = 4x− x2, 0 ≤ x ≤ 4 alrededor de la recta x = −1.
4. Sea R una region cualquiera totalmente contenida en el tercer cuadrante de area 103 y tal
que su centroide se encuentra sobre la recta y = x. si el volumen del solido generado algirar R respsecto a la recta y = −x es 20
√2. Halle
a) El centroide de R.
b) Momento respecto al eje x de R.
c) Volumen del solido generado al rotar respecto a la recta y = 1.
20
3.3. Trabajo
1. Una partıcula se mueve a lo largo del eje OX mediante una fuerza impulsora dadapor f(x) = ax2 + bx newtons:
(a) Determine las constantes a y b si se sabe que se precisan 900 joules de tra-bajo para desplazar la partıcula 10m a partir del origen y que la fuerza es de65 newtons cuando x = 5m.
b) Si la partıcula se encuentra en la posicion x = 2m, ¿hasta que posicion apro-ximadamente puede ser desplazada si la fuerza puede realizar un trabajo de1580 joules?
2. Un resorte tiene una longitud natural de 1 m. Una fuerza de 24N lo estira hasta unalongitud de 1,8 m.
a) Determinar la constante k del resorte.
b) ¿Cuanto trabajo se requerira para estirar el resorte hasta 2 m mas que su lon-gitud natural?
c) ¿Hasta que longitud se estirara el resorte si le aplicamos una fuerza de 45 N?
3. El tanque de la Figura 2 tiene 8 pies de altura y 2 pies de radio en su partesuperior. Si se llena de hasta una altura de 6 pies con un aceite que tiene unpeso de γ = 60 lb/pies3, encuentre el trabajo requerido para bombear todo eseaceite por el borde superior del tanque.
4. Se requiere una fuerza de 10 lb para mantener estirado un resorte 4pulg masde su longitud natural. ¿Cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte desdesu longitud natural hasta 6 pulg mas de su longitud natural? Ayuda: recuerdeque 4 pulg = 1/3pies
5. Determinar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitudnatural de 1 pie a una longitud de 0,75 pies, si la constante del resorte esk = 16 lb/pie
6. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajoequivalente a 6000 J , ¿Cual es la profundidad del pozo?
7. Consideremos un tanque cilındrico acostado cuya base es una region R delplano (no necesariamente circular). La longitud del cilindro es h y se encuen-tra completamente lleno con un lıquido de peso γ. Demuestre que el trabajorequerido para bombear todo el fluido hasta una altura por encima del nivelsuperior del lıquido, es igual al peso del lıquido en el tanque multiplicado porla distancia vertical entre el punto de descarga y el centroide de R. Es decir,demuestre que
W = G(k − y)
Donde G representa el peso total del lıquido en el tanque y (k − y) es ladistancia vertical entre el nivel del punto de descarga y el centroide de la baseR del tanque.
Fig 2.
3.4. Ecuaciones Diferenciales
1. Demuestre que la funcion y = f(x) es una solucion de la ecuacion diferencial que se da.
21
y =1
x
∫ x
1
et
tdt, x2y′ + xy = ex
y =1√
1 + x4
∫ x
1
√
1 + t4dt, y′ +2x3
1 + x4y = 1
2. Resuelva la ecuacion diferencial
a) (secx)dy
dx= ey+sin x
b)dy
dx=
e2x−y
ex+y
c)du
dt=
2t+ sec2 t
2u, u(0) = −5
d) y′ tanx = a+ y, y(π/3) = a, 0 < x < π/2
e) f ′(x) = f(x)(1− f(x)) y f(0) = 12
3. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y =x
1 + kx. Haga un bos-
quejo de varios miembros de cada familia
4. Determine la familia de soluciones de la ecuacion diferencial xdy − 2ydx = 0 yla familia de trayectorias ortogonales. Haga un bosquejo de ambas familias.
5. La funcion con la figura 1 dada es una solucion de una de las siguientes ecuacio-nes diferenciales. Decida cual es la ecuacion correcta y justifique su respuesta.
a) y′ = 1 + xy b) y′ = −xy c) y′ = 1− 2xy
6. Explique por que las funciones con las graficas dadas (fig 2) NO pueden ser
soluciones de la ecuacion diferencialdy
dt= et(y − 1)2
7. Haga corresponder las ecuaciones diferenciales con su campo de pendientes.a) y′ = x+ y, b) y′ = y + 1, c) y′ = −x
y , d) y = y2 − x2
fig1
fig 2.
3.5. Parametricas y Polares
1. Elimine el parametro para hallar la ecuacion cartesiana de la curva y bosqueje la curva eindique con una flecha la direccion en la que se traza la curva cuando crece t
a) x =√t, y = 1− t
b) x = sin t y = csc t, 0 < t < π/2
22
c) x = et − 1, y = e2t
d) x = ln t, y =√t, t ≥ 1
2. Determine dy/dx y d2y/dx2. ¿Para que valores de t la curva es concava hacia arriba?a) x = t+ ln t, y = t− ln t x = 4 + t2, y = t2 + t3
3. Encuentre los puntos sobre la curva donde la tangente es horizontal y vertical.
a) x = 10− t2 y = t3 − 12t
b) x = cos 3θ y = 2 sen θ
4. Encuentre el area acotada por la curva (a) x = t2 − 2t, y =√t y el eje y. (b) x = 1 + et,
y = t− t2 y eje x
5. Determine la longitud de la curva de (a) x =t
1 + ty = ln(1 + t), 0 ≤ t ≤ 2.
(b) x = cos t+ ln(tan 12 t), y = sin t, π/4 ≤ t ≤ 3π/4
3.6. Polares
1. ¿Que pares de coordenadas polares representan el mismo punto?
(3, 0)
(−3, 0)
(2, 2π/3)
(2, 7π/3)
(−3, π)
(2, π/3)
(−3, 2π)
(−2,−π/3)
(−2, π/3)
(2,−π/3)
(r, θ)
(r, θ + π)
(−r, θ)
(2,−2π/3)
(−r, θ + π)
(−2, 2π/3)
2. De las coordenadas cartesianas del cada punto. Encuentre sus coordenadas polares (r, θ),donde r > 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π y tambien donde, r < 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π.
(2,−2), (−1,√3), (3
√3, 3), (1,−2)
3. Haga un bosquejo de la region definida por las desigualdades −1 ≤ r ≤ 2 y −π/2 ≤ θ ≤π/2
4. Identifique la curva mediante la determinacion de una ecuacion cartesiana para la curva.a) r = tan θ sec θ b) r = 2 sin θ + 2 cos θ c) r sin θ = ln r + ln cos θ d) r =
5
sin θ − 2 cos θ
5. Encuentre una ecuacion polar para la curva representada por la ecuacion cartesiana dada.a) x+ y = 9 b) xy = 4 c) x2 + (y − 2)2 = 4 d) x2 + xy + y2 = 1
6. Bosqueje la curva con la ecuacion polar dada a) r = θ, θ ≥ 0, b) r = ln θ, θ ≥ 1
7. Muestre que la ecuacion polar r = a sin θ + b cos θ, donde ab 6= 0, representa un cırculo, yencuentre su centro y radio.
8. ¿Que simetrıas tienen esas curvas? a) r2 = 4 cos 2θ, b) r2 = − sin(2θ)
9. Demuestre que las curvas r = a sin θ y r = a cos θ se cortan en angulos rectos.
10. Determine los puntos sobre la curva dada donde la tangente es horizontal o vertical a)r2 = sin 2θ, b) r = eθ
23
11. En la figura se muestra la grafica de r como una funcion de θ en coordenadas cartesianas.Empleela para bosquejar la curva polar correspondiente
12. Compare las ecuaciones polares con las graficas I-VI. De razones para sus elecciones. (Nouse un dispositivo de graficacion.)
a) r = cos(θ/3),
b) r = 1 + 2 cos θ
c) r = 2 + sin 3θ
d) r = 1 + 2 sin 3θ
e) r =√θ, 0 ≤ θ ≤ 16π
f ) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ 16π
13. Encuentre el area de la region que esta acotada por la curva dada y yace en el sectorespecificado. a) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ π/4 b) r =
√sin θ 0 ≤ θ ≤ π
14. Encuentre el area de la region que yace dentro de la primera curva y fuera de la segunda(a) r = 2 cos θ, r = 1, (b) r = 3 sin θ, r = 2− sin θ
15. Determine el area de la region localizada dentro de ambas curvas. a) r =√3 cos θ r =
sin θ (b) r = 3 + 2 cos θ, r = 3 + 2 sin θ, c) r = 2 cos θ, r = 2 sin θ
16. Encuentre la longitud exacta de la curva polar. a) r = e2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π b) r = θ2,
0 ≤ θ ≤ 2π, c) r =6
1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/2
17. Determine el area de las superficies generadas al hacer girar las curvas respecto de los ejesindicados.
a) r =√cos2θ, 0 ≤ θ ≤ π/4 eje y b)
√2eθ/2, 0 ≤ θ ≤ π/2 eje x
18. a) Encuentre el area de la region sombreada en la figura.
b)Parecerıa que la grafica de r = tan θ, −π/2 < θ < π/2 es asintotica a las rectasx = 1 y x = −1. ¿Lo es? Justifique su respuesta.
24
3.6.1. Integrales Impropias
1. Determine si las siguientes integrales impropias convergen o divergen.
a)
∫ 1
−1
1
x4dx
b)
∫ ∞
2
x+ 3
(x− 1)(x2 − 1)
c)
∫ ∞
0
e−x cosxdx
d)
∫ ∞
0
e−√x
√x
dx
e)
∫ ∞
0
x arctanx
(1 + x2)2dx
f )
∫ ∞
0
1√x(1 + x)
dx
g)
∫ ∞
2
1
x√x2 − 4
dx
h)
∫ 3
0
1
(x− 2)2/3dx
2. Hallar los valores de a y b tales que
∫ ∞
1
(2x2 + bx+ a
x(2x+ a)− 1
)
dx = 1
3. ¿Cuales de las siguientes integrales son impropias? ¿Por que?
a)
∫ 2
1
1
2x− 1b)
∫ 1
0
1
2x− 1dx c)
∫ ∞
−∞
sinx
1 + x2dx d)
∫ 2
1
ln(x− 1)dx
4. El solido formado al girar (alrededor del eje x) la region no acotada que queda entre lagrafica de f(x) = 1/x y el eje x (x > 1) se llama la trompeta de Gabriel. Mostrar queeste solido tiene un volumen finito y un area de superficie infinita.
5. Usar la formula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del cırculox2 + y2 = 1 es 2π.
6. Las secciones transversales, perpendiculares al eje x, del cuerno solido en la figura 1 son discoscirculares de diametros que van del eje x a la curva y = ex, −∞ < x < ln 2. Determine elvolumen del cuerno.
Fig 2
7. Demuestre que si f(x) es una funcion continua y positiva en [0,∞), y la
∫ ∞
0
f(x)dx
converge, entonces
∫ ∞
0
f(x)e−xdx converge.
8. Use el teorema de comparacion para determinar si la integral es convergente o divergente.
a)
∫ ∞
1
2 + e−x
xdx
b) *
∫ 1
0
sec2 x
x√xdx
c)
∫ 1
0
sen2 x
x2dx
d)
∫ ∞
0
1√x5 + 4
dx
e)
∫ ∞
1
1√x6 + x
dx
f )
∫ ∞
1
log x
e2xdx
g)
∫ ∞
3
log x
xdx
9. Demuestre que
∫ ∞
−∞
1 + x
1 + x2dx diverge, pero lım
b→∞
∫ b
−b
1 + x
1 + x2dx = π
10. Demuestre que
∫ ∞
−∞
x
(1 + x2)dx es convergente, pero
∫ b
−b
x
(1 + x2)dx es diverge.
11. Sea D la region limitada por f(x) =1
x3 + x, x = 3 y el eje x.
(a) Calcule el area de D(b) Calcule el volumen del solido de revolucion generado al girar D alrededor de x.
25
12. Determine el valor de p para la cual la integral converge, y evalue la integral para esevalor de p.
a)
∫ ∞
e
1
x(lnx)pdx
13. Encuentre el valor de la constante C para la cual la integral converge. Calcule la integral.
a)
∫ ∞
2
( Cx
x2 + 1− 1
2x+ 1
)
dx
b)
∫ ∞
1
( x
2x2 + 2C− C
x+ 1
)
dx
c)
∫ ∞
0
( 1√1 + 2x2
− C
x+ 1
)
dx
14. Considere que f es continua en [0,∞] y lımx→∞
f(x) = 1 . ¿Es posible que
∫ ∞
0
f(x)dx sea
convergente?
15. Determinar si la afirmacion es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por que o dar unejemplo que demuestre que es falso.
a) Si f es continua en [0,∞) y lımx→∞
f(x) = 0, entonces
∫ ∞
0
f(x)dx converge
b) Si f es continua en [0,∞) y
∫ ∞
0
f(x)dx diverge entonce lımx→∞
f(x) 6= 0.
c) Si f ′ es continua es continua en [0,∞) y lımx→∞
f(x) = 0, entonces
∫ ∞
0
f ′(x)dx =
−f(0)
d) Si la grafica de f es simetrica con respecto al origen o al eje y, entonces
∫ ∞
0
f(x)dx
converge si y solo si
∫ ∞
−∞f(x)dx converge.
16. **Demuestre que
∫ ∞
−∞
1√1 + t4
dt que converge, note que esta integral NO tiene antideri-
vada en funciones elementales.
17. **Sea f una funcion simetrica alrededor de x = a y sea
∫ ∞
−∞f(x)dx = 1. Demuestre
a)
∫ a
−∞f(x)dx =
∫ ∞
a
f(x)dx.
b)
∫ ∞
−∞xf(x)dx = a.
18. El siguiente argumento concluye que ln 3 es igual a ∞−∞ ¿Cual es el error en el argu-mento? Justifique su respuesta.
ln(3) = ln(1) + ln(3) = ln(1)− ln1
3
= lımb→∞
ln(b− 2
b
)
− ln1
3= lım
b→∞
[
lnx− 2
x
]b
3
= lımb→∞
[
ln(x− 2)− lnx]b
3= lım
b→∞
∫ b
3
( 1
x− 2− 1
x
)
dx
=
∫ ∞
3
( 1
x− 2− 1
x
)
dx =
∫ ∞
3
1
x− 2dx−
∫ ∞
3
1
xdx
= lımb→∞
[
ln(x− 2)]b
3− lım
b→∞
[
ln(x)]b
3= ∞−∞
26
19. Demuestre que si f es par y existen las integrales necesarias, entonces∫ ∞
−∞f(x)dx = 2
∫ ∞
0
f(x)dx
20. Demuestre que si f es impar y existen las integrales necesarias, entonces∫ ∞
−∞f(x)dx = 0.
21. Utilice la evaluacion directa, criterios de comparacion y los resultados del ejercicio anterior,segun sea adecuado, para determinar la convergencia o divergencia de las integrales. Si sepuede aplicar mas de un metodo, emplee el que usted prefiera.
a)
∫ ∞
−∞
dx
ex + e−x
b)
∫ ∞
−∞
dx√x6 + 1
c)
∫ ∞
−∞
x
(x2 + 1)(x2 + 2)
d)
∫ ∞
−∞
e−x
x2 + 1dx
22. Demostrar que el volumen del cuerpo limitado por las superficies obtenidas al rotar lascurvas y = e−x
√sinx, 0 ≤ x < +∞ alrededor del eje x es π
5(1−e−2π)
SUCESIONES
1. Escribir una expresion para el termino n-esimo de la sucesion.
a) 1, 4, 7, 10, . . .
b) −1, 2, 7, 14, 23, . . .
c) 23 ,
34 ,
45 ,
56 , . . .
d) 2,−1, 12 ,− 1
4 ,18
2. ¿Para que valores de r la sucesion {rn} es convergente?
3. Demuestre que la sucesion definda por la recurrencia a1 = 2, an+1 = 12 (an +6) es conver-
gente. Ayuda: Demuestre que esta sucesion es monotona y acotada.
4. Estudiar la convergencia de la sucesion recurrrente dada por a1 = 1, an+1 = 3√
4 + (an)2.Ayuda: Demuestre que esta sucesion es monotona y acotada.
5. Los terminos de la sucesion {an} vienen dados por
√2,
√
2√2,
√
2
√
2√2, . . .
Demuestre que esta sucesion es creciente y acotada superiormente por 2. Calcule lımn→∞
an
6. Dada la sucesion {an} en donde a1 = 7, an+1 =
√
(an)2 + 2
an + 2se pide
a) Probar que an ≥ 1 ∀n ∈ N
b) Demostrar que {an} es convergente y calcular su limite.
7. Calcule el limite de la siguiente sucesion
an =n
n2 + 1+
n
n2 + 2+
n
n2 + 3+ · · ·+ n
n2 + n
27
8. Determine si las sucesiones son convergentes o divergentes
a) { 2n√2n2 + 5
}
b) {1× 3× 5× . . .× (2n− 1)
2nn!}
c) {(n+ en)1/n}
d) {(en + e2n)1/n}
e) { n
√n}
f ) {3n3
e2n}
g) an = n2
2n+1 − n2
2n−1
h) an =(
1 + kn
)n
i) an =1
n
∫ n
1
1
xdx
9. Suponga que f(x) es diferenciable para toda x en [0, 1], y que f(0) = 0. Defina la sucesionan = nf( 1n ). Demuestre que
lımn→∞
an = f ′(0)
Utilice este resultado para determinar los lımites de las sucesiones siguientes.
an = n tan−1(1
n) an = n ln(1 +
2
n) an = n(e1/n−1)
10. Considerar la sucesion an =1
n
n∑
k=1
1
1 + (k/n)y demuestre que lım
n→∞an = ln 2
11. Mostrar que para
∫ n
1
ln(x)dx < ln(n!) para n ≥ 2.
12. Sea a1 = 0, an = 1+an−1
2, n ≥ 2. Pruebe que la sucesion es creciente y acotada. Calcule
su limite.
13. Demuestre que todo numero natural se cumple22n−1
n≤ (2n)!
(n!)2y estudie la convergencia
de la(2n)!
(n!)2
14. Demostrar que ln(1+an) ≈ an cuando an → 0. Luego, encuentre una sucesion equivalentea loga(1 + an) cuando an → 0.
15. Determine la veracidad los siguientes limites de sucesiones
a) lımn→∞
(
√
n2 + 2n− n)n
=1√e
b) lımn→∞
2n
√
1 + n
3 + n= 1
c) lımn→∞
n
√
(2n+ 4
2n− 1
)
n2+1
2
=4√e5
16. Halle el lımite de las siguiente sucesiones
an =8n3 ln(1 + 1
2n )
(2n2 + 5n) cos( 2πn−26n+3 )
bn =(√
n2 −√
n2 + n)
17. ¿Si lımx→∞
log(f(x)) = 2, entonces lımx→∞
f(x) = e2?
18. ¿Si f(x) 6= 0 para x 6= a y lımx→a
f(x) = 0, entonces lımx→∞
(1 + f(x))1/f(x) = e?
19. Sean a y b positivos. Probar que
lımn→∞
n
√an + bn = max{a, b}.
28
20. Demostrar, utilizando la definicion de lımite, que la sucesion de termino general an =4n− 3
n+ 1converge a 4.
21. Sea {xn} una sucesion monotona creciente. Probar que la sucesion yn =x1 + . . .+ xn
ntamben es una la sucesion monotona creciente.
22. Sea (xn)n∈N una sucesion de numeros reales. Responder razonadamente si cada uno delos siguientes apartados es verdadero o falso.
a) Si (xn)n∈N converge, entonces es creciente o decreciente.
b) Si (xn)n∈N es creciente o decreciente, entonces converge.
c) Si (xn)n∈N converge, entonces esta acotada.
d) Si (xn)n∈N esta acotada, entonces converge.
e) Si (xn)n∈N es creciente, entonces esta acotada superiormente.
f ) Si (xn)n∈N es creciente, entonces esta acotada inferiormente.
g) Si lımxn = x, entonces lımn→∞
|xn| = |x|.
h) Si (xn)n∈N esta acotada y converge, entonces es monotona.
3.6.2. SERIES:
1. Probar que la serie converge y que la suma es la indicada.
a)∑
n=1
(n+ 1)1/2 − n1/2
(n2 + n)1/2= 1
b)∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)=
1
2
c)∑
n=1
2
3n−1= 3
d)∑
n=1
2n + 3n
6n=
3
2
e)∑
n=1
n
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)=
1
4
f )∑
n=1
2n + n2 + n
2n+1n(n+ 1)= 1
g)∑
n=2
ln[
(1 + 1n )
n(1 + n)]
(lnnn)[
ln(n+ 1)n+1] = log2
√e
h)
∞∑
n=1
(√n+ 2− 2
√n+ 1 +
√n)
=
2. Si an =
n
2nn es impar
1
2nn es par
Entonces∑
an converge?
3. Determine si las series son: Absolutamente convergente, condicionalmente convergentedivergente.
a)
∞∑
n=1
(−1)n
ln(en + e−n)
b)
∞∑
n=2
(−1)n(2
3
)n
lnn
c)
∞∑
n=1
(−1)n√n
n+ 100
d)
∞∑
n=1
(−1)n−1
ns
e)
∞∑
n=1
(−1)n
n(ln(n+ 1))2
f )
∞∑
n=1
(−1)n∫ n+1
n
e−x
xdx
g)
∞∑
n=1
(−1)nn37
(n+ 1)!
h)
∞∑
n=1
(−1)n/n+1
2n100
2n
i)
∞∑
n=1
(−1)n arctan(1
2n+ 1)
j )
∞∑
n=1
(−1)n sin2 n(2n)!
n2n
k)
∞∑
n=1
1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)! + 1cos(nπ)
l)
∞∑
n=1
(−1)n(n14 + 5) ln(n2 + 2)
en(n4 + 2)
29
4. Estudiar el caracter de las siguientes series segun los diferentes valores de a.
a)
∞∑
n=1
an√n+ 1
2n(n+ 2)
b)
∞∑
n=1
(−1)nen
nena
c)∞∑
n=1
2n
n2sin2n a
d)
∞∑
n=1
n!
(2 + a)(2 + 2a) . . . (2 + na)
e)
∞∑
n=1
1 · 5 · 10 . . . (n2 + 1)
(2n− 1)! a2n
5. Probar que la sucesion {an} de termino general
an = (1− 1/4)(1− 1/9) . . . (1− 1/n2)
es convergente y que su lımite es estrictamente positivo.
6. Decir si cada una de estas series es convergente o divergente razonando su respuesta
a)∑
n=1
3nn!
nn,
b)∑
n=1
n3(√
2 + (−1)n)n
3n
c)∑
n=1
(−1)nlnn
n
d)
∞∑
n=1
√
(2n− 1) ln(4n+ 1)
n(n− 1)
e)∑
n=1
n+ 1
2n
f )∑
n=2
lnn
n√n+ 1
g)
∞∑
n=1
∫ 1/n
0
√x
1 + x2dx
h)
∞∑
n=1
(n!)2
2n2
i)∞∑
n=2
1
(lnn)1/n
j )
∞∑
n=1
enn!
nn
k)
∞∑
n=2
1
ln(nlnn)
l)∞∑
n=2
nn+ 1n
(n+ 1n )
1/n
m)
∞∑
n=1
sin(π2n)3√n
n)
∞∑
n=1
cos(xn)
n2
7. Encuentre el radio y el intervalo de convergencia de la series
a)
∞∑
n=1
(−1)n
2n− 1
(1− x
1 + x
)n
b)
∞∑
n=1
n
n+ 1
( x
2x+ 1
)n
c)
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)( 2x
1 + x2
)n
d)∞∑
n=0
n2
n2 + 1
1
4n(x+ 10)n
e)∞∑
n=0
(x+ 3)n
(n+ 1)2n
f )
∞∑
n=1
(−1)n22nx2n
2n
g)
∞∑
n=0
n(x+ 2)n
3n+1
h)
∞∑
n=1
(3x− 2)n
n3n
i)
∞∑
n=1
3n(x+ 4)n√n
j )
∞∑
n=1
n
xn
k)
∞∑
n=1
(x(x+ n)
n
)n
l)
∞∑
n=1
xn
1 + x2n
m)
∞∑
n=1
n32n
2nxn(1− x)n
n)
∞∑
n=1
2n sinn x
n2
n)
∞∑
n=1
xn
1− xn
30
8. Demuestre que si∑
n=1
an es absolutamente convergente, entonces∑
n=1
(an)2 es convergente
y de un ejemplo que muestre que el recıproco es falso.
9. De la serie de potencias∑
n=1
an(x − 2)n se sabe que converge en x0 = −3 y diverge en
x1 = 9
¿Que puede afirmar sobre la convergencia dela serie en: x2 = 4 y en x3 = −7
¿Puede garantizar que la serie converge en x4 = 8?
10. Conteste las preguntas justificando sus respuestas si es falso de un contraejemplo.
a) Si A es la suma de la serie∑
an entonces la sucesion {an} converge a A.
b) Si A es la suma de la serie∑
an entonces la serie∑
|an| converge a |A|.
c) Si lımn→∞
an+1
an= −2, entonces
∑
n=1
an converge
d) Si lımn→∞
an+1
an< 1, entonces
∑
n=1
an converge
e) Si∑
n=1 an converge, entonces la sucesion {an+1
an} tiene lımite.
f ) En la serie divergente
∞∑
n=1
an, ¿Es valido siempre que lımn→∞
an 6= 0?
g) Si la serie
∞∑
n=1
1
1 + anes convergente, ¿que puede decir de la serie
∞∑
n=1
an?
h) Suponga que an ≥ 0 y bn ≥ 0, an ≤ bn a partir de un cierto n y que
∞∑
n=1
an es
convergente, ¿se puede concluir que
∞∑
n=1
bn es convergente?
i) Suponga que las series geometricas∞∑
n=0
an y∞∑
n=0
bn son convergentes, ¿es siempre la
serie
∞∑
n=1
an
bnconvergente?
j ) Si∑
an y∑
bn son divergentes, entonces∑
anbn es divergente.
k) Si
∞∑
n=1
an converge entonces
∞∑
n=1
(an)2 es converge?
l) Si
∞∑
n=1
an es absolutamente convergente, ¿se puede concluir que
∞∑
n=1
(an)2 es conver-
gente?
m) Si lımn→∞
an = 0 y el signo de an es alternativamente positivo y negativo, entonces∞∑
n=1
an converge.
n) Si an < 1n para todo n, entonces
∞∑
n=1
an diverge.
31
n) Si an < 1n2 para todo n, entonces
∞∑
n=1
an converge.
o) Si la serie∞∑
n=1
an es convergente, ¿se puede concluir que la serie∞∑
n=1
1
anes conver-
gente?
p) Si
∞∑
n=1
|an| es divergente∞∑
n=1
an es convergente?
q) Si
∞∑
n=1
|an| converge ¿se puede concluir que
∞∑
n=1
|an|2 + |an|
tambien converge?
r) ¿Es cierto que si an > 0 y∞∑
n=1
an converge, entonces∞∑
n=1
(−1)nan tambien converge?
s) ¿Si an > 0 y∞∑
n=1
an diverge, entonces∞∑
n=1
(−1)nan tambien diverge?
t) Si la serie de potencias∞∑
n=0
anxn es divergente en x = 5, ¿entonces la serie
∞∑
n=1
an9n
es divergente?
u) Si la serie de potencias
∞∑
n=0
anxn converge en x = 2, ¿que puede afirmarse acerca de
la convergencia en x = 3 y en x = −1.?
3.7. Series de Taylor y Maclaurin
1. Efectuando diversas operaciones en la serie geometrica, se obtuvieron las series de poten-cias para log(1+x) y arc tg x. De forma analoga y sin intentar justificar los pasos, obtenerlas formulas de:
a)∞∑
n=1
nxn =x
(1− x)2
b)
∞∑
n=1
n2xn =x2 + x
(1− x)3
c)
∞∑
n=1
n3xn =x3 + 4x2 + x
(1− x)4
d)∞∑
n=1
xn
n= ln(
1
1− x)
e)∞∑
n=1
x2n−1
2n− 1=
1
2ln(
1 + x
1− x)
f )∞∑
n=0
(n+ 1)xn =1
(1− x)2
g)∞∑
n=0
(n+ 1)(n+ 2)
2!xn =
1
(1− x)3
2. Sabiendo que∞∑
n=0
xn
n!= ex para todo x calcule la suma de la series
∞∑
n=1
n2xn
n!,
∞∑
n=2
(3n2 + 1)
(n+ 1)!xn
3. Encuentre una serie de potencia para f(x) = x2e−x. Luego derive esta serie y pruebe que
∞∑
n=1
(−2)n+1(n+ 2)
n!= 4
32
4. Encuentre una serie de potencia para la funcion f(x) =3
(1− x)(1 + 2x)y halle el radio
de convergencia.
5. Obtener los desarrollos en serie de potencias alrededor de a = 0 de las siguientes funciones.
a) f(x) = e−x2
b) f(x) =x√
1− 2x
c) f(x) = ln
√
1 + x
1− x
d) f(x) = (tan−1 x)2
6. Hallar una serie de potencia, centrada en 0, para f(x) =3x− 1
x2 − 1
7. Encontrar los polinomios de Taylor P0, P1 P2, P3 y P4 para f(x) = ln(x) centrado enc = 1
8. Encontrar los polinomios de Maclaurin P0, P2 P4, y P6 para f(x) = cosx. Usar P6(x)para aproximar el valor de cos(1/10)
9. Determine la serie de Maclaurin para f(x) = cosx, h(x) = x cosx y de f(x) = cos√x.
10. Represente f(x) = sin(x) como la suma de su serie de Taylor centrada en c = π/3 yc = π/6
11. Halle un polinomio de cuarto grado para f(x) = ln(1 + x) y luego aproxime el valor deln(1,1).
12. Comprobar que las series
y =
∞∑
n=0
x4n
(4n)!y y =
∞∑
n=0
x4n
(4n)!
satisfacen las ecuaciones diferenciales y(iv) = y, y xy′′ + y′ − y = 0 respectivamente
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