i antiderivadas

Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Laboratorios de Cálculo Integral Enero – Junio 2022

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I – ANTIDERIVADAS

1. Realice la antiderivación y compruebe el resultado calculando la derivada de la

respuesta.

a) ∫ 𝑤√𝑤 𝑑𝑤

b) ∫ (𝑘−1+𝑘−2+𝑘−3

𝑘2) 𝑑𝑘

c) ∫ (√𝑥3

+1

√𝑥3 ) 𝑑𝑥

d) ∫sin 𝑥

cos2 𝑥𝑑𝑥

e) ∫(2 csc 𝜃 cot 𝜃 − 5 sec2 𝜃) 𝑑𝜃

f) ∫(2 csc2 𝑡 − 2 sec 𝑡 tan 𝑡 + √𝑡3

) 𝑑𝑡

g) ∫sin 2𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥

h) ∫(4 cot2 𝜃 − 7 tan2 𝜃) 𝑑𝜃

i) ∫ (tan 𝜃−2 cos2 𝜃

cos 𝜃) 𝑑𝜃

j) ∫(√𝑥23− csc 𝑥 cot 𝑥) 𝑑𝑥

2. Encontrar la función que cumpla con las condiciones dadas.

a) Pasa por el punto 𝐴 (4,2) 𝑦 𝑔′(𝑥) = 3𝑥 + 1.

b) Pasa por el punto 𝐵 (𝜋

3,

1

4) 𝑦 con ℎ′(𝑥) = 1 − sin 𝑥.

c) 𝑤″(𝑥) = 12𝑥 + 6; 𝑤′(1) = 10 𝑦 𝑤(1) = −5.

d) La recta 𝑙𝑡: 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0, es tangente a la curva en 𝐷 (1,3), con 𝑓″(𝑥) = 6𝑥.



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II – TÉCNICAS DE ANTIDERIVACIÓN

1. Usando la Regla de la cadena para antiderivación, encuentre la antiderivada en

cada caso. Verifique derivando el resultado.

a) ∫(1 + 𝑧2)5 2𝑧𝑑𝑧

b) ∫ 𝑥2(7 − 2𝑥3)4 𝑑𝑥

c) ∫ 𝜃 sin(𝜃2) 𝑑𝜃

d) ∫𝑤

(1+𝑤2)4𝑑𝑤

2. Encuentre la antiderivada realizando sustituciones. Compruebe el resultado

derivando.

a) ∫sin √𝑡

√𝑡𝑑𝑡

b) ∫1

𝑣2√1 +

1

𝑣𝑑𝑣

c) ∫ cos 𝜃 sin7 𝜃 𝑑𝜃

d) ∫𝑥

√𝑥+5𝑑𝑥

3. Encuentre la antiderivada de ∫ tan 𝜃 sec2 𝜃 𝑑𝜃 usando la sustitución:

a) 𝑢 = tan 𝜃

b) 𝑣 = sec 𝜃

c) Explique la aparente diferencia en las respuestas de a) y b).

4. Encuentre la antiderivada de ∫(√𝑥+1)3

√𝑥𝑑𝑥 siguiendo el método indicado:

a) Usando la sustitución: 𝑢 = √𝑥.

b) Desarrollando el binomio al cubo y multiplicando por 𝑥−1

2⁄ .

c) Explique la aparente diferencia en las respuestas de a) y b).



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III – ÁREA

1. Calcule la suma o exprese en función de “𝑛”, usando teoremas.

a) ∑ 𝑖(𝑖 + 1)220𝑖=1

b) ∑ (2 − 𝑖)2𝑛𝑖=1

c) ∑ (√𝑖 − √𝑖 − 1)400𝑖=1

d) ∑ (10𝑖+1 − 10𝑖)𝑛𝑖=1

e) ∑ (2𝑖 − 2𝑖−1)𝑛𝑖=1

2. Evalúe los siguientes límites:

a) lim𝑛→∞

∑ [2 +12(𝑖−1)2

𝑛2]𝑛

𝑖=12

𝑛

b) lim𝑛→∞

∑ (1 +𝑖

𝑛)

3 1

𝑛

𝑛𝑖=1

3. Usando la definición de área de una región plana, determine el área de la región

limitada por:

a) 𝑦 = 1 − 𝑥2; 𝑦 = 0; 𝑥 ∈ [−1,0]. Use rectángulos inscritos.

b) 𝑦 = 𝑥3 − 1; 𝑦 = 0; 𝑥 ∈ [1,3]. Use rectángulos circunscritos



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IV – TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

1. Calcule las derivadas siguientes:

a) 𝑑

𝑑𝑥∫

1

3+𝑡2

𝑥

2𝑑𝑡

b) 𝑑

𝑑𝑥∫ sin 𝑡

𝑥2

1𝑑𝑡

c) 𝑑

𝑑𝑥∫ √4𝑡 + 1

0

3𝑥−1𝑑𝑡

d) 𝑑

𝑑𝑥∫

1

1+𝑡2

𝑥2

𝑥+1𝑑𝑡

e) 𝑑

𝑑𝑥∫ cos(𝑡2 + 1)

𝑥

−𝑥𝑑𝑡

2. Evalúe.

a) ∫ (7𝑥4

3⁄ + 8𝑥1

3⁄ ) 𝑑𝑥1

−1

b) ∫1

9+6𝑥+𝑥2

4

0𝑑𝑥

c) ∫ √1 + |𝑥|𝑑𝑥3

−8

d) ∫(1−sin 𝜃)

(𝜃+cos 𝜃)2

𝜋

2𝜋

6

𝑑𝜃

e) ∫ 3 csc2 2𝛼𝜋

4𝜋

8

𝑑𝛼

f) ∫ (sin 2𝑤 + cos 3𝑤)𝜋

60

𝑑𝑤

3. Determine: ∫ [𝐷𝑥 ∫ (2√𝑡 − 1)𝑑𝑡𝑥

5]

16

4𝑑𝑥

4. Calcule el área de la región acotada por las curvas:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 2.

b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = −4.

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥.

d) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 ; para 𝑥 ∈ [0, 𝜋2⁄ ].



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V – VOLÚMENES

1. Obtenga el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje indicado, la

región acotada correspondiente.

a) 𝑦 = 𝑥2

3⁄ ; 𝑦 = 𝑥2; girando alrededor de 𝑦 = −1.

b) 𝑦 = 𝑥 − 2; 𝑦2 = 𝑥; girando alrededor 𝑦 = 2.

c) 𝑦2 = 𝑥3; 𝑦 = 8; 𝑥 = 0; girando alrededor 𝑦 = 0.

d) 𝑦2 = 𝑥3; 𝑦 = 8; 𝑥 = 0; girando alrededor 𝑥 = 0.

e) 𝑦2 = 𝑥3; 𝑦 = 0; 𝑥 = 4; girando alrededor 𝑦 = 0.

f) 𝑦2 = 𝑥3; 𝑦 = 0; 𝑥 = 4; girando alrededor 𝑥 = 0.

g) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3; 𝑥 = 0; 𝑦 = 2 girando alrededor 𝑥 = −1

h) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3; 𝑥 = 0; 𝑦 = 2 girando alrededor 𝑥 = 2

2. Calcular la longitud de la curva dada en el intervalo indicado.

a) 𝑓(𝑥) =1

6𝑥3 +

1

2𝑥 ; 𝑥 ∈ [2,4].

b) 𝑔(𝑥) = 2√(𝑥 + 1)3 − 1; 𝑥 ∈ [−1,0].



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VI – FUNCIONES INVERSAS Y TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. Demostrar que las funciones dadas son inversas y en el mismo sistema de

coordenadas trazar sus gráficas.

a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 5; 𝑔(𝑥) = 17⁄ (𝑥 − 5).

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1; 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 1.

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1; 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 13

.

2. Encontrar la inversa, señale dominio y rango. Grafique ambas funciones.

a) 𝑓(𝑥) = (9 − 𝑥)3

b) 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥−4

c) 𝑓(𝑥) =1

1+8𝑥3

3. Sin obtener la inversa, determinar el punto de la gráfica de 𝑓−1 en el valor

indicado de “𝑥”. Halle una ecuación de la recta tangente a 𝑓−1 en ese punto.

a) 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

4𝑥−1 ; 𝑥 = 0 b) 𝑓(𝑥) = (𝑥5 + 1)3; 𝑥 = 1

c) 𝑓(𝑥) = 8 − 6√𝑥 + 23

; 𝑥 = −3 d) 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥 − 𝑥3 ; 𝑥 = 2

4. Calcular 𝑓−1(𝑑), si:

a) 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 + 𝑥 − 7; 𝑑 = 5 b) 𝑓(𝑥) =

2𝑥+1

4𝑥+1; 𝑑 = −1

c) 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑡𝑑𝑡; 𝑥 < 0; 𝑑 = −62

𝑥 d) 𝑓(𝑥) = ∫

1

√1+𝑡2

7𝑥

2𝑑𝑡; 𝑑 = 0

5. Calcule las derivadas de las funciones:

a) 𝑓(𝑡) = 2 cos−1 √𝑡 + 3 sin−1 1

𝑡 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 tan−1 𝑥 − sec−1 √𝑥

6. Encuentre la antiderivada.

a) ∫1

√1−4𝑥2𝑑𝑥

b) ∫1

𝑥2+4𝑥+6𝑑𝑥

c) ∫1

𝑥√9𝑥2−1𝑑𝑥



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VII – FUNCIONES LOGARÍTMICAS, EXPONENCIALES E HIPERBÓLICAS

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = log2 (𝑥−1

𝑥+2)

b) 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑥 + 6−3𝑥

c) ℎ(𝑧) =log3 𝑧

𝑧− sec 3𝑧2

d) 𝑤(𝑡) = sinh √𝑡 + cosh 𝑡3

e) 𝑣(𝑥) = tanh−1(cos 𝑥)

2. Evalúe la integral indefinida.

a) ∫ 2𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡

b) ∫ 𝑥24𝑥3𝑑𝑥

c) ∫10ln1

𝑣⁄

𝑣𝑑𝑣

d) ∫ 𝑥 cosh 𝑥2 sinh 𝑥2 𝑑𝑥

e) ∫ coth2 2𝑧 𝑑𝑧

f) ∫ tanh 2𝑥 ln(cosh 2𝑥) 𝑑𝑥

3. Exprese la integral indefinida en términos de una función hiperbólica inversa y

como un logaritmo natural.

a) ∫1

√4+𝑟2𝑑𝑟

b) ∫1

25−𝑡2𝑑𝑡



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VIII – INTEGRACIÓN POR PARTES

1. Evalúe la integral indefinida. Verifique la respuesta mediante diferenciación.

a) ∫ 𝑤𝑒2𝑤 𝑑𝑤

b) ∫ 𝑡2 cos 3𝑡 𝑑𝑡

c) ∫ sin−1 𝜃 𝑑𝜃

d) ∫ 𝑥 sec2 2𝑥 𝑑𝑥

e) ∫ sin( ln 𝑟) 𝑑𝑟

f) ∫ ln(𝑢2 + 1)2 𝑑𝑢

2. Calcule el valor exacto de la integral definida.

a) ∫ 𝜃 tan−1 𝜃𝜋

20

𝑑𝜃

b) ∫ 𝑒𝑤 cos 𝑤𝜋

20

𝑑𝑤

c) ∫ ln(𝑥 + 2)2

−1𝑑𝑥

d) ∫ sin 𝛼𝜋

40

ln(cos 𝛼) 𝑑𝛼



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IX – INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS


a) ∫ cos 𝑤 cos 2𝑤 𝑑𝑤

b) ∫ sin 2𝑡 cos 3𝑡 𝑑𝑡

c) ∫ 𝑒𝜃 tan4 𝑒𝜃 𝑑𝜃

d) ∫ sec3 2𝑥 𝑑𝑥

e) ∫1

1+cos 𝑟𝑑𝑟

f) ∫(sec 3𝑢 + csc 3𝑢)2 𝑑𝑢


a) ∫ cos3 𝜃𝜋

20

𝑑𝜃

b) ∫ sin3 𝑤 cos2 𝑤𝜋

30

𝑑𝑤

c) ∫ sin3 (1

2𝜋𝑥)

1

0 𝑑𝑥

d) ∫ sin2 (1

2𝛼) cos2 (

1

2𝛼)

𝜋

20

𝑑𝛼



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X – INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS MEDIANTE SUSTITUCIÓN

TRIGONOMÉTRICA


a) ∫√9−𝑤2

𝑤2𝑑𝑤

b) ∫𝑡2

√2+𝑡2𝑑𝑡

c) ∫𝑒−𝑣

(4𝑒−2𝑣+1)3

2⁄𝑑𝑣

d) ∫1

(𝑥2−6𝑥+18)3

2⁄𝑑𝑥

e) ∫sec2 𝑟

√9−tan2 𝑟𝑑𝑟

f) ∫1

𝑢√𝑢2+25𝑑𝑢


a) ∫1

𝑧2√𝑧2+9

3√3

√3𝑑𝑧

b) ∫ 𝑤2√25 − 𝑤25

0𝑑𝑤

c) ∫𝑒𝑥

(𝑒2𝑥+8𝑒𝑥+7)3

2⁄

ln 2

0𝑑𝑥

d) ∫√16−𝑒2𝑣

𝑒𝑣

1

0𝑑𝑣



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XI – INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES


a) ∫𝑤2+4𝑤−1

𝑤3−𝑤𝑑𝑤

b) ∫sec2 𝑡(1+sec2 𝑡)

1+tan3 𝑡𝑑𝑡

c) ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃; (Sugerencia: multiplique y divida por " cos 𝜃")

d) ∫1

9𝑥4+𝑥2𝑑𝑥

e) ∫𝑒5𝑟

(𝑒2𝑟+1)2𝑑𝑟

f) ∫cos 𝑢

sin 𝑢+sin3 𝑢𝑑𝑢


a) ∫𝑧+4

2𝑧2+5𝑧+2

4

0𝑑𝑧

b) ∫𝑤2−4𝑤+3

𝑤3+2𝑤2+𝑤

3

1𝑑𝑤

c) ∫2𝑥2+13𝑥+18

𝑥3+6𝑥2+9𝑥

4

1𝑑𝑥

d) ∫𝑡

𝑡3+2𝑡2+𝑡+2

1

0𝑑𝑡



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XII – INTEGRACIÓN MEDIANTE OTRAS TÉCNICAS DE SUSTITUCIÓN


a) ∫√𝑤

1+ √𝑤3 𝑑𝑤

b) ∫𝑡3

√𝑡2+43 𝑑𝑡

c) ∫8

1+tan 𝜃𝑑𝜃

d) ∫1

5 sin 𝑥+3𝑑𝑥

e) ∫𝑟2

(1−𝑟)2𝑑𝑟

f) ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 ; (use la sustitución 𝑧 = tan𝑥

2)

2. Calcule el valor exacto o aproximado (seis dígitos significativos) de la integral

definida.

a) ∫1

1−sin 𝜃+cos 𝜃

𝜋

40

𝑑𝜃

b) ∫1

1+√𝑤

4

0𝑑𝑤

c) ∫sin 2𝑥

2+cos 𝑥

𝜋

20

𝑑𝑥

d) ∫1

3+cos 2𝛼

𝜋

20

𝑑𝛼

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