Republica Bolivariana de Venezuela

Universidad Nacional Experimental de Guayana

vice – rectorado académico

catedra: matemáticas IV

Derivadas, anti derivadas y familias de curvas

Yepez y

Prof: Álvaro Barrios Bachiller: Yepez Yeraldine

Derivadas

La derivada es la pendiente de la rectatangente a una función f(x) en un puntodeterminad

Yepez y

Donde:

• La derivada de la función es el punto marcado a la pendiente

de la recta tangente.• La grafica de la función es la

dibujada en rojo.• La tangente de la curva es la

dibujada en verde.

Derivada como razón de cambio

Si y= f(x), entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x en elintervalo x, x + Δx se define como:

ΔyΔx

=𝑓 𝑥+∆x −𝑓(𝑥)

Δx

Ejemplo:

Si f(x) = x² – 3x

X1 = 2 y x2 = 10

¿Cuál es la razón de cambio promedio entre estos?

Solución

Δx = x2 - x1 f(2)=(2)² - 3(2) f(10)=(10)² - 3(10) ΔyΔx

=70−2

8

Δx =10 - 2 f(2)=4-6 f(2)=100-30 ΔyΔx

=68

8

Δx = 8 f(2)= -2 f(2)=70 ΔyΔx

=17

2

Yepez y

Propiedades de la derivadas

• (C)‘=0

• LINEALIDAD:[F,(X) ± F2(X) ± F3(X ) ± ….Fn(x)]`

• [KF]`=K.F

• [F.G]`=F`.G+F.G`

• [𝐹

𝐺]`=

𝐹`.𝐺−𝐹.𝐺`

𝐺²

• [𝐾

𝐹]`=

−𝐾.𝐹

𝐹²

REGLA DE LA CADENA

[( )ⁿ]`=n( )ⁿ-‘ . ( )‘[𝑒( )]‘ =𝑒( ).( )‘

[√( )]‘=( )′

2√( )

[ln( )]‘=( )

( )

[Sen( )]‘=Cos( ).( )'

[Cos( )]‘= -Sen( ).( )'

[Tg( )]‘=sec²( ).( )'

[Ctg( )]‘=-csc².( )‘

[Csc( )]‘=-csc( ).ctg( ).( )'

[Sec( )]‘=Sec().Tg().()'Yepez y

Ejercicios resueltos

• [𝑒𝑓𝑥]‘=𝑒(𝑥+2)5

[𝑒( )]‘ =𝑒( ).( )‘

[𝑒(𝑥+2)5 ]'=𝑒(𝑥+2)5 .[(x+2) ]'

𝑒(𝑥+2)5 . 5(x+2) . (x+2)'

𝑒(𝑥+2)5 .5(x+2) . (x+2)

𝑒(𝑥+2)5 . 5(x+2)

Yepez y

5

4

Ejercicios resueltos

𝑡 + 2

𝑡

√𝑡+2

𝑡= (

𝑡+2𝑡

2 𝑡+2𝑡

)‘

𝑑𝑝

𝑑𝑡= (

𝑡+2

𝑡)‘ =

(t+2)‘.t−(t+2).t′𝑡²

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝑡′ + 2′ . 𝑡 − 𝑡 + 2 . 1

𝑡²1 .𝑡−(𝑡+2)

𝑡²= 𝑡−𝑡−2

𝑡²= −2

𝑡²

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

−2

𝑡²2 𝑡+2

𝑡1

=−2

2.𝑡² 𝑡+2𝑡

= −1

𝑡² 𝑡+2𝑡

Yepez y

Yepez y

anti derivadas

Anti derivadas

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación,es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce lafunción dada.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es lasiguiente:

Ejemplo:

Para f ( x ) = 3 x ² , l a función: F ( x ) = x ³ e s una anti derivada, pues f' (x)‘=3( x²) 3 ' =f(x)

F '(x) = F(x)

Yepez y

Interpretación geométrica

Si F es una anti derivada de f sobre un intervalo I, entonces la anti

derivada general de f sobre I es:

F(x) +C Donde: C es una constante

Significado geométrico:

Si F(x) es una anti derivada de f (x) en I , cualquier otra anti derivada de

f en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x).

Yepez y

Anti derivadas• Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas anti derivadas son:

• F(x) = x2 + 2

• F(x) = x2 + 1

• F(x) = x2

• F(x) = x2 - 1

• F(x) = x2 - 2

Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene :

• A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de antiderivadas, con una derivada en común, que es f(x) = 2x

Yepez y

Yepez y

Familia de curvas

son las curvas que se obtienen de una función y que difieren entre sí en una

constante.

• En la siguiente figura, se muestran una familia de curvas de colector para

diferentes valores constantes de la corriente base.

Yepez y

Familia de curvas

Yepez y

Ejemplos:

Estas curvas representan, la forma de funcionamiento deltransistor.

Familia de curvas

Yepez y

Esta curva, nos indica que para una temperatura ambiente de

25ºC, la potencia máxima es de 125mW. Sin embargo, para

55ºC, la potencia máxima disminuye a 50mW.

Gracias

Yepez y