power algebra

• La trigonometría se creó para ayudar a resolver problemas en los que intervienen ángulos y las longitudes de lados de los triángulos. Ya no son las aplicaciones más importantes los problemas de este tipo, sin embargo, siguen surgiendo en la física aplicaciones donde intervienen los triángulos. De hecho muchos instrumentos de avanzada tecnología, que se usan en distintas faenas, han utilizado elementos de esta rama de las matemáticas para su construcción.

• Dado un triángulo rectángulo ABC de lados, a, b,c y el ángulo , como muestra la figura, se definen las razones trigonométricas para el ángulo

como:

En los problemas debemos considerar dos conceptos importantes :

• Angulo de Elevación y Depresión :Angulo de Elevación y Depresión :• Como se ve en la fig1 si un observador en un punto X avista

un objeto, el ángulo que forma la línea visual con la horizontal L, es el ángulo de elevación del objeto, siempre que éste se halle arriba de la horizontal. Se llamará ángulo de depresión del objeto, si éste está debajo de la horizontal. Es decir, el ángulo de depresión es el que forma la horizontal que pasa por el ojo del observador y la visual, cuando el objeto se encuentra debajo de la horizontal .

Se usa esta terminología en las dos Figuras siguientes :

• Angulo de Elevación:Angulo de Elevación: Es el ángulo que se mide entre la horizontal y la visual, cuando el objeto está arriba de la horizontal.

• Angulo de Depresión:Angulo de Depresión: Es el ángulo que se mide entre la horizontal y la visual cuando el objeto está debajo de la horizontal.

Si un triángulo es rectángulo y se conocen uno de sus ángulos agudos y un lado o dos de sus lados, se pueden encontrar las partes restantes aplicando las razones trigonométricas. Este proceso recibe el nombre " resolver el triángulo"

• 1.-Calcular la altura de un árbol, si el ángulo de elevación a la copa del árbol es de 37° y la distancia a la que se encuentra el observador de la base del árbol es de 6mt .

• 2.-Calcular la altura a la que se eleva una cometa si el cordel mide 200m y el ángulo de elevación a la cometa es de 60 °.

• 3.- Un observador se encuentra parado en frente de un río y quisiera cruzarlo pero necesita calcular el ancho que tiene, entonces desde un punto de un lado del río observa con un ángulo de 56 ° los puntos (en el mismo lado del río ) y

( en el lado opuesto), luego camina desde C a A en línea recta avanzando 40 m.

¿ Cuál es el ancho del río ?

• 4.-Dos personas caminan en un prado observando el lugar. De pronto están uno frente al otro, en línea recta y uno de ellos pregunta ¿ será posible que determinemos a qué distancia te encuentra tú del alerce que se ve allá lejos, si el ángulo que se forma al observarte a tí y al alerce es de 80 °?

Uso de los Rumbos• 5.-De un puerto salen dos barcos al mismo tiempo, uno

de ellos con el rumbo N 23º E, a una velocidad de 11 mi/h; el segundo navega en dirección S 67º E, a 15 mi/h. Calcule aproximadamente el rumbo desde el segundo barco hacia el primero, una hora después.

• Se desea obtener el rumbo de B a A. Nótese que :

Por consiguiente, el triángulo ACB es rectángulo en C.

Se ha redondeado al grado más cercano, ya que los lados de los triángulos aparecen con dos cifras significativas.

Observando la figura:

• Podemos afirmar:

Por consiguiente, el Por consiguiente, el rumbo de rumbo de B B a a A A es, es, aproximadamente, aproximadamente, N31ºON31ºO

• Para resolver otro tipo de triángulos es conveniente usar dos teoremas llamados Teorema del Seno y Teorema del Coseno, respectivamente:

• Teorema del SenoTeorema del Seno : • " En cualquier triángulo

ABC los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos". Es decir

Problemas de Aplicación del Teorema del Seno

• 1)Localización de un banco de peces: Una embarcación pesquera comercial utiliza equipo de sonar para detectar un banco o cardumen, de peces a 2 millas al este de la embarcación, el cual se mueve en dirección N 51ºO a razón de 8 millas por hora.

• a)Si la embarcación navega a 20 millas por hora, calcule la dirección en que debe dirigirse para interceptar el cardumen.

• b)Hallar el tiempo que tardaría en interceptar el banco de peces.

Problema 2

• Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las orillas opuestas de un río. Se traza un segmento de recta (A y C están del mismo lado del río) de una longitud de 240 yardas y se encuentra que los ángulos BAC y ACB miden 63º20' y 54º10', respectivamente. Aproxime la distancia de A a B.

• Teorema del CosenoTeorema del Coseno " En cualquier triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman."

Problemas de Aplicación del Teorema del Coseno

• 1)Un poste vertical de 40 pies de altura se encuentra en la ladera de una colina que forma un ángulo de 17º con la horizontal. Determinar la longitud mínima del cable de retenida necesario para unir la parte superior del poste con un punto directamente abajo de la colina, a 72 pies de la base del poste.

• 2) Se desea calcular la distancia exactaentre dos árboles A y B, que están en lados opuestos de un galpón.Una persona C está localizada de tal forma que AC mide 130 pies y BC mide 210 pies; el ángulo ACB mide 68°20’.Calcular la distancia AB.

• 2)Un crucero viaja en la dirección N47ºE desde una isla hacia un punto en tierra firme que está a 150 millas de distancia. Después de navegar a través de corrientes muy fuertes hacia el oeste, el capitán encuentra que se ha salido de la ruta y está en la posición , N33ºE a 80 millas de la isla.

• a)Calcule la distancia del barco al puerto.• b)¿En qué dirección debe enfilar el navío para

corregir su rumbo?