algebra vectorial 1

Sistema de Referencia

Sistema de Coordenadas

Sistema de Medición de tiempo

Cuerpo de referencia

SISTEMA DE COORDENADAS

RECTANGULARES

Cada punto esta

marcado con las

coordenadas (x, y).

(x, y) Q(-3, 9)

P(6, 3)

x

y

•Un punto de referencia fijo O,

denominado el origen.

•Un conjunto de ejes especificados

con escalas y leyendas apropiadas

sobre los ejes.

•Instrucciones de cómo marcar un

punto en relación con el origen y los

ejes.

Un sistema que se utiliza con

frecuencia es el sistema

rectangular o cartesiano

Se compone de:

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

22

tan

sen

cos

yxr

x

y

ry

rx

Se cumplen las siguientes

relaciones entre el sistema

rectangular y polar..

(x, y)

r

O

y

x

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

I) Magnitudes vectoriales

Los vectores Son entidades matemáticas con

* Magnitud: * Dirección: * Y Sentido:

Magnitudes Vectoriales

Posición Desplazamiento Fuerza

Campo Magnético

… etc

SIMBOLOGÍA

Vector que entra (-) Vector que sale (+)

ALGEBRA VECTORIAL

Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres

elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma

magnitud y dirección pero sentido opuesto

ALGEBRA VECTORIAL: SUMA VECTORIAL Considere dos vectores A y B como se muestra.

El vector suma se puede determinar mediante la regla del

paralelogramo o del triángulo .

La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley

de cosenos-

La dirección mediante la ley de cosenos

2 2

2 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

ALGEBRA VECTORIAL: RESTA VECTORIAL Considere dos vectores A y B como se muestra.

El vector suma se puede determinar mediante la regla del

paralelogramo o del triángulo .

La magnitud del vector diferencia D es

La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 2

2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un

vector . El producto es un nuevo vector . La

magnitud del vector producto es c veces la magnitud del

vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma

dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector

producto es de sentido opuesto a

cA

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN

ESCALAR POR UN VECTOR

1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.

si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma

de dos vectores se tiene

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN

ESCALAR POR UN VECTOR

3. Ley distributiva para la suma escalar.

Si b y c son la suma de dos escalares por el vector

A se tiene

SUMA DE VARIOS VECTORES

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del

poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del

paralelogramo o del triángulo. Es decir

VI. VECTOR UNITARIO

Es un vector colineal con el vector original

Tiene un módulo igual a la unidad

Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆ

A

Ae

A

ˆAA A e

II) Caracterización de Vectores

Los vectores deben referirse SIEMPRE a un Sistema de Coordenadas

* Sistema Estándar o “Dextrógiro”

* Vectores unitarios rectangulares Son vectores “Base” 3D u

“ortonormales” (perpendiculares y de

longitud unitaria)

ˆˆ ˆi j k

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2

x yA A A y

x

A

Atg

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3. En el espacio. Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2

x y zA A A A

cos 𝛽 =𝐴𝑋𝐴

cos 𝛾 =𝐴𝑋𝐴

cos 𝛼 =𝐴𝑋𝐴

Con la “combinación lineal” de estos tres vectores base se puede

especificar cualquier vector

Ejemplo:

Luego:

Por lo tanto, existen dos formas de escribir el vector u:

Y también:

* Módulo y versor de un vector arbitrario

Sea

- La longitud o “módulo” de A es:

- Y el versor de A es:

Ejemplo: NOTA: el versor indica los

“Cosenos Directores”:

III) Suma y Resta de Vectores

A = (Ax , Ay) = (1,3)

B = (Bx , By) = (2, 1)

* VECTOR SUMA C = A + B

- Método del Paralelógramo

- Método Cartesiano

Luego:

* VECTOR RESTA: C = A - B

- Método del paralelógramo

- Método cartesiano

En este caso:

Operaciones con vectores II:

Producto Escalar:

Dados dos vectores A y B se

define como producto

escalar:

A.B = | A | . | B | . cos

donde es el ángulo que

forman los dos vectores.

De la definición:

332211. bababaBA

Proyección de un vector sobre otro

A • B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) es la

proyección escalar de A en B

Ángulos entre dos vectores

Vectores ortogonales

Vectores paralelos o en una misma dirección

Multiplicación de Vectores

* Producto Punto El resultado SIEMPRE es un ESCALAR

- Ejemplo:

Producto vectorial:

Se define como producto

vectorial de los vectores A y

B al vector V tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a

la vez y cuya magnitud se

define como:

| V | = | A |.| B | sen

Puede verse que la

magnitud del vector V es

igual al área definida por A

y B.

Observe el sentido de la

rotación.

A

B

V

* Producto Cruz El resultado es SIEMPRE un VECTOR

- Longitud de C:

Finalmente:

NOTAS

1) Producto cruz y rotaciones

Sean:

A = vector que indica el punto de aplicación de una fuerza respecto del eje de giro

B = Fuerza aplicada Se tendrá que AxB indica el vector “responsable”

de la rotación y se conoce como “Torque”

Observemos que el vector B se puede escribir

como la suma de dos vectores: uno paralelo a A y

otro perpendicular a A:

Observemos que sólo “B perpendicular”

contribuye a la rotación, de modo que:

2) Producto Cruz entre versores

El sentido antihorario es positivo.

Luego:

… etc

EJEMPLO:

Compruebe que:

3) En general, AxB se calcula con un determinante:

FIN

TAREA

1. Un vector tiene una componente x de -25.0 unidades y una

componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y

dirección de este vector.

2. Considere dos vectores A = 3i - 2j y B = -i - 4j. Calcule a)

A + B, b) A - B, c) |A + B|, d) |A - B| y e) las direcciones de A

+ B y A - B.

3. Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos

consecutivos: 3.50 m al sur, 8.20 m al noreste y 15.0 m al

oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?