Escalar: Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número(positivo o negativo) y tiene el mismo valor para todos los observadores, y no poseecomo tal una dirección física.Por ejemplo, la temperatura de un cuerpo se expresa con una magnitud escalar. Unamagnitud física se denomina escalar cuando puede representarse con un úniconúmero (única coordenada) invariable en cualquier sistema de referencia. Así lamasa de un cuerpo es un escalar, pues basta un número para representarla (porejemplo: 75 kg). Otros son la presión (más no la fuerza), el volumen, voltaje; ocantidades globales tal como: la temperatura.

Vector: es una herramienta geométricautilizada para representar una magnitud físicadefinida por su módulo (o longitud), sudirección (u orientación) y su sentido (quedistingue el origen del extremo). Ejemplo sonla velocidad, la aceleración, fuerza, etc.

Campo Escalar : En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribuciónespacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. Enmatemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física. Los camposescalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la distribución de latemperatura o la presión de un gas en el espacio.

Un campo escalar en cada punto asocias un sólo número V(x,y,z) que en principiopuede cambiar de punto a punto.

Campo Vectorial: En matemáticas, un campo vectorial representa la distribuciónespacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asociaun vector a cada punto en el espacio.Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar lavelocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección defuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Para un campo vectorial, en cada punto del espacio (𝑥, 𝑦, 𝑧) se tiene asociado unvector con componentes 𝐸_𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐸_𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐸_𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧), es decir para cadapunto (x,y,z) tienes tres funciones E_x, E_y y E_z. Mientras que para un campoescalar en cada punto asocias un sólo número V(x,y,z) que en principio puedecambiar de punto a punto.

Campo Vectorial:Líneas de fuerza: los campos vectoriales se representan por líneas continuas conorientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas recibenel nombre de líneas de fuerza.

Las líneas de fuerza cumplen con lassiguientes propiedades:• Los vectores de campo en cualquier

punto son siempre tangenciales a la líneade fuerza que pasa por el punto dado.

• Las líneas de fuerza no se cruzan enningún punto aunque pueden seguirtrayectorias cerradas.

• La cantidad de líneas de fuerza encualquier porción del espacio en que seencuentra definido el campo esproporcional a la intensidad del campovectorial.

Sistema de coordenadas cartesianas: un sistema de coordenadas cartesianas sedefine por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si esun sistema bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de las coordenadasde un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dichopunto

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑑𝐿 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑎𝑥 + 𝑑𝑦 ∙ 𝑎𝑦 + 𝑑𝑧 ∙ 𝑎𝑧

𝑑𝑆𝑧 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑎𝑧𝑑𝑆𝑦 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑎𝑦𝑑𝑆𝑥 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑎𝑥

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

Sistema de coordenadas polares:Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano sedetermina por un ángulo y una distancia.

𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∅𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 ∅

𝜌∅

Sistema de coordenadas cilíndricasLas coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un puntodel espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccióndel eje.El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratanproblemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tresdimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

𝑧 = 𝑧

𝑟 = 𝜌2 + 𝑧2

𝑑𝐿 = 𝑑𝜌 ∙ 𝑎𝜌 + 𝜌 ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑎∅ + 𝑑𝑧 ∙ 𝑎𝑧

𝑑𝑆𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝜌 ∙ 𝑎𝑧𝑑𝑆𝜌 = 𝜌 ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑎𝜌𝑑𝑆∅ = 𝑑𝜌 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑎∅

𝑑𝑉 = 𝜌 ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝜌 ∙ 𝑑𝑧

Sistema de coordenadas esféricasEl sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadaspolares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes:el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∅𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 ∅𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑑𝐿 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑎𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑎𝜃 + 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑎∅

𝑑𝑆∅ = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑎∅𝑑𝑆𝜌 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑎𝜃𝑑𝑆𝑟 = 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑎𝑟

𝑑𝑉 = 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃) ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑∅ ∙ 𝑑𝑟

Producto Escalar (Punto): En matemática, el producto escalar, también conocidocomo producto interno, producto interior o producto punto, es una operación entredos vectores de un mismo espacio. El resultado de esta operación es un número oescalar que resulta de sumar las multiplicaciones de las dimensiones de estos dosvectores en cada uno de los ejes coordenados.

𝐴 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 B = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝐴𝐵

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑧

Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional:longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalarpuede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y engeneral en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectorialesdotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Propiedades Producto Punto𝐴 ∗ 𝐴 = 𝐴 2 𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∗ 𝐵 + 𝐴 ∗ 𝐶

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐵 ∗ 𝐴 𝑐 ∙ 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝑐 ∙ 𝐵 ∗ 𝐴 = 𝐴 ∗ 𝑐 ∙ 𝐵

0 ∗ 𝐴 = 0Teorema:

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝐴𝐵

𝐴 ∗ 𝐵 > 0 entonces 𝜃𝐴𝐵 es agudo

𝐴 ∗ 𝐵 < 0 entonces 𝜃𝐴𝐵 es Obtuso

𝐴 ∗ 𝐵 = 0 entonces 𝜃𝐴𝐵 =𝜋

2

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 entonces 𝜃𝐴𝐵 = 0

La aplicación más común del producto punto se halla en el área mecánica, donde sise aplica una fuerza constante 𝐹, y esta produce un desplazamiento 𝐿, el trabajorealizado se define como:

𝐹 ∗ 𝐿 = 𝐹 ∙ 𝐿 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Si se supone que la fuerza varia a lo largo de una trayectoria, es necesario hallar laintegral a lo largo de esa trayectoria.

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = න𝐹 ∗ 𝑑𝐿

Otro ejemplo clásico se halla en los campos magnéticos.

Producto Cruz (Vectorial): En Matemáticas, el producto cruz, producto vectorial, oproducto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre dos vectores en unespacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores quese multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a sucapacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentidovaría de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación esaplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o deingeniería.

𝐴 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 B = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧

𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃𝐴𝐵 𝑘

𝐴 𝑥 𝐵 =

𝑖 𝑗 𝑘𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

= 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑦 ∙ 𝑖 − 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑥 ∙ 𝑗

+ 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑥 ∙ 𝑘

Propiedades Producto Cruz𝐴 𝑥 𝐴 = 0 𝐴 𝑥 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝑥 𝐵 + 𝐴 𝑥 𝐶

𝐴 𝑥 𝐵 = − 𝐵 𝑥 𝐴 𝑐 ∙ 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝑐 ∙ 𝐵 𝑥 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑐 ∙ 𝐵

0 𝑥 𝐴 = 𝐴 𝑥 0 = 0 𝐴 𝑥 𝐴 + 𝐵 = 0Teorema:

𝐴 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 B = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧

𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃𝐴𝐵 𝑘

Si 𝐴 𝑥 𝐵 = 0 y 𝐴, 𝐵 ≠ 0 Entonces 𝜃𝐴𝐵 = 0°