Algebra De los Diagramas de Bloques y Comportamiento en el Dominio del tiempo

Contenido:

Álgebra de los diagrama de bloques, repuesta transitoria de sistemas LTI –de Primer, Segundo y orden superior

Parámetros en Comportamiento en el domino del tiempo Significado de la ubicación de los polos Sensibilidad de los parámetros Varias reglas para simplificar un diagrama de bloques complejo Reduce el trabajo algebraico necesario para analizar un sistema. El objetivo general es reducir el sistema a un solo bloque simple. Ya se a visto como un sistema de lazo cerrado puede ser reducido

Sistema de lazo cerrado

Reducción del sistema de lazo cerrado

Reglas básicas

o El producto de la función de transferencia en la dirección de alimentación debe permanecer igual durante la operación de reducción.

o El producto de las funciones de transferencia alrededor de cualquier lazo debe permanecer igual.

o Recorriendo un punto de suma detrás del bloque

o Recorriendo un punto de unión detrás del bloque

o Recorriendo un punto de unión más allá del bloque

o Removiendo el bloque del camino de realimentación

Para ejemplos ver Ogata p. 69 y 117

o Considerando un sistema de lazo cerrado simple con un integrador en el camino de retroalimentación

Respuesta Transitoria En Sistemas de Primer Orden

o Respuesta escalón unitario

Pendiente inicial=1/T

Tiempo c(t)T 0.6322T 0.8653T 0.954T 0.9825T 0.993

o Respuesta rampa unitaria

Error de tracking1 en la entrada de rampa

El error se define como:

Error en estado estable

Siempre habrá un pequeño desplazamiento determinado por la constante de tiempo del sistema

1 - ¿Qué es el "tracking"?Se trata de una tarea genérica que consiste en hacer que el resultado (output) deun sistema se corresponda en el tiempo y el espacio con un input (o información deentrada) elegido, que varía con el tiempo.

o Respuesta impulso unitario

Nota: La respuesta al impulso unitario de un sistema LTI el simplemente la transformada inversa de laplace de la función de transferencia

Respuesta escalón unitario = derivada de la respuesta rampa unitaria Respuesta de impulso unitario =derivada de la respuesta escalón unitario

Control de nivel liquido. P140 Ogata

Reducción de bloques

Considerar el cambio de la respuesta escalón en referencia a la entrada r(t)

Nota: esto es equivalente a in cambio en el escalón x(t)

Respuesta:

Valor del estado estable

Nota: Esto se puede encontrar también del teorema del valor final o transformada de Laplace

Utilizando el teorema del valor final

Desde Error de estado estable u offset

Nota: Esto puede ser eliminado colocando un integrador (K/s) en el camino de alimentación.

Sistemas de Segundo Orden

Forma general de las funciones de segundo orden

ζ = Coeficiente de amortiguamientown=Frecuencia natural del sistema

Efecto del coeficiente de amortiguamiento

0< ζ<1 Caso Subamortiguado

los polos son complejos y conjugados respuesta oscilatoria amortiguada Respuesta de escalón unitario

Definimos: = frecuencia natural amortiguada

,

Señal de error =1-c(t)

Nota: Si el coeficiente de amortiguamiento es cero el sistema se mantendrá No amortiguado oscilando

ζ =0 c(t)=1-cos wnt

Nota: Si el coeficiente de amortiguamiento >1 entonces la respuesta será sobreamortiguada y el sistema no oscilará.

Respuesta Críticamente amortiguada

Críticamente amortiguado ζ=1

Los polos son iguales y reales T.L. de la respuesta escalón untario:

Respuesta sobreamortiguada

Sobreamortiguado ζ >1

Polos reales y distintos La respuesta es:

POLOS

La respuesta es la suma de dos exponenciales negativas, (en descenso)Cuando el exponencial decae rápidamente la respuesta es parecida a un sistema de primer orden.

El sistema subamortiguado responde más rapido pero oscila en un valor de estado estable.

El sistema sobreamortiguado tiene una respuesta lenta y carece de oscilación.

Especificaciones de la respuesta transitoria

Controlar un comportamiento especifico de un sistema de control Frecuentemente especificado en términos de respuesta escalón unitario

Términos:

Tiempo de retraso, td

Tiempo de levantamiento tr

Tiempo Pico tp

Máximo sobreimpulso Mp

Tiempo de asentamiento ts

Tiempo de retraso

-Tiempo que tarda en llegar al 50% del valor final la primera vez.

Tiempo de levantamiento

Tiempo en el que el sistema va del 0-100% del valor final, o 10-90%, o 5-95%

Tiempo Pico

Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el primer pico

Máximo Porcentaje de sobreimpulso

Es el máximo valor porcentual de respuesta de el valor del estado estable.

Tiempo de asentamiento

Tiempo en que la respuesta alcanza y se queda en un cierto rango del valor del estado estable, tipicamente 5% o 2%

Respuestas deseables:

Amortiguamiento rápido y confiable El coeficiente de amortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8 Un coeficiente de amortiguamiento bajo da una pobre respuesta de

amortiguamiento. Un coeficiente de amortiguamiento alto da una pobre respuesta lent

Localización de los polos en sistemas de segundo orden

Polos

Nota ζ = cosβ

Tiempo de levantamiento

Nota: Para valores pequeños del tiempo de levantamiento, wd debe ser grande.

Tiempo Pico

Máximo Sobreimpulso.

Tiempo de asentamiento

La velocidad de decaimiento depende del valor de la constante de tiempo

Después de tres constantes de tiempo el sistema estará en el 5% de su valor final

Después de 4 constantes de tiempo el sistema estará en el 2% de su valor final

Características del tiempo de asentamiento

Es inversamente proporcional del producto de la frecuencia natural por el coeficiente de amortiguamiento

El coeficiente de amortiguamiento esta relacionado con el máximo sobreimpulso

El tiempo de asentamiento se determina escogiendo wn

Ejemplo:

Considere el sistema de lazo cerrado presentado en la parte inferior. Determine los valores de Kh & K que harán que el máximo sobreimpulso sea 0.2 y el tiempo pico 1 segundo. También determine el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.

Asuma J=1, B=1

Se necesita reducir esto a un solo lazo

Lazo cerrado T.F.

Reducción del sistema

Máximo Sobreimpulso

ζ=0.456

Tiempo Pico

Wd=3.14

Ahora la frecuencia natural es:

Tiempo de levantamiento

Tiempo de asentamiento

2% tiempo de asentamiento = 4/σ =2.48 seg.5% tiempo de asentamiento =3/ σ =1.86 seg.

Respuesta de impulso en los sistemas de segundo orden

Transformada inversa simple de la función de transferencia Derivar de la función escalón Diferentes expresiones para máximo sobreimpulso

Significado de la localización de los polos:

Real y negativo

La respuesta al impulso es una exponencial estable negativa

Real y positivo

Respuesta al impulso en una exponencial inestable positiva

Complejos con partes reales negativas

Respuesta al impulso es oscilatoria y estable

Oscilación amortiguada

Complejos con partes reales positivas

La respuesta al impulso es oscilatoria e inestableOscilación subarmotiguada

Angulo del polo complejo w.r.t. es negativo y real los ejes = coseno del coeficiente de amortiguamiento

Magnitud de un polo complejo = frecuencia natural

Nota: Los polos complejos SIEMPRE están en pares conjugados.

Sistemas de orden superior

Considere la función de transferencia general de la forma:

M son ceros, q al menos polos reales y la mayor parte de polos complejos conjugados es r.

La respuesta a un escalón unitario esta determinada por:

Esta fórmula se puede expandir por el método de fracciones parciales.

Sumario de los cuatro casos de respuesta en sistemas de segundo orden.

1.Caso no amortiguado ζ=0; c(t)=1-cos(Wnt)

2.Caso subamortiguado

3.Caso críticamente amortiguado

4.Caso sobreamortiguado.