algebra basica

PIMAS Repaso de lgebra

lgebra Repaso para Bachillerato www.pimas.co.cr 1

lgebra

2 4

2

b b acx

a

=

( )( )

( ) ( )0 0 0p x

p x q xq x

= =

( )22 22a ab b a b + =

En este documento repasamos los conceptos ms generales del lgebra, una de las

disciplinas de la matemtica que tiene ms aplicaciones en diversos campos.

El lgebra, como toda la matemtica, permite reconocer, clasificar y explorar, situaciones

del mundo que nos rodea y constituye una herramienta fundamentral en los siguientes captulos.

Es conveniente pensar en el lgebra como un lenguaje, que cuando aprendemos a

interpretar, nos permite encontrar la solucin a muchos problemas.



Tabla de Contenidos

TEMA I: ECUACIONES CUADRTICAS ...................................................................................................................................... 3

A. ECUACIONES CUADRTICAS INCOMPLETAS ................................................................................................................................. 3

B. ECUACIONES CUADRTICAS COMPLETAS ..................................................................................................................................... 4

C. RESUMEN DE LA ECUACIN CUADRTICA .................................................................................................................................... 5

D. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES CUADRTICAS .................................................................................... 6

TEMA II: MTODOS DE FACTORIZACIN ............................................................................................................................... 8

A. FACTOR COMN ........................................................................................................................................................................... 8

B. TRINOMIOS CUADRTICOS PERFECTOS ........................................................................................................................................ 9

C. FACTORIZACIN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS ................................................................................................................... 11

D. TRINOMIOS CUADRTICOS IMPERFECTOS .................................................................................................................................. 12

D.1 Inspeccin (trinomios mnicos) ...................................................................................................................................... 12

D.2 Amplificacin (trinomio no mnicos).............................................................................................................................. 13

E. AGRUPACIN ............................................................................................................................................................................. 14

TEMA III: FRACCIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................................................. 15

A. SIMPLIFICACIN ........................................................................................................................................................................ 15

B. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ...................................................................................................................... 15

C. DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................................................... 16

D. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ......................................................................................................................... 16

E. OPERACIONES COMBINADAS ...................................................................................................................................................... 17



Tema I: Ecuaciones cuadrticas

A. Ecuaciones cuadrticas incompletas

Las ecuaciones que se pueden reducir a la forma 2 0, 0ax bx c a+ + = , se llaman ecuaciones cuadrticas.

Para simplificar el estudio, dividimos en los siguientes casos:

I CASO: 0c ==== Para resolver ecuaciones de la forma 2 0ax bx+ = , se debe factorizar el lado izquierdo y utilizar el

principio del producto nulo.

Principio del producto nulo: Si el producto de dos expresiones es igual a cero, entonces alguna de ellas debe ser

igual a cero. Es decir, si 0 0a b a = = o bien 0b =

EJEMPLO 1. Resuelva 2 35 0

2

xx = = = =

PASO 1) La ecuacin es equivalente a: 2

210 3 0 10 3 02

x xx x

= =

PASO 2) Sacando el factor comn: ( )10 3 0x x =

PASO 3) Aplicando el principio del producto nulo: 0x = o bien 3

10 3 0 10 310

x x x = = =

PASO 4) Se escribe el conjunto solucin: 3

0,10

S =

Una observacin importante es que en este caso siempre 0 va a pertenecer al conjunto solucin.

II CASO: 0b ==== Para resolver ecuaciones de la forma 2 0ax c+ = , se debe despejar la variable tomando en cuenta

las posibilidades del signo.

EJEMPLO 2. Resuelva 24 9 0x = = = =

PASO 1) Despejando 2x tenemos: 2 29

4 94

x x= =

PASO 2) Para despejar x se extrae raz cuadrado a ambos lados: 29

4x =

PASO 3) Se debe tomar en cuenta que hay dos posibles soluciones: 3

2x =

PASO 4) Se escribe el conjunto solucin: 3 3,

2 2S

=

Esta ecuacin tambin se puede resolver igualando a 0 , factorizando el lado izquierdo y utilizando el principio del producto nulo, de la siguiente manera:

( )( )2 22 3

3 34 9 4 9 0 2 3 2 3 0 2 3 0 2 3 0

2 2xx x x x x x x x

= = + = = + = = =



B. Ecuaciones cuadrticas completas

Una ecuacin cuadrtica se dice completa si , , 0a b c . Es decir, 2 0ax bx c+ + =

Recuerde que el discriminante de una ecuacin de este tipo se calcula as: 2 4b ac = y adems de servir

para determinar el nmero de soluciones de la ecuacin nos ayudar a determinar la naturaleza de estas.

Para las ecuaciones completas podemos intentar de factorizar el lado izquierdo para luego utilizar el principio

del producto nulo. En el caso de que los coeficientes de la ecuacin sean enteros se podr nicamente si .

Para que es necesario que sea positivo o cero y un cuadrado perfecto.

Los cuadrados perfectos son 0,1, 4,9,16,25,36,49,

EJEMPLO 3. Resuelva

23 915

2

x x====

PASO 1) Multiplicando por 2 : 2 23 9 30 3 9 30 0x x x x = =

PASO 2) Factorizando: ( ) ( ) ( )23 3 10 0 3 5 2 0x x x x = + =

PASO 3) El 3 no afecta la ecuacin, puede pasarse a dividir: ( ) ( ) ( ) ( )05 2 5 2 03

x x x x + = + =

PASO 4) Aplicando el principio del producto nulo: 5 0x = o bien 2 0x + =

PASO 5) Resolviendo: 5x = o bien 2x =

PASO 6) Se escribe el conjunto solucin: { }2,5S =

Frmula general: En cualquier ecuacin con 0 > las soluciones se pueden encontrar mediante la siguiente frmula

2

bx

a

= , es decir el conjunto solucin es ,

2 2

b bS

a a

+ =

.

EJEMPLO 4. Resuelva 2 2 17 0x x = = = =

PASO 1) Calculamos el discriminante: ( ) ( )22 4 1 17 4 68 72 = = + =

PASO 2) Aplicando la frmula general: ( ) 22 72 2 6 2

2 1 2x

= = =

( )1 3 22

1 3 2=

PASO 3) Se escribe el conjunto solucin: { }1 3 2,1 3 2S = +



Puede suceder que el discriminante sea un nmero negativo, en este caso, la ecuacin no tendr soluciones reales.

Ecuacin sin soluciones: Las ecuaciones con 0 < no tienen soluciones reales, es decir el conjunto solucin es

{ } S = o bien S =

EJEMPLO 5. Resuelva 25 3 1 0x x + = + = + = + =

PASO 1) Calculamos el discriminante: ( )23 4 5 1 9 20 11 = = = PASO 2) Como el discriminante es negativo no hay soluciones reales.

PASO 3) Se escribe el conjunto solucin: S =

C. Resumen de la ecuacin cuadrtica

Caso especial 2 0ax c+ =+ =+ =+ =

Se despeja x y se encuentran

las dos races cuadradas:

2 2 20 ,c

ax c ax c xa

+ = = =

Si 0c

a

entonces

cx

a

=

,c c

Sa a

=

Si 0c

a

< entonces S =

Caso especial 2 0ax bx+ =+ =+ =+ =

Se extrae el factor comn

x y se utiliza el Principio

del producto nulo.

( )

2 0

0

ax bx

x ax b

+ =

+ =

0

0

ax b

x ax b

bx

a

+ =

= =

=

o bien

0,b

Sa

=

Ecuacin completa 2 0ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + =

Si se puede factorizar

(en ) el lado izquierdo:

Se factoriza el lado

izquierdo y se utiliza el

Principio del producto nulo.

+ :

Dos soluciones racionales.

0 = : Una nica solucin racional.

Ecuacin completa 2 0ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + =

Si no se puede

factorizar (en ) el

lado izquierdo:

Si 0 > :

Frmula general:

1 2

bx

a

= , 2 2

bx

a

+ =

{ }1 2,S x x=

0 < No hay soluciones reales: S =



D. Problemas que se resuelven mediante ecuaciones cuadrticas

Adems de la lista de traducciones del lenguaje comn a lenguaje algebraico que ya conocemos, debemos

agregar que el cuadrado de un nmero x se representa por 2x y que el producto de dos expresiones corresponde

a su multiplicacin. Constantemente se plantean problemas de naturaleza geomtrica para lo cual es importante

tener a mano las siguientes frmulas:

Algunas frases comunes para el lenguaje algebraico

Frase Se representa

por

Donde x

representa Frase

Se representa

por Donde x representa

El cuadrado de un

nmero

2x El nmero El producto de dos

nmeros x y El nmero ( y es el otro

nmero)

Un nmero

aumentado en 4 4x + El nmero

La quinta parte de un

nmero 5

x El nmero

Un nmero

disminuido en 5 5x El nmero

Las dos terceras partes

de un nmero

2

3

x El nmero

El duplo o doble de

un nmero 2x El nmero

Dos nmeros en razn

4 : 5 x y

5

4

x

El menor de los nmeros

(el mayor es 5

4

x)

El triple de un

nmero 3x El nmero

Dinero en monedas de

25 25x

El nmero de monedas

de 25

El cudruplo de un

nmero 4x El nmero

Un nmero excede en

3 a otro

3x + el nmero

mayor El menor de los nmeros

La mitad de un

nmero 2

x El nmero

Dos nmeros

consecutivos x y 1x + El menor de los nmeros

EJEMPLO 6. El producto de dos nmeros impares consecutivos es veinte unidades menor que once veces el menor de ellos. Encuentre los nmeros.

Sea x el menor de los nmeros, entonces el siguiente nmero impar es 2x + .

Segn el enunciado, ( )2 11 20x x x+ = y resolviendo la ecuacin tenemos:

( ) 2 22 11 20 2 11 20 0 9 20 0 5, 4x x x x x x x x x x+ = + = = = =

Como los nmeros son impares, 4x = no es una solucin vlida. Entonces el menor de los nmeros es 5 y el

mayor es 5 2 7+ = .



Frmulas de Geometra

Tringulo

Rombo

Cuadrado

Rectngulo

Tringulo rectngulo

Circunferencia

2

b hA

= , 4

2

D dA P l

= =

2

4

A l

P l

=

=

A l a= 2 2P a l= +

2 2 2a b c+ = 2

2

A r

C r

=

=

A rea

b base

h altura

A rea P permetro

d diagonal menor D diagonal mayor

l lado

A rea P permetro

l lado

A rea P permetro a ancho P largo

c hipotenusa

,a b catetos

TEOREMA DE PITGORAS

A rea

C circunferencia

r radio

EJEMPLO 7. En un terreno rectangular la diagonal mide 4 metros menos que el quntuplo del ancho, y el largo mide un metro menos que la diagonal. Calcule el rea del terreno.

Sea x la medida del ancho del terreno.

Entonces el quntuplo del ancho es 5x y por lo tanto la medida de la diagonal

debe ser 5 4x . Si el largo mide un metro menos que la hipotenusa

entonces su medida es 5 4 1 5 5x x = .

Aplicando el teorema de Pitgoras, ( ) ( )2 22 5 5 5 4x x x+ = entonces: 2 225x x+ 250 25 25x x + = 240 16 10 9 0 9, 1x x x x x + + = = =

El ancho no puede ser 1 porque sino, la hipotenusa y el largo seran negativos. Por lo tanto, el ancho es 9 , el

largo es 5 9 5 45 5 40 = = y el rea es 240 9 360A l a m= = =

EJEMPLO 8. Si el permetro de un rectngulo es 14cm y el rea 212cm . Calcule la medida de las dimensiones del rectngulo.

Si a representa el ancho del rectngulo y l el largo, tenemos que 2 2P a l= + y A l a= .

Luego, sustituyendo los datos tenemos en la frmula del permetro:

14 22 2 14 2 14 2 7

2

la l a l a l

+ = = = =

Y sustituyendo en la frmula del rea, ( )12 7A l a l l= = y resolvemos esta ecuacin cuadrtica:

( ) ( )2 212 7 7 12 0 4 3 0 4, 3l l l l l l l l= + = = = = .

Si 4 7 4 3l a= = = , mientras que si 3 7 3 4l a= = = , de donde en ambos casos las dimensiones

del rectngulo son 3cm y 4cm .



Tema II: Mtodos de Factorizacin

Rercordemos que factorizar un polinomio significa:

Expresarlo como el producto indicado, es decir sin realizar, de dos o ms polinomios de menor grado que el

polinomio original.

Existen varios mtodos para factorizar un polinomio, los ms importantes los repasaremos a continuacin,

aclarando que en este texto limitaremos las factorizaciones a polinomios con coeficientes enteros.

A. Factor comn

El factor comn es un monomio o polinomio que est presente en todos los trminos del polinomio que

queremos factorizar.

El factor comn de un polinomio est compuesto por:

a) El mximo comn divisor (MCD) de los coeficientes numricos de los trminos del polinomio.

b) Los factores literales que estn repetidos en todos los trminos, elevados al menor exponente con que aparece en

el polinomio.

Para factorizar un polinomio mediante factor comn:

1) Se identifican los factores repetidos, para encontrar el factor comn.

2) Se divide cada uno de los trminos del polinomio entre el factor comn.

3) Se escriben dentro de un parntesis, los trminos que se obtienen en el paso 2).

EJEMPLO 9. Factorice 3 2 2 2 2 375 60 90x yz x y z x y + + + +

PASO 1) El MCD de 75,60,90 es 15 y los factores literales repetidos son x , y .

PASO 2) Del factor x el menor exponente es 2 , del factor y el menor exponente es 1.

PASO 3) El factor comn es: 215x y .

PASO 4) Se efectan las divisiones: 3

2

755

15

x yzxz

x y= ,

2 2 22

2

604

15

x y zyz

x y

= ,

2 32

2

906

15

x yy

x y=

PASO 5) Se expresa el producto: ( )3 2 2 2 2 2 2 2 275 60 90 15 5 4 6x yz x y z x y x y xz yz y + = +



EJEMPLO 10. (((( )))) (((( ))))212 30x a b x m b a

PASO 1) Observe que ( )b a a b = y esto nos facilitar la factorizacin.

PASO 2) Para cambiar el signo del factor ( )b a debemos cambiar el signo del coeficiente que est antes del

trmino, as ( ) ( )2 230 30x b a x a b = + y obtenemos: ( ) ( )212 30x a b x a bm +

PASO 3) El factor comn es: ( )6x a b

PASO 4) Al hacer las divisiones: ( )12 x a b( )6 x a b

2= y 230x ( )m a b( )6 x a b

5mx=

PASO 5) Expresamos la factorizacin: ( )( )6 2 5x a b mx +

EJEMPLO 11. (((( )))) (((( ))))223 ,a ax x a x a x a++++ + + + +

PASO 1) Observe que ( ) ( )2 2a x x a = y la expresin es equivalente a: ( ) ( )223a ax x a x x a++

PASO 2) Los factores repetidos son x y ( )x a . El factor comn es: ( )ax x a .

PASO 3) Al hacer las divisiones tenemos: ( )ax x a

( )ax x a( ) 223

1,ax x a+

=( )ax x a

( ) ( )2 23 3a ax x a x x a+ = = ,

donde utilizamos leyes de potencia en el segundo trmino.

PASO 4) La factorizacin queda: ( ) ( )( )21 3ax x a x x a +

PASO 5) Simplificando el segundo parntesis: ( ) ( )3 23 3 1ax x a x ax +

B. Trinomios cuadrticos perfectos

Los trinomios cuadrticos perfectos son el resultado de expandir la I o II frmula notable.

Recuerde que: ( )2 2 22a b a ab b+ = + + y ( )2 2 22a b a ab b = + . Los polinomios, ya ordenados, que se pueden factorizar mediante la I o II frmula notable tienen las siguientes

tres caractersticas:

Tienen tres trminos y estos no tienen ningn factor comn.

El primer y el tercer trmino son cuadrados perfectos, de coeficientes positivos. Como 449x 6 129x y

CONDICION DEL SEGUNDO TRMINO: El resultado de multiplicar las races cuadradas del primer y el tercer

trmino por 2 es igual al segundo trmino.



Debemos tomar en cuenta que:

Para sacar la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada del coeficiente numrico, y se dividen por dos

cada exponente del factor literal. Por ejemplo: 4 249 7x x= 6 4 3 29 3x y x y= .

Para factorizar trinomios cuadrticos perfectos.

Se encuentran a y b . Estos deben ser las races cuadradas del primer y el tercer trmino.

Se verifica que cumplan la condicin del segundo trmino.

Por ltimo, se identifica si es la I o la II frmula notable, dependiendo del signo del segundo trmino y se escriben

los trminos en la frmula notable correspondiente: (((( ))))22 22

a b

a ab b a b + = + = + = + = .

EJEMPLO 12. Factorice 216 8 1x x+ ++ ++ ++ +

PASO 1) El polinomio ya est ordenado y no tiene factor comn.

PASO 2) Luego, se calculan a y b : 2

14

16 8 1x

x x+ +

PASO 3) Se verifica la condicin del segundo trmino: 2 4 1 8x x =

PASO 4) Es la I frmula notable: ( )24 1x +

EJEMPLO 13. Factorice 4 4 7 3 5108 81 36x y x y xy

PASO 1) El polinomio ya ordenado es: 7 3 4 4 581 108 36x y x y xy +

PASO 2) Sacando el factor comn es : ( )3 6 3 29 9 12 4xy x x y y +

PASO 3) Para el trinomio que queda, se calculan a y b : 3

6 3 2

3 2

9 12 4x y

x x y y +

PASO 4) Se verifica la condicin del segundo trmino: 3 32 3 2 12x y x y =

PASO 5) Es la II frmula notable: ( )23 39 3 2xy x y



C. Factorizacin por diferencia de cuadrados

Los binomios que son una diferencia de cuadrados son el resultado de expandir la III frmula notable, la cual

establece que ( ) ( ) 2 2a b a b a b + = . Los polinomios, ya ordenados, que se pueden factorizar mediante la III frmula notable tienen las siguientes

caractersticas:

Tienen dos trminos y estos no tienen ningn factor comn.

Ambos son cuadrados perfectos.

Los trminos son de diferente signo.

Para factorizar diferencias de cuadrados

Se extraen las races cuadradas de los trminos y se utiliza la frmula: (((( )))) (((( ))))2 2

a b

a b a b a b = + = + = + = +

EJEMPLO 14. Factorice x 24 1

PASO 1) El polinomio ya est ordenado y no tiene factor comn.

PASO 2) Luego, se calculan a y b : 2

12

4 1x

x

PASO 3) Se indica la diferencia multiplicada por la suma: ( ) ( )2 1 2 1 +x x

EJEMPLO 15. Factorice x y x2 8 6162 32

PASO 1) Sacando el factor comn es: ( )2 8 42 81 16x y x PASO 2) Para el binomio que queda, se calculan a y b :

24

8 4

49

81 16xy

y x

PASO 3) Se indica la diferencia multiplicada por la suma: ( ) ( )4 2 4 29 4 9 4y x y x +

PASO 4) El primer factor, tambin es diferencia de cuadrados:

2

4 2

23

9 4x

y

y x

PASO 5) Se indica la diferencia por la suma: ( ) ( )2 23 2 3 2y x y x +

PASO 6) Se escribe la factorizacin completa: ( )( )( )2 2 2 4 22 3 2 3 2 9 4x y x y x y x + +

PASO 7) Ordenando respecto a x : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 42 2 3 2 3 4 9 + +x x y x y x y



D. Trinomios cuadrticos imperfectos

La idea es ahora, factorizar los trinomios de la forma 2ax bx c+ + , donde { }, , 0a b c .

El discriminante de estos polinomios se calcula con la frmula 2 4b ac = y sirve para saber si el polinomio

se puede o no factorizar y cual es el mtodo ms eficiente.

EJEMPLO 16. Encuentre el discriminante del trinomio 2 3 1x x

PASO 1) Identificamos cada uno de los coeficientes del trinomio 1, 3, 1a b c= = =

PASO 2) Aplicamos la frmula: ( ) ( )22 4 3 4 1 1 9 4 13b ac = = = + = .

De acuerdo con el valor del discriminante, tenemos los siguientes casos:

0 > y 0 > > > > y

Si el discriminante es

negativo entonces el

trinomio no se puede

factorizar con

coeficientes reales.

Si el discriminante es cero,

el trinomio es cuadrtico

perfecto y la factorizacin

se puede hacer mediante la

primera o la segunda

frmula notable.

Si el discriminante es positivo y

su raz cuadrada es entera, el

trinomio se puede factorizar

por inspeccin o

amplificacin, mtodos que

veremos a continuacin.

Si el discriminante es

positivo y su raz cuadrada

no es entera entonces el

polinomio no se puede

factorizar con coeficientes

enteros.

D.1 Inspeccin (trinomios mnicos)

EJEMPLO 17. Factorice 2 5 6x x+ ++ ++ ++ +

El discriminante es 25 4 1 6 25 24 1 = = = que tiene raz cuadrada entera.

PASO 1) Colocamos los signos, siguiendo las reglas: ( )( )2 5 6x x x x+ + = + + PASO 2) Como los signos obtenidos son iguales, hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 6 y sumados

dan 5 . Estos son 3 y 2 .

PASO 3) La factorizacin es: ( )( )2 5 6 3 2x x x x+ + = + +

EJEMPLO 18. Factorice 2 12x x+ + + +

El discriminante es ( )21 4 1 12 1 48 49 = = + = que tiene raz cuadrada entera.

PASO 1) Colocamos los signos, siguiendo las reglas: ( )( )2 12x x x x+ = + PASO 2) Los signos son diferentes, hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 12 y restados dan 1 . Estos

son 4 y 3 .

PASO 3) La factorizacin es: ( )( )2 12 4 3x x x x+ = +



D.2 Amplificacin (trinomio no mnicos)

Llamamos amplificacin al caso de factorizacin de un trinomio cuadrado, en el que 1a y que su

discriminante tiene raz cuadrada exacta.

La idea es seguir un mtodo basado en el de inspeccin, para lo cual se colocan los factores de la siguiente

manera:

( )( )2

ac ax axax bx c

a

+ + = donde los signos siguen las mismas reglas de inspeccin.

Igualmente los nmeros que completan la factorizacin sumados dan b , pero, multiplicados dan ac en vez

de c , lo cual se seala encima del ltimo coeficiente. Adems, se debe sacar los factores comunes de los parntesis

obtenidos para simplificar con el denominador que colocamos.

EJEMPLO 19. Factorice 22 3x x

El discriminante es ( ) ( )21 4 2 3 1 24 25 = = + = que tiene raz cuadrada exacta.

PASO 1) Amplificando y colocando los signos: ( )( )6

22 2

2 32

x xx x

+ =

PASO 2) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 6 y restados dan 1. Estos son 3 y 2 .

PASO 3) La factorizacin es de la forma: ( ) ( )2 3 2 2

2

x x +

PASO 4) El segundo factor tiene un factor comn y se cancela con el denominador:

( )2 3 2x ( )12

x +( ) ( )22 3 2 3 1x x x x = +

EJEMPLO 20. Factorice

212 23 5x x + + + +

El discriminante es ( )223 4 12 5 289 = = , como 289 17= se puede aplicar el mtodo.

PASO 1) Amplificando y colocando los signos: ( )( )60

212 12

12 23 512

x xx x

+ =

PASO 2) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 60 y sumados dan 23 . Estos son 20 y 3 .

PASO 3) La factorizacin es de la forma: ( ) ( )12 20 12 3

12

x x

PASO 4) Sacando los factores comunes: ( ) ( )4 3 5 3 4 1 12

12

x x =

( )( )3 5 4 112

x x

PASO 5) La factorizacin queda: ( ) ( )212 23 5 3 5 4 1x x x x + =



E. Agrupacin

Cuando tenemos un polinomio con cuatro trminos, en ocasiones es posible hacer una agrupacin de manera

que haya factores comunes entre los grupos escogidos.

EJEMPLO 21. (((( ))))2 1 1x y y + + + +

PASO 1) El primer trmino ya est agrupado, agrupamos la segunda parte: ( ) ( )2 1 1x y y + +

PASO 2) Extraemos un 1 en el segundo grupo: ( ) ( )2 1 1y yx

PASO 3) Sacamos el factor comn sealado: ( ) ( )2 11y x PASO 4) El segundo factor es una diferencia de cuadrados: ( ) ( ) ( )1 1 1y x x +

EJEMPLO 22. 2 49 7x xy y + + + +

PASO 1) Agrupando : ( )27

49 7x

x xy y

+ +

PASO 2) Factorizando cada trmino: ( )( ) ( )77 7xx yx +

PASO 3) Extrayendo el factor comn: ( )( ) ( ) ( )7 7 7 7x x y x x y + = +

El siguiente ejemplo es de suma importancia porque no es una agrupacin en parejas, sino ms bien una agrupacin de tres trminos dejando uno por aparte.

Es conveniente notar que cualquier otra manera de agrupar no permite factorizar el polinomio

EJEMPLO 23. 2 22 1x y x+ + + +

PASO 1) Ordenando: 2 2 2 1 y x x +

PASO 2) Agrupando: ( )2 2 2 1 y x x+ +

PASO 3) Sacando el 1 a factor comn: ( )2 2 2 1 y x x +

PASO 4) El segundo trmino es un trinomio cuadrado perfecto: ( )22 1y x

PASO 5) Por diferencia de cuadrados: ( )( ) ( )( )1 1y x y x +

PASO 6) Simplificando los parntesis: ( ) ( )1 1y x y x + +



Tema III: Fracciones algebraicas

A. Simplificacin

Al igual que las fracciones aritmticas, las fracciones algebraicas se pueden simplificar, siempre que se tome

en cuenta las restricciones.

Para simplificar una expresin de la forma ( )( )

p x

q xse debe factorizar cada polinomio, luego se estableces las

restricciones y por ltimo se cancelan los factores que estn tanto en el numerador como en el denominador.

EJEMPLO 24. Simplifique

2

2

2 3

2 5 3

x x

x x

+ + + + + + + +

PASO 1) Factorizando el numerador y el denominador, queda ( )( )( )( )2 3 1

2 3 1

x x

x x

+

PASO 2) Para 3, 1

2x x , cancelamos

( ) ( )2 3 1x x+ ( ) ( )2 3 1x x

2 3

2 3

x

x

+=

B. Multiplicacin de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y tambin los denominadores:

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

a x p x a x p x

b x q x b x q x

=

, despus se simplifica la fraccin obtenida.

La manera ms sencillas de hacer las multiplicaciones es factorizar los numeradores y los denominadores

para cancelar factores iguales.

No se debe expandir las multiplicaciones, hasta estar seguros de que no hay factores que se cancelen.

EJEMPLO 25. Multiplique

2

2 2

9 2

2 6 9

x x

x x x x

+ + + +

PASO 1) Factorizamos el numerador y el denominador de las fracciones, establecemos las restricciones:

( ) ( )( )

2

2

3 39

2 2

x xx

x x x x

+=

y

( )( )22

22

6 9 3

xx

x x x

=

+ , 0, 2, 3x x x

PASO 2) Realizamos la multiplicacin: ( ) ( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )2 23 3 2 3 3 2

2 3 2 3

x x x x x x

x x x x x x

+ + =

PASO 3) Cancelamos los factores iguales y expandimos: ( )3x ( ) ( )3 2x x+

( )2x x ( ) 23x ( )( ) 2

3 3

3 3

x x

x x x x

+ = =



C. Divisin de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas se multiplica la primera fraccin por el recproco de la segunda:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

a x p x a x q x a x q x

b x q x b x p x b x p x

= =

EJEMPLO 26. Realice

2

2 2

a a ab

a b a b

+ + + +

PASO 1) Factorizando los miembros de la segunda fraccin: ( )

( ) ( )a a ba

a b a b a b

+ +

PASO 2) Las restricciones de las fracciones son: ,a b a b

PASO 3) Para dividir multiplicamos el dividendo por el recproco del divisor: ( ) ( )

( )a b a ba

a b a a b

+

+

PASO 4) Aqu vemos que aparece una nueva restriccin, 0a .

PASO 5) Por ltimo, realizamos el producto que queda, cancelando los factores iguales:

( ) ( )

( )aa b a ba

a b a a b

+ =

+

( )a b ( )a b+( )a b+ a ( )a b

1=

D. Suma y resta de fracciones algebraicas

La suma y resta de fracciones algebraicas se hace de manera similar a la de fracciones aritmticas.

Para sumar o restar fracciones se debe encontrar primero el comn denominador, y luego multiplicar a cada

numerador los factores que hagan falta. Luego se suman ( o restan) los nuevos numeradores

EJEMPLO 27. Calcule 2 2

1 2 3

4 4 4

x x

x x x

+ ++ ++ ++ +

+ + + +

PASO 1) Factorizando los denominadores: ( )( ) ( )2 2 2

1 2 3 1 2 3

2 24 4 4 2

x x x x

x xx x x x

+ + + + =

+ +

PASO 2) El denominador comn debe ser ( ) ( )22 2x x + y las restricciones del ejercicio son: 2, 2x

PASO 3) Para tener ese denominador a la primera fraccin le falta ( )2x y a la segunda ( )2x +

PASO 4) Multiplicando los numeradores por los factores que hacen falta y simplificando:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 2

2 22 2 2 4 3 61 2 3

2 2 2 2

x x x x x xx x

x x x

x x

x

+ + + ++ +=

+

+ + ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2 7 6 8 8

2 2 2 2

x x x x x x

x x x x

= =

+ +



EJEMPLO 28. Calcule (((( ))))

(((( ))))22 5 4 3 2

2

2 4 4

x yx

x y x x x y x y

++++

+ + + +

PASO 1) Factorizando los denominadores: ( )

( )( )

2

2 23

2

2 2

x yx

x x y x x y

+

PASO 2) El denominador comn debe ser ( )23 2x x y y las restricciones del ejercicio son 0, 2 x x y

PASO 3) A la primera fraccin le falta ( )2x x y y a la segunda nada.

PASO 4) Multiplicando los numeradores por los factores que hacen falta y simplificando:

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 3 2 2 2

2 2 23 3 3

2 2 4 2 2 4 2

2 2

2

2

x x y x x y x xy y x x y x xy y

x x y x x y x x y

x x y + = =

E. Operaciones combinadas

Para simplificar operaciones combinadas con fracciones algebraicas debe seguirse el mismo orden, que para

operaciones con nmeros reales: parntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.


2b a aa

b a b

++++ .

PASO 1) Las restricciones del problema son: 0,b a b

PASO 2) En el segundo parntesis se debe sumar: ( ) 22 2 2a a b aa a ab a ab

aa b a b a b a b

+ + = = =

+ + + +

PASO 3) La expresin original queda: ( )

( )b a a bb a abb a b

= + b ( )( )a b aa ba b

=

++

Una fraccin compleja es el cociente indicado de dos fracciones algebraicas (u operaciones entre ellas).

Para simplificar fracciones complejas utilizamos:

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

a x

b x a x q x

p x b x p x

q x

=

siempre que ( ) ( ) ( ), , 0b x p x q x




3

2 11

1

bab

ab

aa

+ + + +

PASO 1) Primero operamos el numerador:

( )2 23 3 2, 0

b b ab b a bab a

a a a

= =

PASO 2) Despus el denominador:

( ) ( ) ( )22

2

1 1 1 111

1 1

a a b aba

a a

a a

+ + =

=

2 1b + a+ 1 2 2, 1

1 1

a ba

a a

=

PASO 3) La fraccin compleja queda:

PASO 4) Cancelando los parntesis iguales y tomando en cuenta el signo, nos queda:.( )1b a ab ba a

+=

PASO 5) 2 2a b se puede escribir ,a b a b y por lo tanto todas las restricciones son 0,1, ,a b b

algebra basica

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