ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

Trabajo de CAD AVANZADO ELECTRONICA Act. 10. TRABAJO COLABORATIVO 2.

Grupo 208008 - 140

Por Miguel Garcia Edwin Barreto

Miguel Angel Barrero

Tutor Angel Alejandro Rodriguez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA ELECTRONICA

Mayo de 2013

INTRODUCCION

El trabajo a desarrollar es una muy buena forma de conocer de una

manera mucho mas tangible, todo el entorno de simulink, sus

herramientas y sus aplicaciones, el trabajo consiste en realizar un

diagrama de bloques a partir de ecuaciones diferenciales y armar un

modelo completo, lo cual nos permite, mejorar nuestras habilidades en

el entorno del programa.

En el presente trabajo colaborativo veremos como en matlab

podemos utilizar las dos formas de modelar sistemas dinámicos de

forma de ódigo o forma de patrones predefinidos Simulink, ,

aprenderemos a manejar este importante modulo que en nuestra

carrera será de vital importancia

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Cada grupo debe seleccionar dos ecuaciones diferenciales de

primer, y segundo orden que representen la modelación

matemática de diferentes casos de la vida real (describir cada

uno)

A. Para la ecuación de primer orden quisiera proponer la ley de

enfriamiento de Newton la cual establece que la rapidez de

cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t es

proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del

medio circundante en el tiempo t. en este sentido si consideramos

a T como la temperatura del cuerpo en el tiempo t, por otro lado a

Tm la temperatura del medio circundante y a To la temperatura

inicial del cuerpo (t=0).

Como las variaciones de la temperatura puede ser que aumenta o

disminuya. Por tanto de acuerdo a la ley de enfriamiento de

Newton se expresa mediante la ecuación diferencial:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚) Ecuación para aumento o calentamiento

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚) Ecuación para disminución o enfriamiento

Donde K es una constante de proporcionalidad.

El caso de la vida real planteado es un sistema de control de la

temperatura de un disipador de calor industrial que controla la

temperatura dentro de un recipiente en el cual se fermenta la

levadura para la producción de cerveza, mediante el uso de las

ecuaciones de calentamiento y enfriamiento verificar la

temperatura de la mezcla y confrontarla con la temperatura

ambiente.

B. Para la ecuación de segundo orden tengo en mente una ED lineal de segundo orden trabajada en el campo de la física

específicamente en mecanismos de suspensión que tiene sus aplicaciones en la hidráulica, se trata del sistema masa – resorte –

amortiguador, la cual tiene como finalidad determinar las pequeñas oscilaciones de una masa M con respecto a su posición

de equilibrio teniendo en cuenta que la masa se ve afectada por

dos fuerzas la del resorte y la del amortiguador.

Figura 1- sistema masa-resorte-amortiguador

En primera instancia considero necesario que estudiemos la dinámica del sistema, el cual está compuesto por una Masa, que

se desplaza sobre una mesa lisa (sin fricción) y la cual está unida

a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la figura 1. El resorte tiene constante elástica k y largo

natural lo, en tanto que el amortiguador tiene coeficiente de roce viscoso c. Llamemos x a la posición de la masa M medida desde

la pared. Sobre la masa actúan solo dos fuerzas en la dirección horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del

amortiguador. Para pequeños desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa está

dada por: Fres = −k(x − lo) (1)

Y la fuerza que ejerce el amortiguador está dada por:

Fam = −cx′ (2)

Entonces la ecuación de Newton para la masa M está dada por: Mx′′ = −k(x − lo) − cx′ (3)

Para el ejercicio práctico en SIMULINK propongo que consideremos

las oscilaciones de este sistema con respecto al equilibrio estático, para lo cual determinamos la posición de equilibrio estático,

caracterizada por las condiciones x’ = 0 (sistema en reposo) y Ftotal = 0 lo cual se comprueba de −k(x − lo) – cx’ = 0.

Imponiendo estas dos condiciones, encontramos de inmediato que la posición de equilibrio está dada por:

xeq = lo (4)

Nuestro interés es determinar las pequeñas oscilaciones de la

masa M con respecto a la posición de equilibrio, que por conveniencia llamaremos X y sus derivadas X’ y X’’

Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos la siguiente ecuación para la variable X(t)

Mx′′ + cx′˙ + kx = 0

Esta será la ecuación lineal homogénea de segundo orden para

nuestro ejercicio.

La situación de la vida real en el cual podemos aplicar el modelo matemático enunciado con anterioridad podría ser el control de

fuerza presente en un brazo hidráulico anclado a una pared el cual trasporta elementos en forma horizontal por un cuarto de

máquinas, en el cual se deben evaluar las condiciones de respuesta en términos de desplazamiento de los elementos

teniendo en cuenta las constantes de amortiguamiento y elasticidad del brazo.

2. Representar cada ecuación en simulink:

En primer lugar se realizara la representación de la ED de segundo orden, para lo cual utilizaremos las siguientes

consideraciones de diseño:

Modelo: Mx′′ + cx′˙ + kx = 0

Condiciones iniciales, sistema en equilibrio: función de la fuerza

es un escalón con magnitud 3 Valores de los parámetros: m = 0.25, c = 0.5, k = 1

Ahora si expresamos la ecuación en términos de la derivada de mayor orden:

x′′ = f(t) − cx′˙ − kx

M =

f(t)

M−

cx′

M−

kx

M

De lo cual podemos asociar el diagrama de bloques de la figura 2, que partiendo desde la segunda derivada de la función la integra

en dos oportunidades para llegar a x’ y x. a las cuales se les agrega k/m y c/m con un par de bloques gain y en un bloque sum

con los símbolos de la expresión matemática se obtiene la función completa.

Figura 2 – Diagrama asociado a la función en términos de x’’

Figura 3 Representación en simulink con la entrada de una señal escalón de

amplitud 3.

El sistema inicialmente está en equilibrio: x=0, x’=0 input:

escalón con magnitud 3, valores de los parámetros: m = 0.25, c = 0.5, k = 1

3. Seleccionar tres señales de excitación para el sistema montado,

me he inclinado por tres; step Constant y pulse, es decir, una señal escalón una constante y un pulso.

Figura 4 Respuesta presentada en la simulación en simulink con la entrada de

una señal escalón de amplitud 3. Nos permite ver una respuesta

subamortiguada con overshoot de 0.5 y un valor final de 3 en el desplazamiento

de la masa.

4. Ahora agregamos más scope para observar la transformación que

realiza cada parte de la ecuación a la señal de excitación:

Figura 5. Señal de entrada escalón de amplitud 3.

Figura 6. Señal observada como la segunda derivada de x.

Figura 7. Señal observada como la primera derivada de x, es decir, la velocidad

en esta se observa un pico de velocidad de 3 que luego tiene una variación

negativa de 0.5 y vuelve al reposo en 0.

Respuesta con señal tipo pulso.

Figura 8. Selección de Señal pulso.

Figura 9. Señal de entrada pulso amplitud 3 y tiempo de 5% del periodo.

Figura 10. Respuesta en x’’.

Figura 11. Velocidad donde se observa la máxima velocidad del objeto es 2.

Figura 12. Desplazamiento de la masa donde se observa una amortiguación por cada

pulso de señal, al contrario del ejercicio anterior el objeto no vuelve al reposo y varia

su posición entre 0.65 a -0.1

Respuesta con señal constante.

Figura 13. Selección de Señal constante.

Figura 14. Entrada de Señal constante 5.

Fig.15 Respuesta en x’’

Fig. 16 Se observa una velocidad pico de 5 luego desciende a -1 para luego detenerse.

Figura 17. Salida, desplazamiento se observa una respuesta subamortiguada

con overshoot de 0.9 y un valor final de 5.

Respuesta con señal sinusoidal.

Fig 18. Selección de señal sinusoidal.

Fig. 19 Entrada de señal sinusoidal amplitud 3 y frecuencia 1 Hz.

Fig. 20 Respuesta en x’’

Fig. 21 Se observa que la máxima velocidad alcanzada por el objeto es 2.

Fig. 22. Salida, primer ciclo positivo, hasta 0.8, en el segundo desciende hasta -0.4 y luego estabiliza.

1. problema de 1 primer orden

Calculo del nivel de agua en un tanque de almacenamiento Se propone realizar la implementación en simulink de la ecuación diferencial de 1

orden para graficar las perturbaciones generadas en un flujo de agua constante y la

respuesta en el nivel del tanque de almacenamiento, observando cómo las

perturbaciones en el flujo constante afectan.

En el siguiente problema hallar la variación de h si el caudal normal Q es de 5 lit. /min

y en t=5 s se aplica una perturbación de 1 lit/min. El valor de K=0.15

Area del tanque A=1/ 2 m2.

A𝑑ℎ

𝑑𝑡 = q (t) - K√ℎ

Diagrama representativo del modelo

1. Modelado de la ecuación en simulink

Se tomaron en cuenta los valores iníciales del problema para implementarlos

como constantes dentro de los bloques correspondientes.

Se modela la ecuación asociando la función en términos de h.

Grafica 1. Modelado en simulink

2. Selección de las señales de excitación para el sistema de nivel de agua

A. Aplicando una perturbación de señal impulso escalón de valor 1

Grafica 2. Flujo de agua con perturbación de tipo impulso escalón

Grafica 3. Salida de agua con perturbación impulso escalón

Grafica 4. Nivel del agua en el tanque de almacenamiento

B. Aplicando una perturbación de tipo sinusoidal con amplitud de 1.5

Grafica 5. Modelado con perturbación sinusoidal en el flujo de entrada

Grafica 6. Fluctuación en la entrada

Grafica 7. Fluctuación del caudal en la salida

Grafica 8. Nivel de agua en el tanque de almacenamiento

C. Aplicando una perturbación aleatoria a la entrada con valores

intermedios de caudal de -2 a +3.

Grafica 9. Modelado del sistema con entrada de perturbación aleatoria

Grafica 10. Entrada del sistema

Grafica 10. Fluctuación en la salida del sistema

Grafica 11. Nivel de agua en el tanque de almacenamiento

CONCLUSIONES

Como podemos observar en el proceso de simulación y procesos

matemáticos son funcionales y nos ayudan a visualizar como se

pueden realizar modelos matemáticos de plantas , vemos que el modelado LTI función de transferencia y el sistema de estados es

coherente en cuanto a los resultados y haciéndolo paso a paso se ve que es funcional y ojala podamos realizar nuevos proyectos

para perfeccionar nuestro aprendizaje.

Al trabajar con el entorno de simulink, aprendemos mas sobre el, lo cual

es muy importante ya que es una herramienta potente al momento de hacer todo tipo de simulación de modelos o sistemas, simulink permite,

diseñar, simular, implementar y probar una variedad de sistemas variables en el tiempo, incluyendo comunicaciones, control,

procesamiento de señales, procesamiento de vídeo, y procesamiento de imágenes.

BIBLIOGRAFIA

Modulo CAD avanzado para electrónica UNAD es.wikipedia.org/wiki/Simulink‎

http://www.mathworks.com/products/simulink/