Act 1: Leccin Evaluativa de Reconocimiento PresaberesRevisin del intento 1Comenzado el:sbado, 1 de septiembre de 2012, 17:23

Completado el:sbado, 1 de septiembre de 2012, 17:42

Tiempo empleado:18 minutos 38 segundos

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1"Una ecuacin es una proposicin que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o ms variables y el smbolo de igualdad =. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"

De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.Seleccione una respuesta. a. 5y = 6 4y

b. x 100 = x

c. sen(2x-3)

d. 3K/(1- T) = S

2Deacuerdo al texto la exactitud es perteneciente .Seleccione al menos una respuesta. a. Calidad de informacin

b. nmero de errores

c. base de datos

d. calidad de datos

3De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuacin 7x 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad.

Seleccione una respuesta. a. x = -3

b. x = 3

c. x = 1

d. x = -1

4Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. correcponde al conceptoSeleccione una respuesta. a. Aproximacin

b. Precisin

c. Redondeo

d. Exactitud

5El numero x= -7/5 es la solucin de:Seleccione una respuesta. a. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X)

b. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X)

c. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X)

d. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X)

6En base al concepto de precisin es correcto afirmarSeleccione una respuesta. a. Anlisis demogrficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisin mediante un cdigo postal solamente

b. Anlisis demogrficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisin mediante un cdigo postal o de circunscripcin.

c. Anlisis demogrficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisin mediante un cdigo postal y circunscripcin.

d. Anlisis demogrficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisin mediante un cdigo de circunscripcin.

Act 3 : Reconocimiento Unidad 1Revisin del intento 1Comenzado el:martes, 18 de septiembre de 2012, 17:00

Completado el:martes, 18 de septiembre de 2012, 17:24

Tiempo empleado:23 minutos 30 segundos

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1Generalmente, los computadores cortan los nmeros decimales entre el 17 y el:Seleccione una respuesta. a. 15decimal

b. 10decimal

c. 12decimal

d. 14decimal

2En matemtica, el mtodo de biseccin es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raz. Supngase que queremos resolver la ecuacin f(x) = 0 (donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raz en el intervalo [a, b]. El mtodo de biseccin divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), f(c) y f(b) tienen distinto signo. El algoritmo de biseccin se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre. El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es mucho ms seguro asegurar la convergencia. Si f es una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este mtodo converge a la raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-sima iteracin. La biseccin converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) Unas cuantas iteraciones del mtodo de biseccin aplicadas en un intervalo [a1;b1]. El punto rojo es la raz de la funcin

PREGUNTA: El mtodo de biseccin es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la _________ y seleccionando el ______________ que tiene la raz. Las opcin correcta para completar el enunciado anterior es:Seleccione una respuesta. a. Mitad e Intervalo

b. Cuarta y Subintervalo

c. Cuarta e Intervalo

d. Mitad y Subintervalo

3Cifras significativas.Cuando se emplea un nmero en un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos.1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos nmeros representan nmero especficos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras.Exactitud y Precisin.La exactitud se refiere a que tan cercano est el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisin se refiere a qu tan cercano est un valor individual medido o calculado respecto a los otros.La inexactitud se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. La imprecisin, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniera.Error.En general, para cualquier tipo de error, la relacin entre el nmero exacto y el obtenido por aproximacin se define como:Error = Valor real -valor estimado = |p-p*|(Llamado Error Absoluto)En ocasiones, se sabr exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el clculo el error detectado, podemos normalizar su valor:Ea = Error relativo (fraccin) = (|p-p*|)/pComo el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber ms la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.Un caso muy interesante es una investigacin que realiza Scarborough, en que determin el nmero de cifras significativas que contiene el error como:ERROR DE REDONDEOMuchas veces, los computadores cortan los nmeros decimales entre el 17 y 12 decimal introduciendo as un error de redondeoPor ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... Hasta el infinito.Si cortamos el nmero en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error deE = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...Sin embargo, como no consideramos que el nmero que segua al corte era mayor que 5, entonces nos convena dejar el nmero como 2.71828183, caso en el cual el error sera solo deE = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.., que en trminos absolutos es mucho menor que el anterior.En general, el error de corte de las computadoras ser muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor nmero de cifras significativas.Dependiendo de la magnitud de los nmeros con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequea en el clculo final. As por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dlares de US $ 7,52, el precio total nos dar US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dlar = $500 nos da $1.888.384,8).Ahora, si introducimos una variacin del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54, que en US$ equivalen a US$3.816,7008 (o sea, $1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variacin de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.Los errores de truncamiento tienen relacin con el mtodo de aproximacin que se usar ya que generalmente frente a una serie infinita de trminos, se tender a cortar el nmero de trminos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).En una iteracin, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximndose a la solucin. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de clculos sobre l, se asocia al nmero de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.ERROR NUMERICO TOTALEl error numrico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el clculo.Pero aqu surge un gran problema. Mientras ms clculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se ir incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir ms trminos en la ecuacin, disminuir el paso o proseguir la iteracin ( o sea mayor nmero de clculos y seguramente mayor error de redondeo).Entonces, qu criterio utilizamos? ...lo ideal sera determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.Pero como dije, es lo ideal; en la prctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.

PREGUNTA:El error relativo en las siguientes aproximaciones de p=3,35 por p*=3,53 esSeleccione una respuesta. a. Ea= -0,05099

b. Ea= 0,0599

c. Ea= 0,05909

d. Ea= 0,05099

4Es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al nmero de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa.Dicho enunciado corresponde al conceptoSeleccione una respuesta. a. Aproximacin

b. Exactitud

c. Redondeo xx

d. Precisin

5Mtodo de la regla falsa Como en el mtodo de biseccin, el mtodo parte de un intervalo inicial [a0,b0] que contiene al menos una solucin de la ecuacin f(x) = 0, a la cual se llama raz de f. Es decir, parte de un intervalo con f(a0) y f(b0) de signos contrarios (vase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [ak, bk] ms pequeo que incluye una raz de la funcin f. Para determinar a partir de un intervalo [ak, bk] el siguiente intervalo [ak+1, bk+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la frmula:

El punto se obtiene al hallar la interseccin de la recta que pasa por los puntos (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el mtodo de la secante). Una vez hallado este punto, se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido ck y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las races de la funcin f (Es decir, con el valor de la funcin en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario). Anlisis del mtodo Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el mtodo de la falsa posicin tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger ms lentamente a la solucin de la ecuacin que el mtodo de la secante, aunque a diferencia de en el mtodo de la secante el mtodo de la falsa posicin siempre converge a una solucin de la ecuacin. El algoritmo tiene el inconveniente de que si la funcin es convexa o cncava cerca de la solucin, el extremo del intervalo ms alejado de la solucin queda fijo variando nicamente el ms cercano, convergiendo muy lentamente. Para solucionarlo, se suele utilizar una variante del algoritmo, conocida como mtodo de regula falsi modificado, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo por un extremo en ir dividiendo por dos el valor de la funcin en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se haba quedado fijado.PREGUNTA: Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el mtodo de la falsa posicin tiene orden de convergencia: Seleccione una respuesta. a. no lineal

b. infinita

c. Lineal

d. finita

6Mtodo de Newton- Raphson La idea de este mtodo es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la funcin por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fcilmente, por ser una ecuacin lineal). Este cero ser, generalmente, una aproximacin mejor a la raz de la funcin. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen. Supngase f : [a, b] -> R funcin derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada nmero natural n

PREGUNTA: El mtodo de punto fijo inicia con una aproximacin inicial xo y xi+1= g(x) genera una sucesin de aproximaciones la cual: Seleccione una respuesta. a. converge a la solucin de la ecuacin f(x)>0

b. Diverge a la solucin de la ecuacin f(x)>0

c. Converge a la solucin de la ecuacin f(x)=0

d. Diverge a la solucin de la ecuacin f(x)=0

6.7/ /8 sep18/12

Act 4: Leccin Evaluativa Unidad No. 1Revisin del intento 1Comenzado el:martes, 18 de septiembre de 2012, 17:33

Completado el:martes, 18 de septiembre de 2012, 17:58

Tiempo empleado:24 minutos 53 segundos

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1La tercera iteracin encontrada en el ejemplo realizado en la pgina anterior por el Mtodo de Biseccin es:Seleccione una respuesta. a. 1,3125

b. 1,430

c. 1,375

d. 1,25

2Un valor de una variable que haga que la ecuacin sea una proposicin verdadera se denomina raz o solucin de la ecuacin dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuacin. As por ejemplo x=5 es una raz de la ecuacin 2x 3 = x + 2De manera similar y = -2 es la solucin de la ecuacin y2 + 3y=6 + 4y En lgebra elemental se ensea a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadrticas.

La solucin de la siguiente ecuacin 3(x - 3)2 = 3(3x - 9) es:

Seleccione una respuesta. a. x = 5

b. x = 6

c. x = -5

d. x = - 6

3De acuerdo a los siguientes enunciados el ms apropiado al concepto de EXACTITUD deber serSeleccione una respuesta. a. Son errores en los valores numricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemticos o accidentales

b. Errores debidos a la apreciacin del observador y otras causas

c. Errores debidos a la imprecisin de los aparatos de medicin.

d. Se refiere a la cercana de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa

4MTODO DE LA BISECCIN El mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo: Teorema del Valor Intermedio Sea f(x) continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a)f(b). Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, si f(a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente z=0 , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir x0 (a,b) tal que f(x0)=0 , es decir, debe haber por lo menos una raz de f(x) en el intervalo (a,b). El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua, i) i) Encontrar valores inciales xa, xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, es decir, f(xa) . f(xb) < 0 ii) ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre xay xb :

iii) iii) Evaluar f(xr) . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: f(xa) . f(xr) < 0 En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo [xa , xr] . f(xa) . f(xr) > 0 En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo, y de aqu que f(xr) y f(xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo [xr , xb] . f(xa) . f(xr) = 0 En este caso se tiene que. f(xr) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: |E a| 0 mientras que f(1,5) = e-1 ln (1,5) = - 0,18233 < 0 Cabe mencionar que la funcin f(x) s es continua en el intervalo [1; 1,5]. As pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el mtodo de biseccin. Comenzamos: i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximacin a la raz):

ii) Evaluamos f(1,25) = e-1,25 ln ( 1,25) = 0,0636 > 0 iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,5]. En este punto, vemos que todava no podemos calcular ningn error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximacin. As, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1,25; 1,5] . Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximacin a la raz):

Aqu podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximacin actual y la aproximacin previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos f(1,375) = e-1,375 ln (1,375) = -0,06561 < 0, y hacemos la tabla:

As, vemos que la raz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,375] . Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: Aprox. a la raz Error aprox.

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

As, obtenemos como aproximacin a la raz

PREGUNTA:Utilizando el mtodo de Biseccin para la funcion f(x)= x2 - 10x + 22, se encontrara que la tercera iteracin entre los valores x= 6 y x = 8 de la funcin f(x) es: Seleccione una respuesta. a. 6

b. 6,75

c. 7

d. 6,5

5Dgitos Significativos: Son aquellos nmeros diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dgito diferente de cero y terminan con el tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa. Exactitud: Se refiere a la cercana de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Precisin: Se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisin, dependiendo de la mquina que estemos utilizando. Errores Inherentes o Heredados: Son errores en los valores numricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemticos o accidentales. Errores Sistemticos: Debidos a la imprecisin de los aparatos de medicin. Errores Accidentales: Debidos a la apreciacin del observador y otras causas. Errores de Truncamiento: Se debe a la interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin. Sucede cuando se toman slo algunos trminos de una serie infinita o cuando se toma slo un nmero finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada slo toma en cuenta los dgitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dgito perdido. Error de Redondeo: Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la mquina para representar cantidades que requieren un gran nmero de dgitos. Dependiendo de cmo se redondea puede ser de dos formas. Error de Redondeo Inferior: Se desprecian los dgitos que no pueden conservarse dentro de la localizacin de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error de truncamiento). Error de Redondeo Superior: Este caso tiene dos alternativas, segn el signo del nmero en particular. a) Para nmeros positivos, el ltimo que puede conservarse en la localizacin de memoria se incrementa en una unidad si el primer dgito despreciado es > 5. b) Para nmeros negativos, el ltimo dgito que puede conservarse en la localizacin de memoria se reduce en una unidad si el primer dgito despreciado es < 5. PREGUNTA:1. Las definiciones: A. Son aquellos nmeros diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dgito diferente de cero y terminan con el tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa B. Se debe a la interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin. Sucede cuando se toman slo algunos trminos de una serie infinita o cuando se toma slo un nmero finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada slo toma en cuenta los dgitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dgito perdido. Son definiciones de: 1. Error de Redondeo 2. Error de Truncamiento 3. Dgitos Significativos 4. Error relativo La respuesta correcta es Seleccione una respuesta. a. Los items 2 y 3

b. Los items 2 y 4

c. Los items 1 y 3

d. Los items 1 y 4

6Complete correctamente el enunciado teniendo en cuenta la lectura anterior:Se observa que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz, lo hace de una forma _____________ y de hecho, observamos que el error aproximado______________ Seleccione una respuesta. a. Muy lenta y disminuye

b. Muy rpida y disminuye

c. Muy rpida y aumenta

d. Muy lenta y aumenta

7El mtodo de iteracin del punto fijo converge a la raz si:Seleccione una respuesta. a. |g(x)|>1 para x en un intervalo [a, b]

b. |g(x)|>1 para x en un intervalo [a, b]

c. |g(x)|