ALGEBRA

• Surge como la generalización de la teoría de números.

• Termino algebraico: Expresión que posee parte literal o variable y una parte numérica llamada coeficiente.

• -5 x3 y2

-5: Coeficiente x3y2: Variable (-) Signo negativo 3, 2: Exponentes

Clasificación de expresiones algebraicas.

• Una expresión algebraica puede ser:

• MONOMIOS: presentan un solo término– 7xz -9a3n.

• BINOMIOS: presentan dos términos: a + n; 5p – 4r; x + z• TRINOMIOS: tienen tres términos:

x2 – 2x + 13; -5p – 4pr + 5r• POLINOMIOS: cuando tienen más de tres términos.

-6x4 + 13x3 -6x2 -5x +12

• Se operan únicamente los coeficientes de los términos semejantes y se conservan las variables.

• 2a – 3b + 5a + 7b = (2a + 5a) + ( – 3b + 7b)=

7a + 4b

ADICIÓN DE POLINOMIOS

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Al desarrollar una resta de expresiones algebraicas, debemos establecer quien es el minuendo y quien el sustraendo, ya que el sustraendo se verá afectado por el signo MENOS de la resta.

Ejemplo.

De 9x2 - 3x + 5 restar 8x2 - 5x + 9

MINUENDO SUSTRAENDO

Es la cantidad a la que le quitaremos o restaremos.

Es la cantidad que le quitaremos o restaremos al minuendo.

El sustraendo es quien se verá afectado por el signo menos de la resta.

a) Los datos de ingresos y egresos mensuales de una empresa, se representan algebraicamente; si en el mes de octubre los ingresos fueron

, y el total de egresos fueron

1º En la resta el sustraendo se ve afectado por el signo menos de la operación.

2º Se organizan los términos de acuerdo a su semejanza.4a3 - 10a2b + 2ab2 + 3b3

2a3 + 5a2b - 3b3

R/ La empresa obtuvo de ganancia 6a3 - 5a2b + 2ab2

3223 32104 babbaa baab 233 523

)523( 233 baab baab 233 523 =

3º Se operan (+ o -) los coeficientes y se conservan las variables.

4a3 - 10a2b + 2ab2 + 3b3

2a3 + 5a2b - 3b3

6a3 - 5a2b + 2ab2 + 0

Establecer el total de ganancia de la empresa.

Multiplicación de polinomios

División de polinomios

• Se dividen los coeficientes y las variables cumplen la ley:

xm / xn = xm-n

(18a2b2) / (-6ab2) = -3a

PRODUCTOS NOTABLES• Multiplicaciones que cumplen unas reglas específicas y se pueden

desarrollar por simple inspección.

• Binomio suma al cubo: (m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

• Binomio diferencia al cubo: (m – n)3 = m3 – 3m2n + 3mn2 – n3

• Trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc• Identidades de Legendre (m + n)2 + (m – n)2 = 2(m2 + n2) (m + n)2 – (m – n)2 = 4m n

FACTORIZACIÓN

Descomponer una expresión en dos o más factores.

FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

FUNCIONESUna función matemática es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el condominio) de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del condominio.

X Y

•La notación de una función puede ser f(x), y, g(x), h(x),…

•Las funciones se desarrollan tabulando, es decir agregando valores a la variable independiente x

FUNCIÓN CUADRÁTICAECUACIÓN CANÓNICAUna función en una variable, en la que el mayor exponente que aparece es dos, es una función cuadrática y su representación gráfica se le conoce como parábola. Su ecuación canónica corresponde a la expresión F(x) = Y = X2 y su grafica representativa, vértice en (0,0)

Y

X

Representación gráfica de La función cuadrática y SUS modificaciones Y = A(x- h)2 + k con vértice en (h, k)

Dominio =R Rango = R ≥0

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIÓN EXPONENCIALEs una función del tipo F(x) = aX, donde es a es un número real positivo diferente de 1

F(x) = Y = aX, Y Y

0< a < 1

X X

Dominio R Rango R+

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función del tipo F(x) = log a X, donde es a es un número real positivo diferente de 1F(x) = Y = log a X

Y Y

a>1 0< a < 1

X X

Dominio R+ Rango R

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALEs aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el

semieje positivo de las abscisas(X) , su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano.

Lado inicial del ángulo en posición normal

Lado final del ángulo en posición normal

Ángulo en el 2do Cuadrante

x

Y

Medida del ángulo en posición normal

o

Origen de Coordenadas

Medida del ángulo en posición normal

X

Y

Lado inicial

Lado Final

Ángulo ubicado en el

4to cuadrante

Y

X

Lado inicial

Lado Final

Ángulo ubicado en el

3er cuadrante

ÁNGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coinciden con algún eje del plano cartesiano.

Ángulo cuadrantal

β

X

Y

X

Y

Ángulo cuadrantal

X

Y

Ángulo cuadrantal

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

SISTEMAS DE MEDIDA SEXAGESIMAL

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR

las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Para establecer las razones o relaciones trigonométricas de un ángulo, es necesario diferenciar su cateto OPUESTO del cateto ADYACENTE

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

Medidas de los lados múltiplos de 3-4-5

Ángulos agudos internos 37º y 53º

5

3

437º

53º

X2X

X√3

X

X

X√2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS ESPECIALES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO 45°

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS ESPECIALES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS 30° Y 60°

Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la altura h

Ángulo de Elevación : Ángulo de Elevación : Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira .

La línea de Mira está por encima de la línea Horizontal.

xxLínea Línea HorizontalHorizontal

Línea de Línea de MiraMira

AA

BB

Ángulo de Depresión :Ángulo de Depresión :Es el ángulo formado por la línea de Mira y la línea Horizontal.

Pero la línea de Mira está por encima de la línea Horizontal

xxLínea Línea HorizontalHorizontal

Línea de Línea de MiraMiraAA

BB

Ejemplo :Ejemplo :

Un grillo se encuentra a 10 m. del pie de un árbol, observa el tamaño total de dicho árbol con un ángulo de 30º ¿Cuál es el tamaño de dicho árbol?

30º30º

hh

10 m.10 m.

TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

EJEMPLO.De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los elementos restantes.

TEOREMA DEL COSENO

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de ambos lados por el coseno del ángulo que forman.