8. flujo conductos

Flujo en conductos

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón 3er curso Ingeniería Industrial Curso 2005-06

Mecánica de Fluidos

8. FLUJO EN CONDUCTOS.

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos

Gijón diciembre 2005

Flujo en conductos


2

8. FLUJO EN CONDUCTOS. 8.1. Flujos laminar y turbulento. 8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. 8.1.2. Modelos de turbulencia. 8.2. Flujo estacionario, incompresible en conductos. 8.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach. 8.2.2. Cálculo de tuberías. 8.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. 8.3. Flujo no estacionario. 8.3.1. Oscilaciones tubo en U. 8.3.2. Establecimiento del flujo. 8.3.3. Golpe de ariete. 8.4. Problemas resueltos. 8.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO.

La solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos, actualmente no se tiene. Aunque se dispone de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales (constitución + conservación) con las magnitudes del flujo (p, ρ, T, û, u, v, w), solo se tiene la solución analítica para casos muy concretos con fuertes hipótesis restrictivas. No obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones. La mayor dificultad de la resolución analítica, viene determinada, por que en función de la relación entre las fuerzas de inercia y las viscosas, el flujo es totalmente distinto: si predominan las fuerzas viscosas, el movimiento es ordenado, denominándose flujo laminar; si son predominantes las fuerzas de inercia, el flujo es agitado y fluctuante, denominandose flujo turbulento. La relación entre las fuerzas de inercia y viscosas, es el parámetro adimensional intrínseco en Mecánica de Fluidos, y se denomina número de Reynolds: Re. En flujo laminar, no hay fluctuaciones en los valores de las magnitudes, que solo dependen de las posición y del tiempo. En cambio, en flujo turbulento, los valores son fluctuantes entorno a un valor medio. El paso de un tipo de flujo al otro, no es discreto, hay un flujo de transición, en donde se presentan fluctuaciones esporádicas. Tanto el flujo laminar, como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones de conservación y constitutición. En flujo laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del flujo, se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica. 8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. Como hemos citado anteriormente, las ecuaciones de conservación y de constitución, forman un conjunto homogéneo. Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluido newtoniano, las magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes del vector velocidad; disponientdo de 4 ecuaciones diferenciales entre ellas: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:

0zw

yv

xu

=∂∂

+∂∂

+∂∂

dtvdvpg 2→

→→ρ=∇µ+∆−ρ

Tanto en flujo laminar, como en turbulento, vienen descritos, por las ecuaciones anteriores. En flujo laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las cuatro magnitudes del flujo (presión y las tres de la velocidad), se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica.

Flujo en conductos


3

u'

u u

t

Estas consideraciones, llevaron a Osborne REYNOLDS a considerar a las variables, como suma de un valor medio y de su correspondiente fluctuación temporal:

)t('u)T(u)t(u_

+= T

dt)·t(u)T(u

T

0∫=

u = componente “x” de la velocidad, en un determinado punto, a lo largo del tiempo. u' = fluctuación de la componente x, en un determinado instante. u = valor medio de la componente x, a lo largo de un periodo de promedio >> tiempo característico.

Análogamente a la componente x de la velocidad: )t('u)T(u)t(u_

+= , se tienen expresiones para las

otras componentes y para la presión: )t('v)T(v)t(v_

+= ; )t('w)T(w)t(w_

+= ; )t('p)T(p)t(p_

+= Por su propia definición, el valor medio de la fluctuación turbulenta es nulo, definiéndose como una medida de la turbulencia, su valor cuadrático medio, que se denomina intensidad de turbulencia:

( )T

dt)·t('u)·t('u'u

T

02 ∫=

Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes (u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuación, integran un conjunto de 4 ecuaciones que se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):

0zw

yv

xu

=∂∂

+∂∂

+∂∂

dtud

z'w'·u

y'v'·u

x'u'·u

zu

yu

xu

xp

g2

2

2

2

2

2

x ρ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

ρ−∂

∂ρ−

∂∂

ρ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−ρ

dtvd

z'w'·v

y'v'·v

x'u'·v

zv

yv

xv

ypg

2

2

2

2

2

2

y ρ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

ρ−∂

∂ρ−

∂∂

ρ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−ρ

dtwd

z'w'·w

y'v'·w

x'u'·w

zw

yw

xw

zpg

2

2

2

2

2

2

z ρ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

ρ−∂

∂ρ−

∂∂

ρ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−ρ

En el término de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:

Esfuerzos laminares: zu,

yu,

xu

∂∂

µ∂∂

µ∂∂

µ ; zv,

yv,

xv

∂∂

µ∂∂

µ∂∂

µ ; zw,

yw,

xw

∂∂

µ∂∂

µ∂∂

µ

Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: ( ) ( ) ( )'w'·w,'v'·v,'u'·u ρ−ρ−ρ− ( ) ( ) ( )'w'·v,'w'·u,'v'·u ρ−ρ−ρ− Genéricamente las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ρ−∂∂

µρ−∂∂

µρ−∂∂

µ

ρ−∂∂

µρ−∂∂

µρ−∂∂

µ

ρ−∂∂

µρ−∂∂

µρ−∂∂

µ

==

'w'·wzw'w'·v

yw'w'·u

xw

'w'·vzv'v'·v

yv'v'·u

xv

'w'·uzu'v'·u

yu'u'·u

xu

T

Flujo en conductos


4

8.1.2. Modelos de turbulencia. La determinación de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, de los que citaremos los denominados de “una ecuación” de Boussineq y de Prandtl. Modelos más completos, se estudiaran en la descripción de la capa límite de la lección 9: modelos de “dos ecuaciones”, como los k-epsilón y los k-omega. a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedad del flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:

velocidadde gradienteo turbulentesfuerzo

t =µ ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

µ≈τ=ρ−xv

yu'v'·u tturbulento

b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como el recorrido libre medio de una partícula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partícula; con lo que las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: u’≈v’≈L(∂u/∂y); siendo la viscosidad turbulenta :

yuL2

t ∂∂

ρ≈µ

Von Karman, estableció la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posición (y) en la capa límite1, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo tubulento de Reynolds:

yL ⋅κ= ( )yuy

yuL 22

t ∂∂

κρ=∂∂

ρ≈µ

( ) ( ) ( ) 222txytturbulento y

yu

yu

yu

yuy

yu'v'·u ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

ρκ=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

κρ=∂∂

µ=≈ρ−=τ=τ

El coeficiente de Karman, κ es una constante universal en flujo turbulento κ = 0,41 Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades en flujo turbulento, que viene dado por la ley logaritmica de la capa límite de Millikan:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ν−

= BurRlnk1uru

**

en donde u* es la velocidad de fricción, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: τw=ρ(u*)2; k es el coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.

1 El concepto de CAPA LÍMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la lección 9 (flujo externo). Básicamente, es la zona del flujo en las proximidades de las paredes sólidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos; distinguiendose tres zonas de distribución diferenciada de esfuerzos viscosos: en la más proxima a la pared, son predominantes los esfuerzos viscosos (subcapa límite laminar), en la más alejada de la pared, son predominantes los esfuerzos turbulentos (subcapa limite turbulenta), y entre las dos zonas se tienen esfuerzos de ambos tipos.

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5

8.2. FLUJO ESTACIONARIO, INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS. 8.2.1. Pérdida de carga: Ec. de Darcy-Weisbach: se define perdida de carga, como la energía disipada por unidad de peso; y se obtiene a partir de la tensión de rozamiento en la pared. En una tubería (longitud L, dámetro D), se denominan perdidas lineales:

( )

gDL4

gL4D

LDLmg

LFmgE

h w2wp

pl ρτ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πρ

πτ=== µ

Régimen Laminar (Re<2300): los esfuerzos de rozamiento son exclusivamente viscosos, siendo posible la resolución analítica de Navier-Stokes (flujo estacionario e incompresible) obteniendo una distribución de velocidad parabólica:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2

Rr1v2)r(u En donde “v” es la velocidad media en cualquier sección del flujo estacionario.

La tensión en la pared es: D

v8R

R2v2drdu

2Rr

wµ

=−

µ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ=τ

=

Con lo que la perdida de carga es proporcional a la velocidad media: ( ) vgD

L32...gDL4h

2warminlaplρ

µ==

ρτ=

Expresando, la velocidad media en función del caudal: v=4Q/πD2, se obtiene que la perdida de carga en flujo laminar es proporcional al caudal, es la Ec. de Hagen-Poiseuille:

( ) QgD

L128h4arminlapl

ρ

µ= (1)

Régimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen términos viscosos y términos turbulentos, con lo que no es posible la resolución de Navier-Stokes; no obstante, por analisis dimensional, se obtiene el factor de fricción de Darcy, que adimensionaliza la tensión de rozamiento en la pared:

2w

v·8

fρ

τ=

La ecuación de la perdida de carga lineal, será: ( )g2

vDLf

gDL

2vf

gDL4h

22

wpl =ρ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ=

ρτ=

Que es la ecuación de Darcy-Weisbach, en donde la perdida de carga es proporcional al cuadrado de la velocidad, o al cuadrado del caudal:

252

2

pl QDL

gf8...

g2v

DLfh

π===

En régimen turbulento el factor de fricción depende, además del número de Re, de la rugosidad relativa: εr=ε/D; en donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa las alturas promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esa dependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es la zona de la capa límite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería y los esfuerzos son exclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa límite laminar, la tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds, según la expresión empírica que obtuvo Prandlt, a parir del a ley logarítmica de velocidad en la capa límite:

Tubería lisa: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

fRe51,2log2

f1

Flujo en conductos


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Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de

la rugosidad relativa (von Karman, 1938): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε−=

7,3log2

f1 r

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ε−=

fRe51,2

7,3log2

f1 r

Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción aparece en forma explicita, y debe recurrirse al calculo numérico para su resolución. No obstante, en un principio sin la herramienta del calculo numérico, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuación de Colebrook, en donde se muestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se determina el factor de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de Reynolds, con la isocurva correspondiente.

Una solución alternativa, es la ecuación de Haaland: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε−≅

Re9,6

7,3log8,1

f1 11,1

r

En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logaritmica, el factor de fricción vs el número de Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa. El flujo laminar Re<2000) viene representado por una recta de pendiente negativa, ya que el factor de

Darcy, correspondiente sería: ( )Re64

/vD64

vD/v8·8

v·8

f22

w =µρ

=ρ

µ=

ρ

τ= , con lo que: log(f) = log 64-log(Re)

El flujo turbulento, se divide en tres zonas, en función del número de Reynolds: 2000>Re>4000: zona crítica de paso de flujo laminar a turbulento 4000>Re y f=f(εr,Re): zona de transición con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds 10000>Re y f=f(εr): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad

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7

8.2.2. Cálculo de tuberías: CASO (1): cálculo de la pérdida de carga. DATOS: tubería: D, L, ε fluido: ρ, µ flujo: Q CÁLCULO: perdida de carga: hp

RESOLUCIÓN: 1. número de Reynolds: νπ

=µ

ρ=

DQ4vDRe

2. para FLUJO LAMINAR (Re<2000): QDgL128

h4arminlapl

πρ

µ=

3. para FLUJO TURBULENTO (Re>4000):

f = f (Re, εr) : Ec. Colebrook: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ε−=

fRe51,2

7,3log2

f1 r

Ec. Darcy-Weisbach: 252

2

pl QDL

gf8...

g2v

DLfh

π===

CASO (2): cálculo del caudal. DATOS: tubería: D, L, ε fluido: ρ, µ flujo: hp CÁLCULO: caudal: Q

RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): 2

3p

L32

gDh...

DQ4vDRe

υ==

νπ=

µρ

=

Ec. Hagen-Poiseuille: L128Dgh

Q4

p

µ

πρ=

2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000):


52p

QK

Q

L8/Dghf =

π=⇒ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ π=

L8Dgh

K52

p

Número de Reynolds: νπ

=DQ4Re

νπ=

νπ=⋅⇒

DK4

QK

DQ4fRe

Ec. Colebrook: ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ νπ+

ε−=

K4D51,2

7,3·logK2Q r

Flujo en conductos


8

CASO (3): cálculo del diámetro. DATOS: tubería: L, ε fluido: ρ, µ flujo: Q, hp CÁLCULO: diámetro: D

RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): 2

3p

L32

gDh...

DQ4vDRe

υ==

νπ=

µρ

=

Ec. Hagen-Poiseuille: 4p gh

LQ128Dπρ

µ=

2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000):


52p D·C

LQ8

Dghf =

π=⇒ [Ec.1] ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ π=

2

2p

LQ8

ghC

Ec. Colebrool: ⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

νπ

+ε

−=f

DQ4

51,27,3D/log2

f1 [Ec.2]

En las dos ecuaciones, se tienen como incógnitas f y D, la resolución simultanea por métodos iterativos da sus valores. … se supone una velocidad de 4 m/s en la iteración inicial

inicialD Q /= π

D = Dinicial

Ec. 1: f=C·D5

r

Colebrook rD Ec.2 f =f(Re, )

4QRe D

εε =

⇒ ε=

π ν

5Colebrookf f 10−− < NOSI

D = (fColebrook/C)0,2

DATOS

FIN

Flujo en conductos


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+ tubería 31

malla 3

tubería 32

tubería 33 tubería 34

tubería 35

nudo 5 malla 3

malla 4

malla 5

malla 6

tubería 45

tubería 55tubería 65

8.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. En una instalación de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberías acopladas en serie, en paralelo o como una combinación de ambas, que integran una red de tuberías. En las tuberías en serie, el caudal que circula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puede considerar como una única tubería cuyo termino resistente es la suma de los términos individuales. Se define resistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la pérdida de carga:

g8

DLfk

25 π= (8)

2

ii

iiptotalp Qkhh

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛== ∑∑ (9)

Para regimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de fricción solo depende de la rugosidad relativa, y es constante a partir de una determinado valor (alto) del número de Reynodls; con lo que se puede suponer que la resistencia de la tubería es constante.

Cuando dos o más tuberías se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudales individuales, pero la pérdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberías. Las ecuaciones que rigen las tuberías en paralelo son:

∑=i

itotal QQ (10)

2ii

222

211p Qk...QkQkh ==== (11)

Cuando se tiene una red de tuberías, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cada una de las tuberías que integran la red. Se establecen los términos de malla y de nudo, para cada malla la suma de perdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones, integrado por la “m” ecuaciones de las mallas y las “n” ecuaciones de los nudos, que es homógeneo (m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la “t” tuberías que integran la red.. Ecuaciones de las mallas: de la malla “1” a la malla “m” ; para una determinada malla “i”, se establece un sentido positivo de la malla (normalmente el destrogiro); el caudal circulante por una tubería “ij” es positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo que se tiene para cada malla “i”: 0QQk

jijijij =∑

0QQkQQkQQkQQk 343434333333323232311i31 =+++ Ecuaciones de los nudos: del nudo “1” al nudo “n” ; para un determinado nudo “i”, el caudal que le llega de una determinada tubería “ij” es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene para cada nudo “i”: 0Q

jij =∑ 0QQQQ 65554535 =+++

En el método de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, se calcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteración de cálculo se va aproximando a la solución. El caudal corrector para una malla “i” viene dado por la ecuación:

( )∑

∑−=∆

jijij

jijijij

iQk2

QQk

Q (12)

Flujo en conductos


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8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO. . (1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubería conectada a un deposito, desde que la válvula de descarga se abre, hasta que se alcanza régimen estacionario en todo el conducto. (2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenómeno del golpe de ariete, en donde el cierre de la válvula de descarga, provoca oscilaciones de presión, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efecto de la compresibilidad del fluido. 8.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario. A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa, entre dos secciones separadas por un diferencial de longitud:

dtdvdL·AdLDAdL

Lp

ppA w ρ=⋅πτ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+− dtdvAdLdL·Dv

8fA·dL

Lp 2 ρ=π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ−

∂∂

−

En donde el gradiente de presión en la dirección del flujo, es constante: eL/gHL/p ρ−=∂∂ ; en donde Le, es la longitud equivalente, suma de la longitud de la propia tubería y de la longitud adicional provocada por las singularidades en la entrada y en la salida (Le=L+(D/f)(Σξ)). La tensión de rozamiento viscoso en la pared, viene dada por el factor de fricción de Darcy, que supondremos constante: 2

w v/8f ρτ=

Obteniendo la ecuación diferencial: dtdv

2v

Df

LgH 2

eρ=

ρ−

ρ

Una vez alcanzado el régimen estacionario, si la velocidad es v0, se tiene que: 20e vD2

LgH

f =

La ecuación diferencial del tiempo de establecimiento es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ=

20

2e

vv1

dvgHL

dt vvvv

·lngH2vL

t0

00e

−+

=⇒

Por el carácter asintótico de la función v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando se alcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:

gH

vL646,2

v01,0v99,1

·lngH2vL

t 0e

0

00eientoestablecim ==

p dLLp

p∂∂

+

dL

τw

τw

v(t)

L

H

Flujo en conductos


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8.3.2. Golpe de Ariete. A partir de la figura, cuando la válvula de descarga se cierra instantáneamente, el fluido empieza a pararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la sección de la válvula (2) en el instante inicial, hasta la sección de conexión con el deposito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresión2, que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presión3, viene determinada por la compresibilidad del fluido, la geometría y la elásticidad de la tubería:

)E/K)(e/D(1

/Ka+

ρ=

Cuando la onda de sobrepresión llega a la sección (1) de conexión con el deposito, todo el fluido de la tubería esta parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depósito, sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el deposito secciones de fluido, en dirección al depósito; las secciones movilizadas del deposito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresión al llegar al depósito a rebotado una onda de depresión. Cuando la onda de depresión, llega a la válvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubería en movimiento hacía el deposito, y sin sobrepresión,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la válvula al deposito) se van parando y quedando a baja presión. La llegada de la onda de depresión a la válvula, provoca un rebote de una onda de depresión, que conforme se mueve hacia el depósito, va parando el flujo y dejandolo a baja presión. La llegada de la onda de depresión, a la sección (1) del depósito, deja a todo el flujo parado, pero a depresión; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubería, dejando sucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presión inicial: la onda de depresión al llegar al depósito rebota una onda de sobrepresión. Esta situación se prolonga hasta que la onda de sobrepresión, llega a la válvula, y se vuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presión provocado por el cierre de la válvula. 2 La sobrepresión del cierre instantaneo de la válvula, viene dada por la Ec. de Allievi: ∆p=ρv0a; en donde “v0”es la velocidad media del fluido antes del cierre, y “a” la velocidad de la onda de sobrepesión. Se deduce a partir del balance de fuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presión: ∑ ∆ρ= v·QdF ( )[ ]avv·AvA·dp 000 −−ρ= avdp 0ρ= 3 La velocidad de la onda de presión depende del módulo de compresibilidad del líquido circulante, y de las características elásticas de la tubería: un aumento de presión hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su módulo de compresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubería, en función de su diámetro, espesor y módulo de elasticidad o módulo de Young (E), lo que lleva a obtener un módulo de dilatación volumétrica (K’):

dpKVdVfluido =− ; dp

eEDVdVtubería = ;

EK

eD1

K...dp

eEDVdp

KV

dpVdVdpV'K

+==

+==

)E/K)(e/D(1

a)E/K)(e/D(1

K)E/K)(e/D(1

K'K

ddpa 0

+=

+

ρ=

ρ+

=ρ

=ρ

=

L

v0 ∆p

(1) (2) (i)

∆p=ρgv0 Ec. Allievi

Flujo en conductos


12

A este fenómeno de generación de oscilaciones de presión (sobre y depresión), generado por el cierre de válvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el análisis anterior, no se han considerado efectos disipativos, en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones máximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempo se van amortiguando. La resolución numérica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por el método de carácterísticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.

Continuidad: 0xva

tp 2 =

∂∂

ρ+∂∂

Navier-Stokes en dirección axial: 0tv

2vv

Df

xp

sen·g =∂∂

ρ+ρ

+∂∂

+αρ

La ecuación de continuidad, se obtiene a partir de considerar el módulo de dilatación volumétrica fluido- tubería: K’=ρdp/dρ=ρa2, y despreciando la variación convectiva de presión frente a la local

0xv

dt

dp'K

dp'K

d

0xv

dtd

=∂∂

ρ+

ρ

⇒ρ

=ρ

=∂∂

ρ+ρ

0xv'K

dtdp

=∂∂

ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

+ 0xva

tp 2 =

∂∂

ρ+∂∂

En la ecuación de Navier-Stokes en dirección axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidad de volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubería tiene un ángulo de inclinación α; y se ha despreciado la aceleración convectiva frente a la local. Para explicar cualitativamente el fenómeno del golpe de ariete, en el cierre instantáneo de una válvula, consideremos las siguientes gráficas de la presión en función del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) y una sección intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubería de longitud L, es L/a; con lo que el tiempo que tarda la onda de presión generada por el cierre de la válvula será 2L/a. El cierre no es posible que sea instantáneo, distinguiendo entre cierre rápido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento en caso contrario. En cierre rápido, cuando la primera onda de presión generada por el cierre de la válvula, retorno a la válvula, ésta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presión de igual magnitud. En cierre lento, cuando la primera onda llega en el insante 2L/a, la válvula esta parcialmente abierta, y parte de la intensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo. En el cierre rápido, prácticamente se alcanza la sobrepresión de Allievi: avp 0ρ=∆ . En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuación de la presión máxima, en función del tiempo de cierre; considerando el cierre de la válvula, sin pérdidas y lineal (%cierre = 100·t/tcierre):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++= 4nnn1pp 22

21

0máxima cierre0

0

t·pLv

nρ

=

Si la ley de cierre de la válvula no es líneal, se puede seguir el método de Bergeron, en donde se considera el cierre en cierres parciales instantaneos (CP), cada fracción de tiempo 2L/a:

CP2 CP1

CP3 CP4

CP5

CP6

% cierre

tcierre 2L/a

t

cierre lineal

cierre lento

Flujo en conductos


13

Movimiento de ondas de sobrepresión (+∆p) y de depresión (-∆p), desde su origen en el cierre de la válvula (t=0), hasta la

repetición del ciclo en la propia válvula (t=4L/a).

aL2

t

p(1)

p0

∆p

−∆p

t

p(i)

p0

∆p

−∆p

t

p(2)

p0

∆p

−∆p

a2L

a2Lt = 0t =

a2L3t =

a2L4t =

a2L5t =

a2L7t =

a2L2t =

a2L6t =

a2L8t =

sección (i ) ONDA DE

SOBREPRESIÓN (+∆p)

DEPÓSITO (1): LA ONDA

REFLEJADA ES DE SENTIDO

CONTRARIA A LA ONDA

INCIDENTE

VÁLVULA (2): LA ONDA

REFLEJADA ES DEL MISMO

SENTIDO QUE LA ONDA

INCIDENTE

ONDA DE DEPRESIÓN (-∆p)

Flujo en conductos


14

L

∆p

Q Q

P 8.1. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. En flujo laminar en conductos, las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver, y la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de

Hagen-Poiseuille: p 4

128 Lh Qg D

ν=

π. Una aplicación característica de este resultado, es la determinación de la

viscosidad cinemática de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar. DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta en cP. 2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar. 2. Caudal máximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar. DATOS: Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presión: -∆p = 16 kPa; densidad: ρ = 830 kg/m3

Flujo laminar: Re<2300 Considere tubería horizontal. RESOLUCIÓN:

1. Viscosidad absoluta: de la Ec. de Hagen-Poiseuille, la viscosidad absoluta es: ( ) 4

pgh D

128LQ

ρ πµ =

La perdida de carga viene determinada por : pph zg

⎛ ⎞∆= − ∆ +⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

, en donde -∆z es la disminución de cota y -∆p la

perdida de presión. Si la tubería es horizontal (-∆z=0), la pérdida de presión es: pp gh−∆ = ρ con lo que la viscosidad es:

( )( )

4 4

3

p D 16000 0,010 Pa s ...128LQ 128 2,4 6 10 / 60−

−∆ π ⋅ π ⋅µ = = = ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅ ⋅-316, 362 10 16, 362 cP

Comprobemos que el número de Reynolds, es menor de 2300, para asegurar que el flujo en el capilar es laminar:

( )( )

32

3

Q D 4 6 10 / 60 830vD 4QD / 4Re/ D 0,010 16,362 10

−

−

⋅ ⋅ρπ= = = = =ν µ ρ π µ π ⋅ ⋅ ⋅

645, 9

2. Potencia disipada: ( ) ( )3P Q p 6 10 / 60 16000−

µ = ⋅ ∆ = ⋅ − = -1,6W

3. Caudal máximo para flujo laminar: la condición es : Re<2300, con lo que se tiene:

( )33

4QRe 2300 D

2300 0,010 16,362 102300 D < m / s ... litros/minuto830

−

ρ= < ⇒

π µ

⋅ π ⋅ ⋅ ⋅⋅ π µ= = ⋅ = =

ρ-3Q 1, 424 10 85, 465

Flujo en conductos


15

P 8.2. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. En las máquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo más sencillo, es tener un depósito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema se completa con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depósito superior. DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto. DATOS: Conducto vertical: longitud: L= 350 mm, Fluido: caudal = 100 cm3/minuto; viscosidad: µ= 1,9·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 950 kg/m3

RESOLUCIÓN: Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille.

p 4

128 Lh Qg D

ν=

π

El flujo se establece exclusivamente por gravedad, con lo que el gradiente de presión es nulo, es decir, en todas las secciones del flujo, la presión es constante e igual a la atmosférica. Con lo que la perdida de carga, viene determinada exclusivamente por la disminución de cota desde la sección inicial a la final. En este caso, al ser el conducto recto y totalmente vertical, la disminución de cota coincide con la propia longitud del conducto, con lo que la perdida de carga coincide con la longitud del conducto:

p

1/ 4p

p 4

ph zg

z L h L 128 Q D=p 0

g

128 Lh Qg D

⎛ ⎞∆= − ∆ +⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

−∆ = ⇒ =⎛ ⎞ν

⇒∆ = ⎜ ⎟π⎝ ⎠

ν=

π

( ) ( ) 1/ 41/ 4 -3 6128 1,9 10 / 950 100 10 / 60128 Q = g 9,8

−⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ν ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⋅ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠D 1,93 mm

Comprobemos, que el flujo es laminar: ( )

( ) ( )6

3 3

4 100 10 / 604QD 1,93 10 1,9 10 / 950

−

− −

⋅ ⋅= = =

π ν π ⋅ ⋅ ⋅Re 549, 8 < 2300

Flujo en conductos


16

P 8.3. Aplicación de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto. El alto caudal, que circula por un oleoducto, hace que las pérdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en donde la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones de bombeo, entre el pozo de petróleo y el puerto de carga. DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo. 2. La potencia disipada por viscosidad. DATOS: Conducto horizontal: diámetro: D = 1200 mm, rugosidad : ε = 0,12 mm Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día) (1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros) viscosidad: µ= 5,36·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 860 kg/m3 Perdida de presión: 40 bar RESOLUCIÓN: 1. Longitud del oleoducto: la perdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach:

2p 5 2

L 8h f QD g

=π

en donde el factor de fricción o factor de D’Arcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook: r1 2,512 log

3,7f Re fε⎛ ⎞= − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

En el problema: la rugosidad relativa es: r0,12 0,0001

D 1200ε

ε = = =

el número de Reynolds es: ( )3

4Q 4 4,381Re 745865,6D 1,2 5,36 10 / 860−

⋅= = =

π ν π ⋅ ⋅ ⋅

3

6 3B 1día 0,18927mQ 2 10 4,381m / sdía 24 3600s 1Barril

= ⋅ =⋅

con lo de la Ec. de Colebrook se obtiene: f=0,014 El factor de fricción, también se puede obtener a partir del diagrama de Moody:

En el problema, la pérdida de carga, viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto, que al considerarse horizontal, viene dada por:

5

pp 40 10h 474,608m

g 860 9,8−∆ ⋅

= = =ρ ⋅

Con todo lo anterior, la longitud del conducto será: 5 2 5 2

p2 2

h D g 474,608 1,2 9,88fQ 8 0,014 4,381

π ⋅ π ⋅= = =

⋅ ⋅L 53137, 7 m

2. Potencia disipada por viscosidad: pgh Q 860 9,8 474,608 4,381= ρ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =µP 17524 kW

0,014

7,46·105

Flujo en conductos


17

P 8.4. Aplicación de la Ec. de D’Arcy-Weisbach: determinación de diámetro de un conducto. El problema básico de diseño en flujo en conductos, es la determinación del diámetro del conducto, para unas determinadas prestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la perdida de carga admisible; en cuanto a la geometría del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no su diámetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo único que se desconoce es el diámetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de D’Arcy-Weisbach, se desconocen tanto el diámetro como el factor de fricción; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez también tiene como únicas incógnitas, el diámetro y el factor de fricción: la explicidad de la Ec. de Colebrook, hace necesario recurrir a un método iterativo de resolución simultanea de las dos ecuaciones. Considere, un conducto de alimentación a un sistema de riego por aspersión, en donde a partir de los datos: DETERMINE el diámetro mínimo del conducto. DATOS: Conducto horizontal: diámetro: L = 50m, rugosidad : ε = 0,1 mm Agua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: µ= 10-3 Pa·s; densidad: ρ = 1000 kg/m3 Perdida de presión admisible: 2,34 bar

RESOLUCIÓN: la pérdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach: 2p 5 2

L 8h f QD g

=π

; de

donde se tiene la relación entre el diámetro y el factor de fricción:

2p 5

2

h gf D

8LQπ

= Ec.1

El factor de fricción viene dado por la Ec. de Colebrook: r1 2,512 log3,7f Re fε⎛ ⎞= − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠;

en donde εr=ε/D; y Re=4Q/πDν; con lo que se obtiene una segunda relación entre f y D:

1 / D 2,512 log4Q3,7f fD

⎛ ⎞⎜ ⎟ε

= − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π ν⎝ ⎠

Ec. 2

Para la resolución del sistema, de puede obtener una única ecuación explicita entre f y D; en donde 2

p2

h gk

8LQπ

=

5 5

1 / D 2,512 log4Q3,7kD kDD

⎛ ⎞⎜ ⎟ε

= − ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π ν⎝ ⎠

Ec. 3

En el problema, con los datos : 5

pp 2,34 10h 23,878 m

g 1000 9,8−∆ ⋅

= = =ρ ⋅

; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s;

se tiene que la constante de la Ec. 3, es: 2 2

p -52 2

h g 23,878 9,8k 6415,4 m8LQ 8 50 0,03

π ⋅ π ⋅= = =

⋅ ⋅

con lo que se tiene la ecuación:

3

5 56

1 0,1 10 / D 2,512 log4 0,033,76415,4D 6415,4DD 10

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅

= − ⋅ +⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟π ⋅⎝ ⎠

cuya solución es: D = 80 mm

Flujo en conductos


18

Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultáneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resolución es:

En el problema: 1ª ITERACIÓN: D Q / 0,03/ 0,098m= π = π = (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s) Ec. 1: f = kD5 = 6415,4·0,0985 = 0,057 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,098·10-6) = 4·105

εr = 0,1·10-3/0,098=0,001 fColebrook = 0,0205 2ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105

εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 fColebrook = 0,021 3ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105

εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 fColebrook = 0,021 (CONVERGENCIA) …. D=80 mm

inicialD Q /= π

D = Dinicial

Ec. 1: f=k·D5

r

Colebrook rD Ec.2 f =f(Re, )

4QRe D

εε =

⇒ ε=

π ν

5Colebrookf f 10−− < NO

SI

D = (fColebrook/k)0,2

DATOS

FIN

Flujo en conductos


19

P 8.5. Método de Hardy-Cros:. Una caldera de fueloil, dispone de 3 quemadores, que se alimentan desde el nudo común de un regulador, por la red de tubería de la figura. Se debe asegurar una presión constante en la entrada de cada quemador, y a la salida del regulador la presión es constante. A partir de los datos: DETERMINE: el reparto de caudales por la red de tuberías, y la presión de salida del regulador. DATOS: Quemador: presión mínima de entrada: 200 mbar. Tuberías: hierro galvanizado: rugosidad absoluta: ε = 0,15 mm Fueloil: densidad: 900 kg/m3

RESOLUCIÓN: supondremos flujo turbulento completamente desarrollado, con lo que el factor de fricción es constante en cada tubería, y con ello su resistencia:

( )7,3/log41f

r2 ε

= g

8DLf

s/mmK

253 π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

Para cada una de las tuberías, las resistencias Kij son:

Tubería 12: ( )( )

023,07,3/80/15,0log4

1f212 == 06,11623

8,98

080,020023,0K

2512 =π

=

Tubería 23: ( )( )

025,07,3/60/15,0log4

1f223 == 02,13229

8,98

060,05025,0K

2523 =π

=

Tubería 34: ( )( )

025,07,3/60/15,0log4

1f234 == 41,7937

8,98

060,03025,0K

2534 =π

=

Tubería 13: ( )( )

022,07,3/100/15,0log4

1f213 == 20,5391

8,98

100,030023,0K

2513 =π

=

Tubería 14: ( )( )

023,07,3/80/15,0log4

1f214 == 83,14528

8,98

080,025023,0K

2514 =π

=

Se hace un reparto inicial de caudales, que cumplan las condiciones de que en cada nudo la suma de caudales sea nula. Para cada malla, se determina el caudal corrector:

( )∑

∑−=∆

jijij

jijijij

iQk2

QQk

Q

Los calculos de las iteraciones, se resumen en la siguiente tabla. En los cálculos de las columnas de KQ y hp, hay que poner el caudal en m3/s

1

2

3

4

L12=20 m D12=80 mm

L23=5 m D23=60 mm

L12=25 m D12=80 mm

L13=30 m D13=100 mm

L12=3 m D12=60 mm

Q=200 L/s

Qq2=90 L/s

Qq3=50 L/s

Qq4=60 L/s

malla 1

malla 2

Flujo en conductos


20

1

2

3

4

Q=200 L/s

Qq2=90 L/s

Qq3=50 L/s

Qq4=60 L/s

Q12 = 64,00 L/s Q23 = 26,00 L/s

Q34 = 8,26 L/s Q14 = 51,74 L/s

Q13 = 84,26 L/s

iteración malla tubería K (S.I.) Q (L/s) K|Q| hp = KQ|Q| ∆Q L/s) 12 11626,06 +70 813,82 56,97 malla 1 23 13229,02 -20 264,58 -5,29 13 5391,20 -40 215,65 -8,626 Σ =1294,05 Σ=+43,054 -16,64

1 13 5391,20 +56,64 305,36 17,30 malla 2 34 7931,41 -30 237,94 -7,14 14 14528,83 -90 1307,60 -117,68 Σ =1294,05 Σ=-107,53 41,55 12 11626,06 +53,36 620,37 33,10 malla 1 23 13229,02 -36,64 484,71 -17,76 13 5391,20 -98,19 529,36 -51,98 Σ =1634,44 Σ=-36,64 11,2

2 13 5391,20 86,99 468,98 40,80 malla 2 34 7931,41 11,55 91,61 1,06 14 14528,83 -48,55 705,38 -34,25 Σ =1265,97 Σ=7,61 -3,0 12 11626,06 64,56 750,58 48,46 malla 1 23 13229,02 -25,44 336,55 -8,56 13 5391,20 -83,99 452,807 -38,03 Σ =1539,94 Σ=1,87 -0,61

3 13 5391,20 84,60 456,10 38,59 malla 2 34 7931,41 8,55 67,81 0,58 14 14528,83 -51,45 747,51 -38,46 Σ =1271,42 Σ=0,71 -0,28 12 11626,06 63,95 743,49 47,55 malla 1 23 13229,02 -26,05 344,62 -8,98 13 5391,20 -84,32 455,586 -38,42 Σ =1542,67 Σ=-0,15 +0,05

4 13 5391,20 84,27 455,32 38,37 malla 2 34 7931,41 8,27 65,59 0,54 14 14528,83 -51,73 751,58 -38,88 Σ =1272,49 Σ=0,03 -0,01

REPARTO FINAL DE CAUDALES: La PERDIDA DE CARGA MÁXIMA se da en la tubería 12, y es de 47,55 metros, con lo que la presión manométrica mínima a la salida del regulador debe ser: pregulador = ρghp + pquemador = 900·9,8·47,55*10-5+0,200 = 4,394 bar

8. flujo conductos

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