Instituto Tecnológico de Minatitlán.

Ingeniería Industrial.

Calculo Vectorial.

Luis Humberto Morales

Investigación unidad 3,4 y 5.

Alumnos:

Antonio Cobix Margiel Kristel.

Bartolo Garcia Ambar Lizbeth.

Jimenez Bante Diana Madai.

Pino Valdes Dania Isabel.

Rodriguez Salome Néstor.

Funciones vectoriales

de una variable real.

3.1 Definición de función vectorial de una variable real.

La derivada de una función vectorial r se define como:

r’ (t)=lim

Para todo t para el cual existe el límite. Si r’ (t) existe, entonces r es derivable

en t. si r’(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es

derivable en el intervalo I.La derivabilidad de funciones vectoriales puede

extenderse a intervalos cerrados considerado limites laterales.

3.2. Graficación de curvas en función del parámetro T.

Las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores

reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

r(t) = <f(t), g(t)>

r(t) = <f(t) , g(t) ,h(t)>

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de

variable real f, g y h.

Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f

(t),g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

t0

Ejemplos de graficación de curvas en función del parámetro T.

1.

2.

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Derivación de funciones vectoriales

1. Si r(t)=f(t)i + g(t)j, donde f y g son funciones derivables de t, entonces

r’(t)= f’(t)i + g’ (t)j Plano

2. Si r(t)=f(t)I + g(t)j + h(t)k, donde f,g y h son funciones derivables de t,

entonces

r’(t) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k Espacio

Ejemplos de las derivaciones de funciones vectoriales

Propiedades de las derivadas

Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable

de t y c un escalar.

1. Dt crt=cr’(t)

2. Dt r(t)u(t)=r’(t)u’(t)

3. Dt w(t)r(t)=w(t)r’(t)+w’(t)r (t)

4. Dt r(t).u(t)=r(t).u’(t)+r’(t).u(t)

5. Dt r(t) x u(t)=r(t) x u’(t)+r’(t) x u(t)

6. Dt r(w(t))=r’(w(t))w’(t)

7. si r(t) . r(t)= c, entonces r (t) . r’ (t)=0

Ejemplo de propiedades de la derivada.

3.4. Integración de funciones vectoriales.

La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la

derivada de una función vectorial.

Ejemplos: Integración de una función vectorial.

Definición de la integral de una función vectorial

1. Si r(t)= f(t)i + g(t)j, donde f y g son continuas en a,b, entonces la integral

indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a t b es

2. Si r(t)=f(t)i + g(t)j + h(t)k, es donde f,g y h son continuas en , entonces

la integral indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a t b es

Ejemplo de integrales de una función vectorial.

3.5 longitud de arco

Si C es una curva suave dada por r(t) =x(t)i+ y(t)j + z(t)k en un intervalo

la longitud de arco de C en ese intervalo es

s=

dt =

dt

Ejemplos: De longitud de arco.

3.6. Vector tangente, normal y binomial

Definición del vector tangente unitario

Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I. El vector

tangente unitario T(t) en t se define como

T(t) =

Definición del vector normal principal (unitario)

Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I, si T’(t)0,

el vector normal principal en t se define como

N(t) =

Ejemplos: de vector tangente, normal y binomial.

3.7.curvatura

Definición de la función longitud de arco

Sea C una curva suave dada por r(t) en un intervalo cerrado . Para a t

b, la función longitud de arco viene dada por

s(t) =

du

La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco.

Ejemplo de curvatura

2.

Funciones reales

de varias

variables.

4.1 Definición de una función de varias variables.

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par

ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f(x, y), se dice que f

es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente

conjunto de valores de f(x, y) es el recorrido de f.

Una función de varias variables reales es una correspondencia

que a cada le asigna a lo mas una imagen

.

La notación para las funciones de dos o tres variables es similar a la utilizada

para funciones de una sola variable:

Dos variables

Tres variables

Definiciones análogas se aplican a funciones de tres, cuatro o variables,

donde los dominios constan de triadas tetradas o n-

adas (x1, x2…xn). En todos los casos, el recorrido esta constituido por números

reales.

Ejemplo de funciones de varias variables.

4.2 Graficas de una función de varias variables

La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z)

tales que es decir;

La grafica de una función de dos

variables z = f(x, y) puede

interpretarse geométricamente como

una superficie S en el espacio de tal

forma que su proyección sobre el plano

xy es D, el dominio de f. En

consecuencia, a cada punto (x,y) en D

le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto

(x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

Ejemplo de una graficas de varias variables.

4.3 Curvas y superficies de nivel

La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un

conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una

función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de

puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para

representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres

dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes

perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las

variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la

función.

Hemos denominado los ejes

con las letras X, Y y Z,

respectivamente. A cada valor

de las variables x e y le

corresponde un punto (x, y) del

plano que se encuentra en la

base. Por ´ ultimo, la función f

asocia un valor z = f(x, y) al

punto (x, y).

Ejemplo de curvas y superficie de nivel

4.4 Derivadas parciales de varias variables y su interpretación

geométrica.

Las derivadas parciales pueden interpretarse geométricamente como

las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y C2 en el punto P,

respectivamente.

Ejemplos de derivadas parciales

4.5 Derivada direccional

Sirve para determinar la pendiente en cualquier dirección para determinar la

pendiente en un punto de una superficie se define un nuevo tipo de derivada ala

que llamaremos derivada direccional

Sea una función escalar y sean y

un vector unitario, entonces la derivada direccional de en en la

dirección del vector , está dada por:

Ejemplo de derivada direccional.

4.6 Derivadas parciales de orden superior

Si tenemos z f = (x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función

respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez

de las mismas variables. Esto es:

Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones

pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y y les llamamos derivadas

parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la

primera derivada parcial respecto de puede ser derivada parcialmente respecto

de y también respecto de x y de y . De igual manera, la primera derivada

parcial respecto de y , puede ser derivada parcialmente respecto a esa misma

variable y también respecto de . De manera que las segundas derivadas, o

derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro derivadas parciales:

Ejemplo de derivadas parciales de orden superior

4.7 Incrementos diferenciales, regla de la cadena

Para una función real de una variable independiente:

Entonces, la diferencial de Y( ) es una aproximación del incremento Ay =

para una Ay para un incremento en x(Ax)

Ay =dy para una Ax pequeña (AX=dx) para una función de dos variables

Z=f(x,y)

Dz= fx(x,y) dx+ fy (x,y) dy (aproximación lineal del cambio)

Az=dz para incrementos pequeños en (Ax=dx, Ay=dy)

Regla de la cadena

Si W= f(X1, X2, … Xn)

Y a su vez

X1= Y1 (t1,t2,…tn)

X2= Y2 (t1,t2,…tn)

X3= Y3 (t1,t2,…tn)Xn=Yn (t1, t2, tn)

Ejemplo de regla de cadena

4.8 Derivadas parciales iteradas

Definiendo los términos necesarios:

Sea de clase C1. Recordar que esto significa que

,

y

existen y

son continuas; y la existencia de derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales

continuas implica que f es diferenciable. Si estas derivadas a su vez, tienen

derivadas parciales continuas, decimos que f es de clase C2, o que es dos veces

continuamente diferenciable. Así mismo decimos que f es de clase C3,

significa que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y

así sucesivamente.

A continuación, unos ejemplos de cómo se describen estas derivadas de orden

superior:

=

,

=

),

=

(

, etc.

Por supuesto que el proceso pude repetirse para las derivadas de tercer orden

y así sucesivamente. Si f es una función de solo X y Y y

son

continuamente diferenciables, al tomar las segundas derivadas parciales,

obtenemos las cuatro funciones:

,

Y

Todas estas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que

y

se llaman derivadas parciales mixtas.

Ejemplo de derivadas parciales iteriadas

4.9 Gradiente

La dirección del vector gradiante en un P(x0, yo) es la dirección en la que la

derivada direccional tiene su valor máximo, siendo la direccion opuesta del

gradiante la del máximo decrecimiento.

En cooerdenadas rectangulares

Sea el operador.

Cuando se aplica sobre una función de tres variables f(x,y,z), se denomina

gradiante de la función f.

gradiente

Para una función de dos variables

Relación con la gradiente con la derivada direccional.

La derivada direccional en la dirección del vector unitario u se define:

Du f(x,y)cos ( ) + fy(x,y)sen ( )

Donde u= cos ( )i +sen ( )j

Ejemplo de gradiente

4.10 Divergencia de un campo vectorial y rotacional

Definición: Un campo vectorial en es una función F: A C que asigna

a cada punto X en su dominio A un vector F(x).

Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto (fig.)

De manera análoga, una función f: A C que asigna un número a cada

punto se llama campo escalar. Por ejemplo, un campo vectorial F (x, y, z) en

tiene 3 campos escalares componentes de modo que F (x, y, z)=

( Si cada campo es una función ,

decimos que el campo vectorial F es de clase . Se supone que los campos

vectoriales son al menos de clase , a no ser que se diga lo contrario.

Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en

X, no en el origen (que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos

este vector desplazado con su cola X como equivalente al vector

correspondiente que comienza en 0.

“Campo vectorial” significara un campo vectorial en o , a menos que se

diga lo contrario.

Ejemplos divergencia de un campo vectorial

Integración

5.2 Integral de línea

Se dice que si una fuerza constante de medida vectorial F mueve una partícula

a lo largo de una recta de un punto A a un punto B, y si W es la medida del

trabajo realizado, entonces

W= F. V

Suponga ahora que el vector de fuerza no es constante, y en lugar de que el

movimiento sea a lo largo de una recta, es a lo largo de una curva. Considere

que la fuerza ejercida sobre la partícula ubicada en el punto (x,y), de algún

disco B de R², está dada por el campo vectorial

F(x,y)= M(x,y) i + N(x,y) j

Donde M y N son continuas en B. Sea C la curva, contenida en B, que tiene la

ecuación vectorial

R (t) =f (t) i + g (t) j a ≤ t ≤ b

Se requiere que las funciones f y g sean tales que f´ y g´ resulten continuas

[a,b] y en que cualquier punto de [a,b] al menos una de ellas sea diferente de

cero. La curva C es suave [a,b]. Se desea definir el trabajo realizado por la

fuerza variable de medida vectorial F al desplazar la partícula a lo largo de C

del punto (f(a), g(a)) al punto (f(b), g(b)). En cualquier punto (f (t), g (t)) de C el

vector fuerza es

F(f(t), g(t)) = M(f(t), g(t))i + N(f(t), g(t))j

Considere que Δ es una partición del

intervalo [a,b] tal que

a = t₀ < t₁ <t₂ <… < < = b

Sea Pᵢ el punto (xᵢ, yᵢ) = (f(tᵢ), g(tᵢ)) de C.

refiérase a la figura 1.

El vector es igual a R (tᵢ)- R ( ); por tanto,

= f ) –

=

Puesto que f´ y g´ son continuas en [a,b], se infiere del teorema del valor

medio que existen números cᵢ y dᵢ en el intervalo abierto tales que

)

Al tomar Δᵢ ᵢ , y sustituir de las dos ecuaciones anteriores en (3), se

obtiene

Para cada i considere el vector

Cada uno de los vectores fᵢ (i = 1, 2…, n) es una aproximación al vector fuerza F

(f(t), g(t)), dado por (2), a lo largo del arco de C desde a intervalo

abierto , los valores de los vectores F (f(t), g(t)) se encuentran cerca

de . Además, el arco de C desde a se aproxima mediante el segmento

rectilíneo . Así, al aplicar la formula (1), se obtiene el trabajo realizado

por el vector F (f (t), g(t)) al desplazar la partícula a lo largo del arco de C

desde a . Si se denota esta aproximación por Δᵢ W, de la formula (1) y las

ecuaciones (4) y (5) se tiene

Δᵢ W = [M (f , g (f ) I + N (f , g )j] . [f´ i + g´ j] Δᵢt

[M (f , g (f )f´ ] Δᵢt + [N(f , g )g´ ] Δᵢt

Una aproximación de la medida del trabajo realizado por F (f(t), g(t)) a lo largo

de C es o bien, equivalentemente,

) f´( Δᵢt +

Cada una de estas sumas es una suma de Riemann. La primera es una suma de

Riemann para la función que tiene valores M (f(t), g(t))f´(t), es una suma de

Riemann para la función que tiene valores N (f(t), g(t) g´(t). si n se incrementa

sin límite y cada Δᵢt se aproxima a cero, entonces estas sumas tienden a la

integral definida:

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA DE R²

Sea C una curva suave contenida en un disco abierto B de R² y que la ecuación

vectorial

R (t) = f (t) i + g(t) j a ≤ t ≤ b

Sea F un campo vectorial sobre B definido por

F(x,y) = M(x,y) i +N(x,y)j

Donde M y N son continuas en B. Si se emplea la notación de la forma

diferencial, la integral de línea de M(x,y) de x + N (x,y) dy sobre C está

definida por

=

o, equivalentemente, usando la notación vectorial, la integral de línea de F

sobre C está definida por

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA SUAVE A

TROZOS DE R²

Suponga que la curva C consiste de los arcos suaves C1,C2…Cn contenidos en un

disco abierto B de R², y considere R(t) y F(x,y) como en la definición anterior

entonces la integral de línea de M(x,y) dx+ N(x,y) dy sobre C está definida

por

O, equivalentemente, empleando la notación vectorial, la integral de línea de F

sobre C se define como

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA DE Rᶟ

Sea C una curva suave contenida en una bola abierta B de Rᶟ que tiene la

ecuación vectorial

R (t)= f(t) i+ g(t)j+ h(t)k a≤ t ≤ b

Sea F un campo vectorial sobre B definido por

F(x,y,z)= M(x,y,z)i+ N(x,y,z)j+ R(x,y,z)k

Donde M, N y R son funciones continuas en B. Si se emplea la notación de la

forma diferencial, la integral de línea de M(x,y,z)dx+ N(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz

sobre C está definida por

=

O, equivalentemente, empleando la notación vectorial, la integral de línea de F

sobre C se define como

Ejemplo de integral de linea

5.3 Integrales iteradas dobles y triples

INTEGRALES ITERADAS:

Tiene sentido diferenciar una función de varias variables respecto de una de

ellas, manteniendo constantes las demás. Por un procedimiento análogo, vamos a

integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, si se nos da la derivada

parcial

fx (x,)=2xy

Podemos, considerando a y como constante, integrar con respecto a x,

obteniendo así

integrar en x

mantener y constante

sacar fuera el factor y

= y (x²) + C (y) una primitiva de 2x es x²

= x² y + C (y) C (y) es función de y

Nótese que la <<constante >> de integración, C, es una función de y. En otras

palabras, integrando respecto a x solo somos capaces de reconstruir f (x,y)

parcialmente de la reconstrucción total de una función de dos variables a

partir de sus derivadas parciales.

La integral del ejemplo es una integral iterada. Los corchetes utilizados suelen

omitirse. De hecho, las integrales iteradas se escriben

Los límites interiores de la integración pueden ser variables respecto de la

variable de integración. Por el contrario, los límites exteriores de integración

han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración. Una vez

efectuada la integración interior, se llega a la integración definida ordinaria y

la segunda integración produce ya un número real. Los límites de integración de

una integral iterada identifican dos intervalos para las variables. Así en el

ejemplo, los limites exteriores indican que x esta en el intervalo 1≤ x ≤2 y los

interiores indican que y está en el intervalo1≤ y ≤x. conjuntamente, esos dos

intervalos determinan la región de integración de R de la integral iterada(véase

la figura 13.1).

Puesto que una integral iterada no es sino un caso especial de integral definida,

en que el integrando esa su vez una integral, podemos utilizar las propiedades

de las integrales definidas al evaluar integrales iteradas.

Ejemplo de integrales iteradas dobles y triples

SOLUCIÓN:

Usando el resultado 3x -2x-1 vemos que

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

En respecto de la sección completamos desde una perspectiva nueva el viejo

problema de calcular el área de una región en el plano. Consideremos la región

plana R acotada por a≤ x ≤b y g (x) ≤ y ≤ g₂(x) su área viene dada por la

integral definida

Gracias al teorema fundamental del calcula podemos reescribir el integrando

como una integral definida. En concreto, si consideramos que x

esta fija y hacemos variar y desde g (x) hasta g₂(x) tenemos

₂

= g₂(x) - g₁(x)

Combinando esas dos integrales podemos expresar el área de R como la

integral iterada

₂

₂

Área de R

Colocando un rectángulo en la región R es fácil determinar tanto el orden como

los límites de la integración. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, con

los limites interiores de integración correspondiendo a las cotas superior e

inferior del rectángulo (figura 13.2). Una región de este tipo se llama

verticalmente simple, por que os limites exteriores de integración son las

rectas verticales x=a y x=b.

Análogamente, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, con los limites

inferiores determinados por las cota izquierda y derecha del rectángulo

(figura 13.3). Una región de esta clase se llama horizontalmente simple, ya que

los limites exteriores son las rectas horizontales y=c e y=d. las integrales

iteradas en los dos tipos de regiones se resumen en el cuadro siguiente

ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

1.- Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g (x) ≤ y ≤ g₂(x), donde g , g₂ son continuas

en el [a,b], el área de R viene dada por

2.- si Resta definida por c≤y≤d y h (y)≤ x ≤ h₂(y), donde h ,h₂ son continuas en

[c,d], el área de R viene dada por

Nota: debe convencerse de que el orden en esas dos integrales es diferente:

dy dx para regiones verticalmente simples, y dx dy parar regiones

horizontalmente simples.

EJEMPLO 1: ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR

Representar mediante una integral iterada el área del rectángulo de la figura

13.4

SOLUCIÓN:

La región de la figura 13.4 es simple verticalmente y horizontalmente, de

manera que podemos utilizar cualquiera de los órdenes de integración. Eligiendo

el orden dy dx obtenemos

Como vemos el resultado es el que cabía esperar.

EJEMPLO 2: CÁLCULO DEL ÁREA POR UNA INTEGRAL ITERADA

Usar una integral iterada para calcular el área de la región acotada por las

graficas de

f(x) = sen x la curva seno es la cota superior

g(x)= cos x la curva coseno es la cota inferior

Entre x = /4 y x = 5 /4

SOLUCIÓN: puesto que f y g vienen dadas como funciones de x, conviene un

rectángulo representativo vertical, luego el orden dy dx de integración (figura

13.5). Los limites exteriores de integración son /4 ≤ x ≤ 5 /4. Además, el

rectángulo esta acotado superiormente por f(x) = sen x e inferiormente por

g(x) = cos x, luego

=2

NOTA: la región de integración de una integral iterada no tiene por qué estar

acotada por rectas. Por ejemplo, de la figura 13.5 es verticalmente simple

aunque sus fronteras izquierda y derecha no son rectas verticales. Lo que

caracteriza a las regiones verticalmente simples es que estas acotadas

superior e inferiormente por graficas de funciones de x.

EJEMPLO 3: ÁREA DADA POR LA SUMA DE DOS INTEGRALES ITERADAS.

Calcular el área de la región R comprendida entre la parábola

y = 4x- x² la parábola es la cota superior

y el eje x, y por encima de la recta

y = -3x + 6 la recta y el eje x constituyen la cota inferior

Que se muestra en la figura 13.6

SOLUCIÓN: empezamos partiendo de la región R en dos subregiones R₁ y R₂

(FIGURA 13.6). En ambas subregiones conviene utilizar rectángulos verticales

de modo que

+

-8 +

=

El área de la región es 15/2 unidades cuadradas.

5.5. Integral doble en coordenadas polares:

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que

en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones

circulares, cardioides y petalos de una curva rosa, y de integrados que

contienen + .

Las coordenadas polares (r, ) de un punto están relacionadas con las

coordenadas rectangulares (x,y) del punto, de la manera siguiente.

y

y tan Ɵ =

Para definir una integral doble de una función continua Z= f(x,y) en

coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por la graficas

de r = y r = y las rectas . En lugar de hacer una

partición de R en rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores

polares pequeños. A R se le superpone una red o cuadricula polar formada por

rayos o semirectas radiales y arcos circulares. Los sectores polares R que se

encuentran completamente dentro de R forman una partición polar interna Ϫ,

cuya norma //Ϫ// es la longitud de la diagonal mas larga en los n sectores

polares.

El área de i es:

Sea R una región plana que consta de los puntos (x,y) =(r cos Ɵ, r sen Ɵ) que

satisfacen las condiciones 0

Si son continuas en (

5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas

Muchas regiones solidas comunes como esferas, elipsoides, conos y

paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en

coordenadas rectangulares.

Las ecuaciones rectangulares de conversión a coordenadas cilíndricas son:

Z = Z

Las ecuaciones para obtener son iguales que en caso de coordenadas

polares y que Z no cambia.

En este sistema de coordenadas, la región solida más simple es un bloque

cilíndrico determinado por:

Para expresar una integral triple por medio de coordenadas cilíndricas,

supóngase que Q es una región solida cuya proyección R sobre el plano XY

puede describirse en coordenadas polares.

Es decir:

Y

Si f es una función continua sobre el solido Q, se puede expresar la integral

triple de f sobre Q como:

Don de la integral doble R se evalúa en coordenadas polares. Es decir R es una

región plana que es R-simple o Si R es r-simple, la forma iterada de

la integral triple en forma cilíndrica es:

Este es uno de los seis posibles ordenes de integración. Los otros cinco son:

Bibliografia

C.H. Edwards, Jr. David E. Penney. Cálculo y Geometría analítica.

Cuarta edición.

Jerrold E. Marsden. Anthony J. Tromba. Calculo vectorial. Tercera

edición.

Leithold Louis. Calculo. Séptima edición.

Larson Ronald E. Calculo y geometría analítica. Sexta edición.

Larson Hostetler Edwards. Calculo II. Octava edición.