3 propuesta de mÉtodo para el dimensionado Óptimo de armaduras

33Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _

3 PROPUESTA DE MÉTODO PARA EL DIMENSIONADO ÓPTIMO DE ARMADURAS

3.1 Método de dimensionamiento de armaduras utilizado. Ejemplos de aplicación

3.1.1 Generalidades Planteamiento del problema

Considérese una sección rectangular de hormigón armado, sometida a unos esfuerzos ( Nd , Mxd , Myd ) de flexocompresión esviada. Si se prefija la disposición de armaduras, tal como se ha visto en el apartado 2.2, podemos encontrar con rigor mediante métodos numéricos, el valor de la armadura estricta necesaria para resistir esta solicitación. Sin embargo, no sabemos a priori cual de las disposiciones de la figura 2.3 es la óptima en el sentido de proporcionar un menor valor de la cantidad total de acero.

En este apartado nos centraremos en el dimensionado cuando la disposición de la armadura es conocida y fijada a priori. En el apartado siguiente se estudiará el problema del dimensionado óptimo, en el cual se trata de hallar la disposición óptima. El proceso numérico

Para resolver el problema de dimensionado de secciones sometidas a flexocompresión esviada necesitamos el empleo de dos algoritmos. En primer lugar, una rutina calcula los esfuerzos resistidos por la sección (tanto la contribución del hormigón como la del acero) para una posición dada del eje neutro. Estos esfuerzos deben estar en equilibrio con las solicitaciones de cálculo. Difícilmente sucederá esto al primer intento, por lo que será necesario un proceso iterativo de tanteo. Una segunda rutina se encarga de esto, de buscar la posición de la fibra neutra en la que la excentricidad producida por los esfuerzos resistentes iguale la de las solicitaciones. En cada iteración la nueva posición de la fibra neutra se determina a partir del error obtenido con la posición anterior.

Como se mencionó en los apartados 1.2 y 1.3 existen distintas métodos de obtener la resultante de las tensiones del hormigón basados en integración numérica. Estos procesos tienen un considerable coste computacional que se traduce en tiempo de cálculo y precisión limitada. En nuestro caso, a base de extender el código, hemos reducido dicha rutina a la evaluación de unos polinomios consiguiendo rapidez de cálculo y exactitud en el resultado.

34Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Datos de entrada Estos datos deben ser entrados por el usuario y son constantes para todo el proceso:

Geométricos [mm] base, canto y recubrimiento [% canto] Resistencia de los materiales [N/mm²] fck, γc, fyk, γs Solicitaciones de cálculo [kN, mkN] Nd, Mxd, Myd Diámetro de la armadura de esquina [mm] φ

3.1.2 Algoritmo nº 1

Cálculo de los esfuerzos resistidos por el hormigón y el acero para una posición del eje neutro cualquiera y con una relación de armados laterales dado. Determinación del área de armadura necesaria para soportar las solicitaciones de cálculo con esa posición del eje neutro Datos de entrada

λ Relación armadura lateral

Fija la distribución de la armadura. Representa el porcentaje en tanto por uno sobre la armadura total que se dispone en la dirección del eje ‘y’ en una de las caras de la sección. El porcentaje que se dispone en la dirección perpendicular es igual a 0,50-λ. La suma de los porcentajes de las cuatro caras resulta en la unidad. Más adelante en el apartado 3.2 se explicará esto con más detalle. De momento, la siguiente figura ilustra los tres casos más habituales.

λ=0 λ=0,5 λ=0,25

Figura 3.1

α, ξ Posición del eje neutro [inclinación y profundidad relativa].

Definen la situación de la fibra neutra (Ver figura 3.2)

α es el ángulo que forma el eje neutro medido desde la horizontal y en sentido antihorario (va de 0 a 90 grados). ξ es la profundidad relativa del eje neutro. No estaremos en el dominio 1, así que no tomará valores negativos. Por otra parte, en el dominio 5 se modifica para que tome valores comprendidos entre 1 y 2 (en lugar de h a +∞).


Figura 3.2

Datos de salida

Esfuerzos resistidos por la sección de hormigón armado. Como se verá más adelante, a partir de estos valores podremos determinar errores en la aproximación y finalmente, el área de armadura necesaría para resistir los esfuerzos de cálculo. Contribución del hormigón a axil (kN) Contribución del hormigón a Myd (mkN) Contribución del hormigón a Mxd (mkN) Contribución unitaria del acero a axil (kN/mm2) Contribución unitaria del acero a Myd (mkN/mm2) Contribución unitaria del acero a Mxd (mkN/mm2) Cálculo de los esfuerzos resistidos por el hormigón

1. Cálculo de las coordenadas de los vértices y de las aristas de la sección en los ejes inclinados (u,v) El eje u es el paralelo a la fibra neutra. Las coordenadas de las aristas sirven para definir la zona de integración de las tensiones del hormigón. (Ver figura 3.2)

2. Cálculo del canto total, canto útil y profundidad de la fibra neutra según ejes

inclinados. A partir de estos valores determinamos el dominio de deformación en el que nos encontramos (ver figura 3.3). Calculamos también la posición de la fibra con εc=2‰ que marca la frontera entre la zona de parábola y la de recta del diagrama de tensiones.


Figura 3.3

3. En función del dominio, determinamos la expresión de la deformación de las

fibras del hormigón.

Dominio 2a, 2b ⇒ xdz

c −⋅

=01,0ε

Dominio 3, 4, 4a ⇒ x

zc

⋅=

0035,0ε

Dominio 5 ⇒

73

002,0hx

zc ⋅

−

⋅=ε

Figura 3.4

Definimos zc

czε

ε = donde z es la distancia desde la fibra.

4. El diagrama de tensiones escogido es el parábola rectángulo.

Figura 3.5

La expresión analítica es:

≤csiε 2‰ ccdccdParabC ff εεσ ⋅⋅+⋅⋅−=⇒ 850212500 2

≥csiε 2‰ cdct

C f⋅=⇒ 85,0Reσ

37Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ 5. Determinación de los límites de integración de las tensiones del hormigón. Se

escogen en función del dominio de deformación, la relación canto/base y la posición del eje neutro y de la fibra de εc=2‰. En el ejemplo que sirve como modelo, la integración se hace en tres partes. (En los anejos, apartado 6.2, están expuestos la totalidad de casos)

Figura 3.6

1º Desde la fibra neutra hasta la fibra que pasa por el vértice A 2º Desde la fibra que pasa por el vértice A hasta la de deformación 2‰. 3º Desde la de deformación 2‰ hasta el vértice D

6. Integración de las tensiones por partes. En este caso la expresión de la resultante

de tensiones es:

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

=

=

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

D vérticedel vCoord.

0,002ε de fibra la de vCoord.

DA arista la deu Coord

CD arista la deu Coord

Re

0,002ε de fibra la de vCoord.

A vérticedel vCoord.

DA arista la deu Coord

CD arista la deu Coord

A vérticedel vCoord.

neutra fibra la de vCoord.

AB arista la deu Coord.

CD arista la deu Coord.

c

c

dvdu(v) σ

dvdu(v)σ

dvdu(v)σ

ctC

ParabC

ParabC

No debe olvidarse que la coordenada u de las aristas hay que expresarla en función de v para poder hacer la integración. También hay que tener presente que la coordenada z hay que expresarla en función de v para hacer la integración por partes.

u = k1 + k2·v z = v – ‘Coord. v de la fibra neutra’

k1 y k2 constantes a evaluar en cada caso

38Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Para obtener los momentos según las direcciones u y v al integrar hay que multiplicar las tensiones por las coordenadas v y u respectivamente. La expresión completa de los polinomios obtenidos se encuentra en los anejos, apartado 6.3. Finalmente hay que transformar los esfuerzos resistidos por la sección a ejes cartesianos.

Cálculo de los esfuerzos resistidos por la armadura de esquina

7. Determinación de las coordenadas de las armaduras y transformación según ejes inclinados.

8. Sabiendo el plano de deformaciones y las coordenadas de cada armadura de

esquina, calculamos para cada una de las cuatro barras su deformación unitaria y su tensión.

9. Multiplicando por el área y por el brazo de palanca tenemos su contribución a

axil y a momentos. Esta contribución se añade a la del hormigón, pues el área de la armadura de esquina no se dimensiona sino que viene prefijada.

Cálculo de los esfuerzos resistidos por la armadura perimetral

10. Suponemos la armadura formada por una capa continua y no como una serie

discreta de barras. Esto hace que la función a minimizar sea continua. 11. Conocida la posición del eje neutro, podemos determinar la ley de tensiones y

deformaciones en cada punto representativo de la armadura distribuida. La siguiente figura representa la ley de tensiones para la armadura lateral de la cara derecha de la sección.

Figura 3.7


12. Integración para cada una de las armaduras de las cuatro caras laterales de la fuerza desarrollada y su posición. No debe olvidarse multiplicar por los factores correspondientes λ y 0,5-λ, la armadura en dirección ‘y’ y ‘x’ respectivamente, que tienen en cuenta la distribución de armado predefinida. Obtenemos de esta forma la contribución a los esfuerzos resistentes del acero de forma unitaria.


Manteniendo constante la relación entre armaduras laterales, hay que buscar de entre todas las posiciones del eje neutro, definidas por el par de valores α, ξ, la que equilibra los esfuerzos resistentes con las solicitaciones de cálculo. El equilibrio se alcanza cuando la excentricidad producida por los esfuerzos resistentes, suma de la contribución del hormigón y del acero, iguala la producida por las solicitaciones de cálculo. Para esa posición de la fibra neutra se obtiene la cuantía de armadura necesaria para resistir las acciones exteriores.

Los datos de entrada son los mismos que en el apartado anterior. El proceso comienza calculando los esfuerzos para una posición inicial de la fibra neutra. A continuación se evalúa el error cometido en la aproximación comparando los esfuerzos obtenidos con las acciones de cálculo. Mediante el método de la cuerda (ver figura 3.8) se escoge una nueva posición para la fibra neutra obteniendo unos nuevos esfuerzos.

Figura 3.8

Las aproximaciones sucesivas se calculan mediante las expresiones siguientes:

KKK

KKK

KKK

XXX

XfXX

XfXfX

∆+=

⋅−−

=∆

+

−

−+

1

1

11 )()()(

40Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ El proceso se detiene cuando el error obtenido es menor que una tolerancia.

Finalmente se calcula la cuantía de armadura necesaria. El área se obtiene al descontar de la acción de cálculo la contribución del hormigón y de la armadura de esquina y dividir el resultado por la contribución unitaria de la armadura lateral. En el apartado siguiente se justificará esta metodología con detalle.

Proceso numérico

Este algoritmo de aproximación por tanteo, así como los valores iniciales y la

evaluación de los errores, que reproducimos en el apartado 6.4 de los anejos, están extraídos del libro Hormigón Armado de P. Jiménez, A. García y F. Morán, el cual a su vez utiliza con algunas variantes, el método expuesto en la Monografía nº 304 del Instituto Eduardo Torroja, de F. Morán.

Si la solicitación exterior actuante se representa por el vector OD , de componentes Mxd, Myd, Nd (véase figura 3.9), para cada posición del eje neutro de deformaciones existe una y sólo una posición del plano de deformaciones que agota la sección. En esa situación pueden obtenerse los esfuerzos resistidos por el hormigón (se incluyen aquí también los esfuerzos resistidos por la armadura de las esquinas), que se representan por el vector OC , de componentes Mxc, Myc, Nc y los esfuerzos resistidos por la armadura de referencia, que está formada por la armadura lateral distribuida según el parámetro de armado λ elegido y que en total tiene una sección unitaria A=1mm2, que se representa por el vector CS , de componentes Mxs, Mys, Ns.

Figura 3.9

Si el vector CS pasara justamente por el punto D (caso de solicitación actuante D’’)

entonces el área estrictamente necesaria para la armadura valdría:

ys

ycyd

xs

xcxd

MMM

MMM

CSCDcmA

−=

−==

'')( 2

41Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Para una posición cualquiera del eje neutro esto no sucederá, siendo preciso buscar

la posición tal que el vector CS pase por el punto D. Para caracterizar los errores que se producen, o lo que es lo mismo, la distancia a

que se encuentra la situación buscada de una situación cualquiera, se proyecta el triángulo D’’CD paralelamente a la dirección N en el D’’C’D’ (Véase figura 3.9) y paralelamente a la dirección My en el D’C’’D. Se definen como error de axil y error de momento los siguientes:

( )

( )

Xd

YCXCXdXS

YSYd

Dx

DyDy

xdM

d

CXCXdXS

Sd

D

DD

dN

M

MMMMMM

MMM

MDD

N

NMMMNN

NNN

NDD

+−−

=−

==

+−−

=−

==

)()()('''

)()()('

''

'

ε

ε

Es decir, el error de axil es la diferencia entre el axil en D y el axil en D’ dividida

por el axil en D (error relativo), y análogamente el error de momento. Las fórmulas dadas corresponden al caso de que Mxd sea mayor que Myd en valor

absoluto. En caso contrario, es decir, para situaciones de pequeños Mxd, entra las que puede estar la flexión recta con Mxd = 0, las definiciones y fórmulas anteriores se sustituyen por las que resultan de cambiar en ellas Mx y My entre sí:

( )

( )

Yd

XCYCYdYS

XSXd

M

d

CYCYdYS

Sd

N

M

MMMMMM

N

NMMMNN

+−−

=

+−−

=

ε

ε

Por su valor didáctico y esclarecedor, y aunque en la fuente que acabamos de citar

no se realiza, en este algoritmo nº 2 se ha hecho una distinción en función de si nos encontramos con un caso de flexocompresión recta o esviada. Los dos diferentes algoritmos, los valores iniciales, las expresiones de los errores y la forma de evaluar la cuantía de armadura para cada caso, así como el resto de los detalles se encuentran en los anejos, en el apartado 6.4

42Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ 3.1.4 Ejemplo nº 2

Analizar el proceso de convergencia utilizado para hallar la posición de la fibra neutra, definida por el par de valores α , ξ, que equilibra los esfuerzos resistentes con las solicitaciones de cálculo. En este caso no se pretende buscar el armado óptimo, por tanto el valor de λ queda fijado a priori.

Acciones Materiales

Nd = 1000 kN HA-30

Mxd = 800 mkN B-400-S Myd = 100 mkN

Recubrimiento: 0,1·h

λ=0,20

El equilibrio buscado entre esfuerzos y solicitaciones se alcanza cuando la excentricidad producida por los esfuerzos resistentes, suma de la contribución del hormigón y del acero, iguala la producida por las solicitaciones de cálculo.

Los valores de inicio para la hallar la posición del eje neutro vienen siempre prefijados de igual forma. Estos valores están extraídos del libro Hormigón Armado de P. Jiménez, A. García y P. Morán..

7.00 =ξ

)(0 baseMcantoM

arctgXd

Yd

⋅⋅

=α

En nuestro caso:

)400800500100(0 ⋅

⋅= arctgα = 8,880659 grados

La aproximación se realiza por fases. En primer lugar, manteniendo fijo el valor de

α, se ajusta el valor de ξ hasta que el εN es menor que una tolerancia (0,0001). A continuación y manteniendo fijo ξ se ajusta el valor de α hasta que el εM es menor que otra tolerancia (0,001). El proceso continua hasta que ambos valores están por debajo de las tolerancias fijadas. El algoritmo de aproximación basado en el método de la cuerda para ceros de funciones se ha explicado ya en el apartado anterior. Su desarrollo y el código se encuentran en los apartados 6.4 y 6.2 de los anejos.

43

0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 15 30 45 60 75 90α

ξ

Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ La siguiente tabla ilustra este proceso:

α εΝ ξ εΜ 8,8807 0,089546 0,700000 -2,106508 8,8807 0,610000 -0,988851 8,8807 0,524215 -0,410696 8,8807 0,434215 -0,132017 8,8807 0,107292 0,391580 0,000000

10,8807 0,102554 0,391580 12,8807 0,095038 0,391580 14,8807 0,086079 0,391580 16,8807 0,076408 0,391580 18,8807 0,066335 0,391580 20,8807 0,056004 0,391580 22,8807 0,045490 0,391580 24,8807 0,034829 0,391580 26,8807 0,024044 0,391580 28,8807 0,013149 0,391580 31,2831 -0,000069 0,391580 0,720962

31,2831 0,469297 0,067948 31,2831 0,476873 -0,000733 31,2831 0,015574 0,476794 -0,000001

33,5307 -0,000467 0,476794 0,030101

33,5307 -0,001128 0,479802 -0,000079

33,3778 -0,000002 0,479802 -0,001942

33,3778 0,000041 0,479609 -0,000003

La variable en negrita indica la que estamos aproximando. Mientras tanto, la otra variable permanece fija. La fila en blanco indica un cambio de la variable a aproximar.

Si lo representamos gráficamente, veremos como la aproximación se realiza de forma rápida en pocas iteraciones. Un cambio de dirección en el gráfico indica un cambio de la variable a aproximar.

Figura 3.10

44Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Hacemos un zoom en la zona final de aproximación para ver como continúa el proceso.

0.4750.4760.4770.4780.4790.4800.481

31 32 33 34α

ξ

Figura 3.11

εΝ y εΜ nos permiten medir el error y fijar la siguiente aproximación. Estos errores

como ya se ha explicado en apartados anteriores se miden de la siguiente forma:

( )

d

CXCXdXS

Sd

N N

NMMMN

N

+−−

=ε

( )

Xd

YCXCXdXS

YSYd

M M

MMMMM

M

+−−

=ε

YdXdd MMN : son las acciones de cálculo.

YSXSS MMN : es la contribución del acero a los esfuerzos resistentes.

YCXCC MMN : es la contribución del hormigón a los esfuerzos resistentes. 3.2 Dimensionado óptimo. Búsqueda de armado mínimo.

Ejemplos de aplicación 3.2.1 Generalidades El proceso numérico

Tenemos una sección rectangular de hormigón armado sometida a un esfuerzo de flexocompresión esviada. Queremos determinar cual es la relación óptima de armado entre las caras laterales (definida por el parámetro λ) de forma que la cuantía de armadura total sea mínima.

Es obvio que la mayor parte de las veces el área de acero mínimo se obtiene al

disponer una barra de diámetro suficiente en cada esquina en lugar de distribuirla por las


caras laterales. No obstante el espacio físico está limitado y además la distancia máxima, entre barras también lo está por exigencias de la normativa, así que fijaremos el diámetro de la barra a situar en cada una de las esquinas y buscaremos la relación óptima entre armados laterales.

Εl parámetro λ representa el porcentaje en tanto por uno sobre la armadura total que se dispone en la dirección del eje ‘y’ en una de las caras de la sección. El porcentaje que se dispone en la dirección perpendicular es igual a 0,50 - λ. La suma de los porcentajes de las cuatro caras resulta en la unidad. El caso de igual armadura en las cuatro caras corresponde obviamente a λ=0,25 (Ver apartado 3.1.2, figura 3.1 )

Para realizar el dimensionado óptimo deberemos añadir un algoritmo más a los dos

necesarios para el dimensionado de secciones sometidas a flexión esviada. Así fijada la relación entre armados laterales (mediante el parámetro λ) una primera rutina calcula los esfuerzos que resiste la sección (tanto la contribución del hormigón como la del acero). Una segunda rutina (manteniendo fijo el valor de λ) busca de entre las infinitas posiciones del eje neutro, aquella que equilibre los esfuerzos resistidos por la sección con las solicitaciones de cálculo. Para esa posición calcula el área de armadura necesaria. Finalmente una tercera rutina repite las dos anteriores variando la relación de armados laterales hasta obtener así el valor de λ que da armado óptimo.

A diferencia del dimensionado normal, en el óptimo tenemos dos rutinas de aproximación por tanteo. Si antes necesitábamos un determinado número de iteraciones para llegar a la solución, ahora ese valor se ve elevado al cuadrado, por lo que es todavía más necesario unos algoritmos óptimos y una obtención rápida de los esfuerzos. Datos de entrada

Igual que en el dimensionado óptimo estos datos deben ser introducidos por el usuario y son constantes para todo el proceso:

Geométricos [mm] base, canto y recubrimiento [% canto] Resistencia de los materiales [N/mm²]: fck, γc, fyk, γs Solicitaciones de cálculo [kN, mkN]: Nd, Mxd, Myd Diámetro de la armadura de esquina [mm]: φ


El parámetro λ define la relación de armadura entre caras laterales. A priori no sabemos que disposición de armado es el óptimo, en el sentido de proporcionar un menor valor de la cantidad total de acero. Esta tercera rutina consiste en una iteración de las dos anteriores variando el parámetro λ hasta obtener la relación de armados laterales que da mínima cuantía de armadura.


A diferencia de la segunda rutina en la que se pretendía buscar la posición de la fibra neutra que equilibrase esfuerzos con solicitaciones, igualando así el error a cero, en este tercer algoritmo no pretendemos buscar el cero de una función sino el mínimo de esa función. Se trata de buscar el valor de λ comprendido entre 0 y 0,5 que da cuantía total de armadura mínima. Así en vez de buscar el cero de una función buscamos el mínimo de esa función, que equivale a buscar el cero de la derivada de la función.

No disponemos de una expresión analítica de la función a evaluar (la rutina formada

por los algoritmos 1 y 2) ni de las expresiones de las derivadas. Tanto la primera como la segunda derivada, necesarias para implementar el método de Newton de minimización, se aproximan por diferencias finitas como se verá más adelante.

Podemos representar los algoritmos 1 y 2 como una función de una variable en la

que dado un parámetro (λ) se devuelve el valor de la función evaluada en ese punto, w = f ( λ ), donde w es la cuantía de armadura. El algoritmo 3 modifica el parámetro λ hasta conseguir el valor que da ω mínimo (óptimo) Método de Newton

El método empleado en el algoritmo nº 3 para buscar el valor óptimo del parámetro λ es el método de Newton para ceros de funciones, el cual se muestra en la siguiente figura. Se busca el cero de la función derivada, el cual representa el mínimo de la función original. (Se ha representado el parámetro λ por la variable X)

Figura 3.12

Para implementar este método son necesarias las expresiones de las derivadas

primera y segunda de la función. Al no disponer de la expresión analítica de estas funciones, se aproximan por diferencias finitas.

01,0)()(2)2(

)(''

01,0)()(

)('

2 =++⋅−+

=

=−+

=

hconh

XfhXfhXfXf

hconh

XfhXfXf

KKKK

KKK


Cada nueva aproximación se calcula a partir de la anterior mediante las expresiones siguientes:

KKK

K

KK

XXXXfXfX

∆+=

−=∆

+1

)('')('

El valor inicial adoptado es XK = 0.25. Este valor medio de λ se ha comprobado en

la práctica como un buen punto de partida para la totalidad de casos. 3.2.3 Ejemplo nº 3

Dimensionar el siguiente pilar usando el programa de optimizado. Representar la variación de la cantidad de armadura necesaria a medida que variamos el parámetro λ. Analizar la influencia en el valor óptimo del parámetro λ de factores como el esfuerzo axil o el diámetro de esquina.

Acciones

Hip. nº 1 Hip. nº 2 Hip. nº 3

Nd (kN) 0 - 4000 0 - 4000 0 - 4000 Mxd (mkN) 400 800 800 Myd (mkN) 640 640 320

Materiales

HA-30 Recubrimiento: 0,1·h

B-400-S Ф = 0 y 32mm

Para cada combinación de acciones se representa la variación de la armadura total en función del parámetro λ. El mínimo de la función corresponde al valor óptimo obtenido con el programa informático.

Cada uno de los tres gráficos (figuras 3.13 a 3.15) representa una de las hipótesis de cálculo. Dentro de cada gráfico hay cuatro curvas, las cuales corresponden a los cuatro casos posibles resultantes de combinar dos diferentes axiles, 0kN o 4000kN ( 0 ó 1 en valor reducido) con dos diferentes diámetros de esquina, 0mm o 32mm. Dos tablas acompañan a cada gráfico. En ellas y para cada una de las cuatro combinaciones anteriores de axil y diámetro de esquina, se muestran los valores de λ óptimos y la armadura necesaria correspondiente.


Caso 1 → Mxd=800mkN Myd=640mkN

21000

23000

25000

27000

29000

31000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5λ

Atot

φ=0 ν=1,0φ=32ν=1,0φ=0 ν=0φ=32ν=0

Figura 3.13

Por simplicidad en el ejercicio nos referiremos al axil reducido. Recordamos que:

cd

d

fhbN

⋅⋅=ν

En el gráfico y las tablas observamos que aunque λ sufre alguna variación en

función de ν y φ, los factores determinantes son µx y µy. También podemos notar la diferencia entre los valores máximos y mínimos de las cuantías de armado en función de λ. Estas diferencias provocadas por la disposición del armado pueden llegar a representar un 35% del total.

La variación del esfuerzo axil influye en la cantidad de armadura total necesaria

pero no en el valor del parámetro λ. Puede observarse en el gráfico como una traslación de las curvas de armado respecto ν=0 o ν=1.0.

La variación del diámetro de esquina influye de forma diferente en la curva. Así

mientras mayor es el diámetro situado en las esquinas, más suave es la curva. Este comportamiento es lógico, ya que en el caso límite, si toda la armadura estuviese concentrada en las esquinas, no habría armadura distribuida en las caras y el valor del parámetro λ no tendría ninguna influencia en el área total de acero.

También es importante destacar la poca curvatura de la zona donde se encuentra el mínimo de la función. Esta condición hace que las pequeñas variaciones de λ en la zona cercana a la óptima tengan poca repercusión en el valor de Atot.

λ φ=0mm φ=32mm Atot (mm2) φ=0mm φ=32mm ν=1 0,2498 0,2503 ν=1 25831 25147 ν=0 0,2503 0,2503 ν=0 22401 21980

49Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Los gráficos y las tablas para las otras dos hipótesis de cálculo se muestran a

continuación:


15000

17000

19000

21000

23000

25000

27000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5λ

Atot

φ=0 ν=1,0φ=32ν=1,0φ=0 ν=0φ=32ν=0

Figura 3.14


15000

17000

19000

21000

23000

25000

27000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5λ

Atot

φ=0 ν=1,0φ=32ν=1,0φ=0 ν=0φ=32ν=0

Figura 3.15



50Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ 3.2.4 Ejemplo nº 4

Dimensionar el siguiente pilar sometido a flexocompresión esviada, usando todos los armados disponibles en la colección de ábacos en roseta del libro Hormigón Armado de Montoya, Meseguer y Morán. Finalmente comparar con el resultado obtenido con el programa de optimizado.

Acciones Materiales

Nd = 2880 kN HA-30

Mxd = 1080 mkN B-400-S Myd = 648 mkN

Recubrimiento: 0,1·h Resolución mediante los ábacos adimensionales en roseta

En primer lugar obtenemos los valores reducidos. A continuación entramos en el

ábaco en roseta correspondiente de igual forma que en el ejemplo nº 1 y obtenemos la cuantía total de armadura.

15,020600600600

10648

25,020600600600

101080

40,020600600

102880

6

6

3

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

cd

ydy

cd

xdx

cd

d

fbhbM

fhhbMfhb

N

µ

µ

ν

Hemos fijado armadura simétrica en todos los casos, como es habitual en el cálculo

de pilares. El mínimo armado se obtiene con el máximo brazo de palanca, es decir situando las barras de acero en las esquinas.

=

=

=

⇒2

2

150844012

13869

67,0

mm

mmAtot

tot

φ

ω


Evidentemente, el espacio físico está limitado y no podemos concentrar todo el

armado en una zona, así que en caso de ser necesario dispondremos también armadura en las caras laterales. Ya que es área de acero que dispondremos, resulta ventajoso pues contar en el cálculo con su contribución. La disposición de armado ya no es la óptima y el incremento de armado es de un 21% (al armar se transforma en un 33%). Las dos opciones más ventajosas en este caso son:

=

=

=

⇒2

2

201124016

16767

81,0

mm

mmAtot

tot

φ

ω

=

=

=

⇒2

2

201124016

16767

81,0

mm

mmAtot

tot

φ

ω

Otra disposición típica de armado es colocar la armadura según el momento dominante. En este caso el incremento de armadura respecto de la disposición original de cuatro redondos es de un 27%. Al armar se transforma en un 17%. La aparente contradicción con el caso anterior se explica por el hecho de haber escogido armar con un solo tipo de diámetro y en este caso la aproximación se acerca más a un múltiplo de 2 que de 4.

=

=

=

⇒2

2

175984014

17595

85,0

mm

mmAtot

tot

φ

ω

Una mala disposición consiste en colocar la armadura de forma paralela al plano en el que actúa el momento resultante. En este caso el armado que obtenemos es un 67% superior al necesario, todo por no situar la armadura de forma óptima. Al armar se transforma en un 67%.

=

=

=

⇒2

2

251404020

23184

12,1

mm

mmAtot

tot

φ

ω

52Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Resolución mediante el programa de optimizado

La disposición de armadura obtenida con el programa de optimizado es el más eficiente después de la de 4 barras en las esquinas. Con los datos obtenidos se trata después de distribuir la armadura entre las caras. Debido a que decidimos armar con un solo diámetro, las posibles combinaciones de barras son pocas y la armadura real que se escoge para este caso no supone ningún ahorro en acero respecto otras distribuciones. Esta distribución representa un 18% más de acero respecto la de 4ф, y representa un ahorro del 2%, 7% y 41% respecto las otras distribuciones.

=+

=+=

=

=−=

⇒

2

2

175984010404

16430115004928

794,0

350,05,0;150,0

mm

mmAtot

tot

φφ

ω

λλ

Como ya se ha comentado en apartados anteriores, aunque el óptimo teórico corresponde a una distribución con armadura concentrada en las esquinas, esa disposición muchas veces no es posible en la práctica. Así en este ejemplo, al igual que en la mayoría de secciones sometidas a flexocompresión esviada, en realidad se suele disponer la armadura repartida uniformemente por las cuatro caras. Teniendo esto presente, el ahorro real en armadura con el programa de optimizado respecto el armado uniforme representa un 11%. 3.2.5 Ejemplo nº 5

Dimensionar el siguiente pilar sometido a flexocompresión recta usando todos los armados disponibles en la colección de ábacos de interacción adimensionales del libro Hormigón Armado de Montoya, Meseguer y Morán. Finalmente comparar con el resultado obtenido con el programa de optimizado. Acciones Materiales

Nd = 1080 kN HA-30

Mxd = 108 mkN B-400-S

Recubrimiento: 0.1·h

53Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Resolución mediante los ábacos de interacción adimensionales

En primer lugar obtenemos los valores reducidos. A continuación entramos en el

ábaco de interacción correspondiente de igual forma que en el ejercicio primero y obtenemos la cuantía total de armadura.

20,020300300300

10108

60,020300300

101080

6

3

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

cd

xdx

cd

d

fhhbMfhb

N

µ

ν

De nuevo fijamos, por tratarse de un pilar disponemos armadura simétrica en todos

los casos. Nuevamente la mínima armadura se obtiene con el máximo brazo de palanca, es decir colocando las armaduras en las esquinas.

=

=

⇒254

2,1811

35,02

φ

ω

mmAtot

tot

En este caso obtenemos también el mismo armado óptimo con otra disposición. No es extraño pues al ser flexión recta la fibra neutra es paralelo al eje x y tanto las armaduras de la cara superior como la de la inferior están a la máxima distancia posible.

+=

=+=

⇒2522522,1811

35,0175,0175,02

φφ

ω

mmAtot

tot

Resolución mediante el programa de optimizado

El programa de optimizado también da una relación entre armados laterales que

hace coincidir con el resultado anterior.

+=

==

⇒

2522521,1807

349,00

2

φφ

ωλ

mmAtot

tot


El resto de las disposiciones de armado varían entre valores cercanos al óptimo y lejanos para disposiciones equivocadas. Entre las primeras tenemos armados con una relación entre caras laterales de 2 y 3. Como es normal, mientras más nos acercamos a la relación λy=0 menor se la armadura.

+=

=+=

=−=

⇒

2532530,2070

400,0267,0133,0

333,05,0;167,0

2

φφ

ω

λλ

mmAtot

tot

+=

=+=

=−=

⇒

2532532,2018

39,029,01,0

375,05,0;125,0

2

φφ

ω

λλ

mmAtot

tot

Para las disposiciones de armado menos óptimas tenemos desde un 23% hasta un 80% de exceso de acero.

=

=

⇒208

2,2225

43,02

φ

ω

mmAtot

tot

+=

=

⇒322322

2,3260

63,02

φφ

ω

mmAtot

tot

+=

=

⇒124254

7,2328

45,02

φφ

ω

mmAtot

tot

55Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ 3.3 Resultados de la aplicación del modelo de cálculo desarrollado.

Propuesta de armado. Ejemplos de aplicación

En el apartado anterior hemos podido comprobar como variando la distribución de armado entre caras laterales podemos reducir la cuantía total de acero necesaria para resistir unos esfuerzos determinados. Para definir la relación entre armados laterales nos basta con el parámetro λ. Con el extenso ejemplo que sigue, pretendemos analizar las variables que influyen en este parámetro y si es posible hallar alguna expresión empírica del mismo.

Para secciones sometidas a esfuerzos de flexocompresión recta, el valor del parámetro λ toma valores extremos 0 ó 0,5 (ver figura 3.1) dependiendo de que el vector momento sea paralelo al eje x o y respectivamente. Pero ¿cómo determinar el valor de λ cuando actúan ambos momentos de forma conjunta?

Cuando el esfuerzo axil aumenta o tiende a cero y a igualdad del resto de variables (momentos actuantes, geometría, etc.) la armadura necesaria para resistir unas solicitaciones determinadas aumenta. La cuantía de armadura presenta un mínimo para esfuerzos axiles reducidos del orden de 0,4 a 0,6. Pero ¿se ve influenciada también por el parámetro λ?

Como se ha mostrado en el apartado 3.2.3, resulta evidente que mientras mayor sea el diámetro de la armadura que se dispone en las esquinas, menor será el área total de acero necesaria. Como primera intuición, no parece que el diámetro de la armadura vaya a influir en el parámetro λ ¿es realmente así?

Parece obvio y que la geometría de la sección influye de forma importante tanto en

la cuantía de armadura como en el valor del parámetro λ. No obstante en el caso del parámetro λ, ¿influyen las dimensiones reales de la sección o solo su relación de escuadría, es decir al adimensionalizar acciones?

Finalmente, si disponemos de los datos de la sección y de las acciones ¿es suficiente

para determinar el valor de λ sin tener que usar el programa de optimizado? ¿Sigue alguna distribución que podemos asimilar a una función conocida?

Por medio del ejemplo de la página siguiente se tratarán de dar contestación a todas

estas preguntas. 3.3.1 Ejemplo nº 6

Analizar las siguientes cuestiones y obtener para todos los casos la cantidad de acero necesaria y el ahorro obtenido en función de las distintas disposiciones. ¿Cómo varía el parámetro λ a medida que variamos los esfuerzos de cálculo? ¿Se ve afectado por el esfuerzo axil o solo por los momentos? ¿Tiene alguna influencia el diámetro de la

56Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ armadura de esquina? ¿Podemos prefijar a priori el valor de λ? ¿Es posible hallar una expresión empírica?

Materiales HA-30

B-400-S


Aspectos previos Las distintas variables a estudiar serán:

Axil reducido: νd = { 0, 0.50, 1.00 }

Momento reducido en la dirección x: µxd = { 0, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40 }

Momento reducido en la dirección y: µyd = { 0, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40 }

Diámetro de las barras de esquina: Ф = { 0mm, 25mm } Recordar que:

cd

ydy

cd

xdx

cd

d

fbhbM

fhhbM

fhbN

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅= µµν

Los valores que obtendremos serán: - Parámetro de armado: λ

Representa el porcentaje en tanto por uno sobre la armadura total que se dispone en la dirección del eje ‘y’ en una de las caras de la sección. El porcentaje que se dispone en la dirección perpendicular es igual a 0,50 - λ. La suma de los porcentajes de las cuatro caras resulta en la unidad. El caso de igual armadura en las cuatro caras corresponde obviamente a λ=0,25.

57Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ - Área de armadura: ATOT (cm2)

Es el total de armadura necesaria para resistir los esfuerzos, incluyendo la armadura de esquina si la hubiese. Expresamos su valor en mm2. Análisis de los valores óptimos

En primer lugar, y mediante el uso del programa informático de optimizado, obtenemos el valor del parámetro λ y el área necesaria de armadura (la mínima posible) en función de µxd y µyd para cada combinación de ν y φ. Estos valores se representan en las páginas siguientes en dos series de seis gráficos de superficie (ver figuras 3.16 y 3.17). Las tablas con las que se han configurado los gráficos se muestran en los anejos, apartado 6.5. Observaciones sobre λ:

1. Existe un comportamiento más o menos simétrico del valor de λ respecto de la diagonal µx=µy. Para el eje de simetría el valor de λ es aproximadamente 0,25.

2. Para solicitaciones de flexión recta λ toma valores límites 0 ó 0,5 en función de que el momento actúe según el eje y o x respectivamente.

3. La variación del axil no influye significativamente en el parámetro λ. Tampoco

lo hace el diámetro de la armadura situada en las esquinas. 4. Si descartamos los casos de flexión recta y aquellos con igual armado en las

cuatro caras, resultan un 40% de los casos en los que podemos fijar λ para obtener un armado óptimo. Aún así nos resta todavía el 60% de los casos a tratar. Observaciones sobre ATOT:

1. De nuevo y al igual que con el parámetro λ existe un comportamiento claramente simétrico respecto de la diagonal µx=µy.

2. Aunque es prácticamente imperceptible se observa que el área de armadura total

disminuye si disponemos armadura de esquina. 3. Para pequeñas solicitaciones puede que sólo se requiera armadura mínima. En

estos casos al disponer a priori de una armadura de esquina nos alejamos de la solución óptima.

Los gráficos de las dos páginas siguientes (Figuras 3.16 y 3.17) nos permiten visualizar de forma más clara las observaciones que acabamos de mencionar. En ambas páginas se ilustra de forma gráfica la variación del parámetro óptimo λ y su correspondiente cuantía de armadura óptima.


νd = 0 Ф = 0mm νd = 0 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

νd = 0.5 Ф = 0mm νd = 0.5 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

νd = 1.0 Ф = 0mm νd = 1.0 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.16

µx

µY

µY µY

µY

µY

µx

µx µx

µx µx

µY


νd = 0 Ф = 0mm νd = 0 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

νd = 0.5 Ф = 0mm νd = 0.5 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

νd = 1.0 Ф = 0mm νd = 1.0 Ф = 25mm

0.00.10.20.30.40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00.10.20.30.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.17

µx

µY

µY µY

µY

µY

µx

µx µx

µx µx

µY

60Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Análisis de la primera aproximación

¿Cuál podría ser una primera aproximación al armado óptimo? Empezamos fijando los valores óptimos conocidos a priori antes de realizar el cálculo. Son los referidos a flexión recta.

λ =0 para solicitaciones de flexión recta en las que µy = 0 µx ≠ 0. λ =0,50 para solicitaciones de flexión recta en las que µx = 0 µy ≠ 0.

Del análisis del apartado anterior y su comportamiento simétrico optamos por fijar

también:

λ=0,25 para solicitaciones de flexión esviada en las que µx=µy. Para el resto de los valores escogemos:

λ=0,25 Armadura igual en todas las caras

Con esta distribución de armado lateral se calcula el área de armadura necesaria para resistir los mismos esfuerzos que en el apartado anterior. Al comparar los resultados de armadura obtenidos por un lado con el parámetro λ, que nos proporciona el programa de optimizado, y por otro lado los determinados por la primera aproximación, se determina el error relativo. Para cada par de valores de axil y diámetro de esquina se hace la media del error de todas las combinaciones de momentos. Los valores se muestran en el apartado 6.5 de los anejos. Expresado en % resulta:

φ=0mm φ=25mm ν=0 4,65 4,05

ν=0,5 6,27 5,17 ν=1,0 4,38 3,99

Estos valores representan la pérdida media en acero en los 64 casos que resultan de

las combinaciones de momentos una vez descontados aquellos en los que λ viene prefijada, es decir los de flexión recta.

Así, al aproximar λ en lugar de buscar el valor óptimo cometemos un error que se traduce en no disponer la armadura de forma óptima y por consiguiente colocar una mayor cuantía. Ésta pérdida de acero se puede cuantificar para cada combinación de solicitaciones y diámetro de esquina. Así, por ejemplo, para un axil reducido de 0,5 y disponiendo armaduras de diámetro 25mm en las esquinas, al aproximar el valor de λ (para cualquier tipo de combinación de momentos) colocamos en media un 5.17% más de acero.

Esta primera aproximación tiene la particularidad de que se resuelve usando solo tres valores del parámetro λ, correspondientes a las distribuciones de armado propuestas

61Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ en los ábacos en roseta del libro Hormigón Armado de Montoya, Meseguer y Morán. Así, con esos tres ábacos podemos obtener los mismos resultados que con esta primera aproximación. Análisis de la segunda aproximación

¿Es posible afinar algo más la aproximación inicial? Sí. Fijándonos en los gráficos obtenidos con el programa de optimizado, podemos fijar el parámetro λ en función de los valores de µx y µy de forma que el resultado se aproxime más al deseado.

En este caso ya no disponemos de todos los ábacos en roseta necesarios, así que a no ser que nos los fabriquemos deberemos recurrir al empleo del programa informático para obtener la cuantía de armadura.

02,3

125,02,333,1

25,033,175,0

375,075,03125,0

5,03125,0

=→≥

=→<<

=→≤≤

=→<<

=→≤

λµµ

λµµ

λµµ

λµµ

λµµ

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Si

Si

Si

Si

Si

Los valores obtenidos se muestran de nuevo en las tablas del apartado 6.5 de los

anejos. Con esta nueva aproximación hemos mejorado la evaluación del parámetro λ hasta reducir el error relativo en el cálculo de la armadura a:

φ=0mm φ=25mm ν=0 0,58 0,52

ν=0,5 0,72 0,50 ν=1,0 0,46 0,46

Un error relativo inferior al 1% ya sería suficiente, si no fuese porque este es un

valor medio. Para determinados casos de solicitaciones este valor es superior al 5%. Además, resultaría útil hallar una expresión más simplificada y general Análisis de la tercera aproximación Se trata de obtener una expresión de la forma:

)/( YXf µµλ =

62Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ Descontados los casos de flexión recta, tenemos seis tablas de 64 recuadros cada

una, donde para cada par de valor (µx , µy) hemos obtenido el valor de λ. Estos valores están en el apartado 6.5 de los anejos. Una vez dibujados buscamos una función sencilla que mejor aproxime el valor de λ. La expresión obtenida es:

)(1677,02514,0Y

XLnµµλ ⋅−=

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7 8µx / µy

λ

Figura 3.18

No olvidemos que para los casos de flexión recta el parámetro λ ya viene fijado. Tampoco debe olvidarse que λ nunca tomará valores negativos ni mayores de 0,5. Los valores obtenidos y el error se muestran de nuevo en las tablas del apartado 6.5 de los anejos. El error medio pasa a ser:

φ=0mm φ=25mm ν=0 0,21 0,26

ν=0,5 0,37 0,28 ν=1,0 0,23 0,29

Análisis de la cuarta aproximación

¿Podemos mejorar esta última aproximación? De nuevo sí. La aproximación obtenida con la fórmula, funciona muy bien cuando los valores de µX y µY son

63Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ superiores a 0,05. Para valores inferiores su comportamiento es como si dicho momento no existiese, es decir como si fuese flexión recta. Si tenemos en cuenta este comportamiento, el valor de λ será:

)(1677,02514,0

005,0

5,005,0

00

5,00

Y

X

XY

YX

Y

X

LncasosDemas

Si

Si

Si

Si

µµλ

λµµ

λµµ

λµ

λµ

⋅−=→

=→<≥

=→<≥

=→=

=→=

Representado en la tabla, sería:

My (mkN) 0 120 240 360 480 600 720 840 960Mx (mkN) µ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

0 0.00 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000225 0.05 0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000450 0.10 0.0000 0.0000675 0.15 0.0000 0.0000900 0.20 0.0000 0.00001125 0.25 0.0000 0.00001350 0.30 0.0000 0.00001575 0.35 0.0000 0.00001800 0.40 0.0000 0.0100

Los valores obtenidos con esta última aproximación se muestran en el apartado 6.5

de los anejos. Puede observarse que en prácticamente ningún caso el error relativo es superior al 1% y el error medio no supera el 0,2%.

Con esta modificación hemos reducido el error medio, pero lo más importante es que ha sido sobretodo a costa de reducir aquellos casos en los que la aproximación tercera era más deficiente.

φ=0mm φ=25mm ν=0 0,06 0,14

ν=0,5 0,05 0,18 ν=1,0 0,10 0,15

Determinación del parámetro λ

Como final del ejercicio se muestra la evolución del parámetro λ (Figura 3.19) y como va disminuyendo el error relativo con las sucesivas aproximaciones (figura 3.20). Los valores que dan origen a estas tablas se muestran al final de los anejos, en el apartado 6.5.

)(1677,02514,0Y

XLnµµλ ⋅−=


Parámetro λ Valores óptimos

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

1ª aproximación 2ª aproximación 3ª aproximación 4ª aproximación

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Figura 3.19

Error relativo (%)

1ª aproximación 2ª aproximación 3ª aproximación 4ª aproximación

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00,10,20,30,40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

Figura 3.20

Nota: El color blanco implica un error menor del 5%. Cada variación de color implica un incremento del mismo en un 5%. No obstante y como se muestra en el ejemplo del apartado 3.2.3, el error en la determinación de λ de un 5% implica errores mucho más pequeños en la determinación de la armadura (del orden del 0,2% en media)

65Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ 3.4 Dimensionado óptimo con varias hipótesis de carga.

Ejemplos de aplicación

No es frecuente que al dimensionar una sección perteneciente a cualquier elemento estructural tengamos claramente definida la situación de carga. La incertidumbre sobre las acciones variables hace que tengamos que considerar varias hipótesis de carga. Obviamente la sección debe armarse de forma que resista todas las posibles combinaciones de acciones y resulta complejo determinar a priori cual será la más desfavorable.

Un ejemplo típico sería una sección sometida a dos casos de flexocompresión recta,

uno con el momento actuante según el eje x y otro según el eje y. Así los dos valores óptimos del parámetro λ serían los casos extremos. Pero ¿cómo determinaríamos el valor de λ para que la armadura resistiese ambos esfuerzos y fuese mínima? Seguramente sería un valor intermedio, pero ¿cuál?

No hemos sido capaces de generar un algoritmo de aproximación que nos permita

hallar el valor de λ que minimice el área total necesaria. Como solución hemos recurrido a un método menos fino pero igual de efectivo como es probar con 50 valores de λ y escoger aquel que da menos armado. De esta forma conseguimos aproximar λ con dos decimales.

Con el último ejemplo de esta tesina, pretendemos ilustrar como el programa de

optimizado también resuelve situaciones con varias hipótesis de carga. 3.4.1 Ejemplo nº 7 Dimensionar el siguiente pilar sometido a tres diferentes hipótesis de carga.

Acciones

Materiales HA-30

B-400-S


Hip. nº 1 Hip. nº 2 Hip. nº 3 Nd (kN) 6000 6000 8000

Mxd (mkN) 1400 0 700 Myd (mkN) 0 800 300

66Propuesta de método de dimensionado óptimo de armaduras _ En primer lugar calculamos el valor de λ óptimo y la Atot para cada hipótesis de carga.

Hipótesis nº 1 λ =0 Atot = 16937 mm2

Hipótesis nº 2 λ =0,5 Atot = 17972 mm2

Hipótesis nº 3 λ=0,19 Atot = 18596 mm2

Una primera idea sería dimensionar con un valor de λ correspondiente a alguna de las hipótesis, pero ahora se comprobará que no es la solución más favorable.

Para λ=0 Hipótesis nº 1 Atot = 16937 mm2 Hipótesis nº 2 Atot = 28915 mm2

Hipótesis nº 3 Atot = 19231 mm2

Para λ=0,5 Hipótesis nº 1 Atot = 26820 mm2 Hipótesis nº 2 Atot = 17972 mm2 Hipótesis nº 3 Atot = 20251 mm2

Para λ=0,1903 Hipótesis nº 1 Atot = 18638 mm2 Hipótesis nº 2 Atot = 21902 mm2

Hipótesis nº 3 Atot = 18596 mm2

Para cada uno de los tres valores de λ, la armadura necesaria es la mayor de las obtenidas con cualquiera de las hipótesis de cálculo. Finalmente el valor de λ escogido, para la totalidad de las hipótesis, será el menor de los anteriores. En este caso por ejemplo, habría que disponer Atot = 21902 mm2 con λ=0,1903, porque es el mínimo armado necesario de los tres posibles (28915, 26820 y 21902).

Es difícil encontrar un algoritmo que aproxime el valor de λ óptimo tal que la armadura sea la mínima. Optamos por calcular λ con dos decimales y probar con los 50 valores posibles. Como el resto del proceso es prácticamente instantáneo, el programa no ve afectada su velocidad. Procedemos de la siguiente forma:

1. Con λ=0 calculamos la cuantía de armadura para soportar los esfuerzos de cálculo de cada una de las hipótesis por separado. La armadura necesaria para este valor de λ es la mayor de las obtenidas para cada hipótesis.

2. Repetimos para λ=0,01 y así con todos los valores hasta λ=0,50

3. El valor de λ óptimo es aquel que dé armadura mínima.

La siguiente tabla resume todos los valores obtenidos de Atot para cada valor de λ: ( en negrita los valores óptimos para cada hipótesis y para el conjunto de las tres)

λ Hip. nº 1 Hip. nº 2 Hip. nº 3 Max. Hip. 0,00 16937 28915 19231 28915 0,01 17003 28319 19161 28319 0,02 17070 27763 19096 27763 0,03 17140 27241 19024 27241


0,04 17212 26751 18970 26751 0,05 17286 26291 18920 26291 0,06 17363 25858 18874 25858 0,07 17442 25449 18832 25449 0,08 17524 25063 18793 25063 0,09 17609 24697 18758 24697 0,10 17696 24351 18727 24351 0,11 17787 24023 18699 24023 0,12 17880 23712 18680 23712 0,13 17977 23415 18658 23415 0,14 18077 23133 18640 23133 0,15 18180 22865 18624 22865 0,16 18288 22609 18612 22609 0,17 18399 22365 18603 22365 0,18 18514 22131 18598 22131 0,19 18634 21908 18596 21908 0,20 18758 21695 18597 21695 0,21 18887 21490 18602 21490 0,22 19020 21294 18600 21294 0,23 19159 21107 18627 21107 0,24 19304 20926 18636 20926 0,25 19454 20753 18653 20753 0,26 19610 20587 18674 20587 0,27 19773 20427 18698 20427 0,28 19943 20274 18725 20274 0,29 20120 20126 18755 20126 0,30 20304 19983 18788 20304 0,31 20497 19846 18824 20497 0,32 20699 19714 18863 20699 0,33 20910 19587 18935 20910 0,34 21130 19464 18950 21130 0,35 21361 19345 18998 21361 0,36 21604 19231 19050 21604 0,37 21858 19120 19105 21858 0,38 22126 19013 19164 22126 0,39 22407 18910 19226 22407 0,40 22703 18810 19293 22703 0,41 23015 18714 19365 23015 0,42 23345 18620 19440 23345 0,43 23693 18530 19521 23693 0,44 24062 18443 19606 24062 0,45 24453 18358 19698 24453 0,46 24868 18276 19795 24868 0,47 25310 18196 19897 25310 0,48 25780 18119 20008 25780 0,49 26282 18045 20123 26282 0,50 26820 17972 20251 26820


El valor óptimo se da para λ=0,29 y la cuantía necesaria es Atot=20126mm2. Representa un 9 % menos que con el valor anterior (21902 mm2) ¿Cuál sería la manera de proceder si no tuviéramos el programa?

A medida que aumenta el número de hipótesis el armado simétrico sería la opción más aconsejada, puesto que la única vía para obtener la solución más económica es la iteración en el cálculo.

En este caso con λ=0,25 habríamos obtenido una Atot=20753mm2. (Un 3% más de

armadura que con la solución óptima)

Finalmente podemos representar gráficamente la solución y el método adoptado para la obtención del valor óptimo. Sería:

1. Dibujar para cada hipótesis la variación de armadura con el parámetro λ.

2. Dibujar una envolvente con las curvas de mayor armadura

3. El valor óptimo de λ es el mínimo de esa envolvente

1400016000

180002000022000

2400026000

2800030000

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5λ

Atot

Hip. nº 1

Hip. nº 2

Hip. nº 3

Max. Hip.

Figura 3.21

3 propuesta de mÉtodo para el dimensionado Óptimo de armaduras

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