armaduras 3d

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

CUARTO LABORATORIO DE CÁLCULO POR ELEMENTOS

FINITOS

(Armaduras Espaciales)

CURSO : CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR : Ing. CUEVA PACHECO, RONALD

SECCION: “G”

ALUMNOS : ALEJOS MANRIQUE, ALEXANDER

2007-I

PROBLEMA

Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura espacial, la cual es sometida a cargas

en algunos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada viga en la

armadura espacial. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada viga es 3.1×10 5

MPa, así como el área de la sección constante de cada viga es de 10030 mm2.

Datos:

Módulo de Elasticidad: 3.1×105 MPa.

Ancho de la sección constante de cada viga: 100 mm.

Espesor de la sección constante de cada viga: 30 mm.

Carga PA: 6000 N.

Carga PD: 8000 N.

Esquema del problema

Secciones: 3000 mm2

Material: E=3.1 x 105 N/mm2

PA=6000N

PD/2=4000N

PD/2=4000N

1.5 m

1 m

1 m

1 m

Diagrama de flujo

E, d, PA,PA,PD,

coordenadas

Vector Rigidez(c / elemento)

CONECTIVIDAD

(matriz simétrica)

Cálculo de las Reacciones en los apoyos (R):

Cálculo de los Desplazamientos:Dato: {Q16, Q17,..., Q26, Q27 }= 0;

;

Cálculole, Ae, l, m,n

I = 1:6acu1=[acu1 L]

Ltr (Matriz de Rotación)

Fi (Vector Columna Fuerza)

Cálculo del Vector []:

Programa

%practica4.mclear allclcfprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE RESOLVER UNA ARMADURA ESPACIAL\n')%Ingreso de Datos:E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): ');a=input('Ingrese el ancho de la seccion de los elementos (mm): ');b=input('Ingrese el espesor de la seccion de los elementos (mm): ');f=input('Ingrese numero de nodos de la estructura: ');e=input('Ingrese numero de elementos de la estructura: ');%Calculo del Area:A=a*b;%Ingreso de Coordenas: (referencia nodo 6)fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos: \n')fprintf('\n(Procurar que los nodos restringidos se encuentren al final del ingreso)\n')for i=1:f fprintf('\nCoordenada nodo %d: (En mm)\n',i) x(i)=input('x: '); y(i)=input('y: '); z(i)=input('z: ');endhomefprintf('\nCoordenadas de los Nodos: \n')fprintf('\nNodo X Y Z\n')for i=1:f fprintf('%4d %16.0f %16.0f %16.0f\n',i,x(i),y(i),z(i))end%Ubicacion de los elementos con respecto a los nodos:for j=1:e fprintf('\nNodos Elemento (%d): \n',j) r(j)=input('Nodo Inicial: '); t(j)=input('Nodo Final: ');endfor j=1:e le(j)=sqrt((x(t(j))-x(r(j)))^2 +(y(t(j))-y(r(j)))^2 +(z(t(j))-z(r(j)))^2); l(j)=(x(t(j))-x(r(j)))/le(j); m(j)=(y(t(j))-y(r(j)))/le(j); n(j)=(z(t(j))-z(r(j)))/le(j);endfprintf('\nTabla de Datos: \n')fprintf('\nElemento Long. Elemento l m n Nodo Inicial Nodo Final\n')for j=1:e fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f %16.4f %16.0f %16.0f\n',j,le(j),l(j),m(j),n(j),r(j),t(j))end%Formacion de la Matriz de Rotacion:X=[1 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0];Y=[0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0];Z=[0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1];L=[];

for j=1:e Lj=l(j)*X + m(j)*Y + n(j)*Z; L=[L Lj];endfprintf('\nMatrices de Rotacion (cosenos directores): \n')for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(L(1:2,6*j-5:6*j))end%Calculo de la Matriz de Rigidez de cada elemento:k=[];for j=1:e H(j)=(E*A)/le(j); Rj=H(j)*L(1:2,6*j-5:6*j)'*[1 -1; -1 1]*L(1:2,6*j-5:6*j); k=[k Rj];endfprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n')for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(k(1:6,6*j-5:6*j))end

%Conectividad de las Matrices de rigidez (Matriz estructural):K=zeros(3*f);for j=1:e Gj=zeros(3*f); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(1:3,6*j-5:6*j-3); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(1:3,6*j-2:6*j); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(4:6,6*j-5:6*j-3); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(4:6,6*j-2:6*j); K=K+Gj;endfprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n')disp(K)%Determinacion de las fuerzas en cada nodo, (en cada grado de Libertad):fprintf('\nIngreso de las Magnitudes de las fuerzas: \n')w=input('Numero de fuerzas sobre la armadura: ');F=zeros(3*f,1);for v=1:w AC=zeros(3*f,1); fprintf('\nFuerza (%d):\n',v) P(v)=input('P (en N): '); N(v)=input('Nodo donde se ubica: '); fprintf('\nDireccion de la Fuerza (%d):\n',v) D=input('Vector Columna Direccion (sino no corre): '); AC(3*N(v)-2:3*N(v),1)=P(v)*D; F=F+AC;endfprintf('\nNodos Restringidos: \n')c=input('Numero de nodos rigidos: ');for g=1:c fprintf('\n(%d°)\n',g)

d(g)=input('Nodo Restringido: ');end

%Resolucion del Sistema [F]=[K]*[Q]:q=inv(K(1:3*(f-c),1:3*(f-c)))*F(1:3*(f-c),1);C=zeros(3*c,1);Q=[q; C];%Obtencion de las fuerzas de Reaccion:F(3*(f-c)+1:3*f,1)=K(3*(f-c)+1:3*f,1:3*f)*Q;fprintf('\nTabla de Resultados de [Q] y [F]: \n')fprintf('\n GDL Desplazamiento(Q, en mm) Fuerza(F, en N)\n')for i=1:3*f fprintf('%4d %16.4f %24.4f\n',i,Q(i,1),F(i,1))end%Obtencion de Distribucion de esfuerzos en cada elemento:B=[-1 1];for j=1:e J(j)=E/le(j); s(j)=J(j)*B*L(1:2,6*j-5:6*j)*[Q(3*r(j)-2:3*r(j),1);Q(3*t(j)-2:3*t(j),1)];endfprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n')fprintf('\n Elemento Esfuerzo (N/mm^2, MPa)\n')for j=1:e fprintf('%5d %20.4f \n',j,s(j))end

Ejecución del programa

PROGRAMA QUE PERMITE RESOLVER UNA ARMADURA ESPACIALIngrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): 3.1e+5Ingrese el ancho de la seccion de los elementos (mm): 100Ingrese el espesor de la seccion de los elementos (mm): 30Ingrese número de nodos de la estructura: 9Ingrese número de elementos de la estructura: 17Ingreso de Coordenadas de los Nodos: (Procurar que los nodos restringidos se encuentren al final del ingreso)

Coordenadas de los Nodos: Nodo X Y Z 1 500 2500 1000 2 0 1500 1000 3 1000 1500 1000 4 1000 1500 0 5 0 1500 0 6 0 0 0 7 0 0 1000 8 1000 0 1000 9 1000 0 0Tabla de Datos:

Elemento Long. Elemento l m n Nodo Inicial Nodo Final 1 1118.0340 0.4472 0.8944 0.0000 2 1 2 1000.0000 1.0000 0.0000 0.0000 2 3 3 1118.0340 0.4472 -0.8944 0.0000 1 3 4 1000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 4 3 5 1500.0000 -0.3333 0.6667 0.6667 4 1 6 1000.0000 1.0000 0.0000 0.0000 5 4 7 1500.0000 0.3333 0.6667 0.6667 5 1 8 1000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 5 2 9 1414.2136 -0.7071 0.0000 0.7071 4 2 10 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 7 2 11 1802.7756 -0.5547 0.8321 0.0000 8 2 12 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 8 3 13 1802.7756 0.0000 0.8321 -0.5547 8 4 14 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 9 4 15 1500.0000 0.0000 1.0000 0.0000 6 5 16 1802.7756 0.0000 0.8321 -0.5547 7 5 17 1802.7756 -0.5547 0.8321 0.0000 9 5

Matrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):Elemento 1: 1.0e+005 *

Elemento 2: 1.0e+005 *








Elemento 10: 1.0e+005 *

Elemento 11: 1.0e+005 *

Elemento 12: 1.0e+005 *

Elemento 13: 1.0e+005 *

Elemento 14: 1.0e+005 *

Elemento 15: 1.0e+005 *

Elemento 16: 1.0e+005 *

Elemento 17: 1.0e+005 *

Matriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): 1.0e+006 * Columns 1 through 8

0.4705 0 0 -0.1664 -0.3327 0 -0.1664 0.3327 0 1.8820 0.5511 -0.3327 -0.6655 0 0.3327 -0.6655 0 0.5511 0.5511 0 0 0 0 0 -0.1664 -0.3327 0 1.5839 0.0946 -0.3288 -0.9300 0 -0.3327 -0.6655 0 0.0946 1.6426 0 0 0 0 0 0 -0.3288 0 1.2588 0 0 -0.1664 0.3327 0 -0.9300 0 0 1.0964 -0.3327 0.3327 -0.6655 0 0 0 0 -0.3327 1.2855 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0689 0.1378 0.1378 -0.3288 0 0.3288 0 0 0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0 0 0 0 0.1378 -0.2756 -0.2756 0.3288 0 -0.3288 0 0 -0.0689 -0.1378 -0.1378 0 0 0 0 0 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0 0 0 0 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.3571 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 9 through 16

0 -0.0689 0.1378 0.1378 -0.0689 -0.1378 -0.1378 0

0 0.1378 -0.2756 -0.2756 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0 0.1378 -0.2756 -0.2756 -0.1378 -0.2756 -0.2756 0 0 -0.3288 0 0.3288 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3288 0 -0.3288 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9300 0 0 -0.9300 0 0 0 0 0 1.3277 -0.1378 -0.4666 -0.9300 0 0 0 0 -0.1378 1.2527 0.0375 0 0 0 0 -0.9300 -0.4666 0.0375 1.6931 0 0 0 0 0 -0.9300 0 0 1.1576 -0.1003 0.1378 0 0 0 0 0 -0.1003 1.6098 0.0375 0 0 0 0 0 0.1378 0.0375 1.3643 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0 0 0 -0.6200 0 0.2381 -0.3571 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0 0 0 -0.6200 0 0.2381 -0.3571 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 -0.3571 0.2381 0 0 0 0 0 0 0.2381 -0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9771 -0.2381 0 0 0 0 0 0 -0.2381 0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1587 -0.2381 0 0 0 0 0 0 -0.2381 1.3343 -0.2381

0 0 0 0 0 0 -0.2381 0.1587 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.6200 0 0 0 0 -0.1587 0.2381 0 0.2381 -0.3571 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1587 -0.2381 0 -0.2381 0.9771 0 0 0 0

Ingreso de las Magnitudes de las fuerzas: Numero de fuerzas sobre la armadura: 3Fuerza (1):P (en N): 6000Nodo donde se ubica: 1Direccion de la Fuerza (1):Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;1;0]Fuerza (2):P (en N): 4000Nodo donde se ubica: 5Direccion de la Fuerza (2):Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;0;-1]Fuerza (3):P (en N): 4000Nodo donde se ubica: 4Direccion de la Fuerza (3):Vector Columna Direccion (sino no corre): [0;0;-1]

Nodos Restringidos: Numero de nodos rigidos: 4(1°)Nodo Restringido: 6

(2°)Nodo Restringido: 7



Tabla de Resultados de [Q] y [F]:

GDL Desplaz.(Q, en mm) Fuerza(F, en N) 1 0.0024 0.0000 2 0.0092 6000.0000 3 -0.0574 0.0000 4 0.0033 0.0000 5 0.0040 0.0000 6 -0.0336 0.0000 7 0.0018 0.0000 8 0.0046 0.0000 9 -0.0437 0.0000 10 -0.0085 0.0000 11 -0.0105 0.0000 12 -0.0437 -4000.0000 13 -0.0090 0.0000 14 -0.0078 0.0000 15 -0.0342 -4000.0000 16 0.0000 0.0000 17 0.0000 4846.6445 18 0.0000 0.0000 19 0.0000 0.0000 20 0.0000 -7846.6445 21 0.0000 3569.2143 22 0.0000 430.7857 23 0.0000 -10153.3555 24 0.0000 4430.7857 25 0.0000 -430.7857 26 0.0000 7153.3555 27 0.0000 0.0000

Tabla de Esfuerzos:

Elemento Esfuerzo (N/mm^2, MPa) 1 1.1698 2 -0.4768 3 1.0662 4 0.0000 5 0.0695 6 0.1668 7 -0.0695 8 0.1899 9 -0.2686 10 0.8309 11 0.2589 12 0.9537 13 2.6626 14 -2.1691 15 -1.6155 16 2.1448 17 -0.2589

OBSERVACONES Y CONCLUSIONES

Se observa que los valores de los desplazamientos están en el orden de las micras, es

decir son desplazamientos muy pequeños, esto es debido a las dimensiones de la viga

así como la rigidez del material.

Al inicio del problema se manifestó que se consideraba empotrada toda la zona

lateral derecha de la figura, de esta manera también cumple el isométrico de las

barras dada las vistas.

Con lo que respecta a los esfuerzos se observa que el elemento 16 es el que posee el

mayor esfuerzo, además es debido a esfuerzo de tracción.

Ante las constantes entradas de variables se optó por usar variables acumulativas,

tanto en la creación de las matrices de rotación como en las matrices de cada

elemento, esto nos permite ahorrar mucho en los elementos a utilizar y solamente se

llama a la función acumulada en una matriz para la operación respectiva.

Otro punto a resaltar de este programa es de su diseño no es solamente para ejecutar

la solución de este problema, sino puede trabajar según las características de otros

con la misma dimensión (3 en este caso), siendo un problema para su operación para

dos dimensiones (se generan ceros en la matriz de rigidez, tanto en filas y columnas,

por lo cual su inversa es una matriz singular).

Claro esta que, al analizar las vigas estructurales tridimensionales en su

representación real, se tendrá que considerar muchos factores, tales como la

temperatura, el límite de carga admisible, la fatiga, etc. De esta manera también nos

podemos encontrar cargas no solo puntuales sino también variables tanto

volumétricas como superficiales.

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