UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍACIVIL

“ MÉTODOS DE RIGIDECES PARA

ARMADURAS PLANAS”CURSO

: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO

NUEVO CHIMBOTE - OCTUBRE , 2015

Las estructuras articuladas pueden considerarse una particularización de lasreticuladas, en el caso de tener ambos extremos articulados. Por dichomotivo, los momentos en extremo del elemento son nulos.

Si existen directamente aplicadas en las piezas, las piezas o elementosbiarticulados solo sufren flexión local y los momentos flectores y esfuerzos cortantes pueden hallarse directamente estudiando las piezas aisladas como biapoyadas. Por tanto, en una estructura como de la “Figura 1” se tendrán,en primer lugar, unos esfuerzos locales de flexión y cortante debidos a la carga directamente aplicada sobre las piezas y, en segundo lugar, unas fuerzas aplicadas en los nudos, resultantes de trasladar la carga de las piezas a los nudos. Este segundo caso de carga da lugar únicamente a esfuerzos axiales en las piezas y es el que se estudia en el cálculo matricialde la estructura

Pque queda, de esta manera muy

Psimplificado.

PL PLA B2 2A B A B

PL PL2 2

FLEXIÓN LOCAL SOLO AXIALES

FIGURA 1. ESTRUCTURA ARTICULADA PLANAUNS / AE-II / IVAN

I.- MATRICES DE ELEMENTO DE ARMADURA:Al desarrollar las matrices para un elemento, hay dos matrices que debedesarrollarse. Estas son la matriz de rigidez y la matriz de transformación.

KA) MATRIZ DE RIGIDEZ: 1 2

F F F FPara 1: Para 2:

X1 X 2X -KX2

KX2-KX1

F1 K -K-K K

X1

X2x=Ensamblando tenemos: F2

Pero las estructuras no están realmente compuestas de resortes. Ellas estáncompuestas de vigas, columnas y barras.Si usamos la ecuación para la deformación de una barra prismática cargada axialmente se tiene:

FL AEF x=AE= ………Ecuación 1L

UNS / AE-II / IVAN

1K

En la ecuación 1 observamos que el término (AE/L) es análogo a laconstante de resorte en la ley de Hooke. (AE/L) es la rigidez de una

barraaxial. Por lo tanto, reemplazando en la matriz de rigidez se tiene:

E AELAE

LK =

AEL L

B) MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN:

La matriz de transformación para el elemento de armadura puede desarrollarsecon base en los principios de equilibrio. En cada nodo del elemento, las fuerzasresultantes que actúan en éste deben ser las mismas, expresadas ya sea encoordenadas del elemento (fa y fb) o en coordenadas globales (f1g, f2g,

f4g

f3g, f4g)

(Coordenada global en el extremo j)f3g

j(Coordenada local en el extremo j)fbf2g i

fa

O

(Coordenada local en el extremo i)(Coordenada global en el extremo i)f1g

FIGURA 2. COORDENADAS DE ELEMENTO – LOCALES Y GLOBALESUNS / AE-II / IVAN

A

Las cuatro ecuaciones siguientes pueden escribirse como se muestra en la“Figura 2”.

EN FORMA MATRICIAL

cos O 0

0f1gf2g f3g f4g

====

fa cos O 1g

sen O0

0

fa

fb

fa sen O 2g x= cos Ofb cos O 3g

sen Ofb sen O 4g

El lado izquierdo de esta ecuación es el vector de las fuerzas de extremodel elemento en coordenadas globales. El último término en el lado derecho es el vector de las fuerzas de extremo en coordenadas del elemento (coordenadas locales). El primer término en el lado derecho es la matriz que mapea las coordenadas del elemento en coordenadas globales. Esta matriz es la traspuesta de la matriz de transformación [T] para el elemento de armadura. Ecuaciones similares pueden plantearse si consideramos desplazamientos en los extremos del miembro en lugar de fuerzas. Lamatriz de transformación mapea fuerzas y desplazamientos de un sistemacoordenado al otro; sin embargo, ella no mapea la rigidez del elemento.UNS / AE-II / IVAN

f

f f f

II.- MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES ACOORDENADAS GLOBALES:Se tiene: [F] = [K] [D]Donde la matriz de rigidez de toda la estructura está formada por el ensamblaje dela matriz de rigidez individual deSe ha visto que:

cada elemento o miembro.

xLyg yL

xg

Sistema Global del elementofg dg

Sistema Local del elementof L d L

Debemos buscar la forma de transformar las fuerzas “f” de miembro y losdesplazamientos “d” de miembro definidos en coordenadas locales a unde coordenadas globales o de estructura.

sistema

xLyg

yL Oxg

UNS / AE-II / IVAN

Relacionando desplazamientos, tenemos:4g 4L

3L2L3g2gO

1L1gSistema Local

f L d LSistema Global

fg dg

dL = Tg x dgPor tanto:

Donde:dL: Matriz de desplazamientos de extremo

en su sistema local.Tg: Matriz de transformación.dg: Matriz de desplazamientos de extremo en su sistema global.

UNS / AE-II / IVAN

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN:Esta matriz es generada dando desplazamientos unitarios a cada GDL.

Para d1g = 1, resto =1) 0

d4L

d3L d1Ld2L d3L d4L

1cos O-1sen OOd2L

d1L

d

= =L 00

d1g = 1

2) Para d2g = 1, resto = 0

d4Ld1L 1sen Od2g = 1 d3L d 1cos O2Ld

L

= =O d3Ld4L

00

d2L

d1L

UNS / AE-II / IVAN

1senO

1cosO

1cos O

1sen O

Para d3g = 1,3) resto = 0

d4L d3L

d1Ld2Ld3L

001cos O

d2L

dd

= =d3g = 1 LO d 1sen O1L 4L

4) Para d4g = 1, resto = 0

d4g = 1d4L d1L

d2L d3L d4L

001sen O

d3L d

L

= =d2L

d1L

1cos OO

UNS / AE-II / IVAN

1senO

1cosO

1cos O

1sen O

-

PROPIEDAD

Se tiene:

DE ORTOGONALIDAD:

yg

xLyL d2g

d2L

xgd1g

Por Pitágoras:

………Ecuación 21L 2L 1g 2g

Matricialmente:

d 1L

d 2L

d 1g

d 2g

d 1L d2L d 1g d2g=x x

T T=d L d L d g d g ………Ecuación 3x x

UNS / AE-II / IVAN

2 2 2 2 2D = d + d = d + d

D d1L

-1

Tgd L Tg d g

C

d g d L= =Y se sabe que: x x

T T TA B C A B= =x xPero:

T T Td L d g Tg= xTenemos: ………Ecuación 4

Reemplazando la Ecuación 4 en la Ecuación 3, se tiene:

T Td L

x Tg

d L

d L

d g

d g

d g

Tg

=x x

TT -1Td L=d g x x x ………Ecuación 5

Para que la Ecuación 5 cumpla:

T -1Tg = Tg

UNS / AE-II / IVAN

III.- MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE MIEMBRO O ELEMENTO:-1

d L Tg d g d g Tg…x…d…L Ecuación

6

= =Se sabe que: x

Podemos relacionar las cargas nodales y desplazamientos nodales de un sistemalocal mediante: f KL d L= x ………Ecuación 7LDonde:

f LKLd L

:::

Vector de cargas del elemento o miembro.Matriz de Rigidez local del elemento o miembro.Matriz de desplazamiento local del elemento o miembro.

Reemplazando la Ecuación 6 en la 7:

Tg ffTg

Tg

d g =f KL= xx , perox gLL

f Tg d gKL= ………Ecuación 8x xxg

Si a la Ecuación 8 le multiplicamos:-1

TgTg

f

f Tg

Tg

d g

d g

KL

KL

=x xxg

-1Tg= xx xg

UNS / AE-II / IVAN

-1Tg

-1Tgf Tg d g Kg TgKL

Kg

KL= =, En otras palabras:xx x x xg

T -1Tg

Tg

= TgPor Ortogonalidad, se tiene:

TKg Tg KL= x x ………Ecuación 9

Donde:21 2

-1 1

2AEKL = -1L 1

Pero: 41 2 3 4 3000

0

000

0

-101

0

12

3

4

2AELKL = 1-1

UNS / AE-II / IVAN

10

0

1

1

Así que, operando la Ecuación 9, tenemos:

1cos O -1sen O 001cos O

00

1cos O 1sen O 001cos O

001sen O

00

-1 0

0

-101

0

000

0

1sen00

1cos O00

-1sen O

00

1cos O00

OKg = AE

L -1sen O1sen 1cos O -1sen O 1cos OO

Resulta:2 2

cos O sen O cos O

-cos O -sen O cos O2 2

sen O cos O

sen O -sen O cos O

-senOAELKg =

2 2-cos O -sen O cos

Ocos O sen O cos

O2 2-sen O cos O

-senO sen O cos O

sen O

UNS / AE-II / IVAN

10

0

EJERCICIO N°1:Hallar las reacciones y desplazamientos del sistema siguiente:

AE = Constante2-3A = 5.806 x 10 mL 2E = 703 069.62 Kg/Cm

L = 3.00m10tnL

Solución:

1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL.2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.

4g 6g

: Elemento, ,5g 2g , 3g , 4g , 5g , 6g : GDL1g ,

TKg Tg TgKL= x x

1g

UNS / AE-II / IVAN

1

3g

22g

3213

10

4gPara el elemento 1:3g

cos Osen O

= cos 90º = 0= sen 90º = 1

O=90°

1g

0010

cos O sen O 0

0 cos O

0

0 sen O

0-100

1000

000-1

sen O00

cos O00

T = =g

-sen O cos O

00

-1 0

0

-101

0

000

0

TTgKg TgKL

AEL

=KL = x x

1g 2g

010-1

3g

0000

4g

00000

1g00

-10

0000

000-1

0010

0100

-1000

0001

10

-10

0 -1 0-100

1000

-1 2g000

010

KgAE LKg

AE L

== 01

3g

4g

UNS / AE-II / IVAN

10

0

-

12g

6gPara el elemento 2:5g

cos O = cos 45º =sen O = sen 45º =

2/22/2

O=45°2g

1g

00

0 0cos O sen O 0

0 sen O

1-100

1100

sen O00

cos O00

01-1

011

T g 2= =cos O 2-sen O cos O

00

-1 0

0

-101

0

000

0

TTg Tg

AE Kg KL=K = x xL 2 L

1g

2/42/4

2g 5g 6g

- 2/4- 2/4

2/42/4

0 0 0 -1 0 01100

-1100

10

1 1-1 10 0

0 2/4 - 2/4 1g

- 2/42/4

0-11

00

0

0 01 0

0 0

011

0 01 1

2/4-

2/4

2gKg

2 x 2 KgAE2 L

AE L

x= =2 2 -10

- 2/4- 2/4

5g

0 0 -1 1 - 2/4 2/4 6g

UNS / AE-II / IVAN

10

0

-

2

Para el elemento 3:4g 6g

cos Osen O

= cos 0º = 1= sen 0º = 0

=0°O

5g

0 0cos O sen O 0

0 cos O

0

0 sen O

1000

0100

sen O00

cos O00

010

001

T g = =

-sen O cos O

00

-1 00

-1010

0000

T

gK T TK=AEL

x xKL = g gL

3g

10

4g

000

0

5g

-101

0

6g

000

0

3g0 0 10

-1

0

0 -1 000

0

0 01000

0100

1000

0100

00

0

01

0

001

010

001

010

4gKgKg

AE L

AE L ==

-10

5g

6g

UNS / AE-II / IVAN

10

0

-

3g3

Ahora procedemos a ensamblar (expandir) la matriz del sistema.1g

2/42/400

2/4

2g

2/41+ 2/40-1

- 2/4

3g

0010

-10

4g

0-101

00

5g

- 2/4- 2/4-10

1+ 2/4

2/4

6g

- 2/4- 2/4

002/42/4

1g

2g

3gK AE

L=4g

5g-- 2/4 - 2/4 6g

Operando se tiene:

1g

4810.714810.7100

2g

4810.7118417.45

0-13606.74

-4810.71-4810.71

3g

00

13606.740-13606.740

4g

0-13606.740

13606.7400

5g

-4810.71-4810.71

-13606.74

018417.454810.71

6g

-4810.71-

4810.71

00

4810.714810.71

1g

2g

3gK Tn/m=

4g

5g-4810.71-4810.71 6g

UNS / AE-II / IVAN

Aplicando la Ley de Hooke, se tiene:

K x DF =

-4810.71-4810.71

-13606.74

0

18417.454810.71

-4810.71-4810.71

0

04810.714810.71

100

F3

F4

F5

F6

4810.714810.7100

-4810.7

1-

4810.71

4810.7118417.45

0-13606.74

-4810.71-4810.71

00

13606.740

-13606.740

0-13606.740

13606.74

00

D 1D 20000

= …Ecuación 1

Se puede apreciar que la Ecuación 1 es un poco dificultosa el poder resolverla yesto se complica mas aún cuando la estructura o sistema tiene mas Número denodos y con ello mas número de GDL.Pero podemos simplificar el cálculo de la siguiente manera:

1g 2g 3g 4g 5g 6g

3g 1gK K5g LL LR 2g

4g3g

K =4g

KRL KRR5g

1g 6g

UNS / AE-II / IVAN

6g

2g

El Vector de Fuerzas: El Vector de Desplazamientos:

F1 D1F = F D = DLibres LLD2

Libres LL F2

D3

D4

D5

D6

F3 DF ==F4 D = DF = F Restringidas RRRestringidas RRF5

F6

Así que tenemos: Multiplicando tenemos:

DRR

DRR

KLL KLR F D KLR

KRR

F D K= x + xLL LLLL LL LL= x

FRR = DLLFRR

KRL KRR DRR KRL x + x

Pero se sabe que el o los desplazamientos en los apoyos es cero “0”.Por tanto se tiene:

y

UNS / AE-II / IVAN

FRR = KRL x DLLFLL = KLL x DLL

KLL

KRL

Así que: Los desplazamientos nodales globales lo podemos determinar con lasiguiente Ecuación:

..…Ecuación 2

Las reacciones del sistema se calcula con la siguiente Ecuación:

FLL DLLKLL= x y ..…Ecuación 3

Así que, volviendo a la Ecuación 1, tenemos:

KLRKLL-4810.71 -4810.71

-4810.71 -48 10 .71

100

4810.71 4810.71 0 0

0-13 60 6. 74

D 1F DLL LLD 20000

4810.71 18417.45 F3

F4

F5F6

-13606.740

18417.454810.71

00

4810.714810.71

00

4810.714810.71

0 13606.740

-13606.740

013606.74

00

=-13606.74-4810.71-4810.71

KRL

F DRR RR

KRR

UNS / AE-II / IVAN

--

FRR = KRL x DLL

-1DLL = KLL

x FLL

Utilizando la Ecuación 2, obtenemos los desplazamientos:-1

4810.714810.71

4810.7118417.4

5

D1 100

D1 0.00281m= x =D D -0.000735 m2 2

Asimismo utilizando la Ecuación 3, obtenemos las reacciones:

F3

F4

F5

F6

F3

F4

F5

F6

010

-10-

10

00

-4810.71-4810.71

0

-13606.74 0.00281 = x = Tn-0.000735-4810.71

-4810.71

Graficando Los Desplazamientos Graficando Las Reacciones

F4 = 10 tn F6 = 10 tn

F5 = 10 tn

D2 = 0.000735 m10 tn

D1 = 0.00281 mUNS / AE-II / IVAN

-1DLL = KLL x FLL

AHORA TE TOCA A TI: HALLAR REACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS

EXITOS!!!!

UNS / AE-II / IVAN

HALLAR REACCIONESESTRUCTURAS:

Y DESPLAZAMIENTOS DE LAS SIGUIENTES

EXITOS!!!!UNS / AE-II / IVAN