armaduras (1)

ANÁLISIS DE ESTRUCTURASFuerzas Internas en Reticulados o Armaduras (Truss)

1. Una armadura está formada por barras o elementos rectos conectados en sus extremos mediante nudos.

2. Para que toda la estructura este en equilibrio, cada una de sus partes (nudos) debe estarlo.

R4

R3Y

R3X

2P P

1 2 3

4 5

S3 S4 S5 S6

S7

S1 S2

2PS1

S3

1

3. Para su análisis se requiere la determinación, no sólo de las fuerzas externas, sino también de sus fuerzas internas. Ello desarrollando el equilibrio de la estructura ( formada por varias componentes), en un diagrama de cuerpo libre para cada uno de sus componentes, que deben representar las fuerzas que las mantiene unidas.

4. Las cargas actúan en los nudos y no en las barras (se desprecia el peso propio de las barras).

5. Las cargas aplicadas en los nudos originan sólo fuerzas axiales que pueden ser de tracción o compresión.

C T

Cada Barra, es un elemento con fuerzas en sus extremos.

Fuerza Externa

Fuerza Interna

Barra en Compresión

Fuerza Externa

Fuerza Interna

Barra en Tracción

6. Para que una estructura coplanar sea estáticamente determinada debe cumplir que:

b = 2n - 3b: número de barras

n: número de nudos

7. El análisis de una armadura (determinación de fuerzas internas en sus barras) se puede realizar empleando:

Método de los nudos

Método de las secciones

Métodos gráficos

Método de las rigideces

a ser estudiado en este curso.

Empleado antiguamente para armaduras completas.

Usados para programar Fe = k u Fi = k u ~ ~ ~ ~ ~ ~ ? ?

ANÁLISIS DE ARMADURAS

MÉTODOS DE EQULIBRIO DE LOS NUDOS:

i. Diagrama del cuerpo libre del sistema ( FX = 0, FY = 0, MA = 0).

ii. Buscar barras con esfuerzo cero *

iii. Buscar nudos en el cual exista 2 fuerzas desconocidas como máximo y hacer el diagrama de cuerpo libre.

iv. Continuar el procedimiento (iii) hasta determinar todas las fuerzas en las barras. El análisis se reduce, al cálculo de las fuerzas internas en las barras y la condición de tracción ó compresión de estas.

A: Punto en que podamos eliminar el mayor número de reacciones incógnitas.

S1

S2

S1 = S2

S3 = 0

Si en cualquier reticulado existe un nudo (sin carga) al cual concurren sólo 3 barras y 2 de estas pertenecen a una misma recta, entonces el esfuerzo de la otra barra es cero.

S3

Si dos barras concurren en un nudo, y ese nudo se encuentra sin carga, entonces ninguna de las barras trabaja: S1 = S2 = 0

S1

S2

S1 = S2 = 0

* :

EJEMPLO (1):

Determinar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.

Nota:

Para que una armadura sea considerada simétrica debe serlo tanto en geometría como en cargas.

3 m 3 m 3 m

HA VA VE

HE

A

B

C

D

E

25 Ton.50 Ton.

FG30º

30º 30º

30º60º60º

HA

VA

X

Y

SAB

30º

De un problema anterior sabemos: VA = 43.75 Ton. ( ME = 0)

VE = 31.25 Ton. ( MA = 0)

HA = 32.48 Ton. ( McIZQUIERDA = 0)

HE = 32.48 Ton. ( FH = 0)

Fy = 0 : - SAB sen 30º + VA = 0

SAB = 87.50 Ton.

FX = 0 : HA – SAG – SAB cos 30º = 0

SAG = -43.30 Ton.

SAG

Nudo A :

XY

SAB

60º

SBG

Nudo B :

FX = 0 : SAB - SBC – 50 cos 60º = 0

SBC = 62.50 Ton.

FY = 0 : SBG – 50 sen 60º = 0 SBG = 43.30 Ton.

FY = 0 : - SBG sen 60º + SGC sen 60º = 0

SGC = 43.30 Ton.

Nudo G :

SBC

50 Ton.

60º60º

SAG

SBG SGC

X

Y

Nudo E :

Nudo D :

FY = 0 : - SED sen 30º + VE = 0

SED = 62.50 Ton.

FX = 0 : - HE – SEF + SED cos 30º = 0

SEF = 21.65 Ton.

FX = 0 : SDF – 25 sen 60º = 0

SDF = 21.65 Ton.

FY = 0 : SED – 25 sen 60º - SDC = 0

SDC = 50.00 Ton.

30º

SEF

SED

X

Y

VE

HE

XY

SDF

60º

SED

SDC

25 Ton.

Nudo F :

FY = 0 : - SDC cos 60º + SFC cos 60º = 0

SFC = SDC = 21.65 Ton.60º60º

SFC SDC

X

Y

SEF

32.48 Ton.43.75 Ton. 31.25 Ton.

32.48 Ton.

A

B

C

D

E

25 Ton.50 Ton.

FG

C T

F.E. F.E. F.E. F.E.

43.30(T)

21.65(T)

87.50(C)

62.50(C)

43.3

0(T) 21.65

(T)

50.00

(C)

62.50(C)

(C)

21.6543.30

(C)

EJEMPLO (2):

Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.

2 m 2 m 2 m

0

9 Ton. 9 ton.

A

B

C

D

E

6 Ton.6 Ton.

FG30º

30º 30º

30º60º60º

Observamos que existe simetría geométrica y de cargas (respecto a un eje vertical que pasa por el nudo C), lo cual es útil para disminuir la cantidad de cálculos a realizar.

30º 30º

6 Ton.

3 m

9 Ton.

X

Y

SAB

30º

SAG

Nudo A :

XY

SBA

60º

SBG

Nudo B :

SBC

6 Ton.

Fy = 0 : - SAB sen 30º + 9 = 0

SAB = 18 Ton.

FX = 0 : - SAB cos 30º + SAG = 0 SAG = 15.60 Ton.

Fy = 0 : - 6 sen 60º - SBG = 0 SBG = 5.20 Ton.

FX = 0 : SBA – SBC – 6 cos 60º = 0 SBC = 15 Ton.

Nudo G :

60º60º

SGA

SGB SGC

X

Y

SGF

Fy = 0 : SGC cos 30º - SGB cos 30º = 0

SGC = 5.20 Ton.

FX = 0 : SGF – SGA + SGB sen 30º + SGC sen 30º

SGF = 10.40 Ton.

9 Ton. 9 Ton.

A

B

C

D

E

6 Ton.

6 Ton.

FG15.60 T(T)

15.60 T(T)18 T

(C)

15 T(C)

5.20

T(T) 5.20 T

(T)

15 T(C)

18 T(C)

(C)

5.20 T5.20 T

(C)

10.40 T(T)

TC

6 Ton.

Notar que el reticulado es simétrico respecto al eje horizontal pasa por los nudos A, E, F y C. Por lo tanto, la dirección de las reacciones (RA y RC) también estarán en ese mismo eje horizontal.

EJEMPLO (3):

Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.

3 m 1 m

RcA

B

C

D

E FRA

3 m1 m

4 m

4 m

4 Ton.

Cálculo de las Reacciones: FX = 0 : RA + 4 – RC = 0

(aparentemente hiperestático)

SEB = SED = 0

Ninguna de las barras trabaja (2 barras que concurren en un nudo y ese nudo no esta sometido a cargas).

Nudo E :

SEB

X

Y

SED

Cálculo de Fuerzas en las Barras:

Nudo F :

X

Fy = 0 : SFD sen - SFB sen = 0

SFD = SFB

FX = 0 : SFB cos + SFD cos - 4 = 0

SFB = SFD = 3.33 Ton.

SFB

Y

SFD

4 Ton.

4

5

3

Nudo B :

45º45º

SBA

SBE = 0SBC

Y

SBF

X

FX = 0 : - SBA cos 45º - SBF cos + SBC cos 45º = 0

FY = 0 : - SBA sen 45º - SBC sen 45º + SBF sen = 0

(a).....22BASBCS

(b).....2SS BCBA 38

Resolviendo (a) y (b):

SBC = 3.30 Ton., SBA = 0.47 Ton.

Nudo A :

45º

SAB

X

Y

SAD

45º

Nudo C :

RA

FY = 0 : - SAB sen 45º - SAD sen 45º = 0 SAB = SAD

FX = 0 : - RA + SAB cos 45º + SAD cos 45º = 0 RA = 0.66 Ton.

FY = 0 : SCB sen 45º - SCD sen 45º = 0

SCD = SCB

FX = 0 : RC + SCB cos 45º + SCD cos 45º = 0

RC = 4.66 Ton.

X45º

SCBY

SCD

45º RC

4.66 Ton.0.66 Ton. 4 Ton.

T

C

0.47 Ton(T) (T)3.30 Ton

3.30 Ton

(T)(T)

0.47 Ton

3.33 Ton3.3

3 Ton

(C)

(C)

0

0

EJEMPLO (4):

Para la armadura, determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

P

R1 = P

P

a

a

aR = 0

R6 = P

a a

1

2

3

4

5

6

7

Cálculo de Reacciones:

+ M1 = 0 : P (2a) – R6 (2a) = 0 R6 = P

+ FV = 0 : R6 – R1 = 0 R1 = R6 = P

FY = 0 : P – S65 = 0 S65 = P

FX = 0 : – S67 cos 45º = 0 S67 = 0

Cálculo de Fuerzas Axiales:

X45º

Y

R6 = P

S65S67

Nudo 6:

Nudo 4: Barra 24 no trabaja: S24 = 0

PS0S45ºcosS:0F

P2S0P45ºsenS:0F

171712X

1212Y


45º

S12

X

Y

P = R1

S17

Nudo 1:


Nudo 3:

X

45º

P

Y

S32

Nudo 7:

S34

X

Y

P = S71 S75

P34S045ºsen32S34S:0YF

P232S045ºcos32SP:0XF

P71S75S075S71S:0XF

Nudo 4:

X

Y

Nudo 5:

S45

X

Y

S57

S56

S43 = P

S54

P

PSS0SS:0F 43454345Y

PSS0SS:0F

PS0PS:0F

54565456Y

5757X

P

R1 = P

P

R6 = P

1

2

3

4

5

6

7

(C)(C)

(C)

(C)

(T)

(T)

P

P2 P

2 P

0

00

0

P (C)

EJEMPLO (5):

Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

3m 3m1m

3m

1m

1m

P 2P

7

1 2 3 4

5

68

R1

R8

R7

45º

45

3

1

3

10

Cálculo de Fuerzas Axiales en las Barras:


Nudo 1, 7, 8: Por ser barras aisladas: S12 = R1 = 3.75 P

S86 = R8 = 3.75 P

S76 = R7 = 3 P

Cálculo de Reacciones en los Apoyos:+ FY = 0 : R7 – P – 2P = 0 R7 = 3P

+ M1 = 0 : R8 (4) + 3P (1) – P (4) – 2P (7) = 0 R8 = 3.75 P

+ FX = 0 : R1 – R8 = 0 R1 = 3.75 P

FY = 0 : S45 sen - 2 P = 0 S45 = 6.32 P

FX = 0 : S43 - S45 cos = 0 S43 = 6 P

Nudo 4:

X

Y

2P

S45

S43

FX = 0 : S54 cos - S56 cos 45º = 0 S56 = 8.48 P

FY = 0 : S56 sen 45º - S53 - S54 sen = 0

S53 = 4 P

Nudo 5:

X45º

S56

Y

S53

S54 = 6.32 P

FY = 0 : S35 – P - S36 sen = 0 S36 = 3.75 P

FX = 0 : S32 - S34 + S36 cos = 0 S32 = 3.75 P

Nudo 3:

X

S36

Y

S35 = 4 P

S32 S34 = 6 P

P

FY = 0 : S26 = 0

FX = 0 : S21 - S23 = 0 S23 = 3.75 P

Nudo 2:

X

YS26 = 0

3.75 P = S21 S23

P 2P

7

12 3 4

5

68

R1 = 3.75 P

R8 = 3.75 P

R7 = 3 P

3.75 P

3.75 P(C)

3.75 P(C)

6 P(C)

(T)3 P

(T)(T)8.48 P

(T)6.32 P

(T)4 P

(C)3.75 P

0

armaduras (1)

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