8ermartin.files.wordpress.com · 2020-01-30 · 1 introduccion´ el presente documento contiene las...

NOTAS DE CLASE

(Segunda version)

Elaborado por: Dr. Ehyter M. Martın Gonzalez.

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Introduccion

El presente documento contiene las notas del curso de Algebra Lineal impartido en la Division deCiencias Naturales y Exactas de la Universida de Guanajuato, en particular en el primer semestrede la Licenciatura en Quımica.

Para la elaboracion de estas notas se ha tomado como base el temario puesto en vigor en el ano2014. A su vez, las definiciones, teoremas, ejemplos y ejercicios estan basados en el libro AlgebraLineal de Stanley Grossman y en la version 2008 de las notas elaboradas por Hector Jairo MartınezR. y Ana Marıa Sanabria R., profesores de la Universidad del Valle en Cali, Colombia.

En lo referente al temario, consideramos las siguientes seis unidades:

I. El espacio vectorial Rn

II. Matrices con entradas en R

III. Determinantes

IV. Sistemas de ecuaciones lineales

V. Eigenvalores, eigenvectores y diagonalizacion

VI. Espacios vectoriales

VII. Transformaciones lineales

Se ha optado por iniciar el curso con las unidades sobre vectores y matrices, ya que estos cons-tituyen la herramienta basica con la que se trabaja en las unidades siguientes y se requiere ponerespecial enfasis en que el estudiante comprenda y maneje correctamente estos conceptos. Por otrolado, debido a que las primeras unidades se enfocan en determinar la existencia y el numero desoluciones de sistemas de ecuaciones lineales, tambien se ha optado por hablar sobre las propie-dades de los determinantes de matrices cuadradas como segunda unidad, ya que justamente losteoremas de existencia de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales requieren fuertemente deluso de determinantes. La unidad sobre eigenvalores y diagonalizacion se ha colocado como unidadV, debido a que ella representa una aplicacion conjunta de determinantes y sistemas de ecuaciones.En la unidad 1 se presentan algunos ejemplos sencillos de aplicaciones del producto de matrices yvectores y del calculo de la inversa de una matriz. Las aplicaciones que requieren de sistemas deecuaciones lineales se presentan en la ultima seccion de la unidad 3.

2

Criterios de evaluacion

La nota final del curso se obtendra con base en los siguientes criterios:

1. Tres examenes parciales cuyo valor sera un 60 % del total de la nota final:

Parcial 1.- Valor de 15 % e incluira las unidades I y II.

Parcial 2.- Valor de 25 % e incluira las unidades III, IV y V IV.

Parcial 3.- Valor de 20 % e incluira las unidades VI y VII.

2. Tareas y exposiciones al menos cada dos semanas, cuyo valor sera un 20 % de la nota final.

Cada tarea constara de una lista de 5 ejercicios, de los cuales se elegiran maximo 3 que seresolveran durante la clase en formato de tarea-examen.

Las exposiciones constaran de ejemplos provenientes de las notas o de los ejercicios de lastareas que no se resolvieron por escrito.

La calificacion de todas las tareas y exposiciones se promediaran y el resultado se multipli-cara por .2 para obtener el porcentaje correspondientes a la nota final.

3. Proyecto final que constara de una exposicion, frente al grupo, de una aplicacion en quımicade los temas estudiados. Esta exposicion tendra un valor del 20 % de la nota final.

4. Las calificaciones se haran en escala de 0 a 100 y se reportaran divididas entre 10, en escalade 0 a 10.

5. En caso de no promediar al menos exactamente 7 (siete), debera presentarse un examen finalque valdra el 100 % de la calificacion del estudiante. Este examen abarcara todas las unidadesdel curso.

6. Habra sanciones por conducta y/o actitudes inapropiadas durante las sesiones del curso.

Indice general

1. El espacio vectorial Rn 5

1.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Interpretacion geometrica de las operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Producto interno de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Direccion de un vector en R2 y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Matrices con entradas en R 17

2.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Computacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. Teorıa de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3. Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Transpuesta e inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Inversa de una matriz (Metodo de Gauss-Jordan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Aplicacion: Criptografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7. Simulacro de primer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Determinantes 43

3.1. Definicion de determinante de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Determinantes de matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Determinantes y matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Sistemas de ecuaciones lineales 55

4.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Eliminacion gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3. Espacio nulo y espacio columna de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

4 INDICE GENERAL

4.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Eigenvalores, eigenvectores y diagonalizacion 73

5.1. El espacio vectorial Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2. Eigenvalores y eigenvectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5. Simulacro de segundo examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Espacios vectoriales generales 83

6.1. Algunos conceptos de teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2. Definicion de campo y de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2.1. Conjuntos que no son espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4. Independencia lineal y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.5. Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.6. Rango, nulidad y espacios vectoriales asociados a una matriz . . . . . . . . . . . . 100

6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7. Transformaciones lineales 115

7.1. Definiciones basicas, imagen y nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2. Propiedades de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3. Isomorfismos entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.4. Matriz asociada a una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.6. Simulacro de tercer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8. Bibliografıa 135

Capıtulo 1

El espacio vectorial Rn

1.1. Operaciones con vectores

A lo largo de este documento, denotaremos por R al conjunto de todos los numeros reales, Z elconjunto de todos los numeros enteros, N el conjunto de numeros naturales y Q el conjunto denumeros racionales, es decir, aquellos numeros rales x tales que pueden escribirse de la formax = a

b, donde a, b son enteros y b es distinto de cero.

La notacion x ∈ R se utilizara para decir que x es un numero real. De igual modo, w ∈ N, y ∈ Z,z ∈ Q se utilizaran, respectivamente, para decir que w es un numero natural, y es un numero enteroy que z es un numero racional.

El objetivo en esta primera unidad es estudiar objetos de la forma (a1, a2, . . . , an), donde n es unnumero natural fijo y cada elemento a1, a2, . . . , an es un numero real.

Comencemos por resaltar lo siguiente:

Tomemos a, b, c ∈ R (a, b, c son tres numeros reales cualesquiera). En el conjunto R de todos losnumeros reales existen dos operaciones, suma y multiplicacion, denotadas respectivamente por +y ∗, tales que cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma de dos numeros reales y la multiplicacion de dos numeros reales, dan como resul-tado otro numero real: a+ b ∈ R y a ∗ b ∈ R. Esta propiedad se conoce como propiedad decerradura bajo la suma y la multiplicacion.

2. En la suma y multiplicacion, respectivamente, el orden de los sumandos no altera la suma yel orden de los facotres no altera el producto: a+ b = b+ a y a ∗ b = b ∗ a (conmutatividadde la suma y la multiplicacion).

3. La suma y la multiplicacion son asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c y a∗(b∗c) = (a∗b)∗c.

4. R tiene un unico elemento llamado elemento neutro aditivo, el cual es tal que su suma concualquier otro numero real a, da como resultado a. Este elemento es el numero real cero:a+ 0 = a.

5. R tiene un unico elemento llamado elementro neutro multiplicativo, el cual es distintodel neutro aditivo (distinto de cero) y tal que su producto con cualquier otro real a, da comoresultado el mismo numero real a. En este caso, dicho neutro multiplicativo es el 1: a(1) = a.

5

6 CAPITULO 1. EL ESPACIO VECTORIAL RN

6. Todos los numeros reales distintos de cero, tienen un inverso multiplicativo. En este caso,si a ∈ R\{0}, el numero real 1/a hace el papel de inverso multiplicativo de a, ya quea(1/a) = 1.

7. Para cualquier numero real, existe otro numero real unico tal que la suma de ambos es igualal elemento neutro aditivo: para todo a ∈ R, existe un unico real denotado por −a, tal quea+ (−a) = 0.

8. Para cualesquiera a, b, c numeros reales, se cumple que a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c (propiedaddistributiva de la multiplicacion).

Los numeros reales no son el unico conjunto de objetos matematicos en los que se definen unasuma y una multiplicacion que cumplen estas ocho propiedades.

Otro ejemplo de un conjunto que las cumple son los numeros complejos, denotados por C, el cualestudiaremos mas adelante.

Todo conjuntoK de objetos matematicos en el que se pueden definir una suma y una multiplicacionentre elementos del conjunto, de forma que las ocho propiedades anteriores se satisfagan, se llamacampo.

Los numeros reales son, en efecto, un campo. Con este nuevo concepto en mente, definamos ahorael conjunto de objetos que forman el principal interes de esta unidad:

Tomemosm,n ∈ N y denotemos por {a11, a12, a13, . . . , a1n} un conjunto de n numeros reales (nonecesariamente distintos).

Supongamos ahora que utilizamos los numeros del conjunto {a11, a12, a13, . . . , a1n} para formarun arreglo en posicion vertical u horizontal. Para ser especıficos, colocamos los elementos delconjunto {a11, a12, a13, . . . , a1n} de las siguientes formas posibles:

a11a12

...a1n

o (a11, a12, a13, . . . , a1n).

Los dos arreglos de numeros reales los llamaremos vectores en Rn. En el primer caso, el vectorresultando es un vector columna y en el segundo caso tenemos un vector fila.

El nombre vector en Rn hace referencia a lo siguiente:

1. R denota el conjunto de todos los posibles valores de los elementos del arreglo.

Por ejemplo, si hablaramos de un vector (a11, a12, a13, . . . , a1n) en Zn, significa que a11, . . . , a1npueden tomar solamente valores enteros.

2. El numero n denota el tamano del vector (es decir, el total de numeros en el arreglo). Porejemplo, el vector (1, 2.3, π,−116.456) es un vecor fila en R4.

El vector (140, 2, 4, 1, 1) es un vector fila en N5 y el vector (−1,−10, 0,−2, 2, 7, 81012) esun vector fila en Z7.

1.1. OPERACIONES CON VECTORES 7

Los vectores tienen aplicaciones en muchas areas de estudio. Por ejemplo, en estudios sobre calidaddel agua para uso agrıcola se considera la cantidad de sustancias como aluminio, arsenico, berilio,cadmio, zinc, entre otras, disueltas en el agua.

En una muestra de agua, el vector (VAl, VAs, VBe, VCd, VZn) denota el numero demg/l de aluminio,arsenico, berilio, cadmio y zinc presentes en dicha muestra.

Definicion 1.1 El conjunto de todos los vectores en con entradas en R lo escribiremos, en notacionde conjuntos, como Rn = {(a1, a2, . . . , an) : a1, a2, . . . , an ∈ R}.

La notacion de vectores en Rn es util, no solo porque permite una representacion ordenada decantidades de interes, sino tambien porque es posible definir una suma entre vectores y una multi-plicacion llamada multiplicacion de un vector por un escalar.

Definicion 1.2 Sean (a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn (esto se lee como: sean (a1, a2, . . . , an)y (b1, b2, . . . , bn) elementos de/vectores en Rn). Definimos las siguientes operaciones sobre Rn:

Suma de dos vectores, denotada por “+”:

(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn).

Llamemosle escalar real a cualquier numero real. Con base en esto, si α ∈ R (α es unescalar real) definimos la multiplicacion de un vector y un escalar como

α(a1, a2, . . . , an) = (αa1, αa2, . . . , αan).

La definicion para el caso de vectores columna es completamente analoga.

Ejemplo 1.1 Tomemos v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (−1,−1, 1/2, 3), v3 = (1, 2) y v4 =

1234

.

De acuerdo a la definicion 1.2 tenemos:

v1 + v2 = (1, 2, 3, 4) + (−1,−1, 1/2, 3) = (1 + (−1), 2 + (−1), 3 + 1/2, 4 + 3) = (0, 1, 7/2, 7).

Notese que, segun la definicion 1.2, las operaciones v1 + v3, v1 + v4, v2 + v3, v2 + v4, v3 + v4, nopueden llevarse a cabo.

Sin embargo, si tomamos como escalar real α = 8/5, se obtiene

αv1 = (8/5)(1, 2, 3, 4) = ((8/5)(1), (8/5)(2), (8/5)(3), (8/5)(4)) = (8/5, 16/5, 24/5, 32/5)

αv2 =8

5(−1,−1, 1/2, 3) =

(8

5(−1), 8

5(−1), 8

5

(1

2

),8

5(3)

)=

(−8

5,−8

5,4

5,24

5

)

αv4 = (8/5)

1234

=

1(8/5)2(8/5)3(8/5)4(8/5)

=

8/516/524/532/5

.


Si escribimos (Rn,+, ·), donde + y · denotan respectivamente la suma de dos vectores en Rn y lamultiplicacion de un vector por un escalar en R, decimos que (Rn,+, ·) es un espacio vectorialsobre el campo R.

El concepto de espacio vectorial sobre un campo K involucra no solamente a (Rn,+, ·). En launidad V de este curso estudiaremos otros espacios vectoriales y sus propiedades.

1.2. Interpretacion geometrica de las operaciones con vectores

La suma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar real tienen una interpretaciongeometrica.

Consideremos, por ejemplo, los vectores en R2 dados por u = (2, 3) y v = (5, 2). La suma u + ves el vector (7, 5) que corresponde a la diagonal de un paralelogramo cuyos lados son los vectoresu y v y sus correspondientes traslaciones, como se ve en la siguiente figura.

En cuanto a la multiplicacion por un escalar real, esta refleja el vector (cuando el escalar es nega-tivo) y modifica su longitud. Si el escalar tiene valor absoluto mayor a uno, el vector aumenta de

1.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS OPERACIONES CON VECTORES 9

tamano, mientras que si el escalar tiene valor absoluto menor a 1, el vector se reduce. Un ejemplode esto se observa en la siguiente figura, en la que tomamos el vector u = (2, 3) y lo multiplicamospor α = −1/2.

Sea x ∈ R. Denotaremos al vector xn ∈ Rn como el vector de tamano n cuyas entradas son todasiguales a x.

Ejemplo 1.2 Tenemos que

π3 = (π, π, π), 04 = (0, 0, 0, 0),2

31

=2

3, 2.73 = (2.7, 2.7, 2.7).

En Rn existe el concepto de inverso aditivo de un vector. Para definirlo, recordemos que si x ∈ R,entonces el inverso aditivo de x es el numero y tal que x + y = 0. En R, dicho inverso aditivo sesimboliza como −x.

Por ejemplo, el inverso aditivo de 2 es −2 y el inverso aditivo de −3 es 3. Con base en esto, siv ∈ Rn, definimos el inverso aditivo de v, denotado como −v, como aquel vector en Rn tal quev + (−v) = 0n.

Ejemplo 1.3 Si u = (2,−1,−2π,√3), tenemos que −u = (−2, 1, 2π,−

√3).


Se puede verificar que si v ∈ Rn, entonces su inverso aditivo satisface la igualdad −v = (−1)v.

Con base en lo anterior, si u, v ∈ Rn, definimos la resta o diferencia de u y v, denotada por u− v,como u− v = u+ (−v) = u+ (−1)v.

1.3. Producto interno de vectores

Sea u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn. Definimos el vector transpuesto de u como el vector columna

uT =

u1u2...un

.

Es decir, si u es un vector fila, su vector transpuesto uT es simplemente el vector columna con lasmismas entradas del vector original.

Analogamente, si u es un vector columna, su vector transpuesto uT es el vector fila con las mismasentradas.

Ejemplo 1.4 Si consideramos los vectores u = (−1, 2,−7) y v =

5584π

, tenemos que

uT =

−12−7

, vT = (5, 5, 84, π).

Definimos ahora un tipo de producto de vectores que sera de utilidad.

Definicion 1.3 Tomemos dos vectores fila u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn. Defi-nimos el producto interno (producto escalar o producto punto) de u, v, denotado por < u, v >,como

< u, v >:= uvT = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn =n∑j=1

ujvj.

Puede notarse de la definicion anterior que el producto interno de dos vectores en Rn es, simple-mente, el resultado de multiplicar cada entrada del primer vector por la correspondiente entradadel segundo vector y despues sumar cada resultado obtenido.

Ejemplo 1.5 Si tenemos u = (−1,−2, 0, 4), v = (2, 3,−1,−2), entonces

< u, v >= (−1)(2) + (−2)(3) + 0(−1) + 4(−2) = −2− 6− 8 = −16.

El producto interno de u, v tambien se llama producto escalar de u, v, ya que su resultado esjustamente un escalar real.

El producto interno de dos vectores cumple las siguientes propiedades:

1.3. PRODUCTO INTERNO DE VECTORES 11

1. < u, v >=< v, u >,

2. < u, 0n >= 0.

3. < u, v + w >=< u, v > + < u,w >.

4. Si α es un escalar real, < αu, v >= α < u, v >.

Ejemplo 1.6 Tomemos u = (1, 1,−1), v = (0,−2, 1), w = (3, 0, 0). Calcularemos < u, v > + <5u, 7w > −16(−2 < w, 03 > + < v, u >).

La idea de este ejemplo es utilizar las propiedades del producto interno. Para ello, primero nota-mos que, por definicion de producto interno,

< u, v >= 1(0) + 1(−2) + (−1)(1) = −3.

Por otro lado tenemos

< 5u, 7w > = 5 < u, 7w > (por la propiedad 4 de producto interno)= 5 < 7w, u > (por la propiedad 1 del producto interno)= 5(7) < w, u > (por la propiedad 4 de producto interno)= 5(7)(3(1) + 0(1) + 0(−1)) (por definicion de producto interno)= 35(3) (simplificando)= 105.

Por la propiedad 2 de producto interno, < w, 03 >= 0 y por la propiedad 1 < v, u >=< u, v >=−3.

Sustituyendo todos estos valores obtenemos

< u, v > + < 5u, 7w > −16(−2 < w, 03 > + < v, u >) = −3 + 105− 16(0 + (−3))= 102− 16(−3) = 102 + 48 = 150.

Con base en el producto interno podemos definir la norma o longitud de un vector en Rn. Dichanorma o longitud se denota como ||u|| y se define como ||u|| = √< u, u >.

Puede notarse que si u = (u1, u2, . . . , un), entonces ||u|| =√u21 + u22 + · · ·+ u2n. Es decir, la

norma de un vector en Rn coincide con la distancia euclideana entre el punto (u1, u2, . . . , un) yel origen en Rn.

Ejemplo 1.7 La norma del vector u =(−√7,−2, 3,

√8)

esta dada por

||u|| =√(−√7)2 + (−2)2 + 32 + (

√8)2 =

√7 + 4 + 9 + 8 =

√28 =

√4(7) = 2

√7.

La norma de un vector en Rn cumple las siguientes propiedades:

1. ||u|| = 0 si y solo si u = 0n.

2. ||u|| ≥ 0 para todo vector u ∈ Rn y para cualquier n ∈ N.


3. ||αu|| = |α|||u|| para todo escalar real α.

Existen vectores u ∈ Rn tales que ||u|| = 1. Estos vectores los llamaremos vectores unitarios onormales.

Los siguientes son algunos ejemplos de este tipo de vectores: u =√22(0, 1, 1/2,−1/2,

√2/2),

v = (1, 0, 0), w = (1/√3,−1/

√3, 1/√3).

Concluimos esta seccion con las siguientes definiciones:

Si u, v ∈ Rn, diremos que u y v son ortogonales si < u, v >= 0. Esta relacion se denotara comou⊥v.

Ejemplo 1.8 Consideremos u = (1,−1, 2), v = (0, 2,−1) y w = (0, 2, 1). Tenemos que

< u,w > = 1(0) + (−1)(2) + 2(1) = 0− 2 + 2 = 0

< u, v > = 1(0) + (−1)(2) + 2(−1) = 0− 2− 2 = −4< v,w > = 0(0) + 2(2) + (−1)(1) = 0 + 4− 1 = 3.

Lo anterior nos dice que u ⊥ w, u 6⊥ v y v 6⊥ w.

Si u ⊥ v y u, v son ambos unitarios (normales), diremos que u, v son ortonormales.

1.4. Direccion de un vector en R2 y angulo entre vectores

La norma de un vector, definida en la seccion anterior, representa la longitud de dicho vector.Ademas de dicha cantidad, es de interes conocer en que direccion apunta un vector. Este conceptoes de gran interes por sus aplicaciones, por ejemplo, en fısica y en computacion.

Empecemos por definir a que llamaremos direccion de un vector.

Definicion 1.4 Sea u = (u1, u2) ∈ R2. Definimos la direccion de u como el angulo θ formadoentre el vector y el lado positivo del eje x.

Ejemplo 1.9 En la siguiente grafica se presentan los vectores (3, 5) (rojo), (−4, 3) (azul), (5/2,−2)(verde) y (−4,−9/2) (morado). Vamos a calcular la direccion θ de cada uno de estos vectores.

1.4. DIRECCION DE UN VECTOR EN R2 Y ANGULO ENTRE VECTORES 13

Para (3, 5), podemos calcular tanθ utilizando un triangulo rectangulo formado por el vector y eleje x. Dicho triangulo rectangulo tiene como cateto adyacente a θ el lado que mide 3 unidades ycomo cateto opuesto aquel que mide 5 unidades. Se sigue que

tanθ =5

3⇔ θ = tan−1

(5

3

)= 59.03624◦.

Para (−4,−9/2), el angulo que nos interesa es 180◦ sumado con el angulo que forman la partenegativa del eje x y el vector (−4,−9/2). Dicho angulo, al que llamaremos θ1, puede calcularseutilizando la relacion θ1 = tan−1

(9/24

).

De esto obtenemos que θ1 = 48.36646◦ y por lo tanto θ = 180◦ + θ1 = 228.3665◦.

Para calcular θ en el caso del vector (5/2,−2), utilizamos la relacion θ1 = tan−1(

25/2

). De esto

obtenemos θ1 = 38.65981 y por lo tanto θ = 360◦ − θ1 = 321.3402◦.

Finalmente, para hallar θ en el caso de (−4, 3), podemos calcular θ1 = tan−1(34

)= 36.8699,

que es el angulo formado por la negativa del eje x y el vector de interes. De esto obtenemos queθ = 180◦ − 36.8699◦ = 143.1301◦.

En R, la siguiente funcion puede ser utilizada para calcular tan−1θ en grados:

rad2deg <- function(rad) {(rad * 180) / (pi)}rad2deg(atan2(y,x)) #x,y>0


Con base en el ejemplo anterior podemos hablar de otra cantidad de interes, que es el angulo entredos vectores. Este angulo puede calcularse ahora que hemos visto las definiciones de productointerno entre dos vectores y norma de un vector.

Si u, v ∈ Rn y β es el angulo entreo u y v, tenemos que β satisface la relacion

cos β =< u, v >

||u||||v||, 0 ≤ β ≤ 180 (1.4.1)

Ejemplo 1.10 Utilizando los vectores del ejemplo anterior, calculemos el correspondiente anguloentre ellos.

Debido a la formula (1.4.1), sera necesario calcular las normas de cada vector. Tenemos entonces:

||(3, 5)|| =√34, ||(−4, 3)|| = 5, ||(5/2,−2)|| =

√41

2, ||(−4,−9/2)|| =

√145

2.

Ahora, para calcular el angulo entre (3, 5) y (−4, 3):

cosβ =< (3, 5), (−4, 3) >√

34(5)=−12 + 15

5√34

=3

5√34.

Por lo tanto β = cos−1(

35√34

)= 84.09386.

Para el angulo entre (3, 5) y (−4,−9/2):

cosβ =< (3, 5), (−4,−9/2) >

√34√1452

=−24− 45√

9280=−69√4930

.

Se sigue que β = cos−1(−69√4930

)= 169.3302◦.

El resto de los casos se dejan como ejercicio.

Veamos un pequeno ejemplo de aplicacion de los vectores en R2.

Ejemplo 1.11 Se cuenta con mediciones de concentracion de aluminio y arsenico en 50 muestrasde agua. Cada medicion se ha colocado en un vector (Al,Ar). Se grafican conjuntamente estoscinco vectores:

1.5. EJERCICIOS 15

Como metodo exploratorio, la grafica permite observar que las 50 mediciones de agua no provie-nen de la misma region, ya que se observa que para algunas de estas mediciones, las concentra-ciones de aluminio y arsenico son mas bajas que para el resto de las mediciones.

Este tipo de estudio es muy comun en estadıstica, en casos en los que se desea saber si dos muestrassobre algun fenomeno corresponden o no a la misma poblacion.

1.5. Ejercicios

1. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas indicadas y grafique cada vector y su sumaen hojas cuadriculadas. Calcule ademas la norma y direccion de los vectores u, v y u + v ycalcule el angulo entre u y v en cada caso.

a) u = (−7, 4), v = (−3/5, 4/6)b) u = (−1,−5, 4), v = (−3/5, 5/6)c) u = (7,−1), v = (−3/5, 4/6)d) u = (5, 8), v = (−1/5, 4/6)

2. Determine cuales de las siguientes parejas de vectores son ortogonales. En cada caso, calculeel angulo entre las parejas de vectores.


a) u = (1, 3), v = (3,−1)b) u = (5, 1, 0, 2), v = (−3, 7, 9, 4)c) u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1)

d) u = (1, 1,−1), v = (1, 0, 1)

3. Halle todos los vectores diferentes del vector nulo que son ortogonales a cada uno de lossiguientes vectores.

a) (5, 1)

b) (5, 1,−1)c) (7,−1)d) (1,−2, 3)

Capıtulo 2

Matrices con entradas en R

Sean m,n ∈ N. Denotamos por {a11, a12, a13, . . . , a1n} un conjunto de n numeros reales (no nece-sariamente distintos). De igual forma, podemos tomar un segundo conjunto de n numeros reales,no necesariamente igual al anterior, escribiendo {a21, a22, a23, . . . , a2n}. En general, podemos to-mar m colecciones de numeros reales:

{a11, a12, a13, . . . , a1n}, {a21, a22, a23, . . . , a2n}, . . . , {am1, am2, am3, . . . , amn}.Para simplificar la escritura, diremos que tenemos m colecciones de numeros reales, denotadaspor {aj1, aj2, aj3, . . . , ajn}, donde j es un numero que representa el numero de la coleccion denumeros reales y, por lo tanto, j toma valores en el conjunto {1, 2, . . . ,m}.El k-esimo numero de la coleccion j lo denotamos como ajk.

Ejemplo 2.1 Tres colecciones (m = 3) compuestas cada una por dos numeros reales (n = 2)pueden ser {1, 2}, {1.5,−3} y {π,

√2}. En este caso tenemos:

a11 = 1, a12 = 2, a21 = 1.5, a22 = −3, a31 = π, a32 =√2.

Con base en lo anterior podemos definir el principal objeto matematico con el que trabaremos enlas unidades siguientes del curso

Definicion 2.1 Sean m,n ∈ N y tomemos m conjuntos de n numeros reales (cualesquiera), deno-tados por {aj1, aj2, aj3, . . . , ajn}, j = 1, 2, . . . ,m. Colocamos estos conjuntos de numeros realesen un arreglo rectangular, denotado por A y definido como

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...... . . . ...

am1 am2 . . . amn

.

Este arreglo lo llamamos matriz de m filas y n columnas, o simplemente matriz de tamano m×n,con entradas en R.

Los m conjuntos de numeros reales, {aj1, aj2, aj3, . . . , ajn}, representan las filas de la matriz A,mientras que los n conjuntos dados por {a1k, a2k, a3k, . . . , amk}, k = 1, 2, . . . , n, representan lascolumnas de A.

El termino “entradas en R”se refiere a los numeros reales ajk que forman la matriz A.

17

18 CAPITULO 2. MATRICES CON ENTRADAS EN R

Notacion 2.1 En ocasiones nos referiremos a la matriz A utilizando la notacion

A = (ajk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}.

Esta notacion se lee como “A es la matriz con entradas (denotadas por) ajk que consta de m filasy n columnas.

Los siguientes casos particulares de la Definicion 2.1 seran usados durante el curso.

Definicion 2.2 Sea A una matriz de tamano m× n con entradas en R.

1. Si m = n y n > 1, diremos que A es una matriz cuadrada de tamano n, con entradas en R.

2. Si m = 1 y n > 1, diremos que A es un vector fila de tamano n, con entradas en R.

3. Si n = 1 y m > 1, diremos que A es un vector columna de tamano m, con entradas en R.

4. El caso m = 1 = n corresponde simplemente a un numero real, al que llamaremos escalarreal.

Ejemplo 2.2 En los siguientes arreglos de numeros reales

A =

(1 2 −3 1.102

−5× 108 2 0 π

), B =

(1, 2, −3, 1.102

), C =

1.05π√5

,

A es una matriz de tamano 2 × 4, B es un vector fila de tamano 4 y C es un vector columna detamano 3, todos con entradas en R.

Cabe mencionar que el termino “vector”lo hemos usado segun la definicion geometrica de vectorque aparece en fısica. Sin embargo, cuando veamos la teorıa de espacios vectoriales, la palabra“vector”sera utilizada en un contexto mas general (que incluye, como caso particular, el caso de laDefinicion 2.2).

2.1. Operaciones con matrices

En adelante, todas las matrices las denotaremos con letras mayusculas y los vectores (fila y colum-na) con letras minusculas.

Definicion 2.3 Para m,n ∈ N con m,n > 1, denotaremos por Mm×n(R) al conjunto de todas lasmatrices de tamano m× n cuyas entradas son numeros reales.

Nota 2.1 En general las entradas de una matriz pueden no ser numeros reales. Por ejemplo, di-chas entradas podrıan ser numeros complejos, letras o elementos abstractos que cumplan ciertaspropiedades (como se vera a partir de la unidad 6). Se suele escribir Mm×n(A) para referirse alas matrices de tamano m× n cuyas entradas son elementos del conjunto A.

Durante las primeras dos unidades del curso nos enfocaremos solamente en el conjuntoMm×n(R).

2.1. OPERACIONES CON MATRICES 19

La siguiente definicion es, de algun modo, evidente, pero es conveniente presentarla de maneraformal.

Definicion 2.4 Sean A,B dos matrices. Diremos que A = B si ambas A y B tienen el mismotamano (digamos m× n) y si ajk = bjk para j = 1, 2, . . . ,m y k = 1, 2, . . . , n.

Ası como en el conjunto de todos los numeros reales se puede hablar de operaciones de suma ymultiplicacion, cuando trabajamos con matrices tambien es posible hablar de ciertas operaciones desuma y multiplicacion. En esta seccion definiremos las operaciones estandar con matrices. Estetermino (operaciones estandar) sera utilizado mas adelante en la seccion sobre espacios vectoriales,por lo que se recomienda tenerlo muy presente.

Definicion 2.5 (Suma de matrices). Sean A,B dos matrices de tamano m × n (sean A,B ∈Mm×n(R)) dadas por

A = (ajk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}, B = (bjk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}.

Definimos la suma estandar (o simplemente suma) de A y B, denotada por A+B, como la matrizde m× n dada por

A+B = (ajk + bjk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}.

Aunque la definicion anterior puede parecer complicada, ella nos dice que la suma de dos matricesA,B del mismo tamano es simplemente la matriz cuyas entradas son las sumas de las correspon-dientes entradas de A y B, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3 Sean A,B ∈M2×2 dadas por

A =

(1 23 4

), B =

(5 1−1 10

).

La suma de ellas es la matriz A + B que se obtiene sumando entrada por entrada. Es decir, laentrada en la fila 1-columna 1 de A + B es el resultado de sumar la entrada en la fila 1-columna1 de A con la entrada en la fila 1-columna 1 de B, la entrada en la fila 1-columna 2 de A + B seobtiene al sumar la entrada en la fila 1-columna 2 de A con la entrada en la fila 1-columna 2 deB y ası sucesivamente. En sımbolos tenemos:

A+B =

(1 23 4

)+

(5 1−1 10

)=

(1 + 5 2 + 13− 1 4 + 10

)=

(6 32 14

).

Es importante recalcar que en la definicion de la suma estandar de matrices, el requisito de queambas sean del mismo tamano es indispensable. Por ejemplo, si tuvieramos las matrices

A =

(1 23 4

), B =

(5 1 0−1 10 2

),

dado que ellas son de tamanos 2 × 2 y 2 × 3, nuestra definicion de suma no puede aplicarse.Veamos ahora otra operacion importante que involucra matrices, no sin antes recordar que, segunla Definicion 2.2, un escalar real es simplemente un numero real.


Definicion 2.6 (Multiplicacion de un escalar por una matriz). Sea α ∈ R un escalar real yA ∈ Mm×n(R) una matriz de tamano m × n dada por A = (ajk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}. Definimosel producto (o multiplicacion) αA como la matriz con entradas αA = (αajk)j∈{1,...,m},k∈{1,...,n}. Esdecir, αA es la matriz obtenida al multiplicar cada entrada de A por el escalar α.

Ejemplo 2.4 Consideremos la matriz

A =

(1 23 4

)y el escalar α = 1/2. En este caso:

αA =1

2A =

12(1) 1

2(2)

12(3) 1

2(4)

=

12

1

32

2

.

Nuestro siguiente objetivo es definir el producto de dos matrices. Para ello notemos lo siguiente:

Si A es una matriz de tamano m× n con entradas (ajk), ella puede escribirse como

A = (a∗1, a∗2, . . . , a∗n) =

a1∗a2∗

...am∗

,

donde a∗k =

a1ka2k

...amk

y aj∗ = (aj1, aj2, . . . , ajn). Es decir, A puede representarse en terminos

de vectores fila y tambien en terminos de vectores columna.

Ejemplo 2.5 Escribamos la matriz

A =

1 2 3 −4−3 −1 6 22 0 1 1

como un arreglo de vectores fila y posteriormente como un arreglo de vectores columna. En cadacaso, solo tenemos que determinar quienes son los vectores aj∗ y a∗k. Los primeros son simplemen-te los vectores formados por las filas de A, mientras que los segundos son los vectores formadospor las columnas de A. En este caso tenemos:

a∗1 =

1−32

, a∗2 =

2−10

, a∗3 =

361

, a∗4 =

−421

a1∗ = (1, 2, 3,−4), a2∗ = (−3,−1, 6, 2), a3∗ = (2, 0, 1, 1).

Por lo tanto:

A =

a1∗a2∗a3∗

= (a∗1, a∗2, a∗3, a∗4).

2.1. OPERACIONES CON MATRICES 21

Con base en lo anterior y las observaciones hechas, definimos a continuacion el producto de dosmatrices.

Definicion 2.7 Sean A,B dos matrices tales que A es de tamano m× n y B es de tamano n× k(es decir: el numero de columnas de A y el numero de filas de B coinciden). Escribimos A comoun arreglo de vectores fila de tamano n y B como un arreglo de vectores columna de tamano n, demodo que:

A =

a1∗a2∗

...am∗

, B = (b∗1, b∗2, . . . , b∗k).

Definimos ahora el producto de A y B, denotado por AB, como la matriz de m× k dada por

AB =

< a1∗, b

T∗1 > < a1∗, b

T∗2 > . . . < a1∗, b

T∗k >

< a2∗, bT∗1 > < a2∗, b

T∗2 > . . . < a2∗, b

T∗k >

...... . . . ...

< am∗, bT∗1 > < am∗, b

T∗2 > . . . < am∗, b

T∗k >

Nota 2.2 Observando la Definicion 2.7 podemos notar que la condicion de que el numero decolumnas de A coincida con el numero de filas de B permite la multiplicacion de los vectoresaj∗b∗k. Sin esta condicion, el producto definido anteriormente no serıa posible.

Ejemplo 2.6 Consideremos las matrices

A =

(1 3 12 0 1

), B =

2 −1 0 13 0 1 11 −1 0 −1

.

El numero de columnas de A es 3, al igual que el numero de filas de B. Tenemos entonces unproducto de matrices con el siguiente diagrama:

A

2× 3B

3× 4.

El resultado sera una matriz con el mismo numero de filas de A (2, en este caso) y el mismonumero de columnas de B (4, en este caso), es decir, AB sera una matriz de tamano 2× 4. Ahora,utilizando la Definicion 2.7 obtenemos:

AB =

(1, 3, 1)

231

(1, 3, 1)

−10−1

(1, 3, 1)

010

(1, 3, 1)

11−1

(2, 0, 1)

231

(2, 0, 1)

−10−1

(2, 0, 1)

010

(2, 0, 1)

11−1

=

(1(2) + 3(3) + 1(1) 1(−1) + 3(0) + 1(−1) 1(0) + 3(1) + 1(0) 1(1) + 3(1) + 1(−1)2(2) + 0(3) + 1(1) 2(−1) + 0(0) + 1(−1) 2(0) + 0(1) + 1(0) 2(1) + 0(1) + 1(−1)

)=

(12 −2 3 35 −3 0 1

)


Recordemos que al multiplicar dos numeros reales a, b, el orden en que se efectue el producto noaltera el resultado. Es decir, se cumple que ab = ba (el producto es conmutativo). En el caso delproducto de matrices si A es de tamano m × n y B es de tamano n × k con k 6= m, el productoAB esta definido pero el producto BA no lo esta. Por otro lado, si ahora suponemos que A es detamano m × n y B es de tamano n ×m, con m 6= n, entonces ambos productos AB y BA estandefinidos, pero el primero resulta en una matriz de m×m y el segundo en una matriz de n×n queno son iguales debido a que sus tamanos no son iguales.

Finalmente, en el siguiente ejemplo vemos que, aun si A,B son ambas matrices cuadradas delmismo tamano, los productos AB y BA no necesariamente son iguales.

Ejemplo 2.7 Supongamos que A =

(1 23 4

)y B =

(2 11 1

). En este caso tenemos que

AB =

(4 310 7

)y BA =

(5 84 6

),

por lo que notamos que AB 6= BA.

Con base en lo anterior, notamos que no se cumple que AB = BA para cualquier pareja de ma-trices A,B. Es decir, a diferencia del producto de dos numeros reales, el producto de dos matricesno es conmutativo. No obstante, la suma y producto de matrices definidas en esta seccion, al igualque la multiplicacion de un escalar por una matriz, cumplen varias propiedades importantes, lascuales se enlistan a continuacion:

Propiedades 2.1 Si A,B,C son matrices de tamanos respectivos m×n, n×k y n×k y α, β ∈ Rson escalares reales, se cumple que

1. B + C = C +B (conmutatividad de la suma de matrices)

2. A(B + C) = AB + AC (ley distribuitiva del producto de matrices)

3. Si D ∈Mk×l entonces A(BD) = (AB)D (asociatividad del producto de matrices)

4. α(B + C) = αB + αC (ley distribuitiva del producto de un escalar y una suma de dosmatrices)

5. (α + β)A = αA+ βA (ley distributiva de la multiplicacion de escalares por matrices)

6. αAB = (αA)B = A(αB) (asociatividad entre el producto de un escalar y el producto dedos matrices)

7. Si D ∈Mk×l(R): ABC = A(BC) = (AB)C (ley distributiva del producto de matrices).

2.2. Aplicaciones

2.2.1. Computacion

Las matrices y vectores son altamente utilizados en algoritmos computacionales. En el ejemploque veremos, supondremos que se desea generar un algoritmo computacional para determinar lanota final de los estudiantes de cierto curso (por ejemplo, un curso de algebra lineal).

2.2. APLICACIONES 23

Las condiciones para obtener la nota final son las siguientes: hay cuatro tareas y cuatro examenesparciales que valen, respectivamente, un 40 y un 60 % de la nota final. El primer parcial vale 10 %de la nota final, el segundo vale un 15 %, el tercero vale 20 % y el cuarto vale 15 %.

Vamos a modelar la nota en los examenes parciales utilizando vectores y matrices.

Sea ~x = (x1, x2, x3, x4)T el vector columna cuyas entradas representan la calificacion obtenida por

un estudiante en cada uno de los parciales del curso. Consideremos la matriz:

C =

0.10 0 0 0

0 0.15 0 00 0 0.20 00 0 0 0.15

.

Notemos que C~x = (0.10x1, 0.15x2, 0.20x3, 0.15x4)T . Es decir, el vector C~x contiene, en sus en-

tradas, los porcentajes (de un total de 60 %) obtenidos por un estudiante al presentar los examenesparciales del curso en cuestion. Si denotamos por~14 al vector (1, 1, 1, 1), tenemos que el porcentajetotal de un estudiante, correspondiente a los cuatro examenes parciales, se puede obtener mediantela multiplicacion ~1C~x, de modo que la nota final y se modela como

y = 0.4T +~1C~x,

donde T es el promedio de las tareas del estudiante en cuestion.

En programacion, esta representacion resulta sumamente util, ya que se puede programar una fun-cion cuyas variables sean justamente T, x1, x2, x3, x4, de modo que al asignarle valores a estasvariables, la funcion devuelva la cantidad de interes (la nota final de cada estudiante, en este caso).

Un codigo en R para este programa es el siguiente:

calificacion=function(a,b,c,d,T){C=matrix(0,4,4)C[1,1]=0.1C[2,2]=0.15C[3,3]=0.2C[4,4]=0.15

v=c(a,b,c,d)v=t(t(v))

u=matrix(1,1,4)Nota=.4*T+u%*%C%*%vreturn(Nota)}

2.2.2. Teorıa de grafos

Consideremos los siguientes grafos:


Este tipo de estructuras matematicas pueden utilizarse en modelos de redes. Por ejemplo, puedenutilizarse para representar la relacion entre usuarios de redes sociales, circuitos electricos, entreotros.

Cuando es necesario introducir estos grafos en una computadora para realizar algun tipo de estudio,es util codificarlos vıa su matriz de adyacencia.

Dicha matriz se construye de la siguiente manera: tomemos el conjunto de vertices del grafo,denotado por V = {v1, v2, . . . , vn}. Armamos una matriz de la siguiente manera:

1.v1 v2 . . . vn

v1 [] [] . . . []v2 [] [] . . . []... [] [] . . . []vn [] [] . . . []

2. En cada entrada marcada con [] escribiremos un 1 si la pareja de vertices vj, vk estan unidaspor una arista. De otro modo escribiremos un cero.

Para el grafo A tenemos VA = {a, b, c, d, e, f} y notamos que los vertices unidos por aristas son(a, b), (b, e), (c, d) y (d, f).

Supondremos que este grafo es no dirigido. Es decir, la pareja (a, b) es la misma que la pareja(b, a). Esto nos genera la siguiente matriz de adyacencia:

a b c d e fa 0 1 0 0 0 0b 1 0 0 0 1 0c 0 0 0 1 0 0d 0 0 1 0 0 1e 0 1 0 0 0 0f 0 0 0 1 0 0

En el caso del grafo B, tenemos VB = {1, 2, 3, 4, 5} y las parejas de vertices unidas por una aristason (1, 2), (2, 3), (2, 4), (4, 5) y (5, 5) (B tiene un lazo en el vertice 5). Sin embargo, en este casotenemos que 1 esta unido con 2 (en direccion de 1 a 2) pero la pareja unida en la direccion contrariano aparece. Por lo tanto, la correspondiente matriz de adyacencia es:


1 2 3 4 51 0 1 0 0 02 0 0 1 1 03 0 1 0 1 04 0 1 1 0 15 0 0 0 1 1

2.2.3. Cadenas de Markov

Veamos un ejemplo de aplicacion del producto de matrices y vectores. En este caso nos sera util lasiguiente definicion.

Definicion 2.8 Sea A ∈ Mn×n(R). La potencia k-esima de A, denotada por Ak, es la matrizresultante de multiplicar la matriz A por sı misma un total de k veces.

Ejemplo 2.8 Si A =

(1 02 3

), tenemos que

A2 =

(1 02 3

)(1 02 3

)=

(1 08 9

),

A4 = AAAA = A2A2 =

(1 08 9

)(1 08 9

)=

(1 080 81

).

Supongamos que se observa una celula que puede encontrarse en dos posibles estados, por ejemplo,enferma o sana.

Denotemos por X el estado de la celula con la convencion de que 0 significa sana y 1 significaenferma.

Despues de aplicarle cierto tratamiento, la celula enferma se cura con probabilidad 0.7 o permaneceenferma con probabilidad 0.3. Si es una celula sana, con probabilidad 0.5 permanece sana y conprobabilidad 0.5 se enferma.

Estas probabilidades pueden escribirse en una matriz:

enferma sanaenferma 0.3 0.7

sana 0.5 0.5

1. El modelo utilizado para este fenomeno es un caso particular de una Cadena de Markov.

2. La matriz anterior se denomina “matriz de transicion” de la cadena, y representa la probabi-lidad de que, estando en un estado i (i = 0, 1) la cadena permanezca en ese estado o cambiea otro estado.

3. Notese que las filas de la matriz de transicion suman 1. Todas las matrices cuyas filas suman1 se llaman matrices estocasticas.


4. La matriz de transicion y la distribucion inicial caracterizan completamente a la cadena. (Ladistribucion inicial, en este ejemplo, es el vector π = (π0, π1) que representa la probabilidadde que la cadena empiece en el estado 0 o en el estado 1).

Una aplicacion del algebra lineal en este tipo de modelos consiste en lo siguiente:

1. Supongamos que tenemos una muestra de tejido con 20 celulas sanas y 5 enfermas.

2. El tratamiento utilizado en el ejemplo se aplica una cantidad n de veces y se desea estimarel numero de celulas sanas y el numero de celulas enfermas despues de estas n aplicacionesdel tratamiento.

Sea P la matriz de transicion de esta cadena. Por resultados sobre Cadenas de Markov, esto puedecalcularse de la siguiente manera:

1. Dado que las filas de la matriz representan el caso cuando la celula esta en el estado 1 (enferma,fila 1) o 0 (sana, fila 2), colocamos la cantidad de celulas en cada estado en un vector fila cuyaprimera entrada es el numero de celulas en el estado 1 y la segunda entrada es el numero de celulasen el estado 0:

v0 = (5, 20).

2. Si n = 1, la estimacion del numero de celulas en cada estado, dado por el vector v1, se obtienecon la multiplicacion v1 = v0P .

3. Si n = 2, el vector deseado (denotado por v2) se obtiene ahora como v2 = v1P = v0PP = v0 =P 2.

4. En general podemos obtener vn para cualquier n natural mediante la formula vn = v0Pn.

Suponiendo n = 10 obtenemos v10 = (10.41667, 14.58333) ≈ (10, 15).

2.3. Transpuesta e inversa de una matriz

Iniciamos esta seccion estudiando la matriz transpuesta de una matriz dada.

Definicion 2.9 Sea A ∈Mm×n(R) dada por

A = (a∗1, a∗2, . . . , a∗n) =

a1∗a2∗

...am∗

,

2.3. TRANSPUESTA E INVERSA DE UNA MATRIZ 27

donde a∗k son sus vectores columna y aj∗ son sus vectores fila. La matriz transpuesta de A, deno-tada por AT , se define como la matriz de n×m dada por

AT = (aT1∗, aT2∗, . . . , a

Tm∗) =

aT∗1aT∗2

...aT∗m

.

Ejemplo 2.9 Consideremos la matriz A =

1 23 45 6

. A pesar de que la definicion de AT con-

sidera la representacion de A como arreglo de vectores fila y tambien su representacion comovectores columna, basta utilizar solamente una de tales representaciones para calcular AT . Con-sideremos la representacion en vectores fila, de modo que

A =

(1, 2)(3, 4)(5, 6)

.

De este modo, AT esta dada por ((1, 2)T , (3, 4)T , (5, 6)T ), el cual es un arreglo de vectores colum-na. Transponiendo los vectores correspondientes obtenemos

AT =

( (12

),

(34

),

(56

) )=

(1 3 52 4 6

)La definicion de matriz transpuesta nos permite ver que la operacion de transponer una matrizconvierte las filas de la matriz dada en las columnas de la correspondiente matriz transpuesta.

Para matrices cuadradas A ∈ Mn×n(R), puede darse el caso en el que AT = A. Cuando estoocurra, diremos que la matriz A es simetrica.

Ejemplo 2.10 La matriz A =

(1 22 3

)es simetrica, pero la matriz B =

(1 2−2 3

)no lo es.

La transposicion de matrices cumple las siguientes propiedades.

Propiedades 2.2 Si A,B ∈Mm×n(R) y C ∈Mn×k(R), se cumple que

1.(AT)T

= A,

2. (AC)T = CTAT ,

3. (A+B)T = AT +BT ,

4. AAT es una matriz simetrica.

En R es posible definir los inversos multiplicativos de todos los reales distintos de cero. En elcaso de las matrices, el objeto matematico equivalente se denomina matriz inversa. Para hablarde matrices inversas es indispensable el siguiente tipo especial de matriz.


Definicion 2.10 Denotamos por In×n a la matriz cuadrada de tamano n cuyas entradas en ladiagonal son todas 1 y sus entradas fuera de la diagonal son todas cero. Es decir, In×n es la matrizcuadrada de tamano n dada por:

In×n =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

...... . . . ...

0 0 0 . . . 1

La matriz identidad satisface las siguientes propiedades.

Propiedades 2.3 Sean A ∈Mn×n(R), B ∈Mm×n(R) y C ∈Mn×k(R). Se cumple que

1. AIn×n = In×nA = A,

2. BIn×n = B y

3. In×nC = C

Ahora podemos definir el concepto de matriz inversa.

Definicion 2.11 Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que A es una matriz invertible (o ”no singular”) siexiste otra matriz, denotada por A−1, tal que AA−1 = A−1A = In×n.

En este caso, diremos que la matriz A−1 es la matriz inversa de A.

Si comparamos el conjunto de todas las matrices cuadradas de tamano n × n con el conjunto delos numeros reales, la matriz inversa de A ∈ Mn×n(R) (cuando esta existe) nos permite realizaralgo similar a un “despeje”, como en el caso de los numeros reales. Sin embargo, debe tenerse encuenta que este “despeje”solo es posible en algunos casos (cuando la matriz inversa existe). Laexistencia de matrices inversas sera el tema central de la siguiente seccion.

Ejemplo 2.11 Sean A ∈ Mn×n(R) y B ∈ Mn×m, donde A es no singular. Hallemos una matrizX ∈Mn×m tal que AX = B.

Por hipotesis A es no singular (existe A−1), por lo que podemos multiplicar ambos lados de laigualdad AX = B por A−1. Esto nos dara la matriz X buscada. Tenemos entonces:

AX = B ⇔ A−1AX = A−1B ⇔ In×nX = A−1B ⇔ X = A−1B.

Por lo tanto X = A−1B.

Propiedades 2.4 SeanA,B dos matrices tales que el productoAB existe. Entonces, las siguientespropiedades se cumplen:

1. Si A es cuadrada y no singular (o invertible) con inversa A−1, entonces (A−1)−1 = A.

2. Si A,B son ambas cuadradas e invertibles con inversas respectivas A−1 y B−1, entonces elproducto AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1.

2.4. INVERSA DE UNA MATRIZ (METODO DE GAUSS-JORDAN) 29

3. Si A es invertible, entonces AT es invertible y (AT )−1 = (A−1)T . Recıprocamente, si AT es

invertible con inversa B, entonces A es invertible con inversa BT .

Ejemplo 2.12 Sean A,B,X ∈Mn×n(R) tales que B y I − (A+B) son no singulares y

BTX −B =(XTB + A

)T(A+B) .

Hallaremos una formula para X en terminos de A y B.

El objetivo aquı es simplemente despejar X utilizando las listas de propiedades 2.1-2.43. Estedespeje es casi identico a lo que se hace en los numeros reales, con la condicion de que la primeraoperacion que debe efectuarse es la transposicion de matrices.

Con esto en mente, despejemos X:

BTX −B =(XTB + A

)T(A+B)

⇔ AX −B =[(XTB)T + A

][A+B] (propiedad 2.2.3)

⇔ AX −B =[BT (XT )T + A


⇔ AX −B =[BTX + A


⇔ AX −B = BTX(A+B) + A(A+B) (propiedad 2.1.2)

⇔ AX = BTX(A+B) + A2 + AB +B (propiedad 2.1.2 y suma de B en ambos lados)

⇔ BTX −BTX(A+B) = A2 + AB +B (resta de BTX(A+B) en ambos lados)

⇔ BT [X −X(A+B)] = A2 + AB +B (propiedad 2.1.2 aplicada a BT )

⇔ BT [XIn×n −X(A+B)] = A2 + AB +B (propiedad 2.3.1 aplicada a X)

⇔ BT [X (I − (A+B))] = A2 + AB +B (propiedad 2.1.2 aplicada a XIn×n −X(A+B)

⇔ BTX (I − (A+B)) = A2 + AB +B (propiedad 2.1.7)

⇔ BTX (I − (A+B)) (I − (A+B))−1 =(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1

(hipotesis sobre invertibilidad de (I − (A+B)))

⇔ BTXIn×n =(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1 (definicion de matriz inversa)

⇔ BTX =(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1 (propiedad 2.3.2)

⇔ (BT )−1BTX = (BT )−1(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1 (hipotesis sobre invertibilidad de B

y propiedad 2.4.3)

⇔ In×nX = (BT )−1(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1 (definicion de matriz inveresa).

⇔ In×nX = (BT )−1(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1 (propiedad 2.3.2).

De lo anterior obtenemos la formula deseada para X:

X = (BT )−1(A2 + AB +B

)(I − (A+B))−1

2.4. Inversa de una matriz (Metodo de Gauss-Jordan)

En esta seccion se presentara el Metodo de Gauss-Jordan para determinar la inversa de una ma-triz cuadrada. Dicho metodo hace uso de ciertas operaciones aplicables a las matrices, llamadasoperaciones elementales por renglon. Estas operaciones se definen a continuacion.


Definicion 2.12 Sea A ∈ Mm×n(R). Las siguientes operaciones, aplicadas a esta matriz A, lasllamaremos operaciones elementales por renglon:

1. Intercambio de dos renglones: En la matriz A tomamos los renglones i,j e intercambiamossu orden. Esta operacion se denota Ri ↔ Rj y genera otra matriz A1 cuyas entradas sonlas mismas que en A, pero con los renglones i,j intercambiados.

Ejemplo: 1 0 1 32 2 0 45 −1 4 6

R1↔R3−→

5 −1 4 62 2 0 41 0 1 3

.

2. Suma de un renglon y un multiplo de otro renglon: En esta operacion tomamos un renglonde la matriz A (digamos Rj) y lo reemplazamos por el resultado de sumarle, a este mismorenglon, un multiplo no nulo del renglon Rk (k 6= j). Esta operacion se denota como Rj →Rj + cRk.

Ejemplo: 1 0 1 32 2 0 45 −1 4 6

R2→R2+(−2)R3−→

1 0 1 32 + (−2)5 2 + (−2)(−1) 0 + (−2)4 4 + (−2)6

5 −1 4 6

=

1 0 1 3−8 4 −8 −125 −1 4 6

.

3. Cambio de un renglon por un multiplo de sı mismo: En esta operacion tomamos un renglonRj y lo multiplicamos por algun valor c 6= 0. Esta operacion se denota como Rj → cRj .

Ejemplo: 1 0 1 32 2 0 45 −1 4 6

R3→−(1/2)R3−→

1 0 1 32 2 0 4

5/2 1/2 −2 −3

.

Con base en la definicion anterior podemos ahora explicar el metodo de Gauss-Jordan para obtenerla inversa de una matriz cuadrada A. Supongamos A ∈ Mn×n(R) y sea In×n la correspondientematriz identidad. El metodo de Gauss-Jordan para obtener A−1 (cuando dicha inversa existe) con-siste en tomar la matriz aumentada A|In×n y aplicar operaciones elementales por renglon hastaobtener una matriz aumentada de la forma In×n|B. La matriz B resultante es la matriz inversa deA.

Ejemplo 2.13 ConsideremosA =

2 2 13 3 11 2 2

. HallaremosA−1 utilizando el metodo de Gauss-

Jordan.

Paso 1: escribimos la matriz aumentada A|In×n. En este caso n = 3, por lo que consideramos

A|I3×3 =

2 2 13 3 11 2 2

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1


Paso 2: aplicamos operaciones elementales por renglon a A|In×n hasta obtener algo de la formaI3×3|B. Lo recomendable es obtener primero el 1 y los ceros de la primera columna, despues el 1y los ceros de la segunda columna, etc.

Generamos el 1 en la entrada a11 : 2 2 13 3 11 2 2

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

R1→(1/2)R1−→

1 1 1/23 3 11 2 2

∣∣∣∣∣∣1/2 0 00 1 00 0 1

Generamos el 0 en la entrada a21 :

R2→R2−3R1−→

1 1 1/20 0 −1/21 2 2

∣∣∣∣∣∣1/2 0 0−3/2 1 0

0 0 1


R3→R3−R1−→

1 1 1/20 0 −1/20 1 3/2

∣∣∣∣∣∣1/2 0 0−3/2 1 0−1/2 0 1

Ahora deberıamos generar un 1 en la entrada a22. Sin embargo, notamos que la ultima operacionelemental aplicada a A|I3×3 nos dio como resultado un 0 en la entrada a22. Para poder generarel 1 que nos interesa debemos intercambiar el renglon 2 original por algun otro renglon j quecontenga valor distinto de cero en su entrada aj2. En este caso, la unica posibilidad es que j = 3:

R3↔R2−→

1 1 1/20 1 3/20 0 −1/2

∣∣∣∣∣∣1/2 0 0−1/2 0 1−3/2 1 0


R1→R1−R2−→

1 0 −10 1 3/20 0 −1/2

∣∣∣∣∣∣1 0 −1

−1/2 0 1−3/2 1 0


R3→−2R3−→

1 0 −10 1 3/20 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 −1

−1/2 0 13 −2 0

Generamos los ceros en las entradas a31 y a32 :

R2→R2−(3/2)R3−→

1 0 −10 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 −1−5 3 13 −2 0

R1→R1+R3−→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣4 −2 −1−5 3 13 −2 0

(2.4.1)


De lo anterior tenemos que A−1 =

4 −2 −1−5 3 13 −2 0

. Se deja como ejercicio verificar que,

efectivamente, se cumple que AA−1 = A−1A = I3×3.

En el ejemplo anterior podemos notar que la matriz A se transformo, mediante operaciones ele-mentales por renglon, en la matriz identidad de tamano 3. Esto no es casualidad y se debe a unarelacion llamada equivalencia por renglon entre la matriz A y la matriz I3×3.

Esta relacion, que definiremos formalmente a continuacion, nos permitira obtener un primer resul-tado para determinar cuando una matriz es invertible.

Definicion 2.13 Sean A,B ∈Mn×n(R).

1. Diremos que A y B son equivalentes por renglones (o que A es equivalente por renglo-nes a B, o al reves) si B se puede obtener aplicando (cualquier numero de) operacioneselementales por renglon en A.

2. Si A se obtiene a partir de In×n (o In×n se obtiene de A) mediante una y solamente unaoperacion elemental, diremos que A es una matriz elemental.

3. Para In×n y j 6= k, 1 ≤ j, k ≤ n, denotaremos por ERj→Rj+cRka la matriz resultante de

aplicar la operacion Rj → Rj + cRk a In×n.

4. Para c 6= 0, denotaremos por ERj→cRja la matriz resultante de aplicar la operacion Rj →

cRj a la matriz In×n.

5. Finalmente, denotaremos por ERj↔Rka la matriz resultante de aplicar la operacion Rj ↔

Rk a In×n.

Resultado 2.1 Todas las matrices elementales son invertibles y cumplen que:

1. E−1Rj↔Rk= ERj↔Rk

,

2. E−1Rj→Rj+cRk= ERj→Rj−cRk

y

3. E−1Rj→cRj= ERj→(1/c)Rj

.

Al multiplicar una matriz elemental E por una matriz A ∈ Mn×n(R) se obtiene justamente elmismo resultado que si en A se aplicara la operacion elemental que define a E. En el ejemplo2.13 tenemos que A se puede “transformar” en I3×3 mediante la aplicacion de las operacioneselementales descritas, lo cual es equivalente a escribir

I3×3 =

ER1→R1+R3ER2→R2−(3/2)R3ER3→−2R3ER1→R1−R2ER3↔R2ER3→R3−R1ER2→R2−3R1ER1→(1/2)R1A

Podemos notar que

A−1 =


ER1→R1+R3ER2→R2−(3/2)R3ER3→−2R3ER1→R1−R2ER3↔R2ER3→R3−R1ER2→R2−3R1ER1→(1/2)R1 ,

y ahora, aplicando la propiedad (AB)−1 = B−1A−1 varias veces en conjunto con el Resultado 2.1,obtenemos que

A =

ER1→2R1ER2→R2+3R1ER3→R3+R1ER3↔R2ER1→R1+R2ER3→(−1/2)R3ER2→R2+(3/2)R3ER1→R1−R3 .

De todo lo anterior podemos notar que:

A es invertible,

A es equivalente por renglones a I3×3,

A se puede escribir como el producto de matrices elementales.

Estas tres conclusiones se cumplen, en general, para cualquier matriz cuadrada segun el siguienteteorema.

Teorema 2.1 Sea A ∈ Mn×n(R). Las siguientes proposiciones son equivalentes (es decir: si unade ellas se cumple, todas las tras afirmaciones tambien se cumplen. De igual forma, si una de ellasno se cumple, todas las otras afirmaciones tampoco se cumplen).

1. A es invertible (no singular),

2. A es equivalente por renglones a In×n,

3. A se puede escribir como el producto de matrices elementales.

Ejemplo 2.14 Consideremos la matriz B =

1 0 32 1 12 0 6

. Mediante la operacion R3 → R3 −

2R1 obtenemos: 1 0 32 1 12 0 6

R3→R3−2R1−→

1 0 32 1 10 0 0

.

Dado que tenemos todo un renglon con ceros, no hay forma (ni siquiera intercambiando renglones)de hacer otras operaciones elementales en B de modo que obtengamos la matriz I3×3, por lo tantoB no es equivalente por renglones a I3×3. De esto, utilizando el Teorema 2.1 tenemos que, comola segunda afirmacion de dicho teorema no se cumple para B, entonces las afirmaciones restantes(de dicho teorema) tampoco se cumplen paraB, por lo que como caso particular podemos concluirque B no es invertible.

La situacion del ejemplo anterior se cumple en un contexto mas general.

Corolario 2.1 Sea A ∈Mn×n(R).


1. Si algun renglon o columna de A es el correspondiente vector ~0, entonces A no es invertible.

2. Si A es equivalente por renglones a una matriz con un renglon (o columna) igual al corres-pondiente vector ~0, entonces A es no invertible.

Ejemplo 2.15 Sea C =

2 1 −10 α −21 2 0

, donde α es un numero real no especificado. Hallemos

todos los valores de α tales que C es invertible.

Dado que en algun momento podrıamos requerir dividir entre α, debemos considerar por separadodos casos: cuando α = 0 y cuando α 6= 0. En el primer caso no podremos dividir entre α, peropodemos evitar dicha operacion ya que supondrıamos α = 0. En el segundo caso podemos dividirentre α sin problemas.

Caso 1 (α = 0). Tenemos: 2 1 −10 0 −21 2 0

R1→(1/2)R1−→

1 1/2 −1/20 0 −21 2 0

R3→R3−R1−→

1 1/2 −1/20 0 −20 3/2 1/2

R3↔R2−→

1 1/2 −1/20 3/2 1/20 0 −2

R2→(2/3)R2−→

1 1/2 −1/20 1 1/30 0 −2

R1→R1−(1/2)R2−→

1 0 −5/60 1 1/30 0 −2

R3→(−1/2)R3−→

1 0 −5/60 1 1/30 0 1

R1→R1+(5/6)R3−→

1 0 00 1 1/30 0 1

R2→R2−(1/3)R3−→

1 0 00 1 00 0 1

.

Concluimos que si α = 0, entonces C es invertible (segun el Teorema 2.1).

Caso 2 (α 6= 0). Repetimos las primeras dos operaciones elementales del caso anterior y obtene-


mos: 2 1 −10 0 −21 2 0

R1→(1/2)R1−→

1 1/2 −1/20 α −21 2 0

R3→R3−R1−→

1 1/2 −1/20 α −20 3/2 1/2

(2.4.2)

Como ahora sabemos que α 6= 0, podemos dividir todo el renglon 2 entre α y obtener el 1 en laentrada a22:

R2→(1/α)R2−→

1 1/2 −1/20 1 −2/α0 3/2 1/2

.

Se puede ver (y se deja como ejercicio al lector) que mediante la aplicacion de las operacionesR1 → R1 − (1/2)R2 y R3 → R3 − (3/2)R2 obtenemos la matriz 1 0 2−α

2α

0 1 −2/α0 0 α+6

2α

.

Fijandonos en el renglon 3 de esta ultima matriz, notamos que si α = −6, entonces todo el renglon3 constarıa de ceros y por el Corolario 2.1, parte 2, tendrıamos que C no es invertible. Por otrolado, si α /∈ {−6, 0}, entonces la entrada c33 sera algun numero real distinto de cero. En esteultimo caso (cuando α /∈ {−6, 0}) se puede ver que aplicando las operaciones R3 → 2α

α+6R3,

R2 → R2 + (2/α)R3 y R1 → R1 − 2−α2α

, la matriz vuelve a ser equivalente por renglones a I3×3.

Por este caso y el caso anterior, utilizando el Teorema 2.1, concluimos que C es invertible paracualquier α 6= −6.

Concluimos esta seccion con un resultado para matrices de 2× 2. Este resultado se extendera en elcapıtulo 2 para matrices cuadradas de cualquier tamano.

Teorema 2.2 Sea A ∈M2×2 dada por (aij)i,j=1,2. A es invertible si y solo si a11a22 − a12a21 6= 0.En este caso, tenemos que

A−1 =1

a11a22 − a12a21

(a22 −a12−a21 a11

).

Ejemplo 2.16 Por el teorema anterior, la matriz A =

(1 3−1 2

)es invertible, ya que a11a22 −

a12a21 = 1(2) − 3(−1) = 5 6= 0. Sin embargo, la matriz B =

(1 −1−1 1

)no es invertible ya

que a11a22 − a12a21 = 1(1)− (−1)(−1) = 1− 1 = 0.

Para la matriz A, nuevamente por el teorema anterior tenemos:

A−1 =1

5

(2 −31 1

)=

(2/5 −3/51/5 1/5

).


2.5. Aplicacion: Criptografıa

Veremos ahora un ejemplo de aplicacion de las matrices invertibles. Este ejemplo es una versionmas simple del metodo de codificacion de mensajes que puede encontrase en el libro AlgebraLineal con Aplicaciones de Gareth Williams.

Suponga que se desea encriptar (o codificar) un mensaje utilizando una matriz codificadora C. La

idea consiste en lo siguiente:

1. A cada letra se le asigna un numero segun su posicion en el abecedario (en este caso, no secuenta la doble “l”) y a los espacios en blanco se les asigna algun valor, por ejemplo 30.

2. Segun la longitud del mensaje, se elige como matriz codificadora una matriz C de tamanon× n e invertible.

3. Se escribe el mensaje de interes en una matriz M de n filas y tantas columnas como sulongitud lo permita.

4. El mensaje codificado sera el producto de las matrices C y M en ese orden (es decir, elmensaje codificado se leera en la matriz CM ).

Ejemplo: utilizando la matriz

C =

1 1 00 1 0.51 0 0.5

se desea codificar el mensaje “el examen sera difıcil”.

Si consideramos el abecedario, incluyendo la letra n, e ignoramos los acentos tenemos:

E l ∗ e x a m e n ∗ s e r a ∗ d i f i c i l5 12 30 5 25 1 13 5 15 30 20 5 19 1 30 4 9 6 9 3 9 12

Hay 22 caracteres en el mensaje y usaremos una matriz de 3 × 3. Escribimos el mensaje en unamatriz de 3× 8:

M =

5 12 30 5 25 1 13 515 30 20 5 19 1 30 49 6 9 3 9 12 30 30

Los espacios restantes para poder construir esta matriz se llenan con espacios en blanco (numero30).

El mensaje codificado sera CM :

CM =

20.0 42 50.0 10.0 44.0 2 43 919.5 33 24.5 6.5 23.5 7 45 199.5 15 34.5 6.5 29.5 7 28 20

2.6. EJERCICIOS 37

2.6. Ejercicios

1. Sea X ∈M3×3 una matriz invertible. Sea A =

1 2 30 4 50 0 6

y supongamos que

XAXT = I3×3.

Calcule XTX .

2. Encuentre una matriz invertible X ∈M2×2 tal que

X

(0 −10 −2

)=

(1 1

−1/2 1/2

)−X.

Compruebe que la matriz obtenida es invertible sin aplicar operaciones elementales.

3. Sea D ∈ M2×2(R) una matriz invertible. Sea E =

(1 20 1

)y supongamos que DTE =

12DT + I2×2. Halle explıcitamente D.

4. Sean A,B ∈ Mn×n(R) dos matrices invertibles con inversas respectivas A−1 y B−1. Engeneral, no se cumple que (A + B)−1 = A−1 + B−1. Verifique esto utilizando un contra-ejemplo. Sugerencia: considere n = 2 y encuentre dos matrices invertibles A y B tales que(A+B)−1 6= A−1 +B−1.

5. Considere la matriz

A =

(1 α−α 1

).

Justifique formalmente que esta matriz es invertible para cualquier valor α ∈ R y escriba aA como el producto de matrices elementales.

6. Determine formalmente si existe alguna matriz invertible X ∈M3×3 tal que

X

1 2 30 4 50 0 0

XT = I3×3.

7. Sea A =

1 −1 11 1 −1−1 −1 −1

. Halle explıcitamente un vector columna v y una matriz C ∈

M4×3 tales que

Av =

135

y CA =

1 1 −10 2 50 0 −21 0 −1

8. Sean A =

1 −1 11 1 −1−1 −1 −1

y B =

2 0 11 1 10 0 −3

.


a) Verifique que A y B son invertibles y halle explıcitamente A−1 y B−1.

b) Escriba a A y B como productos de matrices elementales.

c) Calcule (ABT )−1(1,−1, 0)T .

9. Determine los valores de α para los cuales existe la inversa de cada una de las siguientesmatrices (podrıa ser que la inversa no exista o no este definida, sin importar el valor de α):

A =

(1 −2 −15 α −3

), B =

3 0 10 −3 −6α 1 2

,

C =

0 0 10 1 0α 0 0

, D =

(α xα x

), x ∈ R.

10. Para la matriz C del ejercicio anterior ¿existe algun valor de α tal que C = C−1? Justifiquesu respuesta.

11. Considere las matrices:

A = I2×2, B =

(0 11 0

), C =

(0 1 21 0 0

).

a) Verifique que la matriz

D =√13[A+B(C + AC)CT

],

es invertible.

b) Halle explıcitamente el unico vector ~v = (v1, v2)T tal que D~v =

(√13/2,−2

√13/5

)T(D es la misma matriz del inciso anterior).

12. Considere las matrices

A =

(2 −2 −15 0 −3

), B =

2 0 10 −3 −65 1 2

, C =

0 0 10 1 02 0 0

.

Realice lo siguiente:

a) Determine si ABAT es invertible. En caso afirmativo, calcule su inversa y escriba aABAT y a su inversa como producto de matrices elementales.

b) Calcule√15A(B + C)T

c) Sea C1 el vector correspondiente a la primera columna de C. Calcule AC1.

d) Calcule [(AB + C∗(B + C))B3]T donde C∗ es la matriz que consta de las primeras

dos filas de C y B3 es el transpuesto del tercer vector fila de B.

13. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifiqueformalmente su respuesta.

a) Cualquier multiplo de una matriz invertible, distinto de la matriz nula, es invertible.

2.6. EJERCICIOS 39

b) Sea A ∈ Mn×n(R) con n ∈ {2, 3}. Si la suma de las columnas de A es el vector(columna) nulo de tamano n, entonces A no es invertible.

c) Sea A ∈ Mn×n(R) con n ∈ {2, 3}. Si la suma de las filas de A es el vector (fila) nulode tamano n, entonces A no es invertible.

d) Para todo n ∈ N, la matriz In satisface que Ikn = In para todo k = 1, 2, . . . .

14. Determine si las siguientes matrices son elementales o al menos equivalentes a la correspon-diente matriz identidad. Justifique formalmente su respuesta en cada caso.

A =

√2 0 0

0√5 0

0 0 1

, B =

√2 0 00 1 00 0 1

, C =

0 0 10 1 0√2 0 1

.

D =

1 0 00 1 00 −500 1

, E =

√2 1 20 1 00 0 1

, F =

1 0 10 1 00 0 1

.

Los siguientes cuatro ejercicios deberan realizarse utilizando el software R.

15. Oswaldo y Guillermo han desarrollado un ingenioso truco para intercambiar respuestas enun examen de biologıa, el cual consta de cinco preguntas de opcion multiple. Cada reactivotiene cuatro posibles opciones a, b, c y d. La idea es “codificar” mensajes del tipo “Respuestauno es a”, variando el numero de la pregunta (escrito con palabras) y la letra de la respuestacorrecta, segun sea el caso. Para ello han decidido utilizar la siguiente matriz de 5× 5:

C =

−10 25 35 27 280 1 0.5 0.2 0.11 1 0.5 7 01 1 1 1 12 −1 1 −2 0

.

La idea para codificar el mensaje consiste en lo siguiente

a) A cada letra se le asigna un numero segun su posicion en el abecedario (no se cuentanla n y la doble “l”) y a los espacios en blanco se les asigna el valor 30.

b) Debido a que se utilizara una matriz de 5× 5, se escribe el mensaje codificado en unamatriz M con cinco filas y tantas columnas como la extension del mensaje lo permita.Por ejemplo, el mensaje “Respuesta uno es a” tiene 18 caracteres contando los espaciosen blanco. Por lo tanto, se puede armar una matriz de 5 filas y 3 columnas. En la ultimafila, las entradas (5, 2) y (5, 3) se llenarıan con el numero 30 (espacios en blanco).

c) El mensaje codificado sera el producto de las matrices C y M en ese orden (es decir, elmensaje codificado se leera en la matriz CM ).

Con base en los criterios descritos, codifique el mensaje “Respuesta uno es a, respuesta doses c, respuesta cuatro es b y respuesta cinco es d”. Justifique tambien que la matriz C enefecto funciona como matriz codificadora. Nota: elija un valor apropiado para codificar la“coma”


16. Utilizando la misma matriz codificadora y los mismos criterios del ejercicio 2, descifre elmensaje encriptado en la siguiente matriz:

653.0 1176.0 1533.0 1507.08.8 18.1 17.1 37.874.5 55.5 224.0 146.029.0 65.0 55.0 84.0−4.0 39.0 −35.0 −6.0

17. Suponga que se observa cierto paıs, considerando las ciudades que lo integran, sus alrede-

dores y sus areas no metropolitanas. Las poblaciones al dıa de hoy son, respectivamente,58, 142 y 60 millones de habitantes, respectivamente. La matriz de transicion que indica elmovimiento de los habitantes de una zona a otra esta dada por

ciudad alrededor no metropolitanaciudad 0.96 0.03 0.01

alrededor 0.01 0.98 0.01no metropolitana 0.015 0.005 0.98

Estime la cantidad de personas en cada zona despues de 10, 25 y 50 anos. Comente loobservado.

18. Un problema de regresion lineal: suponga que se tiene una variable Y asociada a ciertofenomeno de interes, la cual depende de ciertas variables X1, X2, . . . , Xn. Se cuenta con kvectores de datos (y1, x11, . . . , x1n), . . . , (yk, xk1, . . . , xkn). Con estos vectores se hace unajuste de un modelo de regresion lineal multiple que consiste en lo siguiente:

Los valores de las xij, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n se colocan en una matriz X ∈Mk×(n+1) dada por X = (xij)i=1,...,k, j=0,1,...,n, donde xi0 = 1 para todo i.

Se colocan los valores de las yj, j = 1, . . . , k en un vector columna ~Y ∈ Rk.

Se calculan A = XT ~Y , S = (XTX)−1 y ~α = SA ∈ Rn+1.

Denotamos al vector ~α como ~α = (α0, α1, . . . , αn)T . El modelo deseado, obtenido a

partir del conjunto de datos datos, es Y = α0+n∑j=1

αjXj+ε, donde ε denota un termino

de error (que, para efectos de este ejercicio, no es necesario conocer).

Suponga ahora que se cuenta con datos sobre el peso (Y ) de un grupo de personas y que estospesos dependen linealmente de la edad y la estatura de las personas. Los datos se presentana continuacion:

Peso (kg) Edad (anos) Estatura (m)62.40296 30.95130 1.71266772.84263 22.05230 1.57746264.62599 38.09222 1.56248864.63943 33.52441 1.86631668.98274 35.91217 1.77533473.32794 39.57150 1.67398461.55748 23.43296 1.83284079.08691 36.95938 1.55503071.37686 35.11889 1.81787775.15300 22.62489 1.706804

2.7. SIMULACRO DE PRIMER EXAMEN PARCIAL 41

a) Ajuste un modelo de regresion lineal a estos datos (en todo este ejercicio se permite utilizaralgun software).

b) Con base en el modelo hallado ¿que tipo de influencia tienen la edad y la estatura en el peso deeste grupo de personas?

2.7. Simulacro de primer examen parcial

Resuelva correctamente los siguientes ejercicios. La nota de este simulacro es el promedio de laspuntuaciones obtenidas en cada ejercicio.

Este simulacro no tiene valor en la nota final del curso.

1. (100 pts.) Sea A =

5 2 −20 α 10 2 1

. Halle todos los valores reales de α para los cuales A es

singular. Respuesta: α = 2.

2. (100 pts.) Sea B =

(5x 22 x

). Halle todos los valores reales de x para los cuales B es no

singular. Respuesta: x ∈ R\{−√5/2,√5/2}

.

3. (100 pts.) Sea X ∈ M3×3(R) una matriz invertible. Sea A =

1 2 30 4 50 0 6

y supongamos

que XTA = 13XT + A. Halle explıcitamente X utilizando Gauss-Jordan.

4. (100 pts.) Halle un vector u = (1, y) tal que ||u|| = 5 y el angulo β entre u y v = (−1, 1)sea β = 115.1041. Respuesta: u = (1,−2).

5. (100 pts.) Halle todos los vectores no nulos y ortogonales a v1 = (2, 3, 1) y v2 = (−2, 3, 1).

Capıtulo 3

Determinantes

En este capıtulo estudiaremos la funcion determinante asociada a matrices cuadradas. A dichafuncion la nombraremos simplemente como el determinante de la matriz A.

El estudio de estos determinantes es de suma importancia, ya que a traves de ellos se puede de-terminar si una matriz es o no invertible. Mas aun, el uso de los determinantes es crucial paraconocer los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz, tema que se abordara en el capıtulo 7.Los determinantes tambien aparecen en Teorıa de Interpolacion, por ejemplo en la estimacion defunciones mediante polinomios de Lagrange.

En este curso utilizaremos los determinantes para estudiar la existencia de la inversa de una matrizcuadrada, lo que posteriormente nos servira para determinar la unicidad de las soluciones de ciertossistemas de ecuaciones lineales.

3.1. Definicion de determinante de una matriz cuadrada

Comenzaremos por considerar el caso de matrices de tamano n× n, donde n ∈ {2, 3}.

Definicion 3.1 Sea A ∈Mn×n(R) con n ∈ {2, 3}. Definimos el determinante de A, denotado por|A| o det(A), de la siguiente manera:

1. Si n = 2 y A =

(a11 a12a21 a22

), entonces |A| = a11a22 − a12a21.

2. Si n = 3 y A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, entonces

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).

Notese que el determinante de una matriz de tamano n × n (para n ∈ {2, 3}) es una funciondet : Mn×n → R (una funcion cuyo dominio es el conjunto de las matrices de tamano n × n ycuyo contradominio es el conjunto de los numeros reales).

Este determinante puede tomar cualquier valor real positivo, negativo o incluso ser cero.

43

44 CAPITULO 3. DETERMINANTES

Ejemplo 3.1 Para las matrices A =

(2 −11 1

), B =

1 0 32 1 12 0 6

y C =

1 0 32 1 10 0 −1

tenemos:

|A| = 2(1)− [(−1)(1)] = 2 + 1 = 3,

|B| = 1(1)(6) + 0(1)(2) + 3(2)(0)− [3(1)(2) + 1(1)(0) + 0(2)(6)] = 6− 6 = 0,

|C| = 1(1)(−1) + 0(1)(0) + 3(2)(0)− [3(1)(0) + 1(1)(0) + 0(2)(−1)] = −1.

Una forma muy util de recordar la definicion del determinante de una matriz de tamano 3 × 3 esaumentar la matriz utilizando sus dos primeras columnas y considerar el siguiente diagrama:

Una vez trazado este diagrama, se calculan los seis productos indicados por las seis flechas. Cadaproducto con flecha hacia abajo se suma a los otros productos y cada producto con flecha haciaarriba, se resta a los otros productos. Se puede ver que esto efectivamente da como resultado

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).

Esta regla solamente aplica a las matrices de 3×3. Si se intenta aplicar algo similar para matricesde n× n, con n ≥ 4, el numero obtenido no sera el determinante de la matriz de interes.

Tampoco debera escribirse algo de la forma

|A| =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + . . . ,

con o sin las flechas del diagrama anterior. El diagrama es solamente una forma de recordar laformula del determinante de una matriz de tamano 3 × 3 y, por lo tanto, en ningun momentodebera colocarse como parte de una igualdad.

Definiremos ahora los determinantes de matrices de tamano n×n, con n ≥ 4. Para ello necesitamosalgunas definiciones previas, las cuales presentamos a continuacion.

Definicion 3.2 Sea A ∈ Mn×n(R). Definimos el menor i,j de A como la matriz de tamano (n −1)× (n− 1) resultante de remover la fila i y la columna j de la matriz A. Denotamos a este menori,j como Mij(A).

3.1. DEFINICION DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 45

Ejemplo 3.2 Si consideramos la matriz B =

1 0 32 1 12 0 6

, tenemos:

M11(B) =

(1 10 6

), M12(B) =

(2 12 6

), M13(B) =

(2 12 0

),

M21(B) =

(0 30 6

), M22(B) =

(1 32 6

), M23(B) =

(1 02 0

).

Se deja como ejercicio calcular M31(B), M32(B) y M33(B).

Definicion 3.3 Sea A ∈ Mn×n(R). Definimos el cofactor i,j de A, denotado por Aij , como elnumero real Aij = (−1)i+j|Mij(A)|.

Ejemplo 3.3 Para la matriz del ejemplo 3.2 tenemos que los cofactores B11,B12 y B13 son:

B11 = (−1)1+1|M11(B)| = 1[1(6)− 1(0)] = 6,

B12 = (−1)1+2|M12(B)| = −1[2(6)− 1(2)] = −10,B13 = (−1)1+3|M13(B)| = 1[2(0)− 1(2)] = −2.

Utilizando los cofactores de una matriz, podemos definir el determinante de una matriz de n × npara cualquier n ≥ 2.

Definicion 3.4 Sea A = (aij)i,j∈{1,2,...,n}. Definimos el determinante de A como

|A| =n∑k=1

a1kA1k,

donde a1k es la entrada de A en la posicion (1, k) y A1k es el cofactor 1, k de A.

La formula en la definicion anterior considera el caso en el que todos los cofactores se calculan de-jando fijo el renglon 1. Al calculo del determinante dejando fijo el renglon 1 se le llama expansionpor cofactores en el renglon 1. Se puede demostrar el siguiente resultado.

Teorema 3.1 Sea A = (aij)i,j∈{1,2,...,n}, entonces para cualquier j ∈ {1, 2, . . . , n} se cumple que

|A| =n∑k=1

ajkAjk y |A| =n∑k=1

akjAkj.

El resultado anterior nos indica que podemos calcular el determinante de A expandiendo por co-factores en cualquier renglon o columna.

Ejemplo 3.4 Consideramos nuevamente la matriz del ejemplo 3.2, dada por B =

1 0 32 1 12 0 6

.

Anteriormente vimos que B11 = 6,B12 = −10 y B13 = −2, por lo tanto:

|B| = 1(6) + 0(−10) + 3(−2) = 6 + 0− 6 = 0.


Este resultado coincide con lo que obtuvimos en el ejemplo 3.1.

El mismo resultado se obtiene si ahora consideramos la expansion por cofactores en el renglon 3:

|B| = 2B31 + 0B32 + 6B33 = 2[(−1)3+1(−3)] + 6[(−1)3+3(1)] = 2(−3) + 6 = −6 + 6 = 0.

Concluimos esta seccion con una propiedad sumamente importante de los determinantes, la cualse ejemplificara en la siguiente seccion.

Resultado 3.1 Sean A,B ∈Mn×n(R). Se cumple que

1. |AB| = |A||B|.

2. |AT | = |A|.

3.2. Determinantes de matrices especiales

En esta seccion veremos algunas matrices para las cuales es sumamente facil calcular su determi-nante.

Definicion 3.5 SeaA = (aij)i,j∈{1,2,...,n}. A la diagonal deA compuesta por las entradas a11, a22, . . . , annla llamaremos diagonal principal de A.

1. Si todas las entradas debajo de la diagonal principal de A son cero, diremos que A es unamatriz triangular superior.

2. Si todas las entradas sobre de la diagonal principal de A son cero, diremos que A es unamatriz triangular inferior.

3. Si todas las entradas fuera de la diagonal principal de A son cero, diremos que A es unamatriz diagonal.

Ejemplo 3.5 Consideremos las matrices

A =

1 0 30 1 10 0 6

, B =

0 0 0 02 0 0 02 0 0 00 1 0 0

y C =

1 0 00 2 00 0 6

.

Todos los elementos por debajo de la diagonal principal de A son cero, por lo tanto A es unamatriz triangular superior.

Todos los elementos sobre la diagonal principal de B son cero, por lo tanto B es una matriztriangular inferior.

Todos los elementos fuera de la diagonal principal de C son cero, por lo tanto C es una matrizdiagonal.

Se puede pensar en una matriz diagonal como una matriz cuadrada que es, al mismo tiempo,triangular superior y triangular inferior.

La matriz nula de tamano n × n (aquella cuyas todas entradas son exactamente cero), cumplecualquiera de las tres definiciones, al igual que la matriz identidad de tamano n× n.

3.2. DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES 47

Para estos tres tipos de matrices se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.2 Sea A = (aij)i,j∈{1,2,...,n}. Si A es una matriz triangular (superior o inferior), enton-ces |A| =

∏nj=1 ajj .

Ejemplo 3.6 Para las matrices A, B y C del ejemplo 3.5, utilizando el Teorema 3.2 obtenemos:

|A| = 1(1)(6) = 6, |B| = 0(0)(0)(0) = 0 y |C| = 1(2)(6).

Corolario 3.1 Las matrices 0n×n e In×n satisfacen las igualdades |0n×n| = 0 y |In×n| = 1

El siguiente resultado considera el caso especial de las matrices elementales descritas en el capıtuloanterior.

Teorema 3.3 Las matrices elementales de tamano n × n, ERj→Rj+cRk, ERj→cRj

y ERj↔Rk, con

j 6= k, 1 ≤ j, k ≤ n y c ∈ R\{0}, cumplen que

|ERj→Rj+cRk| = 1, |ERj→cRj

| = c y |ERj↔Rk| = −1.

Utilizando los resultados anteriores podemos obtener un metodo sumamente simple para calcularel determinante de cualquier matriz A que sea equivalente por renglones a una matriz triangularsuperior. Es decir, cualquier matriz A que mediante operaciones elementales por renglon pueda sertransformada en una matriz triangular superior. Esto sera especialmente util tratandose de matrizde tamano n× n, con n ≥ 4.

Ejemplo 3.7 Sea A =

0 0 1 −1−2 1 2 30 −2 −1 21 −1 0 0

. Vamos a reducir (transformar) A a una matriz

triangular superior y, con ayuda de los resultados expuestos en esta seccion, calcularemos |A|.El procedimiento es similar al metodo de Gauss-Jordan, excepto que ahora solo nos interesa quedebajo de la diagonal principal tengamos unicamente ceros.

Notemos que podemos eliminar el 1 o el -2 de la primera columna, de modo que dicha primeracolumna tendra solamente ceros excepto en el cuarto renglon (si no eliminamos el 1) o excepto enel segundo renglon (si no eliminamos el -2).

En cualquier caso, dicho elemento distinto de cero debera estar en el renglon uno para que sepueda cumplir que debajo de la diagonal principal tengamos solamente ceros. Esto indica que esnecesario hacer un intercambio de renglones. Por simplicidad de los calculos, intercambiaremoslos renglones cuatro y uno y eliminaremos el -2 en el renglon dos.

Tenemos entonces que:

AR4↔R1−→

1 −1 0 0−2 1 2 30 −2 −1 20 0 1 −1

R2→R2+2R1−→

1 −1 0 00 −1 2 30 −2 −1 20 0 1 −1


R3→R3−R2−→

1 −1 0 00 −1 2 30 0 −5 −40 0 1 −1

R4→R4+(1/5)R1−→

1 −1 0 00 −1 2 30 0 −5 −40 0 0 −9/5

(3.2.1)

Ahora que hemos reducido A a una matriz triangular superior, notemos que:1 −1 0 00 −1 2 30 0 −5 −40 0 0 −9/5

= ER4→R4+(1/5)R1ER2→R2+2R1ER3→R3−R2ER4↔R1A (3.2.2)

Llamemos U a la matriz triangular superior obtenida. Utilizando el Resultado 2.1 (todas las ma-trices elementales son invertibles) en conjunto con la propiedad (AB)−1 = B−1A−1 aplicadacuatro veces, podemos “despejar” A en la igualdad anterior y obtenemos:

A = E−1R4↔R1E−1R3→R3−R2

E−1R2→R2+2R1E−1R4→R4+(1/5)R1

U.

Utilizando nuevamente el Resultado 2.1 podemos calcular las inversas en la igualdad anterior. Elresultado de esto es:

A = ER4↔R1ER3→R3+R2ER2→R2−2R1ER4→R4−(1/5)R1U.

Ahora, utilizando el Resultado 3.1, inciso 1, tenemos que

|A| = |ER4↔R1ER3→R3+R2ER2→R2−2R1ER4→R4−(1/5)R1U |= |ER4↔R1||ER3→R3+R2||ER2→R2−2R1||ER4→R4−(1/5)R1||U |.

Con ayuda del Teorema 3.3 calculamos los determinantes de las matriz elementales que aparecenen la igualdad anterior. De esto obtenemos:

|A| = (−1)(1)(1)(1)|U | = (−1)|U |.

Finalmente, por el Teorema 3.2 sabemos que el determinante de U es el producto de sus elementosdiagonales. Por lo tanto:

|A| = (−1)(1)(−1)(−5)(−9/5) = 9.

La situacion descrita en el ejemplo anterior puede generalizarse segun el siguiente resultado:

Resultado 3.2 Sean A,B ∈ Mn×n(R). La funcion determinante cumple las siguientes propieda-des:

1. Si B se obtiene al aplicar una operacion elemental tipo Rj → Rj + cRk en A (c 6= 0),entonces |B| = |A|. Es decir, el determinante de una matriz no cambia si a un renglon se lesuma un multiplo no nulo de otro renglon.

2. Si B se obtiene al aplicar una operacion elemental tipo Rj → cRj en A (c 6= 0), entonces|B| = c|A|. Es decir, si en una matriz se multiplica un unico renglon por una constantec 6= 0, entonces el determinante de la nueva matriz es c multiplicado por el determinante dela matriz original.

3.2. DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES 49

3. Si B se obtiene al aplicar una operacion elemental tipo Rj ↔ Rk en A, entonces |B| =−|A|. Es decir, el intercambio de dos renglones en A tiene el efecto de multiplicar por −1el determinante de A.

4. Si B se obtiene al intercambiar dos columnas de A, entonces |B| = −|A|. Es decir, elintercambio de dos columnas en A tiene el efecto de multiplicar por −1 el determinante deA.

5. Si al menos un renglon (o columna) de A es el correspondiente vector nulo, entonces |A| =0.

6. Si algun renglon de A es un multiplo de otro renglon de A, entonces |A| = 0.

7. Si A =

~a1~a2...~an

, donde ~ak, k = 1, . . . , n son los vectores que representan las filas de A, y

si existe algun j ∈ {1, 2, . . . , n} tal que ~aj =n∑

k=1,k 6=jλk~ak, donde los λk son escalares no

todos iguales a cero, entonces |A| = 0. Es decir, si algun renglon de A es una combinacionlineal de los otros renglones de A, entonces el determinante de A es cero.

Ejemplo 3.8 Tomemos nuevamente A como en el ejemplo anterior, en donde vimos que |A| = 9.Consideremos ahora las matrices

B =

0 0 1 −10 −2 −1 2−2 1 2 31 −1 0 0

, C =

4 −2 −3 −7−2 1 2 30 −2 −1 21 −1 0 0

,

D =

0 0 1 −1−2 1 2 30 −6 −3 61 −1 0 0

, E =

0 0 1 −1−2 1 2 3−6 −1 4 131 −1 0 0

,

F =

1 0 −1 02 1 3 −2−1 −2 2 00 −1 0 1

, G =

πx

√2y z w

w x y z0 0 0 0x w + z πx− wy 0

H =

1 0 −1 00 1 0 −1−1 −2 2 00 −2 0 2

, I =

1 0 −1 0−1 −6 4 0−1 −2 2 00 −1 0 1

Notemos que B se obtiene de A intercambiando los renglones 2 y 3, por lo tanto, segun el Resul-tado 3.2 inciso 3, tenemos que |B| = −|A| = −9.

Por otro lado, C se obtiene a partir de A tomando el renglon uno de A y sumandole el renglon dosmultiplicado por −2. Por lo tanto, segun el Resultado 3.2 inciso 1, tenemos que |C| = |A| = 9.


D se obtiene a partir de A multiplicando el tercer renglon de A por 3, por lo tanto (Resultado 3.2inciso 2) |D| = 3|A| = 3(9) = 27.

E se obtiene de A mediante la operacion R3 → 2R3 + 3R2. Esta no es una operacion elemental,ya que de hecho se puede dividir en dos operaciones elementales: primero se aplica la operacionelemental R3 → 2R3 y al resultado se le aplica la operacion elemental R3 → R3 + 3R2. Por lotanto, utilizando el Resultado 3.2 incisos 2 y 1, respectivamente, obtenemos |E| = 3|A| = 27.

F puede obtenerse a partir de A intercambiando primero la columna tres con la columna 1 ydespues intercambiando la nueva columna tres por la columna cuatro. Por lo tanto, utilizando dosveces el Resultado 3.2 inciso 4, obtenemos |F | = (−1)(−1)|A| = 9.

En G, sin importar los valores de x, y, z, w, tenemos un renglon que es igual al vector fila nulo,por lo tanto, aplicando el Resultado 3.2 inciso 5, tenemos que |G| = 0.

En H notamos que el renglon cuatro es igual al renglon dos multiplicado por −2. Es decir, elrenglon cuatro es un multiplo no nulo del renglon dos, por lo tanto, segun el Resultado 3.2 inciso6, tenemos que |H| = 0.

Finalmente, en I se puede ver que el renglon dos es igual a la suma del renglon uno multiplicadopor dos y el renglon tres multiplicado por tres. Es decir, si denotamos por~ik los renglones de I ,obtenemos~i2 = 2~i1 + 3~i3 + 0~i4. Por lo tanto, utilizando el Resultado 3.2 inciso 7, obtenemos que|I| = 0.

3.3. Determinantes y matrices inversas

En esta ultima seccion veremos como se relacionan los determinantes con las matrices invertiblesy sus inversas.

Para la matriz H del ejemplo 3.8, vimos su determinante es igual a cero. Por otro lado, como estamatriz tiene un renglon que es multiplo de otro renglon, segun el Corolario 2.1, esta matriz no esinvertible.

Esto presenta una posible relacion entre el valor del determinante de una matriz y la existencia (ono existencia) de su matriz inversa. Dicha relacion se presenta en el siguiente resultado.

Teorema 3.4 Sea A ∈Mn×n(R).

1. La matriz A es invertible si y solo si |A| 6= 0.

2. Sea Co(A) = (Aij)i,j∈{1,...,n} la matriz de tamano n×n cuyas entradas son todos los cofac-tores de A (denotados por Aij). A la matriz [Co(A)]T la llamaremos matriz adjunta de A,denotada por adj(A).

En el caso en el que A es invertible se cumple la igualdad

A−1 =1

|A|adj(A).

Ejemplo 3.9 Por el teorema anterior, tenemos que las matrices B, C, D, E y F del ejemplo 3.8son invertibles, mientras que las matrices G, H , I del mismo ejemplo, no lo son.

3.4. EJERCICIOS 51

Vamos a calcular la inversa de B para ejemplificar el uso de la segunda afirmacion del Teorema3.4.

Para obtener dicha inversa, ya que sabemos que |B| = −9, solamente es necesario calcular loscofactores de B y utilizarlos para armar la matriz Co(B). Despues hallamos adj(B) = [Co(B)]T

y utilizamos la formula dada en la segunda parte del Teorema 3.4.

Despues de calcular los correspondientes menores y utilizar la definicion de cofactores, obtenemosque

Co(B) =

7 7 −4 55 5 1 1−1 −1 −2 −2−11 −2 −4 −4

.

Por lo tanto:

B−1 =1

|B|

7 7 −4 55 5 1 1−1 −1 −2 −2−11 −2 −4 −4

T

= −1

9

7 5 −1 −117 5 −1 −2−4 1 −2 −45 1 −2 −4

T

=

−7/9 −5/9 1/9 11/9−7/9 −5/9 1/9 2/94/9 −1/9 2/9 4/9−5/9 −1/9 2/9 4/9

.

Aunque en el ejemplo anterior hemos omitido los detalles del calculo de los cofactores Bij , pordefinicion, estos dependen de los determinantes de los menores Mij(B), lo que refleja la enormeimportancia que tiene la funcion determinante en el calculo de la inversa de una matriz cuadrada.

3.4. Ejercicios


A =

1 1 20 1 31 0 2

EscribaA como el producto de dos matrices L y U , donde L es una matriz triangular inferiory U es una matriz triangular superior. Calcule |A| utilizando los determinantes de L y U .

2. Los cofactores de cierta matriz A ∈ M3×3 son A11 = 1, A12 = −1, A13 = 1, A21 =−1, A22 = 2, A23 = −1, A31 = −1/3, A32 = 1, A33 = 2/3 y su determinante es 1. Halleexplıcitamente la matriz A y verifique que det(A) = 1.

3. SeaA una matriz cuadrada de n×n tal que |A| = β 6= 0. Para 1 < i < j < k < n, defınanselas matrices:

E1 = 2In×n, E2 = ERi↔RjERj↔Rk

, E3 = ERj→Rj+0.5Rk, E4 = ERj→β−1Rj+5Ri

.

Sean B1 = E1AE2, B2 = E4E3E−12 A, B3 = A2E2

4E2A, B4 = E1E4AE−13 . Calcule los

determinantes de las matrices B1, B2, B3 y B4.


4. Sean A,B ∈ Mn×n(R). En general no se cumple que |A + B| = |A| + |B|. Verifique estaafirmacion utilizando un contraejemplo. Es decir, presente dos matrices cuadradas A,B, delmismo tamano, tales que |A+B| 6= |A|+ |B|.

5. Sea A ∈ M100×100 una matriz con |A| = 2 y sea B la matriz obtenida de A mediante elsiguiente procedimiento:

Primero se intercambia el renglon 50 con el renglon 87, despues al nuevo renglon 50 se lesuma 900 veces el renglon 1 y finalmente, a la matriz obtenida se le aplica la operacionR99 ↔ 1

2R50. Halle el valor de |B|.

6. Utilizando resultados sobre determinantes, halle todos los valores de z para los cuales

A =

z 500√17

0 0 z − 10 z + 1 10527

,

es singular.

7. Sea Y =

4 5√15

0 5 1

−16 −10 −4√15

. Utilizando unicamente operaciones elementales del

tipo Rj → Rj+ cRk y/o Rj ↔ Rk, reduzca Y a una matriz triangular superior y calcule |Y |.

8. Sea A =

1 0 −10 −1/2 00 0 1/2

. Halle A−1 utilizando adj(A) y tambien utilizando el metodo

de Gauss-Jordan.


A =

1 2 1 1−2 0 1 00 1 −1 00 0 1 3

Utilizando unicamente operaciones elementales del tipo Rj → Rj + cRk, reduzca A a unamatriz triangular superior y calcule |A|.

10. Suponga que ∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = 1.

Calcule los siguientes determinantes:

d1 =

∣∣∣∣∣∣g h id e f

2a− 0.5d 2b− 0.5e 2c− 0.5f

∣∣∣∣∣∣ , d2 =

∣∣∣∣∣∣a d gb e hc f i

∣∣∣∣∣∣11. Sea

A =

1 2 1−2 0 0−1 0 α

.

3.4. EJERCICIOS 53

a) Verifique, utilizando las propiedades adecuadas de los determinantes, que si α = 0entonces A es singular.

b) Suponga α = 2. Verifique utilizando alguna expansion por cofactores que, para estevalor de α, A es no singular y calcule A−1 utilizando adj(A).

12. Sea A una matriz cuadrada de n × n tal que |A| = β 6= 0. Con base en esta matriz, cons-truimos las matrices B1, B2, B3 y B4 aplicando operaciones por renglon como se indica acontinuacion:

ARj→Rj−(5×1080)Rk−→ ,

Rl→β−2Rl−→ ,Ri↔Rk−→ B1

A−1Ri→10Ri−5Rj−→ ,

Rk↔5−1Rj−→ B2

2AA−1Rj→Rj−(5×1080)Rk

−→ ,Ri→10Ri−5Rj−→ B3

β−1ARi→βRi−→ ,

Ri→5Ri−(9×10100)Rj

−→ B4

donde 1 ≤ i < j < k < l ≤ n. Calcule los determinantes de las matrices B1, B2, B3, B4.


A =

0 2 2α 1 35 0 2

Transforme A en una matriz triangular superior y halle los valores de α para los cuales A esinvertible. Nota: debera considerar por separado los casos α = 0 y α 6= 0.

14. Sea A =

5 2 −20 α 10 2 1

. Utilice todos los valores reales de α para los cuales A es singular.

15. Sean B =

5 2 −20 5 10 2 1

y C la matriz obtenida a partir de B mediante las operaciones

R1 ↔ R3, R2 → −5R2 y R1 ↔ −3R2. Calcule det(C) sin obtener C explıcitamente.

16. Suponga que ∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = 8.

Calcule:


d1 =

∣∣∣∣∣∣g h id e fa b c

∣∣∣∣∣∣ d2 =

∣∣∣∣∣∣b a ce d fh g i

∣∣∣∣∣∣d3 =

∣∣∣∣∣∣2a− 3d 2b− 3e 2c− 3f

g h id e f

∣∣∣∣∣∣ d4 =

∣∣∣∣∣∣a− b b cd− e e fg − h h i

∣∣∣∣∣∣d5 =

∣∣∣∣∣∣∣√3 a

√3 b

√3 c

−√2 d −

√2 e −

√2 f√

664g√

664h

√664i

∣∣∣∣∣∣∣ d6 =

∣∣∣∣∣∣∣√3 a

√3 b

√3 c

−√2 d −

√2 e −

√2 f√

664a2

√664ab

√664ac

∣∣∣∣∣∣∣17. Calcule el determinante de las siguientes matrices. Para la matriz A, utilice la formula del

determinante de una matriz de 3×3 y para la matriz B utilice alguna expansion por cofacto-res. El resto de los determinantes pueden calcularse utilizando la herramienta que consideremas conveniente.

A =

4 2 32 1 52 1 0

, B =

0.5 0.2 0.25 00.1 0.25 0.45 10 0.1 0 0.22 2.5 2 2.25

,

C =

0.5 0.2 0.25 0 1.10.1 0.25 0.45 1 20 0.1 0 0.2 0.52 2.5 2 2.25 3.41 1 1 2 2.5

, D =

4 9 −9 6 −5

−28 −70 62 −35 41−32 −121 57 9 8132 51 −35 20 −88 39 49 −145 45

,

E =

100 25 357 829 100 5 5.2× 1020 29800 6070170 0 1 1.0517× 10101 2.25× 10−203

0 0 0 2 5× 10289

0 0 0 0 1

,

F =

4 0 0 0 0 0a 0.5 0 0 0 0

a2 − b2 a3 + b3 −0.25 0 0 0a4 + b4 a5 − b5 a6 + b6 2 0 0a7 − b7 a8 + b8 a9 − b9 a10 + b10 0.3 0

a11 + b11 a12 − b12 a13 + b13 a14 − b14 a15 + b15 10/3

, a 6= b,

G =

4 a2 − b2 a3 − b3 a4 − b4 a4−b4

a+b0

a 0.5 0 0 a4 + b4 a6 + b6

a2 − b2 a3 + b3 −0.25 0 a4 − b4 0a4 + b4 a5 − b5 a6 + b6 2 0 0a7 − b7 a8 + b8 a9 − b9 a10 + b10 0.3 0

4a−b a+ b a2 + ab+ b2 (a+ b)(a2 + b2) a2 + b2 0

, a 6= b.

Capıtulo 4

Sistemas de ecuaciones lineales

Comencemos definiendo que es un sistema de ecuaciones lineales.

Definicion 4.1

1. Una ecuacion lineal con n incognitas, denotadas por x1, x2, . . . , xn, es una ecuacion de laforma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

donde a1, a2, . . . , an y b son numeros reales o complejos. A los numeros a1, a2, . . . , an losllamaremos los coeficientes de la ecuacion lineal y al numero b lo llamaremos el terminoconstante de la ecuacion.

2. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas (sistema de ecuaciones lineales detamano m × n) es una coleccion de m ecuaciones lineales, tales que cada una de estasecuaciones tiene las mismas n incognitas, pero no necesariamente los mismos coeficientesy/o terminos constantes. Tales sistemas se suelen escribir de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

(4.0.1)

Una solucion (o vector solucion) del sistema (4.0.1) es un vector ~x = (x∗1, x∗2, . . . , x

∗n)T tal

que al sustituir x1 = x∗1, x2 = x∗2, . . . , xn = x∗n en las m ecuaciones que forman el sistema(4.0.1), todas las igualdades en estas ecuaciones se cumplen al mismo tiempo.

Ejemplo 4.1 Consideremos el sistema {x1 + 3x2 = 12x1 − x2 = 0

Tenemos que el vector ~x = (1/7, 2/7) es una solucion de dicho sistema. Para verificar esto susti-tuimos x1 = 1/7 y x2 = 2/7 en las ecuaciones que forman el sistema y obtenemos

x1 + 3x2 = 1/7 + 3(2/7) = 1/7 + 6/7 = 12x1 − x2 = 2(1/7)− 2/7 = 2/7− 2/7 = 0

,

55

56 CAPITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

por lo que ambas ecuaciones del sistema se satisfacen.

Por otro lado, el vector~a = (1/2, 1) no es una solucion del sistema ya que x1+3x2 = 1/2+3(1) =7/2 6= 1. Es decir, la primera ecuacion del sistema no se satisface, a pesar de que (se puede verque) la segunda ecuacion sı se satisface.

Todas las ecuaciones del tipo a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b representan rectas cuando n = 2,planos cuando n = 3 e hiperplanos cuando n ≥ 4. Por lo tanto, un vector solucion de un sistemade m ecuaciones lineales con n incognitas, representa un punto en Rn en el que las graficas de losm hiperplanos dados por las m ecuaciones del sistema se intersecan (se cruzan, se cortan). Por talmotivo existen tres opciones:

1. Los m hiperplanos dados por las ecuaciones del sistema se cortan en un unico punto de Rn,

2. Los m hiperplanos dados por las ecuaciones del sistema se cortan en una infinidad depuntos de Rn,

3. Los m hiperplanos dados por las ecuaciones del sistema se cortan en ningun punto de Rn.

Esta situacion se ejemplifica en la siguiente figura, considerando el caso m = n = 3:

En el primer caso (de izquierda a derecha), los 3 planos se cortan en un unico punto. En el segundoy tercer caso, no existe un punto en el que los tres se corten y en el cuarto caso los tres planos secortan en toda una recta de R3 (hay infinitos puntos de corte).

Por lo tanto, en general cualquier sistema de ecuaciones lineales de tamanom×n tendra una unicasolucion, infinitas soluciones o ninguna solucion.

Con base en esto, tenemos la siguiente definicion.

Definicion 4.2 Un sistema de ecuaciones lineales de tamano m × n se llama inconsistente sitiene ninguna solucion. Si el sistema tiene al menos una solucion, decimos que tal sistema esconsistente.

En este capıtulo nos enfocaremos en estudiar condiciones para que un sistema de ecuaciones linea-les sea consistente. Mas aun, estudiaremos los casos en los que un sistema consistente tiene unaunica solucion o infinitas soluciones y hallaremos de manera explıcita tales soluciones.

4.1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 57

4.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Tomemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

(4.1.2)

Definamos ahora

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...... . . . ...

an1 an2 . . . ann

, ~x =

x1x2...xn

y ~b =

b1b2...bn

.

Tenemos que el sistema 4.1.2 puede escribirse de la forma

A~x = ~b. (4.1.3)

A la matriz A en la representacion anterior la llamaremos matriz de coeficientes del sistema. Losvectores ~x y ~b los llamaremos, respectivamente, vector de incognitas y vector de constantes delsistema 4.1.2.

Con base en esto, notemos que si la matrizA es cuadrada e invertible podemos “despejar” el vector~x y obtener un vector solucion del sistema dado por (4.1.3). Bajo el supuesto de queA es de tamanon× n e invertible, tendrıamos entonces que un vector solucion del sistema (4.1.3) es ~x = A−1~b.

Mas aun, tendrıamos que este vector es el unico vector solucion de (4.1.3). Por ejemplo, si supo-nemos que existe otro vector ~y tal que A~y = ~b, multiplicando ambos lados por A−1 tendrıamosnuevamente que ~y = A−1~b, lo que prueba que A−1~b es el unico vector solucion del sistema. Estoes el primer resultado de esta seccion.

Teorema 4.1 Sea A ∈ Mn×n(R) y consideremos el sistema A~x = ~b. Este sistema tiene solucionunica si y solo si A es invertible.

En este caso, dicha solucion unica esta dada por ~x = A−1~b.

Podemos notar en el teorema anterior que la existencia de soluciones de un sistema de ecuacioneslineales de tamano n × n depende unicamente de la matriz A. Es decir, sin importar quien sea elvector de constantes ~b, el sistema tendra solucion siempre y cuando su matriz de coeficientes seainvertible.

Ejemplo 4.2 Sea A =

1 1 10 1 22 2 0

y consideremos el sistema A~x = ~b, donde ~b = (b1, b2, b3)T

es cualquier vector columna en R3.


Por el Teorema 4.1, para saber si A~x = ~b tiene o no solucion unica basta determinar si A esinvertible.

Por el Teorema 3.4, para saber si A es invertible basta calcular |A|.Utilizando las tecnicas desarrolladas en el capıtulo anterior y dado que A es de tamano 3× 3, po-demos utilizar la definicion del determinante de una matriz de 3×3, podemos utilizar expansionespor cofactores o podemos reducir A a una matriz triangular superior.

Utilizaremos este ultimo metodo. Tenemos entonces

AR3→R3−2R1−→

1 1 10 1 20 0 −2

,

por lo que, utilizando el Resultado 3.2.1 y el Teorema 3.2 obtenemos que

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 1 20 0 −2

∣∣∣∣∣∣ = −2.Luego, por el Teorema 4.1 tenemos que el sistema A~x = ~b tiene solucion unica dada por

~x =

1 1 10 1 22 2 0

−1 b1b2b3

=

2 −1 −1/2−2 1 11 0 −1/2

b1b2b3

=

2b1 − b2 − (1/2)b3−2b1 + b2 + b3b1 − (1/2)b3

.

4.2. Eliminacion gaussiana

Si tomamos B =

1 1 10 1 22 2 2

y consideramos el sistema B~x = ~b, notamos que el renglon tres

de B es igual al renglon uno de B multiplicado por 2. Por lo tanto, por el Resultado 3.2.6, sabemosque |B| = 0 y por el Teorema 4.1 concluimos que el sistema B~x = ~b no tiene solucion unica.

La afirmacion “el sistema B~x = ~b no tiene solucion unica” significa que se cumple uno de lossiguientes dos casos:

El sistema B~x = ~b tiene infinitas soluciones o tiene ninguna solucion.

La forma de determinar cual de los dos casos anteriores se cumple es el objetivo principal de estaseccion.

Comenzamos con la siguiente definicion:

Definicion 4.3 Sea A ∈ Mm×n(R). Diremos que A esta en su forma escalonada reducida porrenglones (forma ERR) si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Todos los renglones nulos (si los hay) aparecen en la parte inferior de A,

4.2. ELIMINACION GAUSSIANA 59

2. El primer elemento distinto de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglon, esun 1.

3. Si dos renglones consecutivos tienen ambos un 1, entonces el 1 del renglon de abajo estamas a la derecha que el 1 del renglon de arriba.

4. Cualquier columna que contiene al 1, tiene ceros en el resto de sus entradas.

Si una matriz A cumple solamente las propiedades 1,2 y 3 enunciadas anteriormente, diremos queA esta en su forma escalonada por renglones (forma ER).

El primer elemento distinto de cero en cada renglon de la forma ERR (o forma ER) de A se llamapivote de dicho renglon.

Ejemplo 4.3 Las siguientes matrices estan en su forma ERR:

A =

1 0 00 1 00 0 1

, B =

1 0 0 10 1 −1 20 0 0 0

, C =

1 2 0 10 0 1 20 0 0 0

.

Las siguientes matrices estan en su forma ER:

A =

1 2 −10 1 00 0 1

, B =

1 −2 −3 10 1 1 20 0 0 0

, C =

1 2 −5 10 0 1 20 0 0 0

.

Si consideramos el sistema A~x = ~b y sabemos que A esta al menos en su forma ER, podemosresolver facilmente el sistema utilizando el metodo de sustitucion hacia atras. Dicho metodo seexplica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.4 Sean A =

1 2 30 1 50 0 1

, B =

1 2 3 40 1 5 20 0 0 0

, ~x ∈ R3 y ~y ∈ R4. Resolvamos los

sitemasA~x = (1, 1, 0)T y B~y = (1, 1, b)T , b ∈ R.

En el primer sistema tenemos: 1 2 30 1 50 0 1

x1x2x3

=

110

.

Lo anterior indica que x3 = 0, x2+5x3 = 1 y x1+2x2+3x3 = 1. El metodo de sustitucion haciaatras consiste en hallar primero el valor de x3, despues utilizar este valor en la ecuacion dondeaparece x2 y hallar el valor de x2 y finalmente, utilizar los valores de x2, x3 para obtener el valorde x1.

En este caso tenemos x3 = 0, por lo tanto:

x2 + 5x3 = 1⇔ x2 + 5(0) = 1⇔ x2 = 1,


x1 + 2x2 + 3x3 = 1⇔ x1 + 2(1) + 3(0) = 1⇔ x1 + 2 = 1⇔ x1 = −1.

Por lo tanto el vector solucion es ~x = (−1, 1, 0)T .

Para el segundo sistema tenemos:

1 2 3 40 1 5 20 0 0 0

y1y2y3y4

=

11b

.

Lo anterior es equivalente a 0y1+0y2+0y3+0y4 = b, y2+5y3+2y4 = 1 y y1+2y2+3y3+4y4 = 1.En este caso, en la primera ecuacion notamos que el sistema tiene solucion si y solo si b = 0 (deotro modo la ecuacion 0y1 + 0y2 + 0y3 + 0y4 = b implicarıa que “cero es igual a algo distinto decero”).

Por lo tanto, en el caso cuando b = 0 tenemos de la segunda ecuacion que y2 = 1 − 5y3 − 2y4 ypor lo tanto

y1 + 2y2 + 3y3 + 4y4 = 1⇔ y1 = 1− 2y2 − 3y3 − 4y4

⇔ y1 = 1− 2(1− 5y3 − 2y4)− 3y3 − 4y4 = −1 + 10y3 + 4y4.

Tenemos que cuando b = 0 hay tantas soluciones como valores de y3 y y4 (este sistema tieneinfinitas soluciones). Todas estas soluciones son vectores de la forma

~y = (−1+10y3+4y4, 1−5y3−2y4, y3, y4)T = (−1, 1, 0, 0)T+y3(10,−5, 1, 0)T+y4(4,−2, 0, 1)T ,

donde y3, y4 son numeros reales cualesquiera.

El metodo de eliminacion gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales se basa en lasiguiente definicion.

Definicion 4.4 Sean A,B ∈ Mm×n(R) y consideremos los sistemas A~x = ~b1, B~x = ~b2. Diremosque los sistemas anteriores son equivalentes si ellos tienen el mismo conjunto de soluciones.

Teorema 4.2 Sean A,B ∈ Mm×n(R) y consideremos los sistemas A~x = ~b1, B~x = ~b2. Si A|b1 yB|b2 son equivalentes por renglones, entonces los sistemas A~x = ~b1 y B~x = ~b2 son equivalentes.

Supongamos que nos interesa resolver el sistema A~x = ~b, donde

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...... . . . ...

an1 an2 . . . ann

, ~x =

x1x2...xn

y ~b =

b1b2...bn

.

El metodo de eliminacion gaussiana consiste en los siguientes pasos:

4.2. ELIMINACION GAUSSIANA 61

1. Tomamos la matriz aumentada A|b dada por

A|b =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...... . . . ...

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2...bn

.

2. Reducimos la matriz aumentada A|b a su forma ER mediante operaciones elementales porrenglon.

3. Tomamos la matriz a la izquierda de la lınea vertical de la forma ER de A|b y el vector ala derecha de la lınea vectical de la forma ER de A|b. Denotamos esta matriz y este vector,respectivamente, por A∗ y b∗.

4. Resolvemos el sistema A∗~x = b∗ utilizando sustitucion hacia atras.

Como los sistemas A~x = ~b y A∗~x = b∗ son tales que A|b y A∗|b∗ son equivalentes por renglones,entonces por el Teorema 4.2, los sistemas son equivalentes.

Ejemplo 4.5 Tomemos nuevamente la matriz A =

1 1 10 1 22 2 0

. Utilizaremos eliminacion gaus-

siana para resolver el sistema A~x = ~b, donde~b = (b1, b2, b3)T es cualquier vector columna en R3.

Paso 1: A|b esta dada, en este caso, por:

A|b =

1 1 10 1 22 2 0

∣∣∣∣∣∣b1b2b3

.

Paso 2: Reducimos A|b a su forma ER:

A|b R3→R3−2R1−→

1 1 10 1 20 0 −2

∣∣∣∣∣∣b1b2

b3 − 2b1

R3→(−1/2)R3−→

1 1 10 1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣b1b2

−(1/2)b3 + b1

.

Paso 3: En este caso tenemos

A∗ =

1 1 10 1 20 0 1

, ~b∗ =

b1b2

b1 − (1/2)b3

.

Paso 4: El sistema A∗~x = ~b∗ resultante esx1 + x2 + x3 = b1

x2 + 2x3 = b2x3 = b1 − (1/2)b3


Este sistema es facil de resolver, ya que como podemos notar, x3 aparece igualada a b1− (1/2)b3.Sustituimos este valor de x3 en la segunda ecuacion del sistema y hallamos x2:

x2 + 2x3 = b2 ⇔ x2 = b2 − 2x3 = b2 − 2(b1 − (1/2)b3) = b2 − 2b1 + b3 = −2b1 + b2 + b3.

Ahora que tenemos el valor de x2, lo sustituimos en la primera ecuacion del sistema y hallamosx1:

x1 + x2 + x3 = b1 ⇔ x1 = b1 − x2 − x3 = b1 − (−2b1 + b2 + b3)− (b1 − (1/2)b3)

= b1 + 2b1 − b2 − b3 − b1 + (1/2)b3 = 2b1 − b2 − (1/2)b3.

Por lo tanto, el vector solucion de este sistema es 2b1 − b2 − (1/2)b32b1 + b2 + b3b1 − (1/2)b3

,

que coincide con lo que se hallo en la seccion anterior.

Observacion 4.1 Si en lugar de reducir la matriz A|b a su forma ER, la reducimos a su formaERR, el metodo resultante se conoce como eliminacion Gauss-Jordan. Sin embargo, tal metodorequiere de mas operaciones elementales por renglon que el metodo de eliminacion gaussiana,por lo tanto no sera estudiado en este curso.

Utilizando el metodo de eliminacion gaussiana podemos determinar si el sistema mencionado alinicio de esta seccion tiene infinitas soluciones o ninguna solucion.

Ejemplo 4.6 Sea B =

1 1 10 1 22 2 2

y consideramos el sistema B~x = ~b = (b1, b2, b3)T .

Aplicando eliminacion gaussiana obtenemos:

1 1 10 1 22 2 2

∣∣∣∣∣∣b1b2b3

R3→R3−2R1−→

1 1 10 1 20 0 0

∣∣∣∣∣∣b1b2

b3 − 2b1

.

Tenemos ahora dos casos:

Caso 1 (b3− 2b1 = 0).- En este caso obtenemos x2 +2x3 = b2 ⇔ x2 = b2− 2x3 y x1 + x2 + x3 =b1 ⇔ x1 = b1 − x2 − x3 = b1 − b2 + 2x3 − x3 = b1 − b2 + x3. Por lo tanto este sistema tieneinfinitas soluciones de la forma

(x1, x2, x3)T = (b1 − b2 + x3, b2 − 2x3, x3)

T = (b1 − b2, b2, 0)T + x3(1,−2, 1),

donde x3 es cualquier numero real.

Caso 2 (b3 − 2b1 6= 0).- En este caso la tercera fila de la forma ER de B|b nos da la ecuacion0x1 + 0x2 + 0x3 = b3 − 2b1 6= 0, lo cual no puede ocurrir. Por lo tanto, en este caso el sistema deinteres tiene ninguna solucion.

4.3. ESPACIO NULO Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ 63

Concluimos esta seccion con un tipo especial de sistema de ecuaciones lineales.

Definicion 4.5 Sea A ∈ Mm×n(R). El sistema A~x = 0m, donde 0m es el vector (columna) nuloen Rm se llama sistema homogeneo de ecuaciones lineales.

Trivialmente, el vector ~x = 0n es una solucion del sistema homogeneo dado en la definicionanterior. Esta solucion se conoce como solucion trivial del sistema. Este hecho significa que unsistema homogeneo de ecuaciones lineales solo tiene dos posibilidades: tener a la solucion trivialcomo unica solucion o tener infinitas soluciones. Es decir, el caso de ninguna solucion no esposible para este tipo de sistemas. Dado que este sistema es un caso particular del sistema generalA~x = ~b, todos los resultados y metodos estudiados hasta ahora para A~x = ~b aplican tambien parael sistema homogeneo (reemplazando~b por 0m).

4.3. Espacio nulo y espacio columna de una matriz

En la seccion anterior se vio que la unicidad de un sistema de ecuaciones de tamano n×n dependeunicamente de la invertibilidad de la matriz de coeficientes. Para sistemas de tamano m× n existeun resultado similar basado en las columnas pivote.

Teorema 4.3 Sea A~x = ~b donde A ∈ Mm×n(R), m 6= n. Si el numero de pivotes de la forma ERde A es m, entonces A~x = ~b es consistente para todo~b.

Ejemplo 4.7 Supongamos A =

(1 2 30 1 −10

)y A~x = ~b. A esta en su forma ER y tiene tantos

pivotes como numero de filas (en este caso: 2). Por lo tanto el sistema A~x = ~b tiene solucion paracualquier~b.

Consideremos ahora B =

(a b c0 0 0

), a 6= 0 y el sistema B~x = (b1, b2)

T . B puede llevarse a su

forma ER dividiendo entre a (que, por hipotesis, es distinto de cero), pero claramente el sistema deinteres no va a satisfacer las condiciones del Teorema 4.3.

Es claro tambien que si (b1, b2)T es de la forma (b1, 0)T , entonces el sistema B~x = (b1, 0)

T tendrainfinitas soluciones, mientras que si consideramos el sistemaB~x = (b1, b2)

T con b2 6= 0, el sistemaresultante sera inconsistente. En este caso, la existencia de las soluciones del sistema depende dequien sea el vector~b.

Con base en esto tenemos la siguiente definicion.

Definicion 4.6 Sea A ∈ Mm×n(R). Definimos el espacio columna de A, denotado por CA, comoel conjunto de todos los vectores~b, tales que el sistema A~x = ~b tiene (al menos una) solucion.

En sımbolos tenemos:

CA = {~b : A~x = ~b tiene solucion}.


Ejemplo 4.8 Para la matriz B =

(a b c0 0 0

)con a 6= 0, tenemos que CB = {~b = (b1, b2)

T :

b2 = 0} (el espacio columna de B son todos los vectores~b cuya segunda entrada es cero).

Para hallar el espacio columna de una matriz A ∈ Mm×n(R) general se procede de la siguientemanera:

1. Se toma la matriz aumentada A|~b, donde~b = (b1, b2, . . . , bm)T .

2. Se reduce A|~b a su forma ER y se observan sus pivotes.

3. Si A|~b tiene m pivotes, por el Teorema 4.3 el sistema A~x = ~b tiene solucion para cualquier~b ∈ Rm. Por lo tanto, CB = Rm.

4. Si A|~b tiene k ≤ m − 1 pivotes, entonces debe haber m − k filas en A|~b cuyas primeras nentradas son todas cero. En este caso se iguala la entrada n + 1 de todas estas filas a ceroy, con base en esto, se obtiene la forma de los vectores ~b para los cuales el sistema A~x = ~btiene solucion.

Ejemplo 4.9 Hallemos el espacio columna de A =

1 2 −1 32 4 −2 64 −2 −1 1

.

1. A|~b =

1 2 −1 32 4 −2 60 −2 −1 1

∣∣∣∣∣∣b1b2b3

2. Aplicando las operaciones elementales R2 → R2 − 2R1, R2 ↔ R3, R2 → R2 − 4R1 yR2 → −1

6R2 obtenemos la forma ER de A|~b: 1 2 −1 3

0 1 −1/2 11/60 0 0 0

∣∣∣∣∣∣b1

b3−4b1−6

b2 − 2b1

3. Nos fijamos que la matriz anterior tiene 3 filas y solamente 2 pivotes y, por la ultima fila,

vemos que el sistema resultante tendra solucion si y solo si b2 − 2b1.

Concluimos que el espacio columna de A son todos los vectoes ~b = (b1, b2, b3)T cuyas entradas

satisfacen la ecuacion b2 − 2b1 = 0. Esto es equivalente a decir que b2 = 2b1, o que ~b es de laforma~b = b1(1, 2, 0)

T + b3(0, 0, 1)T . En sımbolos, esto es:

CA ={~b = (b1, b2, b3)

T : ~b = b1(1, 2, 0)T + b3(0, 0, 1)

T , b1, b3 ∈ R}.

Hemos visto que sistemas del tipo A~x = ~0m, A ∈ Mm×n(R), siempre tienen al menos la soluciontrivial ~x = ~0n. En el caso en el que A es rectangular, estos sistemas tienen infinitas soluciones. Elconjunto de todas estas soluciones es el siguiente objeto de estudio de esta seccion.


Definicion 4.7 Sea A ∈ Mm×n(R). Definimos el espacio nulo de A, denotado por NA, como elconjunto de todas las soluciones del sistema A~x = ~0m. En sımbolos:

NA ={~x : A~x = ~0m

}.

Para hallar el espacio nulo de una matriz dada unicamente es necesario resolver el sistema A~x =~0m.

Ejemplo 4.10 Hallemos el espacio nulo de A =

1 2 −1 32 4 −2 64 −2 −1 1

. Por los calculos hechos

en el ejemplo anterior, tenemos que la forma ER de A|~03 es 1 2 −1 30 1 −1/2 11/60 0 0 0

∣∣∣∣∣∣000

De lo anterior vemos que x2 = x3/2 − 11x4/6. Procedemos mediante sustitucion hacia atrasy obtenemos x1 = −2x2 + x3 − 3x4 = −x3 + 11x4/3 + x3 − 3x4 = 2x4/3. Por lo tanto lassoluciones del sistema son de la forma ~x = (2x4/3, x3/2− 11x4/6, x3, x4)

T = x3(0, 1/2, 1, 0)T +

x4(2/3,−11/6, 0, 1)T . En conclusion:

NA ={~x : ~x = x3(0, 1/2, 1, 0)

T + x4(2/3,−11/6, 0, 1)T , x3, x4 ∈ R}.

Puede haber casos en los que el espacio nulo conste unicamente del vector ~0n.

Ejemplo 4.11 Sea A =

1 2 30 1 02 3 5

. Hallaremos el espacio nulo de A.

Se puede ver que |A| = −1, por lo tanto el sistema A~x = ~03 tiene unicamente la solucion trivial~x = (0, 0, 0)T = ~03, por lo tanto NA = {~03}.

4.4. Aplicaciones

Veamos algunos ejemplos en los que se pueden aplicar los resultados y metodos estudiados en estecapıtulo.

Ejemplo 4.12 Un comerciante de cafe tiene dos tipos de granos de cafe; uno que se vende en 9dolares por kilo y otro que se vende en 15 dolares por kilo. Se mezclaran los granos de modo quese obtengan 10 kg de cafe y estos se vendan en un total de 13.5 dolares por kilo. ¿Cuantos kg decada tipo de grano deben utilizarse en la mezcla?

Solucion: Debemos modelar el problema utilizando sistemas de ecuaciones. Denotemos primeropor x1 y x2, respectivamente, el numero de kg de cafe que se vende en 9 dolares por kilo y elnumero de kg de cafe que se vende en 15 dolares por kilo. Tenemos que el total de kg de la mezcla


debe ser 10, es decir x1 + x2 = 10. Por otro lado, la mezcla resultante debe venderse 13.5 dolarespor kg, es decir, la mezcla resultante debe venderse en un total de 135 dolares (ya que dicha mezclapesara en total 10 kg). Esto se modela mediante la ecuacion 9x1 + 15x2 = 132.5. De lo anteriorobtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:(

1 19 15

)(x1x2

)=

(10135

).

Al calcular el determinante de la matriz de coeficientes obtenemos que su valor es 6, por lo que estesistema tiene solucion unica, segun el Teorema 4.1. Mediante eliminacion gaussiana obtenemos:

(1 19 15

∣∣∣∣ 10135

)R2→R2−9R1−→

(1 10 6

∣∣∣∣ 1045

)R2→(1/6)R2−→

(1 10 1

∣∣∣∣ 107.5

).

Lo anterior implica que x2 = 7.5 y x1 + x2 = 10 ⇔ x1 = 10 − 7.5 = 2.5, por lo que el vectorsolucion este sistema es (2.5, 7.5)T . En el contexto del problema, esto significa para obtener lamezcla de cafe deseada deben utilizarse 2.5 kg del cafe que se vende en 9 dolares por kg y 7.5 kgdel cafe que se vende en 15 dolares por kg.

Ejemplo 4.13 Considere el siguiente diagrama correspondiente a un circuito de calles (los cırcu-los indican glorietas). Las flechas indican calles y direccion en las que los automoviles circulanrumbo a las glorietas. Cada glorieta tiene la capacidad de soportar el numero de carros indicadoen el diagrama, de modo que la cantidad de carros que entran a una glorieta es igual a la cantidadde carros que salen. ¿Cuales son los posibles valores del numero de carros que pueden circularpor las calles marcadas con las letras A, B y C? (Considere que un valor igual a cero indica queno hay salida por la calle correspondiente).

Solucion: Debemos modelar el problema utilizando un sistema de ecuaciones con tres incognitas,digamos A, B y C, donde estas incognitas representan el numero de carros que pueden circularpor las calles A, B y C respectivamente.

Del diagrama vemos que por la glorieta que conecta con las calles A y B entran 10 vehıculos entotal. Despues, A vehıculos salen por la calle A y B vehıculos salen por la calle B, por lo queA + B = 10 (ya que ningun vehıculo puede no salir de la glorieta). Tambien vemos que por lacalle A y la calle C entran, respectivamente, A y C vehıculos a otra glorieta por la que despuessalen 20 y 0.5C vehıculos, por lo tanto A+C = 20+0.5C o A+0.5C = 20. De manera analogatenemos que B + 0.5C = 30. Esto nos da el siguiente sistema de tamano 3× 3:

A +B = 10A +0.5C = 20

B +0.5C = 30,


o equivalentemente 1 1 01 0 0.50 1 0.5

ABC

=

102030

.

Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, tendremos que dicho determinante vale−1, por lo tanto, el Teorema 4.1 nos dice que este sistema tiene solucion unica.

Resolvemos este sistema utilizando eliminacion gaussiana: 1 1 01 0 0.50 1 0.5

∣∣∣∣∣∣102030

R2→R2−R1−→

1 1 00 −1 0.50 1 0.5

∣∣∣∣∣∣101030

R3→R3+R2−→

1 1 00 −1 0.50 0 1

∣∣∣∣∣∣101040

R2→−R2−→

1 1 00 1 −0.50 0 1

∣∣∣∣∣∣10−1040

.

Tenemos que C = 40, B − 0.5C = −10 ⇔ B = 0.5(40) − 10 = 10 y A + B = 10 ⇔ A =10− 10 = 0. Por lo tanto, el unico vector solucion del sistema es 0

1040

,

que interpretamos como que la calle A esta cerrada y por las calles B y C circulan, respectiva-mente, 10 y 40 vehıculos.

Ejemplo 4.14 Vamos a utilizar sistemas de ecuaciones para balancer la siguiente ecuacion quımi-ca:

Agua + Oxido de nitrogeno = Acido nıtricoH2O +N2O5 → HNO3.

Para ello reescribimos la ecuacion de interes agregando un coeficiente por cada sustancia. Elresultado de esto es la ecuacion

xH2O + yN2O5 → zHNO3.

Para que la ecuacion este balanceada, debe cumplirse que 2x = z (total de atomos de hidrogeno),x+5y = 3z (total de atomos de oxıgeno) y 2y = z (total de atomos de nitrogeno). Esto nos generael sistema 2 0 −1

1 5 −30 2 −1

000

.

Este es un sistema de ecuaciones lineales homogeneo de tamano 3× 3 cuya matriz de coeficientestiene determinante igual a 0. Por lo tanto, el Teorema 4.1 nos dice que el sistema no tiene solucionunica y, por lo comentado al final de la seccion anterior, esto implica que este sistema tiene infinitassoluciones.

Procediendo por eliminacion gaussiana obtenemos:


2 0 −11 5 −30 2 −1

∣∣∣∣∣∣000

R1→(1/2)R1−→

1 0 −1/21 5 −30 2 −1

∣∣∣∣∣∣000

R2→R2−R1−→

1 0 −1/20 5 −5/20 2 −1

∣∣∣∣∣∣000

R2→(1/5)R2−→

1 0 −1/20 1 −1/20 2 −1

∣∣∣∣∣∣000

R3→R3−2R2−→

1 0 −1/20 1 −1/20 0 0

∣∣∣∣∣∣000

.

Lo anterior nos dice que y = z/2 y x = z/2, por lo tanto todas las soluciones del sistema sonvectores de la forma z(1/2, 1/2, 1)T para cualquier numero real z. Ahora, segun el contexto delproblema, no podemos eliminar atomos de alguno de los elementos quımicos que aparecen en laecuaciony tampoco podemos tener “medios atomos”, por lo que debemos elegir z de forma que xy y sean enteros. Si tomamos z = 2 obtenemos x = 1 = y y la ecuacion

H2O +N2O5 → 2HNO3,

la cual claramente esta balanceada.

4.5. Ejercicios

1. P (x) es un polinomio de grado 2, con coeficientes reales, tal que P (1) = 0, P (2) = 1 yP (3) = 1. Halle explıcitamente P .

2. Sea X =

5 −1 20 −7 21 −1/5 2/50 −14 4

. Halle los espacios nulo y columna de X .

3. Un profesor de biologıa esta planeando la distribucion de su tiempo laboral de lunes amiercoles de la siguiente manera: ignorando las horas que ya tiene asignadas, debe impartirsesiones de asesorıas de su curso, tener tiempo destinado a posibles juntas y tiempo pararevisar tareas. El total de horas dedicadas a cada una de estas actividades en lunes es de 8. Elmartes piensa dedicar un total de 5 hrs. 30 minutos a estas actividades, pero no dara sesionesde asesorıas y solo utilizara la mitad de su tiempo destinado a las juntas. El miercoles dara eldoble de las horas de asesorıas que impartio el lunes, de modo que en total dedique 8 horasa sus actividades. ¿Cuanto tiempo debe dedicar a cada actividad para que se cumplan todasestas condiciones?

4. P (x) es un polinomio de grado 2, con coeficientes reales, tal que P (1) = 1, P (2) = 2 yP (3) = 3. Halle explıcitamente P .

5. Halle CF y NF donde F =

(2 0 1−8 2 −1

).

6. Sea G = (gij)i,j∈{1,2} ∈M2×2(R) tal que g11 + 2g12 = g21, 5g11 − g22 = −2 y g21 = g12 + 1.Halle todas las posibles matrices G.

4.5. EJERCICIOS 69


A =

1 0 20 1 −1/20 0 0

.

De la siguiente lista de afirmaciones, determine todas aquellas que sean verdaderas, justifi-cando formalmente su respuesta.

a) La matriz A esta en su forma escalonada por renglones.

b) La matriz A esta en su forma escalonada reducida por renglones.

c) El sistema A~x = ~b,~b 6= ~0, tiene solucion unica.

d) El sistema A~x = ~0 tiene solucion unica.

e) A no es una matriz elemental.


A =

1 0 00 1 00 0 1/2

.

De la siguiente lista de afirmaciones, determine cuales son verdaderas y cuales son falsas.En ambos casos justifique formalmente su respuesta.

a) La matriz A esta en su forma escalonada por renglones.

b) La matriz A esta en su forma escalonada reducida por renglones.

c) El sistema A~x = ~b tiene solucion unica.

d) A es una matriz elemental.

e) A es equivalente por renglones a I3.

9. Sea

A =

2 1 2 32 5 0 03 0 1 15 2 3 2

,

Considere los sistemas A~x = ~b y A~x = ~0, donde~b = (1,−2, 0, 1)T . ¿Tienen solucion unica?En caso afirmativo, halle dichas soluciones.

A partir de este momento, sera necesario que el estudiante investigue las hipotesis y la defi-nicion de la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

10. Se cuenta con 3 tipos de sustanciasA,B y C, las cuales se adquieren a precios de 10, 15 y 30pesos cada medio litro, respectivamente. Se desea mezclar las sustancias de manera que lamezcla resultante sea de 2.5 litros, con un costo de exactamente 50 pesos y tal que la cantidadde litros de la sustancia A sea dos tercios del total de litros utilizados de las sustancias B yC.

a) Halle el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema.

b) Verifique que este sistema tiene solucion unica.

c) Resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado utilizando la regla de Cramer y laformula para determinantes de 3× 3.


d) Determine si es posible obtener una mezcla con las caracterısticas pedidas.

11. Jonas, Jacobo, Jose y Jonathan presentan un examen de calculo diferencial cuyo mınimopuntaje aprobatorio es 60. Jonathan les pregunta a Jonas, Jacobo y Jose por sus notas en elexamen, a lo que Jonas responde lo siguiente:

Mi calificacion aumentada en 11 puntos es igual al total de las calificaciones de Jacobo yJose. Ademas, el doble de mi calificacion aumentado en el total de las calificaciones deJacobo y Jose da un total de 221. Por ultimo, la diferencia de mi calificacion y la calificacionde Jacobo es igual a la diferencia de 31 y la calificacion de Jose. Si Jonathan tuvo 65 en elexamen ¿quien obtuvo la nota mas alta y quien obtuvo la nota mas baja?

12. Jacobo, Jonas y Jose han presentado un examen extraordinario de algebra lineal. El profesor acargo les ha dicho lo siguiente respecto a sus calificaciones: la suma de las tres calificacioneses 20, el doble de la suma de las calificaciones de Jacobo y Jonas es seis veces la calificacionde Jose y Jose obtuvo dos puntos menos que Jacobo. Si el mınimo aprobatorio en este examenes 7, determine quien o quienes aprobaron el examen (utilice solamente la regla de Cramery la formula para determinantes de 3× 3 para resolver este ejercicio).

13. El siguiente es un problema clasico en Teorıa de Interpolacion: Suponga que se desea “esti-mar” una funcion f(x) utilizando funciones polinomiales, segun el siguiente criterio:

a) Se conoce el valor de la funcion f en n distintos puntos x1, x2,..., xn. Es decir, se conocenlas parejas (x1, f(x1)),..., (xn, f(xn)).

b) Se desea utilizar un polinomio de grado n − 1 con termino constante (posiblemente)distinto de cero, tal que P (xj) = f(xj) para todo j = 1, 2, . . . , n.

Suponga que n = 3 y que la funcion que se desea aproximar satisface f(0) = 1.5, f(1) = 0y f(2) = −1. Determine el polinomio aproximante P .

14. Aldo, Diego y Sabino han decidido festejar que aprobaron su curso de algebra lineal, paralo cual acordaron organizar una pequena fiesta. Han optado por comprar botanas, refrescosy cierta bebida llamada V. Aldo hace cuentas y nota que, en total, cuentan con un capital de2000 pesos para comprar todo lo necesario para la fiesta. Sabino, por su parte, propone quela cantidad de botellas de V que compren sea la tercera parte de la cantidad de botellas derefresco. Diego propone tambien que entre las bolsas de botana compradas y las botellas derefresco, se gasten exactamente 750 pesos. Si cada botella de refresco cuesta 20 pesos, cadabolsa de botana cuesta 10 pesos y cada botella de la bebida V cuesta 150 pesos ¿cuantasbolsas de botana, botellas de refresco y botellas de la bebida V pueden comprar para sufiesta?

15. Considere la siguiente red, donde cada cırculo (vertice) representa un servidor y las flechasindican “salida (o entrada) de informacion” (medida en kilobytes). La red esta sujeta a lacondicion de que las entradas y las salidas son iguales. Las incognitas representan flujo deinformacion (medido tambien en kilobytes).

4.5. EJERCICIOS 71

Halle todos los posibles valores de los flujos mostrados en este diagrama.

16. Balancee las siguientes reacciones utilizando sistemas de ecuaciones lineales:

a) CS2 +O2 → CO2 + SO2, b) NaClO → NaCl +NaClO3,

c) CaSO4 + SiO2 + C → CaSiO3 + CO + S, d)PH3 +NO2 → P4O10 +H2O +N2.

17. Sea

C =

(0 1 21 0 0

).

a) Verifique que el sistema 21/117[CBP12AC

T + (C + CA)CT]~x = (21/117, 2118/117)T

tiene solucion unica.

b) Resuelva el sistema del inciso anterior utilizando eliminacion Gaussiana y hallando lainversa de la matriz de coeficientes. Verifique que ambos resultados son iguales.

Capıtulo 5

Eigenvalores, eigenvectores ydiagonalizacion

En este capıtulo veremos una aplicacion conjunta de determinantes y sistemas de ecuaciones. Intro-duciremos, ademas, un segundo ejemplo de un conjunto con operaciones de suma y multiplicacionque cumple las propiedades de campo. Una vez hecho esto, introduciremos tambien un segundoejemplo de espacio vectorial.

5.1. El espacio vectorial Cn

Dado que empezaremos a trabajar con numeros complejos, comencemos por definirlos:

El conjunto de todos los numeros complejos, denotado por C es el conjunto cuyos elementos sonde la forma a+ ib, donde i =

√−1 y a, b ∈ R. En notacion de conjuntos:

C = {a+ ib : a, b ∈ R, i =√−1}.

a, b se conocen respectivamente como la parte real y la parte imaginaria del numero complejoz = a+ ib. Esto se denota como Re(z) = a e Im(z) = b.

Si tenemos el numero complejo a+ ib, el complejo a− ib se conoce como el conjugado de a+ ib.

Es posible definir operaciones de suma, multiplicacion y division en C:

Suma: si a + ib, c + id son numeros complejos, se define su suma como (a + ib) + (c + id) =(a+ c) + i(b+ d).

Multiplicacion: (a+ ib)(c+ id) = a(c+ id) + ib(c+ id) = ac− bd+ i(ad+ bc).

Division: consideremos el caso especial 1a+ib

. Para efectuar esta division, multiplicamos en el nu-merador y el denominador por el conjugado del numero complejo que aparece en el denomi-nador. De esto obtenemos

1

a+ ib=

1

a+ ib

(a− iba− ib

)=

a− iba2 − (ib)2

=a− iba2 + b2

.

De este modo, para efectuar la division a+ibc+id

solo es necesario multiplicar el numerador y el deno-minador por el conjugado del numero complejo en el denominador.

73

74 CAPITULO 5. EIGENVALORES, EIGENVECTORES Y DIAGONALIZACION

Multiplicacion de un numero complejo y un numero real: si α ∈ R y a+ ib ∈ C, tenemos que

α(a+ ib) = αa+ iαb.

Ejemplo 5.1 Tomemos α = 1/2, 5− i√2 y 4 + i2

√2.

(5− i√2) + (4 + i2

√2) = 9 + i(−

√2 + 2

√2) = 9 + i

√2.

(5− i√2)(4 + i2

√2) = 5(4 + i2

√2)− i

√2(4 + i2

√2)

= 20 + i10√2− 4i

√2− i22(

√2)2

= 20− (−1)(2)(2) + i6√2 = 24 + i6

√2.

5− i√2

4 + i2√2=

5− i√2

4 + i2√2

4− i2√2

4− i2√2

=20− 2(2) + i(−10

√2− 4

√2)

16 + 8

=16− i14

√2

24=

8− i7√2

12.

Se puede demostrar que (C,+, ∗), con las operaciones definidas anteriormente, es un campo.

De manera analoga a la definicion de Rn, definimos Cn como el conjunto de todos los arreglos detamano n, tales que cada elemento del arreglo es un numero complejo. En sımbolos:

Cn = {(z1, z2, . . . , zn) : z1, z2, . . . , zn ∈ C}.

Cn tambien puede dotarse de una operacion suma entre sus elementos y una multiplicacion por unescalar. En este caso, el conjunto de los escalares sera C, aunque tambien puede utilizarse R.

Tenemos entonces:

Suma de elementos de Cn: si z = (z1, z2, . . . , zn), w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ Cn, definimos susuma como

z + u = (z1 + w1, z2 + w2, . . . , zn + wn).

Multiplicacion por un escalar: si α ∈ C, definimos

αz = (αz1, αz2, . . . , αzn).

En la unidad siguiente demostraremos que (Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C y tambien unespacio vectorial sobre R.

5.2. Eigenvalores y eigenvectores

Tomemos A ∈ Mn×n(C), λ ∈ C y v ∈ Cn\{~0}. Diremos que v es un eigenvector de A coneigenvalor asociado λ si se cumple que Av = λv.

5.2. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES 75

Notemos que si v es un eigenvector de A con eigenvalor λ, por definicion de eigenvector, v 6= ~0 y||v|| 6= 0. Por lo tanto

Av = λv ⇔ Av

||v||= λ

v

||v||.

En general, para cualquier c ∈ C\{0}, Av = λv ⇔ A(cv) = λ(cv). Por lo tanto a partir de unapareja (λ, v) se pueden obtener infinitos eigenvectores con sus respectivos eigenvalores.

El caso particular c = 1/||v|| corresponde al caso en el que el eigenvector se considera unitario onormalizado.

Para que una pareja (λ, v) exista, debe cumplirse la condicion Av = λv, la cual es equivalente aque el sistema de ecuaciones lineales homogeneo (A− λIn×n) v = ~0 tenga infinitas soluciones(de otro modo, su unica solucion serıa v = ~0, que no entra en la definicion de eigenvector). Estoocurre si y solo si |A− λI| = 0, lo cual motiva la siguiente definicion y la siguiente proposicion.

Definicion 5.1 Sea A ∈ Mn×n(R) y sea p(λ) = |A − λI|. A p(λ) lo llamaremos el polinomiocaracterıstico de A.

Proposicion 5.1 Sea A ∈Mn×n(R) y sea p(λ) su polinomio caracterıstico. Entonces

1. λ es un eigenvalor de A si y solo si p(λ) = 0. Es decir, los eigenvalores de A son las raıcesdel polinomio caracterıstico de A.

2. v es un eigenvector de A con eigenvalor λ si y solo si v es una solucion no trivial del sistema(A− λI) v = ~0.

Ejemplo 5.2 Hallemos los eigenvalores y eigenvectores de A =

1 −1 0−2 0 00 −1 0

. Para ello

procedemos de la siguiente manera:

1. Calculamos los eigenvalores λ de A resolviendo la ecuacion p(λ) = |A− λI| = 0.

2. Para cada valor de λ hallado en el inciso anterior, resolvemos el sistema (A− λI) v = ~0

Para el paso 1 tenemos:

p(λ) =

∣∣∣∣∣∣1− λ −1 0−2 −λ 00 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)(−λ)(−λ) + 2λ = 2λ+ λ2 − λ3.

Por lo tanto p(λ) = 0 ssi −2λ + λ2 − λ3 = 0 ssi −λ(−2 − λ + λ2) = 0. Las soluciones de estaecuacion son λ1 = 0, λ2 = −1 y λ3 = 2.

En el paso 2, resolvemos el sistema para λ = 0. Es decir, hallamos las soluciones de Av = ~0. Sepuede ver que una forma escalonada reducida de A|~0 es 1 −1 0

0 −1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣000

.


Por lo tanto v1 = 0 = v2 y v3 es cualquier numero real. Es decir, las soluciones no triviales delsistema son cualquier multiplo del vector (0, 0, 1)T , distinto del vector nulo. Se sigue que todos losvectores de la forma (0, 0, v3)

T son eigenvectores de A con eigenvalor asociado λ = 0.

Resolvemos ahora el sistema (A+ I) v = ~0. En este caso, una forma escalonada reducida deA+ I|~0 es 2 −1 0

0 −1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣000

.

Por lo tanto si fijamos v3, tenemos que v2 = v3 y v1 = 12v2 = 1

2v3. Por lo tanto las soluciones no

triviales son todos los multiplos no nulos del vector (1/2, 1, 1)T . Es decir, todos los vectores de laforma (v3/2, v3, v3)

T son eigenvectores de A con eigenvalor λ = −1.

Finalmente, para λ = 2 resolvemos el sistema (A− 2I) v = ~0. En este caso, una forma escalonadareducida de A− 2I|~0 es −1 −1 0

0 −1 −20 0 0

∣∣∣∣∣∣000

.

Por lo tanto, si v3 es fijo, tenemos v2 = −2v3 y v1 = −v2 = 2v3, de modo que todas las solucionesno triviales del sistema son los multiplos no nulos del vector (2,−2, 1)T . Es decir, los vectores dela forma (2v3,−2v3, v3)T son eigenvectores de A con eigenvalor asociado λ = 2.

En el ejemplo anterior podemos notar que, por definicion, ~0 no es un eigenvector, pero λ = 0 sıpuede ser un eigenvalor de alguna matriz. Mas aun, el caso en el que λ = 0 es un eigenvalor deA ∈ Mn×n(R) implica que |A| = 0, lo cual es equivalente a que A no sea invertible. El recıprocotambien es cierto.

En general, los eigenvalores de A no necesariamente tienen que ser numeros reales. Ellos puedenser numeros complejos y los eigenvectores pueden tener entradas que sean numeros complejos.Esto se debe a que las raıces de p(λ) pueden ser numeros complejos. Por ejemplo, si en la matriz Adel ejemplo anterior, la entrada a21 hubiera sido 1, tendrıamos p(λ) = −λ(1− λ+ λ2). Mediantela formula general tenemos que las soluciones distintas de λ = 0 de esta ecuacion son λ1 = 1+i

√3

2

y λ2 = 1−i√3

2.

Ahora definiremos un concepto importante sobre eigenvalores y sus “multiplicidades”.

Por el Teorema Fundamental del Algebra, podemos afirmar que si p(λ) es de grado n, entonces

p(λ) se puede factorizar como∏m

j=1(λ − λj)rj , dondem∑j=1

rj = n y λ1, . . . , λm ∈ C. Es decir, p

tiene n raıces contando multiplicidades. Las multiplicidades de cada raız son el numero de vecesque dicha raız aparece en la factorizacion p(λ) =

∏mj=1(λ − λj)rj (es decir, la multplicidad de la

raız λj es la potencia mj).

En el caso en el que rj = 1 para todo j, el polinomio tiene n raıces distintas y p(λ) =∏n

j=1(λ−λj).Si alguno de los rj es mayor que 1, entonces p(λ) =

∏mj=1(λ − λj)

rj tiene m raıces distintasλ1, . . . , λm con multiplicidades respectivas r1, . . . , rn.

De lo anterior se sigue el siguiente resultado.

Teorema 5.1 Sea A ∈Mn×n(R). Entonces, contando multiplicidades, A tiene n eigenvalores (nonecesariamente todos distintos).

5.3. DIAGONALIZACION 77

Si A ∈ Mn×n(R) y si λj un eigenvalor de A, definimos la multiplicidad algebraica de λj , deno-tada por ma(λj), como la multiplicidad de λj en la factorizacion p(λ) =

∏mj=1(λ− λj)rj . Es decir

ma(λj) = rj .

Ejemplo 5.3 En el ejemplo 5.2 tenemos que λ1 = 0, λ1 = −1 y λ2 = 2 tienen todos multiplicidadalgebraica igual a 1.

El siguiente resultado considera el caso en que A es invertible.

5.3. Diagonalizacion

Concluiremos este capıtulo con el concepto de diagonalizacion de una matriz.

Definicion 5.2 Dos matrices D,B ∈ Mn×n(R) son semejantes si existe una matriz invertible Ctal que B = CDC−1. En el caso particular cuando D es una matriz diagonal, diremos que B esuna matriz diagonalizable.

Se puede probar que si D es una matriz diagonal con entradas djj en su diagonal y ceros fuera deella, entonces Dk es la matriz diagonal con entradas dkjj en su diagonal y ceros fuera de ella. Paraefectos computacionales y de calculos, poder diagonalizar una matriz resulta sumamente util.

Por ejemplo, en la aplicacion vista en el Capıtulo 1 sobre Cadenas de Markov, si la matriz detransicion P es diagonalizable, es decir P = CDC−1 para cierta matriz invertible C, tendrıamosque P k = CDkC−1.

Esto se puede ver por induccion matematica o procediendo recursivamente. Por ejemplo, P 2 =PP = CDC−1CDC−1 = CDIn×nDC

−1 = CDDC−1 = CD2C−1.

En general, determinar cuando una matriz es diagonalizable no es sencillo. En esta seccion veremosvarios resultados al respecto.

Teorema 5.2 SeaA ∈Mn×n(R).A es diagonalizable si y solo si tiene n eigenvectores linealmenteindependientes. En este caso, si los eigenvalores y eigenvectores son las parejas (λ1, v1), . . . , (λn, vn),donde los λj no necesariamente son todos distintos, entonces la matriz C esta determinada porC = (v1, . . . , vn) y D = (djk)j,k∈{1,...,n} es la matriz diagonal tal que djj = λj y djk = 0 para todoj 6= k.

Corolario 5.1 Si A ∈Mn×n(R) tiene n eigenvalores distintos, entonces A es diagonalizable.

Ejemplo 5.4 La matriz del ejemplo 5.2 es diagonalizable ya que ella es de tamano 3 y tiene 3eigenvalores distintos. Si tomamos los eigenvectores v1 = (0, 0, 1)T , v2 = (1/2, 1, 1)T y v3 =(2,−2, 1)T y consideramos la matriz C = (v1, v2, v2), es facil ver que |C| = −3, por lo que C esinvertible y el sistema Cx = ~0 tiene solamente la solucion trivial, de modo que v1, v2, v3 son l.i.Por el Teorema 5.2, tenemos que A = CDC−1, donde

D =

0 0 00 −1 00 0 2

y C−1 =

−1 −1/2 12/3 2/3 01/3 −1/6 0

.


Ejemplo 5.5 Sea A =

1 0 00 0 10 0 1

. En este caso la matriz A− λI esta dada por

A− λI =

1− λ 0 00 −λ 10 0 1− λ

,

que es una matriz triangular superior. Por lo tanto |A−λI| = (1−λ)(−λ)(1−λ), el cual es cerosi y solo si λ ∈ {0, 1}. En este caso tenemos que los eigenvectores asociados a 0 son (x, y, z)T

tales que y 6= 0, x = 0 = z, y los eigenvectores asociados a 1 son aquellos (x, y, z)T tales quex ∈ C, y ∈ C, z = y, donde x, y, z no son todos cero al mismo tiempo. Notemos que (1, 0, 0)T y(0, 1, 1)T son eigenvectores de 1 y estos vectores son linealmente independientes. Por lo tanto, sitomamos la matriz

C =

0 1 01 0 10 0 1

,

es facil ver que |C| = −1, por lo que C es invertible y por lo tanto sus vectores columna sonlinealmente independientes. El primer vector columna es un eigenvector asociado a λ = 0 y losultimos dos son eigenvectores asociados a λ = 1. Utilizando nuevamente el Teorema 5.2 tenemosque A = CDC−1, donde

D =

0 0 00 1 00 0 1

y C−1 =

0 1 −11 0 00 0 1

.

Ejemplo 5.6 Sea A =

1 1 0−1 1 00 0 1

, en este caso:

p(λ) = (1 − λ)3 + (1 − λ) = (1 − λ) [(1− λ)2 + 1] = (1 − λ)(λ2 − 2λ + 2) y p(λ) = 0 ssiλ ∈ {1, 1 + i, 1− i}.Como los tres eigenvalores son distintos, tenemos que A es diagonalizable. Debemos ahora obte-ner los eigenvectores asociados a cada eigenvalor.

Para ello resolvemos los sitemas (A− λI3)v = ~0 en cada caso:

Para λ = 1: 0 1 0−1 0 00 0 0

∣∣∣∣∣000

, (5.3.1)

lo que implica que las soluciones no triviales son de la forma v = (0, 0, v3)T con v3 6= 0.

Para λ = 1 + i: −i 1 0−1 −i 00 0 −i

∣∣∣∣∣000

→ 1 −i 0

0 0 −i0 0 0

∣∣∣∣∣000

. (5.3.2)

5.4. EJERCICIOS 79

De lo anterior obtenemos que −iv3 = 0 ssi v3 = 0 y v1 + iv2 = 0 ssi v1 = −iv2 y v2 ∈ C. Por lotanto los eigenvectores asociados a λ = 1 + i son de la forma v2(−i, 1, 0)T con v2 6= 0.

Analogamente obtenemos que los eigenvectores asociados a λ = 1− i son de la forma v2(i, 1, 0)T

con v2 6= 0. Por lo tanto:

D =

1 0 00 1 + i 00 0 1− i

, C =

0 −i i0 1 11 0 0

y C−1 =

0 0 1i/2 1/2 0−i/2 1/2 0

.

5.4. Ejercicios


A =

4 2 32 1 2−1 −2 0

.

a) Halle los eigenvectores de A.

b) Halle el angulo entre cada pareja de eigenvectores y el angulo entre el eje de las x(representado por el vector (1, 0, 0)T ) y cada eigenvector.

2. Sea X =

(1 11 1

). Determine si X es diagonalizable y, en caso afirmativo, utilice la

diagonalizacion de X para calcular X12.

3. ¿Cuales son los eigenvalores de A =

(1 2 34 5 6

)?

4. Sea A =

1 2 1000 6 10 0 −1

. ¿Es A diagonalizable?

5. A es una matriz cuadrada de tamano 3 con eigenvalores λ1 = i, λ2 = −i y λ3 = i + 1. ¿EsA diagonalizable?

6. Para cada una de las matrices dadas, halle sus eigenvalores y eigenvectores.

A =

1 2 −13 1 14 8 −4

, B =

0 1 0−1 0 00 0 2

.

7. Determine si los eigenvectores de las cinco matrices de los ejercicios anteriores forman unabase para el correspondiente espacio Cn.

8. Determine si las cinco matrices de los ejercicios anteriores son diagonalizables. En tal caso,halle explıcitamente las matrices C, C−1 y D de la diagonalizacion.


9. Suponga que es posible modelar los viajes de un taxi en dos zonas A y B, mediante unaCadena de Markov con estados {A,B}. La probabilidad de que el taxista haga un viaje de lazona A a la zona B es de 0.65 y la probabilidad de que haga un viaje de la zona B a la zonaA es de 0.45. Utilizando la teorıa sobre matrices diagonalizables, calcule las probabilidadesde transicion en 10 y 15 pasos de la Cadena de Markov asociada.

Nota: en la teorıa de Cadenas de Markov se Verifique que, si P es la matriz de transicionasociada a la cadena, entonces P n es la matriz que contiene las probabilidades de transicionen n pasos. El ejemplo sobre Cadenas de Markov dado en el Capıtulo 1 puede ser de utilidad.

10. Se esta aplicando cierto tratamiento para pacientes con trastorno de bipolaridad. Para ello,se realiza un examen diagnostico a cada paciente, al final del cual un paciente es catalo-gado como en estado euforico, estable o deprimido. Despues del diagnostico, se aplica eltratamiento a los pacientes y se les cita para una segunda revision. En esta revision, nue-vamente los pacientes son catalogados como en estado euforico, estable o deprimido y seaplica nuevamente el tratamiento. En cada revision, se ha observado que existe una probabi-lidad de 0.3 de que un paciente deprimido continue en este estado, 0.3 de que pase al estadoeuforico y 0.4 de que se estabilice. Tambien se observa que un paciente en estado euforicotiene probabilidades respectivas de 0.2, 0.15 y 0.65 de permanecer euforico, deprimirse oestabilizarse. Finalmente, un paciente estable tiene probabilidades respectivas de 0.1, 0.3 y0.7 de deprimirse, pasar al estado euforico o permanecer estable. Si al inicio del estudio hay20 pacientes en cada tipo de estado ¿cual es el numero esperado de pacientes deprimidos,euforicos y estables despues de 50 observaciones?

11. Sean

X =

3 20 0−1 0 30 0 0

, B =

0 1 11 0 11 1 0

, W =

2i −2 i−1 1 −11 1 i

.

a) Halle los eigenvalores de estas matrices, con sus correspondientes multiplicidades.

b) Halle los espacios nulo y columna de estas matrices.

c) Determine si las matrices dadas son diagonalizables y, en caso afirmativo, calcule supotencia 5 utilizando la correspondiente diagonalizacion.

12. Un taxista hace viajes en dos zonas de la ciudad (digamos, zona A y zona B). La probabilidadde hacer un viaje de una zona a otra se indica en la siguiente tabla.

A BA 0.4 0.6B 0.3 0.7

Con probabilidad π1, el taxista inicia su dıa laboral en A y con probabilidad 1 − π1 iniciasu dıa laboral en B. La probabilidad de que el taxista se encuentre en A o en B despuesde k viajes puede calcularse como (π1, 1 − π1)Ak, donde A es la matriz de adyacencia dela Cadena de Markov que modela los viajes del taxista. Calcule la probabilidad de que eltaxista se encuentre en la zona B despues de 20 viajes, suponiendo π1 = 0.5.

5.5. SIMULACRO DE SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 81

13. Halle los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes matrices. Calcule tambien las corres-pondientes multiplicidades geometrica y algebraica y describa los eigenespacios correspon-dientes.

A =

a 0 −10 1 00 0 −a

, B =

2 −x 0 00 0 x 11 0 0 00 0 0 0

,

donde a, x ∈ C.

5.5. Simulacro de segundo examen parcial


Debera utilizar tres metodos distintos para resolver los sistemas de ecuaciones de los ejercicios3-5.


1. (100 pts.) Una matriz B de tamano 3 × 3 tiene eigenvalores −1 y 1 con respectivos ei-genvectores asociados v = v1(1, 2, 0)

T + v3(2, 0, 1)T , v1, v3 ∈ C, v1 + v3 6= 0 y v =

v1(1,−1, 2)T , v1 6= 0. Determine si esta matriz es diagonalizable y, en caso afirmativo, halleB.

2. (100 pts.) Sea X =

2 −1 20 1 −21 1 −21 0 0

. Halle los espacios nulo y columna de X .

3. (100 pts.) Sea A =

(1 10 1

). Halle los eigenvalores y eigenvectores de A.

4. (100 pts.) Jonas, Jose y Jacobo han ganado el concurso de baile de Just Dance. Para celebrar,han decidido organizar una pequena reunion en la cual ofreceran vodka con jugo de naranja.Para ello compraran botellas de vodka y jugo de naranja, todas con capacidad de dos litros.Su idea es vaciar todas las botellas de vodka y todas las botellas de jugo en un enormerecipiente con capacidad de 60 litros, de forma tal que utilicen exactamente 56 de estos 60litros. Si cuentan con un capital de 2400 pesos y cada botella de vodka cuesta 250 pesos ycada botella de jugo cuesta 20 pesos ¿cuantas botellas de vodka y cuantas de jugo de naranjadeben comprar para su fiesta?

5. (100 pts.) Un polinomio P de grado 3 con coeficientes reales es tal que P (0) = 0, P (1) = 1,P (2) = −1, P (3/2) = 0. Halle explıcitamente P .

Capıtulo 6

Espacios vectoriales generales

Hasta ahora hemos estudiado arreglos de n numeros de reales o complejos, los cuales llamamosvectores en Rn (o en Cn). Sin embargo, el termino vector es un concepto mucho mas generalque incluye no solamente arreglos de numeros reales. Puede incluir tambien matrices, polinomios,funciones y objetos totalmente abstractos. Todos estos casos corresponden a conjuntos de objetosque forman un espacio vectorial bajo ciertas operaciones definidas en dichos conjuntos. Estosespacios son el principal objetivo de estudio de este capıtulo.

6.1. Algunos conceptos de teorıa de conjuntos

Antes de comenzar con el contenido correspondiente a este capıtulo, recordemos algunas defini-ciones basicas sobre conjuntos que seran de utilidad.

Definicion 6.1 Un conjunto es una coleccion bien definida de objetos.

Tales objetos pueden ser figuras, numeros, palabras, letras, etc.

En adelante denotaremos a los conjuntos con letras mayusculas y a sus elementos con letrasminusculas. Si A es un conjunto, usaremos la notacion a ∈ A para indicar que “a es un ele-mento de A”(esto tambien se lee como “a pertenece al conjunto A”. De manera similar, usaremosla notacion a /∈ A para denotar que el elemento a no pertenece a A.

Ejemplo 6.1 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este caso tenemos que 1 ∈ A y, de hecho, podemosescribir 1, 2, 3, 4, 5, 6 ∈ A para indicar que estos seis numeros pertenecen al conjunto A. Por otrolado, si ahora consideramos (por ejemplo) el numero 7, tendremos 7 /∈ A.

Los conjuntos se pueden escribir por comprension o por definicion.

Ejemplo 6.2 Consideremos los conjuntosA = {2, 3, 4} yB = {todos los numeros naturales pares}.El conjunto A esta escrito segun su definicion (en este caso, el conjunto se escribe poniendo entrellaves todos sus elementos) y el conjunto B esta escrito segun su comprension (en este caso nose escriben todos los elementos del conjunto; se escribe solamente la caracterıstica comun quetienen tales elementos).

83

84 CAPITULO 6. ESPACIOS VECTORIALES GENERALES

La escritura por comprension es la opcion ideal cuando el conjunto tiene una cantidad infinita deelementos, como es el caso del conjunto B.

Para dicho conjunto B, la escritura por comprension puede reescribirse con sımbolos matemati-cos:

{n ∈ N : n = 2k, k ∈ N}.

La notacion anterior se lee de la siguiente manera:

La parte “n ∈ N”nos dice que todos los elementos de este conjunto seran numeros natura-les.

Los dos puntos siguientes (que en ocasiones se reemplazan por una lınea vertical) se leencomo “tales que”.

Todo lo escrito despues de los dos puntos lo llamaremos la condicion que define al conjuntoB. En este caso, dicha condicion dice que los numeros n en B son de la forma 2k, con kotro numero natural. Esta es la forma matematica de decir que “un numero es par”.

En resumen, la notacion {n ∈ N : n = 2k, k ∈ N} se lee como el conjunto de todos los numerosnaturales n (n ∈ N) tales que (:) n es par.

Ejemplo 6.3 Si tomamos una matriz A ∈Mm×n(R) fija y consideramos el conjunto

NA = {x ∈ Rn : x es solucion del sistema Ax = 0m},

este conjunto representa el conjunto de todas las soluciones del sistema homogeneo de ecuacio-nes linealesAx = 0m.

Se ha visto en el Capıtulo 3 que un sistema homogeneo de ecuaciones lineales tiene exactamenteuna solucion o infinitas soluciones. En el ejemplo 4.14 fue necesario calcular todas las solucionesdel sistema homogeneo 2 0 −1

1 5 −30 2 −1

x1x2x2

=

000

.

Vimos que dichas soluciones son de la forma z(1/2, 1/2, 1)T , donde z ∈ R es cualquier numeroreal. Por lo tanto, siA es la matriz de coeficientes del sistema anterior, su correspondiente conjuntoNA esta dado por NA = {x ∈ R3 : x = z(1/2, 1/2, 1)T , z ∈ R}.Se puede observar que este conjunto NA consta de vectores en R3. En este caso, la condicion quedefine al conjunto NA es “x es solucion del sistema Ax = 0m”.

La siguiente definicion que nos interesa es la nocion de subconjunto.

Definicion 6.2 Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es un subconjunto (impropio) de B,denotado por A ⊆ B, si para todo elemento a ∈ A se cumple tambien que a ∈ B.

Si ademas de lo anterior, se cumple que existe b ∈ B tal que b /∈ A, diremos que A es un subcon-junto propio de B, lo cual denotaremos como A ⊂ B.

6.2. DEFINICION DE CAMPO Y DE ESPACIO VECTORIAL 85

Ejemplo 6.4 Si A es un conjunto, cualquier otro conjunto B dado por

B = {a ∈ A : a cumple cierta condicion},

satisface que B ⊆ A.

El conjunto NA del ejemplo anterior cumple que NA ⊂ R3 (NA es un subconjunto propio de R3).Para verificar esto, tenemos que NA consta de algunos vectores de R3. Sin embargo, el vector(1, 1, 1)T que pertenece a R3, no pertenece a NA ya que este vector no cumple la condicion deser solucion del sistema Ax = 03 (se vio que todas las soluciones de este sistema son de la formaz(1/2, 1/2, 1)T , pero (1, 1, 1)T no tiene tal forma).

6.2. Definicion de campo y de espacio vectorial

En la unidad I hablamos brevemente de conjuntos en los que se definen dos operaciones entre suselementos. Estas operaciones, al cumplir ciertas propiedades, dotan al conjunto en cuestion de laestructura matematica conocida como campo.

En general, un campo es una estructura matematica abstracta, pero para efectos de este curso, cadaque pensemos en un campo lo consideraremos un conjunto de elementos en los que se puede operarexactamente igual que en los numeros reales.

Recordemos a continuacion su definicion matematica.

Definicion 6.3 Sea K un conjunto no vacıo de elementos (no necesariamente numeros) en el cualse definen dos operaciones llamadas suma (denotada por +) y multiplicacion (denotada por *)entre elementos del mismo K. Diremos que (K,+, ∗) es un campo si sus operaciones suma ymultiplicacion satisfacen las siguientes propiedades:

1. Para cualesquiera a, b ∈ K, a + b ∈ K y a ∗ b ∈ K (cerradura bajo la suma y la multipli-cacion).

2. Para cualesquiera a, b ∈ K, a + b = b + a y a ∗ b = b ∗ a (conmutatividad de la suma y lamultiplicacion).

3. Para cualesquiera a, b, c ∈ K, a+(b+c) = (a+b)+c y a∗(b∗c) = (a∗b)∗c (asociatividadde la suma y multiplicacion).

4. Existe un unico elemento en K, denotado por 0 ∈ K, tal que a+ 0 = a = 0 + a (existenciadel elemento neutro aditivo).

5. Existe un unico elemento enK distinto de 0, denotado por 1 6= 0, tal que a∗1 = a (existenciadel elemento neutro multiplicativo).

6. Para cualquier a ∈ K tal que a 6= 0, existe un unico elemento en K, denotado por a−1, talque a ∗ a−1 = 1 (existencia del elemento inverso multiplicativo).

7. Para cualquier a ∈ K, existe un unico elemento en K, denotado por−a, tal que a+(−a) =0 (existencia del elemento inverso aditivo).


8. Para cualesquiera a, b, c ∈ K, se cumple que a∗(b+c) = a∗b+a∗c (propiedad distributivade la multiplicacion).

Notacion 6.1 En adelante, Mm×n(K) denotara el conjunto de las matrices de tamano m× n conentradas en el campo K (este campo ya no sera siempre R. Sin embargo, toda la teorıa vista enlos capıtulos anteriores sigue siendo valida, debido a las propiedades de la definicion de campoque posee el conjunto K).

Ejemplo 6.5 El ejemplo clasico de campo, en el cual se cumple toda el algebra basica estudia-da anteriormente, es el campo de los numeros reales (R,+, ∗) con las operaciones de suma ymultiplicacion que ya conocemos.

Otro ejemplo muy importante de campo son los numeros complejos.

Un ejemplo mas abstracto de campo es el siguiente.

Ejemplo 6.6 Sea R∗ = {0, 1}. En este conjunto con dos elementos definiremos las operacionesde suma y multiplicacion de modo que se cumpla la definicion de campo.

Debe tenerse muy presente que, aunque usaremos el sımbolo usual (+) para denotar a esta suma,la operacion aquı definida no sera la operacion suma que se ha estudiado anteriormente.

Definimos entonces

v ∗ 0 = 0 ∗ v = 0, ∀ v ∈ V, 1 ∗ 1 = 1, v + 0 = 0 + v = v, ∀ v ∈ V, 1 + 1 = 0.

Se puede ver (y se deja como ejercicio) que (R∗,+, ∗) cumple la definicion de campo.

Ahora podemos definir el principal objeto de estudio de este capıtulo.

Definicion 6.4 Consideremos un conjunto V no vacıo que consta de elementos de algun tipo.Sea K un campo y llamemos a cualquier elemento α ∈ K un escalar. Supongamos que sobreV se definen dos operaciones llamadas suma (denotada por ⊕) y multiplicacion por un escalar(denotada por α · v donde α ∈ K y v ∈ V ). Diremos que V es un espacio vectorial sobre K si lasoperaciones definidas en V satisfacen los siguientes diez axiomas:

1. Para cualesquiera u, v ∈ V , se cumple que u⊕ v ∈ V (cerradura bajo la suma).

2. Para cualesquiera u, v ∈ V , se cumple que u⊕ v = v ⊕ u (conmutatividad de la operacionsuma).

3. Para cualesquiera u, v, w ∈ V , se cumple que (u⊕ v)⊕w = u⊕ (v⊕w) (asociatividad dela operacion suma).

4. Existe un unico elemento en V , denotado por 0V , tal que v ⊕ 0V = v para todo v ∈ V(existencia del elemento neutro aditivo).

5. Para cada v ∈ V existe un unico elemento en V , denotado por −v ∈ V , tal que v⊕ (−v) =0V (existencia del elemento inverso aditivo).


6. Si α ∈ K y v ∈ V , entonces α · v ∈ V (cerradura bajo la multiplicacion por un escalar).

7. Si α ∈ K y u, v ∈ V , entonces α · (u ⊕ v) = α · u ⊕ α · v (primera ley distributiva de lamultiplicacion por un escalar)

8. Si α, β ∈ K y v ∈ V , entonces (α + β) · v = α · v ⊕ β · v (segunda ley distributiva de lamultiplicacion por un escalar).

9. Si α, β ∈ K y v ∈ V , entonces (α ∗ β) · v = α · (β · v) (tercera ley distributiva de lamultiplicacion por un escalar).

10. Si 1 es el neutro multiplicativo de K, entonces 1v = v para todo v ∈ V .

Podemos notar que un campo considera operaciones unicamente entre sus mismos elementos,mientras que un espacio vectorial necesita de un campo para ser un espacio vectorial (para que losaxiomas 6-10 tengan sentido). El termino “V es espacio vectorial sobre K”se usa para especificarel campo en el que se tomaran los escalares y el conjunto (con sus operaciones de suma y demultiplicacion por un escalar) que posee la estructura de espacio vectorial.

En adelante debera tenerse mucho cuidado con los sımbolos que representan las operaciones defi-nidas en el campo y en el espacio vectorial.

Veamos algunos ejemplos mas abstractos sobre conjuntos con dos operaciones. Algunos seranespacios vectoriales y otros no.

Ejemplo 6.7 1. Consideremos aM2×2(R) con las operaciones estandar (definidas en el Capıtu-lo 1) de suma de matrices y multiplicacion de matriz por un escalar y tomemos a R como elcampo del que tomaremos los escalares. Recordemos que tales operaciones estan definidascomo sigue:

SiA =

(a bc d

),B =

(e fg h

)y α ∈ R, entoncesA⊕B =

(a+ e b+ fc+ g d+ h

)donde la

suma en cada entrada es la suma estandar en R. Por otro lado, α · A =

(α ∗ a α ∗ bα ∗ c α ∗ d

),

donde nuevamente la multiplicacion en cada entrada es la multiplicacion estandar en R.

Con estas dos operaciones podemos ver que, en efecto, si sumamos dos matrices A,B ∈M2×2 el resultado es otra matriz de tamano 2 × 2, por lo que M2×2 cumple la cerradurabajo la suma (axioma 1). Lo mismo ocurre al multiplicar una matriz A ∈ M2×2 por unescalar α ∈ R, por lo que M2×2 cumple la cerradura bajo la multiplicacion por un escalar(axioma 6).

La existencia del elemento neutro aditivo (axioma 4) se cumple si tomamos la matriz 02×2 =(0 00 0

), que claramente cumple la definicion de elemento neutro (ya que A ⊕ 02×2 = A

para cualquier A ∈M2×2).

Tambien se cumple la existencia del inverso aditivo (axioma 5): Si A ∈ M2×2 dada por

A =

(a bc d

), tomamos como −A a la matriz cuyas entradas son los correspondientes

inversos aditivos de las entradas de A. Es decir, tomamos −A =

(−a −b−c −d

).


Se cumple tambien el axioma 10: en este caso, el 1 del conjunto de escalares R es el numeroreal 1 y por la definicion de multiplicacion de un escalar por una matriz, se sigue que1 · A = A.

Los axiomas restantes son consecuencia de las propiedades de campo que posee R y laspropiedades de la suma de matrices vistas en el capıtulo 1.

Nota: se debe tener en cuenta que, en este y en todos los casos de espacios vectoriales,escribir algo como −A unicamente indica que −A es el inverso aditivo del elemento A. Enlos ejercicios de este capıtulo se probara que, para cualquier espacio vectorial V sobre uncampo K con elemento neutro multiplicativo 1, se cumple que −v = 1v.

2. Consideremos ahora M2×2(R) sobre R∗ con las mismas operaciones de suma de matricesy multiplicacion de matriz por un escalar. Los axiomas 1-5 se siguen cumpliendo a pesarde haber cambiado el conjunto del que se toman los escalares (ya que tales axiomas nodependen de la eleccion de los escalares, sino de la propiedad de campo del conjunto alque pertenece cada entrada de la matriz). Para ver que el axioma 6 se cumple, dado queR∗ solo contiene al 0 y al 1 reales, tenemos que α · A solo puede ser A o la matriz 02×2(respectivamente si α = 1 o α = 0). Por lo tanto este axioma se cumple.

Sin embargo, en el caso del axioma 8 tenemos que (1 + 1) · A = 0A = 02×2 (ya que la

suma 1 + 1 en R∗ es 0) pero 1A⊕ 1A = A⊕ A =

(2a 2b2c 2d

)6= (1 + 1) · A, por lo tanto

M2×2(R) no es un espacio vectorial sobre R∗.

3. En el ejemplo anterior, el problema radica en que el campo al que pertenecen las entradasde las matrices y el campo del que se toman los escalares, no coinciden. Si tuvieramosel conjunto de matrices Mm×n(K) con las operaciones estandar de suma de matrices ymultiplicacion por un escalar α ∈ K, se puede ver que (Mm×n(K),⊕, ·) es un espaciovectorial sobre K.

4. Todos los Rn son espacios vectoriales sobre R para n ∈ N, con las operaciones de suma devectores y multiplicacion de un escalar por un vector como se definieron en el capıtulo 1.El axioma 1 es claro, ya que sumar entrada por entrada dos arreglos de tamano n da comoresultado otro arreglo de tamano n. Lo mismo ocurre al multiplicar un escalar en R por unarreglo de tamano n formado por numeros reales. Los axiomas restantes se siguen por laspropiedades de campo de R y el hecho de que las entradas de cualquier elemento de Rn sontambien numeros reales.

5. Nuevamente si tomamos Rn como candidato a espacio vectorial sobre R∗ y si v ∈ Rn estadado por v = (v1, . . . , vn), tendremos que (1 + 1) · v = 0 · v = 0n (0n es el vector en Rn

cuyas entradas son todas cero) pero 1 ·v⊕1 ·v = (2∗v1, . . . , 2∗vn), ya que la suma entradapor entrada se efectua segun el conjunto al que pertenecen los valores en las entradas de v(y tales entradas pertenecen a R).

6. Los Rn no son espacios vectoriales sobre C.

7. Todos los Cn para todo n ∈ N, con sus operaciones estandar, son espacios vectoriales sobreC y sobre R.


8. Consideremos K = {J, S} con las operaciones suma (+) y multiplicacion (*) definidascomo S + a = a + S = a para todo a ∈ K, J + J = S, J ∗ J = J , J ∗ S = S ∗ J = S.Tomemos V = {A,R} con la operacion suma (⊕) definida como R ⊕ v = v ⊕ R = v paratodo v ∈ V y A ⊕ A = R. Por ultimo, definimos la multiplicacion de elementos de K porelementos de V (·) como S · v = v · S = R para todo v ∈ V y J · v = v · J = v para todov ∈ V .

Veamos que, con las operaciones definidas anteriormente, V es espacio vectorial sobre K.

Axioma 1. Sean u, v ∈ V . Consideremos dos casos.Caso 1: al menos uno de los elementos u, v es R. Supondremos sin perdida degeneralidad que u = R. Con esto obtenemos que u ⊕ v = R ⊕ v = v pordefinicion de ⊕ y como v ∈ V , concluimos que u⊕ v ∈ V .Caso 2: ninguno de los elementos u, v es R. En este caso, la unica posibilidad esque u = A = v y entonces u⊕ v = A⊕A = R ∈ V , por lo que concluimos queu⊕ v ∈ V en este caso.Como estos casos son complementarios, concluimos que, en general, u⊕ v ∈ Vpara cualesquiera u, v ∈ V .

Axioma 2. Si u, v ∈ V , de nuevo suponemos que al menos uno de ellos es R (digamosu = R). En este caso u⊕ v = R⊕ v = v ⊕R = v ⊕ u por definicion de ⊕. Porlo tanto la suma es conmutativa en este caso.Ahora, si u = A = v, tenemos que u⊕v = A⊕A = v⊕u, por lo que nuevamentela suma es conmutativa y concluimos que el axioma 2 se cumple.

Axioma 3. Tomemos u, v, w ∈ V . Supongamos primero que al menos uno de estos elementoses R (por simplicidad nuevamente tomaremos u = R). Bajo esta suposicionobtenemos (u⊕ v)⊕ w = (R⊕ v)⊕ w = v ⊕ w. Por otro lado, u⊕ (v ⊕ w) =R⊕ (v ⊕ w) = v ⊕ w, por lo que el axioma se cumple en este caso.Si tuvieramos que v = R, usando la conmutatividad de la suma probada enel axioma 2, obtendrıamos el mismo caso que acabamos de probar y lo mismoocurrirıa si hubieramos supuesto que w = R, por lo que solo resta considerar elcaso cuando u = v = w = A. Bajo este supuesto tenemos que u ⊕ (v ⊕ w) =A⊕ (A⊕) = A⊕ R = A y (u⊕ v)⊕ w = (A⊕ A)⊕ A = R ⊕ A = A, por loque concluimos que el axioma 3 se cumple en general.

Axioma 4. Propongamos 0V = R. Notemos que, por definicion, v ⊕ R = v = R ⊕ v paratodo v ∈ V , lo cual es justamente la definicion de elemento neutro. Se puede verque R es el unico elemento de V que cumple esta propiedad, ya que por ejemplo,A⊕ A = R 6= A, ası que efectivamente este elemento neutro es unico.

Axioma 5. Dado que R es el elemento neutro aditivo de V (como vimos en el axioma ante-rior), es claro que el es su propio inverso aditivo. En el caso de A, tenemos queA⊕ A = R, por lo que tambien A es su propio inverso aditivo.

Axioma 6. Tomemos ahora α ∈ K y v ∈ V . Dado que α solo puede valer S o J , tenemosque S · v = R ∈ V y J · v = v ∈ V , por lo que el axioma 6 se cumple.

Axioma 7. Tomemos α ∈ K y u, v ∈ V . Por el axioma 2 tenemos que u ⊕ v ∈ V y pordefinicion, si α = S, α · w = R para todo w ∈ V . Por lo tanto, si α = Sobtenemos α · (u⊕ v) = R.


Por otro lado, suponiendo nuevamente α = S, tenemos que α · u ⊕ α · v =R⊕R = R (por definicion de ·), por lo que el axioma se cumple en este caso.

Supongamos ahora que α = J . En este caso obtenemos α · (u ⊕ v) = u ⊕ v,nuevamente por definicion de ·. Por otro lado α · u⊕ α · v = u⊕ v nuevamentepor definicion de ·, por lo que este axioma tambien se cumple en general.

Axioma 8. Tomemos ahora α, β ∈ K y v ∈ V . Supongamos que al menos uno de los ele-mentos de K es S (digamos α = S), entonces α + β = β (notese que aquıestamos usando la suma definida en K). Por lo tanto (α + β) · v = β · v. Porotro lado, α · v ⊕ β · v = R + β · v = β · v, por lo que el axioma se cumple eneste caso.Ahora, si α = J = β tenemos que α + β = S y (α + β) · v = S · v = R pordefinicion. Por otro lado, α · v ⊕ β · v = v ⊕ v y como v solo puede ser R o A,tenemos que v ⊕ v = R si v = R y v ⊕ v = R si v = A (por definicion). Por lotanto se cumple en general que (α + β) · v = α · v ⊕ β · v.

Axioma 9. Nuevamente, sean α, β ∈ K y v ∈ V . Si al menos uno de los elementos tomadosde K es S, entonces por definicion α ∗ β = S y obtenemos (α ∗ β) · v = R. Elcaso “al menos uno de los elementos tomados de K es S” se puede dividir a suvez en dos casos. Primero cuando α = S. En este caso obtenemos α · (β · v) y yaque (por el axioma 6) β · v ∈ V , obtenemos que α · (β · v) = R por definicion,por lo que (α ∗ β) · v = α · (β · v).Si ahora suponemos β = S, entonces β · v = R y α · (β · v) = α ·R = R, por loque nuevamente (α ∗ β) · v = α · (β · v).El ultimo caso es cuando α = J = β. En este caso α ∗ β = J por definicion, por lo que (α ∗ β) · v = J · v = v, nuevamente por definicion. Por otro lado,α·(β ·v) = α·v = v aplicando dos veces la definicion de ·, por lo que nuevamentese cumple que (α ∗ β) · v = α · (β · v).

Axioma 10. Por definicion, podemos notar que el neutro multiplicativo de K es J y por defi-nicion J · v = v para todo v ∈ V , por lo que este axioma tambien se cumple.

Ya que hemos probado los diez axiomas de la definicion de espacio vectorial, concluimos queefectivamente, V es un espacio vectorial sobre K con las operaciones definidas al inicio deeste ejemplo.

Tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 6.1 Sea (K,+, ∗) un campo. Se cumple que (K,+, ∗) es un espacio vectorial sobresı mismo.

6.2.1. Conjuntos que no son espacios vectoriales

En general, para probar que un conjunto con sus operaciones correspondientes no es un espaciovectorial sobre algun campo, basta mostrar que no se cumple uno de los diez axiomas de la de-finicion de espacio vectorial. Mas aun, es suficiente mostrar un caso particular de elementos delconjunto en cuestion que no cumplan alguno de tales diez axiomas.

6.3. SUBESPACIOS VECTORIALES 91

Ejemplo 6.8 Sea Z el conjunto de los numeros enteros. Este conjunto no es espacio vectorialsobre R con las operaciones estandar ⊕ y ·; ni siquiera es espacio vectorial sobre R∗ con estasmismas operaciones.

Para ver que el no es espacio vectorial sobre R∗, tomemos el entero 2 y escalares α, β ∈ R∗ dadospor α = 1 = β. Veamos que el axioma 8 no se cumple.

Por un lado, tenemos el producto (α+ β) · 2 = (1 + 1) · 2. Dado que la suma α+ β es la suma enR∗, en este caso (con α = 1 = β) tenemos (1 + 1) · 2 = 0 · 2 = 0.

Por otro lado, la suma 1 · 2 ⊕ 1 · 2 es igual a 2 ⊕ 2. Esta es una suma estandar de dos numerosenteros, por lotanto es igual a 4 y obtenemos entonces (1 + 1) · 2 = 0 6= 4 = 1 · 2 ⊕ 1 · 2. Por lotanto, no se cumple el axioma 8 y tenemos que (Z,⊕, ·) no es un espacio vectorial sobre R∗.

Para ver que tampoco es espacio vectorial sobre R, tomamos el escalar α = 1/2 y cualquier enteroimpar (por ejemplo 3). En este caso tenemos α · 3 = 3/2, donde 3/2 no es un entero. Por lo tantono hay cerradura bajo la multiplicacion por un escalar (no se cumple el axioma 6) y concluimosque (Z,⊕, ·) no es un espacio vectorial sobre R.

Ejemplo 6.9 Sea A = {(x, y) ∈ R2 : 2x + y = 1}. Este conjunto es un subconjunto de R2 y essimplemente la recta definida por la ecuacion 2x+y = 1. Se puede reescribir dicho conjunto comoA = {(x, y) ∈ R2 : y = 1 − 2x} = {(x, 1 − 2x) : x ∈ R}. Con esta ultima definicion, veremosque A no es un espacio vectorial sobre R con las operaciones estandar como se definieron paraR2. Tomemos los vectores (0, 1) y (1,−1). Ellos son de la forma (x, 1− 2x) (el primero es el casocon x = 0 y el segundo el caso con x = 1), por lo tanto ellos pertenecen a A. Sin embargo, bajola definicion estandar de suma de vectores tenemos (0, 1)⊕ (1,−1) = (1, 0). Este vector no tienela (x, 1− 2x), ya que para tener dicha forma debe cumplirse que x = 1 y 1− 2x = 0. La segundaecuacion se cumple solamente cuando x = 1/2 y la primera solamente cuando x = 1, por lo tantono existe x ∈ R tal que (x, 1− 2x) = (1, 0).

De esto concluimos que el conjunto A no es cerrado bajo la suma estandar de vectores ⊕, por lotanto (A,⊕, ·) no es un espacio vectorial.

6.3. Subespacios vectoriales

En ocasiones no estamos interesados en todos los elementos de un espacio vectorial (V,⊕, ·),sino en aquellos elementos de V que cumplen cierta condicion. Por ejemplo, tomemos el espaciovectorial (sobre R) (R2,⊕, ·) con las operaciones estandar ⊕, · como se definieron en el Capıtulo2. Recordemos que los vectores en R2 tienen la forma (x, y)T , con x, y ∈ R. Si suponemos quenuestro interes no esta en todo (R2,⊕, ·) si no en los elementos de (R2,⊕, ·) de la forma (x, y)tales que x = y, una pregunta natural es si este conjunto sigue siendo un espacio vectorial. En estaseccion veremos resultados para responder este tipo de preguntas.

Definicion 6.5 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K. Sea U ⊆ V . Si (U,⊕, ·) estambien un espacio vectorial sobre K (con las mismas operaciones definidas en V ), diremos queU es un subespacio vectorial de V .

Retomando el ejemplo mencionado al inicio de esta seccion, si tenemos el espacio vectorial (sobreR) (R2,⊕, ·) con las operaciones estandar ⊕, · como se definieron en el Capıtulo 2 y nos interesa


solamente D = {(x, y)T ∈ R2 : x = y}, con las mismas operaciones definidas en (R2,⊕, ·),entonces preguntarnos si (D,⊕, ·) es o no un espacio vectorial es equivalente a preguntarnos si essubespacio vectorial de (R2,⊕, ·).Por supuesto, esta pregunta puede responderse sin problemas si verificamos los diez axiomas de ladefinicion de espacio vectorial. Sin embargo, el siguiente resultado proporciona una manera masfacil de verificar cuando un conjunto es o no un subespacio de un espacio vectorial.

Teorema 6.1 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K y sea U ⊆ V . Entonces(U,⊕, ·) es un subespacio vectorial de V , sobre K, si y solo si (U,⊕, ·) satisface los axiomas1 y 6 con las mismas operaciones definidas en V y con escalares tomados en el mismo campo K.

Este resultado nos dice que verificar si un conjunto es o no un subespacio vectorial de otro espaciovectorial, se reduce a verificar solamente los axiomas 1 y 6 de la definicion de espacio vectorial.

Ejemplo 6.10 Tomemos (R2,⊕, ·) como espacio vectorial sobre R yD = {(x, y)T ∈ R2 : x = y}.Demostremos que (D,⊕, ·) es un subespacio vectorial, sobre R, de (R2,⊕, ·). Por el Teorema 6.1,basta verificar los axiomas 1 y 6.

Para el axioma 1, sean u, v ∈ D. Tenemos que, por definicion de D, u, v son de la forma u =(u1, u2)

T , v = (v1, v2)T y satisfacen, respectivamente, las condiciones u1 = u2 y v1 = v2. Para

que u⊕v pertenezca aD, debe cumplirse que u⊕v es de la forma (x, y)T con x = y. Verifiquemosesto: por definicion de u⊕v tenemos u⊕v = (u1+v1, u2+v2)

T , pero ya que sabemos que u1 = u2y v1 = v2, obtenemos u ⊕ v = (u1 + v1, u1 + v1)

T , lo cual en efecto es de la forma (x, y)T conx = y. Por lo tanto se cumple que u⊕ v ∈ D (se cumple el axioma 1).

Ahora, si tomamos u ∈ D como antes y α ∈ R, tenemos α · u = (αu1, αu2)T . Como u ∈ D, se

cumple que u1 = u2, por lo tanto α · u = (αu1, αu1)T , que nuevamente es de la forma (x, y)T con

x = y. Esto implica que el axioma 6 tambien se satisface y, por el Teorema 6.1, concluimos que(D,⊕, ·) es un subespacio vectorial, sobre R, de (R2,⊕, ·).

Observacion 6.1 Al conjunto D del ejemplo anterior se le conoce como la diagonal de R2.

6.4. Independencia lineal y conjuntos generados

El resto de este capıtulo estara enfocado en estudiar el concepto de base y dimension de un espaciovectorial.

Los dos principales ingredientes para definir una base son los conceptos de independencia lineal yconjunto generado. Estos dos conceptos son el tema de interes de esta seccion.

En el Capıtulo 3 se hizo uso del termino “combinacion lineal”. En este capıtulo lo definiremos engeneral para cualquier espacio vectorial.

Definicion 6.6 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campoK y sea {v1, . . . , vn} ⊆ V . Seanλ1, . . . , λn ∈ K. A la expresion

λ1 · v1 + · · ·+ λn · vn =n∑j=1

λj · vj,

6.4. INDEPENDENCIA LINEAL Y CONJUNTOS GENERADOS 93

la llamaremos una combinacion lineal de v1, . . . , vn. Los escalares λ1, . . . , λn son los coeficientesde la combinacion lineal.

Observacion 6.2 Usando que V es espacio vectorial sobre K y que v1, . . . , vn son todos elemen-tos de V , por el axioma 6 tenemos que λj · vj ∈ V para todo j = 1, . . . , n y por el axioma 1

(aplicado repetidas veces), tenemos tambien quen∑j=1

λj · vj ∈ V , por lo que toda combinacion

lineal de elementos de un espacio vectorial es tambien un elemento del mismo espacio vectorial.

Ahora que tenemos el concepto de combinacion lineal, definiremos la independencia lineal deelementos de un espacio vectorial.

Definicion 6.7 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K. Denotamos por 0V y por 0 alos elementos neutros aditivos de V y K, respectivamente. Sean {v1, . . . , vn} ⊆ V , λ1, . . . , λn ∈K. Consideremos la ecuacion

n∑j=1

λj · vj = 0V . (6.4.1)

Si la unica solucion a esta ecuacion es la solucion trivial λ1 = λ2 = · · · = λn = 0, diremos que elconjunto {v1, . . . , vn} ⊆ V es linealmente independiente (l.i.).

Si, por el contrario, la ecuacion (6.4.1) tiene al menos una solucion no trivial, diremos que{v1, . . . , vn} ⊆ V es un conjunto linealmente dependiente (l.d.).

Veamos un ejemplo sobre como determinar si un conjunto es l.i o l.d. Para presentar dicho ejem-plo necesitamos definir las operaciones estandar de suma de polinomios y multiplicacion de unpolinomio por escalar.

Definicion 6.8 Sean p(x) =n∑j=1

ajxj y q(x) =

m∑j=1

bjxj dos polinomios con grados respectivos

n,m, con n ≥ m y coeficientes a1, . . . , an, b1, . . . , bm tomados en un campo (K,+, ∗). Las opera-ciones estandar de suma de dos polinomios (⊕) y multiplicacion de un polinomio por un escalarα ∈ K (·) se definen como:

p(x)⊕ q(x) =m∑j=1

(aj + bj)xj +

n∑j=m+1

ajxj, α · p(x) =

n∑j=1

α ∗ ajxj.

Con las operaciones anteriores, si denotamos por P al conjunto de todos los polinomios con co-eficientes en el campo K y por Pn el conjunto de todos los polinomios de grado a lo mas n concoeficientes en K, tenemos que estos dos conjuntos son espacios vectoriales sobre K.

Ejemplo 6.11 Sea P2(R) el espacio vectorial (sobre R) de todos los polinomios de grado a lo mas2 y coeficientes reales. Sean B1 = {1− x, 1 + x+ x2, 2 + x2} y B2 = {1, 1− x, 1 + x2}. Es claroque ambos, B1 y B2, son subconjuntos de V

Para B1 escribimos la ecuacion λ1(1 − x) + λ2(1 + x + x2) + λ3(2 + x2) = 0 (recordemos que0(x) = 0, con 0 ∈ R, es el elemento neutro aditivo de P2(R) como espacio vectorial sobre R).


Esta ecuacion es equivalente a

(λ1 + λ2 + 2λ3) + (−λ1 + λ2)x+ (λ2 + λ3)x2 = 0⇔

1 1 2−1 1 00 1 1

λ1λ2λ3

=

000

.

Podemos notar que el determinante de la matriz A =

1 1 2−1 1 00 1 1

es igual a 0, ya que la

columna 3 deA se puede obtener sumando las columnas 1 y 2 (la columna 3 es combinacion linealde las otras dos). Por lo tanto A no es invertible y el sistema de interes tiene infinitas soluciones,de las cuales una cantidad infinita son distintas a la solucion trivial. Por lo tanto, B1 es l.d.

Analogamente, para B2 escribimos la ecuacion λ1(1) + λ2(1 − x) + λ3(1 + x2) = 0, la cual esequivalente a

(λ1 + λ2 + λ3) + (−λ2)x+ (λ3)x2 = 0⇔

1 1 10 −1 00 0 1

λ1λ2λ3

=

000

.

La matriz de coeficientes del sistema es triangular superior, por lo que podemos ver que su deter-minante es igual a −1. Es decir, esta matriz es invertible y por lo tanto, el sistema anterior tieneunicamente la solucion trivial. Esto implica que B2 es l.i.

A continuacion definiremos el concepto de “conjunto generado”.

Definicion 6.9 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K y sea {v1, . . . , vn} ⊆ V . De-finimos el conjunto generado por B = {v1, . . . , vn}, denotado por Gen{v1, . . . , vn} (o Gen(B)),como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de B = {v1, . . . , vn}. Esdecir:

Gen(B) =

{n∑j=1

(λj · vj) : v1, . . . , vn ∈ B y λ1, . . . , λn ∈ K

}.

Si V = Gen{v1, . . . , vn}, diremos que {v1, . . . , vn} es un conjunto generador de V .

Ejemplo 6.12 Tomemos M2×2(C) como el conjunto de las matrices de tamano 2 × 2 con coefi-cientes en C. Este conjunto es un espacio vectorial sobre C, como ya se menciono en la Seccion

4.2. Sea B = {(

1 00 0

),

(0 00 2

)}. Describamos al conjunto Gen(B).

Si A1 =

(1 00 0

)y A2 =

(0 00 2

), por definicion de conjunto generado tenemos:

Gen(B) =

{2∑j=1

(λj · Aj) : λ1, λ2 ∈ C

}=

{λ1

(1 00 0

)+ λ2

(0 00 2

): λ1, λ2 ∈ C

}=

{(λ1 00 2λ2

): λ1, λ2 ∈ C

}. (6.4.2)

Se puede demostrar que lo anterior es igual al conjunto de todas las matrices diagonales detamano 2 con entradas en C.

6.5. BASES Y DIMENSION 95

Observacion 6.3 Por la Observacion 6.2 tenemos que si {v1, . . . , vn} ⊆ V , entonces todas las

combinaciones linealesn∑j=1

λjvj ∈ V , por lo tanto

Gen{v1, . . . , vn} ⊆ V.

La observacion anterior se puede extender, segun el siguiente resultado que sera de gran utilidaden la seccion siguiente.

Teorema 6.2 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K y sea {v1, . . . , vn} ⊆ V . En-tonces Gen{v1, . . . , vn} es un subespacio vectorial de V , con las mismas operaciones definidas enV .

En resumen: dados (V,⊕, ·) un K-espacio vectorial y {v1, . . . , vn} ⊆ V , si deseamos determinarsi el conjunto {v1, . . . , vn} es linealmente independiente, los pasos son los siguientes:

1. Escribir la ecuacion λ1 · v1 ⊕ λ2 · v2 ⊕ · · · ⊕ λn · vn = 0V .

2. Hallar el sistema de ecuaciones asociado a la ecuacion. Este sistema debe ser de la formaA(λ1, λ2, . . . , λn)

T = ~0 (λ1, . . . , λn) son las incognitas del sistema.

3. Determinar el numero de soluciones del sistema. Dado que este es un sistema homogeneo,solo puede cumplir dos casos: tener solamente la solucion trivial o tener infinitas soluciones.

4. Si el sistema tiene solamente la solucion trivial, entonces el conjunto dado es linealmenteindependiente. En caso contrario, dicho conjunto es linealmente dependiente.

6.5. Bases y dimension

Una de las propiedades mas utiles de los espacios vectoriales es la existencia de bases para dichosespacios. La idea de base se refiere al conjunto mas pequeno de elementos del espacio vectorialde interes, tal que dicho conjunto permite generar a todo el espacio de interes mediante elementosque son linealmente independientes. Esta definicion se presenta formalmente a continuacion.

Definicion 6.10 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B = {v1, . . . , vn} ⊆ V .Diremos que B es una base de V si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. B es l.i.

2. V = Gen(B).

Antes de ver ejemplos sobre como probar que un conjunto B es una base de un espacio vectorial,veamos las siguientes propiedades de conjuntos.

Segun la definicion de contencion de conjuntos, dada en la seccion 4.1, si deseamos probar queA ⊆ B, debemos tomar un elemento arbitrario a ∈ A y demostrar que a ∈ B.

En la notacion de conjuntos que hemos establecido en la seccion 4.1, escribimos A = {a ∈ V :a cumple alguna condicion}. Por lo tanto, para ver que un elemento a0 pertenece a A, deberemosverificar que a0 cumple la condicion que define a A.


Ejemplo 6.13 Sean A = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0,∞) y B = {x ∈ R : −1 < x <∞} = (−1,∞).Veamos que A ⊂ B. En este caso debemos verificar que cualquier a ∈ A satisface la condicionque define a B. Es decir, cualquier a ∈ A satisface la desigualdad −1 < a < ∞ (que es lacondicion que define a B).

Sea a ∈ A, entonces a es un numero mayor o igual a cero y por lo tanto a es mayor que −1 yfinito, es decir −1 < a <∞. Esto implica que a cumple con la condicion que define a B y por lotanto a ∈ B. Como a fue arbitrario, tenemos que A ⊆ B. Para ver que A no puede ser igual a B,tomamos b = −1/2. Claramente b ∈ B pero debido a que b es negativo, b no cumple la condicionb ≥ 0 (la condicion que define a A), por lo tanto b /∈ A y concluimos que A ⊂ B.

Supongamos ahora que tenemos dos conjuntos A y B tales que A ⊆ B y tambien B ⊆ A. Esto sepuede escribir (por ejemplo) como A ⊆ B ⊆ A. Es decir, B es un subconjunto que se encuentraentre A y el mismo A. Dado que el unico subconjunto entre A y A es el mismo A, esta doblecontencion de conjuntos implica que A = B.

Este truco lo utilizaremos frecuentemente para probar que dos conjuntos son iguales.

Ejemplo 6.14 Tomemos V = P2(C) como C-espacio vectorial, con sus operaciones estandar ⊕y ·. Sean U = {p ∈ V : p(0) = p(1)} y W = Gen ({2, x,−x2}).Probaremos que U = W . Para ello procederemos por pasos:

1. Primero veamos que forma tienen los polinomios en U .

Si p ∈ U , entonces podemos suponer que p(x) = a+ bx+ c2 para ciertos escalares a, b, c ∈C.

Como p ∈ U , entonces p cumple la condicion p(0) = p(1). Como p(0) = a y p(1) = a+b+c,la condicion p(0) = p(1) implica que a = a+b+c o equivalentemente 0 = b+c ssi b = −c.Por lo tanto p(x) = b+ c+ bx+ cx2 = b(1 + x) + c(1 + x2) y podemos escribir a U comoU = {p ∈ V : p(x) = a− cx+ cx2, a, c ∈ C}.

2. Veamos queU es un subespacio vectorial de V con las correspondientes operaciones estandary escalares en C. Para esto, segun el Teorema 6.1, basta demostrar que se cumplen la cerra-dura bajo la suma de dos vectores (axioma 1) y la cerradura bajo la multiplicacion de unvector por un escalar (axioma 6).

Sean p, q ∈ U , entonces p(x) = a − cx + c2 y q(x) = b − dx + dx2 para ciertos escalaresa, b, c, d ∈ C. Si α ∈ C tenemos:

a) p⊕q = (a+b)−(c+d)x+(c+d)x2. Como C es un campo, tenemos que a+b, c+d ∈ C,por lo tanto p ⊕ q tiene la forma de los polinomios que viven en U y concluimos quep⊕ q ∈ U .

b) α · p = α ∗ a − α ∗ c + α ∗ cx2. Nuevamente, como C es un campo, tenemos queα ∗ a, α ∗ c ∈ C y nuevamente α · p tiene la forma de un polinomio en U . Por lo tantoα · p ∈ U

Como se cumplen los axiomas 1 y 6 de la definicion de espacio vectorial, concluimos que Ues un subespacio vectorial de V .


3. Ahora veamos que {2, x− x2} ⊂ U .

Por definicion de contencion de conjuntos, esto es equivalente a probar que todos los ele-mentos en el conjunto {2, x − x2} pertenecen a U . Es decir, debemos probar que 2 ∈ Uyx− x2 ∈ U .

Demostrar esto es equivalente a demostrar que 2 y x−x2 son de la forma a− cx+ cx2 paraciertos a, c ∈ C. Esto es claro si tomamos a = 2, c = 0 para 2 y a = 0, c = −1 para x− x2,por lo tanto 2, x− x2 ∈ U y concluimos que {2, x− x2} ⊂ U .

4. Como {2, x− x2} ⊂ U , por la Observacion 6.3 tenemos que W = Gen ({2, x− x2}) ⊂ U .

5. Solamente resta demostrar que U ⊆ W .

Para ello, por definicion de conjunto generador tenemos que W = {p ∈ V : p(x) =2λ1 + λ2(x− x2), λ1, λ2 ∈ C}.Veremos que si tomamos cualquier p ∈ U entonces p ∈ W , lo que por definicion significaque U ⊆ W .

Sea p ∈ U dado por p(x) = a−cx+c2 para ciertos a, c ∈ C. Queremos hallar λ1, λ2 ∈ CCtales que p(x) = 2λ1 + λ2(x− x2).Esta igualdad se cumple ssi a− cx+ cx2 = 2λ1+λ2(x−x2), lo que genera el sistema (conλ1, λ2 como incognitas): (

2 00 1

)(λ1, λ2)

T = (a,−c).

Claramente este sistema tiene solucion unica, por lo que en efecto existen λ1, λ2 tales quep(x) = 2λ1 + λ2(x− x2).Eso significa que p ∈ W y por lo tanto concluimos que U ⊆ W .

6. Como ya probamos que W ⊆ U y U ⊆ W , concluimos que U = W .

Ahora tenemos las herramientas suficientes para determinar si un conjunto es una base de unespacio vectorial.

Ejemplo 6.15

1. Sea V = P2 el espacio vectorial (sobre R) de los polinomios de grado a lo mas 2 y coefi-cientes reales. Hemos visto que B2 = {1, 1 − x, 1 + x2} es l.i. y ya que B2 ⊂ P2, tenemos(por la Observacion 6.3) que Gen(B2) ⊆ P2.

Segun el truco de la doble contencion de conjuntos, presentado anteriormente, si probamosque P2 ⊆ Gen(B2), podremos concluir que P2 = Gen(B2) y por la definicion de base, estoimplicarıa que B2 es una base de P2.

De acuerdo a la definicion de subconjunto impropio, probar que P2 ⊆ Gen(B2) es equiva-lente a probar que para todo p ∈ P2, se cumple tambien que p ∈ Gen(B2). A su vez, probarque p ∈ Gen(B2) es equivalente a probar que p se puede escribir como combinacion linealde los elementos de B2.

Para esto, supongamos p(x) = a0 + a1x + a2x2, con a0, a1, a2 ∈ R. Debemos encontrar

escalares λ1, λ2, λ3 ∈ R tales que λ1(1) + λ2(1− x) + λ3(1 + x2) = a0 + a1x+ a2x2. Esto


es equivalente a encontrar al menos una solucion para el sistema de ecuaciones linealesA~λ = (a0, a1, a2)

T dado por 1 1 10 −1 00 0 1

λ1λ2λ3

=

a0a1a2

.

En la seccion anterior vimos que la matriz de coeficientes A es invertible, por lo tantoel sistema A~λ = (a0, a1, a2)

T tiene solucion unica dada por ~λ = A−1(a0, a1, a2)T . Esto

implica que efectivamente existen escalares λ1, λ2, λ3 tales que para cualquier p ∈ P2, pes una combinacion lineal de los elementos de B2. Por lo tanto p ∈ Gen(B2), que implicaP2 ⊆ Gen(B2) y, por todo lo mencionado anteriormente, concluimos que B2 es una basede P2.

Nota: En general, si tenemos un espacio vectorial (V,⊕, ·) sobre un campo K y tenemosB = {v1, . . . , vn} ⊆ V , para probar que B es una base de V basta verificar que

a) B es l.i. y

b) la ecuacion v =n∑j=1

(λj · vj), con incognitas λ1, . . . , λn, tiene al menos un vector

solucion (λ1, . . . , λn)T ∈ Kn.

2. En el siguiente ejemplo sera posible encontrar una base del espacio vectorial de interes, sinhacer uso de la doble contencion de conjuntos.

Consideremos ahora el subconjunto de R2 generado por B = {(1, 0), (1, 1), (2, 3)}. Esdecir, consideremos V = Gen(B). Queremos hallar una base para V .

Trivialmente, un buen candidato a base es el mismoB, ya que por definicion de V se cumpleV = Gen(B). Por lo tanto, si tuvieramos que B es l.i. podrıamos concluir que B es unabase de V .

Veamos si B es l.i. Para ello escribimos la ecuacion λ1(1, 0) + λ2(1, 1) + λ3(2, 3) = (0, 0),que es equivalente a resolver el sistema

(1 1 20 1 3

) λ1λ2λ3

=

000

.

Por la forma de la matriz, notamos que si fijamos λ3 ∈ R, obtenemos λ2 = −3λ3 y λ1 =−λ2−2λ3 = λ3. Por ejemplo, fijando λ3 = 1, obtenemos una solucion no trivial del sistemaanterior (que, de hecho, tiene infinitas soluciones no triviales). Por lo tanto B no es l.i. y porlo tanto no puede ser una base de R2.

Notemos que los vectores transpuestos de los elementos de B forman la matriz de coeficien-tes del sistema anterior. Si en esta matriz removemos una de sus tres columnas, obtenemosuna matriz de 2 × 2 con determinante distinto de cero (al remover la columna 1 la matrizresultante tiene determinante igual a 1, al remover la columna 2 obtenemos una matriz condeterminante igual a 3 y al remover la columna 3 obtenemos una matriz cuyo determinantees 1).


Esto significa que podemos tomar cualesquiera 2 elementos de B y obtener un conjuntol.i. El elemento que no tomamos se puede generar utilizando los dos elementos que sı to-mamos, ya que como vimos, el conjunto completo B es l.d. Por ejemplo, tomemos sola-mente B0 = {(1, 1), (2, 3)} y notemos que el elemento que no tomamos, (1, 0), es igual a3(1, 1) + (−1)(2, 3). Es decir, (1, 0) se puede generar como combinacion lineal de los ele-mentos de B0, por lo que Gen(B0) = Gen(B) = V . Si ahora consideramos el sistemaasociado a B0 (para demostrar que B0 es l.i.), dado por(

1 21 3

)(λ1λ2

)=

(00

),

tenemos que su matriz de coeficientes tiene determinante 1, por lo tanto la unica solucion aeste sistema es la solucion trivial, lo que implica que B0 es l.i. Como ya hemos visto que B0

genera a V , concluimos que B0 es una base de V .

Si tenemos (V,⊕, ·) un espacio vectorial sobre un campo K, cuyo elemento neutro aditivo es 0V ,el conjunto V0 = {0V }, dotado de las mismas operaciones⊕ y ·, es un subespacio vectorial de V y,por lo tanto, es un espacio vectorial sobre K. A este espacio se le conoce como espacio vectorialtrivial.

Nuestro siguiente objeto de estudio sera la dimension de un espacio vectorial. Para ello necesitamosel siguiente resultado y una definicion sobre conjuntos.

Teorema 6.3

1. Todo espacio vectorial distinto del espacio vectorial trivial tiene al menos una base.

2. Todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cantidad de elementos.

Definicion 6.11 Sea A un conjunto. Denotaremos por |A| el numero de elementos que contiene A.Si A tiene infinitos elementos (numerables o no), escribimos |A| =∞.

Finalmente podemos definir que es la dimension de un espacio vectorial.

Definicion 6.12 Sea (V,⊕, ·) un espacio vectorial no trivial sobre un campo K y sea B una basecualquiera de V . Definimos la dimension de V , denotada por dim(V ), como dim(V ) = |B|.Si V es el espacio vectorial trivial (para el cual no existe base alguna), definimos dim(V ) igual acero.

Por la definicion anterior, si V no es el espacio vectorial trivial, tenemos que dim(V ) puede valercualquier numero natural o puede ser igual a infinito si el espacio vectorial en cuestion tiene basescon un numero infinito de elementos. Debido al Teorema 6.3, ya que todas las bases de cualquierespacio vectorial tienen el mismo numero de elementos, para conocer la dimension de un espaciovectorial basta con encontrar una base particular.

Ejemplo 6.16


1. Si V = Rn y K = R, definimos ej como el vector en Rn tal que su entrada j es 1 y todassus otras entradas son exactamente cero. Si consideramos ahora B = {e1, . . . , en}, se puedeprobar que B es una base de Rn (la cual se conoce como base canonica de Rn). Por lo tantodim(Rn) = n.

Claramente B tiene infinitos elementos (tantos como numeros naturales existen), por lo quedim(P) =∞.

2. Sea Ejk ∈ Mm×n(K) la matriz de m× n tal que en su entrada jk tiene el elemento 1 ∈ Ky en todas las otras entradas tiene al elemento 0 ∈ K.

Tenemos que el conjunto B = {Ejk : j = 1, 2 . . . ,m, k = 1, 2, . . . , n} es una base para elespacio vectorial Mm×n(K). Esta base es la base canonica de Mm×n(K). Se puede ver queella consta en total de mn elementos, por lo que dim (Mm×n(K)) = mn.

El siguiente resultado relaciona los conceptos de base y dimension de un espacio vectorial con laindependencia lineal.

Teorema 6.4 Sea V un espacio vectorial de dimension n y sean S un subconjunto de V de tamanom y W un subespacio vectorial de V de dimension k.

1. Si S es l.i., entonces m ≤ n.

2. Si S genera a V , entonces m ≥ n.

3. k ≤ n.

4. Si k = n, entonces V = W .

Ejemplo 6.17 1. Para el espacio vectorial R3 tenemos que dim(R3) = 3. Por lo tanto elconjunto B1 = {(1, 0, 0), (0, 2, 2), (3, 1, 0), (0, 0, 1)} no puede ser l.i., ya que contiene maselementos que la dimension de R3 (Teorema 6.4.1).

2. El conjunto B2 = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} no puede ser un conjunto generador de R3 ya quecontiene menos elementos que la dimension de R3 (Teorema 6.4.2).

3. Cualquier subespacio de R3 debe tener dimension menor o igual a 3 (Teorema 6.4.3).

4. El conjunto B3 = {(1, 3, 1), (0, 1, 1), (0, 0,−2)} es l.i., por lo tanto el subespacio de R3

dado por W = Gen(B3), tiene dimension 3, lo que implica que W = R3 (Teorema 6.4.4).

6.6. Rango, nulidad y espacios vectoriales asociados a una ma-triz

La teorıa desarrolla en las secciones anteriores puede utilizarse para estudiar ciertos espacios vec-toriales asociados a las matrices. Aunque todas las definiciones y resultados aquı presentadosse enunciaran para Mm×n(K), por simplicidad, en los ejemplos nos restringiremos al caso deMm×n(C)

6.6. RANGO, NULIDAD Y ESPACIOS VECTORIALES ASOCIADOS A UNA MATRIZ 101

Definicion 6.13 Sea A ∈ Mm×n(K) una matriz fija. Consideremos a Kn como el conjunto devectores columna Kn = {(a1, . . . , an)T : a1, . . . , an ∈ K}, para todo n ∈ N. Definimos elespacio nulo y el espacio columna de A, denotados respectivamente por NA y CA, como

NA = {x ∈ Kn : Ax = 0m}= {Todos los vectores x ∈ Kn que son soluciones del sistema Ax = 0m},

y

CA = {b ∈ Km : el sistema Ax = b tiene al menos una solucion }= {Todos los vectores b ∈ Km para los cuales el sistema Ax = b tiene al menos una solucion}.

Observacion 6.4 Es claro, por definicion, que NA ⊆ Kn y CA ⊆ Km. Mas aun, NA y CA sonno vacıos ya que NA contiene al menos al correspondiente vector 0n (ya que el sistema Ax = 0mtiene al menos como solucion x = 0n) y CA contiene al menos al correspondiente vector 0m (yaque para este vector existe al menos la solucion trivial x = 0n).

Ejemplo 6.18

1. Sea A ∈Mn×n(C) una matriz invertible. En este caso el sistema Ax = 0n tiene unicamentela solucion trivial, por lo que NA = {0n}.Por otro lado, para todo b ∈ Cn, el sistemaAx = b tiene solucion unica dada por x = A−1b,por lo que Cn ⊆ CA. Como CA ⊆ Rn por definicion, concluimos que CA = Cn.

2. Consideremos A =

1 1 30 1 10 0 0

. Como A es triangular superior, tenemos que |A| = 0,

por lo que A no es invertible. Describiremos los espacios NA y CA en este caso (es decir,hallaremos los vectores que forman cada uno de estos espacios).

Para hallar los vectores que pertenecen aNA debemos considerar el sistemaAx = (0, 0, 0)T ,que puede escribirse como 1 1 3

0 1 10 0 0

x1x2x3

=

000

.

En este caso tenemos las ecuaciones x1 + x2 +3x3 = 0 y x2 + x3 = 0, por lo que x2 = −x3y x1 = −x2 − 3x3 = x3 − 3x3 = −2x3. Tenemos entonces tantos vectores solucion comovalores de x3. Es decir: todos los vectores x ∈ C3 que son solucion del sistema Ax =(0, 0, 0)T son de la forma (−2x3,−x3, x3)T con x3 ∈ C. De esto obtenemos que

NA = {(x1, x2, x3)T : x3 ∈ C, x2 = −x3, x1 = −2x3}.

Para hallar los vectores que pertenecen a CA debemos considerar el sistema Ax = b conb ∈ C3, b = (b1, b2, b3)

T y determinar las condiciones que deben cumplir b1, b2, b3 para quedicho sistema tenga al menos una solucion (notese que, en este caso, no nos interesa laforma que tienen los vectores solucion. Solamente nos interesan los casos en los que existeal menos una solucion).


Tenemos que Ax = b puede escribirse como 1 1 30 1 10 0 0

x1x2x3

=

b1b2b3

.

Por la ultima fila de A, tenemos que el sistema tendra solucion si y solo si b3 = 0 (de otromodo tendrıamos la igualdad 0x1 + 0x2 + 0x3 = b3 6= 0, lo cual no puede suceder en C).Notamos tambien que b1 y b2 carecen de restricciones, ya que las ecuaciones x1+x2+3x3 =b1 y x2 + x3 = b2 se cumplen, por ejemplo, si fijamos x3 ∈ C y despejamos los valores dex1 y x2. Por lo tanto concluimos que CA consta de todos los vectores de la forma (b1, b2, 0)con b1, b2 cualesquiera numeros reales. Es decir:

CA = {(b1, b2, b3)T : b1, b2 ∈ C, b3 = 0}.

3. Consideremos B =

1 1 02 −1 11 −1 20 1 1

. Hallemos CB y NB. Comencemos por hallar CB. Para

ello tomamos b ∈ C4 y veremos en que casos el sistemaBx = b tiene al menos una solucion.

Este sistema se puede escribir como1 1 02 −1 11 −1 20 1 1

x1

x2x3

=

b1b2b3b4

.

Considerando la matriz aumentada B|b y realizando operaciones elementales por renglon,vemos que una forma escalonada de esta matriz es

1 1 02 −1 11 −1 20 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2b3b4

→

1 1 00 −3 10 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣b1

b2 − 2b1b3 − b2 + b1

b4 − b3 + b2 − b1

.

Por lo anterior, notamos que el sistemaBx = b tiene solucion si y solo si b4−b3+b2−b1 = 0(de otro modo tendrıamos la igualdad 0 = b4 − b3 + b2 − b1 6= 0, que no es posible). Losvalores b1, b2, b3 no tienen restriccion, ya que en estos siempre podemos aplicar despejespara obtener los valores de x1, x2, x3 que cumplan las ecuaciones correspondientes.

Por lo tanto, los vectores b = (b1, b2, b3, b4)T para los cuales Bx = b tiene al menos una

solucion, son todos aquellos tales que b1, b2, b3 ∈ R y b4 = b3 − b2 + b1, es decir:

CB = {(b1, b2, b3, b4)T : b1, b2, b3 ∈ C, b4 = b3 − b2 + b1}.

Ahora para obtener NB consideramos el sistema homogeneo Bx = (0, 0, 0, 0)T . Tomandola matriz aumentada correspondiente obtenemos:

1 1 02 −1 11 −1 20 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣0000

→

1 1 00 −3 10 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣0000

.


De lo anterior obtenemos x2 + x3 = 0, −3x2 + x3 = 0 y x1 + x2 = 0, por lo que x1 = x2 =x3 = 0. De esto se sigue que la unica solucion del sistema homogeneo Bx = (0, 0, 0, 0)T esla solucion trivial, por lo que concluimos que NB = {(0, 0, 0)T}.

Recordemos que si K es un campo, entonces Kn = {(a1, . . . , an)T : a1, . . . , an ∈ K}. Este con-juntoKn es un espacio vectorial sobreK con las operaciones de suma de vectores y multiplicacionde un escalar en K por un elemento de Kn analogas a las que se definieron para Rn.

Con base en esto tenemos el siguiente resultado.

Teorema 6.5 Para cualquier matriz A ∈ Mm×n(K), se cumple que NA y CA son subespaciosvectoriales de Kn y Km (sobre K) respectivamente.

Ya que sabemos que NA y CA son siempre espacios vectoriales, definimos los conceptos de rangoy nulidad de una matriz como sigue.

Definicion 6.14 SeaA ∈Mm×n(K) con espacios nulo y columna respectivosNA yCA. Definimosla nulidad y el rango de A, denotados respectivamente por ν(A) y ρ(A), como ν(A) = dim(NA)y ρ(A) = dim(CA).

Ejemplo 6.19

1. En el ejemplo 6.18.1. vimos que NA = {0n} y CA = Cn. Por lo tanto, en este caso tenemosν(A) = dim(NA) = 0 y ρ(A) = dim(CA) = n.

2. En el ejemplo 6.18.2. obtuvimos

NA = {(x1, x2, x3)T : x3 ∈ C, x2 = −x3, x1 = −2x3} = {x3(−2,−1, 1)T : x3 ∈ C}.

Se puede ver que B = {(−2,−1, 1)T} es una base para NA:

Como este conjunto consta de un unico elemento, no puede ser linealmente dependiente.Por otro lado, es claro que cualquier vector en C de la forma x3(−2,−1, 1)T se obtienesimplemente multiplicando (−2,−1, 1)T por el numero complejo x3 correspondiente. Porlo tanto se cumple que Gen(B) = NA y concluimos entonces que B es una base de NA.Finalmente, esto nos permite afirmar que ν(A) = 1.

Tambien vimos que, para la matriz del ejemplo 6.18.2, se cumple que

CA = {(b1, b2, b3)T : b1, b2 ∈ C, b3 = 0} = {(b1, b2, 0)T : b1, b2 ∈ C}= {b1(1, 0, 0)T + b2(0, 1, 0)

T : b1, b2 ∈ C}.

El conjunto B2 = {(1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T} es una base para CA, por lo tanto ρ(A) = 2.

Demostremos que B2 en efecto es una base para CA. Primero veremos si B2 es l.i. resol-viendo la ecuacion λ1(1, 0, 0)T + λ2(0, 1, 0)

T = (0, 0, 0)T . Esta ecuacion da el sistema deecuaciones 1 0

0 10 0

( λ1λ2

)=

000

,


cuya unica solucion es la solucion trivial. Por lo tanto B2 es l.i.

Por la Observacion 6.3 tenemos que Gen(B2) ⊆ CA. Por lo tanto debemos probar queCA ⊆ Gen(B2). Para esto, debemos tomar un vector v ∈ CA y probar que este vector es dela forma λ1(1, 0, 0)T + λ2(0, 1, 0)

T , que es la condicion que define a Gen(B2).Por la condicion que define a CA, si v ∈ CA entonces v es de la forma v = (v1, v2, 0)

T

con v1, v2 ∈ C. Este vector claramente es de la forma v1(1, 0, 0)T + v2(0, 1, 0)T , que es

justamente la forma de los vectores en Gen(B2). Por lo tanto concluimos que v ∈ Gen(B2)y obtenemos que CA ⊆ Gen(B2). Ya que tenemos las contenciones

Gen(B2) ⊆ CA ⊆ Gen(B2),

concluimos que CA = Gen(B2) y como anteriormente vimos que B2 es l.i., podemos afirmarque B2 es una base de CA.

3. En el ejemplo 6.18.3. vimos que NB = {(0, 0, 0)T} y

CB = {(b1, b2, b3, b4)T : b1, b2, b3 ∈ CC, b4 = b3 − b2 + b1}= {(b1, b2, b3, b3 − b2 + b1)

T : b1, b2, b3 ∈ CC}= {b1(1, 0, 0, 1)T + b2(0, 1, 0,−1)T + b3(0, 0, 1, 1)

T : b1, b2, b3 ∈ CC}.

Por lo anterior tenemos que ν(B) = 0 y, notando que

B = {(1, 0, 0, 1)T , (0, 1, 0,−1)T , (0, 0, 1, 1)T},

es una base de CB, obtenemos que ρ(B) = 3.

Para demostrar que, en efecto, B = {(1, 0, 0, 1)T , (0, 1, 0,−1)T , (0, 0, 1, 1)T} es una basede CA, tenemos lo siguiente:

a) B es linealmente independiente: planteamos la ecuacion

λ1(1, 0, 0, 1)T + λ2(0, 1, 0,−1)T + λ3(0, 0, 1, 1)

T = (0, 0, 0)T ,

que da lugar al sistema 1 0 00 1 00 0 11 −1 1

λ1

λ2λ3

=

0000

.

Resolvemos este sistema aplicando a la matriz de coeficientes aumentada las opera-ciones R4 → R4 − R1, R4 → R4 + R2 y R4 → R4 − R3. El resultado es la formaescalonada reducida de dicha matriz dada por

1 0 00 1 00 0 10 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣0000

.

De lo anterior obtenemos que este sistema tiene solamente la solucion trivial λ1 =λ2 = λ3 = 0, por lo tanto B es l.i.


b) Tenemos queGen(B) ⊆ CA por la Observacion 6.3. Veamos ahora queCA ⊆ Gen(B).Claramente, si b ∈ CA, entonces b se puede escribir como b1(1, 0, 0, 1)T+b2(0, 1, 0,−1)T+b3(0, 0, 1, 1)

T : b1, b2, b3 ∈ CC. Es decir, b se escribe como combinacion lineal de loselementos de B. Por lo tanto b ∈ Gen(B), es decir, CA ⊆ Gen(B). Con esto obtenemosque CA ⊆ Gen(B) ⊆ CA, que implica que CA = Gen(B).

Por el procedimiento anterior, concluimos que B es, en efecto, una base de CA.

En todos los ejemplos anteriores puede notarse que ν(A) + ρ(A) es igual al numero de columnasde la matriz. Esto no es una coincidencia, segun lo que indica el siguiente resultado.

Teorema 6.6 Sea A ∈Mm×n(K). Se cumple que ν(A) + ρ(A) = n.

Los siguientes resultados relacionan los conceptos de rango y nulidad con sistemas de ecuaciones,al mismo tiempo que proveen formas mas simples de calcular el rango y la nulidad de una matriz,sin tener que presentar bases explıcitas para los espacios columna y nulo.

Teorema 6.7 Sea A ∈Mm×n(K). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.

2. Los vectores columna de A forman un conjunto l.i.

3. ρ(A) = n.

4. dim(CA) = n.

5. ν(A) = 0.

6. NA = {0n}.

7. El sistema Ax = 0m tiene solo la solucion trivial.

Teorema 6.8 Sea A ∈Mm×n(C). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. El numero de pivotes de la forma escalonada de A es m.

2. Los vectores columna de A generan a Cm.

3. ρ(A) = m

4. dim(CA) = m.

5. Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.

6. ν(A) = n−m.

7. El sistema Ax = b tiene solucion para todo b ∈ Cm.

Corolario 6.1 Sea A ∈Mn×n(C). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.


1. El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.

2. Los vectores columna de A generan a Cn.

3. Los vectores columna de A forman un conjunto l.i.

4. Los vectores columna de A forman una base de Rn.

5. ρ(A) = n

6. dim(CA) = n.

7. Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.

8. ν(A) = 0.

9. El sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Cn.

10. La matriz A es invertible.

11. det(A) 6= 0.

6.7. Ejercicios

1. Determine si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales:

a) P∗ = {p ∈ P2(K) : p(0) = p(1)}, donde (K,+, ∗) es un campo con elementos neutroaditivio y neutro multiplicativo 0 y 1, respectivamente. Las operaciones ⊕ y · son lasmismas que se definieron en el ejercicio 6.

b) I = {A ∈ Mn×n(C) : ∃A−1}, donde (C,+, ∗) es el campo de los numeros complejoscon sus operaciones estandar.

c) R0(2, 1) = {(x, y) ∈ R2 : 2x + 1 = 0} con las operaciones estandar +, ∗ definidassobre R2.

d) R1(2, 1) = {(x, y) ∈ R2 : 2x + 1 = 1} con las operaciones estandar +, ∗ definidassobre R2.

2. Sea A ∈ Mm×n(K) una matriz con entradas en un campo K. Sean NA y CA sus espaciosnulo y columna.

a) Verifique que NA y CA son K-subespacios vectoriales de Kn y Km, respectivamente.

b) Verifique que si A es cuadrada e invertible, entonces NA = {0K} y CA = Km.

3. Verifique que C (el conjunto de los numeros complejos) con sus operaciones estandar es unR-espacio vectorial, pero R (con sus operaciones estandar) no es un C espacio vectorial.

4. Sea (V,⊕, ·) un K-espacio vectorial. Sean 0V y 0 los neutros aditivos de V y K respecti-vamente. Verifique que para todo v ∈ V y para todo α ∈ K se cumple que 0 · v = 0V yα · 0V = 0V .

6.7. EJERCICIOS 107

5. Sea (V,⊕, ·) un K-espacio vectorial y sea 1 el neutro multiplicativo de K. Sea−1 el inversoaditivo de 1. Verifique que para todo v ∈ V se cumple que −1 · v = −v, donde −v denota elinverso aditivo de v.

6. Sea (V,⊕, ·) un K-espacio vectorial. Sean 0V y 0 los neutros aditivos de V y K respectiva-mente. Verifique que para si α · v = 0V , entonces α = 0 o v = 0V .

7. Jacobo, Jonas y Jose han estado jugando “Just Dance”todo el fin de seman (para relajarsedespues de reprobar un examen de algebra lineal). Despues de bailar tres canciones cadauno, sus resultados, medidos en “estrellas”, son los siguientes:

Jonas obtuvo 5,4 y 5 estrellas, Jacobo obtuvo 4,4 y 5 estrellas y Jose obtuvo 3, 4 y 3 estrellas.

En algun momento aparece Jonathan, quien al escuchar las puntuaciones obtenidas por Ja-cobo, Jonas y Jose, menciona como chiste que esa puntuaciones parecen formar un conjuntolinealmente dependiente, considerando a R3 como R-espacio vectorial, ambos con sus ope-raciones estandar. ¿Tiene razon Jonathan?

8. Sea (P2(C),⊕, ·) el C-espacio vectorial de todos los polinomios con grado a lo mas 2.

Sean u(x) = i+ 2x− 2ix2, v(x) = 5i− x y w = i3. Sea

A = {todas las combinaciones lineales de u(x), v(x), w(x)}.

a) Verifique que A es un C-subespacio vectorial de (P2(C),⊕, ·), con las mismas opera-ciones de suma de polinomios y multiplicacion de un polinomio por un escalar.

b) Determine si t(x) = −2i3 + x es un elemento de A.

9. Sea MD(R) = {A = (aij)i,j∈{1,2} : a11 = a22, aij ∈ R ∀ i, j ∈ {1, 2}}. ¿Es (MD(R),⊕, ·)un R-subespacio vectorial de algun R-espacio vectorial, con las operaciones estandar de su-ma de matrices y multiplicaicon de matriz por escalar? Justifique formalmente su respuesta.

10. Sea (P2(R),⊕, ·) el R-espacio vectorial de todos los polinomios con grado a lo mas 2. Seanu(x) = 2 + x, v(x) = −x y w(x) = −2x2.

a) Sea t(x) = t1 + t2x + t3x2 donde t1, t2, t3 ∈ R. Determine si t(x) es combinacion

lineal de u(x), v(x) y w(x). Nota: por ningun motivo le asigne valores especıficos a t1,t2 y/o t3.

b) ¿u, v, w forman un conjunto linealmente independiente? Justifique formalmente su res-puesta.

c) ¿u y v son linealmente independientes?

11. Sea (R3,⊕, ·) tomado como R-espacio vectorial.

a) Sea X = {(u1, u2, u3) ∈ R3 : u1 + u2 = u3}. ¿Es (X,⊕, ·) un subespacio vectorial de(R3,⊕, ·)? Justifique formalmente su respuesta y describa explıcitamente este conjunto.

b) Sean a = (1, 3,−3), b = (0,−1, 4), c = (2,−2, 1), d = (2, 2, 2). Determine si{a, b, c, d}, {abT c, d} y/o {b, c, d} son linealmente independientes.

12. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifiqueformalmente su respuesta y corrija las afirmaciones falsas.


a) Si V un espacio vectorial y B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , donde vj 6= vk paratodo j 6= k, entonces puede existir un subespacio vectorial V1 ⊂ V tal que dim(V1) =n o dim(V1) = n+m, donde m ∈ N.

b) Si V un espacio vectorial y B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , donde vj 6= vk paratodo j 6= k y si S ⊂ V es tal que |S| = n+m, para algun m ∈ N, entonces S es l.d.

c) Cualesquiera nm+ 1 matrices de tamano m× n forman un conjunto l.d.

d) Si {v1, . . . , vn} es l.i. entonces {vj : j es par} tambien es l.i.

e) Si {v1, . . . , vn} es l.i. entonces {v1, . . . , vn, u} para cualquier u /∈ {v1, . . . , vn} es l.i.

13. Sea V ⊆ P2 el espacio vectorial (sobre R) generado por B = {2, x2, 1− x2}.

a) Verifique que B es l.d.

b) Describa completamente el espacio V .

c) Verifique que C = {x2, 1− x2} es una base para V .

14. Sea Z = {z ∈ C : Re(z) = 0}, donde Re(z) denota la parte real del numero complejo z.

a) Verifique que (Z,⊕, ·) es un R-subespacio vectorial de C con las operaciones estandarde suma de numeros complejos y multiplicacion por un escalar.

b) ¿Se cumple que (Z,⊕, ·) es un C-subespacio vectorial de C con las correspondientesoperaciones estandar? Justifique su respuesta.

c) Halle una base para Z (debera demostrar formalmente que el conjunto propuesto es, enefecto, una base). Utilice esta base para hallar la dimension de (Z,⊕, ·).

15. Sea A =

−1 −2 −7−2 −5 −33 8 −1−1 −3 4

.

a) Describa completamente los espacios nulo y columna de A.

b) Halle una base para cada uno de los espacios del inciso anterior (debera demostrar quelos conjuntos propuestos son, efectivamente, bases).

c) Halle la nulidad y el rango de A.

16. Sea (R2,⊕, ·) tomado como R-espacio vectorial. SeaD = {(x, y) ∈ R2 : x /∈ {−1, 1}}. ¿Es(D,⊕, ·) un subespacio vectorial de (R2,⊕, ·)? Justifique formalmente su respuesta.

17. Sea (M2×2(C),⊕, ·) tomado como C-espacio vectorial. Determine de manera formal la ve-racidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

a) dim [M2×2(C)] = 2.

b) A =

{(−1 −2−2 −5

),

(−1 −2−2 5

)}no genera a M2×2(C).

c) B =

{(−1 −2−2 −5

),

(−1 −2−2 5

),

(1 −2−2 5

),

(1 2−2 5

)}es base deM2×2(C).

6.7. EJERCICIOS 109

d) C =

{(−1 −2−2 −5

),

(−1 −2−2 5

),

(1 −2−2 5

),

(1 2−2 5

),

(1 22 5

)}es ba-

se de M2×2(C).

18. Sea (P2(C),⊕, ·) tomado como C-espacio vectorial. Sea V = {p ∈ P2(C) : p(0) = 0}.

a) Verifique que (V ,⊕, ·) es un C-subespacio vectorial de (P2(C),⊕, ·).b) Sea B = {1 − x, 1 − x2}. ¿Se cumple que V = Gen(B)? Justifique formalmente su

respuesta.

c) Halle la dimension de (V ,⊕, ·).

19. Sea

E =

1 −1 32 −2 60 1 1

0.5 −0.5 1.5

.a) Describa totalmente el espacio nulo y el espacio columna de E.

b) Halle una base para cada uno de los espacios del inciso anterior (si tales bases existen).

c) Calcule ν (la nulidad) y ρ (el rango) de E.

20. Sea V = Gen

{[1 30 1

],

[0 03 0

],

[1/3 112 1/3

]}a) Halle una base para V y determine dim(V ).

b) De los siguientes conjuntos, uno y solamente uno es otra base de V , distinta de la basehallada en el inciso anterior. Determine cual es dicha base, justificando formalmente surespuesta.

B1 =

{[1 00 1

],

[0 11 0

]}, B2 =

{[2 60 2

],

[0 010 0

]},

B3 =

{[1 30 1

],

[0 11 0

],

[1 11 0

]}, B4 =

{[1 31 1

]}.

21. Sean P∗2 = {p(x) = a+ bx2, a, b ∈ R} y B = {5, 1 + x2, 1− x2}.

a) Halle todos los subconjuntos de B que son de tamano 2 y linealmente dependientes(debera justificar formalmente que dichos conjuntos son, en efecto, linealmente depen-dientes).

b) ¿Se cumple que P∗2 = GenB? Justifique formalmente su respuesta.

c) Halle dim(GenB) y determine si se cumple que B1 = {1, x, x2}, B2 = {1, 2 + x2, 3−x2} y/o B3 = {x2} son bases de GenB.

d) Sea P∗3 = {p(x) = a + bx + cx2 : a, b ∈ R, c = 0} ¿Se cumple que P∗2 ∪ P∗3 esun espacio vectorial sobre R, con las operaciones estandar correspondientes? Justifiqueformalmente su respuesta.


22. Sea P(K) = {p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, a0, a1, . . . , an ∈ K,n ∈ N}, donde (K,+, ∗)

es un campo. P(K) es el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enK, que tomanvalores en K.

Sea Pm(K) = {p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn, a0, a1, . . . , an ∈ K,n ≤ m} el conjunto de

todos los polinomios con grado a lo mas m y coeficientes en K.

Verifique que P(K) y Pm(K) son K-espacios vectoriales con las siguientes operaciones:

Si p, q ∈ P , α ∈ K con p(x) = a0+a1x+ . . . , anxn, q(x) = b0+ b1x+ · · ·+ bmxm, m ≤ n:

p(x)⊕ q(x) = a0+ b0+(a1+ b1)x+(a2+ b2)x2+ · · ·+(am+ bm)x

m+ am+1xm+1+

· · ·+ anxn,

α · p(x) =n∑j=0

α ∗ ajxj

23. Sea K = {4,2, �}.

a) Defina dos operaciones +, ∗ tales que (K,+, ∗) sea un campo. Debera (por supuesto)verificar que (K,+, ∗) es en efecto un campo.

b) Con las operaciones definidas en el inciso anterior, verifique que para cualesquieraa, b, c ∈ K se cumple la igualdad (a+ b) ∗ (a+ c) = a2 + (b+ c) ∗ a+ b ∗ c, donde a2

se define como a ∗ a.

24. Sea (Mn×n(K),⊕, ·) el espacio de las matrices cuadradas de tamano n× n con entradas enun campo K, con las operaciones estandar de suma de matrices y multiplicaicon de matrizpor un escalar. Verifique que (Mn×n(K),⊕, ·) es un espacio vectorial sobre K.

25. Sean A,B dos espacios vectoriales sobre un campo K con las mismas operaciones ⊕ y ·.Verifique que (A ∩B,⊕, ·) es un K-espacio vectorial y que, en general, (A ∪B,⊕, ·) no esun espacio vectorial.

26. Para cada una de las siguientes matrices, calcule su rango y nulidad, describa los espaciosnulo y columna correspondientes, halle sus dimensiones y halle una base para cada uno deestos espacios (en caso de que dicha base exista).

a) A =

1 3 50 0 12 5 1

b) B =

[1 3 53 2 1

]

c) C =

1 2/3 22/3 5 4/31/6 1/2 1/3

d) D =

3 −2 3−3 1 −10 0 −2−1 −3 2

27. Encuentre una base del espacio vectorial dado y calcule su dimension:

6.7. EJERCICIOS 111

a) Gen{1 + x, x2, 1− x3}

b) Gen{[

1 30 0

],

[0 01 3

],

[1/3 1−2 −6

]}28. SeaM3×3 el espacio vectorial de las matrices de tamano 3×3 con coeficientes reales, con las

operaciones estandar de sumar de matrices y multiplicacion de un escalar real por una matriz.Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifiqueformalmente su respuesta.

a) Cualquier subconjunto de M3×3 con mas de 9 matrices es linealmente dependiente.

b) El espacio vectorial de las matrices cuadradas de tamano 2 es un subespacio vectorialde M3×3.

c) |M3×3| = dim(M3×3).

d) M−13×3 = {A ∈M3×3 : |A| 6= 0} es un subespacio vectorial de M3×3.

29. Sea

C =

1 −1 3 1/22 −2 6 10 1 1 03 −3 9 3/2

.a) Describa totalmente el espacio nulo y el espacio columna de C.

b) Halle una base para cada uno de los espacios del inciso anterior (si tales bases existen).

c) Calcule ν (la nulidad) y ρ (el rango) de C.

30. Sean D1 = {(x, y) ∈ R2 : 2x + y = 0} y D2 = {(x, y) ∈ R2 : 3x − y = 0}. Determine silas siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En cada caso, justifique formalmente surespuesta.

a) D1 ∪D2 no es un espacio vectorial sobre R.

b) D1 y D2 tienen ambos dimension 1.

c) |D1| = dim(D1).

d) S = {(1, 1)} no es una base para D1 y tampoco es una base para D2.

31. Sea V = {p, q}, donde p y q no son numeros reales. Consideremos el conjuntoR∗ = {1, 2}con la operacion multiplicacion definida como

1(2) = 2(1) = 1, 1(1) = 1, 2(2) = 2

y con la operacion suma (+) definida como

1 + v = v + 1 = v, ∀ v ∈ R∗, 2 + 2 = 1.

Definimos en V las operaciones de suma (denotada por ⊕) y multiplicacion por un escalarα ∈ R∗ (denotada por ·) de la siguiente manera:

p⊕ v = v ⊕ p = v,∀ v ∈ V, q ⊕ q = p, α · p = p ∀ α ∈ R∗, 1 · q = p, 2 · q = q.

R∗ es un campo con las operaciones de suma y multiplicacion definidas anteriormente. Masaun, por la definicion de⊕ y · es claro que V , con estas dos operaciones, cumple los axiomas1, 2, 4, 5, 6 y 10 de la definicion de espacio vectorial sobre R∗.


a) Verifique que (α + β) · v = α · v ⊕ β · v para cualesquiera α, β ∈ R∗ y v ∈ V .

b) Verifique que (αβ) · v = α · (β · v) para cualesquiera v ∈ V y α, β ∈ R∗.c) Verifique que (α + β + γ) · v = α · v ⊕ β · v ⊕ γ · v para cualesquiera α, β, γ ∈ R∗

y v ∈ V . Sugerencia: utilice el inciso a) de este mismo ejercicio y la cerradura de R∗

bajo su operacion suma.

32. Sea V = {×,4}. Consideremos el conjunto R∗ = {0, 1} con la operacion estandar demultiplicacion y con la operacion suma definida como

0 + v = v + 0 = v, ∀ v ∈ R∗, 1 + 1 = 0.

Definimos en V las operaciones de suma (denotada por ⊕) y multiplicacion por un escalarα ∈ R∗ (denotada por ·) de la siguiente manera:

×⊕v = v⊕× = v,∀ v ∈ V, 4⊕4 = ×, α·× = ×∀ α ∈ R∗, 0·4 = ×, 1·4 = 4.

Es claro que V , con las operaciones definidas anteriormente, cumple los axiomas 1, 2, 4, 5,6 y 10 de la definicion de espacio vectorial

a) Escriba al conjunto cuyos unicos dos elementos son × y 0. ¿Es este conjunto un sub-conjunto de V ? Justifique formalmente su respuesta.

b) ¿Se cumple que |V | = dim(V )? Justifique formalmente su respuesta.

c) Verifique que α · (u ⊕ v) = α · u ⊕ β · v y (αβ) · v = α · (β · v), para cualesquieraα, β ∈ R∗ y u, v ∈ V .

33. Determine si los conjuntos S dados generan al correspondiente espacio vectorial (sobre R)V .

a) V = R3, S = {(1, 21, 2), (21, 1, 2), (0, 0, 1)}b) V = R3, S = {(42, 12, 216), (29, 8, 4), (6, 7, 22), (22, 2, 0)}c) V = P2(R) = {p(x) = a0 + a1x+ a2x

2 : a0, a1, a2 ∈ R}, S = {1− x, 3− x2, x}d) V = P2(R), S = {−10 + 3x+ 11x2, 10 + 9x− 4x2, 5 + x+ 4x2}

e) V =M2×2(R), S =

{[2 10 0

],

[0 02 1

],

[3 −10 0

],

[0 03 1

]}34. a) Sea Pn el espacio vectorial de todos los polinomios p(x) de grado a lo mas n, con

coeficientes reales, bajo las operaciones estandar. Sea B = {1, x, x2, . . . , xn}. Verifiqueutilizando unicamente la definicion, que B es una base para Pn y determine dim(Pn).

b) Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R) se llama semipositiva definida si xTAx ≥ 0 paratodo vector (columna) x ∈ Rn. Sea SP el conjunto de todas las matrices semipositivasdefinidas con las operaciones estandar de suma y multiplicacion por un escalar. Verifi-que que SP es cerrado bajo la operacion suma, pero no es un espacio vectorial sobreR.

c) Sea V = {A ∈ Mn×n : |A| 6= 0} ∪ {0n×n}. Verifique que V es cerrado bajo lamultiplicacion por escalar estandar, pero no es un espacio vectorial en R bajo la sumaestandar de matrices.

6.7. EJERCICIOS 113

d) Determine si R y Z (el conjunto de todos los numeros enteros) son espacios vectorialessobre el conjunto R∗, definido en el ejemplo 6.6.

35. Sea V = {♣,♠} y sea R∗ como antes. Definimos en V las operaciones de suma y multipli-cacion por un escalar α ∈ R∗ de la siguiente manera:

♣+ v = v +♣ = v,∀ v ∈ V, ♠+♠ = ♣, α♣ = ♣ ∀ α ∈ R∗, 0♠ = ♣, 1♠ = ♠.

¿Es V un espacio vectorial en R∗ con las operaciones definidas anteriormente? Justifiqueformalmente su respuesta y, en caso afirmativo, halle la dimension de V .

36. En los incisos (a)-(f), realice lo siguiente:

I. Verifique que V es un espacio vectorial en R,

II. Determine si el conjunto S dado es l.i.,

III. Determine tambien si S es una base para el espacio vectorial V y

IV. Halle dim(V ).

a) V = R, S = Q (Q es el conjunto de los numeros racionales, es decir, todos los x ∈ Rtales que x = a/b, con a, b enteros y b 6= 0.)

b) V = {A ∈ Mn×n : A es triangular superior}, S = {Eklk , k = 1, . . . , n, lk = k, . . . , n}donde Eklk son las matrices definidas en el ejercicio 6f de la tarea 6.

c) V = M2×2, S =

{[a 00 0

],

[0 b0 0

],

[0 0c 0

],

[0 00 d

]}, donde a, b, c, d ∈ R

son tales que abcd 6= 0,

d) Pn, n > 2, S = {1− x+ x2, 1 + 2x2, 5 + x3, 3− 2x+ x3},e) V = {(x, y) ∈ R2 : 2x− 3y = 0}, S = {(1,−2), (3,−6), (6,−4)},f ) Gen{(1, 1), (1, 2), (2, 2)}, S = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}g) V = {(x, y) ∈ R2 : 2x+ 3y = 0}, S = {(1,−1), (3,−6), (6,−4)}.

37. Sea K = {J, S} con las operaciones suma (+) y multiplicacion (*) definidas como S + a =a+ S = a para todo a ∈ K, J + J = S, J ∗ J = J , J ∗ S = S ∗ J = S. Verifique que K esun campo.

38. Sea P(K) el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el campo K. Sea Pn(K)el conjunto de polinomios de grado a lo mas n con coeficientes en el campo K.

a) Verifique que P(K) es un espacio vectorial sobre K con las operaciones estandar desuma de polinomios y multiplicacion por un escalar (Definicion 6.8).

b) Verifique que Pn(K) es un espacio vectorial sobre K con las operaciones estandar desuma de polinomios y multiplicacion por un escalar.

c) Verifique que no existe un conjunto finito de polinomios que genere a P(K).

d) Halle una base para Pn(K) y utilice dicha base para determinar dim(Pn(K)).

e) Sea P−1(K) ={p(x)q(x)

: p, q ∈ P(K), q(x) /∈ {0, 1}}

. Determine si P ∪P−1(K) es uncampo.


39. Sea Q el conjunto de los numeros racionales, es decir, Q = {x ∈ R : x = a/b, a, b ∈ Z, b 6=0}. Denotemos por + y * la suma y multiplicacion estandar de numeros reales.

a) Verifique que (Q,+, ∗) es un campo.

b) Verifique que (R,+, ∗) es un espacio vectorial sobre Q

40. Determine cuales de los siguientes conjuntos, con las operaciones definidas, son espaciosvectoriales sobre R.

a) In×n = {A ∈Mn×n : ∃A−1} con las operaciones estandar.

b) D− = {La diagonal invertida del plano R2} con las operaciones definidas para R2.

c) R0 = {Todas las rectas en R2 que pasan por el origen} con las operaciones definidaspara R2.

d) M2×2(C) con la multiplicacion por escalar estandar y suma ⊕ dada por A⊕B = AB.

e) El conjunto Cb 6=0 = {a + bi ∈ C : a ∈ R, b 6= 0} ∪ {0} con las operaciones estandardefinidas sobre C.

Capıtulo 7

Transformaciones lineales

Recordemos que una funcion f se puede representar mediante la notacion f : A→ B, donde A,Bson conjuntos. Esta notacion se lee comunmente como “f es una funcion que va de A a B”, lo queformalmente quiere decir que f es la funcion cuyo dominio es el conjunto A y cuyo contradominio(a veces llamado codominio) es el conjunto B.

Existen dos conjuntos importantes asociados a las funciones, los cuales se presentan en la siguientedefinicion.

Definicion 7.1 Sea f : A→ B y definamos

Im(f) = {b ∈ B : tales que existe un ab que cumple f(ab) = b}.

Si C ⊆ Im(f), definimos el conjunto

f−1(C) = {a ∈ A : tales que f(a) ∈ C}.

El conjunto Im(f) se llama imagen, rango o recorrido de f , mientras que el conjunto f−1(C) seconoce como el conjunto de preimagenes, preimagen o conjunto inverso de C.

Finalmente, si a ∈ A es tal que f(a) = b ∈ Im(f), diremos que a es una preimagen de b.

Es importante mencionar que en la notacion f−1(C), el sımbolo de funcion inversa f−1 se utilizaexclusivamente como un elemento de dicha notacion. En ningun momento es necesario suponerque la funcion f tiene alguna inversa (de hecho, tal suposicion no se ha hecho en la definicionanterior).

Ejemplo 7.1 Consideremos la funcion f : R → R dada por f(x) = x2. Es claro que f(0) = 0 yque f(x) es positiva para cualquier x ∈ R\{0}, por lo tanto Im(f) = [0,∞) y, por ejemplo, elnumero 1 tiene dos preimagenes que son −1, 1, es decir f−1({1}) = {−1, 1}.

7.1. Definiciones basicas, imagen y nucleo

Definamos ahora el principal objeto de estudio de este capıtulo.

Definicion 7.2 Sean U, V dos espacios vectoriales (sobre R) y sea T : U → V una funcion.Diremos que T es una transformacion lineal de U en V si T cumple las siguientes propiedades:

115

116 CAPITULO 7. TRANSFORMACIONES LINEALES

1. Para cualesquiera u,w ∈ U , T (u+ w) = T (u) + T (w).

2. Para cualquier escalar α ∈ R y cualquier u ∈ U , T (αu) = αT (u).

Es decir, T es una transformacion lineal si T separa sumas y “saca.escalares.

Recordemos que, para que U y V sean espacios vectoriales, cada uno de ellos debe tener defi-nidas dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicacion por un escalar. En la definicionanterior hemos utilizado el mismo sımbolo para referirnos a las operaciones de U y V , pero estoes solamente para mantener la notacion tan simple como sea posible. En ningun momento deberaolvidarse que esta definicion depende de U y V , cada uno con su respectivo par de operacionesbinarias.

Ejemplo 7.2 Sean U = R3 y V = M2×2(R), cada uno con sus respectivas operaciones estandarde suma y multiplicacion por un escalar. Definamos

T ((u1, u2, u3)) =

(u1 u2u3 0

).

Determinemos si T es una transformacion lineal. Tomemos u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3),ambos vectores en R3 y sea α ∈ R. Tenemos que:

1.

T (u+ v) =T ((u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)) =

(u1 + v1 u2 + v2u3 + v3 0

)=

(u1 u2u3 0

)+

(v1 v2v3 0

)= T (u) + T (v).

2. Por otro lado:

T (αu) = T ((αu1, αu2, αu3)) =

(αu1 αu2αu3 0

)= α

(u1 u2u3 0

)= αT (u).

Concluimos que T es una transformacion lineal de R3 en M2×2(R).

Ejemplo 7.3 Consideremos ahora T : R3 → R2 dada por T ((u1, u2, u3)) = (u1−2u2, 3u3−u1).Determinemos si T es una transformacion lineal:

Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) vectores en R3 y α ∈ R, entonces

1.

T (u+ v) = T ((u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)) = (u1 + v1 − 2(u2 + v2), 3(u3 + v3)− (u1 + v1))

= (u1 − 2u2, 3u3 − u1) + (v1 − 2v2, 3v3 − v1) = T (u) + T (v)

2. Finalmente:

T (αu) = T ((αu1, αu2, αu3) = (αu1 − 2αu2, 3αu3 − αu1) = α(u1−2u2, 3u3−u1) = αT (u).

7.1. DEFINICIONES BASICAS, IMAGEN Y NUCLEO 117

Por lo tanto concluimos que T es una transformacion lineal de R3 en R2.

Las transformaciones lineales cumplen la importante propiedad de “transformar neutros aditivosen neutros aditivos”, como indica el siguiente resultado, el cual se incluye con su demostracion,debido a que esta ilustra el manejo creativo de las propiedades que definen una transformacionlineal.

Proposicion 7.1 Sean U, V dos espacios vectoriales con neutros aditivos respectivos 0U y 0V . SeaT : U → V una transformacion lineal cualquiera, entonces T (0U) = 0v.

Prueba. Sea u ∈ U con inverso aditivo −u. Es claro que −u ∈ U ya que U es espacio vectorial,entonces:

T (0U) = T (u+ (−u)), por definicion de inverso aditivo,= T (u) + T (−u), por propiedad 1 de la definicion de transformacion lineal,= T (u) + T ((−1)u), por la propiedad de espacios vectoriales − u = (−1)u, ∀u ∈ U= T (u) + (−1)T (u), por la segunda propiedad de la definicion de transformacion lineal= T (u) + (−T (u)), por la propiedad de espacios vectoriales − v = (−1)v, ∀v ∈ V= 0V , por definicion de inverso aditivo. (7.1.1)

La propiedad anterior nos sera de utilidad despues de definir el siguiente conjunto asociado a unatransformacion lineal.

Definicion 7.3 Sean U, V dos espacios vectoriales con neutros aditivos respectivos 0U y 0V y seaT : U → V una transformacion lineal. Definimos el nucleo de T , denotado por Nu(T ) como

Nu(T ) = T−1({0V }) = {u ∈ U : T (u) = 0V }.

Gracias a la Proposicion 7.1 podemos garantizar que el conjunto Nu(T ) de cualquier transforma-cion lineal es no vacıo, ya que el incluye por lo menos al neutro aditivo del espacio vectorial querepresenta el dominio de T .

Utilizando la Definicion 7.1 podemos hablar tambien del conjunto Im(T ) para cualquier transfor-macion lineal T . Tenemos el siguiente resultado, cuya demostracion se deja como ejercicio.

Teorema 7.1 Sean U, V dos espacios vectoriales y sea T : U → V una transformacion lineal connucleo Nu(T ) e imagen Im(T ). Entonces Nu(T ) e Im(T ) son espacios vectoriales.

Veamos algunos ejemplos sobre el nucleo e imagen de transformaciones lineales.

Ejemplo 7.4 Recordemos que si T es una transformacion lineal de U en V , entonces Im(T ) ={v ∈ V : existe uv ∈ U tal queT (uv) = v}.


1. Para la transformacion lineal del ejemplo 7.2 tenemos que cualquier elemento u = (u1, u2, u3) ∈

R3 es enviado a una matriz de la forma(u1 u2u3 0

). Por lo tanto, si A es cualquier matriz

de tamano 2× 2 cuya entrada en la posicion (2, 2) es igual a 0, tenemos:

A =

(a11 a12a21 0

)= T ((a11, a12, a21)) ,

por lo que Im(T ) ={A = (ajk)j,k∈{1,2} : a22 = 0

}.

Por otro lado, Nu(T ) = {u ∈ U : T (u) = 0V }, lo que implica que si u = (u1, u2, u3) ∈ R3

es tal que T (u) = 0V , entonces debe cumplirse que

T (u) =

(0 00 0

)⇔(u1 u2u3 0

)=

(0 00 0

)⇔ u1 = u2 = u3 = 0.

Por lo tanto, Nu(T ) = {(0, 0, 0)} = {0U}.

2. Para la transformacion lineal del ejemplo 7.3, tenemos que T transforma cualquier vectoru = (u1, u2, u3) ∈ R3 en un vector en R2 de la forma (u1 − 2u2, 3u3 − u1), por lo tanto, siv = (v1, v2) ∈ Im(T ), debe cumplirse que existe u = (u1, u2, u3) ∈ R3 tal que

u1 − 2u2 = v13u3 − u1 = v2

⇔ u2 = u1−v12

u3 = u1+v23

.

Lo anterior indica que el sistema

u1 − 2u2 = v13u3 − u1 = v2

tiene infinitas soluciones (tantas como posibles valores de u1) para cualesquiera v1, v2numeros reales, por lo tanto Im(T ) = V = R2.

Para obtener Nu(T ) debemos resolver el sistema

u1 − 2u2 = 03u3 − u1 = 0

.

Podemos notar que las soluciones del sistema anterior son

u2 = u12

u3 = u13

.

Como consecuencia, notamos que todos los vectores de la forma (u1, u1/2, u1/3), para todou1 ∈ R, son transformados en el vector (0, 0) bajo T .

Por lo tanto Nu(T ) = {(u1, u2, u2) ∈ R3 : u1 ∈ R, u2 = u1/2, u3 = u1/3}.

Ası como en el caso de las matrices, debido a que Nu(T ) e Im(T ) son espacios vectoriales,podemos tambien hablar de rango y nulidad de una transformacion lineal.

Definicion 7.4 Sean U, V espacios vectoriales y T : U → V una transformacion lineal. Definimosel rango y la nulidad de T , denotados respectivamente por ρ(T ) y ν(T ) como ρ(T ) = dim(Im(T ))y ν(T ) = dim(Nu(T )).

7.1. DEFINICIONES BASICAS, IMAGEN Y NUCLEO 119

Tenemos ademas el siguiente resultado.

Teorema 7.2 Sean U, V espacios vectoriales y T : U → V una transformacion lineal. Entonces,si dim(U) = n, tenemos que ρ(T ) + ν(T ) = n.

Ejemplo 7.5

1. Para la transformacion lineal del ejemplo 7.2, tenemos que Im(T ) = {A = (ajk)j,k∈{1,2} :a22 = 0} y Nu(T ) = {0U}. Es claro que ν(T ) = 0 ya que Nu(T ) es el espacio vectorialtrivial. Para encontrar ρ(T ) veremos dos formas: en la primera debemos hallar una basepara Im(T ).

Sea BI ={(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

)}. Notemos que

(0 00 0

)= λ1

(1 00 0

)+ λ2

(0 10 0

)+ λ3

(0 01 0

)⇔(

0 00 0

)=

(λ1 λ2λ3 0

)⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 0.

Por lo tanto, BI es l.i. Veamos ahora que Im(T ) = Gen (BI). Para ello probaremos queIm(T ) ⊆ Gen (B) y Gen (B) ⊆ Im(T ).

Sea A ∈ Im(T ), entonces:

A =

(a11 a12a13 0

)= a11

(1 00 0

)+ a12

(0 10 0

)+ a13

(0 01 0

).

Por lo tanto A se puede escribir como combinacion lineal de los elementos de BI , lo queimplica que Im(T ) ⊆ Gen (B).

Ahora, los elementos de B son elementos de Im(T ), por lo tanto Gen(B) ⊆ Im(T ), por loque de ambas contensiones de conjuntos concluimos que Im(T ) = Gen (BI).

Como ya probamos tambien que BI es l.i., concluimos que BI es una base para Im(T ), delo que se sigue que ρ(T ) = 3.

Una forma mas facil de obtener ρ(T ) es usar el Teorema 7.2. Como T : R3 → M2×2(R),donde dim(R3) = 3, del Teorema 7.2 tenemos que ρ(T ) + ν(T ) = dim(R3) = 3 y, dadoque ya sabemos que ν(T ) = 0, se sigue que ρ(T ) = 3.

2. Consideremos ahora la transformacion lineal del ejemplo 7.3. Vimos que Im(T ) = R2,por lo que ρ(T ) = 2. Usando nuevamente el Teorema 7.2, tenemos que ρ(T ) + ν(T ) =dim(R3) = 3 y como ρ(T ) = 2, tenemos que ν(T ) = 1.

De hecho, dado que anteriormente vimos que Nu(T ) = {(u1, u2, u3) ∈ R3 : u1 ∈ R, u2 =u1/2, u3 = u1/3}, se puede demostrar que {(1, 1/2, 1/3)} es una base de Nu(T ), lo queconcuerda con la igualdad ν(T ) = 1.


7.2. Propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 7.3 Sean U, V espacios vectoriales y sea T : U → V una transformacion lineal. Sea

w =n∑j=1

λjwj una combinacion lineal de w1, w2, . . . , wn ∈ U . Entonces T (w) es una combinacion

lineal de elementos de V con los mismos coeficientes que w. Es decir: T (w) =n∑j=1

λjT (wj).

Definicion 7.5 Sean U, V dos espacios vectoriales y sean S, T : U → V dos transformacioneslineales. Sea α ∈ R. Definimos la suma de dos transformaciones lineales y la multiplicacion deun escalar por una transformacion lineal, respectivamente, como las funciones S + T y αT dadaspor

(S + T )(u) = S(u) + T (u), ∀u ∈ U y (αT )(u) = αT (u), ∀u ∈ U.

Con base en esta definicion, podemos enunciar el siguiente resultado, cuya demostracion se dejacomo ejercicio.

Teorema 7.4 Sean U, V dos espacios vectoriales y sea TL el conjunto de todas las transforma-ciones lineales de U a V . Entonces TL es un espacio vectorial bajo las operaciones dadas en laDefinicion 7.5.

Una pregunta de interes es como determinar si dos transformacionales lineales son iguales. Tıpi-camente, dos funciones f, g con el mismo dominio y contradominio son iguales si f(x) = g(x)para todo x en el dominio comun de f y g. En el caso de dos transformaciones lineales con mismodominio y contradominio, es mucho mas facil verificar si ellas son iguales.

Teorema 7.5 Sean U, V dos espacios vectoriales y sean S, T : U → V dos transformacioneslineales. Sea B = {u1, u2, . . . , un} una base de U , entonces T = S si y solo si T (uj) = S(uj)para todo j = 1, 2, . . . , n.

Prueba. La afirmacion “T = S implica T (uj) = S(uj) para todo j = 1, 2, . . . , n”se sigue de ladefinicion de igualdad de funciones mencionada antes de este teorema. La afirmacion “T (uj) =S(uj) para todo j = 1, 2, . . . , n implica T = S.es la que se requiere probar para tener el resultadocompleto.

Para que se cumpla T = S, debe cumplirse T (w) = S(w) para cualquier w ∈ U . Sea entoncesw ∈ U un elemento cualquiera. Como B es una base de U , tenemos que w puede escribirse como

w =n∑j=1

λjuj para ciertos escalares λ1, . . . , λn. De esto se sigue que

T (w) = T

(n∑j=1

λjuj

)=

n∑j=1

λjT (uj).

La segunda igualdad se sigue del Teorema 7.3. Ahora, por hipotesis sabemos que T (uj) = S(uj)para todo j = 1, 2, . . . , n, por lo tanto

T (w) =n∑j=1

λjS(uj) = S

(n∑j=1

λjuj

)= S(w),

7.3. ISOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 121

donde en la segunda igualdad hemos usado nuevamente el Teorema 7.3 y en la igualdad final

utilizamos que w =n∑j=1

λjuj . Como w ∈ U es arbitrario, se cumple que T = S y el resultado

queda probado.

El siguiente resultado demuestra que una transformacion lineal de U a V queda totalmente deter-minada (es decir: puede conocerse completamente) si conocemos las imagenes de los elementosde alguna base de U .

Teorema 7.6 Sean U, V espacios vectoriales y sea B = {u1, u2, . . . , un} una base de U . Existeuna unica transformacion lineal T : U → V tal que vj = T (uj) para todo j = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo 7.6

1. Sean U = P2, V = R3 y B = {1, x, x2}. Hemos visto que B es una base de P2. Sea T : U →V la transformacion lineal tal que T (1) = (1, 0, 0), T (x) = (1, 2, 0) y T (x2) = (1, 0, 2).Queremos hallar la formula explıcita de T para cualquier polinomio p ∈ P2.

Para ello tomemos p ∈ P2 arbitrario. Como B es una base deP2, existen escalares λ1, λ2, λ3tales que p(x) = λ1 + λ2x + λ3x

2. Como T es transformacion lineal de P2 en R3, tenemosque

T (p(x)) = λ1T (1) + λ2T (x) + λ3T (x2) = λ1(1, 0, 0) + λ2(1, 2, 0) + λ3(1, 0, 2)

= (λ1 + λ2 + λ3, 2λ2, 2λ3). (7.2.2)

Por lo tanto, si q(x) = a0 + a1x + a2x2, sustituimos λ1 = a0, λ2 = a1 y λ3 = a2 en (7.2.2)

y obtenemos que T esta dada por la formula

T (a0 + a1x+ a2x2) = (a0 + a1 + a2, 2a1, 2a2).

Por el Teorema 7.6, esta transformacion lineal es unica y por lo tanto, queda totalmentedeterminada por la formula anterior.

2. Tomemos como U = D la diagonal de R2 y como V = M2×2(R). Se puede demostrar queB = {(1, 1)} es una base para D.

Tomemos la transformacion lineal T : U → V dada por T (1, 1) =(

3 00 1

). En este caso,

si u = (u1, u1) es cualquier elemento de D, tenemos T (u) = T (u1(1, 1)) = u1T (1, 1) =(3u1 00 u1

).

Por esto y citando nuevamente el Teorema 7.6, tenemos que T queda completamente deter-minada por la formula

T ((u1, u1)) =

(3u1 00 u1

).

7.3. Isomorfismos entre espacios vectoriales

Un tipo de relacion de gran importancia en las aplicaciones del algebra lineal es cuando dos espa-cios vectoriales son isomorfos. En terminos simples, esta relacion significa que los dos espacios


isomorfos pueden ser tratados “como si fueran el mismo espacio”, tomando en cuenta las propie-dades que preserva el isomorfismo, de modo que al trabajar con el mas simple de estos espacios,se pueden obtener conclusiones aplicables al mas complicado de los dos.

Por ejemplo, en cristalografıa existe la llamada ley de isomorfismos de Mitscherlich, la cual afirmaque Las sustancias que tienen propiedades quımicas y formas cristalinas similares usualmen-te tienen formulas quımicas similares.

Otra aplicacion del concepto de isomorfismo aparece en mineralogıa y quımica. Esta aplicacionhace referencia al fenomeno por el que dos sustancias distintas, por el hecho de presentar lamisma estructura, distribucion de atomos y dimensiones en sus moleculas, son capaces deformar conjuntamente una sola red cristalina.

Lo anterior son solamente algunos ejemplos de la importancia de este concepto, por lo que en estaseccion nos enfocaremos justamente en el espacio de espacios vectoriales isomorfos.

Antes de definir formalmente esta relacion, necesitamos las siguientes definiciones.

Definicion 7.6 Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo y sea T : U → V unatransformacion lineal.

1. Decimos que T es una transformacion lineal inyectiva si la igualdad T (u) = T (w) parau,w ∈ U implica que u = w. Esto es equivalente a decir que, para todo v ∈ Im(T ), existeun unico u ∈ U tal que T (u) = v.

2. Decimos que T es una transformacion lineal suprayectiva (o sobre) si Im(T ) = V .

3. Decimos que T es una transformacion lineal biyectiva si ella es inyectiva y suprayectiva. Aesta ultima transformacion lineal tambien la llamaremos isomorfismo de U a V .

La definicion anterior la hemos aplicado al caso particular en que tenemos una funcion de U a Vque es transformacion lineal, pero dicha definicion aplica en un contexto mucho mas general.

El siguiente teorema caracteriza a las transformaciones lineales inyectivas.

Teorema 7.7 Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo y sea T : U → V unatransformacion lineal. T es inyectiva si y solo si Nu(T ) = {0U}.

Prueba. Probaremos primero que si T es inyectiva, entonces Nu(T ) = {0U}. Como T es inyecti-va, para todo v ∈ Im(T ) existe un unico u ∈ U tal que T (u) = v. En particular, para 0V existe ununico u ∈ U tal que T (u) = 0V y por la Proposicion 7.1, tenemos que este u debe ser 0U . Por launicidad de este elemento, concluimos que Nu(T ) = {0U}.Ahora probemos que si Nu(T ) = {0U}, entonces T es inyectiva. Sean u,w ∈ U tales que T (u) =T (w), entonces

T (u) + (−1)T (w) = 0V , por Ax. 5, dado que V es un espacio vectorial,⇔T (u+ (−1)w) = 0V , por propiedad a) de la definicion de transformacion lineal. (7.3.3)

Como U es espacio vectorial (sobre R), (−1)w ∈ U y u+ (−1)w ∈ U (axiomas 6 y 1, respectiva-mente), por lo que (7.3.3) implica que u + (−1)w ∈ Nu(T ). Sin embargo, por hipotesis tenemosque Nu(T ) solo contiene al 0U , por lo que u + (−1)w = 0U . Por el ejercicio 1d) de la seccion

7.3. ISOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 123

anterior, esta igualdad es equivalente a u + (−w) = 0U , por lo que si sumamos w en ambos la-dos y utilizamos la definicion de inverso aditivo (axioma 5 de la definicion de espacio vectorial),obtenemos u+ 0U = 0U + w.

Por el axioma 4 de la definicion de espacio vectorial, esta ultima igualdad es equivalente a u = w.En conclusion, hemos probado que, bajo el supuesto de que Nu(T ) = {0U}, si u,w ∈ U son talesque T (u) = T (w), entonces u = w. Esto ultimo es justamente la definicion de una transformacionlineal inyectiva, por lo que el resultado queda probado.

Ejemplo 7.7 Con base en el Teorema 7.7, tenemos que la transformacion lineal del ejemplo 7.2es inyectiva. Sin embargo, ella no es suprayectiva ya que Im(T ) (M2×2(R).Nuevamente, utilizando el Teorema 7.7 tenemos que la transformacion lineal del ejemplo 7.3 noes inyectiva, ya que Nu(T ) contiene infinitos vectores (todos los de la forma (u1, u1/2, u1/3) conu1 ∈ R). Sin embargo, esta transformacion sı es suprayectiva ya que Im(T ) = R2.

Los ejemplos anteriores corresponden a transformaciones lineales que no son isomorfismos, yaque cumplen solo una de las condiciones dadas en la definicion de isomorfismo. Veamos ahora unejemplo de una transformacion lineal que sı es un isomorfismo.

Ejemplo 7.8 Sea T : M2×2(R) → R4 dada por T((

a bc d

))= (a, b, c, d). Veamos que T es

inyectiva y suprayectiva y, por lo tanto, es un isomorfismo.

Haremos esto de dos formas: primero por definicion y despues con ayuda del Teorema 7.7.

Para la inyectividad seanA,B ∈M2×2(R) tales queA = (ajk)j,k∈{1,2},B = (bjk)j,k∈{1,2} y supon-gamos que T (A) = T (B). Esta ultima igualdad es equivalente a decir que (a11, a12, a21, a22) =(b11, b12, b21, b22), lo cual ocurre si y solo si ajk = bjk para j, k ∈ {1, 2}, lo que implica queA = By por lo tanto T es inyectiva.

Para probar que T es suprayectiva debemos probar que R4 ⊆ Im(T ). Para ello, sea v ∈ R4 dado

por v = (v1, v2, v3, v4). Si consideramos la matriz A =

(v1 v2v3 v4

), tenemos que T (A) = v, por

lo que v ∈ Im(T ). Como v es arbitrario obtenemos R4 ⊆ Im(T ) y utilizando que Im(T ) ⊆ R4

concluimos que Im(T ) = R4. Por lo anterior concluimos que T es un isomorfismo entre M2×2(R)y R4.

Ahora probaremos la inyectividad utilizando el Teorema 7.7. Para ello necesitamos encontrar elnucleo de T . Es decir, debemos encontrar todas las matrices A ∈ M2×2(R) tales que T (A) =

(0, 0, 0, 0). Sea A =

(a bc d

), entonces T (A) = (0, 0, 0, 0) es equivalente a (a, b, c, d) =

(0, 0, 0, 0), lo cual ocurre si y solo si a = b = c = d = 0, por lo que concluimos que Nu(T ) =

{0U} ={(

0 00 0

)}. Luego, por el Teorema 7.7 tenemos que, en efecto, T es inyectiva.

Los isomorfismos cumplen diversas propiedades importantes y utiles para el estudio de espaciosvectoriales. El siguiente resultado presenta algunas de ellas.

Teorema 7.8 Sean U, V espacios vectoriales sobre el mismo campo y sea T : U → V un isomor-fismo. Entonces:


1. Si B = {u1, . . . , un} genera a U , entonces B′ = {T (u1), . . . , T (un)} genera a V . Mas aun,si B es l.i., entonces B′ es l.i.

2. Si B = {u1, . . . , un} es una base de U , entonces B′ = {T (u1), . . . , T (un)} es una base deV .

Ejemplo 7.9 Consideremos M2×2(R) y

B =

{(1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)}.

Se deja como ejercicio probar que B es una base para M2×2(R). Por el ejemplo anterior, tenemos

que T((

a bc d

))= (a, b, c, d) es un isomorfismo entre M2×2(R) y R4. Por el Teorema 7.8

tenemos que

B′ ={T

((1 01 0

)), T

((−1 10 0

)), T

((0 10 1

)), T

((0 01 1

))},

es una base de R4, la cual podemos calcular explıcitamente dado que conocemos quien es T .Tenemos:

B′ = {(1, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}.

Tenemos ahora la siguiente definicion.

Definicion 7.7 Sean U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo. Decimos que U y Vson isomorfos si existe un isomorfismo T : U → V . Esta relacion la denotamos por U ∼= V .

En general, si deseamos demostrar que dos espacios U y V son isomorfos basta encontrar un iso-morfismo entre ellos dos. Esto, sin embargo, puede resultar sumamente complicado. El siguienteteorema provee una herramienta sumamente poderosa para determinar si dos espacios son isomor-fos.

Teorema 7.9 Si U, V son ambos espacios vectoriales de dimension finita, entonces dim(U) =dim(V ) si y solo si U ∼= V .

La demostracion de este resultado requiere varios resultados previos que no se cubriran en estecurso, por lo tanto la omitiremos.

A lo largo del curso, el campo al que hace referencia la Definicion 7.7 ha sido el campo de losnumeros reales. Sin embargo, en el capıtulo anterior consideramos como campo el conjunto R∗ ={0, 1} con cierta operacion suma. La restriccion de que U, V sean espacios vectoriales sobre elmismo campo es sumamente importante. Por ejemplo, el espacio vectorial V = {♠,♣} como sedefinio en el capıtulo anterior, es un espacio vectorial sobre R∗ y R es un espacio vectorial sobresi mismo. Se puede demostrar que una base para V es {♠} y una base para R es {1}, por lo queambos espacios tienen dimension 1. Sin embargo, dado que V contiene solamente dos elementoses imposible encontrar una transformacion lineal suprayectiva de V a R.

Esto no contradice el Teorema 7.9 ya que, como se menciono previamente, V es espacio vecto-rial sobre R∗, mientras que R es espacio vectorial sobre si mismo. Es decir, el campo de dondeprovienen los escalares no es el mismo.

Veamos ahora algunos ejemplos de aplicaciones del Teorema 7.9.

7.4. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 125

Ejemplo 7.10

1. Anteriormente vimos que M2×2(R) ∼= R4 presentando explıcitamente un isomorfismo entreestos espacios. En el capıtulo anterior se vio que dim(M2×2) = 4 y dim(R4) = 4. Por lotanto, por el Teorema 7.9 tenemos que, en efecto, M2×2 ∼= R4.

2. El ejemplo anterior puede generalizarse a Mm×n(Rm) y Rmn. Ambos espacios tienen di-mension mn, por lo que, aplicando el Teorema 7.9, concluimos que ellos son isomorfos.

3. Rn y Rm con m 6= n no pueden ser isomorfos, segun el Teorema 7.9, ya que dim(Rn) =n 6= m = dim(Rm).

4. Anteriormente vimos que Pn, el espacio vectorial compuesto de todos los polinomios concoeficientes reales de grado a lo mas n, tiene dimension n+ 1, por lo que Pn ∼= Rn+1.

7.4. Matriz asociada a una transformacion lineal

El ultimo objeto de estudio de este capıtulo es la matriz asociada a una transformacion lineal.Para definirla necesitamos saber como calcular el vector de coordenadas con respecto a unabase.

Definicion 7.8 Sea U un espacio vectorial y sea B = {u1, u2, . . . , un} una base para U . Sea

w ∈ U dado por w =n∑j=1

λjuj . El vector de coordenadas de w con respecto a la base B, denotado

por [w]B, se define como[w]B = (λ1, λ2, . . . , λn)

T .

Ejemplo 7.11 Calculemos el vector de coordenadas de(

1 00 −2

)con respecto a la base de

M2×2 dada por

B =

{(1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)}.

Tenemos que existen escalares λ1, . . . , λ4 tales que(1 00 −2

)= λ1

(1 01 0

)+ λ2

(−1 10 0

)+ λ3

(0 10 1

)+ λ4

(0 01 1

).

Esta igualdad se cumple si y solo si

(1 00 −2

)=

(λ1 − λ2 λ2 + λ3λ1 + λ4 λ3 + λ4

)⇔

λ1 − λ2 = 1λ2 + λ3 = 0λ1 + λ4 = 0λ3 + λ4 = −2

⇔

1 −1 0 00 1 1 01 0 0 10 0 1 1

λ1λ2λ3λ4

=

100−2

(7.4.4)


Aplicando operaciones elementales por renglon, obtenemos que una forma escalonada equivalentede la matriz de coeficientes aumentada de este sistema es

1 0 0 10 −1 0 −10 0 1 −10 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣011−3

.

de donde se obtiene que λ1 = 3/2, λ2 = 1/2, λ3 = −1/2 y λ4 = −3/2. De esto concluimos que

[(1 00 −2

)]B=

1

2

31−1−3

.

Definicion 7.9 Sean U, V espacios vectoriales con bases respectivas B = {u1, . . . , un} y B′. Dadala transformacion lineal T : U → V , la matriz asociada a T respecto a las bases B y B′, denotadapor [AT ]BB′ , se define como

[AT ]BB′ = ([T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , . . . , [T (un)]B′) .

Ejemplo 7.12 Sean U = P2, V = R2 y T : P2 → R2 dada por T (a0+a1x+a2x2) = (a0−a1, a2).Se puede demostrar que T es una transformacion lineal, lo cual se deja como ejercicio.

Tomemos como bases deP2 y R2,B = {1, 1+x, 1+x−x2} yB′ = {(1, 0), (1, 1)}, respectivamente.Tenemos entonces:

T (1) = (1, 0), T (1 + x) = (0, 0) y T (1 + x− x2) = (0,−1). (7.4.5)

Por lo tanto:

λ1(1, 0) + λ2(1, 1) = (1, 0)⇔ λ1 = 1, λ2 = 0 ⇒ [T (1)]B′ = (1, 0)T

λ1(1, 0) + λ2(1, 1) = (0, 0)⇔ λ1 = 0, λ2 = 0 ⇒ [T (1 + x)]B′ = (0, 0)T

λ1(1, 0) + λ2(1, 1) = (0,−1)⇔ λ1 = 1, λ2 = −1 ⇒[T (1 + x− x2)

]B′ = (1,−1)T .

De lo anterior concluimos que

[AT ]BB′ =

(1 0 10 0 −1

).

El siguiente teorema presenta una propiedad importante de la matriz asociada a una transformacionlineal.

Teorema 7.10 Sean U, V espacios vectoriales de dimension finita con bases respectivas B y B′.Sea T : U → V una transformacion lineal, entonces, la matriz [AT ]BB′ es la unica matriz tal quepara todo u ∈ U se cumple que [T (u)]B′ = [AT ]BB′ [u]B.

7.4. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 127

Ejemplo 7.13 Verifiquemos la afirmacion del teorema anterior utilizando la transformacion del

ejemplo anterior, tenemos [AT ]BB′ =(

1 0 10 0 −1

).

Ahora, sea p ∈ P2 dado por p(x) = a0 + a1x + a2x2. Calculamos el vector de coordenadas de p

respecto a B.

Esto lo hacemos resolviendo el sistema

1 1 10 1 10 0 −1

λ1λ2λ3

=

a0a1a2

.

Este sistema tiene solucion λ1 = a0 − a1, λ2 = a1 + a2 y λ3 = −a2, por lo que [p]B = (a0 −a1, a1 + a2,−a2)T .

Por otro lado, T (p(x)) = T (a0+ a1x+ a2x2) = (a0− a1, a2). Hallamos el vector de coordenadas

de T (p(x)) respecto a B′ = {(1, 0), (1, 1)}. Para ello resolvemos el sistema{λ1 + λ2 = a0 − a1,

λ2 = a2,

cuyas soluciones son λ1 = a0− a1− a2 y λ2 = a2. Por lo tanto [T (p(x))]B′ = (a0− a1− a2, a2)T .

Finalmente, tenemos que(1 0 10 0 −1

) a0 − a1a1 + a2−a2

=

(a0 − a1 − a2

a2

)= [T (p(x))]B′ .

Lo anterior nos sirve para afirmar que cualquier transformacion de U a V se puede escribir comoel producto de una matriz por un vector de coordenadas respecto a una base. Por lo tanto, si co-nocemos las bases B y B′ de U y V respectivamente y la matriz [AT ]BB′ , podemos recuperar laformula explıcita que define a T .

Ejemplo 7.14 Para la transformacion lineal del ejemplo anterior, recuperemos la formula quedefine a T utilizando las bases B y B′ dadas y la matriz [AT ]BB′ . Por el ejemplo anterior tenemos

que si p ∈ P2 esta dado por p(x) = a0 + a1x+ a2x2, entonces [T (p(x))]B′ =

(a0 − a1 − a2

a2

).

Por lo tanto, para recuperar la formula exacta que define a T sustituimos α1 = a0 − a1 − a2 yα2 = a2 en la igualdad T (a0 + a1x+ a2x

2) = α1(1, 0)T + α2(1, 1)

T . De esto obtenemos que

T (a0+ a1x+ a2x2) = (a0− a1− a2, 0)T +(a2, a2)

T = (a0− a1− a2+ a2, a2)T = (a0− a1, a2)T .

Veamos otra forma de recuperar la formula que define a una transformacion lineal cuando conoce-mos las bases de los espacios vectoriales correspondientes y la matriz asociada a T .

Ejemplo 7.15 Supongamos ahora que T : U → V es una transformacion lineal, U = M2×2(R),V = R2,

B =

{(1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)},

B′ = {(1, 0), (1, 1)} y [AT ]BB′ =

(2 3 0 −11 1 0 −2

). Hallemos explıcitamente la formula que

define a T .


Primero veamos como actua T sobre la base B. Tenemos que

[AT ]BB′

=

([T

((1 01 0

))]B′,

[T

((−1 10 0

))]B′,

[T

((0 10 1

))]B′,

[T

((0 01 1

))]B′

),

de donde se obtiene que

T

((1 01 0

))= 2(1, 0) + 1(1, 1) = (3, 1), T

((−1 10 0

))= 3(1, 0) + 1(1, 1) = (4, 1),

T

((0 10 1

))= 0(1, 0)+0(1, 1) = (0, 0) y T

((0 01 1

))= −1(1, 0)−2(1, 1) = (−3,−2).

Por el Teorema 7.6, existe una unica transformacion lineal que tiene este efecto sobre la base B′,

por lo tanto podemos recuperar la formula que la define usando cualquier A =

(a bc d

)∈

M2×2(R). Debemos escribir a A como combinacion lineal de los elementos de B.

Para ello resolvemos el sistema

1 −1 0 00 1 1 01 0 0 10 0 1 1

λ1λ2λ3λ4

=

abcd

.

Este sistema tiene soluciones dadas por

λ1 =a+ b+ c− d

2, λ2 =

b+ c− a− d2

, λ3 =b− c+ d+ a

2, λ4 =

c+ d− a− b2

.

A =a+ b+ c− d

2

(1 01 0

)+b+ c− a− d

2

(−1 10 0

)+b− c+ d+ a

2

(0 10 1

)+c+ d− a− b

2

(0 01 1

).

De esto tenemos que

T

((a bc d

))=a+ b+ c− d

2(3, 1) +

b+ c− a− d2

(4, 1)

+b− c+ d+ a

2(0, 0) +

c+ d− a− b2

(−3,−2)

= (a+ 5b+ 2c− 5d, a+ 2b− 2c).

El caso en el que la transformacion lineal T va de Rn a Rm y las bases son las bases canonicas, lamatriz de coordenadas es mas simple.

7.5. EJERCICIOS 129

Ejemplo 7.16 Tomemos T : R3 → R2 dada por T ((a1, a2, a3)) = (a1 − 2a2, 3a3 − a1) conB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B′ = {(1, 0), (0, 1)}. En este caso:

T ((1, 0, 0)) = (1,−1) = 1(1, 0) + (−1)(0, 1), T ((0, 1, 0)) = (−2, 0) = −2(1, 0) + 0(0, 1),

T ((0, 0, 1)) = (0, 3) = 0(1, 0) + 3(0, 1).

Por lo tanto:

[(1, 0, 0)]B′ = (1,−1)T , [(0, 1, 0)]B′ = (−2, 0)T , [(0, 0, 1)]B′ = (0, 3)T .

Se sigue que

[AT ]BB′ =

(1 −2 0−1 0 3

).

En este caso, para cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 tenemos que T (a) = [AT ]BB′ aT .

Si tomamos a R3 como vectores columna, T (a) = [AT ]BB′ a

Concluimos este capıtulo con la siguiente relacion que involucra la nulidad y el rango de unatransformacion lineal.

Teorema 7.11 Sean U, V dos espacios vectoriales con bases respectivas B y B′ y sea T : U → Vuna transformacion lineal con matriz asociada AT := [AT ]BB′ . Se cumple que ρ(T ) = ρ(AT ) yν(T ) = ν(AT ) y esta relacion es independiente de las bases B y B′.

7.5. Ejercicios

1. U, V,W son tres espacios vectoriales sobre el mismo campo K con dimensiones n,m, n,respectivamente con n 6= m. ¿Cuales son isomorfos?

2. T : R→ R dada por T (x) = x2 ¿es transformacion lineal?

3. Sea A ∈ Mm×n(R) una matriz fija. Para todo x ∈ Rn consideremos la funcion T (x) = Ax.Determine el dominio y contradominio de T y determine si T es una transformacion lineal.

4. Sean U, V dos espacios vectoriales. Sea 0V el neutro aditivo de V y definamos la funcionT : U → V tal que T (u) = 0V para todo u ∈ U . Verifique que T es una transformacionlineal.

5. Verifique el Teorema 7.1. Es decir, si U, V son dos espacios vectoriales y T : U → V es unatransformacion lineal con nucleo Nu(T ) e imagen Im(T ), Verifique que Nu(T ) e Im(T )son espacios vectoriales.

6. D = {(x, y) ∈ R2 : x = y} y E = {(x, y) ∈ R2 : x − 2y = 0} son espacios vectorialessobre R. ¿Son isomorfos a R?

7. Sea T : R→ R dada por T (x) = ax+ b donde a, b 6= 0. ¿Es T transformacion lineal?

8. Verifique el Teorema 7.4. Es decir, si U, V son dos espacios vectoriales y TL es el conjuntode todas las transformaciones lineales de U a V , Verifique que TL es un espacio vectorialbajo las operaciones dadas en la Definicion 7.5.


9. Sea T : R2 → R dada por T ((x, y)) = x+ y ¿Es T una transformacion lineal?

10. ¿Es cierto o falso que C ∼= R2? ¿Por que?

11. Verifique el Teorema 7.3. Es decir, si U, V son espacios vectoriales, T : U → V es una

transformacion lineal. y w =n∑j=1

λjwj es una combinacion lineal de w1, w2, . . . , wn ∈ U .

Verifique que T (w) =n∑j=1

λjT (wj).

12. Sean U, V,W espacios vectoriales y sean T : U → V , S : V → W transformacioneslineales. Definimos la composicion de S con T como (S ◦ T ) (u) = S(T (u)), para todou ∈ U . Determine si S ◦ T es una transformacion lineal.

13. De los siguientes espacios vectoriales sobre R ¿cuales son isomorfos?:P3(R), R4 yM2×2(R).

14. T : U → V es una transformacion lineal inyectiva tal que T (v) = 0V si y solo si v = 0U .¿Es T un isomorfismo de U a V ?

15. Sea U un espacio vectorial y I : U → U tal que I(u) = u para todo u ∈ U . Esta transfor-macion se conoce la transformacion identidad.

a) Verifique que I es una transformacion lineal.

b) Utilice I para demostrar que todo espacio vectorial U satisface la relacion U ∼= U .

16. Sean U, V espacios vectoriales y sea T : U → V un isomorfismo. Se puede probar que paratodo isomorfismo T , existe T−1 : V → U tal que T ◦ T−1 : V → V , T−1 ◦ T : U → Uy T ◦ T−1 = IV : V → V , T−1 ◦ T = IU : U → U . Utilizando este resultado, halle T−1

para el isomorfismo dado en el ejemplo 7.8 y verifique que T ◦ T−1 = IV : V → V yT−1 ◦ T = IU : U → U .

17. Sea V = {A ∈M2×2(R) : A es diagonal}.

a) Verifique que V es un espacio vectorial.

b) Verifique que B =

{(1 00 0

),

(0 00 −1

)}es una base para V .

c) Sea T : V → R2 dada por T((

a 00 b

))= (a,−b). Verifique que T es una transfor-

macion lineal.

d) Sea B′ = {(2, 5), (2, 3)}. Verifique que B′ es una base para R2.

e) Halle [AT ]BB′ y escriba a T como el producto de esta matriz y un vector.

f ) Halle el rango y la nulidad de T con base en las matrices halladas en el inciso anterior.

18. Sea T : Mn×n(R)→ R dada por T (A) = det(A) para toda A ∈ Mn×n(R). Verifique que Tno es una transformacion lineal y tampoco es una funcion inyectiva.

19. Sea T : M2×2(R) → R2 dada por T((

a bc d

))= (a + 5b + 2c − 5d, a + 2b − 2c).

Verifique que T es una transformacion lineal.

7.5. EJERCICIOS 131

20. Sea T : R2 → R2 y sea B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} la base canonica de R2. Suponga queT (e1) = −e2 y T (e2) = e1.

a) Halle explıcitamente T .

b) Sea B′ = {(2, 5), (2, 3)}. Halle [AT ]BB′ .

c) Halle el rango y la nulidad de T .

21. Sea A ∈ Mn×n(R) con entradas ajk, j, k ∈ {1, . . . , n}. Definimos la traza de A como la

suma de los elementos de su diagonal. Es decir tr(A) =n∑j=1

ajj . Verifique que la traza de

una matriz es una transformacion lineal de Mn×n(R) en R, halle su nucleo, su imagen, surango y su nulidad.

22. Sea T : Mm×n(R) → Mm×n(R) dada por T (A) = AT . Determine si T es una transforma-cion lineal. En caso afirmativo, halle su imagen y su nucleo.

23. Sea T : P2(C) → P4(C) dada por T (p(x)) = p(x) + x2p(x). Determine si T es unatransformacion lineal. En caso afirmativo, halle su imagen y su nucleo.

24. Sea T : P2(C)→ C2 dada por T (a0 + a1x+ a2x2) = (a0 − a1, a2). Verifique que T es una

transformacion lineal y halle su rango y su nulidad.

25. Sea B =

{(1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)}y sea T : M2×2(R) → R2 la

transformacion lineal tal que

T

((1 01 0

))= (1, 0)T , T

((−1 10 0

))= (−1, 0)T ,

T

((0 10 1

))= (0, 1)T y T

((0 01 1

))= (0, 1)T .

a) Verifique que B es una base de M2×2(R).b) Halle explıcitamente T .

c) Sea B′ la base canonica de R2 y sea B′′ = {(α, 2)T , (1, β)T} donde α, β ∈ R son talesque αβ 6= 2. Verifique que B′′ es una base de R2.

d) Halle [AT ]BB′ y [AT ]BB′′ .

e) Escriba a T como el producto de una matriz y un vector para los casos de las matriceshalladas en el inciso anterior.

f ) Calcule el rango y la nulidad de T .

26. Determine si las transformaciones lineales de los ejercicios 6, 7, 9, 10, 13 y 14 son o noisomorfismos. Para aquellas transformaciones T que sean isomorfismos, halle T−1.

27. Determine si los siguientes espacios vectoriales son isomorfos:

a) U = R3, V = R2.

b) U = {A ∈M2×2(R2) : A es diagonal}, V = R2.

c) U = Pn(R), V = Rn.


d) U =Mn×n(R), V = Rn2 .

e) U = D (la diagonal de R2), V = D− (la diagonal invertida de R2).

f ) V = {♠,♣} como espacio vectorial sobre R∗, como se definio en el ejercicio 5.9y U = R∗ como espacio vectorial sobre sı mismo, con las operaciones dadas en elejemplo 6.6.

28. Sea T : Rn → V un isomorfismo entre Rn y V tal que T (ej) = vj ∈ V , donde B ={e1, e2, . . . , en} es la base canonica de Rn. Suponiendo que V es de dimension finita, hallela dimension de V y una base para V .

29. Sean D y D− como antes.

a) Verifique que D ∼= R, exhibiendo explıcitamente un isomorfismo S : D → R.

b) Halle explıcitamente un isomorfismo T entre D− y D.

c) Componga apropiadamente los isomorfismos S y T y utilice la composicion resultantepara probar que D− ∼= R.

30. Sea T : R2 → R2 una transformacion lineal y sea B = {(1,−1), (−3, 2)}.

a) Verifique que B es una base de R2.

b) Suponga que T es tal que [AT ]BB =

(−6 17−2 6

). Halle explıcitamente a T .

c) Sea B′ la base canonica de R3 y sea S : R2 → R3 tal que [AS]BB′ =

1 −12 −50 1

.

Halle explıcitamente a S.

31. Sea T : R2 → R3 dada por T((a1, a2)

T)= (a1, a2, a1 + a2)

T .

a) Verifique que T es una transformacion lineal.

b) Verifique que B = {(1, 2)T , (1, 4)T} es una base de R2.

c) Escriba a T como T (x) = Ax para cierta matriz A y x ∈ R2, utilizando la base delinciso anterior y como B′ la base canonica de R3.

d) Repita el inciso anterior utilizando como bases B y B′ las bases canonicas de R2 y R3,respectivamente.

32. Considere P3(R) y M2×2(R) como R-espacios vectoriales con sus respectivas operacionesestandar de suma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar. Sea B = {5, 1−x, 2x2, 10 + 3x3} y sea B′ = {E11, E12, E21, E22} la base canonica de M2×2(R) (Eij es lamatriz con 1 en la entrada i, j y cero en las otras entradas).

Sean T : P3(R)→M2×2(R) y S :M2×2(R)→ P3(R) tales que:

[AT ]BB′ =

−1 2 −3 −40 1 0 11 2 −2 −10 2 1 3

,

y S(E11) = −1, S(E12) = x− x2, S(E21) = x3, S(E22) = x3 − x.

7.6. SIMULACRO DE TERCER EXAMEN PARCIAL 133

a) Verifique que B es base de P3(R).b) Halle explıcitamente T y S y verifique que ellas son transformaciones lineales.

c) Determine completamente NASy CAS

, donde AS = [AS]B′B.

d) Calcule el rango y la nulidad de T y S.

7.6. Simulacro de tercer examen parcial



1. (100 pts.) SeaM0 = {A = (aij)i,j∈{1,2} ∈ M2×2(R) : a22 = 0}. Determine siM0 es unR-espacio vectorial con las operaciones estandar correspondientes.

2. (100 pts.) Sea R : P2(R) → R2 la transformacion lineal tal que [AR]BB′ =

(1 2 32 4 6

),

donde B = {1, x, x2} y B′ = {(1, 0), (0, 1)} son las bases canonicas de P2(R) y de R2,respectivamente. Halle explıcitamente R.

3. Sean i =√−1 y S : C→ R2 dada por S(a+ ib) = (a, b)T .

a) (40 pts.) Demuestre que S es una transformacion lineal.

b) (60 pts.) Halle Nu(S) e Im(S).

4. Sea D ∈M3×3(C) dada por D =

1 2 31 3 22 5 5

.

a) (100 pts.) Describa completamente CD yND y halle ν(D) y ρ(D), utilizando solamen-te las definciones correspondientes.

b) (5 pts. extra) Sea B ={(1, 1, 2)T , (2, 3, 5)T

}. Demuestre que B es una base de CD

utilizando solamente las definciones correspondientes.

5. Sea (P2(C),⊕, ·) el C-espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en C y grado alo mas 2. Considere los siguientes conjuntos:

B1 ={i, 2, x, x2

}, B2 = {i, x, i− x} , B3 =

{x, i− 2x2

},{1 + x, x2, x3

}.

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando formalmentesu respuesta (no debera hacer calculos para resolver este ejercicio).

a) (25 pts.) B1 es una posible base de (P2(C),⊕, ·).b) (25 pts.) B2 es una posible base de (P2(C),⊕, ·).c) (25 pts.) B3 es una posible base de (P2(C),⊕, ·).d) (25 pts.) B4 es una posible base de (P2(C),⊕, ·).

Bibliografıa

N.H. Bingham, C.M. Goldie, and J.L. Teugels. Regular Variation. Cambridge University Press,1987.

A note on scale functions and the time value of ruin for Levy Insurance: Mathematics andEconomics, 46 (1), 85-91,

E. Biffis and M. Morales. On a generalization of the Gerber-Shiu function to path-dependentpenalties. Insurance: Mathematics and Economics, 46 (1) 92-97,

P. Billingsley. Convergence of probability measures. Wiley and Sons, 2 edition, 1999.

E. Castillo, A. S. Hadi, N. Balakrishnan & J.M. Sarabia. Extreme value and related models withapplications in engineering and science John Wiley & sons, 2005

P. Embrechts; C. Goldie, and N. Veraverbeke. Subexponentiality and infinite divisibility. Z.Wahrsch. Verw. Gebiete 49 (1979), no. 3, 335–347.

P. Embrechts, C. Kluppelberg & T. Mikosch. Modelling Extremal Events for Insurance and Finan-ce. Springer, 1997.

H. Furrer. Risk processes perturbed by an α-stable Levy motion. Scandinavian Actuarial Journal,1, 1998.

J. Foss, D. Korshunov & Stan Zachary. An introduction to heavy-tailed and subexponential distri-butions. Springer, 2013.

Estimating ruin probabilities in the Cramer-Lundberg model with heavy-tailed claims. Tartu Uni-versity Press

O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, 2 edition, 2002.

E.T. Kolkovska and E.M. Martn-Gonzalez. Gerber-Shiu functionals for classical risk processesperturbed by an α-stable motion Insurance: Mathematics and Economics, vol. 66, pp. 22-28,2016.

A. Kyprianou. Introductory lectures on fluctuations of Levy processes with applications. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2006.

M.R. Leadbetter, G. Lindgren & H. Rootzen. Extremes and related properties of random sequencesand processes. Springer-Verlag, 1983.

M. Morales eneralized risk processes and Levy modeling in risk theory. Thesis, Concordia Uni-versity, Montreal, Quebec, Canada, 2003.

135

136 BIBLIOGRAFIA

S.I. Resnick A probability path. Birkhauser, 1999.

T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, and J. Teugels. Stochastic processes for insurance and finance.John Wiley and Sons, 1999.

K. Sato. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press, 1999.

C. Su & Q. Tang. Characterization on Heavy-tailed distributions by means of hazard rate ActaMathematicae Applicatae Sinica, English Series Vol. 19, No. 1, 135-142, 2003

S. Tendijck Estimating the Expected Shortfall using Extreme Value Theory BSc Thesis, DelftUniversity of Technology, 2016

8ermartin.files.wordpress.com · 2020-01-30 · 1 introduccion´ el presente documento contiene las...

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