ANUALIDADES

1.- OBJETIVOS

A) Reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades

B) Identificar y manejar los diferentes factores que intervienen en las anualidades

C) Calcular:

1) Montos o valores futuros

2) Valores actuales o presentes

3) Renta de anualidades

4) Tasas de interés, y

5) Tiempos o plazos de anualidades

2.- INTRODUCCION

En matemáticas financieras, la expresión anualidad, se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales.

La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde su orígenes.

Así es que se usa en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas.

En Finanzas, una anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos de tiempo. Por consiguiente se consideran anualidades:

A) Los dividendos sobre accionesB) Los fondos de amortizaciónC) Los pagos a plazos D) Los pagos periódicos de las compañías de segurosE) Y en forma mas general, los sueldos y todo tipo de rentas

Entonces las expresión anualidad puede cambiarse por:

1) Rentas

2) Series uniformes

3) Pagos periódicos

4) Amortizaciones u otros

Según el caso y las costumbres locales

3.- DEFINICION.

Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente a los demás , la anualidad se toma, según el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias

4.- CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES

Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición.

A) RENTA. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta

B) PAGO PERIODICO O PERIODO DE RENTA. El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el periodo de pago o periodo de la renta.

C) TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del ultimo es el tiempo o plazo de una anualidad.

D) RENTA ANUAL. La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual

E) TASA DE UNA ANUALIDAD. El tipo de interés fijado es la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva

Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases:

1) Anualidades ciertas, y

2) Anualidades eventuales o contingentes

A) ANUALIDAD CIERTA. Son aquellas cuya fecha inicial y terminal se conocen por estas estipuladas en forma concreta

B) ANUALIDADES CONTINGENTES. Son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir, , la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse

ANUALIDADES PERPETUAS O PERPETUIDADES. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitadas

Según la forma que se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan:

1) Anualidades ordinarias o vencidas, y

2) Las anualidades anticipadas.

A) ANUALIDAD ORDINARIA. O vencida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago.

B) ANUALIDAD ANTICIPADA. Si el pago se efectúa al principio del periodo de pago

ANUALIDADES INMEDIATAS. Son aquellas cuyo primer pago se efectua al iniciar o terminar el primer periodo.

ANUALIDADES DIFERIDAS. Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse de transcurrido cierto numero de periodos.

Entonces en base a estas clasificaciones se tiene:

A) ANUALIDADES CIERTAS Ordinarias o vencidas Anticipadas

Inmediatas Inmediatas Diferidas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas Perpetuas diferidas

B) ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES

ordinarias o vencidas Anticipadas

Inmediatas Inmediatas Diferidas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas Perpetuas diferidas

Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores, según el numero de pagos en el año y numero de periodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés.

ANUALIDADES SIMPLES. Se definen como aquellas cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalización.

5.- VALOR DE LAS ANUALIDADES.

A) El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de esta.

B) El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente.

Estos valores pueden calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así por ejemplo,, una renta de $ 4.000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá el valor futuro F al finalizar los 6 años, y tendrá un valor presente, P, en su fecha inicial

P F

0 1 2 3 4 5 6 años

4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000

Parte vencida Fecha intermedia Parte por vencer

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer , tal como se muestra en la grafica

5.1.- VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS INMEDIATAS

Este tipo de anualidad es el mas frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata .

La tasa de interés es por lo general , una tasa de interés nominal anual. En caso que la tasa no se nominal , se indicara como tasa efectiva anual

Si la tasa dada es nominal, sin especificación de periodo de capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago es el cociente entre la tasa nominal y el numero anual de pagos.

SIMBOLOS UTILIZADOS PARA LAS ANUALIDADES.

A = pago periódico de una anualidad o renta

i = tasa efectiva por periodo de capitalización

j = tasa nominal anual

m = numero de capitalizaciones en el año

j(m) = tasa nominal con m periodos de capitalizaciones en el año

n = numero de periodos de pago

F = monto de una anualidad o su valor futuro

P = Valor actual o presente de una anualidad

A) CALCULO DEL VALOR FUTURO.

Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha Focal, se tiene, entonces:

F

0 1 2 3 n -1 n periodos ……………..

A A A A A A A A

Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes periodos. El primer pago acumula durante (n – 1) periodos, el segundo (n – 2) periodos, y así sucesivamente, hasta el ultimo pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de termino

Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el ultimo seran:

A, A(1 + i), A(1 + i)2,…….. A(1 + i)n-2 + A(1 +i)n-1,

El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A, o sea:

F = A + A(1+i) + A(1 + i)2+………….. + A(1+i)n-2 + A(1+i)n-1

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos , razón (1 + i) y primer termino A. al aplicar la formula de la suma dada de la progresión geométrica se tiene:

S = a(rn – 1)/r -1; F = A (1+i)n – 1/(1+i) – 1

(1+i)n -1 ( 1 A) F = A i

En notación estándar F = A (F/A, i%, n) ( 1 B)

(Se pide F dados: el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el numero n de periodos)

Si el valor de cada pago a es de una unidad monetaria, el valor Futuro F corresponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina factor de valor futuro de una anualidad.

Notación algebraica (1 + i)n – 1/i = Factor de valor futuro

Notación estándar (F/A, i%, n) = Factor de valor futuro

B.- CALCULO DEL VALOR PRESENTE.

El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad.

Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene:

P F

0 1 2 n – 2 n-1 n periodos

A A A A

P (1 + i)n = F

P(1 + i)n = A (1+i)n-1/i

P = A*(1+i)n-1/i*(1+i)-n

P = A*[1 –(1-i)-n/i] ( 2 A)

Notación estándar P = (P/A, i%, n) ( 2 B)

(Se pide P, dados el pago periódico A, la tasa i% por periodo y el numero de periodos)

Si el valor de cada pago A, es de una unidad monetaria, el valor presente P corresponderá al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por el factor de valor presente de una anualidad de $ 1

Notación algebraica 1 – (1+i)-n/i = Factor de valor presente

Notación estándar (P/A, i%, n) = Factor de valor presente

EJERCICIO 1:

Una persona que viaja fuera de su ciudad deja una propiedad en arriendo por 5 años, con una condición de que paguen M$ 360 por trimestre vencido. Esta cantidad se depositara en una cuenta de ahorros que paga el 8% nominal anual. Encontrar:

1) El valor futuro en los 5 años

2) El valor presente del contrato de arriendo

RESOLUCION:

1) Valor Futuro:

F = A*(1+i)n -1/i

F = A(F/A, i%, n)

A = M$ 360; j = 0,08; m = 4; i = 0,08/4 = 0,02; n = 4*5 = 20

F = 360[F/A, 2%, 20], usando tablas de Matemáticas Financieras

24,29736980

F = 360*24,29736980 = M$ 8.747

2.- Valor Presente.

P = A(P/A, i%, n) = 360 (P/A, 2%, 20) en las tablas de M. F.

(P/A, 2%, 20) = 16,35143334

A = 360*16,35143334 = M$ 5.887

EJERCICIO 2:

Encontrar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de M$ 500.000, pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6%, capitalizable semestralmente.

1.- Valor Futuro

A = M$ 500.000; j = 0,086; m = 2; i = 0,086/2 = 0,043; n = 7*1/2*2 = 15

F = 500.000*(1+0,043)15 – 1/0,043 = 20,475867

F = 500.000*20,475867 = M$ 10.237.933

2.- Valor Presente.

P = A*[1-(1+i)-n]/i = 500.000* 1 – (1,043)-15/0,043

A = 500.000* [1 – 0,531784]/0,043

A = 500.000*10,888742 = M$ 5.444.371

EJERCICIO 3:

Una persona debe pagar una anualidad de M$ 6.000 trimestrales durante 10 años. Si no efectúa los 4 primeros pagos , ¿Cuánto debe pagar la vencer la quinta cuota , para poner al día su deuda, si la tasa de operación es del 10%, con capitalización trimestral?

Se calcula el VF parcial hasta el quinto pago

F”

0 1 5 37 38 39 40 trimestres

6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000

F” = Valor futuro parcial

A = M$ 6.000; j = 10%; m = 4; i =10%/4 = 2,5% = 0,025; n = 5

F” = A(F/A, i%, n) = 6.000 (F/A, 2,5%, 5)

F” = 6.000* 5,2563632852 = M$ 31.538

EJERCICIO 4:

Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de M$ 5.000 semestrales pactados al 8% nominal. Al efectuar el noveno pago, desea liquidar el saldo con un pago único. ¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago, para liquidar la deuda?

P”

0 1 9 19 20 semestres

A A A A

Al efectuar el noveno pago quedan 20 – 9 = 11 pagos

Pago único = A + P” (A es el valor de cada anualidad y P” el valor actual de los 11 pagos pendientes)

A = M$ 5.000; j = 0,08; m = 2; i = 0,08/2 = 0,04

Pago único = 5.000 + 5.000*(P/A, 4%, 11) = 5.000 + 5.000*8,76047671

Pago Único = M$ 43.802,4

5.2.- CALCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA

Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr determinado resultado; así por ejemplo:

1) ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto numero de años,

2) ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización para cancelar una obligación a largo plazo?

3) ¿Con que cuotas periódicas puede cancelarse una mercadería conocido su valor de contado y la tasa de interés?

En esta parte se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futuro por cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos periódicos.

(A)Calculo de la renta cuando se conoce el valor futuro

De la formula F = A*(1+i)n-1/i

se obtiene A = F*i/(1+i)n – 1 ( 3 A )

En notación estándar A = (A/F, i%, n) ( 3 B )

El factor i/(1+i)n-1 = (A/F, i%, n) recibe el nombre de factor del fondo de amortización, que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por periodo de pago. El valor de este factor, para las tasas que con frecuencia se usan en sistema bancario hoy se encuentra en las calculadoras financieras

(B) Calculo de la renta, cuando se conoce el valor presente

De la formula 2ª P = A*[1-(1+i)-n]/i

Se obtiene A = P*i/[1-(1+i)-n] (4 A )

En notación estándar A = P(A/P, i%, n) (4 B )

El factor i/[1-(1+i)-n] = (A/P, i%, n) recibe el nombre de factor de amortización, que corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por periodo de pago.

Por otra parte, se pueden asociar las formulas, mediante la siguiente relación.

A partir de la formula

(F/A, i%, n) = (1+i)n – 1/i

Se obtiene (A/F, i%, n) = i/(1+i)n -1

De la formula

(P/A, i%, n) = [1-(1+i)-n]/i

Se obtiene (A/P, i%, n) = i/[1-(1+i)-n]

al sumar i al valor de (A/F, i%, n), se obtiene

(A/F, i%, n) + i = i/(1+i)n- 1 +i =[ i + i(1+i)n – 1]/(1+i)n -1

(A/F, i%, n) + i = i/[1- (1 +i)-n], de donde

(A/F, i%, n) = (A/F, i%, n) + i

Los valores del factor de amortización (A/P, i%, n), se obtienen al sumar i al valor correspondiente del factor de fondo de amortización (A/F, i%, n)

EJERCICIO 5:

Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de M$ 20.000

RESOLUCION:

A = F(A/F, i%, n)

F = 20.000; j = 8%; m = 2; i = 8%/2 = 4%; n = 2*5 = 10

A = 20.000*(A/F, 4%, 10) = M$ 20.000* 0,08329094

A = M$ 1.666

EJERCICIO 6:

Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de M$ 100.000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente

RESOLUCION:

A = P(A/P, i%, n)

P = 100.000; j = 9%; m = 2; i = 9%/2 = 4,5%; n = 8*2 = 16

A = 100.000*(A/P, 4,5%, 16) = 100.000[(A/F, 4,5%, 16) +0,045]

(A/P, 4,5%, 16) = 0,04401537 con calculadora

(A/P, 4,5%, 16) = 0,044015537 + 0,045 = 0,08901537

A = M$ 100.000*0,08901537

Pagos semestrales de M$ 8,902

5.3.- CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD

Si en la formulas del valor futuro y valor presente se conoce, la tasa y la Anualidad A, puede calcularse el valor de n, o sea, el numero de pagos

Mediante logaritmos, las formulas de los valores futuros y presente pueden resolverse para n; así, por ejemplo:

Formula del Valor Futuro F = A*(1+i)n-1/i

iF = A*(1+i)n – A

A(1 + i)n = iF+ A

logA + n log(1+i) = log(iF + A)

nlog(1+i) = log(iF + A) – log A

n = (log (iF + A) – logA)/log(1+i)

EJEMPLO 6:

¿Cuántos pagos semestrales de M$ 6000 deberán hacerse para cancelar una deuda de M$ 45.000, al 7% de interés capitalizable semestralmente?

RESOLUCION

M$ 45.000 es el valor actual de la deuda, para el calculo del numero de pagos, se aplica:

P = A(P/A, i%, n)

P = 45.000; A = 6.000; j = 7%; m = 2; i = 7%/2 = 3,5%

45.000 = 6.000*(P/A, 3,5%, n)

(P/A, 3,5%, n) = 45.000/6.000 = 7,5

Entonces utilizamos interpolación como sigue:

(P/A, 3,5%, 8) = 6,87395554 y (P/A, 3,5%, 9) = 7,60768651

Si se necesita calcular un valor decimal aproximado al numero de periodos, es como sigue

a 9 corresponde 7,60768651 a n corresponde 7,50000000

a 8 corresponde 6,87395554 a 8 corresponde 6,87395554

1 es a 0,73373097 como n – 8 es a 0,62604446

1/0,73373097 = n – 8/0,62604446

n – 8 = 0,62604446/0,73373097 = 0,853

n = 8,853 periodos semestrales

En las actividades financieras se acostumbran soluciones practicas, optando por cualquiera de las dos alternativas expresadas a continuación

A) Aumentar el pago correspondiente al ultimo periodo entero (para este caso, el 8)

B) Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el ultimo periodo. (en el ejemplo dado, se trabajaría con 9 periodos, efectuando un pago menor al final del noveno periodo)

Estas soluciones no enteras dan origen a las anualidades impropias o variables, aquellas cuyos pagos o anualidades no son iguales.

Si en el ejemplo trabajado, se toma la alternativa b, se tendrá que efectuar un ultimo pago menor que los anteriores y suficiente para cancelar exactamente el saldo o remanente después de efectuar los 8 primeros pagos. Para calcular el valor del ultimo pago, se plantea una ecuación de equivalencia. Al escoger la fecha inicial como fecha focal, se tiene entonces para:

P = 45.000; A = 6.000; j = 0,07; m = 2; i = 7/2 = 3,5%; n = 9

45.000

1 2 7 8 9 semestres

6.000 6.000 6.000 6.000 X

45.000 = 6.000*(P/A, 3,5%, 8) + X (1+0,035)-9

45.000 = 6000*6,87395554 + X(0,73373097)

45.000 = 41.244 + 0,73373097X

X = (45.000 – 41.244)/0,73373097 = M$ 5119

La anualidad, en este caso impropia, esta formada por 8 pagos semestrales de M$ 6.000 cada y un ultimo pago de M$ 5.119, al final del noveno semestre.

Para el calculo del ultimo pago, es posible aprovechar la interpolación anterior y se tendría:

0,62604446/0,73373097*6.000 = M$ 5.119,4

Para demostrar que las dos formas de calculo son iguales, basta observar que 0,62604446 = 7,50000000 – 6,87375554 y que:

6.000* 0,62604446/0,73373097 = (7,5000000 – 6,87375554)/0,73373097

6.000 = (45.000 – 41.244)/0,73373097 = M$ 5119,4

Obsérvese también que (P/A, 3,5%, 9) – (P/A, 3,5%, 8) = (1 + i )-9

Demostración [1- (1+i)-9]/i – [1-(1+i)-8]/i =[ (1+i)-8 – (1+i)-9]/i

(P/A, 3,55, 9) – (P/A, 3,5%, 8) = (1+i)[(1+i)-1]/i = (1+i)-9

De acuerdo con lo anterior es posible enunciar: cuando el valor (P/A, i%, n) = A/P se resuelve por interpolación, la parte decimal de n es la parte de la renta A que debe pagarse al final del periodo, y que corresponde al entero superior para cubrir totalmente la deuda.

5.4.- CALCULO DE LA TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA

La tasa i de una anualidad puede ser incógnita, cuando se conocen los demás elementos de una anualidad, por lo general, los valores de i correctos desde el punto de vista matemático, resultan ficticios en la practica. Así, por ejemplo, si el calculo da para i el valor de 7,322563%, desde el punto de vista matemático resulta correcto, pero no se utiliza en la practica y se tomara una tasa aproximada de 7 1/3%

Se acostumbra calcular la tasa aproximada de interés mediante interpolación, con esto se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito. Este método podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7:

Una empresa de seguros ofrece, por un pago inmediato de $ 180.000, una renta anual de $10.000 pagadera durante 30 años, al comprador o sus herederos. ¿Qué tasa de interés abona esta empresa?

RESOLUCION:

A partir de la formula = A(P/A, i%, n) = P

Se tiene (P/A, i%, n) = P/A

P = 180.000; A = 10.000; n = 30

(P/A, i%, 30) = 180.000/10.000 = 18

Para encontrar los valores de (P/A, i%, 30) entre los cuales se halle comprendido el valor 18,000000, se busca en las respectivas tablas para un n de 30 y estos valores son:

Para (P/A, 4%, 30) = 17,29203330; i = 0,04

Para (P/A, 3,5%, 30) = 18,39204541; i = 0,035

Para el valor dado (P/A, i%, 30) = 18, se calcula i por interpolación

a 0,035 corresponde 18,39204541 a i corresponde 18,00000000 a 0,040 corresponde 17,29203330 a 0,04 corresponde 17,29203330

- 0,005 es a 1,10001211 como i – 0,04 es a 0,70796670

- 0,005/1,10001211 = i – 0,04/0,70796670

i – 0,04 = (-0,005)(0,70796670)/1,10001211 = -0,003218

Tasa = 3,6782 (Calculada) Tasa = 3, ¾ (practica o real)

5.5.- ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS

OBJETIVOS.

1) Aprender a reconocer y definir los factores que intervienen en el calculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas

2) Examinar el desarrollo de formulas y métodos de análisis para el calculo del valor futuro, valor presente, renta, plazos y tasas

3) Aprender a plantear ecuaciones de equivalencia entre anualidades vencidas y anualidades anticipadas y diferidas

5.5.1.- ANUALIDADES ANTICIPADAS.

1) En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada periodo, tal es el caso de las renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo arriendo se paga al principio de cada periodo.

2) En las ventas a plazo se suele estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el contrato de venta.

3) En los seguros, ya sean seguros de bienes en general, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por lo general , estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada periodo.

En estos casos se usa la expresión. “El pago vence a principio del periodo”

DEFINICION:

Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo de pago.

Para comparar las anualidades anticipadas, con las anualidades vencidas es muy útil el siguiente diagrama

Anualidades Vencidas

1 2 n- 2 n- 1 n

0

1 2 3 n – 1 n

Anualidades Anticipadas

A) SIMBOLOS UTILIZADOS EN LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS

Todos los símbolos tienen el mismo significado definidos en las anualidades ordinarias o vencidas

A = Pago periódico o renta

i = Tasa efectiva por periodo de capitalización

j = Tasa nominal anual

m = Numero de capitalizaciones en el año

j(m) = Tasa nominal con m capitalizaciones en el año

n = Numero de periodos de pago

F = Valor futuro o monto de una anualidad

P = Valor presente o actual de una anualidad

Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades vencidas, se acostumbra usar los símbolos F y P con diéresis para las anualidades anticipadas, esto en particular es útil cuando se trabaja simultáneamente con ambos tipos de anualidades.

F” = Valor futuro de una anualidad anticipada

P” = Valor presente de una anualidad anticipada

Para el calculo de las anualidades anticipadas y diferidas se utilizan las mismas formulas ya explicadas en anualidades vencidas, la diferencia se encuentra en la interpretación del factor.

En efecto, en el modelo matemático Y(X/Y, i%, n) se pide X conocido Y, que es modificado por los efectos del tiempo y la tasa. Para Y = 1, la cantidad (X/Y, tasa, tiempo), recibe el nombre de “factor de…… “, que para cada tipo de anualidad tiene una expresión algebraica en la que el tiempo incide en forma diferente

B) VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS

Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor presente de las anualidades anticipadas; de estas, se proporcionaran dos formas consideradas las mas simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas

Sea el diagrama de una anualidad anticipada de A por periodo

F

-1 0 1 2 n-2 n-1 n

A A A A A A

Observe que al agregar un ultimo pago A se obtiene el valor futuro de una anualidad vencida de A, por periodo, pagadera durante n + 1 periodos, F = (F/A, i%, n+1), restando a este valor el ultimo pago A el cual se había agregado, se obtiene el valor futuro de una anualidad anticipada de A, por periodo, pagadero durante n periodos.

F = A (F/A, i%, n+1) – A

estándar F = A[(F/A, i%, n+1)- 1]

Algebraica F = A[(1+i)n+1 -1/i -1]

El factor [(F/A, i%, n+1)-1] es el factor de valor futuro de anualidades anticipadas

El mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equivalencia y utilizando como fecha focal el final del periodo n – 1 (ver diagrama). En este se advierte que el pago A en el periodo n – 1 puede considerarse el ultimo pago de una anualidad vencida que se inicia en el periodo -1:

F(1+i)-1 = A(F/A, i%, n)

donde F = A(F/A, i%, n)( 1+ i)

Al reemplazar por sus expresiones algebraicas

F = A*[(1+i)n -1/i]*(1+i) = A* (1+i)n -1 – i/i

F = A [(1+i)n+1 – 1/i – i/i] = A*[(1+i)n+1 -1/i – 1]

Como [(1+i)n+1 -1/i] = (F/A, i%, n+1)

Se tiene F = A[F/A, i%, n+1) - 1]

[(F/A, i%, n+1) -1 ] es el valor futuro de una anualidad anticipada de una unidad monetaria, pagada durante n periodos, a la tasa i por periodo. Se puede expresar en la forma (F/A, i%, n)

Los valores del factor de valor futuro de una anualidad anticipada en n periodos se obtiene restando 1 al valor del factor futuro de anualidades vencidas correspondientes a (n+1) periodos.

C.- CALCULO DEL VALOR PRESENTE.

Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n periodos se suprime el primer pago A, se tiene una anualidad vencida de A, por periodo, pagadera durante n-1 periodos

P F

0 1 2 n-1 n

A A A A A

Su valor presente es P = A(P/A, i%, n-1) + A

P = A[(P/A, i%, n-1) +1]

Este mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuación de equivalencia y utilizando la fecha inicial como fecha focal

P = A(F/A, i%, n -1)(1+i)-(n-1) + A

P = A[(F/A, i%, n- 1)(1+i)-(n-1) +1]

Como (F/A, i%, n- 1) = (1+i)n-1 – 1/i

Luego P = A [(1+i)n-1 – 1/i*(1+i)-(n-1) +1]

O sea P = A[1-(1+i)-(n-1)/i + 1]

En notación estándar P = A[(P/A, i%, n-1) +1]

[(P/A, i%, n-1)] es el factor de valor presente de una anualidad anticipada de $ 1 por periodo pagada durante n periodos. Se puede expresar en la forma (P/A,i %, n)

El tratamiento de los problemas que involucran anualidades anticipadas, por lo general no es diferente de lo tratado en los problemas de anualidades vencidas. En todo caso, es recomendable plantear las ecuaciones de equivalencia y no depender de la simple aplicación de las formulas, ya que estas resultan muy limitadas ante la gran variedad de problemas a abordar en matemáticas financieras .

EJEMPLO 8:

Una empresa deposita al principio de cada año $ 200.000 en una cuenta de ahorro que abona el 7% de intereses, ¿A cuanto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años

F

0 1 2 3 4 5 años

200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000

F = A[(F/A, i, n+1) -1]

F = 200.000: i = 7%; n = 5

F = A[(F/A,7%, 5+1)-1] = 200.000*6,15329074

F = $ 1.230.658

Las calculadoras financieras, bajo el mando de anticipada, reciben como dato el valor de n en la misma forma que sucede con las anualidades vencidas

Mediante calculadora con función Xy:

[(F/A, i%, n-1) -1] = (1+i)n+1 -1/i – 1

Primer paso 1,07)6 = 1,5007304Segundo paso 1,5007304 -1 = 0,5007304Tercer paso 0,5007304/0,07 = 7,1532914Cuarto paso 7,1532914 -1 = 6,15320914Quinto paso 6,1532914* 200.000 = $ 1.230.658

EJERCICIO 9:

Carlos Meza desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos pólizas de capitalización que le ofrecen bajo las siguientes condiciones:

1) Cancelar $ 25.000 semestrales pagaderos a principio del semestre durante 10 años para formar un capital de $ 1.040.000

2) Cancelar $ 12.500 trimestrales pagaderos a principio de trimestre durante 10 años para formar un capital de $ 1.075.000

Entre las dos alternativas es mejor la que ofrezca mayor tasa de retorno

DESARROLLO:

A) Primera alternativa

$ 1.040.000

0 1 2 18 19 20 semestres

25.000 25.000 25.000 25.000 25.000

Opción A:

F = A[(F/A, i%, n) -1 ]; n = 20, F = $ 1.040.000, A = $ 25.000

1040.000 = 25.000[(F/A, i%, 21)-1]

(F/A, i%, 21) = 1.040.000/25.000 = 41,6

(F/A, i%, 21) = 42,6

Vamos a las tablas para n = 21 los valores mas próximos a 42,6

(F/A, 6,5%, 21) = 42,34895373

(F/A, 7%, 21) = 44,86517678

a 0,07 corresponde 44,86517678 a i corresponde 42,60000000

a 0,065 corresponde 42,34895373 a 0,065 correspo 42,34895373

0,005 es a 2,51622305 como i- 0,065 es a 0,25104627

0,005/2,51622305 = i – 0,065/0,25104627

i – 0,065 = 0,05*0,25104627/2,51622305

i = 0,00049886 + 0,065

i = 0,06549886

j(2) = 13,1% TIR = 13,53 EFECTIVO

Opción B, mediante calculadora con función Xy

$ 1.075.000

0 1 2 38 39 40 Trimestres

12.500 12.500 12.500 12.500 12.500 12.500

F = A (1+i)n+1- 1/i – 1

F = 1.075.000; A = 12.500, n = 40

1.075.000 = 12.500 (1+i)41 -1/i - 1

(1+ i)41 – 1/i = 87

A buen criterio, se ensaya con j(4) = 12%; i = 0,03

Primer paso (1,03)41 = 3,3598989

Segundo paso 3,3598989-1 = 2,3598989

Tercer paso 2,3598989/0,03 = 78,6632966 < 87

Se ensaya con i = 0,035, se repiten los pasos y se obtiene

Tercer paso = 88,50953714 > 87

Ahora con la alternativa = 0,034 y se obtiene

Tercer paso = 86,4294676< 87

Ahora con la alternativa = 0,0345

Tercer paso = 87,4622696 > 87

Finalmente se ensaya con i = 0,0343

Tercer paso = 87,0474256 > 87 valor que es suficientemente aproximado

i = 0,0343 j(4) = 13,72%

TIR = 14,44%

Respuesta , la oferta B es mejor puesto que proporciona mayor tasa de retorno. Con calculadora electrónica F = (F/A, i%, n); se ingresan los datos F = 1.075.000, A = 12.500, n = 40 y se computa i = 3,4277%, j(4) = 13,7108%

5.6.- ANUALIDADES DIFERIDAS

En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos casos se dice que la Anualidad es Diferida.

DEFINION.

Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo

INTERVALO DE APLAZAMIENTO

Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la de primer pago

Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $ A por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 semestres

A A A A A A A

k = fecha inicial de la anualidad vencida

Tiempo diferido = 3 periodo semestrales

Tiempo plazo de la anualidad = y periodos

Tiempo total = tiempo diferido mas tiempo de la anualidad

Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas de manera que, en los problemas, al hablar de una anualidad diferida, se supone que es vencida

A) VALORES DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS SIMPLES CIERTAS

Para el calculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas formulas ni tablas distintas de las ya descritas en apartados anteriores.

Para ello es necesario comprender la importancia de analizar los problemas, utilizando diagramas que le permitan determinar, cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo de pago, para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que conducen a la correcta solución.

1) CALCULO DEL VALOR PRESENTE.

Sea una anualidad vencida, diferida k periodos, de $ A por periodos pagaderos durante n periodos, a la tasa i por periodo. Mediante la elaboración de un diagrama se tiene:

P

0 1 2 k k+1 k+2 k+n-1 k + n periodos

A A A A

tiempo diferido tiempo de anualidad

Al formar una ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal el final del periodo k, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene:

Notación estándar P(F/P, i%, k) = A(P/A, i%, n)

P = A(P/A, i%, n) (P/F, i%, k)

Notación algebraica (P/A, i%, n) = 1 – (1+i)-n/i; (P/F, i%, k) = (1+ i)-k

P = [1-(1+i)-n/i]*(1+i)-k

Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas consiste en tratarlas como diferencia, entre dos anualidades no diferidas, así:

P1

0 1 2 K-1 K K+1 K+ n -1 k + nI Periodos

A A A A A A A

P2

0 1 2 k – 1 k periodosII

A A A A

P3

0 1 2 k -1 k k+1 k+ n -1 k + n periodosIII

A A A A A A A

El valor presente de I es P1 = A(P/A, i%, k+ n)

El valor presente de II es P2 = A(P/a, i%, k)

El valor presente de III es P3 = P1 – P2

P3 = A(P/A, i%, k+ n) – A(P/A, i%, n)

De donde, el valor presente de la anualidad diferida k periodos es:

P = A[(P/A, i%, k+ n) – (P/A, i%, k)]

Anteriormente demostramos que:

(P/A, i%, n + k) = (P/A, i%, k) + (1+i)-k(P/A, i%, n)