ANUALIDAD

ANUALIDADESMATEMATICAS FINANCIERASANUALIDAD

Se llama anualidad o serie uniforme a un conjunto de pagos, o flujos de pago, iguales y peridicos.

Aqu el trmino pago hace referencia tanto a ingresos como a egresos.

De la misma manera, el trmino anualidad se utiliza para indicar que los pagos son peridicos indistintamente del perodo de pago. Los perodos pueden ser un da, una semana, una quincena, un mes, un trimestre, un semestre, el ao u otro perodo de tiempo pactado.

Se utilizara la siguiente notacin para el tratamiento de las anualidades:

VP = Valor presenteVF = Valor futuroA = Valor de cada pago peridicoN = Nmero de pagos peridicosi = Tasa de inters por perodo

La tasa de inters debe coincidir con el perodo de capitalizacin.

Las principales clases de anualidades son:

a._ Vencidab._ Anticipadac._ Diferidad._ Perpetua

ANUALIDAD VENCIDA

Es aquella en la que el pago se hace al final del perodo.

Frmulas

Valor Presente: o

Valor Futuro:

EJERCICIOS EN ALBERTO CARDONA Pg. 81

1._ Hoy adquiero un equipo y me comprometo a cancelarlo con 18 cuotas mensuales cada una por valor de $7.500. Si me cobran una tasa de inters del 3% mensual Cunto cuesta el equipo de contado?

2._ El costo de mantenimiento estimado para una maquinaria nuestra es de $23.000 mensuales, si lo realizamos nosotros. Una empresa especializada nos ofrece firmar un contrato con el cual se comprometen hacerlo por un pago nico al iniciar el ao por $285.000. Si nosotros consideramos una tasa de inters igual al 3% mensual. Cul decisin debemos tomar?

3._ Por concepto de arrendamiento de un local, pagamos $30.000 mensuales. Si la tasa de inters es igual a 2,8% mensual, Cunto es el valor presente equivalente al iniciar el ao?

4._ He adquirido una obligacin para cancelarla en 15 cuotas quincenales, cada una por un valor de $20.000. Inmediatamente de cancelar la cuota No. 9, deseo hacer un pago en esta fecha por el total de la deuda. Cunto debo cancelar si la tasa de inters es del 1,3% quincenal?

5._ Un fabricante de abonos les ofrece a los agricultores un nuevo producto para mejora de los pastos. El costo de una aplicacin es de $850.000 y los beneficios adicionales aparecen al mes y permanecen durante 5 meses con un valor de $250.000. Determinar si es conveniente o no para el agricultor, si se tiene una tasa de inters igual a 2,5% mensual.

6._ Usted le compra a su mejor amigo una caja de herramientas y pacta pagarle hoy $10.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales, cada una por valor de $4.000. Despus de hacer el negocio usted se entera que el valor de contado era de $40.000 Cunto gan o cunto perdi en pesos de la fecha de compra, en este negocio con su amigo? Utilice una tasa de inters igual al 3% mensual.

7._ Una revista que se publica semanalmente, decide ofrecer un plan de suscripciones por un ao. Cada nmero tiene un costo de $210 y la editorial est interesada en reconocer una tasa de inters igual a 0,8% semanal Cunto debe cobrar por la suscripcin anual?

8._ Un afiliado de la Cooperativa de Empleados solicita un prstamo para cancelar en pagos mensuales iguales, durante un ao. La cooperativa cobra una tasa de inters del 2% mensual. Cunto es el valor del prstamo que puede solicitar, si dispone de $10.000 mensuales para cancelarlo?

Solucin

Se conocen las siguientes variables:

A=$10.000 mensuales;n= 12 mesesi=0,02 mensual

Lnea de tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses $10.000

Reemplazando:

TABLA DE AMORTIZACIONPERIODOSDEUDA INICIALINTERESESANUALIDADAMORTIZACION DE LA DEUDADEUDA FINAL

1 $105.753,41 $ 2.115,07 $ 10.000,00 $ 7.884,93 $ 97.868,48

2 $ 97.868,48 $ 1.957,37 $ 10.000,00 $ 8.042,63 $ 89.825,85

3 $ 89.825,85 $ 1.796,52 $ 10.000,00 $ 8.203,48 $ 81.622,36

4 $ 81.622,36 $ 1.632,45 $ 10.000,00 $ 8.367,55 $ 73.254,81

5 $ 73.254,81 $ 1.465,10 $ 10.000,00 $ 8.534,90 $ 64.719,91

6 $ 64.719,91 $ 1.294,40 $ 10.000,00 $ 8.705,60 $ 56.014,31

7 $ 56.014,31 $ 1.120,29 $ 10.000,00 $ 8.879,71 $ 47.134,59

8 $ 47.134,59 $ 942,69 $ 10.000,00 $ 9.057,31 $ 38.077,28

9 $ 38.077,28 $ 761,55 $ 10.000,00 $ 9.238,45 $ 28.838,83

10 $ 28.838,83 $ 576,78 $ 10.000,00 $ 9.423,22 $ 19.415,61

11 $ 19.415,61 $ 388,31 $ 10.000,00 $ 9.611,69 $ 9.803,92

12 $ 9.803,92 $ 196,08 $ 10.000,00 $ 9.803,92 -$ 0,00

9._ Al finalizar cada uno de los prximos 5 aos espero consignar $85.000 en una cooperativa que reconoce el 25% efectivo anual Cul ser el valor de mis ahorros al finalizar el 5 ao?

10._ Hallar el valor presente, el valor futuro y serie uniforme equivalente de los ingresos y de los egresos, considerando una tasa de inters del 32% anual:

$290.000

$200.000

$100.000 $100.000 $100.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$150.000 $170.000

$210.000

11._ Se desea conocer el valor que se puede retirar, al finalizar el ao, de la Caja de Ahorros en la cul consignamos desde el 1 de enero, $60.000 mensual, que es el producto del arrendamiento de un inmueble. La caja reconoce el 2% mensual.

EJERCICIOS DE JAIME A. GARCIA

1._ Hallar el valor de contado de un artculo que a crdito se adquiere con 18 cuotas de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra una tasa de inters del 2,5% mensual.

2._ Un televisor tiene un valor de contado de $63.500. Se desea adquirir a crdito as: una cuota inicial de $15.000 y el resto financiado a 18 meses con cuotas mensuales iguales. Si la tasa de inters que se cobra por la financiacin es del 3% mensual, hallar el valor de las cuotas.

3._ Durante un ao y medio se hacen depsitos de $12.000 cada uno por mes vencido, en una institucin de ahorro que paga un inters del 3% mensual. Calcular la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de este tiempo.

4._ Se debe reunir $850.000 para dentro 2 aos. Con tal fin se hacen depsitos iguales por mes vencido en una institucin que paga el 2,65% mensual. Hallar el valor de los depsitos.

5._ Se tiene una deuda hoy de $42.000 y debe cubrirse en cuotas mensuales de $2.000 cada una; si la tasa de inters que se cobra es del 3% mensual Al cabo de cunto tiempo se habr pagado la deuda?

6._ Un activo, que de contado tiene un valor de $32.000, puede adquirirse financiado a 20 cuotas mensuales de $2.100 cada una Cul es la tasa de inters mensual que se cobra?

7._ Financiar $5400.000 a un ao y medio (1 ao) con cuotas trimestrales iguales y un inters del 32% ATV (Anual Trimestre Vencido).

Nota. Cuando se habla de financiar una deuda se refiere a determinar cundo y cunto debe pagarse.

8._ Se tiene una obligacin que en un primer momento se haba pactado cubrir en 18 cuotas de $15.000 por mes anticipado; se decide pagarla de contado. Si la tasa de inters acordada es del 3% mensual, hallar este valor de contado.

9._ El propietario de una casa recibe por concepto de arriendo de la misma $350.000 mensuales, de los cuales deposita el 40% cada mes en una corporacin de ahorro que paga 2,5% de inters mensual. Realiza cada depsito el mismo da que recibe la renta. Si la casa estuvo arrendada por espacio de 2 aos, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros al final de los dos aos.

10._ Se adquiere hoy un electrodomstico financiado de la siguiente manera: 18 cuotas mensuales de $26.000 cada una, para cancelar la primera dentro de 5 meses y una tasa de inters del 3% mensual. Transcurrido un mes, se opta por cubrir en un solo pago el valor de la deuda; hallar el valor de este pago nico.12._ Usted tiene un contrato que estipula el pago de una deuda mediante 30 cuotas mensuales iguales de $22.000 cada una y un inters sobre saldos del 30% anual durante el primer ao y del 33% anual de all en adelante. Si usted desea saldar hoy este contrato con un pago nico, De cuanto es ese pago?

13._ Usted debe financiarle a una persona una deuda por valor de $3000.000 de hoy a 20 meses con cuotas mensuales iguales y un inters del 29% nominal trimestral, durante el primer ao, y del 34,5% anual de all en adelante.

14._ Financiar $1000.000 a un ao con cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de 4 meses sabiendo que la tasa de inters ser del 3,5% mensual durante los primeros 4 meses y del 4% mensual de all en adelante.

15._ Financiar $3000.000 de hoy, a tres (3) aos en cuotas mensuales iguales y un inters del 24% MV, durante el primer ao y del 29% anual de all en adelante, sabiendo que la primera cuota se paga dentro de 6 meses, y que la ltima debe ser el doble de la cuota uniforme.

16._ El gerente de una empresa solicita un prstamo por $45000.000 a un banco, comprometindose a pagar esta deuda en dos aos y medio (2) con cuotas mensuales iguales y un inters del 3% mensual para el primer ao y del 3,5% mensual de all en adelante. Para cumplir esta obligacin, el gerente autoriza hacer depsitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros que paga un inters del 2,5% mensual. El valor del depsito debe ser tal que al final del mes se tenga la suma exacta para pagar la cuota del banco. Al cabo de 10 meses la cuenta de ahorros aumenta la tasa de inters al 3,4% mensual, y la empresa contina haciendo los mismos depsitos. Hallar el saldo que tendr la empresa en la cuenta de ahorros una vez saldada la deuda con el banco.

17._ Supongamos que una ley exige que toda inversin que se haga en una institucin financiera pagar un impuesto del 12% anual sobre los intereses devengados en ese ao. Usted invierte all la suma de $3000.000, y la institucin promete pagarle el 36% anual de inters. Hallar el total acumulado al cabo de 10 aos, si adems cada trimestre usted deposita $50.000 durante los 10 aos.

18._ Financiar una deuda de $3000.000 a 2 aos en cuotas mensuales iguales y cuotas extraordinarias semestrales que sean el doble de las cuotas mensuales, sabiendo que la tasa de inters es del 34,49% EA.

19._ (4.1) Qu cantidad deber invertir hoy una persona en una cuenta de ahorros que paga un inters del 30% capitalizable mensualmente, para poder retirar $25.000 mensuales durante 3 aos?

20._ (4.2) Qu series de pagos uniformes sern equivalentes a cada uno de los valores siguientes:

a._ $1600.000 dentro de 8 aos, pagos anuales, y una tasa de inters del 8% trimestral?b._ $3100.000 dentro de 5 aos, pagos semestrales y una tasa de inters del 33% anual?c._ $1500.000 de hoy, pagos mensuales, durante un ao y una tasa de inters del 15% semestral?21._ (4.3) En una universidad existe la costumbre de que cada promocin semestral haga una donacin por $500.000, diez aos despus de graduados. Esta costumbre se inicio en junio 30 de 1978 con el grupo que termin en junio 30 de 1968. Si la universidad invierte estas donaciones semestrales en una institucin financiera que paga un inters del 34% anual, Cunto tendr acumulado la universidad por concepto de estas donaciones en diciembre 30 de 1993?

22._ (4.4) Tres personas A, B, y C, deciden ahorrar dinero durante tres (3) aos; determinar cul tiene mayor cantidad de dinero al cabo de los tres aos, sabiendo que: A hace depsitos mensuales de $30.000 y la tasa de inters es del 32,4% AMV; B deposita $100.000 cada trimestre al 33% ATV; y C deposita $205.000 cada semestre al 34% anual.

23._ (4.5) Un padre de familia debe reunir $2300.000 para dentro de 4 aos. Con este fin, abre una cuenta de ahorros hoy con $220.000, en una entidad que paga un inters del 32% capitalizable mensualmente, y de aqu en adelante cada mes deposita $R. Hallar el valor de R, de tal manera que el padre de familia cumpla su objetivo.

24._ (4.6) Una persona deposita $50.000 mensuales durante 4 aos en una entidad que paga un inters del 30,5% nominal trimestral. Al cabo de ese tiempo, la persona empieza a retirar $50.000 por mes vencido y durante 4 aos. Averiguar el saldo que le quedar a la persona en su cuenta al final de los ocho (8) aos.

25._ (4.7) Una compaa debe adquirir un terreno para ampliar sus instalaciones y las condiciones son las siguientes: una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto en 8 pagos trimestrales de $10000.000 cada uno, el primero de estos pagos debe hacerlo dentro de un ao. Determinar el valor de contado del terreno sabiendo que en la financiacin se pact un inters del 36% ATV.

26._ (4.8) Resolver el problema anterior sabiendo que la tasa de inters es del 30% nominal mensual durante el primer ao del crdito y del 36% ATV de all en adelante.

27._ (4.9) El 1 de junio de 1988 se adquiri un negocio con $4000.000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales de $550.000 cada uno; el primero con vencimiento el 1 de julio de 1991. Cul es el valor de contado del negocio para una tasa de inters del 29% capitalizable trimestralmente?

28._ (4.10) Se supone que una casa tiene un valor de contado de $280000.000. Se adquiere con una cuota inicial de $10000.000 y el resto en cuotas mensuales iguales durante un ao y medio (1 ); si la tasa de inters de la financiacin es del 35% anual, hallar el valor de las cuotas mensuales.

29._ (4.11) Usted como asesor de una empresa debe decidir entre comprar hoy una mquina cortadora que tiene un valor de $18600.000 o pagar el servicio de corte a otra empresa por valor de $520.000 mensuales. Cuntos meses mnimo deber prestar servicio la mquina para que usted se decida por la compra de sta, si la tasa de descuento de su empresa es del 30% anual?

30._ (4.12) Un artculo tiene un valor de contado de $585.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 18 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de ocho (8) meses y un ltimo pago por $80.000 tres (3) meses ms tarde de la ltima cuota mensual. Si la tasa de inters es del 31% AMV durante los siete primeros meses y del 9% trimestral de all en adelante, hallar el valor de las cuotas uniformes mensuales.

31._ (4.13) Usted deposita $10.000 cada mes durante 2 aos, en una entidad que paga un inters del 28% nominal mensual. A partir del segundo ao empieza a retirar $10.000 por mes vencido y durante un ao y medio (1 ), y desde esta fecha deposita por trimestre vencido y durante 2 aos, $50.000. Hallar el total acumulado en la cuenta de ahorros, un ao ms tarde del ltimo depsito trimestral.

32._ (4.14) Un ahorrador deposita $100.000 mensuales por mes vencido y durante 4 aos, en una cuenta de ahorros que abona un inters de 29,5% nominal trimestral. Si a partir de los 4 aos retira, por trimestre vencido, la misma suma depositada, Durante cunto tiempo puede hacer retiros?

33._ (4.15) Est construyndose un restaurante que entrar en servicio dentro de 1 ao. Supongamos que las utilidades sean de $650.000 mensuales y durante 4 aos de servicio. Si usted desea tomar en arriendo este restaurante, Cul ser el valor, en pesos de hoy, que debe ofrecer para que al cabo de los cinco (5) aos usted tenga una ganancia adicional de $3000.000, si la tasa de oportunidad es del 32% anual?

34._ (4.16) Hallar el nmero mnimo de depsitos de $85.000 cada uno y por mes vencido, para lograr sobrepasar los $2420.000 en el momento de hacer el ltimo depsito, si el dinero rinde el 29% capitalizable trimestralmente.

35._ (4.17) Un artculo tiene un valor de contado de $735.000; se adquiere financiado con una cuota inicial del 35% del valor de contado y el resto en cuotas mensuales de $28.500 cada una. Si el inters por la financiacin es del 28% nominal trimestral, hallar el nmero de cuotas y el valor de la ltima (dos soluciones).

36._ (4.18) Un automvil tiene un valor de contado de $16000.000; puede adquirirse con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a 3 aos en cuotas mensuales iguales. Si la tasa de inters que se cobra por la financiacin es del 42% MV, hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera se paga dentro de 3 meses. 37._ (4.19) resolver el problema 36 (4.18) suponiendo que la primera cuota se paga al cabo de 8 meses, pero durante este tiempo se cubren los intereses mensuales. 38._ (4.20) Resolver el problema 37 (4.19) para una tasa de inters del 40% anual durante los cinco (5) primeros meses y del 38% anual de all en adelante.

39._ (4.21) El dueo de un restaurante desea saber, dentro de un ao, la diferencia entre el valor futuro de los ingresos y el de los egresos para un ao de funcionamiento de su restaurante y con los siguientes datos: paga un arriendo de de $250.000 por mes anticipado; un seguro al principio del ao por un valor de $550.000; por obra de mano y maquinarias $150.000 mensuales; por materias primas para la preparacin de los alimentos $300.000 cada mes; por ingresos diarios (30 das al mes), $40.000; y la tasa de oportunidad del dueo del restaurante es del 3% mensual.40._ (4.22) Un padre de familia quiere depositar hoy una cantidad de dinero suficiente para cubrir los gastos de matrcula en bachillerato de su hijo que est cumpliendo hoy cinco (5) aos e ingresar en bachillerato a la edad de 12 aos. Se prev que para esa poca el valor promedio de la matrcula por mes anticipado ser $300.000. Si el depsito lo hace en una entidad que paga el 29% anual, hallar el valor del depsito, sabiendo que los meses de estudio son los 12 del ao. 41._ (4.23) Un seor deposita $ 225.000 al principio de cada ao comenzando en 1990, en una institucin que paga un inters del 30% convertible trimestralmente; las fechas de capitalizacin son los ltimos das de marzo, junio, septiembre y diciembre. En qu fechas de stas y de qu ao, llegar a sobrepasar, en la menor cantidad, la suma de $3420.000.

42._ (4.24) Se desea reunir $500.000 para dentro de un ao y $650.000 para dentro de un ao y medio (1 ). Con tal fin se abre una cuenta de ahorros en la que se depositarn cantidades iguales cada mes, de tal manera que puedan tenerse las sumas deseadas en las fechas correspondientes. Si la cuenta de ahorros paga el 28% nominal mensual, hallar el valor de las cuotas.

43._ (4.25) Un activo que tiene un valor de contado de $850.000 puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial de $350.000 y 12 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de seis (6) meses y un pago adicional por valor de $220.000 dentro de 18 meses. Hallar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que el inters para la financiacin es del 33% nominal trimestral.

44._ (4.60) Una institucin financiera otorga un crdito a un usuario por $30000.000, en las condiciones siguientes:a._ Tiempo de 3 aosb._ Perodo de gracia 8 meses y en este perodo solamente se pagarn interesesc._ cuotas mensuales igualesd._ Tasa de inters 38,4% AMVDeterminar el valor de las cuotas uniformes

45._ (4.61) Una obligacin que constaba de 15 pagos por mes anticipado con una tasa de inters del 2,5% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 22 pagos por mes vencido de $18.500 cada uno; el primer pago debe hacerse dentro de 5 meses y con una tasa de inters del 2,8% mensual durante los 6 primeros meses y del 3% mensual de all en adelante. Hallar el valor de la primera anualidad.

46._ (4.62) Sustituir una deuda que consta de 4 pagars de $1300.000 cada uno para pagar cada ao y con un inters del 33% nominal trimestral por su equivalente en una serie uniforme de pagos mensuales durante los 4 aos y con una tasa de inters del 30% nominal trimestral durante los 2 primeros aos y del 31% nominal trimestral de all en adelante. Hallar el valor de estos pagos uniformes. Es equivalente, para este caso, utilizar el valor presente o el valor futuro?

47._ (4.63) Una persona debe cubrir 2 pagars en sus fechas correspondientes: uno por valor de $2000.000 para dentro de 1 ao y el otro por valor de $2500.000 para dentro de 2 aos. Con tal fin, la persona decide ahorrar cantidades mensuales iguales, durante 15 meses, en una cuenta de ahorros que paga un inters del 36% anual. Determinar el valor de los depsitos mensuales.

48._ (4.65) Una persona adquiere una casa financiada as: cuota inicial financiada a 6 pagos mensuales de $800.000 cada uno y el resto a un plazo de 5 aos con cuotas mensuales iguales y un inters sobre saldo del 30% nominal mensual. Si la primera cuota se cancela dentro de 6 meses, hallar el valor de las cuotas mensuales sabiendo que la casa tiene un valor de contado de $135000.000

49._ (4.66) Una seora adquiere una casa financiada as: cuota inicial de $40000.000 y el resto a 2 aos con cuotas mensuales iguales y un inters del 34% nominal mensual. Si la primera cuota se paga dentro de 8 meses, hallar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que la casa tiene un valor de contado de $115000.000 50._ (4.68) Cul es el mnimo de meses (entero) durante los cuales una persona debe depositar $120.000 por mes anticipado a un inters del 3,5% mensual para que 2 meses despus de haber realizado el ltimo depsito, la persona tenga la suma necesaria para comprar de contado en esa fecha un artculo que financiado se cancelara con 8 cuotas por trimestre vencido de $860.000 cada una y un inters del 32% nominal trimestral?

51._ (4.69) Un electrodomstico tiene un valor de contado de $385.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: una cuota inicial por valor de $65.000, 12 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de seis meses y un ltimo pago dentro de veinte meses por $80.000. Determinar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que el almacn que ofrece el artculo cobra un inters de 3,8% mensual durante los 6 primeros meses y del 3,5% mensual de all en adelante.

52._ (4.70) Qu cantidad uniforme debe depositarse por mes anticipado a partir de hoy y durante dos aos y medio (2 ), en una cuenta que abona un inters del 3% mensual para poder pagar de contado dentro de 3 aos, una deuda que contrada en esa fecha se amortizara con 18 pagos iguales por trimestre vencido y un inters del 3,3% mensual? Expresar el valor de la primera anualidad en funcin de la segunda.

53._ (4.71) Un seor deposita $1250.000 al principio de cada ao, comenzando en 1990, en una corporacin financiera que paga un inters del 32% nominal trimestral; las fechas de capitalizacin son los ltimos das de marzo, junio, septiembre y diciembre de cada ao. En qu fecha de stas y de qu ao, llegar a sobrepasar en el mnimo la cifra de $26500.000 millones?

54._ (4.72) Un ahorrador deposita hoy $100.000 en una cuenta de ahorros que paga un inters del 24% nominal trimestral. Cuatro aos ms tarde, retira la mitad del saldo existente en su cuenta de ahorros y empieza a depositar por mes vencido, la suma de $20.000 y durante tres aos ms. Dos aos despus del ltimo de estos depsitos, retira todo el saldo de la cuenta de ahorros. Hallar el valor de los retiros.

55._ (4.73) Resolver el problema 4,63, si la tasa de inters es del 36% anual durante el primer ao y del 38% anual de all en adelante.

56._ (4.74) Una deuda que debera amortizarse con $300.000 hoy y 20 cuotas mensuales iguales de $20.000 cada una, pagando la primera dentro de 3 meses, debe sustituirse por dos pagos iguales, el primero dentro de 1 ao y el segundo dentro de 2 aos. Si la tasa de inters acordada para esta deuda es del 35% anual, determinar el valor de cada uno de estos pagos.

57._ (4.75) Un activo puede adquirirse con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 24 cuotas mensuales iguales de $56.850 cada una; la primera debe pagarse dentro de 8 meses. Determinar el valor de contado si el inters que se cobra es del 28% nominal mensual durante los ocho primeros meses y del 30% nominal trimestral de all en adelante.

58._ (4.76) Una persona debe reunir $11200.000 para dentro de 3 aos; con tal fin hace los siguientes depsitos en una cuenta que abona un inters del 34% anual: $2250.000 hoy, $1150.000 dentro de un ao y una cantidad $X cada mes durante el tercer ao. Se pide calcular el valor de X.

59._ (4.77) Un empresario adquiere un crdito por $20000.000 para invertirlo en su empresa y le cobran un inters del 36% nominal trimestral. En el contrato del crdito se estipula que la deuda total de capital e intereses se cubra al cabo de 5 aos, con un solo pago. Para cubrir esta obligacin el industrial debe depositar la mitad de sus utilidades mensuales en una institucin financiera que paga un inters del 31,5% nominal mensual. Cul ser la utilidad mensual que el empresario deber obtener en su empresa para poder cumplir la obligacin?

60._ (4.78) Una obligacin que consta de quince (15) pagos iguales por mes anticipado con tasa de inters del 2% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 22 pagos por mes vencido de $27.000 cada uno, el primero debe hacerse dentro de 5 meses, con una tasa de inters del 2% mensual durante los 5 primeros meses y del 2,5% mensual de all en adelante. Hallar el valor de la primera anualidad.

61._ (4.79) Un empleado se propone hacer depsitos iguales al final de cada ao por valor de $3100.000 cada uno, en una cuenta de ahorros que paga un inters del 29% nominal trimestral, durante los 20 aos de trabajo en una empresa, con el fin de poder retirar cantidades iguales mensuales durante los 10 aos siguientes al retiro de la empresa. Determinar el valor que podr retirar mensualmente.

62._ (4.80) Se abre una cuenta de ahorros hoy con un depsito de $150.000 y luego depsitos mensuales de $ 25.000 cada uno durante los prximos 20 meses. Dentro de 2 aos se empieza a retirar la suma de $ 40.000 mensuales; si la cuenta de ahorros paga un inters de 28% nominal mensual durante los 2 primeros aos y del 32% nominal mensual de all en adelante, Cuntos retiros pueden realizarse? Determinar el valor del ltimo retiro.

63._ (4.81) Una deuda de $10000.000 de hoy debe financiarse a 5 aos con cuotas mensuales iguales y un inters del 28% nominal mensual durante el primer ao, del 32% nominal trimestral durante los 2 aos siguientes y del 36% anual de all en adelante. Hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera debe pagarse dentro de 5 meses. 64._ (4.82) Se necesita reunir la suma de $6000.000 para dentro de tres aos; con este fin se harn depsitos mensuales iguales durante los 3 aos, en una entidad que pagar un inters del 2,8% mensual durante el primer ao, del 3% mensual durante el segundo ao y del 3,3% mensual para el tercer ao. Determinar el valor de cada depsito.

65._ (4.83) Se tiene una obligacin que consta de 18 cuotas mensuales iguales de $212.500 cada una; la primera debe pagarse dentro de 4 meses. Se desea sustituir esta obligacin por otra equivalente que conste de dos pagos, uno por valor de $2120.000 dentro de un ao y el otro para finales del segundo ao. Si el tipo de inters convenido es del 30% anual durante el primer ao y del 33% anual de all en adelante, determinar el valor del ltimo de los pagos de sustitucin.

66._ (4.84) Usted necesita reunir $1000.000 para dentro de 2 aos. Por tanto, decide depositar hoy una cantidad $X en una institucin bancaria que paga un inters del 2,8% por mes anticipado; usted retira estos intereses al principio de cada mes y los deposita en una cuenta de ahorros que promete pagar un inters del 38,4% nominal mensual vencido. Hallar el valor de X para que al final de los 2 aos, reunidos los saldos de las dos cuentas, usted tenga la suma de dinero deseada.

67._ (4.85) El gerente de una empresa pide un prstamo de $20000.000 a un banco y se compromete a cubrir esta deuda en 15 pagos mensuales iguales y con un inters del 3% mensual. Para poder cumplir esta obligacin, el gerente hace depsitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros que paga un inters del 2,8% mensual. El valor de cada depsito debe ser tal que al final del mes se tenga la suma exacta para pagar la cuota del banco. Al cabo de 8 meses, la cuenta de ahorros aumenta la tasa de inters del 3% mensual y desde ese momento el gerente duplica el valor de cada depsito. Hallar el saldo que tendr en la cuenta de ahorros una vez amortizada la deuda con el banco, sabiendo que en ese momento no se hace depsito. 68._ (4.86) Una familia adquiere hoy un electrodomstico que de contado costar $485.500. Sin embargo, lo adquieren a crdito as: cuota inicial del 22% del valor de contado y el resto para amortizar en 6 cuotas meses iguales; el primero debe pagarse dentro de cuatro meses. Si el inters que cobra la casa comercial es del 3,5% mensual durante los cinco primeros meses y del 3,9 % mensual de all en adelante, hallar el valor de las cuotas mensuales.

69._ (4.87) Una obligacin que consta de 18 pagos iguales por mes anticipado y con una tasa de inters del 2,6% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 24 pagos iguales por mes vencido de $3.500 cada uno; el primero debe pagarse dentro de 4 meses y con una tasa de inters de 2,6% mensual durante los 3 primeros meses y del 36% nominal mensual de all en adelante. Hallar el valor de cada pago de la primera anualidad.

70._ (4.88) Un seor que acaba de ser pensionado por una empresa, decide comprar un taxi para seguir trabajando. Debe pagar de cuota inicial el equivalente al 35% del valor del auto y el resto a 4 aos con cuotas mensuales iguales y un inters del 2,7% mensual. Al cabo de dos aos y medio de estar pagando cuotas, la compaa que financio la deuda le informa al propietario del taxi que las cuotas que aun faltan por pagar tienen un valor en esa fecha de $11850.000. Determinar el valor de contado del taxi.

71._ (4.89) Resolver el problema 4.88, si la tasa de inters es del 2,7% mensual durante los dos primeros aos y del 3,2% mensual de all en adelante.

4.90 Un artculo tiene un valor de contado $365.000 pero puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial de 35% del valor de contado y el resto en 18 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de cinco meses y un ltimo pago de $ 45.000 dentro de dos aos. Si la tasa del 31% nominal mensual durante los cinco primeros meses y del 9% trimestral de all en adelante, hallar el valor de las cuotas mensuales iguales.

4.91 Un pequeo proyecto requiere hoy $80000.000 los cuales obtienen de una entidad financiera que cobra un inters del 36% ATV y deben cubrirse con dos pagos iguales a 2 y 3 aos.

Para cubrir sta obligacin, el administrador del proyecto deber depositar mensualmente cantidades iguales en una corporacin que paga el 28,5% AMV. Determinar el valor de los depsitos mensuales.

4.98 Financiar dos obligaciones, una por $2300.000 de hoy y otra de $1700.000 para dentro de quince meses, ambas con un inters del 29% anual, por su equivalente en 20 cuotas mensuales iguales y un inters del 2,3% mensual para el primer ao, y del 30,5% anual de all en adelante, sabiendo que la primera de estas cuotas uniformes se pagar dentro de 3 meses.

4.100 Una fbrica construyo una gran bodega en la cul sobra un espacio considerable. La empresa puede arrendar parte de la bodega y depositar ese dinero al 31% anual. Si el metro cbico de bodega puede arrendarse por $6.500/mes, Cuntos metro cbicos deber arrendar la empresa para que logre tener, por est concepto, un total acumulado en la cuenta de $12000.000 al cabo de cuatro aos?

4.101 Con el fin de reunir $15000.000 para dentro de 5 aos, usted abre la cuenta de ahorros con un depsitos inicial de $1300.000 y luego depsitos mensuales iguales durante los 5 aos. Si al cabo de 2 aos usted debe retirar de la cuenta $2000.000, hallar el valor de los depsitos mensuales para que a los 5 aos tenga la cantidad deseada, sabiendo que la cuenta de ahorros para el 3% mensual durante los 2 primeros aos y el 3,8% mensual para los 3 aos siguientes.

4.102 Una persona adquiere hoy un apartamento con el siguiente plan: cuota inicial financiada a seis pagos mensuales de $2100.000 cada uno y un inters del 3% mensual, y el resto a cinco aos mensuales iguales: debe pagar la primera dentro de cuatro meses y el inters es del 37,5% MV. Determinar el valor de las cuotas mensuales, si el apartamento tiene un valor de contado de $85000.000.

4.103 Resolver el problema 4.102 si la tasa para la financiacin de la cuota inicial es del 2,8% mensual y para el resto la tasa de inters es del 34% MV para los dos primeros aos, del 32% MV para los dos aos siguientes y del 35% EA para el ltimo ao.

ANUALIDAD CON INTERES ANTICIPADO

Es aquella donde el pago de los intereses se realiza al principio de cada perodo. El deudor paga cuotas iguales en cada perodo, excepto en punto inicial.

Ejemplo: [footnoteRef:2] [2: Garca, Jaime A. Matemticas Financieras. Cuarta Edicin. Editorial Pearson. Pg. 132.]

Un banco comercial le otorga un crdito a una persona en las siguientes condiciones:

Prstamo$ 2000.000

Tiempo1 ao

Tasa de inters32% TA (Trimestre Anticipado)

Abono a la deudaTrimestre vencido

CuotasUniformes a partir del primer trimestre

Donde:

Do = Deudan = Nmero de perodosi = Tasa de inters por perodo anticipadoA = Anualidad

$ 2000.000

0 1 2 3 4

$160.000 $564.160,89

Tasa trimestre anticipada:

Inters: $2000.000 * 0,08 = $160.000

El abono a capital se hace de la siguiente manera:

En el perodo nA

En el perodo n-1A-i *A = A*(1-i)

En el perodo n-2A-i *[A*(1-i)+A] = A(1-i)2

.

.

.

En el perodo 3A*(1-i)n-3

En el perodo 2A*(1-i)n-2

En el perodo 1A*(1-i)n-1

Amortizacin de la deuda

En el perodo 4= $564.160,89

En el perodo 3 = $564.160,89*(1-0,08) $564.160,89 * 0,92 $519.028,02

En el perodo 2 = $564.160,89*(1-0,08)2 $564.160,89 * 0,8464 $477.505,78

En el perodo 1 = $564.160,89*(1-0,08)3 $564.160,89 * $439.305,32

Pago de intereses

Los intereses de cada perodo de obtienen de la diferencia entre la anualidad y la amortizacin de la deuda.

La deuda final se obtiene de la diferencia entre la deuda inicial y la amortizacin de la deuda.

PERIODOSDEUDA INICIALINTERESESANUALIDADAMORTIZACION DE DEUDADEUDA FINAL

02000.000,00160.000,0002000.000,00

12000.000,00124.855,57564.160,89439.305,321560.694,68

21560.694,6886.655,11564.160,89477.505,781083.188,90

31083.188,9045.132,87564.160,89519.028,02564.160,89

4564.160,890564.160,89564.160,890

Ejemplo. [footnoteRef:3] [3: Daz Hernando. Contabilidad General. Editorial Prentice Hall. Pg. 186.]

La Perla Ltda. adquiere, el 1 de febrero del ao 2006, un prstamo del Banco Latino por valor de $10000.000 con un plazo de un ao, cuotas trimestrales, con intereses del 28% anual, pagaderos trimestre anticipado.

El clculo de los intereses que el banco se descontar por el primer trimestre en forma anticipada lo har con la formula de inters simple as:

Asiento contable:

FechaCdigoCuentaDebitoCrdito

Febrero 1111005170505210510BancosIntereses pagados por anticipadoObligaciones bancarias$ 9300.000 700.000

$ 10000.000

Lnea de tiempo:

Clculo de la amortizacin de la anualidad

Amortizacin de la deuda

En el perodo 4 (n) : A= 2778.351= $ 2778.351

En el perodo 3 (n-1) : A*(1- i)= 2778.351*(1-0,07)= $ 2583.867

En el perodo 2 (n-2) : A*(1-i)2= 2778.351*(1-0,07)2= $ 2402.996

En el perodo 1 (n-3) : A*(1-i)3= 2778.351*(1-0,07)3= $ 2.234.786

Tabla de amortizacin

PERIODOSDEUDA INICIALINTERESESANUALIDADAMORTIZACION DE LA DEUDADEUDA FINAL

0 $ 10.000.000 $ 700.000 $ - $ 10.000.000

1 $ 10.000.000 $ 543.565 $ 2.778.351 $ 2.234.786 $ 7.765.214

2 $ 7.765.214 $ 375.355 $ 2.778.351 $ 2.402.996 $ 5.362.218

3 $ 5.362.218 $ 194.485 $ 2.778.351 $ 2.583.867 $ 2.778.351

4 $ 2.778.351 $ 0 $ 2.778.351 $ 2.778.351 $ 0

Asientos de ajustes

Febrero 28

Marzo 31

Abril 30

FORMAS DE AMORTIZAR PRSTAMOS [footnoteRef:4] [4: Garca S. Oscar Len. Administracin Financiera. Fundamentos y Aplicaciones. Editorial Prensa Moderna Impresores s.a. Pg.126.]

Tericamente existen infinitas formas de amortizar una deuda debido a que los deudores y acreedores pueden pactar libremente las condiciones.

Ejemplo. Se adquiere una deuda por $100.000 al 24% anual durante 4 aos.

Forma 1: Pago total con un pago nico al final. El prestamista slo recibe el capital y los intereses al final de los cuatro aos.

PERIODOSCAPITAL INICIALINTERESES CAUSADOSINTERESES PAGADOSABONO A CAPITALPAGO TOTAL

1 $ 100.000 $ 24.000 $ - $ - $ -

2 $ 124.000 $ 29.760 $ - $ - $ -

3 $ 153.760 $ 36.902 $ - $ - $ -

4 $ 190.662 $ 45.759 $ 136.421 $ 100.000 $ 236.421

sta situacin equivale al valor futuro aplicando la formula de inters compuesto.

Forma 2: Pago de intereses anuales y del capital al final. Bajo sta modalidad los intereses se cancelan en el momento en que se causan (al final de cada ao) y el capital se devuelve al final de los cuatro aos.

PERIODOSCAPITAL INICIALINTERESES CAUSADOSINTERESES PAGADOSABONO A CAPITALPAGO TOTAL

1 $ 100.000 $ 24.000 $ 24.000 $ - $ 24.000

2 $ 100.000 $ 24.000 $ 24.000 $ - $ 24.000

3 $ 100.000 $ 24.000 $ 24.000 $ - $ 24.000

4 $ 100.000 $ 24.000 $ 24.000 $ 100.000 $ 124.000

TOTALES $ 96.000 $ 100.000 $ 196.000

Forma 3: Pago de capital e intereses en cuotas anuales uniformes. Bajo este tercer esquema el prestatario paga la deuda en 4 cuotas iguales, que incluyen capital e intereses, al final de cada ao.

El valor de dicha cuota se obtiene aplicando la formula del valor presente de una anualidad.

Reemplazando:

PERIODOSCAPITAL INICIALINTERESES CAUSADOSINTERESES PAGADOSABONO A CAPITALPAGO TOTAL

1 $ 100.000,00 $ 24.000,00 $ 24.000,00 $ 17.592,55 $ 41.592,55

2 $ 82.407,45 $ 19.777,79 $ 19.777,79 $ 21.814,76 $ 41.592,55

3 $ 60.592,69 $ 14.542,25 $ 14.542,25 $ 27.051,30 $ 41.593,55

4 $ 33.541,38 $ 8.049,93 $ 8.049,93 $ 33.544,62 $ 41.594,55

TOTALES $ 66.369,97 $ 100.003 $ 166.373,20

Forma 4: Pago del capital en cuotas anuales iguales e intereses sobre saldos al momento de su acusacin.

ALBEIRO CONTRERAS T.DOCENTE