2

hiptesis relativa a una varianza

hiptesis relativa a dos varianza

1

Pruebas de Hiptesis

1.1 Hiptesis estadsticas. Conceptos generales1.2 Errores de tipo I y tipo II1.3 Prueba de hiptesis unilateral y bilateral1.4 Prueba de hiptesis: referente a la media con desviacin estndar Desconocida utilizando la distribucin normal y T student1.5 Dos muestras: pruebas sobre dos medias utilizando la distribucin normal y t student1.6 Una muestra: prueba sobre una sola proporcin1.7 Dos muestras: prueba sobre dos proporciones

1.8 Dos muestras: pruebas pareadasTipos de hiptesis (nula y alterna)Unidad 1 Pruebas de hiptesis ITE

Bil. Ral Jimnez GonzlezEstadstica administrativa II 10 Biol. Ral Jimnez Gonzlez

Concepto general

A menudo, el problema al que se enfrenta el administrador o el ingeniero no es tanto la estimacin de un parmetro poblacional, sino ms bien la formacin de un procedimiento de decisin que se base en los datos que pueda producir una conclusin acerca de algn sistema cientfico. Por ejemplo, un investigador mdico puede decidir sobre la base de evidencia experimental si beber caf aumenta el riesgo de cncer en humanos; un ingeniero puede tener que decidir sobre la base de datos mustrales si hay una diferencia entre la precisin de dos tipos de medidores; o un socilogo puede desear reunir los datos apropiados que le permitan decidir si el tipo sanguneo de una persona y el color de los ojos son variables independientes. En cada uno de estos casos el cientfico o el ingeniero postula o conjetura algo acerca de un sistema. Adems, cada uno debe incluir el uso de datos experimentales y la toma de decisiones basadas en stos. De manera formal, en cada caso, la conjetura se puede poner en forma de hiptesis estadstica. Los procedimientos que conducen a la aceptacin o rechazo de hiptesis estadsticas como stas comprenden un rea principal de la inferencia estadstica

Una hiptesis estadstica es una aseveracin o conjetura con respecto a una o ms poblacionesLa verdad o falsedad de una hiptesis estadstica nunca se sabe con absoluta certidumbre a menos que examinemos toda la poblacin. Esto, por supuesto, sera poco prctico en la mayora de las situaciones. En su lugar, tomamos una muestra aleatoria de la poblacin de inters y utilizamos los datos contenidos en esta muestra para proporcionar evidencia que apoye o no la hiptesis. La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hiptesis que se establece conduce al rechazo de sta, mientras que la evidencia que la apoya conduce a su aceptacin.

2.1Tipos de hiptesis (nula y alterna)

En general, una prueba de hiptesis comienza con alguna teora, declaracin o aseveracin relativa a cierto parmetro de una poblacin. Por ejemplo, con propsitos de anlisis estadstico, el gerente de operaciones de la compaa de cereales elige como hiptesis inicial que el proceso opera de manera adecuada; es decir, que el llenado promedio es de 368 gramos y no se necesita accin correctiva.La hiptesis de que el parmetro poblacional es igual a la especificacin de la compaa recibe el nombre de hiptesis nula. Una hiptesis nula siempre es la del estado actual o la que asegura que no hay diferencia. Es comn identificar la hiptesis nula por el smbolo HO . El gerente de operaciones establece como su hiptesis nula que la operacin del proceso de llenado es adecuada, que el llenado medio por caja es la especificacin de 368 gramos. Esto se puede expresar como

HO = 368Capitulo II Pruebas de hiptesis sobre una media de una poblacinObserve que aunque el gerente de operaciones cuenta slo con la informacin de

Estadstica II ITE

Biol. Ral Jimnez Gonzlezuna muestra, la hiptesis nula se escribe en trminos del parmetro de poblacin. Esto se debe a que est interesado en todo el proceso de llenado, es decir (la poblacin de), todas las cajas de cereal que se llenan. El estadstico muestral se usar para hacer inferencias sobre el proceso completo. Una de estas inferencias puede ser que los resultados observados en los datos de la muestra indican que la hiptesis nula es falsa. Si la hiptesis nula se considera falsa, algo ms debe ser cierto. Para prever esta posibilidad, siempre que se especifica una hiptesis nula debe establecerse una hiptesis alterna, o una que debe ser cierta si la hiptesis nula es falsa. La hiptesis alterna H1 es el opuesto de la hiptesis nula Ho . Para el gerente de operaciones, esto se expresa como

H1 368La hiptesis alterna representa la conclusin de rechazar la hiptesis nula si existe suficiente evidencia en la informacin de la muestra para decidir que no es probable que la hiptesis nula sea cierta.La metodologa de las pruebas de hiptesis esta diseada para el rechazo de la Ho se basa en la evidencia de la muestra de que es mucho ms probable que la H1 sea cierta. No obstante, no rechazar la Ho no es prueba de que sea cierta. Nunca se podr probar que la Ho es correcta, porque la decisin se basa slo en la informacin de la muestra, no en toda la poblacin. Por lo tanto, si no se rechaza la Ho , slo se puede concluir que existe evidencia insuficiente para garantizar su rechazo.Los siguientes puntos clave resumen las hiptesis nula y alterna:1. La hiptesis nula Ho es la hiptesis que se prueba siempre.2. La hiptesis alterna H1 se establece como el opuesto de la Ho y representa la conclusin que se apoya si la Ho se rechaza.

En lo que se conoce como metodologa de pruebas de hiptesis clsica, se tienen los siguientes puntos clave:1.

La hiptesis nula Ho siempre se refiere a un valor especfico del parmetro de poblacin (como ), no al estadstico muestral (como ).2. La expresin de la Ho siempre contiene un signo igual respecto al valor especificado del parmetro de poblacin (por ejemplo HO = 368).3.

La expresin de la H1 nunca contiene un signo igual respecto al valor especificado de parmetro de poblacin (por ejemplo H1 368

2.2Definicin de prueba de hiptesis unilateral y bilateral.

Cuando la hiptesis nula es docimada contra una alterna de la forma mayor que o menor que la dcima se denomina unilateral.

HO = X HO = X

H1 > X o quiz H1 < X

Por lo general, la regin crtica para la hiptesis alterna H1 > X yace en la cola derecha de la distribucin de la estadstica de prueba (fig 2.1), mientras que la regin critica para la hiptesis alterna de H1 < X yace por completo en la cola izquierda (fig. 2.2).

x x

H1 > X H1 < X Fig 2.1 Fig. 2.2

Cuando la hiptesis nula es docimada contra una alterna de la forma diferente la dcima se denomina bilateral.

HO = X

H1 X

Tambin es llamada de dos colas, pues la regin crtica se divide en dos partes, que a menudo tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola de la distribucin de la estadstica de prueba. La hiptesis alterna X establece que < X o > X. La hiptesis nula Ho , siempre se establecer con el uso del signo de igualdad para que especifique un solo valor.

Valor critico Valor critico Regin de rechazo Regin de no Regin de rechazo rechazo

Fig. 2.3

Son deseables ciertos principios para determinar cul hiptesis se establecer como HO y cul como H1 . Primero lea el problema con mucho cuidado y determine la afirmacin que desea probar. Si la afirmacin sugiere una sola direccin como mayor que, menor que, superior a, inferior a, entonces H1 se debe establecer con el uso del smbolo de desigualdad ( < o >) que corresponda a la direccin sugerida. Si, por ejemplo, al probar una nueva medicina deseamos mostrar una fuerte evidencia de que ms de 30% de las personas tendrn ayuda, de inmediato escribimos H1 : p > 0.3 0 y entonces la Ho : p = 0.30 . Si la afirmacin sugiere una direccin compuesta (igualdad y direccin) como al

ms, no mayor que etc., entonces toda esta direccin compuesta ( ) se expresa como Ho , pero con el uso nicamente del signo igual, y H1 se da en la direccin opuesta. Finalmente, si no se sugiere ninguna direccin en la afirmacin, entonces H1 se establece con el signo de diferente ( )

Errores tipo I y tipo II

Prueba de hiptesis para la media con (conocida)

Capitulo I Pruebas de Hiptesis ITE

2.3 Errores tipo I y tipo IIBiol. Ral Jimnez Gonzlez

Biol. Ral Jimnez Gonzlez

Los conceptos de errores de tipo I y de tipo II pueden ser explicados mejor mediante un ejemplo concreto. Consideremos el caso de un fabricante de radios quien recibe semanalmente una partida grande de pilas de su proveedor. Como el fabricante no puede probar todas las pilas del lote, ha adoptado la siguiente regla para decidir si acepta o rechaza la partida semanal: selecciona una muestra aleatoria de 36 pilas de cada lote recibido; si la vida til media de la muestra es 48 horas o ms, acepta la partida completa y en caso contrario la rechaza. Dicho en otras palabras, la regla de decisin es:1.

Si 48 horas, aceptar la partida2. Si < 48 horas, rechazar la partida

Ahora, qu grado de proteccin proporciona esta regla de decisin contra el riesgo de aceptar una partida mala o el riesgo de rechazar una partida buena?

El fabricante considera que una partida es de buena calidad si la vida til media de toda la partida, , es por lo menos de 50 horas y considera que la partida es de mala calidad cuando es 47 horas o menos.

Partida buena: 50 horas

Partida mala: 47 horas

Como la decisin de aceptacin o de rechazo depende de los resultados de una muestra y, debido a la naturaleza de las fluctuaciones muestrales, el uso de una regla de decisin en base a una muestra puede dar origen a cualquiera de estas cuatro situaciones:1.

La partida recibida es buena ( 50) y la muestra indica que ella debe ser aceptada ( 48); por lo tanto, la decisin es correcta.2.

La partida recibida es buena ( 50) pero la muestra indica que ella debe ser rechazada ( < 48); por lo tanto, la partida es errneamente rechazada cometindose as un error llamado de tipo I.3.

La partida recibida es mala ( 47) y la muestra indica que ella debe ser rechazada ( < 48); por lo tanto, la decisin es correcta.4.

La partida recibida es mala ( 47) pero la muestra indica que ella debe ser aceptada ( 48); por lo tanto, la partida es errneamente aceptada cometindose as un error llamado de tipo II.5. El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se llama error tipo I

La aceptacin de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipo II

2.4 Prueba de hiptesis para media y para proporciones

2.4.1 Prueba de hiptesis para la media (conocida)Una vez descrita la metodologa de las pruebas de hiptesis, regresemos a la pregunta de inters para el administrador de operaciones en la planta de empaque de cereal. Recuerde que l quiere determinar si el proceso de llenado opera de manera adecuada o no; es decir, si el llenado promedio por caja en todo el proceso de empaque permanece en los 368 gramos especificados, y no se necesitan acciones correctivas. Para estudiar esto, planea tomar una muestra aleatoria de 25 cajas, pesar cada una y evaluar la diferencia entre el estadstico de la muestra y el parmetro de poblacin hipottico, con la comparacin del peso medio (en gramos) de la muestra y la media esperada de 368 gramos especificada por la compaa. Para este proceso de llenado, las hiptesis nula y alterna son

Ho : = 368

H1 : 368

Si se supone que se conoce la desviacin estndar , para muestras suficientemente grandes, la distribucin muestral de la media sigue una distribucin normal, lo que da como resultado el siguiente estadstico de prueba Z:

Prueba de hiptesis Z para una media poblacional (conocida) (2.1)

Z =

En esta ecuacin el numerador mide qu tan lejos est (en trminos absolutos) la media muestral observada de la media hipottica . El denominador es el error estndar de la media, as, Z representa a cuntos errores estndar est de

Si el administrador de operaciones decide elegir un nivel de significancia de 0.05, el tamao de la regin de rechazo ser 0.05 y se pueden determinar los valores crticos de la distribucin normal. Estos valores crticos se pueden expresar como valores de Z estandarizados. Como la regin de rechazo se divide en las dos colas de la distribucin (esto se llama prueba de dos colas), 0.05 est dividido en dos partes iguales de 0.025 cada una. Una regin de rechazo de 0.025 en cada cola de distribucin normal equivale a un rea acumulada 0.025 abajo del valor crtico inferior y un rea acumulada de 0.975 abajo del valor crtico superior. Si se observan estas reas en la distribucin normal, se ve que los valores crticos se dividen las regiones de rechazo y no rechazo son (en unidades de desviacin estndar) - 1.96 y + 1.96. La figura 2.4 ilustra este caso; muestra que se la media verdadera es 368 gramos, como lo asegura Ho , entonces los valores del estadstico de prueba Z tienen una distribucin normal centrada en = 368(que corresponde al valor Z estandarizado de 0). Los valores observados de Z mayores que +1.96 o menores que -1.96 indican que est tan lejos de la hipottica de 368 que es poco probable que ocurra dicho valor si Ho es cierta. Por lo tanto la regla de decisin es:Rechazar Ho si Z> + 1.96 o si Z < - 1.96 de otra manera no se rechaza Ho

Valor critico 0.95 Valor critico Regin de rechazo Regin de no Regin de rechazo 0.025 0.025 - 1.96 0 + 1.96

= 368 Fig. 2.4 Prueba de hiptesis para la media con un nivel de significancia de 0.05

Suponga que la muestra de 25 cajas de cereal indica una media muestral de 372.5 gramos y que la desviacin estndar de la poblacin permanece en 15 gramos como lo especifica la compaa con un nivel de confianza del 0.05 establezca el criterio de hiptesis y cual prevalecen = 25

= 372.5 gramos

= 368

= 15

= 0.05 = Z0.025 = ? Recordar que para encontrar el valor de Z en la tabla de la distribucin normal, dado que es una prueba bilateral lo obtenemos de la siguiente manera:

0.5000 0.025 = 0.4750 este valor lo buscamos en la tabla de distribucin normal para dos colas y obtenemos 1.96

Z0.025 = 1.96

Ho : = 368

H1 : 368

Z = Z = = = 1.5

Criterio de decisin dado que el valor encontrado por formula cae dentro de los puntos crticos de 1.96 se acepta la hiptesis nula

Ejemplo

Supngase que deseamos probar con base en 35 determinaciones y con un nivel de confianza de 0.05 si la conductividad trmica de cierto tipo de ladrillo es 0.340, como asegura. Segn informacin recabada en estudios similares, podemos esperar que la variabilidad de tales determinaciones est dada por la = 0.010, la media de las 35 determinaciones es 0.343. Cules son los criterios de hiptesis y cual hiptesis prevalece?Solucinn = 35

= 0.343

= 0.010

= 0.340

Ho : = 340

H1 : 340

= 0.05 = Z0.025 = 0.5000 0.025 = 0.4750 este valor lo buscamos en la tabla de distribucin normal para dos colas (prueba bilateral) y obtenemos 1.96

Z0.025 = 1.96

Z = = = 1.77 Decisin.

Puesto que Z encontrado por formula cae dentro de los rangos del nivel de confianza 1.96 , se acepta la hiptesis nula

Ejercicios.1. Las especificaciones para cierta clase de banda exigen una resistencia media a la ruptura de 180 libras. S i 35 de esas bandas (aleatoriamente seleccionadas de diferentes cajas) tienen una resistencia media de 169.5 libras, con una desviacin estndar de 7.5 libras, pruebe la hiptesis nula de que la media es igual a 180 libras, contra la hiptesis alterna de que es menor a 180 libras con un nivel de significanca de 0.01

n = 35

= 169.5

= 5.7

= 180

Ho : = 340

H1 : < 340 (prueba unilateral)

= 0.01 Z0.9900 = este valor lo buscamos en la tabla de distribucin normal para una cola (tabla A.2) y obtenemos 2.33Z0.9900 = - 2.33 ( el signo negativo corresponde porque esta a la izquierda de la media ver fig. 2.5)

Z = = = -10.89Decisin. Puesto que Z encontrado por formula cae fuera del rango del nivel de confianza 2.33 , se rechaza la hiptesis nula y se acepta la alterna

Regin de rechazo 0.9 9 Regin de no 0.01 rechazo 2.33 0

= 180 Fig. 2.5 Prueba de hiptesis unilateral para la media con un nivel de significancia de 0.01

2.Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el ao pasado muestra una vida promedio de 71.8 aos. Suponga una desviacin estndar poblacional de 8.9 aos, esto parece indicar que la vida media hoy en da es mayor que 70 aos? Utilice un nivel de significancia de 0.05

n = 100

= 71.8

= 8.9

= 70

Ho : = 70

H1 : > 70 (prueba unilateral)

= 0.05 Z0.9500 = este valor lo buscamos en la tabla de distribucin normal para una cola (tabla A.2) y obtenemos 1.645

Z = = 2.02

Decisin. Puesto que Z encontrado por formula cae fuera del punto critico (1.645) se rechaza la hiptesis nula y se acepta la alterna

3.Una empresa de transportes desconfa de la afirmacin de que la vida til promedio de ciertos neumticos es al menos de 28,000 millas. Para verificar la afirmacin, se colocan 40 de esos neumticos en sus camiones y obtuvieron una vida til promedio de 27,463 millas con una de 1,348 con un nivel de significancia de 0.01

2.4.2 Prueba de hiptesis para la media (desconocida)

En la mayor parte de las situaciones de pruebas de hiptesis con datos numricos, no se conoce la desviacin estndar de la poblacin. Sin embargo, la desviacin estndar poblacional real se estima con el clculo de S, (la desviacin estndar de la muestra). Si se supone que la poblacin tiene una distribucin normal. El estadstico de prueba t para determinar la diferencia entre la media muestral y la media poblacional cuando se usa la desviacin estndar de la muestra est dado por

Prueba T de hiptesis para una media poblacional (desconocida)(2.2)

T = donde el estadstico T sigue una distribucin T con n 1 grados de libertad

Ejemplo. El Instituto Elctrico Edison publica cifras del nmero anual de kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluyen en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de 11.9 kilowat-hora, esto sugiere en un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal.Solucinn = 12

= 42S = 11.9

= 46

Ho : = 46

H1 : < 46

= 0.05 T 0.05 = este valor lo buscamos en la tabla de distribucin T (tabla A.3) y

T 0.05 = -1.796 ( se considera prueba unilateral )

T = = -1.16Decisin : dado que el valor encontrado por formula (-1.16), no rebasa el punto critico (-1.79) se acepta la hiptesis nula y se concluye que el nmero promedio de kilowatt-hora que gastan al ao las aspiradoras domsticas no es significativamente menor que 46.

Nota. Para una prueba bilateral el estadstico T en tablas se calcula

Para una prueba unilateral el estadstico T en tablas se calcula

Suponga que un ingeniero se interesa en probar el sesgamiento en un medidor de pH. Se renen datos de una sustancia neutra (pH = 7.0). Se toma una muestra de las mediciones y los datos son los siguientes:7.07, 7.00, 7.10, 6.97, 7.00, 7.03, 7.01, 7.01, 6.98, 7.08

Es, entonces de inters probar, con un nivel de significancia de 0.05

Ho : = 7

H1 : 7n = 10

= 7.02S = 0.044

= 7

= 0.05 T 0.05 = T0.05/2 = T0.025 este valor lo buscamos en la tabla de De distribucin t con 9 grados de libertad y obtenemos un valor de :

T 0.025 = 2.262 ( se considera prueba bilateral)

= 0.02 / 0.0139 =1.43

Decisin: dado que el valor encontrado por formula (1.43), no rebasa los puntos crticos ( 2.26) se acepta la hiptesis nula

Prueba de hiptesis para la media con (desconocida)

Prueba de hiptesis para la proporcin

3. Si en una muestra de tamao 16 seleccionada de una poblacin sesgada a la Estadstica administrativa II 20 Biol. Ral Jimnez Gonzlez izquierda, la media muestral es 65 y la desviacin estndar muestral es 21, usara la prueba t para probar la hiptesis nula de que la media muestral es 60 analice y concluya

2.4.3 Prueba de hiptesis para la proporcin

Varios de los mtodos utilizados en la inspeccin muestral, el control de calidad y la verificacin de confiabilidad se fundamentan en pruebas de la hiptesis nula de que una proporcin es igual a una constante.En algunas situaciones, se desea probar una hiptesis respecto a la proporcin de la poblacin P de valores que constituyen cierta categora en lugar de acerca del valor medio de la poblacin. Se puede seleccionar una muestra aleatoria de la poblacin y calcular la proporcin de la poblacin, Ps = X/n. El valor de este estadstico se compara con el valor hipottico del parmetro P para poder tomar una decisin respecto a la hiptesis.Si el nmero de xitos (x) y el nmero de fracasos (n x) son por lo menos cinco cada uno, la distribucin muestral de una proporcin se aproxima a una distribucin normal estndar. Para realizar la prueba de hiptesis a fin de evaluar la magnitud de la diferencia entre la proporcin muestral Ps y la proporcin poblacional hipottica P, se puede usar el estadstico Z Prueba Z de hiptesis con una muestra para la proporcin(2.3)

donde Ps = X/n = nmero de xitos en una muestra/ tamao de la muestra = proporcin Observada de xitosP = proporcin hipottica de xitos

Prueba Z de hiptesis con una muestra para la proporcin(2.4)

Las dos formas alternativas del estadstico son equivalentes. La eleccin de cul de estas dos frmulas emplear se deja al gusto del usuario.

Ejemplo. En un estudio diseado para investigar si ciertos detonadores empleados con explosivos en una mina de carbn cumplen con los requerimientos de que al menos el 90% encender el explosivo al ser detonado, se encontr que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Prueba la hiptesis nula de que p = 0.90 contra la alterna de que p < 0.90, con un nivel de significancia de 0.05SolucinPs = 174/200 = 0.87P = 0.90n = 200

= 0.05 Z0.9500 en tablas Z0.9500 = -1.64 (prueba unilateral a la izquierda)

Ho : = 0.90

H1 : < 0.90

= = - 0.03/ 0.0212 = - 1.41 se acepta la H0

= = -6/4.2426 = -1.41 se acepta la HO

Ejercicios 1.Un fabricante de posos profundos asegura que a lo sumo el 30% de sus bombas requieren reparacin en los primeros 5 aos de operacin. Si una muestra aleatoria de 120 bombas incluye 47 que requieren reparacin en los primeros 5 aos, con un nivel de significancia del 0.05 establece el criterio de hiptesis y cual de estas prevalece

Solucin

= 0.05Z0.9500 en tablas Z0.9500 = 1.64 (prueba unilateral a la derecha)

Ho : = 0.30 = = 2.19

H1 : > 0.30Dado que 2.19 cae fuera del punto critico de 1.64, se rechaza la Ho se acepta H12.El director de personal de una compaa de seguros grande est interesado en reducir la tasa de rotacin del personal de apoyo en el procesamiento de datos durante el primer ao de contratacin. Los registros histricos indican que 25% de todos los nuevos ingresos ya no estn contratados al final del ao. Se implantaron nuevos programas de capacitacin para una muestra de 150 nuevos ingresos. Despus de un ao, 29 de ellos ya no estaban en la compaa.a)Para un nivel de significancia del 0.01 existe evidencia de que la proporcin de empleados de procesamiento de datos que tomaron la nueva capacitacin y ya no estn en la empresa es menor que 0.25b)Cul sera su repuesta en (a) si 22 de los individuos ya no estn empleados

Solucina) Z= -1.60 > -2.33. No se rechaza Ho no existe evidencia de que la proporcin es menor que 0.25b) Z = -2.29 < -2.33 se rechaza la Ho existe evidencia de que la proporcin es menor que 0.25

3.Con base en las ventas industriales de 1.5 millones de dlares registradas en un periodo de 1 ao que termina el 25 de mayo de 1997, the New Cork Times inform (20 de junio de 1997) que el dentfrico Crest era el lder del mercado con 26.3%.

a)Suponga que una muestra reciente de 250 individuos indica que 68 usan Crest. Con un nivel de significancia de 0.05, existe evidencia de que la proporcin del mercado ha cambiado desde el periodo de 1996-1997b)(Proyecto de clase) Considere que sus compaeros de clase son una muestra de todos los estudiantes en su escuela. Determine la proporcin de estudiantes en su clase que usan pasta dental Crest. Con 0.05 de nivel de significancia, existe evidencia de que esta proporcin es diferente al porcentaje de mercado de 1996-1997

2.4.4Pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos medias

Se ha comprendido la relacin entre pruebas e intervalos de confianza y puede confiar el lector por completo en los detalles que proporciona el material sobre el intervalo de confianza. Las pruebas con respecto a dos medias representan un conjunto de herramientas analticas muy importantes para el cientfico o el ingeniero. En el procedimiento experimental se extraen dos muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2, respectivamente, de dos poblaciones con medias y y varianzas y .Prueba de hiptesis para la diferencia entre dos medias(2.5)

El estadstico de prueba sigue una distribucin normal estndar

Generalmente - = 0

EjemploUna compaa asegura que sus lmparas incandescentes son superiores a las de su principal competidor. Si un estudio demostr que una muestra de 40 de esas lmparas tiene una vida til media de 647 horas con desviacin estndar de 27 horas, mientras que una muestra de 40 lmparas de su principal competidor tuvieron una media de 638 horas de uso continuo con desviacin estndar de 31 horas, se debe aceptar la afirmacin con un nivel de significancia de 0.05?

N1 = 40 N2 = 40 HO : - = 0

= 647 = 638 H1 : - > 0S1 = 27 S2 = 31

= 0.05Z0.9500 en tablas Z0.9500 = 1.64 (prueba unilateral a la derecha)

= = 1.38Dado que 1.38 cae dentro del punto critico de 1.64, se acepta la Ho ; esto es, la diferencia observada entre las dos medias muestrales no es significativaEjercicio

Cierta fabrica emplea hombres y mujeres para hacer el mismo trabajo. Se sospecha que la produccin horaria media de las mujeres es superior a la de los hombres, para lo cual se toman muestras de 36 empleados respectivamente en donde encontramos = 65, = 58 con = 32 y = 32 se puede concluir que a un nivel de significancia de 0.05 tal diferencia no es significante?Solucin

N1 = 36 N2 = 36 HO : - = 0

= 65 = 58 H1 : - < 0

= 32

= 32

= 0.05Z0.9500 en tablas Z0.9500 = -1.64 (prueba unilateral a la izquierda)

= = 5.52

Se descarta la hiptesis nula y se acepta la alterna2.4.5Pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos medias con pequeas muestras

Las situaciones que ms prevalecen que implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varianzas desconocidas. Si el administrador involucrado est dispuesto a suponer que ambas distribuciones son normales y que = =, se puede utilizar la prueba t combinada ( a menudo llamada prueba t de dos muestras). La estadstica de prueba est dada por el siguiente procedimiento de prueba

Estadstico para una prueba relativa a la diferencia entre dos medias para pequeas muestras(2.6)

donde

Las siguientes muestras aleatorias son mediciones de la capacidad de produccin de calor (en millones de caloras por tonelada) de especmenes de carbn de dos minas: Mina 1: 8,260, 8,130, 8,350, 8,070, 8,340 Mina 2: 7,950, 7,890, 7,900, 8,140, 7,920, 7,840

Utilcese el nivel de significancia de 0.01 para probar si la diferencia entre las medias de las dos muestras es significativaSolucin

n1 = 5 n2 = 6 HO : - = 0

= 8230 = 7,940 H1 : - 0S1 = 125.49 S2 = 104.49Prueba de hiptesis para la diferencia entre dos medias con muestra pequeas

Prueba de hiptesis para la diferencia entre dos proporciones

= 15,750 = 10,920

= 0.01= T0.005 con 5+6 -2 = 9 grados de libertad (prueba bilateral)

T0.005, (n1 +n2 -2) = 3.250

= = 63,000+54600/9 = 13,066.66

T = = = 4.19

Decisin: Puesto que t = 4.19 excede los puntos crticos de 3.250, la hiptesis nula debe rechazarse; concluimos que la capacidad de produccin de calor promedio del carbn de las dos minas no es la misma

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

mina 1mina 2

Media82307940

Varianza1575010920

Observaciones56

Varianza agrupada13066,66667

Diferencia hipottica de las medias0

Grados de libertad9

Estadstico t4,189670574

P(T