pruba de hipòtesis
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ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Objetivos
El objetivo en este capítulo es formular supuestos acerca de un parámetro poblacional y, comprobar la suposición planteada, con los resultados de una muestra escogida al azar y la información que se tenga acerca de la población.
El proceso nos conduce a la decisión de rechazar o no la suposición planteada, utilizando una regla de toma de decisiones, en base a la distribución muestral de la estadística en estudio.
En esta sección sólo plantearemos hipótesis acerca de los parámetros como la media y proporción poblaciónal.
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Hipótesis nula y alternativaHipótesis nula: H0 Es la hipótesis que se plantea como verdadera y cuya validez será sometida a la comprobación experimental. Esta hipótesis especifica un valor del parámetro
Hipótesis alternativa: H1 Es lo contrario a la hipótesis nula.
Clases de pruebas de hipòtesis
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100 a frenta 100: 10 :μHH 100 a frente 100: 10 :μHH 100 a frente 100: 10 :μHH
Proceso de la prueba de hipótesis para la media
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1. Se define la hipótesis nula H0 que será sometida a prueba y la hipótesis alternativa H1.
2. Se establece en nivel de significación (alfa).
3. Se calcula la región crítica, la cual depende del la hipótesis alternativa y del nivel de significación.
4. Se calcula el valor de Zcal.
5. Se verifica si el valor de Zcal pertenece o no a la región crítica, para luego concluir si se acepta o no la hipótesis nula.
Prueba de hipótesis para la media
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1. Población que sigue una distribución sconocida
Sólo si la muestra es grande: n30, se aplica
n
x
CALZ
(Se hace S= si fuera necesario)
2. Población que sigue una distribución normal
Muestra grande o pequeña, se aplica
n
x
CALZ
(Se hace S=, sólo sí, n30)
Posibles acciones en la toma de decisión
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Decisión \ Hip H0 verdadera H0 falsa
Rechazar H0 Error tipo I
Probabilidad Decisión correcta
Probabilidad 1
Aceptar H0 Decisión correcta
Probabilidad 1 Error tipo II
Probabilidad
Error tipo I
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Es rechazar la hipótesis nula H0 cuando ésta es realmente verdadera
La probabilidad de cometer error de tipo I es:
=P(rechazar H0 cuando H0 es verdadera)
se le denomina también nivel de significación
de la prueba. Su valor se fija previamente y el más usual es: 5%, pero puede ser otro valor cercano al 5%.
Error tipo II
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Es aceptar la hipótesis nula H0 cuando esta es realmente falsa
La probabilidad de cometer error de tipo I I es: =Probabilidad (aceptar H0 cuando H0 es falsa o H1 es verdad)
Se denomina potencia de la prueba a la probabilidad 1
Región crítica y regla de decisiónPrueba de hipótesis bilateral
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} o {Z}x o x{RC
: a frente :
212/1
0100
α/zZzba
HH
Región crítica y regla de decisiónPrueba unilateral cola derecha
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}{Z}x{
: a frente :
11
0100
zbRC
HH
Región crítica y regla de decisiónPrueba unilateral cola izquierda
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}{}{
: a frente :
11
0100
zZaxRC
HH
Ejemplo Nº 1.
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La empresa BACKUS productora de cerveza afirma que, el contenido promedio de una lata de cerveza PILSEN es de 365 ml. Uno de sus consumidores más frecuentes, lleva un curso de Estadística Inferencial en la Universidad Peruana de las Americas. Mediante un proceso de prueba de hipótesis desea saber si efectivamente el contenido promedio es correcto, para ello toma una muestra aleatoria de 30 latas de cerveza y obtiene una media de 364 ml. con una desviación estándar de 3 ml. Usando un nivel de significación de 5% ¿cuál es la conclusión a la que llega?
Ejemplo Nº 2
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Una de las ofertas más frecuentes y que congrega gran cantidad de compradores en los supermercados METRO, es la famosa frase “pague dos y lleve tres” en tallarines DON VITTORIO.
Un consumidor incrédulo afirma que el contenido promedio de este producto es inferior a los 500 gramos que se indica en la etiqueta. Para intentar comprobar su hipótesis, selecciona una muestra aleatoria de 16 bolsas de fideo, con los que obtiene una media de 498 gramos. Asumiendo que el peso de las bolsas de fideo sigue una distribución normal con una desviación estándar de 5 gramos y usando un nivel de significación de 1% ¿cuál es la conclusión del consumidor?
Prueba de hipótesis para la proporción P
n muestra laen exitos de numero :X
)1( estándar Error
:es prueba la de aestadístic La
nX
p
nPP
ES
ESPp
ZCAL
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La actual candidata a la presidencia KEIKO FUJ IMORI , en la última entrevista realizada por Rosa María Palacios en su programa “Prensa Libre” afirmó que su porcentaje de aceptación popular es como mínimo 20%. La encuestadora DATUN, incrédula ante tal afirmación realizo un sondeo con una muestra de 500 electores, en la que obtuvo que solo 90 votarían por ella. Usando un nivel de significación del 5%. Se puede concluir que la candidata exageró en su comentario.
Ejemplo Nº 3
Ejemplo Nº 4
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Se afirma que como mínimos el 70% de los trabajadores en el Perú, están asegurados bajo el régimen particular de pensiones AFP. Para probar esta afirmación se toma una muestra de 80 persona que trabajan, en la que se encontró que 60 están asegurados en una AFP. Usando un nivel de significación de 3%, se puede concluir que la afirmación es correcta.
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Según la congresista Rosario Sasieta, afirma que el congreso debería cambiar la actual ley de divorcio, por otra más efectiva, pero esta se logrará solo si se compruebe que más del 65% de la población opine a favor de la nueva ley. Para esto se realiza una consulta a 400 personas seleccionadas al azar. Considerando el nivel de significación 5%. Si en la muestra 280 opinan a favor de la nueva ley, ¿qué decisión debería tomar el congreso?
Ejemplo Nº 5
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El gerente de ventas del supermercado TOTTUS afirma que los clientes tiene un gastó promedio mínimo de 600 soles en un fin de semana. Pero la actual ministra de economía Mercedes Aráoz cree que esta afirmación es exagerada, motivo por el cual solicita hacer un estudio al respecto. Para ello se entrevisto a 600 personas con la que se obtuvo una media de 560 soles y desviación estándar de 10 soles. Usando un nivel de significación de 2%, cual es la conclusión que se le enviará a la ministra.
Ejemplo Nº 6
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El objetivo de una prueba de bondad ajuste es, verificar si un conjunto de datos de tamaño n, extraídos de una población en estudio, sigue una distribución especifica.
Se trata de verificar si los valores observadas xi difieren significativamente o no de los valores esperadas einpi de, alguna distribución teórica establecida en la hipótesis nula (binomial, normal, etc)
PRUEBAS DE BONDAD DEAJUSTE
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0H : La distribución de frecuencias de la muestra sigue una distribución teórica específica.
1H : La distribución de frecuencias de la muestra no sigue una distribución teórica específica. : Definir el nivel de significación. La estadística de la prueba es:
)1(~)()( 2
1
2
1
2
mke
eO
np
npOW
k
i i
iik
i i
iiC
k : Número de frecuencias esperadas m : Número de parámetros estimados.
Proceso de la prueba de hipótesis
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: Frecuencia esperada que se calcula a partir de la distribución teórica que se propone en la hipótesis nula. Región critica
Conclusión Si entonces la hipótesis nula es falsa. Si entonces la hipótesis nula es verdadera.
0 c
Región crítica
W })1({
5. que requiere Se21
2 cmkRC
npe ii
ie
RCWc RCWc
Proceso de la prueba de hipótesis
Ejemplo Nº 1 (Ajuste a una normal)
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Se seleccionó una muestra aleatoria de 50 consumos de agua en metros cúbicos de una población de consumidores. Se observaron los siguientes datos:
15 18 21 22 22 23 24 25 26 27 27 28 29 30 31 32 32 32 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 36 36 36 36 36 37 38 39 40 41 42 42 43 43 44 45 46 47 47
¿Provienen estos datos de una distribución normal?. Use el nivel de significación de 0.05.
Ejemplo Nº 1 (continuación)
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iO ip ie
Consumo de agua
[15, 20[ 2 0.0272 1.4
[20, 25[ 5 0.0844 4.2
[25, 30[ 6 0.1845 9.2
[30, 35[ 15 0.2502 12.5
[35, 40[ 11 0.2325 11.7
[40, 45[ 7 0.1197 6
[45, 50] 4 0.0701 3.5
Total 50 50
6.5
7
11
5.9
Ejemplo Nº 2
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A menudo se dice que los profesores tienden a clasificar las notas de sus alumnos, de acuerdo a una distribución normal. Las notas del examen final del curso de Estadística Inferencial han sido tabuladas en la siguiente distribución de frecuencias:
¿Se puede concluir con un nivel de significación 1% que estos datos siguen una distribución normal?
Notas Alumnos [02, 05[ 4 [05, 08[ 16 [08, 11[ 55 [11, 14[ 47 [14, 17[ 28 [17, 20[ 10
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