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Morelia, Michoacán. México

iv

Cubierta de CIE-CONALEP

Colaboración: Coordinación de Innovación Educativa, CIE/QFB - UMSNH

Sistema Nacional de Educación a Distancia, SINED

Coordinadora: Silvia Ochoa Hernández Eduardo Ochoa Hernández

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas por la ley, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

©2011 CONALEPMICH/CIE. México

Ediciones CONALEPMICH

Álvaro Obregón 144, Morelia.

http://www.conalepmich.edu.mx/

Registro: MAT32011-A

Impreso en_____________

Impreso en México –Printed in México

v

Para los muchos

estudiantes de CONALEP que sueñan

mirando en la tecnología el espíritu de las matemáticas.

Hay formas y “formas” a la hora de promocionar y difundir los servicios y actividades de la biblioteca. Estamos ante una sociedad donde prima lo audiovisual (fotografías, vídeos..) sobre lo textual (trípticos, carteles…) y donde la biblioteca está muriendo por falta de educación.

vi

El mundo está impregnado de matemáticas, convertida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es una expresión válida para todas las épocas humanas, tan consustanciados están el contar y el comparar con las específicas actividades del hombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos.

J. Rey Pastor. Historia de la Matemática

vii

Prefacio ix

Primera Parte RELACIONES Y FUNCIONES

1.1. Relaciones y funciones 1 1.2. Aplicación de pares ordenados 3 1.3. Representación del lugar geométrico 27 1.4. Problemario 32 1.5. Autoevaluación 35 1.6. Conclusión 37 1.7. Soluciones del problemario 38 1.8. Soluciones de autoevaluación 49 Referencias y notas. 51

Segunda parte LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

2.1. Determinación gráfica de la recta 1 2.2. Determinación de las ecuaciones de la recta 32 2.3. Problemario 59 2.4. Autoevaluación 62 2.5. Conclusiones 63 2.6. Soluciones del problemario 64 2.7. Soluciones de autoevaluación 68 Referencias 69

Tercera parte

CIRCUNFERENCIA

3.1. La circunferencia como lugar geométrico 1 3.2. Ecuaciones de la circunferencia 10 3.3. Aplicaciones 40 3.4. Problemario 43 3.5. Autoevaluación 46 3.6. Conclusión 50 3.7. Soluciones del problemario 51 3.8. Soluciones de autoevaluación 60 Referencias 61

viii

Cuarta parte PARÁBOLA

4.1. La parábola como lugar geométrico 1 4.2. Ecuaciones de la parábola 4 4.3. Aplicaciones 19 4.4. Problemario 23 4.5. Autoevaluación 25 4.6. Conclusión 26 4.7. Soluciones del problemario 26 4.8. Soluciones de autoevaluación 28 Referencias 29

Quinta parte ELIPSE

5.1. La elipse como lugar geométrico 1 5.2. Tipos de elipse 2 5.3. Ecuaciones de la elipse 5 5.4. Aplicaciones 32 5.5. Problemario 36 5.6. Autoevaluación 38 5.7. Conclusión 39 5.8. Soluciones del problemario 40 5.9. Soluciones de autoevaluación 42 Referencias 43

Sexta parte

HIPÉRBOLA 6.1. La hipérbola como lugar geométrico 1 6.2. Ecuación de la hipérbola 4 6.3. Aplicaciones 34 6.4. Problemario 37 6.5. Autoevaluación 38 6.6. Conclusión 39 6.7. Soluciones del problemario 40 6.8. Soluciones de autoevaluación 42 Referencias 43

ix

Hoy nos encontramos ante una encrucijada entre las herramientas informáticas y un nuevo orden de redes sociales que presionan por soluciones; podemos llegar por primera vez al nuevo tiempo, uno más incierto y de carácter tecnológico de innovación constante. La educación es parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si está a la altura de su tiempo. Este sencillo libro, expresa el intento de una institución y sus hombres por hacer de él un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que amenazan con evaporarse, para romper las paredes del aula a muchos más ciudadanos y para democratizar la actividad de cátedra en páginas que representan la actitud del espíritu CONALEP. Con el apoyo del Sistema Nacional de Educación a Distancia (SINED) para generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de la Coordinación de Innovación Educativa/QFB de la Universidad Michoacana y la clara meta del CONALEPMICH por ser una institución que produce su propia visión de las profundidades de su programa educativo medio superior. En una primera fase mayo –agosto de 2011, forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura de obras literarias que permitan apoyar las necesidades de conocimiento de estudiantes, formar profesores como escribas de su cátedra. Si estas páginas ayudan a convencer que la educación no es hacer más fácil algo, sino fundamentalmente producir un cambio reflexivo en el desafío cognitivo dentro del pensamiento científico técnico. Esto es prueba de que la comunidad docente, autoridades y sindicato son capaces de sumar para un futuro común.

Eduardo Ochoa Hdez., 2011.

x

Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacán

Mtra. Graciela Carmina Andrade García Peláez

Secretaria de Educación

Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educación Media Superior y Superior

Lic. Ana María Martínez Cabello

Directora de Educación Media Superior

Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep

Mtro. Víctor Manuel Lagunas Ramírez

Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educación en Michoacán

Lic. Antonio Ortiz Garcilazo

Director General del Conalep Michoacán

Ing. José Gilberto Dávalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH

Dr. Salvador Jara Guerrero

Rector de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED

Ing. Eduardo Ochoa Hernández

Coordinador de Innovación Educativa (CIE/QFB)

CONALEP-2011 [Representación gráfica de funciones]

i


1

1.1. Relaciones y funciones

Función: Es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer

conjunto le corresponde uno del segundo conjunto1,2,3, estos conjuntos se llaman

dominio y contradominio. El gran matemático Euler4, llamado por Laplace como “El

maestro de todos nosotros5”, es quien introduce el término en el vocabulario

matemático, pareciéndose al concepto de fórmula, término relacionado con variables y

constantes. La definición moderna se le atribuye al alemán Peter Dirichlet6; quien

introduce el concepto de función como una expresión, una regla o ley que define una

relación entre una variable (variable independiente) y otra variable (variable

dependiente).

Si observamos a nuestro alrededor, y tratamos de definir lo que ocurre, podríamos

hacerlo en términos matemáticos, tal vez quedar definido mediante los siguientes

axiomas7:

a) Todo evento en la naturaleza puede ser representado mediante ecuaciones o

funciones y viceversa, toda ecuación o función puede ser la representación de algún

evento en la naturaleza.

b) Todo evento en la naturaleza tiene patrones.

Desde la antigüedad el hombre ha intentado buscar estas relaciones, comenzó

colocando marcas en relación con el número de años o de animales que poseía. Herón

de Alejandría en el siglo II D.C. encontró una fórmula que calcula el área de un

triángulo en función de sus lados. Tratando de no malinterpretar a Platón8, podría

decirse que llegó a la conclusión de que los números son el lenguaje para expresar las

ideas, tal vez aventurándonos, pero sin poder afirmarlo, podríamos pensar que ya

tenían una noción de lo que es una función, de la misma forma se podría afirmar que


2

los mayas, egipcios9 o chinos, entre otras civilizaciones, ya manejaban el concepto o

solamente uno cercano a él, el de relación.

Galileo10 al relacionar el movimiento de los cuerpos celestes en función de su posición,

pretendió relacionar los conceptos, formulando leyes, así dio un gran paso hacia la

concepción de lo que es una función. Poco después de Galileo, Descartes muestra la

relación que existe entre una gráfica y una ecuación y viceversa. Sin embargo, la

definición de función se ha ido modificando con el tiempo, desde la construcción de

tablas de raíces y potencias hasta como se emplea ahora. Se considera que Leibniz

introduce este término, seguido por Bernoulli11, quien en septiembre de 1694 escribe

una carta en respuesta a Leibniz; lo que describe como función en el sentido más

actual:

… una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y

constantes12…

En 1748 el concepto de función tomó énfasis gracias a la publicación “introduction in

analysin infinitorum” de Euler, donde define función como

“…una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta, como

cualquiera que lo sea de dicha cantidad y de números o cantidades constantes13…”

Así se da el crédito a Euler de precisar el concepto de función y del estudio de

funciones elementales. Sin embargo, es Peter Dirichlet quien introduce el concepto

moderno de función.


3

1.2. Aplicación de pares ordenados

Producto cartesiano

Comencemos por definir el producto cartesiano de dos conjuntos, como el conjunto

formado por todas las parejas ordenas, tales que como primer elemento de las parejas

se tome cada uno de los elementos del primer conjunto y como segundo elemento de

las parejas ordenadas cada uno de los elementos del segundo conjunto14.

Por ejemplo: sean A= {1,2,3} y B={a,b}, A B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Observe que por ser un conjunto se coloca entre llaves { } y se separan sus

elementos que están formados por seis nuevas parejas ordenas, por comas; es decir,

formamos un producto cartesiano de seis parejas.

Si calculamos B × A tendremos que: B×A= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

Obsérvese que en el producto cartesiano no se presenta la propiedad conmutativa.

En el producto cartesiano15, al conjunto de todos los primeros elementos de las

parejas ordenadas se le llama dominio, y al conjunto formado por los segundos

elementos de todas las parejas ordenadas se llama contradominio o codominio

(también llamado impropiamente rango).

Una relación15 es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los

elementos del dominio con los del contradominio. En nuestra vida cotidiana hacemos

uso de varias relaciones, por ejemplo, cuando de acuerdo al apellido de los alumnos

les asignamos un número natural para hacer la lista de asistencia, así podría quedar un

ejemplo de ella:

A={(1,Diego Barragán), (2,Emilio Cendejas), (3,Santiago Guijosa),

(4, Gabriel Hernández),…}


4

En esta relación el dominio es un subconjunto de los números naturales:

Dom={1,2,3,4,…n} donde n representa el número del último alumno. El contradominio

está formado por el nombre del alumno al que se le asignó un número en la lista, el

contradominio se forma pues, con el nombre y apellido paterno de los alumnos y la

imagen es igual al contradominio.

Otro ejemplo puede ser, la relación que existe entre el color de la luz del semáforo de

tránsito y el estado de movimiento de un vehículo en la vía pública:

H= {(rojo, alto), (ámbar, disminución), (verde, siga)}

En esta relación el dominio es un subconjunto de los colores existentes y el

contradominio es el estado de movimiento de un vehículo.

Ejemplo 1. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano A B

Solución

A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4)} (ver gráfica número 1)

El dominio correspondiente es:

Dominio ={1,2,3} y el contradominio ={1,2,3,4}

Ejemplo 2. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano B A

Solución

B A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

(4,1),(4,2),(4,3)} Ver figura 2

Dominio={1,2,3,4} y el contradominio ={1,2,3}

Nótese que el producto cartesiano no es conmutativo.


5

De lo anterior, podemos concluir que el producto cartesiano entre dos conjuntos es una

operación que asigna a cada elemento del primer conjunto con todos y cada uno de los

elementos del segundo conjunto, formando un nuevo conjunto, el conjunto de las

parejas ordenadas, dicho conjunto puede ser representado gráficamente como

veremos a continuación:

Gráfica de una relación

Es conveniente tener una representación gráfica de las relaciones, nos ayuda a ver

objetivamente cómo se comportan las variables, esto se puede hacer representando en

el eje horizontal los valores de las variables independientes (x) y en el eje vertical (y)

los valores de las variables dependientes, como se muestra a continuación:

Fig. 1. Producto A B Fig. 2. Producto B A

Cuando tenemos una expresión algebraica a la que le asignamos diferentes valores a

una literal, la expresión tomará determinados valores, por ejemplo la expresión x2-2x

la llamamos y, y escribimos y=x2-2x, si le damos valores a la letra x, que llamaremos

variable independiente (x =-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 etc.) la expresión y, la

nombraremos variable dependiente, tomará los valores: si x =-2, y=8, para x =-1,

y=3, para x =0, y=0, para x =1, y=-1,para x =2, y=0, para x =3, y=3, etc.,

escribiremos las parejas ordenadas colocando como primer elemento al valor de la


6

variable independiente x y su segundo elemento el valor correspondiente de la variable

dependiente y, nos quedará como sigue: {(-2,8),(-1,3),(0,0),(1,-1),(2,0),(3,3)}.

En la expresión y=x2-2x, a la x se le llama variable independiente porque es a la

variable que nosotros le asignamos valores de manera arbitraria, la variable y también

cambia dependiendo del valor que le asignemos a x, por lo que recibe el nombre de

variable dependiente. Graficando la relación anterior, tenemos:

Fig. 3. La relación y=x2-2x

Si suponemos que estamos trabajando con el conjunto de los número enteros(Z)16, el

dominio de la relación anterior estará formado por todo Z y el rango está formado por

todos aquellos valores que cumplan con la relación y=x2-2x, también están en Z,

rango={0,-1,3,8,15}. Si trabajamos con los números reales en RR, la gráfica

quedará representada por todos los puntos que satisfagan a la relación y=x2-2x y la

gráfica se traza con una línea continua.


7

Fig. 4. Gráfica de la relación y=x2-2x.

El dominio de la relación y=x2-2x es R, el contradomio está en R, la imagen se obtiene

despejando x y analizando qué valores reales puede tomar y, esto es:

y=x2-2x

x2-2x +1= y+1 completando el trinomio a cuadrado perfecto

(x-1)2=y+1 factorizando el trinomio cuadrado perfecto

x-1 = √ sacando raíz cuadrada en ambos lados

x= √ +1 despejando x

para que x sea un valor real el radicando

y+1 0, esto es y≥-1 por lo que el contradominio es {yЄR/y≥-1}.

Definiremos ahora una función14, como una relación en la que a cada elemento del

dominio le corresponde una y solo una imagen o conjunto de parejas ordenadas,

donde no existen dos diferentes que tengan el mismo primer elemento.

Si A={(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)} los primeros elementos a, b, c y d son diferentes entre

sí, respecto a los segundos no se tiene esa limitación, no importa que el elemento 2


8

se encuentre en la segunda y cuarta pareja, por lo tanto, se puede decir que es una

función si no existen dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer

elemento. Para identificar si una relación es una función, podemos trazar rectas

verticales paralelas al eje Y, y si al menos una corta a la gráfica de la relación en más

de un punto, se dice que es una relación, dicho de otra manera, si solo cortan en un

punto la gráfica de la relación representa una función.

Fig. 5. Gráfica de una recta inclinada.

Observe que para cada valor de x solo existirá un valor de y, por lo tanto es una

función. Lo mismo pasa en las dos gráficas siguientes:

Fig. 6. Gráfica de una función. Fig. 7. Gráfica de una función.


9

Más adelante se hablará de algunas de estas funciones, cómo obtener su gráfica y su

ecuación. La siguiente gráfica (fig.8) nos permite afirmar que no es la gráfica de una

función, ya que si trazamos una recta paralela al eje Y, la corta en dos lugares

distintos, eso es que dos parejas ordenadas diferentes tienen el mismo primer valor.

NOTA14,15: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Fig. 8. Gráfica de una relación.

Ejemplo 3. Escribe el resultado del siguiente producto cartesiano y traza su gráfica

AXB, si A={1,2,3},B={2,3}

Solución

A B= {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

Observe que el número de pares ordenados, se puede calcular

multiplicando el número de elementos del conjunto A por el número

de elementos del conjunto B, esto es, 3 2=6 elementos

correspondientes a las seis parejas ordenadas obtenidas.

Su gráfica se muestra a continuación:


10

Fig. 9. Gráfica del producto cartesiano A B.

Ejemplo 4. Calculemos el producto CD, si C= {rojo, azul} y D= {amarillo, verde, negro}

Solución

C D={(rojo, amarillo),( rojo, verde),( rojo, negro),

(azul, amarillo),( azul, verde),( azul, negro)}

Fig. 10. Producto cartesiano C .


11

Observe que para hacer la gráfica, el eje de las abscisas

corresponde a los elementos del conjunto C y el eje de las

ordenadas corresponde al conjunto D.

Ejemplo 5. Hallar el producto EF, si E= {xЄ / 1<x<4},F={xЄ / 2<x<5}

Solución

El conjunto E está formado por las x, que pertenecen a los números

enteros ( ) que son mayores que uno y menores que 4, por lo que E

está formado por los elementos 2 y 3, de la misma forma, el

conjunto F está formado por los enteros mayores que 2 y menores

que 5, esto es, el 3 y 4.

Considerando que los conjuntos E={2,3} y F{3,4}

El producto cartesiano es: EF={(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)} y su

gráfica es la siguiente:

Fig. 11. Producto cartesiano E .

Ejemplo 6. Determinar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio,

y traza su gráfica: {(x,y)/x, yЄ 5x-3y=10}


12

Solución

Partiendo de la ecuación:

5 3 10

5 3 10 0

5 10 3

5 10

3

5 10

3 3

x y

x y

x y

xy

xy

Por lo que el dominio de la función xЄ y el contradominio es

yЄ , por lo tanto es una función, siendo su gráfica la siguiente

línea recta:

Fig. 12. De la ecuación 5x-3y=10.

Ejemplo 7. Hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ 8x2-19y2=64}


13

Solución

Dominio={x/

√

√ }

También puede escribirse Dominio= {x/-√ √ }

Para encontrar el contradominio despejamos y

y=√

√

√ y=√ elevando al cuadrado

19y2=8x

2-64

19y2+64=8x

2

x= √

Podemos observar que no tiene denominador indeterminado y que y

puede tomar cualquier valor real, ya que si y es negativa o

positiva al elevar al cuadrado su valor es positivo, por lo tanto

2 2

2 2

2 2

2

2

2

8 19 64

8 19 64 0 Igualando a cero

8 64 19 Despejando a y

8 64

19

8 64

19

Para que exista una solución real el radicando

debe de ser mayor o igual que cero.

x y

x y

x y

xy

xy


14

el contradominio es el conjunto de los número reales y es una

relación.

Fig. 13. Gráfica de

2

8 64

19

xy

Ejemplo 8. Hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ x2-16x-12=0}

Solución

x2-16x-12=y

x2-16x+64=y+12+64

(x-8)2=y+76

x-8 = √ sacando raíz en ambos miembros

x= √ investiguemos los valores donde y+76

Contradominio son las y mayores o iguales que 76, yЄ[-76,

Para encontrar el dominio analicemos y=x2-16x-12 y podemos

observar que y existe para cualquier valor de x, por lo tanto:

Dom xЄ y es una función.


15

Fig. 14. Gráfica de y=x2-16x-12.

Ejemplo 9. Indica si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ y2+8x-32=0}

Solución

y2+8x-32=0 para encontrar el dominio despejamos y

y=√ analizando 32-8x 0

x 4 o xЄ(

Para encontrar el contradominio despejamos x

y2=32-8x

y=√

y=√ analizando el radicando 4-x 0

x


16

xЄ(- La gráfica que representa es una parábola horizontal que

abre a la izquierda y es una relación.

Fig. 15. Gráfica de y=√ .

Ejemplo 10. Determinemos el dominio y el contradominio de la siguiente función:

( ) 1 f x x

Solución

En las funciones polinomiales su dominio y contradominio queda

definido por todos los números reales, ya que al sustituir el

valor de x en la función polinomial, se obtiene un número real.

Por lo que el dominio y contradominio de la función f(x)=x+1 son

todos los números reales, esto es:

Dom={x/xЄR} y Rango={y/yЄR}

También podemos notarlo cuando observamos que no tiene denominador

por lo que no existen indeterminaciones de la función, y decimos

función, ya que al observar la gráfica y seguir la regla de la

recta vertical lo podemos concluir.


17

Fig. 16. Gráfica de f(x)=x+1.

Ejemplo 11. Encontrar el dominio y el contradominio de la siguiente función:2

( ) x

f xx x

Solución

En una Función racional17

, su dominio queda definido por

los valores numéricos que corresponden a Q(x) , ya que se debe

de considerar que el denominador debe de ser distinto de cero,

porque de lo contrario no se obtendría un número real, simplemente

el dominio omite las raíces de Q(x).

Manipulando la ecuación, factorizando el denominador y

simplificando tendremos:

2( )

( )( 1)

1( )

1

xf x

x x

xf x

x x

f xx


18

Considerando que f(x) no está definida cuando el denominador es

cero, por lo que el dominio es el conjunto de las x tales que x 1

El contradominio se puede obtener haciendo

Despejando x y observando los valores reales que puede tomar y

tendremos:

Y (x-1)=1

(x-1)=

x=

+1 obsérvese que y debe ser distinto de cero para

que existan valores reales de x, por lo que se

puede concluir que y 0

Entonces el Contradominio={yЄ / y 0}

Fig. 17. Gráfica f(x)=

.


19

Ejemplo 12. Calcular el dominio y el contradominio de la siguiente función:

2( )

1f x

x

Solución

Tenemos una función racional, analicemos el denominador de

√

√ nótese que debe ser la condicionalidad estricta, es

Decir, debe ser mayor que 0, más no igual, ya que ten-

dríamos una indeterminación o división entre cero.

Resolviendo:

√

x + 1 > 0

x > -1

Por lo que el dominio son todas las x que pertenecen a los números

reales que son mayores que -1

{x/xЄ x>-1} ó xЄ(-1,+ )18

Para obtener el contradominio despejamos la x y observamos qué

valores reales puede tomar la y para que x exista,

√


20

(√ )

√ =

elevando al cuadrado en ambos miembros tenemos:

Por lo que el contradominio son todas las y que pertenecen a los

números reales tales que y debe ser distinta de 0 (y 0).

Si hacemos una tabla de valores podemos obtener la gráfica,

recuerde que x>-1

x y Una observación muy importante es que

-0.9 6.32 debemos considerar los dos signos de la

0 2 raíz.

3 1

8 2/3

Fig. 18. Gráfica de y=

√ .


21

Ejemplo 13. Calcular el dominio y el contradominio de la siguiente función:2 3 2y x x

Solución

Analizando el radicando x2-3x+2 0

Factorizando (x-1)(x-2) 0

Tenemos que considerar dos casos:

Caso I

Cuando los dos factores son positivos

x-1 0 y x-2 0

x≥1 y x≥2 eso se cumple cuando x≥2

Caso II

x-1 0 y x-2 ≤0

x ≤ 1 y x ≤ 2, esto se cumple para x≤1

Uniendo las dos soluciones de cada caso tendremos que

xЄ(- o 2≤x≤1

Para calcular el contradominio despejamos x y observamos qué

valores reales puede tomar y

√

y2=x

2-3x+2


22

y2-2=x

2-3x completando el trinomio cuadrado perfecto

y2-2+

=x

2-3x+

reduciendo y factorizando

y2+

=(x-

sacando raíz cuadrada

√

=x-

x=

√

Contradominio=

Fig. 19. Gráfica de y=+√ .

Gráfica de y=√ cuando solo consideramos la ráiz positiva,

queda al lector terminar la gráfica cuando se consideran los dos

signos de la raíz.


23

Plano cartesiano

Si dibujamos en un plano dos rectas perpendiculares entre sí, quedan delimitadas

cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de cuadrantes y se denotan mediante

números romanos I, II, III y IV, como se especifica en la figura. Las rectas se llaman

ejes coordenadas y su punto de intersección se llama origen y se denota por O.

Fig. 20. Cuadrantes en el plano cartesiano.

El eje horizontal, el eje X recibe el nombre de eje de las abscisas, y el perpendicular a

este el eje Y, eje de las ordenadas. El plano y los ejes coordenados se llaman plano

cartesiano en honor a René Descartes, el precursor de la geometría analítica.

Fig. 21. Plano cartesiano.


24

Los ejes X y Y son considerados como rectas reales, con el cero ubicado en el origen, y

con la misma escala. En su posición usual, el eje X es horizontal y su dirección positiva

es hacia la derecha con respecto al origen, por lo que los números positivos quedan en

el extremo derecho y los negativos en el izquierdo; en tanto, que el eje Y es vertical,

su dirección positiva es hacia arriba y los números negativos quedan abajo. Las

coordenadas de puntos ubicados en el plano cartesiano:

Fig. 22. Localización de puntos en el plano cartesiano.

Ejemplo 14. Localiza en el sistemas de ejes de coordenadas los siguientes puntos: A (2,5), B(-1,4),

C(2,-5), D(3,-1), E(0,2), F(-6,-4), G(-5,0)

Solución

Fig. 23. Puntos en el plano cartesiano.


25

Ejemplo 15. Dibuja el polígono cuyos vértices son: A (2,4), B(-3,5), C(-4,-4), D(0,-4), E(4,-5) y

F(3,0)

Solución

Fig. 24. Polígono en el plano cartesiano.

Ejemplo 16. Encuentra las coordenadas de los puntos señalados en el siguiente plano cartesiano:

Fig. 25. Puntos en el plano cartesiano


26

Solución

Coordenadas de los puntos:

P1(-2,5)

P2(2,4)

P3(3,3)

P4(1,1)

P5(-1,2)

P6(4,-3)

P7(3,-4)

P8(2,-2)

P9(-2,-4)

P10(-3,-2)

P11(-5,-1)


27

1.3. Representación del lugar geométrico

Análisis de ecuaciones

Cuando se conoce una ecuación, es importante pasar a representar su lugar

geométrico, es conveniente previamente conocer algunas propiedades, tales como

1. Determinar si la recta o curva es o no simétrica respecto a los ejes y al origen.

2. Determinar los puntos de intersección con los ejes, o si no los hay.

3. Determinar el dominio y la imagen (también llamado extensión).

4. Determinar si tiene asíntotas horizontales o verticales.

5. Hacer la gráfica.

Comencemos con el punto número uno:

Simetría respecto al eje de las X: si se sustituye en la ecuación y por –y, y la

ecuación no se altera, entonces la curva es simétrica respecto al eje de las X, por lo

tanto, basta con observar si los exponentes de la y en todos los términos tienen

exponente par.

Simetría respecto al eje Y: Si se sustituye en la ecuación x por –x , y la ecuación no

se altera, entonces la curva es simétrica respecto al eje de las Y, por lo tanto basta con

observar si los exponentes de la x en todos los términos tienen exponente par.

Simetría respecto al origen: Es suficiente con observar que los exponentes de x y de y

tengan exponente par, o bien, que cumplan con tener simetría respecto a los dos ejes.

Intersección con el eje de las X: Sustituimos y=0 y resolvemos la ecuación,

encontramos así la abscisa del punto que interseca al eje X, si no hay solución real

significa que no tiene intersección con el eje X.


28

Intersección con el eje de las Y: Sustituimos x=0 y resolvemos la ecuación,

encontramos así la ordenada del punto que interseca al eje Y, si no hay solución real

significa que no tiene intersección con el eje Y.

Extensión: Dominio y contradominio

Respecto a x: Para encontrar el dominio se despeja la y y se determinan los valores

reales que puede tomar la x, de manera que sea posible obtener un valor real para y.

Respecto a y: Para encontrar el contradominio se despeja la x y se determinan los

valores reales que puede tomar la y, de manera que sea posible obtener un valor real

para x.

Asíntotas: Es la recta que no es tocada por un punto por más que se aproxime a ella,

hay asíntotas de cualquier posición, pero se hará énfasis en las asíntotas horizontales y

en las verticales.

Asíntotas verticales: Se despeja y, y se observa la x, si aparece en el denominador se

iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las abscisas

correspondientes a las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales: Se despeja x y se observa la y, si aparece en el denominador

se iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las ordenadas

correspondientes a las ecuaciones de las asíntotas horizontales.

Ejemplo 17. Discutir la ecuación x2+y

2-9=0 y graficarla


29

Solución

Simetría respecto al eje X: como y tiene exponente par, se dice

que existe simetría respecto a x (o hacer también la sustitución

de x por –x)

Respecto al origen: todos los términos tienen exponente par, por

lo tanto es simétrica respecto al origen. Nótese que existe

simetría respecto al eje X y respecto al eje Y, entonces existe

simetría respecto al origen.

Intersecciones:

Con eje X: hacemos y=0

x2+y

2-9=0

x2+(0)

2-9=0

x2=9

x= √

x=

Por lo tanto la curva corta el eje X en dos puntos (-3,0) y (3,0)

Con eje Y: hacemos x=0

x2+y

2-9=0

(0)2+y

2-9=0

y2=9

y= √

y

por lo tanto la curva corta al eje Y en dos puntos (0,-3) y (0,3).


30

Extensión:

Respecto a x: (dominio) despejamos y

x2+y

2-9=0

y2=9-x

2

y= √

para que yЄR 9-x2≥0; -x

2≤-9

(-1) -x2≤-9(-1) multiplicando por -1 ambos miembros

x2≥9 recuerde que se invierte la desigualdad

-3≤x≤3 o bien xЄ[-3,3]

Respecto a y: (imagen)despejamos x

x2+y

2-9=0

x2=9-y

2

x= √

para que yЄR 9-y2≥0

-y2≤-9

(-1)-y2≤-9(-1)

y2≥9

-3≤y≤3 o yЄ[-3,3]

Asíntotas:


31

Horizontales: ya tenemos despejado x; x= √ , si observamos,

no tiene denominador con y, por lo que la curva no tiene asíntotas

horizontales.

Verticales: ya tenemos despejado y; y= √ , si observamos,

tampoco tiene denominador con x, por lo que la curva no tiene

asíntotas verticales.

Gráfica: podemos usar la ecuación y= √ , damos valores a la

variable independiente x, que pertenezcan al intervalo que se

obtuvo para su extensión

x y

-2 √

-1 √ =

1 √ =

2 √

Fig. 26. x2+y

2-9=0.

Recordemos que la curva es simétrica respecto a los 2 ejes y al

origen, tracemos los puntos de intersección con los ejes.

La curva trazada corresponde a una circunferencia con centro en el

origen C(0,0) y radio r=3.


32

1.4. Problemario

Dado los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano que se indica:

1.1. Si A={a,e,i,o,u} y B={2,4,5}, A B

1.2. Si C={10,15,20} y D={15,20,25}, D C

1.3. Si E={Juan, Pedro} y F={María, Diana, Karla}, F E

1.4. Si G={2,4,6,8} y H={1,3,5}, G H

1.5. Si I={0,1} J={-3,-5,-6}, J I

1.6. Si K={x/5<x<8 } y L={y/0<y<3 }, K L

1.7. Si M={x/-3<x<0 } y N={y/0<y<3 }, N M

1.8. Si O={x/-4 x 3, xЄ } y P={y/ -1 y 0, yЄ }

O P

1.9. Si Q={adenina, citosina} y R{timina, uracilo}, Q R

1.10. Si S={3,5,7,11} y T={2,4}, S T

1.11. A={los elementos que forman el ácido sulfúrico} y

B={los elementos que forman el agua}, A B

Nota: queda al lector investigar de su curso de química

cuáles son los elementos del ácido sulfúrico.


33

2. Identificar si las relaciones son funciones, encontrar su dominio, su contradominio y

hacer su gráfica.

2.1. y=

+5

2.2. y=5

2.3. x=4

2.4. y=3x+2

2.5. x2+8y=0

3. Determine el dominio y contradominio de las siguientes relaciones:

4. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),

H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0)

O(0,0)

2

3.1. ( ) 32

13.2. y

2

3.3. ( ) 3 1

3.4. 1 2

23.5. ( )

5

13.6. ( )

2

53.7. ( )

25

3.8. ( )

3.9. ( ) 9

13.10. ( )

3

xf x

x

f x x

y x

f xx

f xx

f xx

f x x

f x x

f xx


34

5. Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, une los puntos e identifica el polígono

irregular obtenido.

5.1. A(-2,2), B(-1,-2), C(2,-2)

5.2. A(-2,-2), B(-1,1), C(3,1), D(3,-1), E(1,-3)

5.3. A(1,-1), B(2,2), C(5,3), D(7,1), E(6,-2), F(3,-3)

5.4 A(-4,-2), B(0,-2), C(2,1), D(-2,1)

6. Identificar cuáles de las gráficas siguientes representan una función y cuál es una

relación (sugerencia: usa la recta vertical paralela al eje de las Y).

6.1.

6.2.

6.3.


35

6.4.

7. Discute las siguientes ecuaciones, indicando: si la recta o curva es simétrica respecto de

los ejes y/o del origen, las intersecciones con los ejes si las tiene, su dominio y

contradominio, las asíntotas verticales y horizontales si las tiene, bosqueja su gráfica

(puedes hacer una tabla de valores).

7.1. y=3x-7

7.2. y2-12x=0

7.3. x2+6y=0

7.4. 4x2+9y

2=36

7.5. 16x2-9y

2-144=0

1.5. Autoevaluación

1. Contesta correctamente lo siguiente:

1.1. ¿Cuál es la función que se expresa como el cociente de dos funciones

polinomiales?

1.2. ¿Qué es el dominio de una función?


36

1.3. ¿Quién introduce el concepto moderno de función?

1.4. ¿Qué es una relación?

1.5. ¿Qué es el contradominio de una función?

1.6. ¿Qué es una función?

1.7. ¿Es conmutativo el producto cartesiano?

2. Obtener el producto cartesiano B A, si A={2,4,6} y B={3,5,7}

3. En el siguiente plano cartesiano indique el número de cuadrante, el nombre de cada uno

de sus ejes y localice los siguientes puntos colocando la letra que le corresponde:

A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,4),E(-4,3),F(-5,0),G(-3,2),H(0,-3)

I (3,-2)

4. Encuentra el dominio y el contradominio de la ecuación siguiente e indica si representa

una relación o una función:

5 2y x


37

5. Indica si la gráfica siguiente representa una función o una relación. Utiliza la regla de la

recta vertical paralela al eje Y.

6. Discute la ecuación x2+y

2-36=0 indicando lo siguiente:

a) Simetría respecto del eje X

b) Simetría respecto del eje Y

c) Simetría respecto del origen

d) Intersección con el eje X

e) Intersección con el eje Y

f) Su dominio

g) Su contradominio

h) Si tiene asíntotas verticales

i) Si tiene asíntotas horizontales

j) Grafícala

k) Indica si representa una relación o una función.

1.6. Conclusión

En este capítulo vimos que una función es una relación donde no hay dos parejas

distintas de puntos o coordenadas que tengan el mismo primer valor, se vieron

algunos ejemplos de funciones, sus gráficas, su dominio y contradominio, pero hay una


38

gran variedad de funciones que se aplican en economía, como la función de costos,

crecimiento de poblaciones, funciones logarítmicas, trigonométricas, por mencionar

algunas. Existe todo un estudio sobre las funciones y tuviste un pequeño acercamiento

a ellas, en los cursos posteriores profundizarás más en sus propiedades, clasificación y

aplicaciones.

1.7. Soluciones del problemario

1.1. A B={ (a,2),(a,4),(a,5), (e,2),(e,4),(e,5),

(i,2),(i,4),(i,5), (o,2),(o,4),(o,5),

(u,2),(u,4),(u,5)}

1.2. C D={ (10,15),(10,20),(10,25),(15,15),(15,20),(15,25),

(20,15),(20,20),(20,25)}

1.3. F E={(María, Juan),(María, Pedro),

(Diana, Juan),(Diana, Pedro),

(Karla, Juan),(Karla, Pedro)}

1.4. G H={(2,1),(2,3),(2,5), (4,1),(4,3),(4,5),

(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5)}

1.5. J I={(-3,0),(-3,1),(-5,0),(-5,1),(-6,0),(-6,1)}

1.6. K L ={(6,1),(6,2),(6,3), (7,1),(7,2),(7,3)}

1.7. M={-2.-1} y N={1,2}

N M={(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1)}

1.8. O={-3,-2,-1,0,1,2} y P={-1,0}

O P={(-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-1,-1),(-1,0),

(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0)}

1.9. Q R={(adenina, timina),(adenina, uracilo),(citosina, timina),


39

(citosina, uracilo)}

1.10. S T={(3,2),(3,4),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(11,2),(11,4)}

1.11. A={H2SO4}={H1,H2,S,O1,O2,O3,O4}

B={H2O}={H1,H2,O}

{(H1,H1),(H1,H2),(H1,O),(H2,H1),(H2,H2),(H2,O),

(S,H1),(S,H2),(S,O),(O,H1),(O,H2),(O,O),

(O2,H1),(O2,H2),(O2,O), (O3,H1),(O3,H2),(O3,O),

(O4,H1),(O4,H2),(H4,O)}

Nota: en este ejemplo, si se pudiera diferenciar cada hidrógeno de

cada oxígeno se le pondría un subíndice, no debe leerse como

cantidad.

Recordemos en teoría de conjuntos que los elementos que los

conforman no se repiten, por lo que

A={H,S,O} y B={H,O}

A B={(H,H),(H,O),(S,H),(S,O),(O,H),(O,O)}

2.1. y=

+5

Dominio= o xЄ(- )

Contradominio= o yЄ(- )

Sí es función


40

2.2. y=5

Dominio= o xЄ(- )

Contradominio=[5] o y=5

Sí es función

2.3. x=4

Dominio=[4] o x=4

Contradominio= o xЄ(- )

No es función es relación

2.4. y=3x +2

Dominio= o xЄ(- )


Sí es función


41

2.5. x2+8y=0

Dominio= o xЄ(- )

Contradominio yЄ(-

Sí es función

3.1. f(x)=3-

Dominio= o xЄ(- )


3.2. y=

Dominio= o xЄ(- )



42

3.3. f(x)=3x-1

Dominio= o xЄ(- )


3.4. y=√

Dominio={x/x

}


3.5. f(x)=

Dominio=

Contradominio=

Ver gráfica

3.6. f(x)=

Dominio=

Contradominio=


43

3.7. f(x)=

Dominio= léase todos los reales, menos el -5 y el 5

Contradominio:

3.8. f(x)=√

Dominio={x/x


3.9. f(x)=√

Dominio={x/x


3.10. f(x)=

√

Dominio={x/x<3}

Contradominio= - {0}


44

4. A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),

H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0),

O(0,0).

5.1. Es un triángulo escaleno.

5.2. Es un pentágono irregular.


45

5.3. Es un hexágono irregular.

5.4. Es un cuadrilátero.

6.1. Es relación

6.2. Es función

6.3. Es función

6.4. Es relación

7.1. Como el exponente de y es impar no hay simetría respecto del

eje X, como el exponente de x es impar no hay simetría respecto

del eje Y, por lo tanto, no existe simetría respecto del origen.

Intersección con eje X (7/3,0)

Intersección con eje Y (0,-7)

Dominio (-

Contradomio(-

No hay asíntotas verticales ni horizontales


46

7.2. Como el exponente de y es impar, sí hay simetría respecto al

eje X, como el exponente de x es impar, no hay simetría respecto

al eje Y, por lo tanto no existe simetría respecto del origen.

Intersección eje X; en x=0

Intersección eje Y; en y=0

Dominio={x/x

Contradominio=

Asíntotas: no hay horizontales ni verticales.

7.3.

No existe simetría respecto a x.

Sí existe simetría respecto a y.

No existe simetría respecto al origen.

Intersección con eje X: x=0


47

Intersección con eje Y: y=0

Dominio=

Contradominio={y/y

No existen asíntotas verticales ni horizontales.

7.4.

Existe simetría respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto

del origen de coordenadas.

Intersección con eje X: (-3,0) y (3,0)

Intersección con eje Y: (0,2) y (0,-2)

Dominio xЄ[-3,3] léase intervalo cerrado de -3 a 3

Contradominio yЄ[-2,2]

No existen asíntotas verticales ni horizontales.

7.5.

Existe simetría respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto

del origen.

Intersecciones con eje X: (-3,0),(3,0)


48

Intersecciones con eje Y: no existen.

Dominio: {x/-3

Contradominio=

No existen asíntotas horizontales ni verticales

Nota: Más adelante se verá que tiene dos asíntotas que cruzan por

el origen de coordenadas.

Gráfica: corresponde a una hipérbola

y= √


49

1.8. Soluciones de autoevaluación

1.1. Función racional 1.2. El conjunto de todos los valores posibles de x 1.3. Peter Dirichlet 1.4. Es un conjunto de pares ordenados 1.5. Es el conjunto de todos los valores posibles de y 1.6. Es una relaicion donde no hay dos pares distintos, que tengan el mismo primer

valor. 1.7. No

2. B A={(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6)}

3.

4.

Dominio=

Contradominio=

Es una función.

5. Es una relación.

6.


50

a) Simetría respecto del eje X: si existe

b) Simetría respecto del eje Y: si existe

c) Simetría respecto del origen: si existe

d) Intersección con el eje X: (-6,0) y (6,0)

e) Intersección con el eje Y: (0,6) y (-6,0)

f) Su dominio: xЄ(-

g) Su contradominio: yЄ(-

h) Si tiene asíntotas verticales: no tiene

i) Si tiene asíntotas horizontales: no tiene

j) Grafícala: una circunferencia con centro en el origen y radio 6

k) Indica si representa una relación o una función: relación


51

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Guerra T. Manuel (1994). Geometría analítica. México: McGraw-Hill

15

Juan Manuel Silva &Adriana Lazo (2003). Fundamentos de matemáticas:

álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo. México: Limusa

http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_sum


16

Z=conjunto de los números enteros {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

17

Función expresada como el cociente de dos funciones polinomiales P(x)/Q(x) donde Q(x)≠0

18

( ) notación de intervalos abiertos por los dos extremos

http://books.google.com.mx/books?id=Kzp4zPIL8B0C&pg=PR5&dq=Introduction+to+analysis+of+the+infinite,Book+I,+trad.+John&hl=es&ei=_SEzTtPVOa_CsQL287HnCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC0Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false



http://books.google.com/books?id=amelmrfmwEMC&pg=PA19&dq=Euler:+institutiones+calculi+differentialis&hl=es&ei=3ur2TaWxOoP2tgP-oszCBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q=funci%C3%B3n&f=false




http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false


i


1

2.1. Determinación gráfica de la recta

La recta

Pitágoras, filósofo, astrónomo, físico y matemático, dominó el pensamiento de su

tiempo, su enseñanza era la doctrina mística, según la cual “todo era

número”1.Conocido entre otras muchas cosas por el teorema que lleva su nombre, el

teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados2.

Este teorema se usa para deducir la fórmula de distancia entre dos puntos

cualesquiera del plano. Comencemos por los casos particulares cuando los puntos se

encuentran en un segmento horizontal o vertical.

Distancia entre dos puntos

Situados en un segmento horizontal.

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y1) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma ordenada

y1, esto es, que están en un segmento horizontal, si lo que queremos es calcular la

distancia entre dos puntos, restamos sus abscisas x2 y x1 esto es:

Distancia =x2-x1 o =x1-x2

Nótese que en ambas formas se obtiene la distancia, pero con signos diferentes, si

consideramos la distancia entre dos puntos como una magnitud positiva, la distancia

se expresa como el valor absoluto3 de la diferencia de sus abscisas, esto es:

= |x2-x1|=|x1-x2|

Representando los puntos P, Q y el segmento gráficamente tendremos:


2

Ejemplo 1. Calcular la distancia entre los puntos A (1,4) y B (5,4).

Solución

El segmento es horizontal ya que tienen la misma ordenada

4, usando la fórmula4 tenemos:

=|x2-x1|

=|5-1|

=|4|

= 4

También podría ser

=|x1-x2|

=|1-5|

=|-4|

=4

Como se pudo comprobar, es indistinto cuál de los dos puntos

elijas como (x1,y1) y cuál (x2,y2).


3

Ejemplo 2. Calcular la distancia entre los puntos C (-5,3) y D(3,3).

Solución

La distancia entre los puntos C y D es:

Distancia =|x2-x1| o bien =|x1-x2|

=|3-(-5)| =|-5-3|

=|3+5| =|-5-3|

=|8| =|-8|

= 8 = 8

Ejemplo 3. Una cuerda de guitarra se hace vibrar y se desea calcular la longitud de onda

entre 2 de sus crestas cuyas coordenadas son los puntos A(10mm, 2mm) y B(15mm, 2mm).

Solución

Nota: en una onda estacionaria, la distancia entre dos puntos

idénticos cualesquiera, como las crestas se llama longitud de onda

y se le representa con la letra griega .


4

=|x2-x1|=|15mm-10mm|=5mm

Distancia entre dos puntos situados en un segmento vertical

Sean P(x1,y1) y Q(x1,y2) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma abscisa x1,

esto es, están en un segmento vertical.

Para calcular la distancia entre dos puntos, restamos sus ordenadas, es decir:

Distancia =|y2-y1| o =|y1-y2|


5

Ejemplo 4. Calcular la distancia entre los puntos E(5,2) y F(5,8).

Solución

Usando la fórmula

=|y2-y1|=|y1-y2|

=|8-2|=|6|=6

=|2-8|=|-6|=6

Ejemplo 5. Calcular la distancia entre los puntos G(-4,2) y H(-4,6).

Solución

Usando la fórmula

|y2-y1|=|y1-y2|

=|6-2|=|4|=4

=|2-6|=|-4|=4

Distancia entre dos puntos situados en un segmento inclinado

Consideremos un segmento que no es horizontal ni vertical, es decir, inclinado,

consideremos el segmento en el primer cuadrante (solo por comodidad, pero es lo

mismo en cualquier cuadrante). Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos cualesquiera.


6

Obsérvese que se forma el triángulo ∆PQR si trazamos las proyecciones de P y Q sobre

los ejes.

Nótese que se forma el triángulo rectángulo ∆PQR, si trazamos las proyecciones de P

y Q sobre los ejes.

Calculamos la distancia horizontal y la vertical , lo hacemos de la misma forma

vista anteriormente =|x2-x1| y distancia =|y2-y1|, observe que es la

hipotenusa del triángulo rectángulo ∆PQR, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

2 2 2( ) ( ) ( )PQ PR QR


7

2 22

2 1 2 1( )PQ x x y y Note que cualquier número elevado al

2 2 2

2 1 2 1( ) ( ) ( )PQ x x y y cuadrado es positivo, podemos cambiar

2 2 2

1 2 2 1( ) ( ) ( )PQ x x y y los valores absolutos por paréntesis

2 2 2

2 1 2 1( ) ( ) ( )PQ x x y y sacando raíz cuadrada en ambos

miembros.

2 2

2 1 2 1( ) ( )PQ x x y y Es la fórmula para calcular la distancia entre

dos puntos cualesquiera, situados en el

plano cartesiano.

Ejemplo 6. Calcular la distancia entre los puntos A(2,3) y B(5,8).

Solución

Cualesquiera de los puntos puede ser el punto (x1,y1) o

(x2,y2), en nuestro ejemplo tomaremos A(x1,y1) y B(x2,y2)

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( - ) ( - )

(5 - 2) (8 - 3)

(3) (5)

9 25

34

AB x x y y

AB

AB

AB

AB

Es conveniente dejar el

resultado así, ya que la raíz

es inexacta e irreducible.

34


8

Ejemplo 7. Calcular la distancia entre los puntos M (1,1) y N(4,5).

Solución

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( ) ( )

(4 1) (5 1)

(3) (4)

9 16

25

5

MN x x y y

MN

MN

MN

MN

MN

Ejemplo 8. Calcular la distancia entre los puntos C(

y D(

.

Solución


9

2 2

2 2

1 7 35

2 2 4

9 11

2 4

81 121

2 16

445

16

445

16

445

4

CD

CD

CD

CD

CD

CD

Ejemplo 9. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2,3), B(5,5)

y C(3,9).

Solución

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados,

así que comenzaremos por calcular las distancias de los 3

lados del triángulo.

Calculemos la distancia de

=√ 3

=√ 3

= 4


10

= 3=3.60

Calculemos la distancia

=√ 3

=√ 4

= 4

=

=2 reduciendo la raíz

=4.47

Calculemos la distancia

=√ 3 3

=√

= 3

= 3 =6.08

El perímetro del triángulo ∆ABC es

P= 3+2 3 = 14.16

Nótese que el triángulo es escaleno ya que sus tres lados

tienen medidas distintas.

Ejemplo 10. Calcular el perímetro del cuadrilátero que pasa por los puntos P(-3,-5),

Q(3,-2), R(2,4), S(-2,2).


11

Solución

Calculemos primeramente las medidas de los segmentos

=√ 3 3

=√ 3 3

=√ 3

= 3

=3

=6.70

=√ 3 4

=√ 4

=√

= 3

= 3

=6.08

=√ 4

=√

=√ 4 4

= 4

=

=4.47


12

=√ 3

=√ 3

=√

= 4

=

=7.07

El perímetro del cuadrilátero es igual a la suma de sus lados

=6.70+6.08+4.47+7.07=24.32

Ejemplo 11. Comprueba que el triángulo formado por los vértices A (1,1), B(6,1), C(6,4)

es un triángulo rectángulo.

Solución

Calculemos las longitudes de sus tres lados:


13

=√

=√

=

=5

=√ 4

=√ 3

=

= 3

=√ 4

=√ 3

=

= 34

Si los lados cumplen con el teorema de Pitágoras5 entonces el

triángulo es rectángulo:

Hipotenusa2=cateto

2 + cateto

2

( 34)2= (5)2+(3)2

34 = 25 + 9

34 34 con lo que queda comprobado que el

triángulo es rectángulo.


14

Ejemplo 12. Prueba analíticamente si las coordenadas (0,1), (0,5) y ( 12,3)A B C

corresponden a un triángulo equilátero.

Solución

Considerando que una de las características del triángulo

equilátero es que los tres lados son iguales, determinamos

las tres distancias de sus lados , y AB BC AC .

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(0 0) (5 1) (0) (4) 0 16 16 4

( 12 0) (3 5) ( 12) ( 2) 12 4 16 4

( 12 0) (3 1) ( 12) (2) 12 4 16 4

AB

BC

AC

Considerando las distancias de los segmentos AB BC AC se

cumple la condición de los tres lados iguales, por lo que se

prueba que los puntos del ABC son vértices de un triángulo

equilátero.

(0,1)A

(0,5)B

( 12,3)C


15

Ejemplo 13. Comprueba que el triángulo formado por los vértices A(1,1), B(5,-2),

C (-3,-2) es un triángulo isósceles.

Solución

Considerando que por definición el triángulo isósceles debe

de presentar dos lados iguales, por lo que debemos de

calcular primeramente las distancias de los segmentos

, y AB BC CA .

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(5 1) ( 2 1) (4) ( 3) 16 9 25 5

( 3 5) ( 2 ( 2)) ( 8) (0) 64 8

( 3 1) ( 2 1) ( 4) ( 3) 16 9 25 5

AB u

BC u

CA u

El ABC sí es un triángulo isósceles, ya que cumple la

condición de presentar dos lados iguales AB CA .


16

Ejemplo 14. Determinar el área del triángulo rectángulo PQR cuyas coordenadas son

P (-3,-2), Q(1,2) y R(1,-2).

Solución

Recordemos que para calcular el área de un triángulo 2

bxhA

ubicamos las coordenadas del triángulo rectángulo en el plano

cartesiano, para identificar los segmentos que forman la base

y la altura.(también podemos descartar el lado mayor, que

representa la hipotenusa del triángulo rectángulo).

En la gráfica observamos que la base la forma la longitud del

segmento PR y la altura es la longitud del segmento QR ,

calculemos ambas longitudes de los segmentos (o calcule las 3

longitudes de los lados del triángulo y descarte la mayor que

es la hipotensa).


17

2 2

2 2

2 2

(1 ( 3)) ( 2 ( 2))

(1 3) ( 2 2)

(4) (0)

16

4

PR

PR

PR

PR

PR

2 2

2 2

(1 1) ( 2 2)

(0) ( 4)

16

4

La base es el segmento =4u

La altura es el segmento =4u

(4El área es

2

QR

QR

QR

QR u

PR

QR

bxhA 2)(4 ) 16

82 2

u uu

Ejemplo 15. Calcular el área de un círculo cuyo radio está dado por el segmento de

coordenadas P(-1,-2) y Q(2,-1).

Solución

Calculemos el radio, que es la

distancia de Q a P.

dPQ=√

dPQ=√

dPQ=√

dPQ=√ 3

dPQ=


18

usemos =3.14 y sustituiremos en A= r2

A=(3.14)( )2

A= (3.14)(10u)

A=31.4 u2

Ejemplo 16. Si la longitud de un segmento es 3 y las coordenadas de uno de sus

extremos son B(6,5), indicar la abscisa del otro extremo si su ordenada es 2.

Solución

Si llamamos A al otro punto en el extremo del segmento, sus

coordenadas serán A(2,y), conocemos = 3 y B(6,5)

Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos:

=√

3 =√

3 =√ 4

32= 16 + (5-y)2 elevando al cuadrado ambos miembros

32-16= (5-y)2 despejando

16=(5-y)2 sacando raíz cuadrada en ambos

=√ miembros

4 =5-y

resolviendo la ecuación

y= 5 4

y1= 5+4 =9 y2=5-4=1


19

Existen dos soluciones

A(2,1) y A’(2,9)

Ejemplo 17. La distancia entre dos genes6 ligados

7 es de 10 u.m

8. Uno de los genes se

encuentra localizado en el punto de coordenadas B (10,6) y hay dos genes a la misma

distancia cuya abscisa es 2. Encontrar las coordenadas de los dos genes A y A’

Solución

√

10=√

10=√

10=√ 4 elevando al cuadrado ambos miembros

100=64 +(y-6)2

100-64=(y-6)2

36=(y-6)2 sacando raíz

cuadrada en ambos

miembros

3 =√

(y-6)

y1=12

y2=0

A(2,0) Y A’(2,12)

Para calcular las coordenadas del punto medio Pm (x,y) de un segmento A(x1,y1),B(x2,y2)

usaremos las fórmulas:


20

,

Pendiente

Si tratamos de describir el movimiento de un cuerpo, podemos hacer una gráfica

posición contra tiempo; la variación de la posición respecto del tiempo

es la

velocidad, lo que se obtiene es la pendiente de la gráfica de dicho movimiento; esta es

una de muchas otras aplicaciones, aquí se muestra un ejemplo de la física, sin

embargo, es muy utilizada en economía, probabilidad, óptica, etc., próximamente en

tus cursos de cálculo diferencial la retomarás ya que es muy importante.

Comencemos por definir lo que es la pendiente de una recta, una recta puede tener

infinitas posiciones, pero cuando no está horizontal o vertical decimos que está

inclinada, esta medida de su inclinación la llamamos pendiente. La inclinación de la

recta que llamaremos se da como una medida del ángulo que forma la recta respecto

de la horizontal (eje X en el extremo positivo), recordemos que un ángulo es

considerado positivo medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj9, observe

las figuras siguientes:


21

La inclinación de una recta es una medida de su ángulo de inclinación. Si la recta es

horizontal tiene una inclinación de 0° o de 180° y si es vertical su inclinación es de

90°. La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación10, aquí es

importante hacer una pausa y aclarar que no es lo mismo la pendiente de una recta

que la inclinación, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación y el

ángulo es la inclinación de la recta.

Denotaremos con la letra minúscula m a la pendiente de una recta y por la definición

anterior podemos expresarla mediante la expresión:

m=tan

A continuación describiremos las distintas formas de calcular la pendiente de una

recta, una de ellas es cuando tenemos trazada la recta en un plano cartesiano,

podemos usar un transportador, medir el ángulo de inclinación y usar la calculadora

científica para calcular su tangente, esto es en la tecla tan o bien usar una tabla de

funciones trigonométricas.

Por ejemplo si tenemos la gráfica de una recta, usamos el trasportador y medimos el

ángulo de inclinación:

usando el transportador

Por definición m=tan

m=tan 45°

m=1 la pendiente de la recta cuya inclinación es 45 vale 1.

Otra forma de obtener la pendiente de una recta es cuando conocemos dos puntos por

los que pasa la recta, sean A(x1,y1) y B(x2,y2) dos puntos cualesquiera situados en una

recta inclinada.


22

En el triángulo ∆AQB calculemos m=tan

Nótese que es un segmento vertical y su magnitud es y2-y1

y que es un segmento horizontal cuya magnitud es x2-x1

Sustituyendo lo anterior en m tendremos:

m=tan =

que es la fórmula para calcular la pendiente cuando se

conocen dos puntos de la recta, apliquémosla en los

ejercicios siguientes:


23

Ejemplo18. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y Q(5,7).

Solución

Usando la fórmula y sustituyendo:

Ejemplo 19. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos R(

y

Q(5 ,7).

Solución

Usando la fórmula para la pendiente cuando conocemos dos

puntos que pertenecen a la recta:

m=

m=

m=

3R ,2

2


24

Ejemplo 20. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos M(-4,-5) y N(2,3).

Solución

Usando la fórmula y sustituyendo:

=

=

Ejemplo 21. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(5,-3) y Q(-5,7)

Solución

Recuerde que cualquiera de los puntos P o Q puede ser el

punto uno o dos, usando la fórmula y sustituyendo:

Observe la inclinación de la

recta cuando la pendiente es

negativa.


25

Ejemplo 22. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos A(5,7) y B(5,4).

Solución

Usando la fórmula

m=

m=3

Cuando sucede que nos queda una división entre cero, debemos

observar que tenemos una recta vertical, ya que sus abscisas son

iguales, por lo que el ángulo de inclinación de la recta es

y por definición m=tan , esto, es m=tan 90° que queda si

buscamos en las tablas de funciones matemáticas, por lo que

podemos concluir que

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

De lo anterior podemos hacer la siguiente deducción: si dos rectas tienen la misma

inclinación ( ) son paralelas y como la pendiente es la tangente del ángulo de

inclinación, entonces las pendientes de dichas rectas son iguales, lo anterior puede

quedar sintetizado de la siguiente manera:

Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales


26

Estas condiciones son llamadas de paralelismo11.

Las condiciones de perpendicularidad se pueden escribir mediante la siguiente

expresión: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual

a - 1, esto es si una es la recíproca y de signo contrario de la otra, escrito de otra

forma sería así:

Esto es si

o

Cuando se conocen las pendientes de dos rectas que se cortan, el ángulo que se

forma cuando se cortan se puede calcular mediante la expresión:


27

tan =

Donde m2 es la pendiente final y m1 la de la recta inicial esto es en el sentido positivo

del ángulo, vea figura siguiente:

Ejemplo 23. Sean A (-1,1) y B(5,7) dos puntos que pasan por la recta , y D(3,2) y

E(-3,9) los puntos que pertenecen a la recta .

Solución

Es conveniente comenzar por hacer la gráfica, ya que debemos

considerar el sentido positivo del ángulo.


28

Calculemos mAB=

mDE=

mAB=

mDE=

= -

m1=1 m2= -

de acuerdo a la figura

Sustituyendo en la fórmula para calcular el ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan

tan =

tan =

tan =

tan =

tan = 13 Buscar en tablas el valor del ángulo cuya

tangente sea 13

= tan-1(13) En tu calculadora escribe shift tan (13)=

= 85.60° inv tan 13, o segunda función tan (13)

= 85° 36’ teclea DMS o °’” para convertir a grados

minutos y segundos.

Nótese que una vez encontrado el ángulo se pueden conocer

los otros tres ángulos, ya que el opuesto a su vértice es

igual y los otros dos son el suplemento de , ya que son dos

ángulos adyacentes12, por lo que valdrán 180°-85°36’=94°24’


29

Ejemplo 24. Calcular la medida de los ángulos interiores del triángulo ∆ABC cuyos

vértices son las coordenadas A(-2,1), B(3,2) y C(0,6).

Solución

Comencemos por hacer la gráfica:

Obsérvese que los ángulos están siendo considerados en

sentido positivo, esto es, en sentido contrario a las

manecillas del reloj.

Seguiremos con el cálculo de las pendientes, así que usaremos

la fórmula para calcular la pendiente cuando conocemos dos

puntos que pertenecen a la recta:

mAB=

=

mBC=

mCA=

Para calcular usaremos la fórmula:

tan =

aquí m1=mAB y m2=mAC


30

tan

(

)(

)

tan

(

)

3

De la misma forma calculemos

tan =

aquí m1=mBC y m2=mAB

tan

(

)(

)

(

)=64°26’

se puede calcular de la misma forma, o bien, a 180° restar

lo que queda de ya que la suma de los tres ángulos

interiores de un triángulo vale13 180°

3 4 4

Queda por demostrar que con el otro método es lo mismo,

verifícalo.


31

Ejemplo 25. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1), B(4,4) y

C(0,6).

Solución

Podemos usar cualquiera de los tres lados como base, usemos

.

Calculando la distancia entre los puntos A y B

dAB=√ 4 4 =

Si consideramos como la altura del triángulo, tendremos

que calcularla; para ello calculamos primero la distancia

entre los puntos A y C, que es la hipotenusa del ∆APC:

dAC=√ =

Calculemos ahora el ángulo formado entre las rectas y

que llamaremos

d = 26AC

d = 18AB


32

tan =

=

=

(

)=56°18’

Usemos ahora la función trigonométrica seno14 de

sen =

sen 56°18’=

sen 56°18’

4 4

Recordemos que lo que queremos calcular es el área del

triángulo, ya tenemos la base , y la altura 4 4

A=

( )

recordemos que el área se mide en

unidades cuadradas.

2.2. Determinación de las ecuaciones de la recta

En la naturaleza podemos encontrar muchos fenómenos que tienen una relación lineal;

la temperatura y la presión son lineales, la luz viaja en línea recta, un tipo de

movimiento es el rectilíneo uniforme, se pueden hacer análisis de un circuito

electrónico por medio de la recta de carga15. En economía se puede analizar un

mercado con las rectas de la oferta y la demanda. Cuando representamos una relación

de proporcionalidad directa entre dos variables su representación gráfica es una línea

recta. También es usada la línea recta en el modelado, diseño y construcción, como

estos hay muchos ejemplos más en ciencias interesantes como la astronomía,


33

estadística, biología celular, incluso en historia encontramos relaciones lineales del

espacio tiempo.

Desde diferentes enfoques podemos visualizar a la línea recta:

1) Desde uno de los postulados de Euclides: dados dos puntos diferentes pasa una

y solo una recta.

2) Como una ecuación

3) Como un lugar geométrico donde los puntos tienen la misma pendiente

La abordaremos desde el punto 3, y comenzaremos definiendo a la línea recta como el

lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera

P(x,y) y P1(x1,y1) del lugar, el valor de la pendiente m calculado a partir de la fórmula

m=

, con x1 x2

resulta siempre constante.

De acuerdo con esto, si despejamos tendremos:

y-y1 =m(x-x1)

Esta forma es conocida como forma punto pendiente ya que son esos dos los

elementos que se conocen de ella, dicho resultado está expresado en el siguiente

teorema16:

Teorema: la recta que pasa por el punto dado P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m,

tiene por ecuación: y-y1 =m(x-x1).

Comencemos a resolver algunos ejemplos:

Ejemplo 26. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A(1,1) y cuyo ángulo de

inclinación es =45°.

Solución

Recordemos que la pendiente es la tangente del ángulo de

inclinación, por lo que m=tan 45°=1, así con la pendiente


34

calculada y el punto dado A(1,1) usamos la siguiente

ecuación:

y-y1 =m(x-x1)

y-1 =1(x-1)

y-1 = x -1

0 = x-y ó

x-y=0 ecuación de la recta

Ejemplo 27. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5,3) y que tiene una

pendiente con valor de 3.

Solución

Tenemos un punto que es A (5,3) y lo consideramos como

(x1,y1),también conocemos la pendiente m=3, utilizamos la

fórmula:

y-y1 =m(x-x1)

y-3 = 3(x-5)

y-3 = 3x -15

3x-y-12=0 Ecuación de la recta

Ecuación de la recta dados dos puntos


35

Un caso particular de la ecuación de la recta es cuando se conocen dos de sus puntos:

Teorema: La recta que pasa por los dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuación

Nótese que se realiza en la ecuación el cálculo de la pendiente, el lector deberá elegir

entre hacer aparte dicho cálculo, y con un punto y la pendiente obtener la ecuación de

la recta, o en la ecuación anterior elegir cuál es el punto uno y dos, y sustituirlos.

Veamos algunos ejemplos donde la apliquemos.

Ejemplo 28. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por C(-3,-2) y D(2,5).

Solución

Sustituyendo los dos puntos en

tenemos:

y-(-2)=

3

y + 2 =

3 despejando el 5

5(y + 2)=7(x+3)

5y + 10= 7x + 21

7x-5y+11=0 Ecuación de la recta


36

Nota: Otra forma sería calcular la pendiente con la fórmula

m=

, y usar uno de los puntos, se obtiene el mismo

resultado, queda como reto al lector verificarlo.

Ejemplo 29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(4,1) y es paralela a la recta que

pasa por los puntos C(1,1) y D(3,3).

Solución

Llamaremos a la recta que pasa por CD y a la recta que

pasa por el punto A (4,1).

Como las pendientes son iguales, así que comencemos por

calcular la pendiente m1.

m1=

m2=1

sustituyendo en

A(4,1) y m2, tenemos:

y-1 = 1(x-4)


37

x-y-3=0 Ecuación de la recta

Ejemplo 30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (2,1) y que es perpendicular

con la recta que pasa por E(-1,1) y F(3,4).

Solución

Comenzaremos calculando mEF

mEF=

como las rectas son perpendiculares, entonces:

mA= -

por las condiciones de perpendicularidad

con esta pendiente y el punto por donde pasa la recta

,A(2,1) tenemos al sustituir en la ecuación de la recta de

la forma punto pendiente:

y-1=

(x-2)

3y-3=-4x+8

4x+3y-11=0 Ecuación de la recta buscada


38

Ejemplo 31. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los

puntos G (2,-3) y H(6,2).

Solución

Recordemos que una mediatriz es una recta perpendicular que

pasa por el punto medio de un segmento.

Calculemos las coordenadas del punto medio del segmento

x=

y=

x=

4 y=

Punto medio (4,

Calculemos ahora la pendiente del segmento

mGH=

mmediatriz=-


39

usando la fórmula punto

pendiente tenemos:

y-(-

=-

4

5(y+

= -4(x-4)

5y +

=-4x+16

4x+5y-

Todo por 2 8x+10y-27=0 Ecuación de la recta

Ejemplo 32. Sean A(-3,-3), B(4,-2) y C(1,5) los vértices de un triángulo, hallar la ecuación

de la mediana del lado AB:

Solución

Recordemos que la mediana es un segmento de recta que va del

punto medio al vértice de su lado opuesto.

Comencemos por encontrar las coordenadas del punto medio de

:

A(-3,-3) y B(4,-2)

x=

y=

x=

y=

Punto medio (

,


40

Ahora hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por

este punto medio y por el vértice C(1,5).

Calculemos primero la pendiente:

m=

Así tenemos un punto que puede ser C(1,5) y m=15

Sustituyendo en

y-5= 15(x-1)

y-5=15x-15

15x-y-10=0 Ecuación de la mediana

La gráfica es muy importante hacerla desde el inicio del

ejercicio, ya que nos ubica cuáles puntos son los que deben

considerarse.


41

Ejemplo 33. Sea el triángulo ∆PQR con P (-3,2), Q(0,-3) y R(4,5), hallar la ecuación de la

altura del lado PQ.

Solución

Recordemos que una altura es el segmento perpendicular que va

del vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Para encontrar la ecuación de la altura tenemos ya un punto

R(4,5) y al ser perpendicular con el lado opuesto la

pendiente será inversa y de signo contrario que la pendiente

que se obtenga del lado PQ, calculemos mPQ

=

mR=

con esta pendiente y el punto R(4,5)

y-5 =

4

5y-25=3x-12

3x-5y+13=0 Ecuación de la altura


42

Ejemplo 34. Hallar la ecuación de la recta que tiene una pendiente m=

y que pasa por

el punto de intersección de las rectas : 7x+4y=13 y : 5x-2y=19.

Solución

Recordemos que al resolver un sistema de ecuaciones

geométricamente estamos encontrando el punto de intersección

o punto común de las dos rectas, algunos métodos que se

vieron en cursos anteriores pueden ser aplicados; el método

de igualación, sustitución, reducción o determinantes;

nosotros usaremos el método de igualación que consiste en

despejar la misma variable de ambas ecuaciones e igualar los

resultados.

{ 4 3

x=

x=

Igualando

Despejando 5(13-4y)=7(19+2y)

65-20y=133+14y

65-133=14y+20y

-68=34y

-

= y

y=-2


43

Sustituyendo y=-2 en cualesquiera de los despejes de x,

tenemos:

x=

x=

3

Se concluye que el punto de intersección de las rectas 1 y 2

es (3,-2) y conocemos la pendiente de la recta 3 m=

sustituyendo en

y-(-2)=

3

3y+6 = 2x-6

2x-3y-12=0 ecuación de


44

Te preguntarás cómo se trazaron las gráficas de las rectas hasta ahora, una forma

práctica es identificar dónde cortan a los ejes, y ver qué condiciones se cumplen ahí,

esto es cuando cortan al eje X y=0, y cuando cortan al eje Y x=0, veamos un ejemplo:

Ejemplo 35. Indicar las intersecciones de la recta 4x+5y+20=0 con los ejes de

coordenadas.

Solución

Hacemos y=0 en la ecuación 4x+5(0)+20=0

4x=-20

X=-5 (-5,0) son las coordenadas

donde corta al eje X

Hacemos x=0 en la ecuación 4(0)+5y+20=0

5y=-20

y=-4 (0,-4) son las

coordenadas donde corta al eje Y


45

Ecuación de la recta forma pendiente ordenada al origen

Hemos visto algunos ejemplos de cómo obtener la ecuación de la recta cuando se

conocen un punto y la pendiente y dos puntos, veamos ahora cómo encontrarla cuando

lo que se conoce es dónde corta al eje de las Y (ordenada al origen b) y su pendiente

m.

Observe que al conocer dónde corta al eje Y (ordenada al origen b) se conoce la

coordenada de dicho punto, ya que su abscisa es cero, esto es (0,b) y si conocemos la

pendiente m podemos sustituir en:

y tendremos

y – b =m(x-0)

y – b = mx

y= mx+b Forma pendiente ordenada al origen

Resolvamos algunos ejemplos para utilizar dicha fórmula:

Ejemplo 36. Encontrar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es b=2 y su

pendiente es m= - 2.

Solución

Sustituyendo en

y=-2x+2 o bien


46

2x+y-2=0 Ecuación de la recta

Ejemplo 37. Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de 3x+y-3=0.

Solución

Para encontrar los elementos pedidos llevemos la ecuación a la

forma:

3x+y-3=0

y=-3x+3

m=-3 y b=+3


47

Ejemplo 38. Hallar la intersección con el eje de las ordenadas Y, y la pendiente m de la

recta cuya ecuación es 3x+6y-18=0.

Solución

Despejando y en la ecuación 3x+6y-18=0

y=-

3

De aquí se concluye que corta al eje Y en +3 o (0,3)

Forma simétrica de la ecuación de la recta

Recordemos que b representa a la ordenada al

origen o punto de intersección donde la recta corta

al eje Y, de la misma forma hay un punto de

intersección de la recta con el eje X, que

llamaremos abscisa al origen y la denotaremos con

la letra a, observe la figura:

Estos dos cortes en realidad también son dos


48

puntos que pertenecen a la recta (0,a) y (0,b), si utilizamos

y calculamos la

pendiente de la recta tendremos m=

tomando un punto cualesquiera y dicha

pendiente, los podemos sustituir en y tendremos:

y-b=

(x-0)

ay-ab= -bx

bx +ay=ab dividiendo todo entre ab

esta es la ecuación de la recta en su

forma simétrica.

Resolvamos algunos ejemplos:

Ejemplo 39. Hallar la ecuación de la recta que corta a los ejes X y Y en 5 y 3

respectivamente.

Solución

Observe que a=5 y b=3

Sustituyendo en

tenemos

3x+5y=1(15)

3x+5y-15=0 Ecuación de la recta


49

Ejemplo 40. Hallar las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuación es:

4x-3y-12=0

Solución

Llevemos la ecuación a la forma simétrica

4x-3y-12=0

4x–3y= 12

Todo entre 12

-

+

a=3 y b=-4


50

Ejemplo 41. Hallar las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuación es:

5x+10y-20=0

Solución

Llevemos la ecuación 5x+10y-20=0 a la forma simétrica

Todo entre 20

a=4 y b=2

Nota: recuerde que podría

hacer x=0 y y=0, sustituir

cada uno en la ecuación y

obtener las intersecciones

con los ejes.


51

Ecuación general de la recta

En todos los ejemplos donde se pidió encontrar la ecuación de la recta se llegó a la

forma Ax + By + C=0 donde A,B y C Є , esta es llamada la forma general de la recta.

Un ejercicio interesante es a partir de la ecuación general de la recta obtener las

formas particulares de la ecuación de la recta, comenzaremos por obtener la forma

simétrica, para esto dividimos la ecuación entre – C, esto es:

Ax +By + C=0

Ax + By= -C

que es la forma simétrica y de aquí se

deduce:

y

Ahora obtengamos la forma pendiente ordenada al origen:

En Ax +By +C=0 despejamos y:

y =

forma pendiente ordenada al origen, se deduce:

m=

y se comprueba que b=

De lo anterior se puede resumir que si tenemos la ecuación general de la recta

Ax +By + C=0

Su pendiente, abscisa al origen y ordenada al origen son respectivamente:

,

y

A continuación resolveremos algunos ejercicios donde los aplicaremos.


52

Ejemplo 42. Encontrar el valor de la pendiente, la abscisa al origen y la ordenada al origen

de la recta cuya ecuación es 2x-y-4=0.

Solución

La ecuación 2x-y-4=0 y Ax +By + C=0 se corresponden

A=2,B=-1 y C=-4, sustituyendo en m=

, a=

y b=

Tenemos:

m=

a=

=2 y b=

4

Ejemplo 43. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3,3) y es paralela con la recta

4x+3y-12=0.

Solución

Para graficar obtenemos a y b y tendremos a=3 y b=4 además

m=

como la recta pasa por (3,3) y es paralela con

34x + 3y-12=0 tienen la misma pendiente su pendiente es m=


53

Usando la fórmula para la ecuación de la recta en la forma

punto pendiente , tenemos:

y-3 =

3

3y-9 =-4x+12

4x + 3y-21=0 Ecuación buscada

Forma normal de la ecuación de la recta

Esta ecuación se obtiene cuando se conocen la

distancia del origen de coordenadas a la recta

perpendicular o normal, de ahí viene su nombre, y

el ángulo de inclinación .


54

La ecuación de se puede obtener porque tenemos un punto que pertenece a dicha

recta Q(x,y) y su pendiente es la inversa y de signo contrario a la de P, así que

calculemos primero mP=tan =

si trazamos las proyecciones a los ejes

tenemos un triángulo rectángulo donde calculando las funciones trigonométricas sen

y cos tenemos:

sen =

despejando y , y=p sen cos =

despejando x, x=p cos

sustituyendo en el valor de la pendiente tenemos:

mP=tan =

con esta pendiente y

Q(x,y)=Q(pcos en tenemos:

y- psen =

y sen -psen2 = xcos +pcos2

xcos + ysen -psen2 pcos2 =0

factorizando p xcos + ysen p(sen2 + cos2)=0

pero sen2 +cos2 =1, xcos + ysen =0

es la forma normal de la ecuación de la recta.

Veamos un ejemplo de cómo obtener la ecuación en su forma normal:

Ejemplo 44. Hallar la ecuación de la recta que tiene una distancia p=6 al origen de

coordenadas y su ángulo de inclinación =30°.

Solución

Sustituyendo p=6 y =30° en xcos + ysen -p=0 tenemos:

xcos30°+ysen30°-6=0


55

x(

)+y(

-6=0

x +

-6=0 todo por 2

3x+y-12=0

Transformación de la forma general a la forma normal de la ecuación de la recta

Veamos ahora el proceso de transformar la ecuación general de la recta Ax+By+C=0 a la

forma normal xcos +ysen -p=0.

Si las dos ecuaciones representan a la recta sus coeficientes son proporcionales, esto es:

Cos = sA (1)

Sen = sB (2)

- p= sc (3)

s representa una constante de proporcionalidad, que es la que calcularemos. Si elevamos

(1) y (2) al cuadrado y los sumamos tendremos:

cos2 =s

2A

2

sen2 =s

2B

2

cos2 + sen

2 = s

2A

2+ s

2B

2

cos2 + sen

2 = s

2 (A

2 + B

2) factorizando

1= s2(A

2+ B

2)

= s

2


56

Así concluimos que cos =sA=

, sen = sB=

y p=

Observe que entonces para pasar de la forma general a la normal de la ecuación de una

recta debemos dividir entre , el signo que se elija dependerá del signo del

término independiente, ya que la distancia no puede ser negativa.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 45. Transformar la ecuación de la recta dada en su forma general 3x+2y+12=0, a

su forma normal.

Solución

A=3, B=2 y C=12 calculemos primero =√ 3 = 3

Aquí el término independiente tiene signo positivo, por lo

que tomaremos el signo – de la raíz, - 3

Dividamos toda la ecuación 3x+2y+12=0 entre 3

esta es la forma normal

Donde cos =

, sen =

y p=

Ejemplo 46. Transformar la ecuación general de la recta 3x+y-12=0.

Solución

Los coeficientes A= 3 , B=1 y C=-12

√ 3 = 3 4 = 2


57

Dividiendo cada término entre 2

3

cos =

sen =

y p=6

Ejemplo 47. Calcular la distancia al origen de las coordenadas de la recta que está

expresada en su forma normal:

.

Solución

De la ecuación se deduce que

cos =

=cos-1(

)

= 30°

También puede ser con

sen =

, =sen

-1(

) , = 30°, p=6

Una aplicación de esta transformación es el cálculo de la distancia de un punto (x1,y1) a

una recta dada en su forma general Ax+By+C=0

Solo se debe sustituir las coordenadas del punto (x1,y1) en la ecuación Ax1+By1+C, esto

es:


58

Con ésta ecuación se debe tener cuidado en la elección del signo, se sugiere trazar la gráfica

y el punto en el plano cartesiano, observar lo siguiente; si el punto y el origen de

coordenadas están del mismo lado de la recta poner el signo menos, y si el punto y el origen

de coordenadas están en distinto lado de la recta, poner el signo positivo, ver el ejemplo

siguiente.

Ejemplo 48. Calcular la distancia del punto P(3,4) a la recta 5x+4y-4=0

Solución

Hacemos primero la gráfica

Sustituyendo en

√

4

Observe que tomamos el signo positivo porque el punto y el

origen están en distinto lado de la recta.

Los ejemplos anteriores te sirven de base para resolver los

siguientes problemas propuesto.


59

2.3. Problemario

1. Calcular la longitud de los segmentos cuyos extremos son los puntos:

1.2. A(1,3),B(4,3)

1.2. C(4,1),D(4,5)

1.3. E(1,1),F(4,3)

1.4. G(

3 H(

2. Calcular la distancia del origen de coordenadas al punto:

2.1. A(3,5)

2.2. B(-2,5)

2.3. C(-3,-4)

2.4. D(5,-4)

3. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son:

3.1. A(-3,-4),B(3,0),C(-2,3)

3.2. A(5,0),B(0,3),C(0,-3)

4. Calcular el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son los siguientes puntos:

4.1. A(1,2),B(0,-2),C(5,-1),D(7,4)

4.2. A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3)

5. Comprueba que los triángulos formados por los vértices que se indican son triángulos

rectángulos.


60

5.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)

5.2. A(-5,0),B(0,0),C(0,7)

6. Indica si los triángulos formados por los vértices dados son isósceles, escaleno o

equilátero:

6.1. A(-2,6), B(3,0),C(6,3)

6.2. A(-4,10), B(-4,-4),C(3,3)

7. Calcula el área de los siguientes triángulos rectángulos cuyos vértices son los siguientes

puntos:

7.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)

7.2. A(-5,0),B(0,0),C(0,7)

8. Calcula el área del círculo de diámetro, el segmento cuyos extremos son los puntos

siguientes, (considere =3.14):

8.1. A(0,4),B(3,7)

8.2. A(2,1),B(4,3)

9. Calcula el área de la circunferencia cuyo radio es el segmento formado por los puntos

dados:

9.1. A(0,4),B(3,7)

9.2. A(2,1),B(5,7)

10. Si la longitud de un segmento es 5 y las coordenadas de uno de sus extremos es B(0,-2).

Calcular la ordenada del otro extremo si su abscisa es 0 (dos soluciones).


61

11. Si la distancia de un punto al origen de coordenadas es 7 y la abscisa del punto es 5,

calcular su ordenada. Dos soluciones.

12. Calcula la pendiente de las rectas siguientes cuando conocemos dos puntos que

pertenecen a ellas:

12.1. A(2,3),B(-3,-7)

12.2. C(-3,5),D(4,3)

13. Comprueba usando pendientes que los siguientes triángulos son rectángulos.

(sugerencia: calcula las pendientes de los dos catetos y usa las condiciones de

perpendicularidad).

13.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)

13.2. A(-5,0),B(0,0),C(7,0)

14. Comprueba usando pendientes que los tres puntos que se indican son colineales, es

decir, están sobre la misma recta.

(sugerencia: dAB + dBC = DAC)

A(-4,-4),B(-1,-1),C(3,3)

15. Calcula cada uno de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos

que se indican A(2,2), B(6,3), C(1,5).

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto que se indica y tiene de pendiente el

valor indicado:

16.1. A(2,3) m=3

16.2. B(5,6) m=

16.3. C((

) m=

16.4. D(-3,-2)m=-4


62

16.5. E(3

)m=-

17. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:

17.1. A(2,3),B(5,7)

17.2. C(-1,2),D(5,-4)

17.3. E(

F(5,8)

17.4. G(3,-4),H(-6,6)

18. Hallar el valor de la pendiente, la abscisa y ordenadas al origen de las siguientes rectas:

18.1. 4x-7y-28=0

18.2. 2x-6y-14=0

18.3. x-3y+6=0

18.4. 2x-3y-5=0

19. Encontrar al ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

: 3x-y-2=0 & 2x+3y-5=0 y que es paralela a la recta : 4x+y-7=0

20. Calcula el área del triángulo que forman los ejes de coordenadas y la recta:

2x-7y-14=0 al cortarlos.

2.4 Autoevaluación

1. Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,4) y

C(2,7)

2. Calcula la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación es 60°

3. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos C(-3,-2) y D(2,4)


63

4. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2,4) y es perpendicular con la

recta : 3x+6y-12=0

5. Una carga eléctrica está en la posición A(0,2) en un determinado momento y

viaja paralela a la trayectoria marcada por la recta que pasa por los dos puntos

siguientes: B(0,-3) y C(2,0), encontrar la ecuación de la recta por la cual viaja la

carga eléctrica.

6. Encontrar la ecuación general de la recta que corta en 5 y -4 a los ejes X y Y

respectivamente

7. Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje Y en 4 y cuya pendiente es m=-5

8. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal sabiendo que la distancia del

origen de coordenadas es 1 y el ángulo de inclinación =60°

2.5. Conclusión

Este fue un acercamiento al cálculo de distancias entre dos puntos, la pendiente de

una recta, el ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan, la recta y sus distintas

formas de obtenerla y graficarla, te invito a que profundices más en el tema tan

apasionante y busques problemas que impliquen mayor análisis, así como su aplicación

en las distintas ciencias, ya que aquí se te ofrece una visión superficial del tema, queda

como reto del lector profundizar más en el tema y practicarlo.


64


1.1. d=|x2-x1|=|4-1|=3

1.2. d=|y2-y1|=|5-1|=4

1.3. d=√ 4 3 =√ 3 = 4 3

1.4. d=√

3

=√

=√

√

4

2.1. d=√ 3 =√ 3 = 34

2.2. d=√ =√ = 4

2.3. d=√ 4 3 =√ 4 3 = =5

2.4. d=√ 4 =√ 4 = 4

3.1. dAB= , dBC= 34 , dCA= p= + 34+ =20.11

3.2. dAB= 34 , dBC=6 , dCA= 34 p= 34+ 6 +4=16.66

4.1. dAB= , dBC= , dCD= dDA= 4 p= + 6 + 4 =20.68

4.2. dAB=4 , dBC=3 , dCD=4 dDA=3 p=4+3+4+3=14

5.1. Calcularemos los 3 lados y comprobaremos que cumplen con el teorema de Pitágoras,

el cual solo se aplica a triángulos rectángulo.

dAB= , dBC= , dCA= recordemos que la hipotenusa es el lado mayor

Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)2=(cateto)

2+(cateto)

2

(

)2 = ( )

2 + ( )

2


65

26 = 8 + 18

26 26 el triángulo es rectángulo

5.2. Calcularemos los 3 lados y comprobaremos que cumplen con el teorema de Pitágoras,

el cual solo se aplica a triángulos rectángulo.

dAB=5 , dBC=7 , dCA= 4 recordemos que la hipotenusa es el lado mayor

Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)2=(cateto)

2+(cateto)

2

( 4

)2 = (5)

2 + (7)

2

74 = 25 + 49

74 74 el triángulo es rectángulo

6.1. dAB= , dBC= , dCA= 3 el triángulo es escaleno

6.2. dAB=14 , dBC= , dCA= el triángulo es isósceles

7.1. dAB= , dBC= , dCA= A=

( )

u

2

7.2. dAB=5 , dBC=7 , dCA= 4 , A=

u

2

8.1. dAB= ,que es el diámetro, el radio r=

A= =(3.14)(

=14.13 u

2

8.2. dAB= ,que es el diámetro, el radio r=

A= =(3.14)(

=6.28 u

2

9.1. dAB= ,que es el radio r=

A= =(3.14)(

=14.13 u

2

9.2. dAB= 4 ,que es el radio r= 4 A= =(3.14)( 4 =141.3 u2

10. y=3


66

11. Los puntos son A (5,4.89) y A’ (5,-4.89)

12.1.

=

12.2.

=

13.1 Será suficiente y necesario encontrar dos pendientes inversas y de signo contrario, ya

que garantiza por las condiciones de perpendicularidad que los dos lados son

perpendiculares y esto significa que forman un ángulo recto.

mAB=1 y mAC=-1 por lo tanto es rectángulo

13.2. Será suficiente y necesario encontrar dos pendientes inversas y de signo contrario, ya

que garantiza por las condiciones de perpendicularidad que los dos lados son

perpendiculares y esto significa que forman un ángulo recto.

Cuando observamos puntos podemos ver que BC es un segmento vertical (eje y) y desde

ahí se deduce que su ángulo de inclinación es de 90° el triángulo es rectángulo.

14.

dAB = , dBC= 3 , dAC = , = + 3 son colineales

15. =35°50’, 49°45’, = 94°25’

16.1. 3x-y-3=0

16.2. 3x-2y-3=0

16.3. 6x-24y+5=0

16.4. 4x+y+14=0

16.5. 2x + 10y -11=0


67

17.1. 4x-3y+1=0

17.2. x+y-1= 0

17.3. 46x-27y-14=0

17.4. 10x+9y+6=0

18.1.m=

=

, a=

=

y b=

4

18.2. m=

=

,a=

=

y b=

18.3. m=

=

, a=

=

y b=

18.4. m=

=

, a=

=

y b=

19. 28x+7y+7=0 ecuación de

20. a=7 b=-2 A=


68

2.7. Respuestas autoevaluación

1. P=13.8u

2. m= 3

3. m=

4. : 2x-y=0

5. 3x-y+4=0

6. 4x-5y-20=0

7. 5x+y-4=0

8. x + 3y-2=0


69

Referencias y notas

1 B. Bergua, Juan (1995). Pitágoras. Madrid: Fareso. Recuperado 1 de julio de 2011, de

http://books.google.com/books?id=7XV6_BL448IC&pg=PP1&dq=B.+Bergua+Pit%C3%A1goras&hl=es&ei=2lczTpLVEcTFsQKnvOmAAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&sqi=2&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false 2 Strathern Paul (1999) Pitágoras y su teorema: México: Siglo XXI. Recuperado 1 de julio de 2011, de

http://books.google.com/books?id=hKYVu3VaWtMC&printsec=frontcover&dq=Strathern+Paul.+Pit%C3%A1goras++y+su+teorema&hl=es&ei=wlgzTtPfGtGpsAKAirH1Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false 3 |x|={x si x>0, -x si x<0

4 Fórmula: Expresión algebraica que por medio de letras y números representa una ley o principio

5 Otra forma de demostrar que es un triángulo rectángulo es calculando los ángulos interiores, y mostrando

que tiene un ángulo recto 6 Pierce Banjamín (2009). Genética: un enfoque conceptual. Madrid: Médica panamericana. Recuperado 1 de

julio de 2011, de http://books.google.com/books?id=ALR9bgLtFhYC&pg=PR18&dq=Pierce+Banjam%C3%ADn.+Gen%C3%A9tica:+un+enfoque+conceptual&hl=es&ei=aFkzToT0ELOssALbt8TxCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false 7 Cuando se encuentran en el mismo par de cromosomas homólogos

8 Las distancias en los mapas genéticos se miden en unidades de mapa, que se abrevia u.m.

9 P.R. Krugman, R. Wells (2007). Introducción a la economía: Macroeconomía. Barcelona: Reverté

Recuperado 1 de julio de 2011, de http://books.google.com/books?id=9kuFd0Hb8T0C&printsec=frontcover&dq=R.+Krugman+Paul.+(2007).+Introducci%C3%B3n+a+la+econom%C3%ADa:+Macroeconom%C3%ADa&hl=es&ei=ClozTsGbD6-HsAL9-NCCCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false 10

May Moreno, José A. (2003). Matemáticas 3: trigonometría y geometría analítica básicas. México: Progreso. Recuperado 1 de julio de 2011, de http://books.google.com/books?id=Tc_kpOcit2UC&pg=PP2&dq=May+Moreno+Jos%C3%A9+Alberto.+(2003).+Matem%C3%A1ticas+3:Trigonometr%C3%ADa+y+Geometr%C3%ADa+Anal%C3%ADtica+Basicas&hl=es&ei=o1ozTrWVEsz_sQK0oYGACw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false 11

Pimienta P., Julio H.; et al. (2006). Matemáticas II: un enfoque constructivista. México: Pearson Recuperado 1 de julio de 2011, de http://books.google.com/books?id=zLvNO4rTR6IC&pg=PA251&dq=Pimienta+P.+Julio+Herminio+(2006).+Matem%C3%A1ticas+II:+un+enfoque+constructivista&hl=es&ei=dlszTu2dHsnlsQKCn-n3Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q&f=false 12

Teorema: Dos ángulos adyacentes son suplementarios, es decir suman 180°

http://books.google.com/books?id=7XV6_BL448IC&pg=PP1&dq=B.+Bergua+Pit%C3%A1goras&hl=es&ei=2lczTpLVEcTFsQKnvOmAAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&sqi=2&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false



http://books.google.com/books?id=hKYVu3VaWtMC&printsec=frontcover&dq=Strathern+Paul.+Pit%C3%A1goras++y+su+teorema&hl=es&ei=wlgzTtPfGtGpsAKAirH1Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false



http://books.google.com/books?id=ALR9bgLtFhYC&pg=PR18&dq=Pierce+Banjam%C3%ADn.+Gen%C3%A9tica:+un+enfoque+conceptual&hl=es&ei=aFkzToT0ELOssALbt8TxCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false



http://books.google.com/books?id=9kuFd0Hb8T0C&printsec=frontcover&dq=R.+Krugman+Paul.+(2007).+Introducci%C3%B3n+a+la+econom%C3%ADa:+Macroeconom%C3%ADa&hl=es&ei=ClozTsGbD6-HsAL9-NCCCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false



http://books.google.com/books?id=Tc_kpOcit2UC&pg=PP2&dq=May+Moreno+Jos%C3%A9+Alberto.+(2003).+Matem%C3%A1ticas+3:Trigonometr%C3%ADa+y+Geometr%C3%ADa+Anal%C3%ADtica+Basicas&hl=es&ei=o1ozTrWVEsz_sQK0oYGACw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false




http://books.google.com/books?id=zLvNO4rTR6IC&pg=PA251&dq=Pimienta+P.+Julio+Herminio+(2006).+Matem%C3%A1ticas+II:+un+enfoque+constructivista&hl=es&ei=dlszTu2dHsnlsQKCn-n3Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q&f=false




70

13

Teorema: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale dos ángulos rectos es decir 180° 14

Función trigonométrica sen x= cateto opuesto /hipotenusa 15

Gabiola, Francisco J.; et al. (2007) Análisis y diseño de circuitos electrónicos analógicos. Teoría y Ejercicios Resueltos. Madrid:Visión Libros. Recuperado1 de julio de 2011, de http://books.google.com/books?id=BUT9ljPgjRUC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false 16

Teorema: proposición que puede ser demostrada

http://books.google.com/books?id=BUT9ljPgjRUC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

http://books.google.com/books?id=BUT9ljPgjRUC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false


i


1

3.1. La circunferencia como lugar geométrico

Las cónicas

Las cónicas también son citadas como secciones cónicas1, estas son parte

fundamental de la geometría analítica2,las cuales quedan definidas al hacer un corte

en un cono circular recto con un plano1,3,4, dando como resultados diferentes curvas,

como pueden ser la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola5, estas generalmente

quedan representadas por ecuaciones de segundo grado6. Al griego Menecmo se le

acredita el descubrimiento de las cónicas5 y al matemático Apolonio de Perga el estudio

de las características geométricas de las mismas2,5.

La clasificación de las cónicas de acuerdo a los cortes en el cono circular recto por el

plano son las siguientes:

Fig. 1. Las cónicas

Circunferencia

Uno de los elementos más importantes en la geometría que se utilizan en nuestra vida

cotidiana es la circunferencia. Con la invención de la rueda se dio inicio a toda la

tecnología de hoy en día, es un invento genuinamente humano.

El matemático Griego Apolonio de Pergamo (262-190 a. de C.) estudió las propiedades

geométricas de las secciones cónicas, pero este estudio fue perfeccionado por los

matemáticos Franceses Pierre Fermat y René Descartes, considerados los padres de la

Geometría Analítica7.


2

La circunferencia se obtiene cuando a un cono recto se le hace un corte perpendicular

a su eje, por un plano, la curva obtenida es una circunferencia1,8.

Fig. 2. La circunferencia como cónica

La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistan de un

punto fijo en el plano, llamado centro9.

El punto fijo se le llama centro de la circunferencia, lo denotaremos con C(h,k).

El segmento que forma el centro y el punto P(x,y) se llama radio (r), como se muestra en la

figura3.

Fig. 3. La circunferencia


3

El círculo es la superficie que se encuentra en el interior de la circunferencia10

.

Fig. 4. El círculo

Observa que hay diferencia entre circunferencia y círculo, generalmente con el primero nos

referimos al perímetro (borde externo) y con el del círculo a la superficie (dentro del

borde). Por ejemplo, un anillo es una circunferencia y la pupila de tus ojos es un círculo1.

Fig. 5. La circunferencia y círculo

Lo anterior nos indica que una circunferencia y un círculo no son lo mismo.

Elementos de la circunferencia.

Centro: Es un punto fijo que equidista de cualquier punto de la circunferencia.


4

Fig. 6. El centro de la circunferencia

Radio( r ): Es el segmento que une el centro C(h,k) de la circunferencia, con cualquier

punto P(x,y) de ella.

Fig. 7. El radio de la circunferencia

Diámetro: Es el segmento que está formado por dos puntos de la circunferencia y que

además su punto medio es el centro. También es considerado una cuerda.


5

Fig. 8. El radio de la circunferencia

Cuerda: Es cualquier segmento cuyos extremos tocan dos puntos de la circunferencia.

Fig. 9. Cuerda de la circunferencia

Secante: Es la recta que atraviesa la circunferencia en dos puntos.

Fig. 10. Secante de la circunferencia


6

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia solo en un punto.

Fig. 11. Tangente de la circunferencia

Arco de circunferencia: Es el segmento de circunferencia determinado por dos puntos

consecutivos sobre la misma.

Fig. 12. Arco de circunferencia

La siguiente figura muestra los elementos de la circunferencia antes mencionados


7

Donde:

Arco de circunferencia

Recta secante

Diametro

Punto C= Centro

radio

Cuerda

recta tangente

AB

AB

FG

HC

IJ

AB

Fig. 13. Elementos de la circunferencia

Ejemplo 1. Analiza las siguientes imágenes y clasifícalas según consideres sea su forma

de un círculo o circunferencia:

No. Imagen Círculo o circunferencia

1

Barandal

2

Cinta

3

Llantas de la bicicleta

4

Llantas de auto

5

Tarja

6

Volante


8

7

Galleta

8

Parche del bongó

9

Reloj

10

Monedas

Solución

(1) circunferencia (2) circunferencia (3) circunferencia (4) circunferencia

(5)circunferencia (6) circunferencia (7) círculo (8)círculo (9)círculo (10)círculo

Ejemplo 2. Identifica cada uno de los elementos de la circunferencia de la siguiente figura:

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________


9

Solución

arco de circunferencia

recta secante

diámetro

diámetro

radio

cuerda

recta tangente

cuerda

HL

DE

LY

C

CG

IJ

BK

FH

Ejemplo 3. Identifica cada uno de los elementos de la circunferencia de la siguiente figura:

Solución

rco de circunferencia

iámetro

Punto M= centro

radio

uerda

JL a

LB DG AJ d

MG MJ ML MD MA MB

DA LB AJ DG EG BJ LE c


10

3.2. Ecuaciones de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal

manera que está siempre a la misma distancia de un punto fijo llamado centro1,2,3.

Fig. 14. La circunferencia

Para encontrar la ecuación de la circunferencia, se utiliza la fórmula de la distancia

entre dos puntos11, considerando que los dos puntos quedan representados por C(h,k)

centro y P(x,y)un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia, la longitud del

segmento formado por estos dos puntos se denomina radio1 (r).

Consideremos el caso particular que el centro se encuentra en el origen de las

coordenadas y P(x,y) es un punto cualquiera de la circunferencia.

Fig. 15. La circunferencia con centro en el origen


11

La condición geométrica es

Al sustituir en la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que

√

√

O bien, x2 + y2= r2

Observe que en esta ecuación x y y representan a cualquier punto y que esta fórmula

solo puede usarse cuando la circunferencia tiene su centro en el origen de las

coordenadas, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a

3.

Solución

Sustituyendo en la ecuación x2 + y

2= r

2 tenemos:

x2 + y

2= (3)

2

x2 + y

2-9=0

esta es la ecuación de la circunferencia pedida.


12

Ejemplo 5. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el

punto P (3,4).

Solución

Nótese que necesitamos dos datos, dónde está su centro y cuál es su radio, en éste

caso no nos indican cuál es el radio pero podemos calcularlo ya que es la distancia del

origen al punto P.

√

√

√

Una vez obtenido el radio y con centro en el origen tenemos que

x2 + y2= r2

x2 + y2= (5)2

x2 + y2= 25

x2 + y2-25=0 Ecuación que nos pedían encontrar.

Ejemplo 6. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que es

tangente a la recta 4x+5y-20=0


13

Solución

Para resolver el problema debemos tener el radio, que es la distancia del punto

C(0,0)=(x1,y1) a la recta, usamos la fórmula para calcular la distancia de un punto a

una recta:

√

r=

√

r=

√

r=

√ =

√

Una vez encontrado el radio sustituimos en la fórmula

x2 + y2= r2

x2+y2=(

√ )

x2+y2=

x2 + y2-

se multiplica todo por 41

41x2+41y2-400=0 Ecuación pedida.

Calculemos ahora la ecuación de la circunferencia cuando su centro está fuera del

origen en C(h,k) y pasa por un punto cualquiera P(x,y)


14

Fig. 16. La circunferencia con centro fuera del origen

Por la condición geométrica tenemos que

2 2 2

2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

Observe que dicha distancia es el radio

d=r

P (x ,y )=C(h,k)

P(x ,y )=P(x,y)

Al hacer estos cambios, nos queda la ecuación de la

siguiente manera:

( ) ( )

Nos da como resultad

d x x y y

r x h y k

o la ecuación ordinaria o forma canónica

de la circunferencia con centro C(h,k) y radio r.

Ecuación ordinaria o canónica 2 2 2

( ) ( )r x h y k

Obsérvese ahora que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos las

coordenadas del centro y el radio r.

Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(3,4) y radio

r=4.

Solución

Sustituyendo en la ecuación ordinaria

(x-h)2+(y-k)

2=r

2


15

(x-3)2+(y-4)

2=(4)

2

(x-3)2+(y-4)

2=16

esta es la forma ordinaria de la ecuación de la

circunferencia.

Si desarrollamos los binomios tenemos:

x2-6x+9+y

2-8y+16-16=0

Ordenando x2+y

2-6x-8y+9=0

esta última ecuación recibe el nombre de ecuación general de

la circunferencia.

Ecuación general de la circunferencia

Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia obtenemos la ecuación en forma

general:


16

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )

Desarrollamos cada binomio presente

2 2

Igualamos a cero la ecuación

2 2 0

Organizando los terminos semejantes

2 2 0

Consideran

r x h y k

r x xh h y yk k

x xh h y yk k r

x y xh yk h k r

2 2 2

2 2

do los siguiente cambios de variables

2 , 2 ,

Tenemos la fórmula general de la circunferencia:

x 0

D h E k F h k r

y Dx Ey F

Ecuación general de la circunferencia 2 2x 0y Dx Ey F

Veamos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior.

Ejemplo 8. Identifica el centro y el radio de la circunferencia partiendo de la siguiente

ecuación y obtén su gráfica: 2 2( 1) ( 1) 10x y

Solución

2 2 2

2

Partiendo de la ecuación canónica de la circunferencia

( ) ( )

Tenemos que h=-1 y k=-1

10

10

Por lo anterior, el centro de la circunferencia es C(-1,-1)

y el radio 10.

Su gráfica:

x h y k r

r

r

r


17

Ejemplo 9. Calcula el centro y el radio de la circunferencia partiendo de la siguiente

ecuación y además obtén su gráfica: 2 2( 3) ( 3) 25x y

Solución

2 2 2

2

Partiendo de la ecuación canónica de la circunferencia

( ) ( )

Tenemos que h=3 y k=-3

25

25

5

Por lo anterior, el centro de la circunferencia es C(3,-3)

y el radio 5.

Su grafica:

x h y k r

r

r

r

r

r= 10


18

Ejemplo 10. Traza su gráfica e identifica el centro y el radio de la circunferencia partiendo

de la siguiente ecuación: 2 210 2 21 0x y x y

Solución

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

Completamos los binomios al cuadrado para convertir la

ecuación general de la circunferencia a forma canónica .

10 2 21 0

10 (5) 2 (1) 21 (5) (1)

( 5) ( 1) 5

( ) ( ) ,compa

x y x y

x x y y

x y

x h y k r

2

ramos ambas ecuaciones;

por lo que las coordenadas del centro de la circunferencia son

C(5,1) y el radio

r 5

5

Su gráfica:

r

Ejemplo 11. Traza la circunferencia, determina el centro y radio partiendo de su ecuación:

2 216 0x y

Solución


19

2 2 2

2 2

2 2

Considerando que la ecuación de la circunferencia con centro

en el origen es , tenemos que convertir la ecuación

dada a esta forma, de la siguiente manera:

16 0

16

Por lo tanto, el ce

x y r

x y

x y

2

ntro de la circunferencia es el origen

C(0,0) y su radio es

16

16

4

Su gráfica:

r

r

r

Ejemplo 12. Halla la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro en el

origen y radio igual a 3.

Solución

Partiendo de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen 2 2 2r x y ,

tenemos que


20

2 2 2

2 2

3

(3)

9

Su gráfica

r

x y

x y

Ejemplo 13. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro en el

origen y diámetro 8.

Solución

Si el diámetro es 8, el radio es 4, ya que por definición el diámetro es el doble del radio12

.

2 2 2

2 2

4

(4)

16

Su gráfica:

r

x y

x y


21

Ejemplo 14. Calcula la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro C(0,0) y

pasa por (3,-2).

Solución

Tomando de referencia la ecuación de la circunferencia con centro en el origen 2 2 2

r x y

Calculamos primeramente el radio, aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos

2 2

2 1 2 1( ) ( )d x x y y

Siendo el radio la distancia entre C(0,0) y P(3,-2)

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( ) ( )

(3 0) ( 2 0)

(3) ( 2)

9 4

13

3.61

d x x y y

r

r

r

r

r

Aplicando la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

2 2 2

22 2

2 2

13

13

Su gráfica:

r x y

x y

x y


22

Ejemplo 15. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C(0,0) y el

diámetro cuyos extremos son los puntos P1(-2 ,2 ) y P2(2 ,-2 ).

Solución

Determinamos el diámetro, aplicando las fórmula de la distancia entre dos puntos, siendo

P1(-2 ,2 ) y P2(2 ,-2 ).

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

(2 ( 2)) ( 2 2)

(2 2) ( 4)

(4) ( 4)

16 16

32

2

d x x y y

d

d

d

d

d

d diámetro r

Calculamos el radio: 32

82 2

diametror

Finalmente sustituimos el radio en la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

2 2 2

22 2

2 2

8

8

Su gráfica:

r x y

x y

x y


23

Ejemplo 16. Traza la gráfica y determina la ecuación de la circunferencia que equidista al

origen 2 unidades.

Solución

El centro de la circunferencia es el origen, entonces la ecuación debe ser de la forma 2 2 2

r x y , y su radio es 2.

2 2 2

2 2

(2)

4

Su gráfica:

x y

x y

Ejemplo 17. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente

a la recta 3x – 4y -5 = 0 y grafica su ecuación.

Solución

Partiendo que la distancia perpendicular comprendida de la recta tangente al centro de la

circunferencia es el radio, aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta

0Ax By C .

1 1

2 2

Ax By Cr

A B

Siendo la ecuación de la recta y el punto de referencia:


24

1 1

2 2

3 4 5 0 y P(0,0)

Por lo tanto

3, 4, 5, 0 y 0

Sustituimos en la fórmula los datos para determinar el radio.

(3 0) (4 0) ( 5)r=

3 4

5

9 16

5

25

r=|-1|

1

x y

A B C x y

r

r

r

2 2 2

22 2

2 2

Por lo que la ecuación de la circunferencia es:

1

1

Su gráfica:

x y r

x y

x y


25

Ejemplo 18. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica que pasa por el

punto (5,-5) y tiene como centro C (4,-3).

Solución

La distancia del segmento formado por los puntos P(5,-5) y C(4,-3) es el radio de la

circunferencia, por lo que 5, =-5, 4 , 3x y h k sustituimos en la

ecuación de la circunferencia:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

( ) ( )

(5 4) ( 5 ( 3))

(1)+(-5+3)

1 ( 2)

1 4

5

r x h y k

r

r

r

r

r

Sabiendo el radio 5r y el centro de la circunferencia C(4,-3), sustituimos en la

ecuación:

2 2

22 2

2 2

2 2

( ) ( )

4 ( ( 3)) 5

( 4)+(y+3)=5 Ecuación canónica

Desarrollamos los binomios presentes en la ecuación canónica

para obtener la fórmula general de la circunferencia

8 16 6 9 5

16 9

x h y k r

x y

x

x x y y

2 2

2 2

5 8 6 0

x +y -8x+6y+20=0 Ecuación general

Su gráfica:

x y x y


26

Ejemplo 19. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C (1,1) y

radio 3.

Solución

Sustituimos el centro y el radio en la ecuación de la circunferencia, sabiendo que

3, 1, 1r h k , en la ecuación canónica de la circunferencia

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( 1) ( 1) (3)

( 1) ( 1) 9 Ecuación canónica

Desarrollamos los binomios, con la intensión de encontrar

la ecucion general de la circunferncia

( 1) ( 1) 9

2 1 2 1 9

1 1

x h y k r

x y

x y

x y

x x y y

2 2

2 2

9 2 2 0

2 2 7 0 Ecuación General

Su gráfica:

x y x y

x y x y

Ejemplo 20. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia considerando que los

extremos de su diámetro son los puntos P1(4,-6) y P2(-2,2).

Solución


27

Si el segmentos formado por los dos puntos P1(4,-6) y P2(-2,2)

es el diámetro, por lo tanto, el punto medio de dicho

segmento es el centro de la circunferencia y la distancia del

punto medio a uno de los extremos del diámetro es el radio.

Calculamos primeramente el punto medio.

1 2 1 2

1 2

Las coordenadas del punto medio PM(x , ) son:

y 2 2

Siendo h= y k=

Sustituimos las coordenadas de los puntos P(4,-6) y P(-2,2).

4 ( 2) 6 2

2 2

4 2

2

m m

m m

m m

m m

m m

y

x x y yx y

x y

x y

x y

4

2

2 2

2

1

(1, 2), por lo que el centro de la circunferencia es C(1,-2).

m m

m

m

x y

x

P

Ahora determinamos la longitud del radio, aplicando la

fórmula de la distancia entre dos puntos, en este caso se

tomará de referencia la distancia del centro C(1,-2) y el

P1(4,-6).

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

(4 1) ( 6 ( 2))

(3) ( 6 2)

(3) ( 4)

9 16

25

5

d x x y y

Sabiendo que

d CP r

r

r

r

r

r

r


28

Consideramos el centro C(1,-2) y el radio r=5 y calculamos la

ecuación de la circunferencia en su forma canónica, con

1, 2, 5h k r

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( 1) ( 2) (5)

( 1) ( 2) 25 Ecuación canónica

Desarrollamos los binomios, con la

intensión de encontrar la ecuación

general de la circunferncia

( 1) ( 2) 25

2 1 4 4 2

x h y k r

x y

x y

x y

x x y y

2 2

2 2

5

1 4 25 2 4 0

2 4 20 0 Ecuación General

Su gráfica:

x y x y

x y x y

Ejemplo 21. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C(-2,1) y

tangente a la recta 3y-3x+2=0.

Solución

Calculamos el radio mediante que es la distancia del centro a la recta tangente, por lo que la

formula a utilizar es:


29

1 1

2 2

1 1

siendo la ecuación de la recta y del centro de la circunfercia

3 3 2 0 y P(-2,1)

Por lo tanto

3, 3, 2, 2 y 1

Sustituimos en la formula los datos para determinar el rad

Ax By Cr

A B

x y

A B C x y

2 2

2 2

2 2

io.

( 3)( 2) (3)(1) (2)r=

3 3

6 3 2

9 9

11

18

121( 2) ( 1)

18

18 18 72 36 31 0

Su gráfica:

r

r

x y

x y x y

Ejemplo 22. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica que pasa por los

puntos P1(3,-1), P2(3,5) y P3(-1,5).


30

Solución

Aplicando la ecuación general de la circunferencia 2 20x y Dx Ey F en

cada uno de los puntos para obtener un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,

damos solución y encontramos la ecuación de la circunferencia.

Empecemos a sustituir cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia,

para obtener tres ecuaciones con tres incógnitas.

Siendo P1(3,-1) por lo que x=3 y y= 1, tenemos que

2 2

1

2 2

2

2 2

0

Para P(3,-1)

por lo que 3 y -1

(3) ( 1) (3) ( 1) 0

9 1 3 - 0

10 3 - 0 Ecuación (1)

Para P(3,5)

3 y 5

(3) (5) (3) (5) 0

9 25 3 5 0

34 3 5 0 Ec

x y Dx Ey F

x y

D E F

D E F

D E F

x y

D E F

D E F

D E F

3

2 2

uación (2)

Para P(-1,5)

-1 y 5

( 1) (5) ( 1) (5) 0

1 25 5 0

26 5 0 Ecuación (3)

x y

D E F

D E F

D E F


31

Por lo que el sistema de ecuación queda de la siguiente manera:

10 3 - 0 (1)

34 3 5 0 (2)

26 5 0 (3)

Damos solución al sistema de ecuaciones por cualquier método.

Multiplicamos la ecuació

D E F

D E F

D E F

n (1) por -1 y la ecuación resultante

la sumamos con la ecuación (2)

(10 3 - 0)( 1)

10 3 0

Esta nueva ecuación,la sumamos con la ecucación(2)

10 3 0

34 +3D 5 0

24 +6E =0

Despej

D E F

D E F

D E F

E F

amos la E

24- ; E 46

Ahora sustituimos el valor de E=-4, en la las ecuaciones (2)

y (3), se obtienen las siguienestes ecuaciones:

34 3 5 0 (2) si E=4

34 3 5( 4) 0

34 3 20 0

14 3 0 Le llama

E

D E F

D F

D F

D F

remos ecuación (4)

En la ecuación (3) sustitumos E=-4

26 5 0

26 5( 4) 0

26 20 0

6 0 Le llamaremos ecuación (5)

D E F

D F

D F

D F


32

Analizamos la ecuación (4) y (5)

14 3 0 .4

6 0 .5

Multiplicamos la ecuación (5) por -1

( 6 0)( 1)

6 0

Sumamos las ecuaciones (4) y (5).

6 0

14 3 0

8 4 0

4 8

8; 2

4

Su

D F Ec

D F Ec

D F

D F

D F

D F

D

D

D D

2 2

stituyendo E=-4 y D=-2 en la ecuación (1)

10 3 - 0

10 3( 2) -( 4) 0

10 6 4 0

8 0; -8

Sustituimos los valores de las variables -2,

-4 -8

en la ecuación general de la circunferencia

D E F

F

F

F F

D

E y F

x y Dx

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

( 2) ( 4) ( 8) 0

2 4 8 0 Ecuación general

Completando binomios al cuadrado para obtener la

ecuación en forma canónica

2 1 4 +4 8 1 -4 0

( 1) ( 2) 13 0

( 1) ( 2) 13

Ey F

x y x y

x y x y

x x y y

x y

x y Ecuación en forma canónica


33

La gráfica de la circunferencia de acuerdo a la ecuación

obtenida: 2 2

( 1) ( 2) 13, que tiene como (1,2) 13x y C y r

Este problema se puede describir también como un triángulo

inscrito (dentro) en una circunferencia, donde el

circuncentro13 es el centro de la circunferencia inscrita,

queda como reto al lector que intente resolver éste mismo

problema usando el método de las mediatrices.

Ejemplo 23. Calcula el centro y radio de la circunferencia de la ecuación. Traza su gráfica:

Solución

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

4 4 2 0

Reordenamos la ecuación

x 4 2 4

completamos los binomios

x 4 (2) 2 (1) 4 (2) (1)

( 2) ( 1) 9 Ecuación en forma canónica.

El centro de la circunferencia C(-2,1) y r=3

La r

x y x y

x y y

x y y

x y

epresentación gráfica se muestra a continuación:

r= 13


34

Ejemplo 24. Calcula el centro y el radio de la circunferencia considerando la ecuación

. Traza su gráfica:

Solución

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

6 6 2 0


6 2 6 0

Completamos los binomios

6 (3) 2 (1) 6 (3) (1)

6 9 2 1 6 9 1

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

2 2( 3) ( 1) 4 Ecuación en forma canónica

El centro de la circunferencia (3,1) 2

Su gráfica

x y

C y r


35

Ejemplo 25. Halla el centro y el radio de la circunferencia partiendo de su ecuación

, traza su gráfica:

Solución

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2


2 2 3 0


2 (1) 2 (1) 3 (1) (1)

2 1 2 1 3 1 1

( 1) ( 1) 5 Ecuación en forma canónica

El centro de la circunferencia (-1,-1)

x x y y

x x y y

x x y y

x y

C

5

Su gráfica

y r

Ejemplo 26. Calcula el centro y el radio de la circunferencia partiendo de su ecuación

, traza su gráfica:

Solución

r= 5


36

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2


6 8 23 0


6 (3) 8 (4) 23 (3) (4)

6 9 8 16 23 9 16


El centro de la circunferencia (

x x y y

x x y y

x x y y

x y

C 3,-4) 2

Su gráfica:

y r

Ejemplo 27. Grafica la ecuación de la circunferencia , además,

determina su centro y radio.

Solución

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

4 2 4 0


2 4 4 0


2 (1) 4 (2) 4 (1) (2)

2 1 4 4 4 1 4


El centro de la circunf

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

erencia (1,-2) 3

Su gráfica:

C y r

r= 2


37

Ejemplo 28. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos Q(2,5) y

P(4,-1) y el centro está situado sobre la recta 2 4.y x

Solución

2 2

2 1 2 1

La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia

es el radio, aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos

( ) ( )

tomamos a Q(2,5)y C(h,k) y a P(4,-1)y C(h,k); sie

d x x y y

2 2

2 2

2 2

ndo d=r

r = ( 2) ( 5) Ecuación (1)

r = ( 4) ( ( 1))

r = ( 4) ( 1) Ecuación (2)

si r r

Y la recta pasa por el centro de la circunferencia,

por lo que las coordenadas C(h,k), las

QC

PC

PC

PC PC

h k

h k

h k

r

sustituimos

en la ecuación de la recta: 2 - 4;2 4 0

2 4 0. Ecuación (3).

y x x y

h k


38

2 2 2 2

22 2

Tenemos un sistema de tres ecuaciones, damos solución.

Igualamos la ecuación (1) y (2)

( 2) ( 5) ( 4) ( 1)

elevamos al cuadrado ambas igualdades, para cancelar la raíz

cuadrada

( 2) ( 5) ( 4

h k h k

h k h

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

) ( 1)

( 2) ( 5) ( 4) ( 1) desarrollamos los binomios

al cuadrado

- 4 4 - 10 25 - 8 16 2 1

k

h k h k

h h k k h h k k

2 2 2 2

Reducimos terminos semejantes en cada miembro de la igualdad

- 4 4 - 10 25 - 8 16 2 1

-4 - 10 29 8 2 17 igualamos a cero

-4 - 10 29 8 2 17 0

4 12 12 0 Ecuación (4)

h h k k h h k k

h k h k

h k h k

h k

Multiplicamos por menos dos la ecuación (3) y la sumamos con

la ecuación (4)

2(2 4 0);

-4h 2 8 0

4 12 12 0

- 10 20 0 Despejamos a k

20 - 10 -20; k= ; k=2

10

Sustituimo

h k

k

h k

k

k

s k=2, en la ecuación (3): 2 4 0

2 2 4 0

2h-6=0

2 6

6; 3

2

Por lo tanto el centro de la circunferencia es C(3,2)

h k

h

h

h h


39

2 2

2 2

2 2

Sustituimos en la ecuación (2), las coordenadas del centro

r = ( 4) ( 1)

r = (3 4) (2 1)

r = ( 1) (3)

r = 1 9

r = 10

Finalmente el radio de la circunferencia es r = 10 y las

coordenadas

PC

PC

PC

PC

PC

h k

del centro C(3,2).

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

Su ecuación en forma canónica:

( 3) ( 2) 10

( 3) ( 2) 10

Desarrollamos los binomios al cuadrado, para encontrar

la ecuacion general de la circunferencia

x 6 9 4 4 10

x 6 4 9 4 10 0

x

x y

x y

x y y

y x y

y

26 4 3 0x y

La gráfica de la circunferencia 2 2( 3) ( 2) 10x y

r= 10


40

3.3. Aplicaciones

Si buscamos a nuestro alrededor podemos observar construcciones con diseños

circulares, vehículos que en sus partes contienen las formas circulares, en la

elaboración de juguetes, ruedas de bicicleta, volantes de automóviles, discos, tuberías,

instrumentos especializados, encontramos esta figura.

La circunferencia está presente de manera normal en nuestra vida, aunque no lo

parezca. En nuestra vida actual se puede utilizar en

En la salud

La circunferencia de la cintura cuenta en la actualidad con mayor respaldo como reflejo

de la adiposidad regional (obesidad abdominal). El National Cholesterol Education

Progam (programa nacional para la educación sobre el colesterol, NCEP, 2001) sugiere

el empleo del punto de corte para la circunferencia de la cintura ˃102 cm en los

hombres y ˃88 cm en las mujeres; con el fin de estimar la obesidad como factor de

riesgo para la aparición de enfermedades cardiovasculares y metabólicas14 . La

circunferencia abdominal es un factor predictivo del riesgo de la salud relacionada con

la obesidad.


41

En el embarazo

La circunferencia abdominal en el embarazo, permite al médico identificar la restricción

del crecimiento intrauterino cuando se desconoce la edad gestacional. La variabilidad

de la circunferencia abdominal puede deberse a movimientos respiratorios fetales,

comprensión o posición del feto15.

En la naturaleza

Los ingenieros forestales utilizan el concepto de circunferencia para determinar la edad

que tiene un árbol. Un árbol se desarrolla con el paso de los años, cuando se corta se

pueden apreciar demasiados anillos que conforman el tronco, se mide el diámetro de

cada anillo y el tamaño de cada anillo determinará la edad del árbol16

Como puedes observar las aplicaciones son muchas y variadas, este capítulo hace una

breve introducción y te brinda la herramienta para profundizar más en el tema tan

apasionante y de múltiples aplicaciones en nuestra vida diaria.

Algunos ejemplos de aplicaciones de circunferencia

Ejemplo 29. La rueda de una motocicleta tiene un punto de pintura roja en el borde, si la

rueda tiene 21 pulgadas de diámetro y un sistema de referencia se ubica en el origen en el

centro de esta, ¿Cuál es el lugar geométrico que describe la marca?

Solución


42

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

Considerando que el centro de la rueda de la motocicleta

es el origen con coordenadas C(0,0) y su diametro es

de 21 in, el radio es

21

2

x

21x

2

441x

4

(4)(x ) 441

4x 4 441

4x

r

y r

y

y

y

y

24 441 0y

Ejemplo 30. ¿Cuál es la ecuación del lugar geométrico descrito por la trayectoria de un

helicóptero, que se mantiene sobrevolando la ciudad de México a una distancia constante

de 5 km de la torre del aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?

Solución

Si la torre del aeropuerto se considera el centro de la circunferencia, por lo que las

coordenadas del origen son C(0,0) , y su radio es 5 km.

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

5

x

x (5)

x = 25

x 25 0

r km

y r

y

y

y

Ejemplo 31. Un sismólogo de Michoacán detectó un sismo con origen en la ciudad de

Lázaro Cárdenas a 5 km este y 3 km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4 km a

la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada?


43

Solución

El centro de la circunferencia C(3,5) y su radio r=4

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( 3) ( 5) (4)

( 3) ( 5) 16

6 9 10 25 16

6 9 10 25 16 0

6 10 9 25 16 0

6 10 18 0 Ecuaci n de la circunferencia

x h y k r

x y

x y

x x y y

x x y y

x y x y

x y x y ó

3.4. Problemario

1. Determine cada uno de los elementos de la circunferencia en las siguientes figuras:

1.1. Figura (1)


44

1.2. Figura (2)

1.3. Figura (3)


45

2. Identifica el centro y el radio de las siguientes ecuaciones de la circunferencia.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2.1. ( 1) ( 2) 25

2.2. ( 2) ( 3) 41

2.3. ( 2) 4

2.4. ( 4) ( 2) 20

2.5. ( 1) 13

2.6. 10

2.7. x 6 4 5 0

2.8. x 6 4 39 0

2.9. x 2 10 21 0

2.10. x 8 6 2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y x y

y x y

y x y

y x y 3 0

3. Determina la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general. Traza su

gráfica.

3.1. Centro en el origen y radio 29

3.2. Centro C(5,-3)y radio 5

3.3. Centro C(0,0)y radio 2

3.4. Centro en el origen y radio igual a la unidad

3.5. Centro en el origen y diametro igual a la cuatro

3.6. Centro C(-2,-4)y diámetro 2 13

3.7. Centro C(3,-4)y diámetro 2 8

3.8. Centro C(3,-3)y pasa por el punto P(4,-2)

3.9. Centro C(2,-2)y pasa por los puntos P(-1,-2) y Q(5,-2)

3.10. Con centro

C(5,-5) y radio igual a tres

3.11. Centro en el origen y tangente a la recta 2 - 4 - 10 0

3.12. Con centro C(-1,2) y tangente a la recta 6 - 4 - 12 0

3.13. Con un diametro formado por los puntos P(-7,2)

x y

x y

y Q(3,2)

3.14. Con un diametro formado por los puntos P(-6,2) y Q(2,-4)

3.15. Pasa por los puntos N(-1,-2), P(2,-1) y Q(2,-5)

3.16. Pasa por los puntos A(1,3), B(1,-5) y C(5,-5)


46

4. Calcula el centro y el radio de las siguientes ecuaciones de la circunferencia. Traza su

gráfica.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

4.1. 12 2 29 0

4.2. 6 4 0

4.3. 4 6 12 0

4.4. 6 8 8 0

4.5. 8 0

x y x y

x y y

x y x y

x y x y

x y x

5. Graficar y determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(3,0) y

Q(7,0), y el centro está situado sobre la recta 1

2

xy

.

6. Graficar y determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,5) y

B(2,-3) y el centro está situado sobre la recta 2y X .


1. ¿Cuál de las siguientes opciones completa la frase “Segmento rectilíneo que tiene

como extensión el doble del radio de la circunferencia?

a) Cuerda

b) Secante

c) Diámetro

d) Tangente

2. ¿Qué opción hace correcta la siguiente frase “Es la recta que atraviesa la circunferencia

en dos extremos”

a) Cuerda

b) Secante

c) Diámetro

d) Tangente


47

3. Analiza la siguiente figura y escribe el nombre de los elementos de la circunferencia

según corresponda.

4. Identifica la ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente gráfica:

2 2

2 2

2 2

2 2

) 16 0

) 4 0

) 16 0

) 4 0

a x y

b x y

c x y

d x y


48

5. Identifica la ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente gráfica:

2 2

2 2

2 2

2 2

) 2 4 0

) 2 4 0

) 2 4 0

) 2 4 0

a x y x y

b x y x y

c x y x y

d x y x y

6. Identifica la ecuación de la circunferencia si sus extremos del diámetro son A(0 ,3 ) y

B(2,-1 ).

2 2

2 2

2 2

2 2

) 2 2 3 0

) 2 2 3 0

) 2 2 3 0

) 2 2 3 0

a x y x y

b x y x y

c x y x y

d x y x y


49

7. En función de la ecuación 2 214 2 37 0x y x y identifica el radio y el

centro de la circunferencia:

) C(-7,+1),r=13

) C(-7,-1),r= 13

) C(+7,-1),r= 13

) C(+7,+1),r=13

a

b

c

d

8. Identifica la ecuación de la circunferencia que presenta el centro en el origen:

2 2

2 2

2 2

2 2

) 4 0

) 6 0

) 36 0

) 4 0

a x y y

b x y x

c x y

d x y y

9. El punto B(x, 2) pertenece a una circunferencia con centro en el origen y radio 2.

Encuentra la abscisa del punto x.

) 1

) 4

) 0

) 2

a x

b x

c x

d x

10. Fernando desea saber cuál es la ecuación de la trayectoria de un perro que se encuentra

atado a una estaca con una correa de 3m de longitud, considerando que la correa esté

completamente tensa y además que el origen se encuentra en la estaca.

2 2

2 2

2 2

2 2

a) 9 0

) 3 0

) 9 0

) 3 0

x y

b x y x

c x y

d x y y


50

11. Cuál de las siguientes circunferencias tiene su centro sobre el eje X

2 2

2 2

2 2

2 2

) 6 0

) 8 0

) 10 20 0

) 6 5 0

a x y x

b x y y

c x y y

d x y y

3.6. Conclusión

En esta unidad se definió círculo y circunferencia, se mostraron los elementos de la

circunferencia, se presentaron las ecuaciones de la forma ordinaria o canónica, además de

la general. La circunferencia y el círculo son una herramienta básica para tus próximos

cursos; considerando las muchas aplicaciones que se le pueden dar, como las que aquí se

mostraron, representan una pequeña muestra de los posibles contextos en los que estas

pueden aparecer.

Es importante siempre tener presente que el estudio de los lugares geométricos, y en

particular de la circunferencia, nos permite adquirir madurez y comprensión en relación a

situaciones reales de la vida cotidiana, o situaciones abstractas como antecedente para uso

futuro. Por ejemplo, antiguamente estudiosos y científicos destacados como Tolomeo,

Copérnico, Galileo, Neper, entre otros, pasaban de discutir un modelo astronómico donde la

tierra era el centro de todo el universo, en el cual los planetas giraban en órbitas circulares

en torno a ella, a convencerse de que, en realidad, es la tierra y los demás planetas los que

giran en torno al sol describiendo trayectorias elípticas, en cuyo modelo (heliocéntrico) el

sol ocupa uno de los focos.

En resumen: la formación básica que hasta este momento has adquirido, con respecto al

tema de circunferencia, te permitirá tener todos los elementos necesario, ya sea para

abordar estudios similares en asignaturas futuras, o bien para el estudio y comprensión de

los siguientes temas (parábola, elipse e hipérbola).


51

3.7. Soluciones de problemario

1.1.

Punto H

Arco de circunferencia

EP EM MP NB NQ QB Cuerda

DA AJ DJ LK KG LG Tangente

centro

EN

1.2.


LD DI IF FL Tangente

BE EJ JY BY BJ EY Cuerda

DF LI Secante

BJ EY Diametro

Punto H centro

EJ

1.3.


secante

QL Tangente

CD DB DG AK AG JK JE EC Cuerda

DB KJ CE GA Diametro

AJ

MN


52

2.1. (1, 2) 5

2.2. (2, 3) y r= 41

2.3. ( 2,0) 2

2.4. ( 4, 2) y r= 20

2.5. (0, 1) y r= 13

2.6. (0,0) 10

2.7. (3, 2) 8

2.8. ( 3,2) 52

2.9. ( 1, 5) 5

2.10. (4,3) 2

C y r

C

C y r

C

C

C y r

C y r

C y r

C y r

C y r

2 2 2 23.1. x 29, x 29 0y y

3.2. 2 2 2 2( 5) ( 3) 5, x 10 6 29 0x y y x y

3.3. 2 2 2 2x 4, x 4 0y y


53

3.4. 2 2 2 2

1; 1 0x y x y

3.5. 2 2 2 2

4; 4 0x y x y

3.6. 2 2 2 2

( 2) ( 4) 13; 4 8 7 0x y x y x y


54

3.7. 2 2 2 2( 3) ( 4) 8; 6 8 17 0x y x y x y

3.8. 2 2 2 2

( 3) ( 3) 2; 6 6 16 0x y x y x y

3.9. 2 2 2 2

( 2) ( 2) 9; 4 4 1 0x y x y x y

3.10.


55

2 2 2 2( 5) ( 5) 9; 10 10 41 0x y x y x y

3.11. 2 2 2 2

5; 5 0x y x y

3.12. 2 2 2 2

( 1) ( 2) 13; 2 4 8 0x y x y x y


56

3.13. 2 2 2 2

( 2) ( 2) 25; 4 4 17 0x y x y x y

3.14.

2 2 2 2( 2) ( 1) 25; 4 2 20 0x y x y x y

3.15. 2 2 2 2( 1) ( 3) 5; 2 6 5 0x y x y x y

3.16.


57

2 2 2 2( 3) ( 1) 20; 6 2 10 0x y x y x y

4.1. (6, 1) y 8C r

4.2. (0,3) y 5C r


58

4.3. ( 2,3) y 1C r

4.4. (3,4) y 17C r

4.5. (4,0) y 4C r


59

5. 2 2 2 2( 5) ( 2) 8; 10 4 21 0x y x y x y

6. 2 2 2 2( 3) ( 1) 17; 6 2 7 0x y x y x y


60


1. c

2. b

3.

4. a

5. c

6. d

7. b

8. c

9. c

10. a

11. a


61

Referencias y notas

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13

Circuncentro: punto de intersección de las 3 mediatrices de un triángulo, que es el centro de una

circunferencia inscrita en dicho triángulo.

14

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CONALEP [Representación gráfica de funciones]

i


1

4.1. La parábola como lugar geométrico

Está documentado que Apolónio de Perga1,3

, estudioso de las propiedades geométricas de

las secciones cónicas, es quien les da el nombre a la parábola, elipse e hipérbola, después

René Descartes, encuentra la relación de dichas curvas con su ecuación, lo anterior no

significa que no se hubieran hecho estudio de ellas antes. El origen semántico es el

siguiente; elipse significa deficiencia, hipérbola exceso, -en lenguaje ordinario hipérbola es

una exageración- y por último parábola significa equiparación, la obra de apolonio3 fue

base de la obra de Fermat y Descartes a quienes se les considera los padres de la geometría

analítica, dichas obras son soporte para la revolución astronómica de Kepler.

En ésta unidad abordaremos la definición de parábola como lugar geométrico, deduciremos

las ecuaciones ordinarias y generales de parábolas horizontales y verticales, no se

abordarán parábolas inclinadas.

Parábola

La parábola se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de

tal manera que está siempre a la misma distancia de un punto fijo llamado foco que de una


2

recta fija llamada directriz, situados tanto el foco como la directriz en el mismo plano de la

parábola2,3

.

En la siguiente figura se muestran los principales elementos de la parábola, entre ellos está

una recta que pasa por el foco (eje) y es la que indica si la parábola es horizontal, vertical o

inclinada, también es eje de simetría de la misma, por dicho eje a la altura del foco pasa una

recta perpendicular al eje, se llama lado recto que es paralelo con la recta fija llamada

directriz, entre la directriz y el lado recto se encuentra el vértice.

V: vértice de la parábola

F: foco de la parábola

Lr: lado recto de la parábola

d: directriz

p: distancia del vértice al foco, o del vértice a la directriz

Al observar una parábola debemos tener cuidado en algunos detalles, como en dónde está

ubicado el vértice, el eje de parábola, con cuál eje coincide o es paralelo, si abre a la

izquierda, a la derecha, hacia arriba o hacia abajo, a continuación se muestran las gráficas

de las distintas posiciones que puede tomar la parábola, en nuestro curso no abarcaremos la

parábola inclinada.


3

Parábola horizontal abre hacia la derecha Parábola horizontal abre hacia la izquierda

Parábola vertical que abre hacia arriba Parábola vertical que abre hacia abajo

Parábola horizontal con vértice fuera del

origen y cuyo eje es paralelo al eje X.

Parábola vertical con vértice fuera del

origen y cuyo eje es paralelo al eje Y.


4

4.2. Ecuaciones de la parábola

Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.

Recuerde que la distancia p es la distancia del vértice al foco y del vértice a la recta fija es

llamada directriz, ésta distancia p es positiva cuando la parábola abre a la derecha y hacia

arriba, y es negativa cuando abre hacia abajo o a la izquierda.

Comencemos encontrando la ecuación en su forma ordinaria de la parábola horizontal con

vértice en el origen, como se muestra en la figura

Por definición la distancia del punto P(x,y) a la recta fija llamada directriz es la misma que

la distancia del foco al punto P(x,y).

Esto lo podemos expresar algebraicamente de la siguiente manera: dPF=dPd

usando la fórmula de distancia entre dos puntos

√

Sustituyendo tenemos

√ x+p

(√ )2=(x+p)

2 elevando al cuadrado

(x-p)2 + y

2=(x+p)

2 elevando al cuadrado los binomios

x2-2px+p

2+y

2=x

2+2px+p

2 reduciendo términos semejantes


5

y2=4px Forma ordinaria de la parábola horizontal con vértice en el origen

Para encontrar las ecuaciones de las parábolas horizontales seguimos el mismo

procedimiento y obtendremos

x2=4py Forma ordinaria de la parábola vertical con vértice en el origen.

Recuerde que el signo de p nos indica hacia dónde abre la parábola.

Longitud del lado recto

Observe la siguiente figura donde señalamos cómo obtener el lado recto:

Como ya vimos la distancia de P(x,y) a la recta d es la misma que de P(x,y) a F(p,0)

dPd=dPF

2p=dPF

Observe que la distancia de PF es la mitad del lado recto por lo que Lr=|4p|, la distancia es

positiva por eso va en valor absoluto ya que p puede ser negativo o positivo.

Haciendo un resumen:

Si la parábola es horizontal con vértice en el origen su ecuación ordinaria es

y2=4px si p>0 abre a la derecha si p<0 a la izquierda

Si la parábola es vertical con vértice en el origen su ecuación ordinaria es

x2=4py si p>0 abre hacia arriba si p<0 hacia abajo


6

Lr=|4p|

A continuación veremos algunos ejemplos del uso de las fórmulas que se obtuvieron.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y su foco

F(4,0)

Solución

Las coordenadas del foco nos indican que se trata de una

parábola horizontal ya que su ordenada vale 0, así que está

sobre el eje X, por lo tanto su ecuación tendrá la forma:

y2=4px

p es la distancia del vértice al foco p=4-0=4 lo sustituimos

y2=4(4)x

y2=16x que es la ecuación de la parábola o bien

y2-16x=0

Para hacer la gráfica localizamos el foco

Calculamos la longitud del lado recto Lr=|4p|=|4(4)|=16

Por ser simétrico respecto del eje X 8 unidades hacia arriba

y 8 unidades hacia abajo, la directriz está a la misma

distancia p=4 a la izquierda del vértice, su ecuación es x=-4


7

Observe que hicimos la gráfica sin necesidad de hacer una

tabla de valores.

Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y foco

F(0,-3). Encuentra la ecuación de la directriz, de su eje Y la longitud de su lado recto Lr.

Solución

Al graficar el foco nos damos cuenta que se trata de una

parábola vertical ya que F(0,-3) su abscisa es cero, como el

vértice está en el origen se deduce que abre hacia abajo por

lo tanto p=-3

Su ecuación será de la forma x2=4py

Sustituyendo p=-3

x2=4(-3)y

x2=-12y o x

2+12y=0

que es la ecuación buscada.

La directriz es una recta que se encuentra a la misma

distancia del vértice al foco, por lo que pasa por el eje Y

en 3 y su ecuación es y=3 para escribir su ecuación observa

qué eje corta y por dónde pasa y esa es su ecuación.


8

El lado recto Lr=|4p|=|4(-3)|=|-12|=12 nos indica que el

segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje se

dibuja 6 unidades a la izquierda y 6 a la derecha por su

simetría.

El eje de la parábola coincide con el eje de las ordenadas el

eje Y, su ecuación es x=0

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y directriz la

recta con ecuación es x=-2

Solución

Grafiquemos primero la directriz, en el eje X en -2, como es

vertical la parábola es horizontal, como el vértice está en

el origen p=2 la parábola abre hacia la derecha, su ecuación

es:

y2=4px

Sustituyendo p=2 y2=4(2)x

y2=8x ó y

2-8x=0


9

si queremos las coordenadas del foco F(p,0) son F(2,0) y la

longitud del lado recto Lr=|4p|=|4(2)|=8 4 unidades hacia

arriba y 4 hacia abajo en la recta que pasa por el foco y es

paralela a la directriz.

Un ejercicio interesante, es una vez que tenemos la ecuación

encontrar el lugar geométrico y los elementos de la parábola,

resolvamos algunos ejemplos.

Ejemplo 4. Hallar los elementos de la parábola cuya ecuación es y2=20x y hacer su gráfica.

Solución

Al observar la ecuación vemos que corresponde a:

y2=4px y

2=20x

Por lo tanto 4p=20; p=5

Se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen

V(0,0),cuyo eje coincide con el eje X como p>0 la parábola

abre hacia la derecha y las coordenadas del foco son F(5,0),

su lado recto Lr=|4(5)|=20 para graficarlo trazar un segmento

que pase por el foco perpendicular al eje y mida 10 unidades

hacia arriba y 10 hacia abajo ya que el eje de la parábola es

el eje de simetría. La directriz tiene por ecuación x=-5.


10

Ejemplo 5. Hallar los elementos de la parábola cuya ecuación es: x2=12y

Solución

Al observar su forma vemos que corresponde a una parábola

vertical con vértice en el origen cuya ecuación es:

x2=4py V(0,0) y su eje coincide con el eje Y

x2=12y 4p=12 p=

por ser positivo abre hacia arriba, su

foco tiene coordenadas F(0,p), esto es F(0,3), la ecuación de

su directriz es y=-3 y la longitud de su lado recto es

Lr=|12|=12.

Parábolas horizontales y verticales con su vértice un punto cualquiera en el plano

Partiremos de las ecuaciones obtenidas cuando la parábola tiene el vértice en el origen. Si el

vértice se encuentra ahora en cualquier punto del plano V(h,k) , tracemos un nuevo sistema

de coordenadas X’ y Y’ y hagamos coincidir el origen de coordenadas con el vértice

V(h,k), como se muestra en la siguiente figura:


11

La ecuación de la parábola horizontal respecto de los nuevos ejes X’ y Y’ es:

y’2=4px’

al haber trasladado los ejes tenemos que:

x’=x-h y y’=y-k

sustituimos lo anterior:

(y-k)2=4p(x-h) ésta es la ecuación de la parábola con vértice

en cualquier punto del plano.

Análogamente se deduce la ecuación de la parábola vertical, la cual queda:

(x-h)2=4p(y-k)

Apliquemos en algunos ejemplos dichas ecuaciones.

Ejemplo 6. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en V(4,3) y foco F(7,3)

Solución

Las coordenadas del vértice y foco nos indican que se trata

de una parábola horizontal que abre a la derecha ya que el

foco está a la derecha del vértice, y es un segmento

horizontal ya que tienen la misma ordenada, p es la

distancia entre V y F, calculémosla:


12

p=dVF=7-4=3 es un segmento horizontal

Su ecuación tiene la forma:

recuerde V(h,k)

Ecuación de la parábola en su

forma ordinaria

Si deseamos obtener la fórmula general desarrollamos el

binomio:

y2-6y+9=12x-48

y2-12x-6y+57=0 Forma General de la ecuación de la parábola.

El lado recto Lr=|4p|=|4(3)|=12 al graficarlo 6 unidades

arriba y 6 abajo, la ecuación de la directriz es x=1

Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V(3,-4) y foco F(3,-9).

Solución

Como tienen la misma abscisa se trata de una parábola cuyo

eje es vertical y la distancia entre el vértice y el foco es


13

p=-9-(-4)=-9+4=-5 como p<0 la parábola abre hacia abajo y su

ecuación tiene la forma:

Sustituyendo p=-5 y V(3,-4)=(h,k) tenemos

Forma ordinaria

Desarrollando x2-6x+9=-20y-80

x2-6x+20y+89=0 Forma general


14

Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V(-3,-2) F(-5,-2)

Solución

El eje de la parábola es horizontal

Y la distancia de V a F es p=-5+3=-2 si lo hubieras hecho al

contrario y te queda 2 debes tener cuidado de poner el signo

menos ya que abre hacia la izquierda.

Lr=|4p|=|4(-2)|=|-8|=8, 4 unidades arriba y 4 abajo.

La ecuación de la directriz es x=-1

La ecuación es de la forma:

Forma ordinaria

y2+8x+4y+28=0 Forma general


15

Ejemplo 9. Hallar la ecuación de la parábola con foco F(-3,-2) y la ecuación de la directriz

es x=5

Solución

El vértice está en el punto medio de F y d, a la altura del

foco, V(1,-2) como abre a la izquierda p<0 vale p=-4 Lr=16

La ecuación corresponde a una parábola horizontal:

(y+2)2=-16(x-1) Forma ordinaria

y2+4y+16x-12=0 Forma general

Ejemplo 10. Hallar el vértice, foco, ecuación del eje, y ecuación de la directriz de la

parábola cuya ecuación es (y+4)2= 20(x+2)

Solución

La ecuación corresponde a una parábola horizontal con vértice

en V(h,k)

V(-2,-4) y 4p=-20 entonces p=-5 abre a la izquierda


16

Lr=|4(-5)|=20, ecuación del eje es y=-4 y ecuación de la

directriz es x=3, su gráfica en la siguiente:

Ejemplo 11. Hallar los elementos de la parábola que describe un proyectil, cuya ecuación

es x2-6x+8y+41=0, la persona que lo observa está ubicada en la posición del foco, ¿En qué

punto se encuentra ubicada?

Solución

x2-6x+8y+41=0

tenemos la ecuación general, pasemos a la forma ordinaria

x2-6x = -8y -41

completando el trinomio cuadrado perfecto (recuerde se divide

6 entre 2 y el resultado se eleva al cuadrado)

x2-6x+9 = -8y -41+9

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto

(x-3)2 =-8y-32 factorizamos -8

(x-3)2 =-8(y+4) forma ordinaria parábola vertical

V(3,-4) 4p=-8 entonces p=-2 abre hacia abajo

El foco que es desde donde la persona observa el movimiento

es F(3,-6) , la ecuación del eje es x=3 y la ecuación de la

directriz es y=-2, lado recto Lr=8, la gráfica:


17

Forma general de la ecuación de la parábola

Forma general de la ecuación de la parábola horizontal:

Partimos de la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en V(h,k), esto es:

desarrollando el binomio tenemos:

y2-2ky+k

2=4px-4ph

y2-4px-2ky+k

2+4ph=0

Si comparamos la ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables:

Ax2+Bxy+Cy

2+Dx+Ey+F=0 vemos que:

A=0, B=0, C=1, D=-4p, E=-2k, F=k2-4ph sustituyendo esto valores en la ecuación

y2+Dx+Ey+F=0 Ecuación general de la parábola vertical

Análogamente se desarrolla la ecuación ordinaria de la parábola vertical y se obtiene la

ecuación:

x2-2hx+h

2-4py+4pk=0


18

x2-2hx-4py+h

2+4pk=0

Si comparamos la ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables:

Ax2+Bxy+Cy

2+Dx+Ey+F=0 vemos que:

A=1, B=0, C=0, D=-2h, E=-4p, F=h2+4pk

Nótese que en los dos casos B=0 ya que el término xy no aparece, pero más adelante

cuando tomes cursos más avanzados te encontrarás con él cuando obtengas la ecuación

general de la parábola inclinada.

Ejemplo 12. La ecuación que describe una antena parabólica es x2-6x-16y+25=0 y

deseamos encontrar dónde colocar el receptor éste se debe situar en el foco de la parábola,

localice las coordenadas.

Solución

Una forma es pasar de la ecuación general a la ordinaria y

obtener de ahí sus elementos, ahora lo resolveremos aplicando

lo anterior.

La ecuación: x2-6x-16y+25=0

corresponde a la ecuación general de la parábola vertical

x2+Dx+Ey+F=0

D=-6, E=-16 , F=25

donde D=-2h -6=-2h h=3

E=-4p -16=-4p p=4

F=h2+4pk 25=(3)

2+4(4)k K=1


19

El vértice V(h,k)=(3,1) como p es positivo p=4 abre hacia

arriba, la ecuación de su eje es x=3 y de su directriz y=-3,

finalmente el foco que son las coordenadas que necesitamos

para colocar el receptor son F(3,5).

4.3. Aplicaciones

La parábola tiene muchas aplicaciones, una de las más importantes es la reflexión

4, por la

cantidad de aplicaciones prácticas que tiene, como la construcción y diseño de antenas

parabólicas, y de los lentes de telescopios, un ejemplo de ello fue el ejemplo 12. Ya se

mencionó también que algunas construcciones como el Golden Gate puente en San

Francisco California, posee el diseño de parábolas en el cableado que lo sostiene, los faros

de algunos automóviles aprovechan dicha forma, los radares, en el diseño y construcción se

aplica mucho, desde puentes, arcos en puertas, hay un tipo de arco que es muy utilizado y

desde Aristóteles conocían sus propiedades, es el arco parabólico, dicha forma se ilustra en

la siguiente figura y del cual veremos algunas aplicaciones.


20

Arco parabólico

Llamemos h a la altura máxima del arco, y 2s a la longitud del claro o luz , como lo

muestra la figura:

Hacemos coincidir el vértice con el origen de las coordenadas y la ecuación tendrá la

forma:

x2=4py

tomando un punto que pertenece a la parábola C(s,-h), sabemos que satisface a la ecuación

anterior, lo sustituimos y tenemos:

(s)2=4p(-h)

que es la ecuación que nos relaciona

2s=claro y h=la altura máxima

También de aquí se deduce la distancia del vértice al foco ya que

Veamos a continuación algunas aplicaciones del arco parabólico.


21

EJEMPLO 13. Se quiere construir una antena parabólica de manera que su receptor esté a

una distancia de 0.5m del vértice. Hallar la ecuación de la parábola para su diseño.

Solución

Observemos primero que la forma que tiene la estructura como

su nombre lo indica es el de una parábola (antena parabólica)

y que una vez que se conozca su ecuación, la superficie de

revolución que se obtiene es la forma de la parábola.

Para encontrar la ecuación hacemos coincidir el vértice con

el origen de las coordenadas V(0,0) y por comodidad la

consideramos orientada hacia arriba, en dicha posición el

receptor de la parábola está situado en el foco de la misma,

entonces sus coordenadas son F(0,0.5m) y la ecuación

corresponde a la de una parábola vertical con vértice en el

origen

x2=4py así x

2=4(0.5)y esto es x

2=2y

Ejemplo 14. Se usará un espejo parabólico para construir un telescopio, mide 10m de

diámetro y 0.5m de profundidad, determinar la ecuación del espejo.

Solución

Utilizando la fórmula deducida anteriormente:

s=5m y h=0.5m

x2= 50y Ecuación del espejo


22

Ejemplo 15. Uno de los arcos del acueducto de Morelia tiene aproximadamente 7.5m de

claro o luz y su altura máxima es de 6.5m, se desea colocar una lámpara que tenga

iluminación máxima, ¿a qué distancia de la parte más alta del arco se debe colocar?

Solución

Hacemos coincidir el arco con una parábola vertical hacia

arriba con vértice en el origen, por las propiedades de

reflexión, la lámpara se debe colocar en el foco de la

parábola, como ya se vio:

p=

0.5408m esto nos indica que debemos

colgar la lámpara a 54.08cm de la parte más alta del arco.


23

4.4. Problemario

1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que cumple con el dato que se

indica en cada ejercicio.

1.1. F(0,-5)

1.2. Directriz; x=5

1.3. F(6,0)

1.4. Directriz; y=-2

1.5. F(-4,0)

2. Encuentra el foco, directriz, lado recto, ecuación del eje, de las parábolas cuya ecuación

es:

2.1. y2-24x=0

2.2. x2+24y=0

2.3. x2+8y=0

2.4. y2-8x=0

2.5. y2=16x

3. Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y general, que cumpla con los

datos que se dan en cada ejercicio.

3.1. V(2,-1), F(4,-1)

3.2. V(-3,-3), F(-1,-3)

3.3. V(2,3), F(2,6)

3.4. V(1,-3), F(1,-5)

3.5. V(2,2),directriz; x=-2


24

3.6. V(2,-2), directriz; x=6

3.7. F(-2,-3), directriz y=3

3.8. F(2,4) directriz x=-4

4. Calcula el vértice, foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto, ecuación del eje,

y el valor de p, de las parábolas cuya ecuación es:

4.1. x2-6x-16y+25=0

4.2. x2-6x+8y+41=0

4.3. y2+16x+4y-12=0

4.4. y2+20x+8y+56=0

4.5. y2-12x-6y+57=0

5. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

cuya ecuación se da y su foco es el punto que se indica


25


1. Describe qué es una parábola

2. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en V(0,0) y foco F(2,0)

3. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es la recta

x= 5

4. Encuentra el vértice, foco, lado recto, la ecuación de la directriz d, y la ecuación del eje

de la parábola cuya ecuación es:

x2 4y=0

5. Halla la ecuación de la parábola con vértice en V(4,5) y foco F(4,1)

6. Encuentra la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y general, que tiene su vértice

en el centro de la circunferencia cuya ecuación se da y su foco es el punto que se indica

x2+y

2-2x+4y-5=0, F(1,4)


26

4.6. Conclusión

En éste capítulo hablamos sobre la parábola, sus elementos y el lugar geométrico que

describe, en la vida diaria podemos ver sus aplicaciones en el lanzamiento de proyectiles,

antenas parabólicas, el diseño y construcción de lentes para telescopios, acústica de

edificios, faros de luz, diseño de estufas solares, en física al describir el movimiento

parabólico como cuando lanzas un balón de básquet bol , otro ejemplo es el diseño del

puente de San Francisco el Golden Gate,5 ,la herramienta aquí brindada servirá de base para

el estudio de otras ciencias, y en cursos que más adelante llevarás. Esta fue una pequeña

introducción en el campo de las cónicas, ésta figura resulta del corte hecho por un plano

paralelo a un cono circular recto,(sección cónica) como se muestra en la siguiente figura.

Parábola


1.1. x2= 20y

1.2. y2= 20x


27

1.3. y2=24x

1.4. x2=8y

1.5. y2= 16x

2.1. F(6,0), directriz; x= 6, Lr=24, ecuación del eje; y=0

2.2. F(0,-6), directriz; y=6, Lr=24, ecuación del eje; x=0

2.3. F(0,-2), directriz; y=2, Lr=8, ecuación del eje; x=0



3.1. (y+1)2=8(x-2); y

2 8x+2y+17=0

3.2. (y+3)2=8(x+3); y

2 8x+6y 15=0

3.3. (x-2)2=12(y-3); x

2 4x 12y+40=0

3.4. (x-1)2= 8(y+3); x

2 2x+8y+25=0

3.5. (y-2)2=16(x-2); y

2-16x-4y+36=0

3.6. (y+2)2= 16(x-2); y

2+16x+4y 28=0

3.7. (x+2)2= 12(y+3); x

2+4x+12y+40=0

3.8. (x+1)2=12(y 4); x

2+2x 12y+49=0

4.1. V(3,1), F(3,-5), Lr=16 , d; y= 3, eje; x=3, p=4

4.2. V(3,-4), F(3,-6), Lr=8 d; y= 2, eje; x=3, p= 2

4.3. V(1,-2), F(1,-6), Lr=16 d; x=5, eje; y= 2, p= 4

4.4. V(-2,-4), F(-7,-4), Lr=20 d; x=3, eje; y=-4, p= 5

4.5. V(4,3), F(7,3), Lr=12 d; x=1, eje; y=3, p=3

5. (x+4)2=16(y+5); x

2+8x-16y-64=0


28


1. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, que equidista de un punto

fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

2.

3.

4. V(0,0), F(0,1), Lr =4, ecuación de la directriz y= 1, ecuación del eje x=0.

5. (x 4)2= 16(y-5); x

2-8x+12y 64=0

6. (x-1)2=24(y+2); x

2-2x-24y-47=0


29

Referencias

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http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&pg=PA132&dq=par%C3%A1bola+conica+aplicaciones&hl=es&ei=amAfTqr-NOfZiALmvemZAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q&f=false





i


1

5.1. La elipse como lugar geométrico

Menaechmus estudió la elipse como curva geométrica, la investigó Euclides

1 y su nombre

se atribuye a Apolonio de Pergamo. En 1602, Johannes Kepler (1571-1630) estudiaba los

movimientos de Marte, observó que al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares

alrededor del Sol, los cálculos divergían ligeramente de la posición real del planeta en el

firmamento, por lo que arregló la órbita a otras curvas y encontró que la elipse se ajustó de

forma extraordinaria a ella, de esta manera obtuvo su primera ley del movimiento de los

planetas2.

Elipse significa acortada. Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya

suma de distancias de cada uno a dos puntos fijos (llamados focos) en el plano es una

constante positiva3,4

.

LA ELIPSE

La elipse es una curva cerrada que se forma cuando un plano no paralelo a la base de un

cono circular recto la corta5.


2

La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano que cumplen la

condición de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano,

llamados focos, se mantiene constante y mayor que la distancia entre los focos6.

5.2. Tipos de elipse

La elipse que estudiaremos tendrá su centro en el origen de las coordenadas y fuera de él,

en posición horizontal y vertical, no trataremos el tema de la elipse inclinada. Ver figuras:

Elipse horizontal con centro en el origen Elipse vertical con centro en el origen

Elipse horizontal con centro fuera del origen Elipse vertical con centro fuera del origen


3

La elipse tiene dos ejes perpendiculares, uno siempre es mayor que el otro, los llamaremos

eje mayor y eje menor, el punto de intersección de dichos ejes se llama centro de la elipse,

la posición del eje mayor nos indica si la elipse en horizontal o vertical. Sobre el eje mayor

están situados los focos y por ellos perpendicularmente pasan los lados rectos, que son

segmentos que unen dos puntos de la elipse, la longitud del eje mayor se representa con 2a

y la del eje menor 2b, por lo tanto el semieje mayor vale a y el semieje menor b, la distancia

del centro a los focos, llamada distancia focal es c. La elipse es una figura simétrica

respecto de los dos ejes. Ver la figura siguiente de una elipse horizontal con centro en el

origen

Elementos de la elipse

V,V’: son los vértices

F, F’: son los focos

C: centro

Eje mayor: =2a

Eje menor: 2b

Lr: longitud del lado recto


4

Si observamos, en la definición dijimos que la suma de las distancias desde cualquier punto

a los focos es constante, esa constante es siempre 2a, la longitud del eje mayor de la elipse,

esto se puede observar si consideramos un punto cualquiera el vértice de la elipse, observe

la siguiente figura:

Podemos observar que la simetría nos permite afirmar que

=constante y que así que:

Entonces la constante es 2a.

Encontremos la relación que existe entre los valores a, b y c. Consideremos una elipse

horizontal con centro en el origen P un punto situado en uno de los extremos del eje menor,

ver figura:


5

Basados en la definición, la suma de las distancias de y como

por estar situado el punto P en el eje de simetría, la distancia a cada foco es la misma.

Entonces podemos cambiar y tendremos:

En la gráfica anterior observe que se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es

a y los catetos son c y b. Por el teorema de Pitágoras tenemos que

a2=b

2+c

2 que es la relación que existe entre estos valores

5.3. Ecuaciones de la elipse

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen

Consideremos P(x,y) un punto cualquiera, como se observa en la siguiente figura:


6

Partimos de la definición de elipse:

Calculemos la distancia entre con la fórmula de distancia entre dos puntos:

√

√ +√ =

Despejando √ = -√

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar raíces:

(√ ) ( √ )

(x-c)2

+ y2

=4a2-4a√ +

Elevando al cuadrado los binomios y reduciendo términos semejantes:

x2-2xc+c

2+y

2=4a

2-4a√ +x

2+2xc+c

2+y

2

-4cx-4a2=-4a√ multiplicando por -1 y dividiendo entre 4

xc+a2=a√ elevando al cuadrado

( √ )

x2c

2+2a

2cx+a

4= a

2

x

2c

2+2a

2cx+a

4=a

2(x

2+2cx+c

2)+y

2)

x2c

2+2a

2cx+a

4=a

2x

2+2a

2cx+a

2c

2+a

2y


x2c

2 +a

4=a

2x

2+a

2c

2+a

2y

2 pero a

2=b

2+c

2 despejando c

2=a

2-b

2

x2(a

2-b

2)+a

4=a

2x

2+a

2(a

2-b

2)+a

2y

2

a2x

2-x

2b

2+a

4=a

2x

2+a

4-a

2b

2+a

2y



7

-b2x

2=-a

2b

2+a

2y

2

- b2x

2-a

2y

2=-a

2b

2 multiplicando por -1

b2x

2 + a

2y

2 = a

2b

2 dividiendo todo entre a

2b

2

=

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen

Consideremos P(x,y) un punto cualquiera de una elipse vertical, como se observa en la

siguiente figura:

Aplicando la definición de elipse:

√ √


8

(√ )

( √ )

x2+(y-c)

2=4a

2-4a√ +

x2+y

2-2cy+c

2=4a

2-4a√ +x

2+y

2+2cy+c

2

-4cy-4a2=-4a√

cy+a2= √

=( √ )

c2y

2+2a

2cy+a

4=a

2(x

2+(y

2+2cy+c

2)

c2y

2+2a

2cy+a

4=a

2x

2+a

2y

2+2a

2cy+a

2c

2

c2y

2+a

4=a

2x

2+a

2y

2+a

2c

2 pero c

2=a

2-b

2

(a2-b

2)y

2+a

4= a

2x

2+a

2y

2+a

2(a

2-b

2)

a2y

2-b

2y

2+a

4=a

2x

2+a

2y

2+a

4-a

2b

2

-b2y

2=a

2x

2-a

2b

2

-a2x

2-b

2y

2=-a

2b

2

a2x

2 +

b

2y

2= a

2b

2

Forma ordinaria de la elipse vertical

Longitud de los lados rectos

Partiremos de la forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el

origen:


9

despejemos la y

sacando raíz en ambos miembros

√ tomaremos solo el signo más por tratarse de una longitud

√ recuerde que el F(c,0) su abscisa es c y como pertenece a la elipse

Entonces satisface la ecuación anterior, la sustituimos

√ y de la relación a

2=b

2+c

2 despejamos b

2=a

2-c

2

√

esta cantidad es la mitad del lado recto, por lo que la longitud de Lr=

Este resultado es el mismo para la elipse vertical.

Excentricidad

La excentricidad se define como el cociente

y puesto que c<a entonces e<1 e=

Esto es para las elipses verticales y horizontales.

Veamos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior.


10

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la elipse con vértices V(2,0) y V’(-2,0) y focos F(1,0) y F’(-1,0)

Graficamos los datos disponibles

Como el centro está entre los vértices verificamos que está en el origen de las coordenadas

Y la ecuación corresponde a la forma

2 2

2 21

x y

a b

Determinamos los valores de a, b, c

Eje mayor 2 2 2 4

je menor 2 2 3

istancia entre los foco 2 1 2

a

E b

D

2 2 2

2

2

Para calcular "b"

b

4 1

3

a c

b

b

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación correspondiente

2 2

2 21

x y

a b

2 2

14 3

x y Ecuación de la elipse en su forma canónica.


11

También se pueden obtener más elementos como son: Lr=

y el valor de

la excentricidad

Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la elipse con vértices V(0,4) y V’(0,-4) y

excentricidad, igual a 3

e=4

.

Graficamos los vértices, y de ahí se deduce que el centro está en el origen de las

coordenadas.

Observamos que la elipse corresponde al tipo 2 2

2 21

x y

b a, por estar en el origen y

sobre el eje de las Y.

Deducimos los valores para a, b, c.

22

22

c 3e=

4

3 9

4 16

a

c

a

2 2 2

2

2

Para calcular "b"

b

16 9

7

a c

b

b

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación correspondiente.


12

2 2

2 21

x y

b a

=1 Ecuación ordinaria o canónica de la elipse con centro en el origen

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la elipse con focos F(3,0) y F’(-3,0) y excentricidad

3e=

4 .

Graficamos los focos y observamos que están sobre el eje X y que por simetría el centro

está en el origen de las coordenadas, por lo que corresponde a una elipse horizontal.

la ecuación de la elipse es : 2 2

2 21

x y

a b

Calculamos los valores de a, b, c

22

22

c 3e=

4

3 9

4 16

a

c

a

2 2 2

2

2

Para calcular "b"

b

16 9

7

a c

b

b

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación correspondiente.

2 2

2 21

x y

a b

2 2

116 7

x y Ecuación en su forma ordinaria o canónica


13

Además Lr=

y los vértices tienen de coordenadas V(4,0) y V’(-4,0)

Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la elipse con vértices V(3,0) y V’(-3,0) y longitud de los

lados rectos Lr =4.

Al graficar los vértices vemos que se trata de una elipse horizontal, ya que el eje mayor está

sobre el eje X, y además tenemos el valor de a=3, distancia del centro al vértice.

Como Lr=4 y Lr=

entonces

, 12=2b

2 b

2=6

Como ya tenemos los valores de a2=9 y b

2=6 mediante la relación c

2=a

2-b

2 obtenemos el

valor de c2

c2=9-6

c2=3 entonces c=√

los focos tienen de coordenadas F √ y F’ √ , el valor de la excentricidad es

e=√

La ecuación de la elipse es de la forma: 2 2

2 21

x y

a b

F( 3,0)F'(- 3,0)


14

Es decir:

Ecuación ordinaria o canónica de la elipse

Ejemplo 5. Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,3) y F’(0,-3) y Lr=9

Al graficar los focos podemos observar que se trata de una elipse vertical y por simetría se

deduce que el centro está en el origen de las coordenadas, además tenemos el valor c=3

Conocemos el valor del lado recto Lr=9 entonces

tenemos una ecuación con dos

incógnitas, de tus cursos pasados viste que se necesitan 2 ecuaciones cuando se tienen dos

incógnitas; así que obtengamos otra, esta se puede obtener a partir de la relación c2=a

2-b

2

conocemos c=3 así que queda 9=a2-b

2

Así tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas :

y 9 =a

2-b

2

Despejamos b2 de la primera y la sustituimos en la segunda


15

b2=

9=a

2-(

) multiplicando por 2 tenemos

18= 2a2-9a

2a2-9a-18=0 nos queda una ecuación de segundo grado

Resolviendo por la fórmula general:

√

a=2, b= y c= tenemos a1=6 y a2=

Descartamos ya que es una longitud y estas se deben considerar positivas.

Por lo tanto a=6, una vez conocido el valor de a=6 lo sustituimos en cualquiera de las dos

ecuaciones y tenemos:

9=

b

2=

=27

La ecuación de la elipse en su forma ordinaria es

También se pueden indicar sus vértices V(0,6) y V’(0,-6) y

la excentricidad e=

Ejemplo 6. Dada la elipse de ecuación 2 24 9 36x y obtener:

a) Excentricidad

b) Ejes mayor y menor

c) Ancho focal

d) Coordenadas de vértices y focos

e) Gráfica

De acuerdo a la ecuación de la elipse 2 2

2 21

x y

a b , se debe de considerar su forma,

por lo que dividimos entre 36 toda la ecuación. 2 24 9 36

36 36 36

x y


16

2 2

19 4

x y Ecuación de la elipse, los vértices sobre el eje de “X”

Calculemos los valores de a, b, c, para después obtener los ejes mayor y menor y la

distancia focal.

2 9

9

3

a

a

a

2 4

4

2

b

b

b

Para obtener el valor de c usamos la relación 2 2 2a b c 2 2 2

2 9 4 5

5

c a b

c

c

Calculamos ejes mayor y menor y distancia focal

Ejemayor 2 2 3 6

je menor 2 2 2 4

istancia entre los foco 2 5

a

E b

D

Por lo tanto los focos tienen coordenadas F(√ ) y F’( √ )

Se determinemos la excentricidad con la ecuación correspondiente.

5

3

ce

a

Calculemos el lado recto, considerando que el valor de b=4 y a=3


17

Lado recto Lr=

Gráfica:

Ejemplo 7. Dada la elipse de ecuación 2 216 9 144x y obtener:

a) Excentricidad

b) Ejes mayor y menor

c) Ancho focal

d) Coordenadas de vértices y focos

e) Gráfica

De acuerdo a la ecuación de la elipse 2 2

2 21

x y

a b , se debe de considerar su forma, por

lo que dividimos entre 144 toda la ecuación.

2 216 9 144

144 144 144

x y

2 2

19 16

x y

Podemos ver que se trata de una elipse vertical

Calculamos los valores de a, b, c, para después obtener los ejes mayor y menor y la

distancia focal. 2 16

16

4

a

a

b

2 9

9

3

b

b

b

Para obtener el valor de c usamos la relación: 2 2 2a b c


18

2 2 2

2

2

16 9

7

7

c a b

c

c

c

De lo anterior tenemos que

Excentricidad e 7

4

Eje mayor=2a =2(4)=8

Eje menor=2b=2(3)=6

Lado recto =2

2 2(9) 18 9

4 4 2

b

a

Coordenadas de focos F’(0,- 7 ) y F(0, 7 )

Coordenadas de vértices V’(0,-4) y V(0,4)

Gráfica :

F'(0,- 7)

(0, 7)F


19

Ecuación de la elipse horizontal y vertical con centro en cualquier punto del

plano

Para los dos casos de la elipse horizontal y vertical el centro es el punto C(h,k), mediante

una traslación de ejes obtenemos las ecuaciones, recordando que x’=x-h y y’=y-k

Elipse vertical con centro fuera del origen Elipse horizontal con centro fuera del origen

Por lo tanto la ecuación de la elipse respecto de los ejes X’ y Y’ es:

Sustituyendo x’ y y’ tenemos:

que es la forma ordinaria o canónica de la ecuación de la elipse horizontal con centro en

C(h,k).

Análogamente se obtiene la ecuación de la elipse vertical con centro en C(h,k)


20

A continuación veremos algunos ejemplos que nos ilustren el uso de dichas fórmulas

Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(4,8) y V’(4,-2) y cuyos

focos son F(4,6) y F’(4,0).

Al observar que los vértices y los focos tienen la misma ordenada vemos que se trata de una

elipse vertical con centro fuera del origen. El centro se obtiene sacando el punto medio de

los vértices o de los focos, este es C(4,3). También conocemos la distancia del centro al

vértice a=5, la distancia del centro al foco c=3, con estos datos y con la relación c2=a

2-b

2

calculamos el lado b:

b2=a

2-c

2

b2=25-9

b2=16

b=4

Con los datos anteriores podemos escribir la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

Si se desea, se puede calcular la longitud del lado recto: Lr=

y e=

De la forma ordinaria de la ecuación de la elipse se desarrollan los binomios, se reduce y

obtenemos:

25(x-4)2+16(y-3)

2=1

25(x2-8x+16)+16(y

2-6y+9)=400

25x2-200x+400+16y

2-96y+144-400=0

25x2+16y

2-200x-96y+144=0

Esta ecuación se conoce como ecuación general de la ecuación de la elipse.


21

Ejemplo 9. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(8,2) y V’(-4,2) y focos

F(6,2) y F’(-2,2).

Al observar que los vértices y focos tienen la misma ordenada se deduce que se trata de una

elipse horizontal, cuyo centro está en el punto medio de los vértices o de los focos y es

C(2,2), de los vértices tenemos a=6 y de los focos c=4, mediante la relación c2=a

2-b

2

obtenemos b:

b2=a

2-c

2

b2=36-16

b2=20

b=√

Calculando los elementos Lr=

y e=

La ecuación buscada corresponde a una elipse horizontal con centro fuera del origen:


22

Y en su forma general:

20(x-2)2+36(y-2)

2=720

20(x2-4x+4)+36(y

2-4y+4)=720

20x2-80x+80+36y

2-144y+144-720=0

20x2+36y

2-80x-144y-496=0

Reduciendo 5x2+9y

2-20x-36y-124=0

Ejemplo 10. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(6,3) y F’(-4,3) y

tiene el valor e=

de excentricidad.

El valor e=

por lo tanto a=8 y c=5 mediante la relación b

2=a

2-c

2

b2=64-25=39

Encontremos los elementos: Lr=

El centro está en el punto medio de los vértices o los focos y es C(1,3)

Por tener la misma ordenada los focos, se trata de una elipse horizontal, con vértices en

V(9,3) y V’(-7,3) y por ecuación :


23

Es la forma ordinaria o canónica de la elipse.

Obtengamos la fórmula general desarrollando los binomios y reduciendo términos

semejantes:

39(x-1)2+64(y-3)

2=2496

39(x2-2x+1)+64(y

2-6y+9)=2496

39x2-78x+39+64y

2-384y+576-2496=0

39x2+64y

2-78x-384y-1881=0 Ecuación general de la elipse.

Ejemplo 11. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(10,-2) y V’(2,-2) y

cuya excentricidad es e=

Como los vértices tienen la misma ordenada se trata de una elipse horizontal que tiene su

centro en el punto medio de los vértices, esto es, C(6,-2), de los vértices obtenemos a=4

distancia del centro al vértice.

Como e=

4=2c c=2

La b, la obtenemos de la relación b2=a

2-c

2=16-4=12 b=√


24

La longitud del lado recto:

=

La ecuación ordinaria es:

Sustituyendo el centro a y b tenemos:

Que en su forma general queda:

12x2+16y

2-144x+64y+304=0

3x2+4y

2-36x+16y+76=0

Ejemplo 12. Encuentra, el centro, los vértices, los focos, los ejes mayor y menor, distancia

focal, valor de la excentricidad y lado recto de la elipse cuya ecuación es:

2 2

1 21

16 7

x y

Observamos que la ecuación dada tiene la forma

2 2

2 21

x h y k

a b


25

De esta ecuación obtenemos los siguientes datos:

Centro eje mayor eje menor distancia focal

c 1, 2

c ,

1

2

h k

h

k

2 16

16

4

2 8

a

a

a

a

2 7

7

2 2 7

b

b

b

2 2

16 7

9

3

2 2(3) 6

c a b

c

c

c

c

Vértices V’(-3,-2) , V(5,-2)

Focos F’(-2,-2), F’(4,-2)

Calculamos la excentricidad con la siguiente relación.

3

4

ce

a

Longitud del lado recto Lr=22 2(7) 7

4 2

b

a

Ejemplo 13. Encuentra, el centro, los vértices, los focos, los ejes mayor y menor,

distancia focal, valor de la excentricidad y lado recto de la elipse cuya ecuación es:

4x2+9y

2+16x-18y-11=0

2 24 9 16 18 11 0x y x y

Agrupamos términos semejantes 2 24 16 9 18 11x x y y


26

Factorizamos cada expresión 2 24 4 9 2 11x x y y

Completamos los cuadrados 2 24 4 4 9 2 1 11 16 9x x y y

Factorizamos los trinomios y obtenemos 2 2

4 2 9 1 36x y

Dividimos la ecuación entre 36, para igualar a 1 y despejar los numeradores.

2 2

4 2 9 1 36

36 36 36

x y

2 22 1

19 4

x y Ecuación en su forma ordinaria o reducida.

Observamos que la ecuación dada es de la forma

2 2

2 21

x h y k

a b

De esta ecuación obtenemos los siguientes datos:

Centro Eje mayor Eje menor Distancia focal

c 2,1

c ,

2

1

h k

h

k

2 9

9

3

2 6

a

a

a

a

2 4

4

2

2 4

b

b

b

b

2 2

9 4

5

2 2 5

c a b

c

c

c

Vértices V’(-5,1) , V(1,1)

Focos F’(-2- 5 ,1), F’(-2+ 5 ,1)

Calculamos la excentricidad con la siguiente relación:

Longitud de los lados rectos:

5

3

ce

a


27

Gráfica:

Ejemplo 14. Hallar los elementos de la elipse cuya ecuación es:

3x2+4y

2+6x-24y+27=0

Transformemos la ecuación general en su forma ordinaria:

(3x2+6x)+(4y

2-24y)=-27

3(x2+2x)+4(y

2-6y)=-27

3(x2+2x+1) + 4(y

2-6y+9)=-27+3+36

3(x+1)2+4(y-3)

2=12

De aquí se deduce que el centro tiene coordenadas C(-1,3)

El valor de a2=4 y b

2=3, por lo que se trata de una elipse horizontal y mediante la relación

c2=a

2-b

2=4-3=1 c=1

El valor de la excentricidad e=

y

Las coordenadas de los vértices son V(1,3) y V’(-3,3) y las de sus focos F(0,3) y F’(-2,3)


28

Forma general de la ecuación de la elipse

A partir de las formas ordinarias de la elipse con centro en cualquier punto del plano,

obtendremos las generales, comencemos por la ecuación de la elipse horizontal.

Su forma ordinaria o canónica es :

Sumando las fracciones

Despejando

Desarrollando los binomios

Multiplicando

Ordenando

Si comparamos lo obtenido con la ecuación general de segundo grado con dos variables:

Ax2+Bxy++cy

2+Dx+Ey+F=0

Vemos que B=0, ya que no existe término xy, A=b2, C=a

2, D=-2b

2h, E=-2a

2k y

F=b2h

2+a

2k

2-a

2b

2


29

De acuerdo con estos valores la ecuación general de la elipse horizontal es:

Ax2+Cy

2+Dx+F=0

Note que A C y tienen el mismo signo.

Forma general de la ecuación de una elipse vertical

Partimos de la forma ordinaria o canónica de la ecuación de la elipse vertical con centro

fuera del origen:

Si comparamos lo obtenido con la ecuación general de segundo grado con dos variables:

Ax2+Bxy++cy

2+Dx+Ey+F=0

Vemos que B=0 ya que no existe término xy, A=a2, C=b

2, D=-2a

2h, E=-2b

2k y

F=a2h

2+b

2k

2-a

2b

2

De acuerdo con estos valores la ecuación general de la elipse horizontal es:

Ax2+Cy

2+Dx+Ey+F=0

Note que A C y tienen el mismo signo.

Resolvamos un ejemplo donde las apliquemos:


30

Ejemplo 15. Encuentra los elementos de la elipse suya ecuación es:

9x2+6y

2+54x-36y+81=0

De las formas generales de las elipses horizontal y vertical vemos que si el coeficiente de x2

es menor que el coeficiente de y2 se trata de una horizontal y cuando el coeficiente de x

2 es

mayor que el de y2 como es nuestro caso se trata de una elipse vertical, 9>6, y usaremos las

fórmulas:

A=a2,C=b

2, D=-2a

2h, E=-2b

2k, F=a

2h

2+b

2k

2-a

2b

2

9=a2, 6=b

2, 54=-2(9)h , -36=-2(6)k

K=3

Por lo tanto el centro está en C(h,k), C(-3,3), los vértices están en V(-3,6)y V’(-3,0), los

focos en F(-3,3+√ ) y

F’(-3,3-√ ) a=3, b=√ y c=√ .


31

Radio vectores

A las distancias desde un punto cualquiera de la elipse hasta cada uno de los focos se le

llama radio vector.

Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que esta suma es igual a

√ √


32

5.4. Aplicaciones

La elipse tiene una propiedad de reflexión parecida a la de la parábola, si un rayo sale de un

foco de la elipse, este la refleja en ella hacia el otro foco7, en astronomía es básico su

estudio, ya que algunos cuerpos celestes siguen órbitas de forma elíptica, los cuerpos

celestes alrededor del sol, siguen este tipo de órbitas, de ahí la primera ley de Keppler que

dice:

Un planeta gira alrededor del Sol, en órbita elíptica con el Sol en un foco8.

Así se ha podido predecir la órbita del Cometa Halley9

La elipse tiene curiosas e interesantes propiedades, las que resultan sumamente útiles en la

naturaleza, la ciencia, maquinaria o el arte.

En la naturaleza

Los satélites terrestres viajan en torno a nuestro planeta en órbitas elípticas. Los planetas

del sistema solar giran en torno al Sol en órbitas elípticas, y el Sol ocupa el lugar de uno de

los focos.

En algunos museos, la galería de los susurros es una atracción interesante,su forma es

elíptica, si dos personas se colocan en los focos, pueden susurrar y escucharse claramente

una a la otra, mientras que las personas situadas en otros lugares no los pueden escuchar.

Esto sucede en virtud de que las ondas de sonido que emanan de un foco se reflejan en el

otro, concentrándose en él.10

Galería de susurros


33

En la ciencia

Una aplicación científica es el empleo de reflectores elípticos de ultrasonido para disgregar

los cálculos renales: se coloca el reflector de tal modo que el cálculo esté en uno de los

focos y la fuente sonora en el otro, las ondas se concentran en la piedra haciéndola vibrar y

desintegrándola11

.

En maquinaria

Se utilizan ruedas dentadas de forma elíptica, cuando se necesitan distintas velocidades de

marcha, como en las máquinas afiladoras, limadoras, mortajadoras o cepilladoras, en las

que la velocidad de corte es menor que la velocidad de retorno12

.

En el arte

En la Arquitectura se utiliza frecuentemente la elipse por la belleza de sus formas. Obras

famosas se han construido con forma elíptica; por ejemplo, el Coliseo en Roma13

. La elipse

se ha utilizado también para estructuras de puentes, en viaductos; así como en arcos,

vidrieras, puertas y edificios.

A continuación veremos dos ejemplos de aplicaciones de la elipse:

Ejemplo 16. Sobre el río Sena navegará un barco turístico que tiene una altura de 6

metros, sobre el río está construido un puente de forma elíptica, se conoce la excentricidad

del mismo que es e= 1

8, si el ancho del puente es de 16 metros, determina la altura máxima

para saber si el barco pasará por debajo del puente.

Si consideramos el ancho del río como la longitud del eje mayor

2

2

1V 8,0 , V 8,0 ; e=

8

si la excentricidad es: e=

1 c 1

8 a 64

c

a

c

a

Utilizamos la siguiente relación: a2=b

2+c

2


34

2 2 2

2

2

64 1

63

b a b

b

b

2 63

63

b

b

Por lo tanto la altura es de b=7.9m, por lo que el barco puede pasar por debajo del puente

sin ningún problema.

Ejemplo 17. El satélite natural de la tierra es la luna , que gira alrededor de esta,

describiendo una órbita elíptica con la tierra en uno de los focos. Si las longitudes de los

ejes mayor y menor son 768,800km y 767,640km, respectivamente, cuáles son las

distancias máxima y mínima (apogeo y perigeo) entre los centros de la tierra y la luna.

Como: 2 768,800 y 2b=767,690

a=384,400 y b=383,820

a

Utilizamos la siguiente relación para obtener el valor de “c”:

2 2

2 2384,800 383,820

21,108.47

c a b

c

c

Por lo tanto la distancia mayor entre el centro de la tierra y el de la luna es:

a + c = 384,800 + 21108 = 405,508km

y la distancia menor entre el centro de la tierra y el de la luna es:


35

a – c = 384,400 – 21108 = 363,292km

Ejemplo18. Debido a la excentricidad de la órbita terrestre, la distancia entre el sol y la

tierra varia a lo largo del año, y la tierra se mueve con velocidad variable, generando una

trayectoria elíptica. Por lo que la distancia máxima aproximada de la Tierra al sol (afelio)

es 152 millones de kilómetros y la distancia más cercana (perihelio) aproximadamente es

de 147 millones de kilómetros. Determina los ejes mayor y menor de la elipse que forma la

trayectoria de la tierra alrededor del sol.

Considerando que el sol es el centro de la elipse, por lo

tanto los ejes se determinan de la siguiente manera:

Eje mayor 2a= 2(152 x106) = 304 x10

6 Km

Eje menor 2b = 2(147 x106) = 294 x10

6 Km


36

5.5. Problemario

1. Encontrar la ecuación de la elipse cuando se conocen los

siguientes datos:

1.1. V(5,0) y V’(-5,0), F(3,0) y F’(-3,0)

1.2. V(0,6)y V’(0,-6), F(0,4) y F’(0,-4)

1.3. V(9,0) y V’(-9,0), F(7,0) y F’(-7,0)

1.4. V(7,0) y V’(-7,0),

1.5. F(0,2) y F’(0,-2) y

1.6. V(6,0) y V’(-6,0), lado recto Lr=9

1.7. V(0,5) y V’(0,-5), lado recto Lr=

1.8. V(7,0) y V’(-7,0), lado recto Lr=

2. Encuentra los siguientes elementos de la elipse; vértices,

focos, longitud de los lados rectos, excentricidad y centro

de la elipse cuya ecuación es:

2.1. 16x2+25y

2-400=0

2.2. 36x2+20y

2-720=0

2.3. 3x2+81y

2-2592=0

2.4. 33x2+49y

2-1617=0

3. Hallar la ecuación de la elipse cuando se conocen los

siguientes datos:

3.1. V(6,-2) y V(-2,-2) y F(5,-2)y F’(-1,-2)

3.2. V(-3,7) y V(-3,-3) y F(-3,5) y F’(-3,-1)


37

3.3. V(9,1),V’(-3,1) y F(7,1),F’(-1,1)

3.4. V(3,7),V’(3,-3) y F(3,5), F’(3,-1)

3.5. V(10,-3),V’(-2,-3) y

3.6. V(1,4), V’(1,-8) y

3.7. V(3,3), V’(-7,3) y

3.8. V(-2,3),V’(-2,-9) y

3.9. V(8,2), V’(0,2),

3.10. V(1,2), V’(1,-4),

3.11. F(3,1),F’(-1,1),

3.12. F(7,2),F’(-1,2) y eje mayor=10

3.13. V(3,2),V’(3,-8) y longitud del eje menor=6

4. Encontrar el centro, vértices, focos, excentricidad,

longitud de los lados rectos de las elipses cuya ecuación es:

4.1. 16x2+25y

2+64x-150y-111=0

4.2. 5x2+9y

2-10x+18y-31=0

4.3. 9x2+25y

2-54x-100y-44=0

4.4. 9x2+25y

2-54x+150y+81=0


38


1. Hallar la ecuación de la elipse si sus vértices son V(6,0) y V’(-6,0) y sus focos son F(4,0)

Y F’(-4,0).

2. Hallar los vértices, focos, longitud de los lados rectos, excentricidad y centro de la elipse

cuya ecuación es:

16x2+25y

2-400=0

3. Conociendo la excentricidad e=

y los vértices V(3,1) y V’(-9,1) encontrar la ecuación

de la elipse.

4. Encuentra el centro, vértices, focos, excentricidad y longitud de los lados rectos de la

elipse que tiene por ecuación:

4x2+y

2+16x+6y+21=0

5. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica de la elipse.

a) 2 27x 16 56 64 64 0y x y

b) 2 27x 16 56 64 64 0y x y

c) 2 27x 16 56 64 64 0y x y

d) 2 27x 16 56 64 64 0y x y


39

5.7. Conclusión

Las cónicas son importantes porque forman parte de los conocimientos matemáticos

básicos de cualquier persona, por ejemplo, las curvas elípticas son características de las

trayectorias cerradas de los cuerpos celestes: planetas, satélites y aún estrellas. El análisis

geométrico, haciendo uso de las ecuaciones, los astrónomos pueden anticipar las posiciones

de estos cuerpos en el tiempo, gracias a esto se puede predecir los eclipses.

La elipse no se puede dibujar de un solo trazo con una regla y un compás, pero estos

instrumentos son útiles para localizar suficientes puntos de ella, también se puede construir

con hilos y dos clavos.

Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a

una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su

excentricidad es próxima a uno.

En este capítulo hablamos sobre la elipse horizontal y vertical con el centro dentro y fuera

del origen, así como algunos de sus principales elementos. En próximos estudios podrás

profundizar en la elipse inclinada, así como muchas otras aplicaciones tanto en ciencia,

tecnología y salud.


40


1.1.

2 2

125 16

x y

1.2. 2 2

120 36

x y

1.3. 2 2

181 32

x y

1.4. 2 2

149 33

x y

1.5. 2 2

112 16

x y

1.6. 2 2

136 27

x y

1.7 . 2 2

19 25

x y

1.8. 2 2

149 33

x y

2.1. 32 3

V 5,0 y V' 5,0 , F 3,0 y F' 3,0 , Lr= , e= , 0,0 .5 5

C

2.2. 20 2

V 0,6 y V' 0, 6 , F 0,4 y F' 0, 4 , Lr= , e= , 0,0 .3 3

C

2.3. 64 7

V 9,0 y V' 9,0 , F 7,0 y F' 7,0 , Lr= , e= , 0,0 .9 9

C

2.4. 66 4

V 7,0 y V' 7,0 , F 4,0 y F' 4,0 , Lr= , e= , 0,0 .7 7

C

3.1.

2 2

2 22 2

1; 7x 16 28 64 20 016 7

x yy x y


41

3.2.

2 2

2 23 2

1; 25x 16 150 64 111 016 25

x yy x y

3.3.

2 2

2 23 1

1; 20x 36 120 72 504 036 20

x yy x y

3.4.

2 2

2 23 2

1; 25x 16 150 64 111 016 25

x yy x y

3.5.

2 2

2 24 3

1; 11x 36 88 216 104 036 11

x yy x y

3.6.

2 2

2 21 2

1; 36x 20 72 80 604 020 36

x yy x y

3.7.

2 2

2 22 3

1; 16x 25 64 150 111 025 16

x yy x y

3.8.

2 2

2 22 3

1; 36x 11 144 66 153 011 36

x yy x y

3.9.

2 2

2 24 2

1; 7x 16 56 64 64 016 7

x yy x y

3.10.

2 2

2 21 1

1; 9x 5 18 10 31 05 9

x yy x y

3.11.

2 2

2 21 1

1; 5x 9 10 18 31 09 5

x yy x y

3.12.

2 2

2 23 2

1; 9x 25 54 100 44 025 9

x yy x y

3.13.

2 2

2 23 3

1; 25x 9 150 54 81 09 25

x yy x y

4.1. 3 32

C 2,3 , V 3,3 y V' 7,3 , F 1,3 y F' 5,3 , e , Lr=5 5


42

4.2. 2 10

C 1, 1 , V 1,2 y V' 1, 4 , F 1,1 y F' 1, 3 , e , Lr=3 3

4.3. 4 18

C 3,2 , V 8,2 y V' 2,2 , F 7,2 y F' 1, 2 , e , Lr=5 5

4.4. 4 18

C 3, 3 , V 2, 3 y V' 8, 3 , F 1, 3 y F' 7, 3 , , 5 5

e Lr


1.

2. V(5,0) y V’(-5,0), F(3,0) y F’(-3,0),

, C(0,0)

3.

4. C(-2,-3),V(-2,-1) y V’(-2,-5),F(-2,+√ ) y F’(-2,-√ ), √

, Lr=1

5. c


43

Referencias

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i


1

6.1. La hipérbola como lugar geométrico

En la época de Platón los griegos consideraban que las secciones cónicas: elipse, parábola e

hipérbola se derivan de la intersección de un cono con un plano (de ahí se atribuye el

nombre de secciones cónicas). Uno de los predecesores más importantes fue Menecmo

(325-375 aC), matemático griego, discípulo de Eudoxo, amigo de Platón y tutor de

Alejandro Magno, fue quien descubrió las propiedades de la hipérbola1. Con Newton la

hipérbola empieza a considerarse como una curva de dos ramas, pues Apolonio no

consideraba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva2.

Aún cuando las hipérbolas no se presentan en construcciones físicas, como la parábola y la

elipse, son curvas muy útiles, aparecen frecuentemente en graficas de ecuaciones en física,

biología y economía, así como en curvas de oferta y demanda. La ley de Ohm, la Ley de

Boyle y la acción capilar son ejemplos de hipérbolas1.

La definición de la hipérbola es análoga a la de una elipse. El único cambio es que en lugar

de usar la suma de distancias desde dos puntos fijos, usamos la diferencia.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos, cuya diferencia de las distancias a

dos puntos fijos llamados focos se mantiene constante y es positiva3.

La hipérbola

La hipérbola es el conjunto de puntos que se mueven en el plano de manera que la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una cantidad constante e

igual al eje transverso4.

La recta que pasa por los focos es un eje de la hipérbola llamado eje focal y al segmento

que une los vértices se llama eje transverso, también hay otro eje que es perpendicular al

anterior y se llama eje conjugado, dichos ejes el conjugado y el transverso se interceptan y

el punto de intercepción se llama centro de la hipérbola.

La hipérbola tiene dos lados rectos, que son segmentos que pasan por los focos

perpendiculares al eje de la hipérbola y que unen dos puntos de la hipérbola.


2

La hipérbola presenta simetría respecto a sus ejes y tiene dos asíntotas que pasan por el

centro de la hipérbola, veamos la siguiente figura donde se muestran los elementos de la

hipérbola antes mencionados:

Elementos:

Focos: F y F’

Vértices: V y V’

Centro: C

Eje transverso=2a=

Eje conjugado=2b

Distancia entre los focos=2c=

Semieje transverso=a

Semieje conjugado=b

Distancia del centro al foco=c

Longitud del lado recto

a<c


3

A continuación se muestran las distintas posiciones de las hipérbolas horizontales y

verticales en el curso no se abordarán las inclinadas, dicha posición la determina su eje

transverso.

Basándonos en la definición, consideremos un punto cualquiera de la hipérbola uno de los

vértices, la siguiente gráfica nos muestra que el valor absoluto de la diferencia de sus

distancias a los focos, es la distancia entre los vértices =2ª.

|| | | | | | =2a ya que

Obsérvese que la hipérbola es una curva abierta y consta de dos ramas o secciones, con

extensión infinita. La longitud del semieje conjugado forma un triángulo rectángulo con


4

catetos; el semieje conjugado y semieje transverso, y la hipotenusa c, que al aplicar el

teorema de Pitágoras resulta: c2=a

2+b

2.

6.2. Ecuación de la hipérbola

Comencemos con una hipérbola horizontal con centro en el origen, ver figura:

Por la definición:

| | que equivale a …(a)

De la misma manera, si tomáramos el punto en la rama izquierda tendríamos:

….(b)

Observe que dependiendo de la rama que se tome, las distancias del punto a los focos son

menores o mayores, si lo tomamos como en el ejemplo en la rama derecha .

Deduciremos la fórmula con el punto en la rama derecha, ya que análogamente se obtiene

la misma si se toma con la rama izquierda, por lo que usaremos la ecuación (a).

Usando la fórmula de distancia entre dos puntos:

√

Calculamos las distancia del punto a los focos y las sustituimos en (a), y tenemos:

√ y √


5

√ √

Despejamos √ √

Elevamos al cuadrado (√ ) ( √ )

= 4a2+4a√ +

X2-2cx+c

2+y

2 = 4a

2+4a√ +x

2+2cx+c

2+y

2

Reduciendo -4cx-4a2=4a√ todo entre 4

-cx-a2=a√ elevando al cuadrado

( √ )

c2x

2+2a

2cx+a

4=a

2(

c2x

2+2a

2cx+a

4=a

2(x

2+2cx+c

2+y

2)

c2x

2+2a

2cx+a

4=a

2x

2+2a

2cx+a

2c

2+a

2y

2

reduciendo c2x

2 - a

2x

2+a

2c

2-a

2y

2 = a

2c

2-a

4

factorizando x2(c

2-a

2)-a

2y

2=a

2(c

2-a

2)

pero de la relación c2=a

2+b

2, vemos que: c

2-a

2=b

2 lo sustituimos y tenemos:

b2x

2-a

2y

2=a

2b

2 dividiendo entre a

2b

2

Esta es la ecuación de la hipérbola horizontal con vértice en el origen.

Análogamente se trabaja para deducir la ecuación de la hipérbola vertical con vértice en el

origen, (queda al lector obtener la deducción).


6

Esta es la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen.

¿Pero cómo diferenciar las dos ecuaciones? Si prestamos atención el término en x2 nos

puede auxiliar, cuando este es positivo es horizontal y cuando es positivo el término en y2

es vertical.

Al igual que la elipse, la hipérbola tiene dos lados rectos y para obtenerlos usaremos la

ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en el origen y despejamos y:

y = √

y=

√ pero por tratarse de una longitud

y=

√ tomamos el valor positivo

Recordemos que comenzamos con la ecuación de una hipérbola horizontal, entonces el

foco tiene coordenadas F(c,0) sustituimos el valor de la abscisa en la ecuación anterior:

y=

√

Usando la relación c2=a

2+b

2, despejamos b

2=c

2-a

2, que es lo que tenemos dentro del radical

Lo sustituimos y tenemos:

y=

√ =

este es el valor de la mitad del lado recto

Lr=

.


7

Excentricidad: Recuerda que la excentricidad se denota con la letra e y es igual a e=

,

ya que c>a.

Asíntotas de la hipérbola

Las asíntotas son rectas a las que cada rama de la hipérbola se acerca pero jamás llega a

tocarlas, y tienen por ecuación:

y=

asíntotas de la hipérbola horizontal con centro en el origen

y=

asíntotas de la hipérbola vertical con centro en el origen

A continuación veremos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior:

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(3,0) y V’(-3,0) y

cuyos focos son F(5,0) y F’(-5,0).

Solución

Las coordenadas de los vértices son V(a,0) y V´(-a,0), de aquí

observamos que un dato que tenemos es a=3.Esto nos indica que la

hipérbola es horizontal.

Las coordenadas de los focos F(c,0), F´(-c,0) nos arrojan otro

dato, c=5.

La ecuación ordinaria o canoníca es de la forma

2 2

2 21

x y

a b

Y para encontrar la ecuación solo se sustituye en la ecuación

anterior los valores de a y b; para encontrar el valor de b

utilizamos la ecuación c2=a

2+b

2

Despejando b se tiene:


8

2 2b c a

Sustituyendo los valores de c y a:

2 25 3 25 9 16 4b

La ecuación buscada es:

2 2

2 21

3 4

x y

2 2

19 16

x y

La excentricidad

5

3

ce

a

Lado recto

22 2(16) 32

3 3

bLr

a

El eje real o transverso VV´=2a = 2(3)=6

Eje imaginario o conjugado AA´=2b=2(4)=8

Las ecuaciones de las asíntotas

by x

a

by x

a

Sustituyendo los valores de a y b:

4

3

xy

4

3

xy


9

Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son: V(0,2) y V’(0,-2) y cuya

excentricidad es e=

.

Solución

Como los vértices están sobre el eje y, es una hipérbola vertical

y su ecuación tiene la forma:

De las coordenadas de los vértices tenemos el valor de a=2

Por lo tanto la excentricidad es:

5

2

ce

a

Entonces c=5, por lo que las coordenadas de los focos son:

F(0,5),F´(0,-5)

Para calcular b, utilizamos la relación c2=a

2+b

2

2 2b c a

2 25 2 25 4 21b

La ecuación pedida es:

2 2

2 21

y x

a b


10

2 2

14 21

y x

O bien, 21y2-4x

2-84=0 que es su forma general

El lado recto

2

3 2 212 4221

2 2

bLr

a

Las ecuaciones de las asíntotas bx

ya

bx

ya

Sustituyendo los valores de b y a:

21

2

xy

21

2

xy

El eje real o transverso =2a = 2(2)=4

Eje imaginario o conjugado =2b=2 21

2

21

xy

2

21

xy


11

Ejemplo 3. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F(0,3) y F’(0,-3) y cuya

longitud de sus lados rectos es Lr=16.

Solución

Conocemos c=3 y Lr=16, entonces sustituimos el valor de Lr

y despejamos b2 de la ecuación, sustituimos este valor en la

segunda ecuación y resolvemos:

2 22

2

2

2

2 2 como Lr=16 tenemos 16 despejamos

16 2

16

2

8

b bLr b

a a

a b

ab

b a

2 2 2 2

2 2

2

2

sustituyendo el valor de =8a y c=3 en la ecuación

queda 3 8 quedando una ecuación de segundo grado

8 9 0

la ordenamos , y resolvemos utilizando la fórmula general

4

2

para e

b c a b

a a

a a

b b acx

a

ste caso los coeficientes de la variable son : a=1, b=8, c=-9

Descartamos a=-9 por que no representa una magnitud y

tomamos como valor a=1.

2

Con los datos a 1, c 3 y usando la relación

8 8(1) 8b a b

22 2 22

Tenemos la ecuación de lado recto y la relación cb

Lr a ba


12

Como los focos están sobre el eje vertical, se trata de una

hipérbola de la forma

2

2 2

21

y x

a b

2 2

22

2 2

sustituyendo a=1, b= 8

11 8

1 es la ecuación ordinaria de la hiperbola1 8

y x

y x

la excentricidad:

3e= 3

1

las coordenadas de los vertices V(0,a), V'(0,-a)

V(0,1) y V (0,-1)

las ecuaciones de la asíntotas y= , y=

8

8

8

8

la longitud del eje '=2a=2(1)=2

la longitud de eje

c

a

a ax x

b b

y x

y x

VV

conjugado=2b=2 8

8

8y x

8

8

xy


13

Ejemplo 4. Encuentra los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:

2 2

19 49

y x

Solución

Como la ecuación ya está en forma canónica, se observa

directamente de esta los valores de a y b, y por tener el

término y2 positivo es vertical.

9 3a , 49 7b

Calculando c, con la relación: 2 2c a b

2 23 7 9 49 58c

Con los valores a=3,b=7 y 58c , y por tratarse de una

hipérbola vertical, calculamos los vértices V(0,a), V´(0,-a),

quedando:

V(0,3),V´(0,-3)

Focos: F(0,c),F´(0,-c)

F(0, 58 ),F´(0,- 58 )

El ancho focal o lado recto está dado por la ecuación 22b

Lra

, entonces,

22(7) 2(49) 98

3 3 3Lr

La excentricidad:

58

3

ce

a


14

Las asíntotas están dadas por a

y xb

; como b=7 y a=3

tenemos:

3

7y x

3

7y x

Ejemplo 5. Hallar los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:

x2 – 4y

2- 16=0

Solución

Como el término cuadrático positivo es x2 se trata de una hipérbola

horizontal.

Dividiendo toda la ecuación entre 16, para que el término

independiente se convierta en uno y obtener la forma ordinaria:

2 24 16

16 16 16

x y

2 2

116 4

x y

Comparándola con la ecuación ordinaria

2 2

2 21

x y

a b

Al hacer la comparación se observa que; a2 =16 y b

2=4 por lo que

2 24 16

16 16

x y

F(0, 58)

F'(0,- 58)


15

16 4a

4 2b

Utilizando la relación:

2 2c a b

Y sustituyendo los valores a=4 y b=2

2 24 2c

16 4c

20 2 5c

Con los valores ya calculados de a,b y c, encontramos que

Las coordenadas de los focos son:

(2 5,0)F y ( 2 5,0)F

Las coordenadas de los vértices son:

V(4,0) y V´(-4,0)

Finalmente las ecuaciones de las asíntotas y=

sustituyendo los valores a=4, b=2:

1

2y x ,

1

2y x

Para graficar las asíntotas se hace una tabla de valores, con 2

son suficiente, ya que sabemos que por dos puntos pasa una recta.


16

Ecuación de la hipérbola con centro en cualquier punto del plano

Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en cualquier punto del plano

Respecto de los nuevos ejes coordenados X’ y Y’ la ecuación de la hipérbola horizontal es:


17

( )

Hacemos uso de las fórmulas de traslación de ejes:

x’=x-h y y’=y-k

Esta es la fórmula ordinaria de la ecuación de la hipérbola horizontal.

Ecuación de la hipérbola vertical con centro en cualquier punto del plano

Análogamente se hace para la ecuación de la hipérbola vertical y se obtiene:

De las formas ordinarias podemos pasar a la forma general quitando los denominadores,

elevando los binomios y reduciendo los términos semejantes.


18

Dichas hipérbolas tienen la relación:

c2=a

2+b

2

El valor de su excentricidad: e=

Longitud de los lados rectos: Lr=

Asíntotas horizontales:

Asíntotas verticales:

0

A continuación veremos unos ejemplos donde las apliquemos.

Ejemplo 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(5,3),V’(-1,3) y

cuyos focos son F(6,3) y F’(-2,3).

Solución

Como los vértices y focos tienen la misma ordenada se trata

de una hipérbola horizontal.

Cuando la hipérbola no tiene el centro en el origen las

coordenadas de los vértices y los focos son:

V(h+ak), V’(h-a,k)

F(h+c,k), F´(h-c,k)

De estas últimas coordenadas, comparándola con los focos que

nos da el enunciado del problema, tenemos:

h+c=6,


19

h-c=-2

que son 2 ecuaciones con 2 incógnitas despejando c en las 2

igualdades:

c=6-h

c=h+2

Igualando:

6-h=h+2

6=h+h+2

h+h+2=6

2h=6-2

42

2h

Sustituyendo este valor en c=h+2

2 2 4c

De las coordenadas de los vértices V(h+a,k) y V(5,3)

Establecemos que h+a=5, como sabemos que h=2, sustituimos:

2 5

5 2 3

a

a

Para encontrar el valor de b, utilizamos la relación c2=a

2+b

2

y los valores de c=4,a=3

2 2

4 3 16 9 7 7b

Tenemos los valores:


20

3, 7, 4, 2, 3 a b c h k

Ahora podemos calcular los datos que se nos piden.

El centro es C(h,k),entonces (2,3)C.

Observe: qué resulta más práctico, calcular el punto medio de

los vértices o de los focos.

La ecuación corresponde a una hipérbola horizontal con

centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje de las x:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )1

sustituyendo los valores de h,k,a,b

( 2) ( 3)1

3 7

( 2) ( 3)1

9 7

x h y k

a b

x y

x y

O bien, desarrollando y quitando denominadores, la fórmula

general:

7x2+9y

2-28x+54y+46=0

Para obtener el lado recto:

2 22 2( 7) 2(7) 14

3 3 3

bLr

a

Lado recto =2a=2(3)=6

Longitud del eje conjugado: 2b= 2 7

Longitud del eje transverso: 2a=

Las asíntotas son:


21

( ) ( )

por lo tanto las ecuaciones de las asisntotas son:

7(y-3)= ( 2)

3

7(y-3)= - ( 2)

3

by k x h

a

x

x

Observe que las asíntotas son ecuaciones de la recta de la forma punto pendiente.

Ejemplo 7. Hallar al ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(5,-2) y V’(-3,-2) y

cuya excentricidad es e=

.

Solución

De las coordenadas del V(h+a,k),V´(h-a,k) y comparando los

datos tenemos:

h+a=5

h-a=-3

Despejando h en ambas ecuaciones y luego igualando para

encontrar el valor de a:


22

h=5-a

h=a-3

5-a=a-3

8=2a

a=4

como h=5-a

h=5-4

h=1

Recuerda que es más práctico encontrar las coordenadas del

punto medio de los vértices.

Conocemos el valor de la excentricidad e:

5

4 4

5(4)

4

5

ce

a

c

c

c

2 2para encontrar el valor de b utilizamos la relación b= c a

2 25 4 25 16 9 3b

La ecuación de la hipérbola la obtenemos sustituyendo los

valores a=4,b=3,c=5,h=1,k=-2 en


23

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )1

sustituyendo los valores de h,k,a,b

( 1) ( ( 2)1

34

( 1) ( 2)1 forma ordinaria

16 9

x h y k

a b

x y

x y

9x2-16y

2-18x-64y-155=0 forma general

Para obtener el lado recto:

2 22 2(3 ) 2(9) 18 9

4 4 4 2

bLr

a

Eje transverso 2a=2(4)=8

Longitud del eje conjugado

Las asíntotas son:

( ) ( )

por lo tanto las ecuaciones de las asisntotas son:

3 3(y-(-2))= ( 1) esto es (y+2)= ( 1)

4 4

3(y+2)= ( 1)

4

by k x h

a

x x

x


24

Ejemplo 8. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos V(2,10) y

V’( 2 , 2 ) y cuya longitud de los lados rectos es Lr=18.

Solución

Como vemos, en las coordenadas de los vértices el valor de

las abscisas es igual, lo que nos indica que es una hipérbola

vertical:

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

con asíntotas coordenadas

(y-k)= ( ) ( , ), '( , )

( ,

ax h V h k a V h k a

b

F h

), '( , - )k c F h k c

Usando las coordenadas dadas:


25

h=2

k+a=10

k-a=2

Estas dos últimas son dos ecuaciones simultáneas de 2

incógnitas, despejamos k de ambas y después igualamos:

Despejando k

K=10-a

K=a+2

Igualando

10-a=a+2

Resolviendo

10=a+a+2

10-2=2a

8=2a

a=4

En la ecuación k=10-a, sustituimos el valor encontrado de a=4

para obtener el valor de k

k=10-a

k=10-4

k=6

Por lo tanto el centro está en C(2,6)


26

Es más práctico encontrar con las coordenadas del punto medio

de los vértices.

2

2

Utilizando la relación

2Lr=

sustituyendo Lr=18, a=4

218

4

6

b

a

b

b

Calculando ahora el valor de c con la ecuación c2=a

2+b

2

2 2 2

2

2

4 6

16 36

52

52

c

c

c

c

2

2

cambiando los miembros y resolviendo:

218

4

36

6

b

b

b

Con los valores obtenidos

a=4, b=6, c= 52, 2, 6h k

encontramos la ecuación ordinaria,

2 2( 6) ( 2)1

16 36

y x

O bien: 9y

2-4x

2-108y+16x+164=0

Ancho focal 2a=2(4)=8

Longitud del eje conjugado =2b=2(6)=12


27

Ecuaciones de las asíntotas:

(y-k)= ( )

4 2( 6) ( 2) simplificando la fracción ( 6) ( 2)

6 3

4 2( 6) ( 2) ( 6) ( 2)

6 3

ax h

b

y x y x

y x y x

y excentricidad: 52 52

264 2

ce

a

Ejemplo 9. Hallar las coordenadas del centro, focos y vértices, longitud de los lados rectos,

valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es:

2 225 4 150 32 261 0x y x y

Solución

Convertimos la ecuación general en su forma ordinaria:


28

2 2

2 2

agrupando los términos

25 150 4 32 261 0

factorizando y pasando en el miembro derecho el término independiente:

25( 6 ) 4( 8 ) 261

x x y y

x x y y

2 2

2 2

2 2

completando cuadrados.

25( 6 9) 4( 8 16) 261 225 64

factorizando los trinomios:

25( 3) 4( 4) 100

se divide entre -100 para que el miembro de la derecha sea 1.

25( 3) 4( 4)100

100

x x y y

x y

x y

2 2

2 2

22

25( 3) 4( 4) 100

100 100 100

( 3) ( 4)1

4 25

reacomodando

( 4) ( 3)1

25 4

x y

x y

y x

Comparando con la forma canónica de una hipérbola vertical

con eje focal paralelo al eje de las y:

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

los valores obtenidos son:

k=4,h=3,a=5,b=2

para calcular c,utilizamos la relación c2=a2+b2

2 2 2

2

5 2

25 4

29

c

c

c


29

Con los valores ya obtenidos

las coordenadas del centro,

C(h,k)=C(3,4)

lado recto

2 22 2(2 ) 8

5 5

bLr

a

Longitud del eje transverso =2a=2(5)=10

Longitud del eje conjugado=2b=2(2)=4

Ecuaciones de las asíntotas

(y-k)= ( )

5( 4) ( 3)

2

5 ( 4) ( 3)

2

ax h

b

y x

y x

Excentricidad: 29

5

ce

a


30

Forma general de la ecuación de la hipérbola

Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal:

Comenzaremos por la ecuación ordinaria de la ecuación de la hipérbola:

Quitando el denominador, desarrollando los binomios y reduciendo términos semejantes:

b2(x

2-2hx-h

2)-a

2(y

2-2ky+k

2)=a

2b

2

b2x

2-2b

2hx- b

2h

2 -a

2y

2+2 a

2ky - a

2k

2=a

2b

2

b2x

2 -a

2y

2-2b

2hx+2 a

2ky+ b

2h

2- a

2k

2- a

2b

2=0

Comparemos la ecuación obtenida con la ecuación general de segundo grado para encontrar

la relación entre los coeficientes de ambas:

Ax2+Bxy+Cy

2+Dx+Ey+F=0

A=b2, B=0, C=-a

2, D=-2b

2h, E=2a

2k, y F=b

2h

2-a

2k

2-a

2b

2

Así la ecuación general de la hipérbola horizontal queda:

Ax2+Cy

2+Dx+Ey+F=0

Forma general de la ecuación de la hipérbola vertical

Comenzaremos por la ecuación ordinaria de la ecuación de la hipérbola:


31

Quitando el denominador, desarrollando los binomios y reduciendo términos semejantes:

b2(y

2-2hy-k

2)-a

2(x

2-2hx+h

2)=a

2b

2

b2y

2-2b

2kx+ b

2k

2 -a

2x

2+2 a

2hx - a

2h

2-a

2b

2=0

-a2x

2 +b

2y

2+2a

2hx-2b

2ky+ b

2k

2- a

2h

2- a

2b

2=0

Comparemos la ecuación obtenida con la ecuación general de segundo grado para encontrar

la relación entre los coeficientes de ambas:

Ax2+Bxy+Cy

2+Dx+Ey+F=0

A= -a2, B=0, C=-b

2, D=-2a

2h, E=-2b

2k, y F=b

2k

2-a

2h

2-a

2b

2

Así la ecuación general de la hipérbola horizontal queda:

Ax2+Cy

2+Dx+Ey+F=0

Si la hipérbola es horizontal el coeficiente de x2

es positivo y si es vertical el coeficiente de

y2 es positivo.

Veamos la aplicación de lo anterior:

Ejemplo 10. Hallar, pasando de la forma general a la ordinaria y después usando la fórmula

general, los elementos de la hipérbola:

2 236 64 216 512 3004 0x y x y

Solución

Convertiremos la ecuación general a su forma ordinaria

2 2

2 2

agrupando los términos

36 216 64 512 3004 0

factorizando y pasando en el miembro derecho el término independiente:

36( 6 ) 64( 8 ) 3004

x x y y

x x y y


32

2 2

2 2

2 2

completando cuadrados.

36( 6 9) 64( 8 16) 3004 324 1024

factorizando los trinomios:

36( 3) 64( 4) 2304

se divide entre 2304 para que el miembro de la derecha sea 1.

36( 3) 64( 4)2304

2304

x x y y

x y

x y

2 2

2 2

36( 3) 64( 4) 2304

2304 2304 2304

( 3) ( 4)1

64 36

x y

x y

De ahí los valores observados son:

a2=64,b

2=36,y centro C(-3,-4)

para calcular c, utilizamos la relación c2=a

2+b

2

2 2 2

2

8 6

64 36

100 10

c

c

c

Lado recto

2 22 2(6 ) 729

8 8

bLr

a

Longitud del eje transverso =2a=2(8)=16

Longitud del eje conjugado=2b=2(6)=12

Ecuaciones de las asíntotas

(y-k)= ( )

3( 4) ( 3)

4

3( 4) ( 3)

4

bx h

a

y x

y x


33

Excentricidad: 10 5

8 4

ce

a

Resolveremos ahora la misma ecuación utilizando la ecuación

general de la hipérbola: 2 2Ax 0By Cx Dy E

Las relaciones entre los coeficientes de la ecuación general

y los valores de los elementos de la hipérbola son:

2 2 2 2 B= - a C=2b D=2aA b h k

Con A=36,B=-64, C=-216, D=-512

Tenemos:

2 36, b=6b

2 64, 8,a a

2216 2b h

2163

64h

2512 2a k


34

5124

2(64)k

2 68 6 100 10c

Nuevamente los valores encontrados son los mismos

a=8, b=6, h= -3, k= -4

6.3. Aplicaciones

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a

velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica

hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de

una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. La hipérbola tiene

propiedades de reflexión, las cuales se aplican en el diseño de telescopios del tipo de

Cassegrain5.

La hipérbola es la trayectoria de muchos cometas, aquellos cuerpos que son desviados y

atraídos por el sol, pero cuya velocidad respecto a él les permite escapar de su atracción y

abandonar para siempre el sistema solar, su trayectoria es abierta, formando una hipérbola.

Esta curva es también usual en las radiocomunicaciones. La hipérbola es el modelo

comúnmente utilizado en navegación para localizar un sitio específico, mediante el

conocimiento de cierta información en tres puntos distintos1.

Veamos algunos ejemplos:


35

Ejemplo 11. En una ciudad existe un canal de drenaje sobre el cual está un puente

vehicular en forma hiperbólica, como se muestra en la figura, se desea construir 2 puentes

peatonales, a una distancia de 12 metros de la parte más angosta del puente la cual mide 36

metros. ¿Cuántos metros debe medir cada puente peatonal?

Solución

Situando el origen a la mitad de la parte más angosta del puente

vehicular, tenemos que la longitud del eje transverso es el ancho

del puente 2a=36

Por lo tanto a=18

Ubicando los focos a 12 metros sus coordenadas son:

F(30,0), F´(-30,0)

V(18,0), V´(-18,0)

Los puentes representan el lado recto de la hipérbola,

Necesitamos saber el valor de b, para poder aplicar la fórmula

22bLr

a

De la relación: 2 2 2c a b

Sabemos que a=18, c=30, calculemos b

2 230 18 900 324 576 24b


36

2 22 2(24 ) 115264

18 18

bLr

a

Por lo que la longitud de cada puente peatonal debe de ser de

64 metros.

Ejemplo 12. Dos estaciones LORAN(es un sistema de navegación de largo alcance, por sus

siglas en inglés Long Range Navigation) están a una distancia de 500 Km entre sí a lo largo

de un litoral recto. Un barco registra una diferencia de tiempo de segundos entre

las dos señales LORAN(señales a la velocidad de la luz). ¿En qué lugar tocaría tierra si

siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo?

Considere la velocidad de la luz c= Km/seg

Solución

En este sistema de navegación se necesitan dos estaciones que

envían señales a los barcos, estas estaciones representan los

focos de la hipérbola,las llamaremos estación 1 y estación 2.

Hacemos que en el sistema rectangular las dos estaciones

estén sobre el eje x y el origen a la mitad de la distancia

entre ellas.

El barco se encuentra en una hipérbola cuyos focos están en

la posición de las estaciones. Puesto que la diferencia de

tiempo es de 0.00090 seg y la velocidad de la luz es 300,000

Km/seg, la diferencia entre las distancias del barco a cada

estación es

distancia velocidad tiempo 300,000 0.00090 270 Kmkm

ss

La diferencia entre las distancias del barco a cada estación

270= 2a, de manera que a = 135 y el vértice de la parábola

está en (135,0) .Como el foco está en (250,0), si el barco

sigue la trayectoria hiperbólica tocará tierra a 250-135 =

115 Km de la estación 1.


37

6.4. Problemario

1. Encontrar la ecuación de la hipérbola si se conocen:

1.1. V(4,0), V’(-4 ,0) y los focos F(√ ,0) , F’(-√ ,0)

1.2. V(0,5), V’(0,-5) y los focos F(0,13) , F’(0,-13)

1.3. V(6,0), V’(-6,0) y e=

1.4. F(0,20) y F’(0,-20) y e=

1.5. V(2,0), V’(-2,0) y longitud de los lados rectos Lr=16

2. Encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y los focos, la longitud de cada lado

recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola cuya

ecuación es:

2.1. x2-y

2 =1

2.2. y2-x

2=1

2.3. 3x2-9y

2=27

Estación 1

F(250,0)

Estación 2

F´(-250,0)


38

2.4. 4y2-9x

2=36

2.5. 7x2-3y

2=21

3. Encuentra la ecuación de la hipérbola si se conocen los siguientes datos:

3.1. V(3,13), V’(3,3) , los focos F(3,14) y F’(3,2)

3.2. V(-5,9), V’(-5,-1) , los focos F(-5,10) y F’(-5,-2)

3.3. V(-1,-6), V’(-5,-6) , los focos F(1,-6) y F’(-7,-6)

3.4. V(4,1), V’(-3,-1) , los focos F(5,1) y F’(-4,1)

3.5. V(7,-6), V’(1,-6) y e=2

3.6. F(0,1) , F’(6,1) y e=

3.7. V(8,1), V’(2,1) y Lr=

3.8. V(-10,8), V’(-10,6) y Lr=8

4. En cada ecuación de la hipérbola encontrar las coordenadas del centro, los vértices, y

focos, la longitud de los lados rectos, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las

asíntotas

4.1. -3x2+4y

2-6x-24y+21=0

4.2. 16x2-9y

2-64x+54y-161=0

4.3. 16x2-9y

2+64x+54y-161=0


1. Hallar la ecuación de la hipérbola si se conocen los siguientes elementos.

V (5,0), V’ (-5,0) y F (7,0), F’ (-7,0)

2. Encuentra la ecuación de la hipérbola a partir de los siguientes elementos.

V (0,6), V’ (0,-6) y e2


39

3. Encuentra las coordenadas de los focos y vértices, el valor de la excentricidad de la

hipérbola cuya ecuación es:

2 2

1529 225

x y

4. Calcula las coordenadas del centro, focos y vértices, la longitud de los lados rectos, el

valor de la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas, de la hipérbola cuya ecuación

es: 5x2-4y

2-20x+8y-4=0

6.6. Conclusión

Las hipérbolas poseen ciertos elementos comunes, los cuales, al tomar valores distintos se

distingue una de otra. Estos son:

1. Puntos importantes: vértices, focos y centro

2. Ejes importantes: eje focal, eje transverso (es el segmento que une los vértices) y eje

conjugado.

3. Lado recto

4. Excentricidad (es la razón de las longitudes del eje focal y el eje transverso)

En la hipérbola aparecen las asíntotas. Las ramas de la hipérbola, se llaman asíntotas. Se

dice que el crecimiento de una curva es asintótico si es posible trazar una recta, tal que la

curva se aproxime sin medida a la recta sin cruzarse.

Las hipérbolas poseen dos asíntotas. Un par de rectas cruzadas cuyo trazo es útil para

graficarla.


40

En éste capítulo se habló de las hipérbolas horizontales y verticales donde el término en xy

no aparece, pero existen hipérbolas inclinadas que lo contienen, queda al lector profundizar

en el tema.


1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2.1. Centro C(0,0),vértices V(1,0),V’(-1,0),focos

F(√ ,0),F’( √ ,0), longitud de los lados rectos Lr= √ ,

e=√ , ecuaciones de las asíntotas y= x.

2.2. Centro C(0,0),vértices V(0,1),V’(0,-1),focos

F( √ ),F’( √ ),longitud de los lados rectos Lr= √ , e=√ ,

ecuaciones de las asíntotas y= x.

2.3. Centro C(0,0),vértices V(3,0),V’(-3,0),focos

F(√ ),F’( √ ),longitud de los lados rectos Lr=2, e= √

,

ecuaciones de las asíntotas y= √

x.

2.4. Centro C(0,0),vértices V(0,3),V’(0,-3),focos

F( √ ),F’( √ ),longitud de los lados rectos Lr=

, e=

√

,

ecuaciones de las asíntotas y=

x.

2.5. Centro C(0,0),vértices V(√ ),V’( √ ),focos


41

F(√ ),F’( √ ),longitud de los lados rectos Lr= √

,

e=√

, ecuaciones de las asíntotas y= √

x.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5

3.6.

3.7.

2 2

2 25 1

1; 25 9 250 18 391 09 25

x yx y x y

3.8.

4.1. Centro C(-1,3),vértices V(-1,3+√ ),V’(-1,3 √ ),focos

F(-1,3 √ ),F’( √ ),longitud de los lados rectos Lr= √

,

e=√

,ecuaciones de las asíntotas y-3=

√

x+1)

4.2. Centro C(2,3),vértices V(5,3),V’(-1,3),focos F(7,3),F’( )

Longitud de los lados rectos Lr=

, e=

ecuaciones de las

asíntotas y-3=

x-2)

4.3. Centro C(-2,3),vértices V(1,3),V’(-5,3),focos F(3,3),F’( )

Longitud de los lados rectos Lr=

, e=

ecuaciones de las

asíntotas y-3=

x+2)


42

6.8. Soluciones de la autoevaluación

1.

2.

3. F(√ ),F’( √ ),V(23,0),V’(-23,0),e=√

4. C(2,1),V(4,1),V’(0,1),F(5,1),F’(-1,1),Lr=5,e=

,asíntotas

√


43

Referencias 1 Norma. Alfa 10 con estándares. Norma: Recuperada el 21 de Julio de 2011 de

http://books.google.com.mx/books?id=auOvPFEjXDMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_sum


2 Anfossi Agustín & Flores Meyer Marco Antonio (2004) Geometría analítica. México: Progreso:


http://books.google.com.mx/books?id=i1BUlYPaKQsC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summa


3 Engler, Adriana et al. (2005) Geometría Analítica. Santa Fe, Argentina. Universidad Nacional del Litoral:


http://books.google.com.mx/books?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA160&dq=hiperbola,+geometria+analitica&hl

=es&ei=UFkoTvayJI70swObuIDnCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CEcQ6AEwBQ

#v=onepage&q&f=false

4 Mejía D. Francisco,et al.(2005) Matemáticas previas al cálculo. Colombia: Universidad de Medellín

http://books.google.com.mx/books?id=VfKMGiAftL4C&pg=PA523&dq=geometr%C3%ADa+anal%C3%A

Dtica+charles+h.+lehmann&hl=es&ei=-

vUoTqTWEdPZiAKLwbWwAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CEUQ6AEwBQ#v=o

nepage&q=HIP%C3%89RBOLA&f=false consultado 21de julio 2011

5 Stewart, James, et al. (2001) Precálculo: Matemáticas para el cálculo. México. Cengage Learning:

Recuperada el 21 de Julio de 2011 de

http://books.google.com.mx/books?id=psh0TZNE16QC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summ


http://books.google.com.mx/books?id=auOvPFEjXDMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

http://books.google.com.mx/books?id=auOvPFEjXDMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

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http://books.google.com.mx/books?id=psh0TZNE16QC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

http://books.google.com.mx/books?id=psh0TZNE16QC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

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