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V

� Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujode gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir yanalizar cantidades que tienen magnitud y dirección, incluyendo posiciones,fuerzas, momentos, velocidades y aceleraciones.

Vectores

Si un objeto está sometido a varias fuerzas que tienen diferentesmagnitudes y actúan en distintas direcciones, ¿cómo pueden de-terminarse la magnitud y la dirección de la fuerza total resultantesobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse deacuerdo con la definición de la suma de vectores. En ingenieríase trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud comodirección y que pueden expresarse y analizarse como vectores.En este capítulo se revisan las operaciones con vectores, se ex-presan los vectores en términos de sus componentes y se presen-tan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniería.

22 Capítulo 2 Vectores

2.1 Escalares y vectores

ANTECEDENTESUna cantidad física que puede describirse mediante un número real se denominaescalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa también lo es. Por ejemplo, sepuede describir la masa de un automóvil al decir que su valor es 1200 kg.

Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tantoun número real no negativo, o magnitud, como una dirección. Dos cantidades vec-toriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son iguales.

La posición de un punto en el espacio en relación con otro es una cantidadvectorial. Para describir la localización de una ciudad con respecto a su casa, no essuficiente decir que está a 100 millas; debe decir que está 100 millas al oeste de sucasa. La fuerza también es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mue-ble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en ladirección deseada.

Los vectores se representarán mediante letras en negritas, U, V, W, ..., y lamagnitud de un vector U se denotará por medio de �U�. Un vector se representagráficamente por medio de una flecha: su dirección indica el sentido del vector ysu longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere lospuntos A y B del mecanismo de la figura 2.1a. La posición del punto B respectoal punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2.1b. La direc-ción de rAB indica la dirección del punto A hacia el punto B. Si la distancia entrelos dos puntos es 200 mm, la magnitud �rAB� � 200 mm.

En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisión de tele-visión. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por mediode un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de800 N sobre la torre, �F� � 800 N (un cable tal mostraría algún pandeo, o curva-tura, y la tensión variaría junto con su longitud; por ahora, supondremos que lacurvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensionespueden ignorarse, supuesto más o menos válido si el peso de la cuerda o el cablees pequeño en comparación con la tensión. En el capítulo 10 se estudiarán y ana-lizarán los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle).

Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades físicasque tienen magnitud y dirección, aunque eso es sólo el principio de su utilidad. Asícomo los números reales se manipulan con las reglas conocidas para la suma, laresta, la multiplicación, etcétera, existen reglas para operar con vectores. Esasreglas proporcionan herramientas poderosas para el análisis en ingeniería.

Suma vectorialCuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que expe-rimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera másprecisa, algún punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra lafigura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. Ladirección de U indica la dirección del desplazamiento y |U| es la distancia recorri-da por el libro.

Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se mues-tra en la figura 2.3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplaza-miento del libro de su posición inicial a su posición final, que se representamediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posición final del libroes la misma si primero ocurre el desplazamiento U y después el desplazamientoV que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figu-ra 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientosU y V:

U � V � W.

A

B

(a)

(b)

B

rAB

A

B

A

Figura 2.1(a) Dos puntos, A y B, de un mecanismo.(b) Vector rAB de A hacia B.

F

A

B

Figura 2.2Representación de la fuerza que ejerce el cableAB sobre la torre, por medio de un vector F.

y

UU �� VV �� W.

2.1 Escalares y vectores 23

(a) (b)

(c) (d)

U U V

U V

WUV

U V

W

(a)

U

V

(b)

U

V

UU � V

V

(c)

(d)

UU

V

V

(e)

U

V

U � V U � V

Figura 2.4(a) Dos vectores, U y V.(b) La cabeza de U colocada en la cola de V.(c) Regla del triángulo para obtener la suma de U y V.(d) La suma es independiente del orden en que se sumen los

vectores.(e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V.

Figura 2.3(a) Desplazamiento representado por el vector U.(b) El desplazamiento U seguido por el desplaza-

miento V.(c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al

desplazamiento W.(d) La posición final del libro no depende del orden

de los desplazamientos.

U

V

W

U � V � W

Figura 2.5Suma de tres vectores U, V y W.

La definición de suma vectorial está basada en la suma de desplazamientos.Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figu-ra 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V(figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo para la suma vectorial. La figura2.4d demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colo-can cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para lasuma vectorial (figura 2.4e).

La definición de la suma vectorial implica que

U � V � V � U La suma vectorial es conmutativa. (2.1)

y

(U � V) � W � U � (V � W) La suma vectorial es (2.2)asociativa.

para cualesquiera vectores U, V y W. Estos resultados indican que al sumar dos omás vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colo-cando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la coladel primer vector a la cabeza del último es la suma (figura 2.5a). Si la suma de doso más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando secolocan cabeza con cola (figura 2.6).

WU

V

Figura 2.6Tres vectores U, V y W cuya suma es igual acero.

o más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando seo, los vectores forman un polígono cerrado cuando colocan cabeza con cola (figura 2.6).colocan cabeza con cola (figura 2.6).

gTres vectores U, V y W cuya suma es igual acero.ero.


Una cantidad física se denomina vector si tiene magnitud y dirección y obe-dece la definición de la suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vec-tor. La posición de un punto en el espacio respecto a otro punto también es unacantidad vectorial. En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC.Una fuerza tiene dirección y magnitud pero, ¿obedecen las fuerzas la definición dela suma vectorial? Por ahora se asumirá que sí. Cuando se estudie la dinámica, semostrará que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.

Producto de un escalar y un vectorEl producto de un escalar (número real) a por un vector U es un vector que seescribe como aU. Su magnitud es �a��U�, donde �a� es el valor absoluto del escalara. La dirección de aU es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a ladirección de U cuando a es negativo.

El producto (–1)U se escribe –U y se llama “negativo del vector U”. Tiene lamisma magnitud que U pero dirección opuesta. La división de un vector U entreun escalar a se define como el producto

En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares2, –1 y 1/2.

Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vec-tor implican que

El producto es asociativo con respecto (2.3)a la multiplicación escalar.

Los productos son distributivos con (2.4)respecto a la suma escalar.

y

Los productos son distributivos con (2.5)respecto a la suma vectorial.

para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados serán necesa-rios cuando se estudien las componentes de los vectores.

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (–1)V:

(2.6)

Considere los dos vectores U y V que se muestran en la figura 2.9a. El vector(–1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (figura2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (–1)V para obtener U – V.

Vectores unitariosUn vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Unvector unitario especifica una dirección y permite expresar en forma convenienteun vector que tiene una dirección particular. Si un vector unitario e y un vector Utienen la misma dirección, se puede escribir U como el producto de su magnitud�U� y el vector unitario e (figura 2.10),

U = ƒU ƒe.

U - V = U + 1-12V.

a1U + V2 = aU + aV,

1a + b2U = aU + bU,

a1bU2 = 1ab2U,

Ua

= a 1

abU.

AAAA

BBrABrAB

CC

rACrAC

rrBCrBC

Figura 2.7Las flechas que denotan las posicionesrelativas de los puntos son vectores.

U 2U �U � (�1)U �U2

12

U

U � V

(c)

U

(�1)V

(�1)V

(b)

U V

V

(a)

Figura 2.8Un vector U y algunos de sus múltiplos escalares.

Figura 2.9(a) Dos vectores U y V.(b) Vectores V y (–1)V.(c) La suma de U y (–1)V es la diferencia

vectorial U – V.UU = ƒUU ƒe.

(c) La suma de U y ( 1)V es la diferenciarenciavectorial U – V.

2.1 Escalares y vectores 25

Cualquier vector U puede verse como el producto de su magnitud y un vector uni-tario que tiene la misma dirección de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuaciónentre �U� se obtiene

entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unita-rio que tiene la misma dirección.

RESULTADOSUna cantidad física que está completamente descrita por un número real se llamaescalar. Un vector tiene tanto magnitud como dirección y satisface una regla defi-nida para la suma. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuyalongitud se define como proporcional a la magnitud.

U

ƒU ƒ= e,

U�U�

�U�e � Ue 1

Figura 2.10Como U y e tienen la misma dirección, el vec-tor U es igual al producto de su magnitud y e.

Regla del triángulo

UU � V

V

Regla del paralelogramo

U

V

U � V

Suma vectorialLa suma de dos vectores U y V se define mediante la regla del triángulo o su equivalente, la regla del paralelogramo.

U 2U �U � (�1)U � U

Producto de un escalar y un vectorEl producto de un escalar a y un vector U se define como un vector aU con magnitud �a��U�. Su dirección es la misma que la de U cuando a es positiva y opuesta a la de U cuando a es negativa. La división de U entre a se define como el producto (1/a)U.

U2

12

U � V U

(�1)V

U V

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V se define por medio de

U � V � U � (�1)V.


U�U�

�U�e � Ue 1

Vectores unitariosUn vector unitario es aquel que tiene una magnitud de 1. Cualquier vector U puede expresarse como |U|e, donde e es un vector unitario con la misma dirección que U. Al dividir un vector U entre su magnitud se obtiene un vector unitario con la misma dirección de U.

Ejemplo activo 2.1 Operaciones vectoriales (� Relacionado con el problema 2.1)

El valor medido de

2V

13.0

U

45�

�U � 2V� es 13.0.

Dibuje los vectores U y 2V a escala, colóquelos cabeza con cola.

2V6

8U

45�

Las magnitudes de los vectores que se muestran son �U� � 8 y �V� � 3. El vector Ves vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U � 2V.

EstrategiaAl dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del triángulo para la suma, es po-sible medir la magnitud del vector U � 2V.

Solución

U V

45�

Problema de práctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son �U� � 8 y�V� � 3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U – 2V.

Respuesta: |U - 2V| = 5.7.

VU

45�

= 5

Problemas 27

Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportada por loscables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están uni-dos se representan con los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas son�FAB� � 100 kN y �FAC� � 60 kN. Determine la magnitud y la dirección de la sumade las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.

Ejemplo 2.2 Suma de Vectores (� Relacionado con el problema 2.2)

EstrategiaAl dibujar el paralelogramo, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzasse puede medir la magnitud y dirección de su suma.

SoluciónSe construye gráficamente el paralelogramo para obtener la suma de las dos fuer-zas con las longitudes de FAB y FAC proporcionales a sus magnitudes (figura a). Mi-diendo la figura, se estima que la magnitud del vector FAB � FAC es de 155 kN y sudirección es de 19° sobre la horizontal.

Razonamiento críticoEn las aplicaciones de ingeniería, las operaciones con vectores casi siempre sehacen de manera analítica. Entonces, ¿por qué es importante adquirir experienciacon los métodos gráficos? Al hacerlo se mejora la intuición acerca de los vectoresy ayuda a entender las operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solu-ción gráfica puede ayudar frecuentemente a formular una solución analítica.

B

AC

30�30�

FAC

FAB

FAB

FAC

FAB � FAC

100 kN

60 kN

19�

(a) Solución gráfica.

Problemas

� 2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y Vse reorientan como lo muestra la figura. El vector V es vertical.Las magnitudes son �U� � 8 y �V� � 3. Determine en forma gráfi-ca la magnitud del vector U � 2V.

VU

45�

Problema 2.1

� 2.2 Suponga que la pila del ejemplo 2.2 se coloca más cercadel estadio de manera que el ángulo entre las fuerzas FAB y FAC

es de 50°. Dibuje un bosquejo de la nueva situación. Las magnitu-des de las fuerzas son �FAB� � 100 kN y �FAC� � 60 kN. Determinegráficamente la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzasejercidas por los cables sobre la pila.

Problema 2.1le


FB

FA

a

FC

�

2.3 La magnitud �FA� � 80 lb y el ángulo a � 65°. La magni-tud �FA � FB� � 120 lb. Determine gráficamente la magnitud de FB.

2.4 Las magnitudes �FA� � 40 N, �FB� � 50 N y �FC� � 40 N. Losángulos a � 50° y b� 80°. Determine gráficamente la magnitudde FA � FB � FC.

2.5 Las magnitudes �FA� � �FB� � �FC� � 100 lb, y el ángulo a � 30°. Determine gráficamente el valor del ángulo b para elcual la magnitud �FA � FB � FC� es mínima y el valor mínimo de�FA � FB � FC�.

2.6 El ángulo u � 50°. Determine gráficamente la magnitud delvector rAC.

Problemas 2.3–2.5

60 mm 150 mm

A C

BrAB rBC

rAC

�

Problema 2.6

2.7 Los vectores FA y FB representan las fuerzas ejercidaspor la banda sobre la polea. Sus magnitudes son �FA� � 80 N y�FB� � 60 N. Determine gráficamente la magnitud de la fuerzatotal que ejerce la banda sobre la polea.

45�

FA

FB

10�

Problema 2.7

2.8 La suma de las fuerzas FA � FB � FC � 0. La magnitud �FA� � 100 N y el ángulo a � 60°. Determine gráficamente lasmagnitudes �FB� y �FC�.

2.9 La suma de las fuerzas FA � FB � FC � 0. Las magnitudes�FA� � 100 N y �FB� � 80 N. Determine gráficamente la magni-tud �FC� y el ángulo a.

30�

FB

FA

FC

a

Problemas 2.8/2.9

Al resolver los problemas 2.3 a 2.5 consulte el siguientediagrama. Los vectores de fuerza FA, FB y FC pertenecenal mismo plano.


2.2 Componentes en dos dimensiones

ANTECEDENTESEs más fácil trabajar con vectores cuando se pueden expresar en términos de com-ponentes vectoriales perpendiculares. Aquí se explicará cómo descomponer vecto-res en componentes cartesianas y se darán ejemplos de manipulaciones de vectoresusando componentes.

Considere el vector U de la figura 2.11a. Al colocar un sistema coordenadocartesiano de modo que el vector U sea paralelo al plano x-y, es posible escribirlocomo la suma de los componentes vectoriales perpendiculares Ux y Uy que sonparalelas a los ejes x e y (figura 2.11b):

Luego, si se introduce un vector unitario i que señale en la dirección positiva deleje x y un vector unitario j que señale en la dirección positiva del eje y (figura2.11c), se puede expresar el vector U en la forma

(2.7)

Los escalares Ux y Uy se llaman componentes escalares de U. Cuando se nombransimplemente las componentes de un vector, se hace referencia a las componentesescalares. Se llamará a Ux y Uy las componentes x e y de U.

Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas alsistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el triángulo rectánguloformado por el vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.11c), se observaque la magnitud de U está dada en términos de sus componentes por el teorema dePitágoras:

(2.8)

Con esta ecuación se podrá determinar la magnitud de un vector cuando se conoz-can sus componentes.

Manipulación de vectores en términos de sus componentesLa suma de dos vectores U y V en términos de sus componentes es

(2.9) = 1Ux + Vx2i + 1Uy + Vy2j. U + V = 1Ux i + Uy j2 + 1Vx i + Vy j2

ƒU ƒ = 2U2x + U2

y.

U = Ux i + Uy j.

U = Ux + Uy.

(a)

U

(b)x

y

Ux

UyU

j

(c)ix

y

U

Ux� Uxi

Uy � Uy j

Figura 2.11(a) Vector U.(b) Componentes vectoriales Ux y Uy.(c) Las componentes vectoriales se pueden

expresar en función de i y j.

A

C

B

rAC

r

rAABBrAB

Problema 2.15

2.15 El vector r se extiende desde el punto A de la figura hasta elpunto medio entre los puntos B y C. Demuestre que

r = 121rAB + rAC2.

2.16 Por medio de un bosquejo de los vectores, explique por qué

U + 1V + W2 = 1U + V2 + W.

(2.9)(2= 1UxU ++ VVxxVVV 22ii ++ 1UUyyU ++ VVyyVVV 22jj..U + VV 1UxU ii + UUyU j2 + 1VxV i + VyV j2

2.2 Componentes en dos dimensiones 31

(a)

U

V

(b)x

y

U � VU � V

Uy j

Vy j

Ux i

U � V(Uy � Vy)j

(Ux � Vx)i

Vx i

(c)x

y

(a)x

A

B

rAB

rAB

(xA, yA)

(xB, yB)

(b)x

y

(xB � xA)i

(yB � yA)j

A

ByB

yA

xA xB

y

Figura 2.13(a) Puntos A y B, y el vector posición rAB de A

a B.(b) Las componentes de rAB se pueden determi-

nar a partir de las coordenadas de los pun-tos A y B.

Figura 2.12(a) Suma de U y V. (b) Componentes vectoriales de U y V. (c) La suma de las componentesen cada dirección coordenada es igual a la componente de U � V en esa dirección.

Las componentes de U � V son las sumas de las componentes de los vectores U y V.Observe que para obtener este resultado se usaron las ecuaciones (2.2), (2.4) y (2.5).

Es instructivo derivar gráficamente la ecuación (2.9). La suma de U y V semuestra en la figura 2.12a. En la figura 2.12b se introduce un sistema coordenadoy se muestran las componentes de U y V. En la figura 2.12c se suman las compo-nentes x e y y se obtuvo la ecuación (2.9).

El producto de un número a y un vector U en términos de las componentes deU es

aU � a(Uxi � Uy j) � aUxi � aUy j.

La componente de aU en cada dirección coordenada es igual al producto de ay la componente de U en esa dirección. Se usaron las ecuaciones (2.3) y (2.5) paraobtener este resultado.

Vectores de posición en términos de sus componentesEl vector de posición de un punto relativo a otro punto se puede expresar en tér-minos de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Considere el punto A concoordenadas (xA, yA) y el punto B con coordenadas (xB, yB). Sea rAB el vector queespecifica la posición de B en relación con A (figura 2.13a). Esto es, mediante rAB

se denota el vector que va de un punto A a otro punto B. Se observa en la figura2.13b que rAB está dado en términos de las coordenadas de los puntos A y B por

rAB � (xB – xA)i � (yB – yA)j. (2.10)

Observe que la componente x del vector de posición que va del punto A al puntoB se obtiene restando la coordenada x de A de la coordenada x de B, y la compo-nente y se obtiene restando la coordenada y de A de la coordenada y de B.

RESULTADOS

x

y

U

Un vector U que es paralelo al plano x–y puede expresarse como

donde i es un vector unitario que apunta en la dirección positivadel eje x y j es un vector unitario que apunta en la direcciónpositiva del eje y.

La magnitud de U está dada por

�U� � U2x � U2

y. (2.8)

(2.7)U � Uxi � Uy j,

U2U y.


La suma (o resta) vectorial y la multiplicación de un vector por un número puede realizarse en términos de sus componentes.

U � V � (Uxi � Uy j) � (Vxi � Vyj)

aU � a(Uxi � Uy j)

� aUxi � aUy j.

� (Ux � Vx)i � (Uy � Vy)j, (2.9)

El vector de posición de A a B está dado por

A

x

y

B

rAB

(xA, yA)

(xB, yB)

rAB � (xB � xA)i � (yB � yA)j. (2.10)

Manipulación de vectores en términos de sus componentes

Ejemplo activo 2.3 Determinación de componentes (� Relacionado con el problema 2.31)

El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superiorde la torre de televisión que se muestra en la figura, la fuerza está representada porel vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coorde-nado que se indica.

EstrategiaSe determinarán las componentes del vector F de dos maneras distintas. En el pri-mer método se encontrará el ángulo entre F y el eje y, y después se usará trigono-metría para determinar las componentes. En el segundo método se usará la pendientedada para el cable AB y se aplicarán triángulos semejantes para determinar las com-ponentes de F.

Solución

Primer método

A

B

80 m

40 m

A

B

80 mF

40 m

x

y

Fuerza ejecida sobre la torre por el cable AB

Vectores de posición en términos de sus componentes

x

y

40 m

80 m F

B

A

a

Determine el ángulo entre Fy el eje y:

a � arctan � 26.6�.40

80� �


Segundo método

Use trigonometría para determinar F en términos de sus componentes:

F � �F�sen ai � �F�cos aj

� 900 sen 26.6� i � 900 cos 26.6� j (N)

� 402i � 805j (N).

x

y

F

B

A

a

Usando las dimensiones dadas calculela distancia desde A hasta B:

(40 m)2 � (80 m)2 � 89.4 m.

x

y

40 m

80 m

B

A

Use triángulos semejantes paradeterminar las componentes de F:

entonces

� 402i � 805j (N).

F �40

89.4(900 N)i �

80

89.4(900 N)j

40 m

80 m

x

y

89.4 m

�Fx�

�F��Fy�

�Fx�

�F�y�

40 m

89.4 m

�Fy�

�F��

80 m

89.4 m,

Problema de práctica El cable que va del punto A al punto B ejerce una fuerza de900 N sobre la parte superior de una torre de televisión; la fuerza se representa median-te el vector F. Suponga que se puede cambiar la colocación del punto B de manera quela magnitud de la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x deF. Exprese F en términos de sus componentes. ¿Qué tan lejos del origen del sistema co-ordenado debería colocarse B a lo largo del eje x?

Respuesta: Coloque el punto B a 26.7 m del origen.F = 285i - 854j (N). Coloque e


A

F

x

30�

y

B

30� A

B

Ejemplo 2.4 Determinación de componentes en términos del ángulo (� Problema relacionado 2.33)

Muchos dispositivos mecánicos utilizan cilindros hidráulicos para ejercer fuerzas.La fuerza se ejerce mediante un líquido a presión (fluido hidráulico) que empuja unémbolo contra un pistón dentro del cilindro. El cilindro hidráulico AB de la figu-ra ejerce una fuerza F de 4000 lb sobre la caja del camión de volteo en B. ExpreseF en términos de componentes usando el sistema coordenado que se muestra.

EstrategiaCuando la dirección de un vector se especifica por medio de un ángulo, como en esteejemplo, es posible determinar los valores de las componentes con ayuda del trián-gulo rectángulo formado por el vector y sus componentes.

SoluciónLa figura a muestra el vector F y sus componentes vectoriales. En el triángulo rec-tángulo resultante se observa que la magnitud de Fx es

Fx apunta en la dirección x negativa, por lo que

La magnitud de Fy es

�Fy� � �F� sen 30° � (4000 lb) sen 30° � 2000 lb.

La componente vectorial Fy apunta en la dirección y positiva, por lo que

El vector F, en términos de sus componentes, es

La componente x de F es –3460 lb y la componente y es 2000 lb.

Razonamiento críticoCuando se han determinado las componentes de un vector dado se debe verificarque los resultados sean razonables. En este ejemplo se puede observar, a partir dela dirección del vector, que la componente x debería ser negativa y la componen-te y positiva. También se puede verificar que las componentes tengan la magnitudcorrecta. En este ejemplo,

ƒF ƒ = 21-3460 lb22 + 12000 lb22 = 4000 lb.

F = Fx + Fy = -3460i + 2000j 1lb2.

Fy = 2000j 1lb2.

Fx = -3460i 1lb2.

ƒFx ƒ = ƒF ƒ cos 30° = 14000 lb2cos 30° = 3460 lb.

30�

Fx

Fy

F

y

x

(a) La fuerza F y sus componentesforman un triángulo rectángulo.


Ejemplo 2.5 Determinación de una magnitud vectorial desconocida (� Relacionado con el problema 2.47)

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el gancho. La magnitudde FA es de 100 lb. La tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza totalFA � FB sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho.

a) ¿Cuál es la magnitud de FB?

b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?

EstrategiaLa suma vectorial de las dos fuerzas es perpendicular a la pared, por lo que la sumade las componentes paralelas a la pared es igual a cero. A partir de esta condiciónpuede obtenerse una ecuación para la magnitud de FB.

Solucióna) En términos del sistema coordenado de la figura a, las componentes de FA yFB son

La fuerza total es

Ahora, la componente de la fuerza total paralela a la pared (la componente y), se igua-la a cero

así se obtiene una ecuación para la magnitud de FB:

b) Como ahora se conoce la magnitud de FB, es posible determinar la fuerza totalque actúa sobre el gancho:

La magnitud de la fuerza total es de 92.2 lb.

Pensamiento críticoLa solución del inciso a) se puede obtener de una manera menos formal. En la fi-gura a se observa que, si la componente de la fuerza total paralela a la pared es cero,la magnitud de la componente vertical de FA debe ser igual a la magnitud de la com-ponente vertical de FB:

Por lo tanto, la magnitud de FB es

ƒFB ƒ =ƒFA ƒ cos 40°

cos 20°=1100 lb2 cos 40°

cos 20°= 81.5 lb.

ƒFA ƒ cos 40° = ƒFB ƒ cos 20°.

= [1100 lb2sin 40° + 181.5 lb2sin 20°]i = 92.2i 1lb2. FA + FB = 1 ƒFA ƒ sin 40° + ƒFB ƒ sin 20°2i

ƒFB ƒ =ƒFA ƒ cos 40°

cos 20°=1100 lb2cos 40°

cos 20°= 81.5 lb.

ƒFA ƒ cos 40° - ƒFB ƒ cos 20° = 0,

+ 1 ƒFA ƒ cos 40° - ƒFB ƒ cos 20°2j.FA + FB = 1 ƒFA ƒ sin 40° + ƒFB ƒ sin 20°2i

FB = ƒFB ƒ sin 20°i - ƒFB ƒ cos 20°j.

FA = ƒFA ƒ sin 40°i + ƒFA ƒ cos 40°j,

A

20�

40�

B

40� FA

FB

20�

FA

20� FB

y

x

40�

a) Resolución de FA y FB encomponentes paralelas y per-pendiculares a la pared.

sen

sen

sen sen

sen sen

sen sen


y

x

F

3

4

Problema 2.25

y

x

F

7

11

y

x

W

D

L

F 20�

x

y

Problema 2.24

Problema 2.21

Problema 2.23

A

C

y

x

B

0.4 m

0.6 m

0.7 mD

0.6 m 1.2 m

Problema 2.26

Problemas

2.17 Una fuerza F � 40i – 20j (N). ¿Cuál es la magnitud �F�?

Estrategia: La magnitud de un vector en términos de suscomponentes está dada por la ecuación (2.8).

2.18 En la estimación de las componentes de una fuerzaF � Fxi � Fy j que actúa sobre el empotramiento de un puente, un ingeniero ha determinado que Fx � 130 MN, �F� � 165 MN,y Fy es negativa. ¿Cuál es el valor de Fy?

2.19 Un soporte está sometido a una fuerza F � Fxi � 80j (N).Si el soporte resiste con seguridad una fuerza de 100 N, ¿cuál es elintervalo permisible para la componente Fx?

2.20 Si FA � 600i � 800j (kip) y FB � 200i – 200j (kip), ¿cuál esla magnitud de la fuerza F � FA – 2FB?

2.21 Las fuerzas que actúan sobre el planeador de la figura sonsu peso W � –500j (lb), el arrastre D � –200i � 100j (lb), y elempuje L. La suma de las fuerzas W � L � D � 0. Determinelas componentes y la magnitud de L. 2.25 El motor de un misil ejerce una fuerza F de 260 kN. a) Ex-

prese F en términos de sus componentes usando el sistema coor-denado que se muestra en la figura. b) La masa del misil es de8800 kg. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas ejerci-das por el motor y el peso del misil.

2.26 Para la armadura que se muestra en la figura, exprese elvector de posición rAD, del punto A al punto D, en términos de suscomponentes. Use su resultado para determinar la distancia quehay desde el punto A hasta el punto D.

2.22 Dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en elplano x-y. El vector U � 6i � 8j y �V� � 20. ¿Cuáles son las com-ponentes escalares de V?

2.23 Un pez ejerce una fuerza de 10 lb sobre la línea representa-da por el vector F. Exprese F en términos de sus componentesusando el sistema coordenado que se muestra en la figura.

2.24 Un hombre ejerce una fuerza F de 60 lb para meter un cajónen un camión. a) Exprese F en términos de sus componentes usan-do el sistema coordenado que se muestra en la figura. b) El pesodel cajón es de 100 lb. Determine la magnitud de la suma de lasfuerzas ejercidas por el hombre y el peso del cajón.

Problema 2.23Problema Problema 2.26Problema 2.2

Problemas 39

2.41 Un topógrafo determina que la longitud de la línea OA es de 1500 m y que la longitud de la línea OB es de 2000 m.

a) Determine las componentes del vector de posición desde el punto A hasta el punto B.

b) Determine las componentes del vector unitario que apunta desde A hacia B.

2.42 Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son �T1� � 2800 lb, �T2� � 3200 lb, �T3� � 4000 lb y �T4� � 5000 lb. ¿Cuáles la magnitud de la fuerza total ejercida por los cuatro cables?

2.43 Las tensiones en los cuatro cables son iguales: �T1� � �T2� � �T3� � �T4� � T. Determine el valor de T tal que los cuatro cablesejerzan una fuerza total de 12,500 lb de magnitud sobre el soporte.

x

y

29�

9�

40�51�

T4 T3

T2

T1

Problemas 2.42/2.43

x

y

60�

B

A

O

Puente propuesto

Río30�

N

Problema 2.41

2.3 Componentes en tres dimensiones 43

x

y

A

(7, 9) pies

(12, 3) pies

(3, 5) pies

B

C

r

Problema 2.59 Problema 2.60

x

y

A

(9, 3) m

(10, 9) m

(3, 4) m

B

C

rs

2.60 Sea r el vector de posición que va del punto C de la figuraal punto localizado a una distancia de s metros del punto A, sobrela línea recta que conecta A con B. Exprese r en términos de suscomponentes (su solución estará en términos de s).

2.59 El vector de posición r va del punto A a un punto sobre lalínea recta entre B y C, como se muestra en la figura. Su magnitudes �r� � 6 pies. Exprese r en términos de sus componentes.

2.3 Componentes en tres dimensiones

ANTECEDENTESEn ingeniería muchas aplicaciones requieren que los vectores se expresen en tér-minos de sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. En estasección se explicará la técnica para hacer esto y se mostrará cómo realizar opera-ciones con vectores en tres dimensiones.

Primero se repasará cómo dibujar objetos en tres dimensiones. Considere uncuerpo tridimensional, por ejemplo un cubo. Si se dibuja el cubo como se ve cuan-do el punto de vista es perpendicular a una de sus caras, se obtiene la figura 2.14a.En esta vista el cubo parece bidimensional. No puede verse la dimensión perpen-dicular a la página. Para remediar esto, es posible mover el punto de vista haciaarriba y a la derecha, de donde se obtiene la figura 2.14b. En esta vista oblicua latercera dimensión ya es visible. Los bordes ocultos del cubo se muestran comolíneas discontinuas.

(b)

x

y

z

(c)

x

y

z

(d)(a)

Figura 2.14(a) Cubo visto con la línea visual perpendicular a una cara.(b) Vista oblicua del cubo.(c) Sistema coordenado cartesiano alineado con los bordes del cubo.(d) Representación tridimensional del sistema coordenado.(c) Sistema coordenado cartesiano alineado con los bordes del cubo.no alinead(d)(d) Representación tridimensional del sistema coordenado.Representación tridimensional del sistema coordenado

x

y

z

Uy

Uz

Ux

Uj

ik

(a)

x

y

z

x

y

z

x

y

z

(c)(b)

�Uy � Uz�

�Uy � Uz�

�Uz�

�Uy�Uy

Uz

Ux

U

�Ux�

�U�

Este método puede usarse para dibujar los sistemas coordenados tridimensio-nales. En la figura 2.14c se alinearon los ejes x, y y z de un sistema coordenadocartesiano tridimensional con los bordes del cubo. La representación tridimensio-nal del sistema coordenado se muestra en la figura 2.14d. Se dice que este sistemacoordenado es derecho. Si se dirigen los dedos de la mano derecha en la direcciónpositiva del eje x y se doblan (como preparándose para cerrar el puño) hacia el ejey positivo, el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z (figura 2.15). Encaso contrario, el sistema coordenado será izquierdo. Debido a que algunas ecua-ciones usadas en matemáticas e ingeniería no producen resultados correctos con unsistema coordenado izquierdo, se usarán sólo sistemas coordenados derechos.

Un vector U puede expresarse en términos de sus componentes vectoriales Ux,Uy y Uz paralelas a los ejes x, y y z, respectivamente (figura 2.16):

(2.11)

(Se ha dibujado una caja alrededor del vector como ayuda para visualizar las direc-ciones de las componentes vectoriales). Si se introducen los vectores unitarios i, jy k que apuntan hacia las direcciones positivas x, y y z, es posible expresar U entérminos de sus componentes escalares como:

(2.12)

Los escalares Ux, Uy y Uz se denominarán las componentes x, y y z de U.

Magnitud de un vector en términos de sus componentesConsidere un vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.17a). En el trián-gulo rectángulo formado por los vectores Uy, Uz y su suma Uy � Uz (figura 2.17b),se puede ver que

(2.13)

El vector U es la suma de los vectores Ux y Uy � Uz. Estos tres vectores formanun triángulo rectángulo (figura 2.17c), a partir del cual se obtiene

Sustituyendo la ecuación (2.13) en este resultado se obtiene la ecuación

ƒU ƒ2 = ƒUx ƒ2 + ƒUy ƒ

2 + ƒUz ƒ2 = Ux

2 + Uy2 + Uz

2.

ƒU ƒ2 = ƒUx ƒ2 + ƒUy + Uz ƒ

2.

ƒUy + Uz ƒ2 = ƒUy ƒ

2 + ƒUz ƒ2.

U = Ux i + Uy j + Uz k.

U = Ux + Uy + Uz.

Figura 2.16Un vector U y sus componentes vectoriales.

Figura 2.17(a) Vector U y sus componentes vectoriales.(b) Triángulo rectángulo formado por los vectores Uy, Uz y Uy � Uz.(c) Triángulo rectángulo formado por los vectores U, Ux, y Uy � Uz.

y

x

z

Figura 2.15Identificación de un sistema coordenado derecho.


(b) Triángulo rectángulo formado por los vectoresectángulo Uy, UUzz y Uy � UUzz.(c)(c) Triángulo rectángulo formado por los vectores ángulo rectángulo formado por los vectores UU, UUxx, y , Uy � UUzz.


(c) (d)

xxxx

yyy y

zzz z

Uzk

Uy j

Uxi

uz

uy

uxux

uy

uz

(b)(a)

�U��U�

�U�U

Figura 2.18(a) Un vector U y los ángulos ux, uy y uz.(b)–(d) Los ángulos ux, uy y uz y las componentes vectoriales de U.

Así, la magnitud de un vector U está dada, en términos de sus componentes, en tresdimensiones, mediante la expresión

(2.14)

Cosenos directoresAnteriormente se describió la dirección de un vector relativa a un sistema coorde-nado cartesiano bidimensional especificando el ángulo entre el vector y uno de losejes coordenados. Una manera de describir la dirección de un vector en tres dimen-siones es especificar los ángulos ux, uy y uz entre el vector y los ejes coordenadospositivos (figura 2.18a).

En las figuras 2.18(b)-(d) se demuestra que las componentes del vector Uestán dadas, respectivamente, en términos de los ángulos ux, uy y uz, por

(2.15)

Las cantidades cos ux, cos uy y cos uz se llaman cosenos directores de U. Los cose-nos directores de un vector no son independientes: si se sustituyen las ecuaciones(2.15) en la ecuación (2.14), se encuentra que los cosenos directores satisfacen larelación

(2.16)

Suponga que e es un vector unitario con la misma dirección de U, de forma que

En términos de las componentes, esta ecuación es

Así, las relaciones entre las componentes de U y e son

Al comparar estas ecuaciones con las ecuaciones (2.15), se observa que

Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes de un vectorunitario que tiene la misma dirección que U.

cos ux = ex, cos uy = ey, cos uz = ez.

Ux = ƒU ƒex, Uy = ƒU ƒey, Uz = ƒU ƒez.

Ux i + Uy j + Uzk = ƒU ƒ1ex i + ey j + ezk2.

U = ƒU ƒe.

cos2 ux + cos2 uy + cos2 uz = 1.

Ux = ƒU ƒ cos ux, Uy = ƒU ƒ cos uy, Uz = ƒU ƒ cos uz.

ƒU ƒ = 2Ux2 + Uy

2 + Uz2.

Los cosenos directores de cualquier vector ualquier v U son las componentes de un vectorntes de un vectunitario que tiene la misma dirección queunitario que tiene la misma dirección que UU.

(a)

z z

z

U

(b)

xx

y

y

U

(c)

x

y

A

B

A

B

A

B

(xB, yB, zB)

(xA, yA, zA)

rAB

U � �U�eABeAB �rAB�rAB�

Figura 2.20(a) Dos puntos A y B sobre una línea paralela a U.(b) Vector de posición de A a B.(c) Vector unitario eAB que apunta desde A hacia B.

Vectores de posición en términos de sus componentesA partir de una generalización del caso bidimensional, podemos considerar unpunto A con coordenadas (xA, yA, zA) y un punto B con coordenadas (xB, yB, zB). Elvector de posición rAB que va de A a B, que se muestra en la figura 2.19a, está dadoen función de las coordenadas de A y B por

(2.17)

Las componentes se obtienen restando las coordenadas del punto A de las coor-denadas del punto B (figura 2.19b).

Componentes de un vector paralelo a una línea dadaEn aplicaciones tridimensionales, la dirección de un vector suele definirse especi-ficando las coordenadas de dos puntos sobre una línea paralela al vector. Estainformación puede usarse para determinar las componentes del vector.

Suponga que se conocen las coordenadas de dos puntos A y B sobre una líneaparalela al vector U (figura 2.20a). Se puede usar la ecuación (2.17) para determi-

rAB = 1xB - xA2i + 1yB - yA2j + 1zB - zA2k.


(a)

x

y

zx

y

z(b)

A A

BB (yB � yA)j(xB, yB, zB)

(xA, yA, zA)

rAB rAB

(zB � zA)k

(xB � xA)i

Figura 2.19(a) Vector de posición del punto A al

punto B.(b) Las componentes de rAB se pueden

determinar a partir de las coordenadas delos puntos A y B.

(c)(c) VVector unitario ector unVVV eAB que apunta desde A hacia ha B.


x

y

z

Cualquier vector U puede expresarse como

donde i es un vector unitario que apunta en la dirección deleje x, j es un vector unitario que apunta en la direcciónpositiva del eje y, y k es un vector unitario que apunta en la dirección positiva del eje z.

La magnitud de U está dada por

�U� � U2x � U2

y � U2z. (2.14)

U

(2.12)U � Uxi � Uyj � Uzk,

Cosenos directores

nar el vector de posición rAB que va de A a B (figura 2.20b). Se divide rAB entre sumagnitud para obtener un vector unitario eAB que apunta de A a B (figura 2.20c).Como eAB tiene la misma dirección que U, se puede determinar U en términos desus componentes escalares expresándolo como el producto de su magnitud y eAB.

En forma más general, suponga que se conoce la magnitud de un vector U ylas componentes de cualquier vector V que tiene la misma dirección que U.Entonces V/�V� es un vector unitario con la misma dirección que U, y las compo-nentes de U pueden determinarse mediante la expresión U � �U�(V/[V�).

RESULTADOS

U

x

y

z

uy

uxuz

La dirección de un vector U en relación con un sistema coordenado dado puedeespecificarse mediante los ángulosux, uy, y uz entre el vector y los ejescoordenados positivos.

Las componentes de U están dadas por

Uz � �U�cos uz.

Los términos cos ux, cos uy, y cos uz se denominan loscosenos directores de U. Los cosenos directores sonlas componentes de un vector unitario con la mismadirección que U.

Ux � �U�cos ux,

Uy � �U�cos uy,(2.15)

Ejemplo activo 2.6 Cosenos directores (� Relacionado con el problema 2.67)

Las coordenadas del punto C de la armadura que se muestra en la figura son xC � 4 m,yC � 0, zC � 0, y las coordenadas del punto D son xD � 2 m, yD � 3 m, zD � 1 m.¿Cuáles son los cosenos directores del vector de posición rCD desde el punto C hastael punto D?


C

A

B

x

y

D

z

A

x

y

B

rAB

(xA, yA, zA)

(xB, yB, zB)

z

El vector de posición de A a B está dado por

rAB � (xB � xA)i � (yB � yA)j � (zB � zA)k. (2.17)

z

U

x

y

A

B(xB, yB, zB)

(xA, yA, zA)

El vector U es paralelo a la línea que pasa através de los puntos A y B.Obtenga el vectorde posición rAB de A a B en términos de suscomponentes. Divida rAB entre su magnitudpara obtener un vector unitario eAB que es pa-ralelo a la línea. Entonces, el vector U entérminos de sus componentes está dado por

U � �U�eAB.

U

Vectores de posición en términos de sus componentes

Componentes de un vector paralelo a una línea dada

B


EstrategiaSi se conocen las coordenadas de los puntos C y D, es posible determinar rCD entérminos de sus componentes. Después se puede calcular la magnitud de rCD (la dis-tancia de C a D) y usar las ecuaciones (2.15) para obtener los cosenos directores.

Solución

Problema de práctica Las coordenadas del punto B de la armadura son xB � 2.4 m,yB � 0, zB � 3 m. Determine las componentes de un vector unitario eBD que apuntadesde B hacia D.

Respuesta: eBD � �0.110i � 0.827j � 0.551k.

rCD

(2, 3, 1) m

(4, 0, 0) m

Cx

y

D

z

Calcule la magnitud de rCD.

Determine el vector de posición rCD

en términos de sus componentes.

rCD � (xD � xC)i � (yD � yC)j � (zD � zC)k.

� (2 � 4)i � (3 � 0)j � (1 � 0)k (m)

� �2i � 3j � k (m).

�rCD� �

�

�

r2CDx � r2

CDy � r2CDz

(�2 m)2 � (3 m)2 � (1 m)2

3.74 m.

�cos ux � � �0.535,

Determine los cosenos directores.

rCDx

�rCD�

�2 m

3.74 m

�cos uz � � 0.267,rCDz

�rCD�

1 m

3.74 m

�cos uy � � 0.802,rCDy

�rCD�

3 m

3.74 m

27j7 � 0.55


Ejemplo 2.7 Determinación de componentes en tres dimensiones (� Relacionado con el problema 2.76)

La grúa que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 600 lb sobre el cajón hi-dráulico. El ángulo entre F y el eje x es de 54° y el ángulo entre F y el eje y es de40°. La componente z de F es positiva. Exprese F en términos de sus componentes.

EstrategiaSe dan sólo dos de los ángulos entre el vector y los ejes coordenados positivos, perose puede usar la ecuación (2.16) para determinar el tercer ángulo. Luego es posibledeterminar las componentes de F usando las ecuaciones (2.15).

SoluciónLos ángulos entre F y los ejes coordenados positivos están relacionados por

Al despejar cos uz de esta ecuación se obtienen las dos soluciones, cos uz � 0.260y cos uz � �0.260, que implican que uz � 74.9° o uz � 105.1°. La componente zdel vector F es positiva, por lo que el ángulo entre F y el eje z positivo es menorque 90°. Por lo tanto, uz � 74.9°.

Las componentes de F son

Razonamiento críticoDebe hacerse notar que cuando se conoce el cuadrado de un número no se sabe elvalor del número de manera única. Si a2 � 4, el número a puede ser 2 o bien �2.En este ejemplo, el conocimiento de los ángulos ux y uy permitió despejar el valorde cos2

uz de la ecuación (2.16), lo cual resultó en dos posibles valores del ángulouz. Existe una explicación geométrica simple para esto: los dos ángulos ux y uy sonsuficientes para definir una línea paralela al vector F, pero no la dirección de Fsobre esa línea. Los dos valores de uz que se obtuvieron corresponden a las dosposibles direcciones de F a lo largo de la línea. Se requiere información adicionalpara indicar la dirección. En este ejemplo, la información adicional fue propor-cionada estableciendo que la componente z de F es positiva.

Fz = ƒF ƒ cos uz = 600 cos 74.9° = 156 lb.

Fy = ƒF ƒ cos uy = 600 cos 40° = 460 lb,

Fx = ƒF ƒ cos ux = 600 cos 54° = 353 lb,

cos2 ux + cos2 uy + cos2 uz = 1cos 54°22 + 1cos 40°22 + cos2 uz = 1.

40� F

y

x54�

z

do que la compo


El cable del globo que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 800 N sobreel gancho en O. La línea vertical AB interseca el plano x–z en el punto A. El ángu-lo entre el eje z y la línea OA es de 60° y el ángulo entre la línea OA y F es de 45°.Exprese F en términos de sus componentes.

EstrategiaPueden determinarse las componentes de F en dos etapas usando la informacióngeométrica dada. Primero se expresa F como la suma de dos componentes vecto-riales paralelas a las líneas OA y AB. La componente paralela a AB es la componentevectorial Fy. Luego puede usarse la componente paralela a OA para determinar lascomponentes vectoriales Fx y Fz.

SoluciónEn la figura a se expresa F como la suma de su componente en y, Fy, y la compo-nente Fh paralela a OA. La magnitud de Fy es

�Fy � � �F � sen 45° � (800 N) sen 45° � 566 N,

y la magnitud de Fh es

En la figura b se expresa Fh en términos de las componentes vectoriales Fx y Fz. Lamagnitud de Fx es

�Fx � � �Fh � sen 60° � (566 N) sen 60° � 490 N,

y la magnitud de Fz es

Las componentes vectoriales Fx, Fy y Fz apuntan en las direcciones positivas de losejes, por lo que las componentes escalares de F son positivas:

Razonamiento críticoComo este ejemplo lo demuestra, se requieren dos ángulos para especificar la di-rección de un vector en relación con un sistema coordenado tridimensional. Losdos ángulos usados podrían no estar definidos del mismo modo que en el ejemplo,pero sin importar cómo estén definidos, pueden determinarse las componentes delvector en términos de la magnitud y los dos ángulos especificados mediante un pro-cedimiento similar al que se empleó aquí.

F = 490i + 566j + 283k 1N2.

ƒFz ƒ = ƒFh ƒ cos 60° = 1566 N2 cos 60° = 283 N.

ƒFh ƒ = ƒF ƒ cos 45° = 1800 N2 cos 45° = 566 N.


O

y

x

B

F

z

O

A

(a) Descomposición de F encomponentes vectorialesparalelas a OA y OB.

(b) Descomposición de Fh en compo-

nentes vectoriales paralelas a los

ejes x y z.

O

y

x

B

F

A

Fy

45�

z

Fh

O

y

x

B

F

A

Fy

z

Fh

Fx

60�Fz


Una cuerda se extiende del punto B al punto C pasando por una argolla metálicaunida a la pared en el punto A. La cuerda ejerce fuerzas FAB y FAC sobre la argollacuyas magnitudes son �FAB� � �FAC� � 200 lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza totalF � FAB � FAC ejercida por la cuerda sobre la argolla?

6 pies

7 pies

10 pies2 pies

4 pies 6 pies

A

CB


EstrategiaLa fuerza FAB es paralela a la línea que va de A a B y la fuerza FAC es paralela a lalínea que va de A a C. Debido a que es posible determinar las coordenadas de lospuntos A, B y C a partir de las dimensiones dadas, también se pueden determi-nar las componentes de los vectores unitarios que tienen las mismas direccionesque las dos fuerzas y usarlos para expresar las fuerzas en términos de componentesescalares.

SoluciónSean rAB el vector de posición de A a B y rAC el vector de posición de A a C (figu-ra a). A partir de las dimensiones dadas, las coordenadas de los puntos A, B y C son

A: (6, 7, 0) pies, B: (2, 0, 4) pies, C: (12, 0, 6) pies.

Por lo tanto, las componentes de rAB y rAC, con las coordenadas en pies, estándadas por

� �4i � 7j � 4k (pies)

= 12 - 62i + 10 - 72j + 14 - 02k rAB = 1xB - xA2i + 1yB - yA2j + 1zB - zA2k

7 pies

BC

A

x

z

y

FAB FAC

6 pies

10 pies2 pies

4 pies 6 pies

BC

A

x

z

y

rAB

rAC

(a) Vectores de posición rAB y rAC.

� � 7j7 � 4


y

� 6i � 7j � 6k (pies)

Sus magnitudes son �rAB� � 9 pies y �rAC� � 11 pies. Al dividir rAB y rAC entre susmagnitudes se obtienen los vectores unitarios eAB y eAC que apuntan en las direc-ciones de FAB y FAC (figura b):

eAC =rAC

ƒrAC ƒ= 0.545i - 0.636j + 0.545k.

eAB =rAB

ƒrAB ƒ= -0.444i - 0.778j + 0.444k,

= 112 - 62i + 10 - 72j + 16 - 02k rAC = 1xC - xA2i + 1yC - yA2j + 1zC - zA2k

BC

A

x

z

y

eAB eAC

(b) Vectores unitarios eAB y eAC.

Las fuerzas FAB y FAC son

La fuerza total ejercida sobre la argolla por la cuerda es

y su magnitud es

Razonamiento crítico¿Cómo se puede saber que la magnitud y la dirección de la fuerza total ejercida porla cuerda sobre la argolla de metal en A está dada por la magnitud y la direccióndel vector F � FAB � FAC? Hasta este punto del desarrollo de la mecánica, sesupone que la fuerza es un vector, pero no se ha hecho una demostración de ello.En el estudio de la dinámica se demuestra que la segunda ley de Newton implicaque la fuerza es un vector.

ƒF ƒ = 2120.222 + 1-282.822 + 1198.022 = 346 lb.

F = FAB + FAC = 20.2i - 282.8j + 198.0k 1lb2,

FAC = 1200 lb2eAC = 109.1i - 127.3j + 109.1k 1lb2. FAB = 1200 lb2eAB = -88.9i - 155.6j + 88.9k 1lb2,


Ejemplo 2.10 Determinación de las componentes de una fuerza (� Relacionado con el problema 2.95)

El cable AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el collar en A. Exprese T en térmi-nos de las componentes.

0.4 m

0.5 m

0.15 m

0.3 m

0.25 m

0.2 mz

x

y

A

B C

D

O

eCDeAB

(a) Vectores unitarios eAB y eCD.

EstrategiaSea rAB el vector de posición desde A hasta B. Se dividirá rAB entre su magnitud paraobtener un vector unitario eAB que tiene la misma dirección de la fuerza T. Despuésse puede obtener T en términos de sus componentes escalares al expresarlo comoel producto de su magnitud y eAB. Para iniciar este procedimiento, primero se debendeterminar las coordenadas del collarín A. Esto se hará obteniendo un vector uni-tario eCD que apunte desde C hacia D, para después multiplicarlo por 0.2 m y asídeterminar la posición del collarín A en relación con C.

SoluciónDeterminación de las coordenadas del punto A El vector de posición de C aD, con las coordenadas en metros, es

Al dividir este vector entre su magnitud se obtiene el vector unitario eCD (figura a):

Usando este vector se obtiene el vector de posición de C a A:

El vector de posición desde el origen del sistema coordenado hasta C es rOC � 0.4i� 0.3j (m), por lo que el vector de posición desde el origen hasta A es

Las coordenadas de A son (0.309, 0.163, 0.114) m.

= 0.309i + 0.163j + 0.114k 1m2. rOA = rOC + rCA = 10.4i + 0.3j2 + 1-0.091i - 0.137j + 0.114k2

rCA = 10.2 m2eCD = -0.091i - 0.137j + 0.114k 1m2.

= -0.456i - 0.684j + 0.570k.

eCD =rCD

ƒrCD ƒ=

-0.2i - 0.3j + 0.25k

21-0.222 + 1-0.322 + 10.2522

= -0.2i - 0.3j + 0.25k 1m2. rCD = 10.2 - 0.42i + 10 - 0.32j + 10.25 - 02k

0.5 m

0.2 mz

D

O

0.25 m

0.3 m0.2 m

x

0.4 m

0.15 m

y

A

T

CB

Problemas 55

Determinación de las componentes de T Usando las coordenadas del punto A,se encuentra que el vector de posición de A a B es

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene el vector unitario eAB (figura a).

La fuerza T es

Razonamiento críticoObserve las dos formas en que se usaron los vectores unitarios en este ejemplo. Elvector unitario eCD se empleó para obtener las componentes del vector de posiciónrCA, que hizo posible determinar las coordenadas del punto A. Las coordenadas delpunto A se usaron después para determinar el vector unitario eAB, el cual se empleópara expresar la fuerza T en términos de sus componentes.

= -33.7i + 36.7j + 3.9k 1N2. T = ƒT ƒeAB = 150 N21-0.674i + 0.735j + 0.079k2

= -0.674i + 0.735j + 0.079k.

eAB =rAB

ƒrAB ƒ=

-0.309i + 0.337j + 0.036k 1m221-0.309 m22 + 10.337 m22 + 10.036 m22

= -0.309i + 0.337j + 0.036k 1m2. rAB = 10 - 0.3092i + 10.5 - 0.1632j + 10.15 - 0.1142k

Problemas

2.61 ¿Cuál es la magnitud de un vector U � 3i � 4j � 12k?

Estrategia: La magnitud de un vector está dada, en términosde sus componentes, por la ecuación (2.14).

2.62 El vector es un vector unitario. Deter-mine la componente ez.

2.63 Un ingeniero determina que el punto de unión en la figuraestará sujeto a una fuerza F � 20i � Fy j � 45k (kN). Si el puntode unión deberá soportar de manera segura una fuerza con magni-tud de 80 kN en cualquier dirección, ¿cuál es el intervalo aceptablede valores para Fy?

e = 13 i + 2

3 j + ez k

y

zx

F

Problema 2.63

2.64 Un vector U � Uxi � Uy j � Uzk. Su magnitud �U� � 30. Suscomponentes están relacionadas con las ecuaciones Uy � �2Ux yUz � 4Uy. Determine las componentes.

2.65 Un objeto está sometido a dos fuerzas F1 � 20i � 30j � 24k(kN) y F2 � �60i � 20j � 40k (kN). ¿Cuál es la magnitud de lafuerza total que actúa sobre el objeto?

2.66 Se tienen dos vectores U � 3i � 2j � 6k y V � 4i � 12j � 3k.

a) Determine las magnitudes de U y V.

b) Determine la magnitud del vector 3U � 2V.

� 2.67 En el ejemplo activo 2.6, suponga que se desea redise-ñar la armadura, cambiando la posición del punto D de tal formaque la magnitud del vector rCD del punto C al punto D sea 3 m.Para lograr esto, considere que las coordenadas del punto D son(2, yD, 1) m, y determine el valor de yD tal que �rCD� � 3 m.Haga un bosquejo de la armadura con el punto D en su nuevaposición. ¿Cuáles son los nuevos cosenos directores de rCD?

2.68 Un vector de fuerza está dado en términos de sus compo-nentes por F � 10i � 20j � 20k (N).

a) ¿Cuáles son los cosenos directores de F?

b) Determine las componentes de un vector unitario e que tiene lamisma dirección que F.

x

Problema 2.63emb) Determine las componentes de un vector unitariob) Determine e que tiene lamisma dirección que misma dirección que FF..


2.69 El cable ejerce una fuerza F sobre el gancho en O cuyamagnitud es 200 N. El ángulo entre F y el eje x es de 40° y el án-gulo entre F y el eje y es de 70°.

a) ¿Cuál es el ángulo entre el vector F y el eje z?

b) Exprese F en términos de sus componentes.

Estrategia: a) Dado que se conocen los ángulos entre elvector F y los ejes x e y, puede usarse la ecuación (2.16) paradeterminar el ángulo entre F y el eje z (observe en la figura queel ángulo entre F y el eje z está claramente dentro del intervalo0 � uz � 180°.) b) Las componentes de F pueden obtenerse conlas ecuaciones (2.15).

Para resolver los problemas 2.72 a 2.75 consulte el siguiente diagrama:

y

x

z

O

70�

40�

F

Problema 2.69

130�

120�

y

x

z

T

y

x

z

Problema 2.71

B (5, 0, 3) m

C (6, 0, 0) m

D (4, 3, 1) m

z

y

x

A

Problemas 2.72–2.75

2.72 Determine las componentes del vector de posición rBD delpunto B al punto D. Use su resultado para determinar la distanciadesde B hasta D.

2.73 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector de posiciónrBD del punto B al punto D?

2.74 Determine las componentes del vector unitario eCD queapunta desde el punto C hacia el punto D.

2.75 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector unitario eCD

que apunta desde el punto C hacia el punto D?

� 2.76 En el ejemplo 2.7, suponga que se cambia el cajón auna nueva posición sobre el suelo. La magnitud de la fuerza Fpermanece en 600 lb. En la nueva posición, el ángulo entre lafuerza F y el eje x es de 60° y el ángulo entre F y el eje z es de70°. Exprese F en términos de sus componentes.

2.77 En el trasbordador espacial, los astronautas usan radarpara determinar las magnitudes y los cosenos directores de losvectores de posición de dos satélites, A y B. El vector rA deltrasbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenosdirectores cos ux � 0.768, cos uy � 0.384, cos uz � 0.512. Elvector rB del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cosenos directores cos ux � 0.743, cos uy � 0.557, cos uz � �0.371. ¿Cuál es la distancia entre los satélites?

2.70 Un vector unitario tiene los cosenos directores cos ux � �0.5y cos uy � 0.2. Su componente z es positiva. Exprese este vector entérminos de sus componentes.

2.71 Los motores de un avión ejercen una fuerza de empujetotal T con magnitud de 200 kN. El ángulo entre T y el eje x esde 120°, y el ángulo entre T y el eje y es de 130°. La componentez de T es positiva.

a) ¿Cuál es el ángulo entre T y el eje z?

b) Exprese T en términos de sus componentes.

x

rB

z

B

A rAy

Problema 2.77

UV

(b)

(a)

V

U

u

Figura 2.21(a) Vectores U y V.(b) El ángulo u entre U y V cuando los dos

vectores se colocan cola con cola.


2.4 Productos punto

ANTECEDENTESSe ha encontrado que dos clases de productos vectoriales, el producto punto y elproducto cruz, tienen aplicaciones en casi todas las áreas científicas y de ingenie-ría, especialmente en mecánica y en la teoría del campo electromagnético. En elcapítulo 4 se usarán ambos productos para evaluar momentos de fuerzas respectoa puntos y líneas.

El producto punto de dos vectores tiene muchos usos, incluida la determina-ción de las componentes paralela y perpendicular a una línea dada para un vector,así como la determinación del ángulo entre dos líneas en el espacio.

DefiniciónConsidere los vectores U y V (figura 2.21a). El producto punto de U y V, denota-do por U V (de ahí el nombre de “producto punto”), se define como el productoformado por la magnitud de U, la magnitud de V y el coseno del ángulo u entre Uy V cuando éstos se colocan cola con cola (figura 2.21b):

(2.18)

Como el resultado del producto punto es un escalar, se denomina también produc-to escalar. Las unidades del producto punto son el producto de las unidades de losdos vectores. Observe que el producto punto de dos vectores distintos de cero esigual a cero si y sólo si los dos vectores son perpendiculares.

El producto punto tiene las siguientes propiedades:

El producto punto es conmutativo. (2.19)

El producto punto es asociativo (2.20)con respecto a la multiplicación escalar.

y

El producto punto es asociativo (2.21)con respecto a la suma vectorial.

para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

Productos punto en términos de sus componentesEn esta sección se obtendrá una ecuación que permitirá determinar el producto puntode dos vectores si se conocen sus componentes escalares. Esta deducción tambiénresultará en una ecuación para calcular el ángulo entre los vectores. El primer paso esdeterminar los productos punto formados con los vectores unitarios i, j y k. A conti-nuación se evaluará el producto punto i i. La magnitud �i� � 1 y el ángulo entre dosvectores idénticos colocados cola con cola es igual a cero, por lo que se obtiene

El producto punto de i y j es

Continuando de la misma manera, se obtiene

(2.22)

i # i = 1, i # j = 0, i # k = 0,

j # i = 0, j # j = 1, j # k = 0,

k # i = 0, k # j = 0, k # k = 1.

i # j = ƒ i ƒ ƒj ƒ # cos 190°2 = 112112102 = 0.

i # i = ƒ i ƒ ƒ i ƒ cos 102 = 112112112 = 1.

U # 1V + W2 = U # V + U # W,

a 1U # V2 = 1aU2 # V = U # 1aV2, U # V = V # U,

U # V = ƒU ƒ ƒV ƒ cos u.

(2.22)j i 0,0 j jj 1,1 j k 0,

kk # i == 0,0 k # jj == 0,0, k # kk == 1.

2.4 Productos punto 61

U

e

L

u

Figura 2.23El vector unitario e es paralelo a L.

U

(a)

L

U

(b)

Un

Up

L

u

Figura 2.22(a) Vector U y línea L.(b) Descomposición de U en sus componentes

paralela y normal a L.

El producto punto de dos vectores U y V expresado en términos de sus com-ponentes es

Para obtener este resultado se usan las ecuaciones (2.20) y (2.21). Sustituyendo lasecuaciones (2.22) en esta expresión, se tiene una ecuación para el producto puntoen términos de las componentes escalares de los dos vectores:

(2.23)

Para obtener una ecuación para el ángulo u en términos de las componentes de losvectores, se iguala la expresión para el producto punto dada por la ecuación (2.23)con la definición del producto punto, ecuación (2.18), y se despeja cos u:

(2.24)

Componentes vectoriales paralela y normal a una líneaEn algunas aplicaciones de ingeniería es necesario expresar un vector en términosde las componentes vectoriales paralela y normal (perpendicular) a una línea dada.La componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del vec-tor sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la proyec-ción de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la dirección de lalínea.

Las componentes de un vector paralela y normal a una línea pueden determi-narse usando el producto punto. Considere un vector U y una línea recta L (figura2.22a). Es posible expresar U como la suma de las componentes vectoriales Up yUn paralela y normal a L (figura 2.22b).

Componente paralela En términos del ángulo u entre U y la componentevectorial Up, la magnitud de Up es

(2.25)

Sea e un vector unitario paralelo a L (figura 2.23). El producto punto de e y U es

Comparando este resultado con la ecuación (2.25) se observa que la magnitud deUp es

Por lo tanto la componente paralela, o proyección de U en L es

(2.26)

(Esta ecuación se cumple aun si e no apunta en la dirección de Up. En este caso, elángulo u 90° y e U es negativo.) Cuando se conocen las componentes de unvector y las componentes de un vector unitario e paralelo a una línea L, se puedeusar la ecuación (2.26) para determinar la componente del vector paralela a L.

Componente normal Una vez que se ha determinado la componente pa-ralela, se puede obtener la componente vectorial normal mediante la relación U � Up � Un:

(2.27)Un = U - Up.

Up = 1e # U2e.

ƒUp ƒ = e # U.

e # U = ƒe ƒ ƒU ƒ cos u = ƒU ƒ cos u.

ƒUp ƒ = ƒU ƒ cos u.

cos u =U # VƒU ƒ ƒV ƒ

=UxVx + UyVy + UzVz

ƒU ƒ ƒV ƒ.

U # V = UxVx + UyVy + UzVz.

+ UzVx1k # i2 + UzVy1k # j2 + UzVz1k # k2. + UyVx1j # i2 + UyVy1j # j2 + UyVz1j # k2

= UxVx1i # i2 + UxVy1i # j2 + UxVz1i # k2 U # V = 1Ux i + Uyj + Uzk2 # 1Vx i + Vy j + Vzk2

.27)n U p.


U

Un

Up

L

u

Componentes vectoriales paralela y normal a una líneaUn vector U puede descomponerse en una componente vectorial Up que sea paralela a una línea dada L y una componente vectorial Un que sea normal a L. Si e es un vector unitario que es paralelo a L, la componente paralela de U está dada por

La componente normal puede obtenerse de la relación

Up � (e�U) e. (2.26)

Un � U � Up. (2.27)

Ejemplo activo 2.11 Productos punto (� Relacionado con el problema 2.99)

Las componentes de dos vectores U y V son U � 6i – 5j – 3k y V � 4i � 2j �

2k. a) ¿Cuál es el valor de UV b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando se colo-can cola con cola?

EstrategiaComo se conocen las componentes de U y V, puede usarse la ecuación (2.23) paradeterminar el valor de UV. Después se puede emplear la definición del productopunto, ecuación (2.18), para calcular el ángulo entre los vectores.

Producto punto en términos de componentesEl producto punto de U y V está dado en términos de lascomponentes de los vectores por

V

U

u

Producto punto El producto punto de dos vectores U y V está definido por

U�V � �U��V�cos u,

donde u es el ángulo entre los vectores cuando éstos secolocan cola con cola. Observe que U�U � �U�2.Si �U� � 0 y �V� � 0, U�V � 0 si y sólo siU y V son perpendiculares.

U�V � UxVx � UyVy � UzVz.

(2.18)

(2.23)

RESULTADOS

8), para calcula

2.4 Productos punto 63

Ejemplo 2.12 Uso del producto punto para determinar un ángulo (� Relacionado con el problema 2.100)

¿Cuál es el ángulo u entre las líneas AB y AC de la figura?

EstrategiaSe conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, por lo que es posible determi-nar las componentes del vector rAB de A a B y del vector rAC de A a C (figura a). Des-pués puede usarse la ecuación (2.24) para determinar u.

SoluciónLos vectores rAB y rAC, con las coordenadas en metros son

Sus magnitudes son

El producto punto de rAB y rAC es

Por lo tanto,

El ángulo u � arccos (–0.304) � 107.7°.

Razonamiento crítico¿Cuál es el significado de que el producto punto de dos vectores sea negativo? Dela ecuación (2.18) y la gráfica del coseno (figura b), puede observarse que el pro-ducto punto es negativo, como en este ejemplo, sólo si el ángulo incluido entre losdos vectores es mayor de 90°.

cos u =rAB

# rAC

ƒrAB ƒ ƒrAC ƒ=

-10 m2

14.90 m216.71 m2 = -0.304.

rAB# rAC = 12 m214 m2 + 1-2 m215 m2 + 1-4 m212 m2 = -10 m2.

ƒrAC ƒ = 214 m22 + 15 m22 + 12 m22 = 6.71 m.

ƒrAB ƒ = 212 m22 + 1-2 m22 + 1-4 m22 = 4.90 m,

rAC = 18 - 42i + 18 - 32j + 14 - 22k = 4i + 5j + 2k 1m2. rAB = 16 - 42i + 11 - 32j + 1-2 - 22k = 2i - 2j - 4k 1m2,

x

y

z

(8, 8, 4) m

(6, 1, �2) m(4, 3, 2) mA B

C

u

rAC

rAB

x

y

z

(8, 8, 4) m

(6, 1, �2) m(4, 3, 2) mA B

C

u

cos u

�1

0

0 90� 180�

1

u

(b) Gráfica de cos u.

(a) Vectores de posición rAB y rAC.

Use las componentes de los vectorespara determinar el valor de U�V.

Use la definición de U�V para determinar u.

U�V � �U��V�cos u,

U�V � UxVx � UyVy � UzVz

� (6)(4) � (�5)(2) � (�3)(2)

Por lo tanto u � 78.7�.

cos u�U�V

�U��V�

entonces

� 0.195.

�8

(6)2 � (�5)2 � (�3)2 (4)2 � (2)2 � (2)2

� 8.

Solución

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U � 6i – 5j – 3ky V � Vxi � 2j � 2k. Determine el valor de la componente Vx tal que los vectores U yV sean perpendiculares.

Respuesta: Vx = 2.67.


x

y

(6, 6, �3) m

(10, �2, 3) m

A

B

O

rOB

rOA

z

x

y

A

B

O

eOB

eOA

z

Suponga que usted jala el cable OA que se muestra en la figura ejerciendo una fuer-za F de 50 N en O. ¿Cuáles son las componentes vectoriales de F paralela y normalal cable OB?

EstrategiaAl expresar F como la suma de sus componentes vectoriales paralela y normal a OB(figura a), es posible determinar éstas usando las ecuaciones (2.26) y (2.27). Sinembargo, para aplicar tales ecuaciones primero debe expresarse F en términos de suscomponentes escalares y luego determinar las componentes de un vector unitario pa-ralelo a OB. Es posible obtener las componentes de F determinando las compo-nentes del vector unitario que va de O a A y multiplicándolas por �F�.

SoluciónLos vectores de posición de O a A y de O a B son (figura b)

Sus magnitudes son �rOA� � 9 m y �rOB� � 10.6 m. Dividiendo estos vectores entresus magnitudes se obtienen vectores unitarios que van del origen hacia A y hacia B(figura c):

La fuerza F en términos de sus componentes escalares es

Tomando el producto punto de eOB y F se obtiene

La componente paralela de F es

y la componente normal es

Razonamiento crítico¿Cómo se puede confirmar que los dos vectores son perpendiculares? Resultaclaro, de la ecuación (2.18), que el producto punto de dos vectores diferentes decero es cero si y sólo si el ángulo incluido entre ellos es 90°. Este diagnósticopuede usarse para confirmar que las componentes de F determinadas en este ejem-plo son perpendiculares. Evaluando el producto punto de Fp y Fn en términos desus componentes en newtons, se obtiene

Fp# Fn = 119.22114.22 + 1-3.832137.22 + 15.7521-22.42 = 0.

Fn = F - Fp = 14.2i + 37.2j - 22.4k 1N2.

= 19.2i - 3.83j + 5.75k 1N2, Fp = 1eOB

# F2eOB = 120.4 N210.941i - 0.188j + 0.282k2

= 20.4 N.

eOB# F = 10.9412133.3 N2 + 1-0.1882133.3 N2 + 10.28221-16.7 N2

= 33.3i + 33.3j - 16.7k 1N2. F = ƒF ƒeOA = 150 N210.667i + 0.667j - 0.333k2

eOB =rOB

ƒrOB ƒ=

10i - 2j + 3k 1m210.6 m

= 0.941i - 0.188j + 0.282k.

eOA =rOA

ƒrOA ƒ=

6i + 6j - 3k 1m29 m

= 0.667i + 0.667j - 0.333k,

rOB = 10i - 2j + 3k 1m2. rOA = 6i + 6j - 3k 1m2,

x

y

(6, 6, –3) m

(10, �2, 3) m

F

A

B

O

z

x

y

F

A

B

Fn

Fp

O

z

(b) Vectores de posición rOA y rOB.

(a) Componentes de F paralela y nor-mal a OB.

(c) Vectores unitarios eOA y eOB.

Ejemplo 2.13 Componentes vectoriales paralela y normal a una línea (� Relacionado con elproblema 2.111)

11 + -3

Problemas 65

Problemas

� 2.99 En el ejemplo activo 2.11, suponga que el vector V secambia a V � 4i – 6j – 10k.

a) ¿Cuál es el valor de UV?

b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando éstos se colocan colacon cola?

� 2.100 En el ejemplo 2.12, suponga que las coordenadas delpunto B se cambian a (6, 4, 4) m. ¿Cuál es el ángulo u entre laslíneas AB y AC?

2.101 ¿Cuál es el producto punto del vector de posiciónr � –10i � 25j (m) y la fuerza F � 300i � 250j � 300k (N)?

2.102 Suponga que el producto punto de dos vectores U y V esU V � 0. Si �U� ≠ 0, ¿qué se sabe acerca del vector V?

2.103 Dos vectores perpendiculares están dados en términos desus componentes por U � Uxi 4j � 6k y V � 3i � 2j – 3k. Useel producto punto para determinar la componente Ux.

2.104 Los tres vectores

son mutuamente perpendiculares. Use el producto punto para de-terminar las componentes Ux, Vy y Wz.

2.105 Se tienen las magnitudes �U� � 10 y �V� � 20.

a) Use la ecuación (2.18) para determinar U V.

b) Use la ecuación (2.23) para determinar U V.

W = -2 i + 4 j + Wz k

V = -3 i + Vy j + 3k,

U = Ux i + 3 j + 2k,

2.107 Use el producto punto para determinar el ángulo entre elcable AB y el cable BC del velero que se muestra en la figura.

x

y

V

45�

U

30�

Problema 2.105

x

y

VU

u1

u2

Problema 2.106

y

x

B (4, 13) m

C(9, 1) m

A(0, 1.2) m

Problema 2.107

(4, 3, �1) mB

y

xA

zC

(5, �1, 3) m

u

Problema 2.108

2.108 Determine el ángulo u entre las líneas AB y AC

a) usando la ley de los cosenos (vea el apéndice A);

b) usando el producto punto.

2.106 Evaluando el producto punto U V, demuestre la identi-dad cos(u1 – u2) � cos u1 cos u2 � sen u1 sen u2.

Estrategia: Evalúe el producto punto usando las ecuaciones(2.18) y (2.23).

Problema 2.108Problema 2.108


2.5 Productos cruz

ANTECEDENTESIgual que el producto punto, el producto cruz de dos vectores tiene muchas aplica-ciones, entre otras la determinación de la velocidad de rotación de una partícula defluido y el cálculo de la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un campomagnético. Debido a su utilidad en el cálculo de momentos de fuerzas, el productocruz es una herramienta indispensable en la mecánica. En esta sección se mostrarácómo evaluar los productos cruz y se darán ejemplos de aplicaciones sencillas.

DefiniciónConsidere dos vectores U y V (figura 2.24a). El producto cruz de U y V, denota-do por U � V, se define como

U � V � �U��V� sen u e. (2.28)

El ángulo u es el ángulo entre U y V cuando los vectores se colocan cola con cola(figura 2.24b). El vector e es un vector unitario definido como perpendicular a Uy a V. Como esto implica dos posibles sentidos para e, los vectores U, V y e sedefinen como un sistema derecho. En la figura 2.24c se muestra la regla de lamano derecha para determinar la dirección de e. El pulgar de la mano derechaapunta hacia e cuando los cuatro dedos restantes, que apuntan hacia el vector U (elprimer vector en el producto cruz), se doblan hacia el vector V (el segundo vectoren el producto cruz).

Debido a que el resultado del producto cruz es un vector, se le suele llamartambién producto vectorial. Las unidades del producto cruz son el producto de las

2.123 El punto P se encuentra a 30°W de longitud y a 45°N delatitud sobre el Océano Atlántico, entre Nueva Escocia y Francia.El punto Q se encuentra a 60°E de longitud y a 20°N de latitud enel mar de Arabia. Use el producto punto para determinar la distan-cia más corta sobre la superficie de la Tierra entre P y Q en térmi-nos del radio terrestre RE.

Estrategia: Use el producto punto para determinar el ánguloentre las líneas OP y OQ; después use la definición de un ángulo enradianes para determinar la distancia sobre la superficie de la tierradesde P hasta Q.

Problema 2.123

Ecuador

y

z

x

P

N

O45�

30� 60�

G

20�

Q

2.121 Un astronauta se aproxima a una estación espacial en unaunidad de maniobras. En el instante presente, la estación informaque la posición relativa del astronauta al origen del sistema coor-denado de la estación es rG � 50i � 80j � 180k (m) y su veloci-dad es v � –2.2j – 36k (m/s). La posición de la entrada a uncompartimiento es rA � –12i � 20k (m). Determine el ánguloentre el vector de velocidad del astronauta y la línea que va de suposición a la ubicación de la entrada del compartimiento.

2.122 En el problema 2.121, determine la componente vectorialde la velocidad del astronauta paralela a la línea desde su posiciónhasta la ubicación del compartimiento.

Problemas 2.121/2.122

Debido a que el resultado del producto cruz es un vector, se le suele llamarl resultado del también producto vectorial. Las unidades del producto cruz son el producto de lastambién producto vectorial. Las unidades del producto cruz son el producto de l

2.5 Productos cruz 69

unidades de los dos vectores. Note que el producto cruz de dos vectores diferentesde cero es igual a cero si y sólo si los dos vectores son paralelos.

Una propiedad interesante del producto cruz consiste en que no es conmuta-tivo. La ecuación (2.28) implica que la magnitud del vector U � V es igual a lamagnitud del vector V � U, pero la regla de la mano derecha indica que estos vec-tores son opuestos en dirección (figura 2.25). Esto es,

El producto cruz no es conmutativo. (2.29)

El producto cruz también satisface las relaciones

El producto cruz es

(2.30)asociativo con respecto

a la multiplicación

escalar.

y

El producto cruz es

(2.31)distributivo con

respecto a la suma

vectorial.

para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

Productos cruz en términos de sus componentesPara obtener una ecuación para el producto cruz de dos vectores en términos desus componentes, se deben determinar los productos cruz formados con los vecto-res unitarios i, j y k. Como el ángulo entre dos vectores idénticos colocados colacon cola es igual a cero, se deduce que

i � i � �i��i� sen (0) e � 0.

El producto cruz i � j es

i � j � �i��j� sen 90° e � e,

donde e es un vector unitario perpendicular a i y j. e � k o bien e � –k. Aplicandola regla de la mano derecha, e � k (figura 2.26). Por lo tanto,

Continuando de la misma manera se obtiene

(2.32)

Para recordar estos resultados con facilidad, se disponen los vectores en círculocomo se muestra en la figura 2.27a. El producto cruz de vectores adyacentes esigual al tercer vector con un signo positivo si el orden de los vectores en el pro-ducto cruz es el orden indicado por las flechas, y con un signo negativo en casocontrario. Por ejemplo, en la figura 2.27b se ve que i � j � k, pero i � k � �j.

El producto cruz de dos vectores U y V expresado en función de sus compo-nentes es

+ UzVx1k * i2 + UzVy1k * j2 + UzVz1k * k2. + UyVx1j * i2 + UyVy1j * j2 + UyVz1j * k2

= UxVx1i * i2 + UxVy1i * j2 + UxVz1i * k2 U * V = 1Ux i + Uy j + Uzk2 * 1Vx i + Vy j + Vzk2

k * i = j, k * j = - i, k * k = 0.

j * i = -k, j * j = 0, j * k = i,

i * i = 0, i * j = k, i * k = - j,

i * j = k.

U * 1V + W2 = 1U * V2 + 1U * W2

a 1U * V2 = 1aU2 * V = U * 1aV2

U * V = -V * U.

V

U

e

V

U

V U

(a)

(b)

(c)

u

Figura 2.24(a) Vectores U y V.(b) Ángulo u entre los vectores cuando se

colocan cola con cola.(c) Determinación de la dirección de e me-

diante la regla de la mano derecha.

U � V

V � U

V

U

V

U

Figura 2.25Direcciones de U � V y V � U.

+ UUzU VxV 1k ** ii22 ++ UUzzUUU VVyyVVV 11k ** jj22 + UUzzUU VzV 1k ** k22..+ UUyyUUU VVxxVVV 11jj * i2 + UyU VyV 1j * j2 + UUyyUUU VzV 1j * kk2


Al sustituir la ecuación (2.32) en esta expresión se obtiene la ecuación

(2.33)

Este resultado se puede escribir en forma compacta como el determinante

(2.34)

Esta ecuación se basa en las ecuaciones (2.32) que se obtuvo usando un sistemacoordenado derecho. Da el resultado correcto para el producto cruz sólo si se usaun sistema coordenado derecho para determinar las componentes de U y V.

Evaluación de un determinante de 3 � 3Un determinante de 3 � 3 se puede evaluar repitiendo sus dos primeras columnasy evaluando los productos de los términos en las seis diagonales:

Sumando los términos obtenidos con las diagonales que van de arriba hacia abajoa la derecha (flechas azules), y restando los términos obtenidos con las diagonalesque van de arriba hacia abajo a la izquierda (flechas negras), se obtiene el valor deldeterminante:

Un determinante de 3 � 3, también puede evaluarse expresándolo como

Los términos de la derecha se obtienen multiplicando cada elemento de la prime-ra fila del determinante de 3 � 3 por el determinante de 2 � 2 que se obtienetachando la columna y la fila en que se encuentra ese elemento. Por ejemplo, elprimer elemento de la primera fila, i, se multiplica por el determinante de 2 � 2

Recuerde que el segundo término se resta. Desarrollando los determinantes de 2 � 2se obtiene el valor del determinante:

Productos triples mixtosEn el capítulo 4, cuando se analice el momento de una fuerza respecto a una línea,se usará una operación denominada producto triple mixto definido por

(2.35)U # 1V * W2.

3 i j kUx Uy Uz

Vx Vy Vz

3 = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2j + 1UxVy - UyVx2k.

3 i j kUx Uy Uz

Vx Vy Vz

3 .

3 i j kUx Uy Uz

Vx Vy Vz

3 = i Ùy Uz

Vy Vz` - j Ùx Uz

Vx Vz` + k Ùx Uy

Vx Vy` .

3 i j kUx Uy Uz

Vx Vy Vz

3 = UyVz i + UzVx j + UxVy k-UyVxk - UzVy i - UxVz j.

1-2 1-2 1-2 1+2 1+2 1+2

3 i j k

Ux Uy Uz

Vx Vy Vz

3 i j Ux Uy

Vx Vy

U * V = 3 i j kUx Uy Uz

Vx Vy Vz

3 . + 1UxVy - UyVx2k.

U * V = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2jy

x

j

k iz

Figura 2.26La regla de la mano derecha indica que i � j � k.

i

kj

(a)

i

kj

(b)

i � j � k i � k � �j

Figura 2.27(a) Disponga los vectores unitarios en un círcu-

lo con flechas que indiquen su orden.(b) El círculo se puede usar para determinar

sus productos cruz.

se usará una operación denominada ón denominada producto triple mixto definido por

(2.35)(2.3UU ## 1VV ** W2.


V

U

e

V

Uu

Producto cruz en términos de sus componentesEl producto cruz de U y V está dado en términos delas componentes de los vectores como

�

i j k

Ux Uy Uz

Vx Vy Vz

U � V � (UyVz � UzVy)i � (UxVz � UzVx)j

Producto CruzEl producto cruz de dos vectores U y V está definido por

Como en el producto punto, u es el ángulo entre los vectorescuando éstos se colocan cola con cola. El vector unitario ese define perpendicular a U, perpendicular a V, y dirigido detal manera que U, V, e forman un sistema derecho. Si�U� � 0 y �V� � 0, U � V � 0 si y sólo si U y V son paralelos.

U � V � �U��V�sen u e. (2.28)

(2.33)� (UxVy � UyVx)k

(2.34)

U

V

W

Figura 2.28Paralelepípedo definido por los vectores U, Vy W.

En términos de las componentes escalares de los vectores,

Este resultado se puede expresar como el determinante

(2.36)

Si se intercambian dos vectores cualesquiera en el producto triple mixto, se cam-bia el signo pero no el valor absoluto del resultado. Por ejemplo,

Si los vectores U, V y W en la figura 2.28 forman un sistema derecho, puededemostrarse que el volumen del paralelepípedo es igual a U (V � W).

RESULTADOS

U # 1V * W2 = -W # 1V * U2.

U # 1V * W2 = 3 Ux Uy Uz

Vx Vy Vz

Wx Wy Wz

3 .

+ Uz1VxWy - VyWx2. = Ux1VyWz - VzWy2 - Uy1VxWz - VzWx2

- 1VxWz - VzWx2j + 1VxWy - VyWx2k]

= 1Ux i + Uy j + Uzk2 # [1VyWz - VzWy2i U # 1V * W2 = 1Ux i + Uy j + Uzk2 # 3 i j k

Vx Vy Vz

Wx Wy Wz

3


Ejemplo activo 2.14 Productos cruz (� Relacionado con el problema 2.124)

Las componentes de dos vectores U y V son U � 6i � 5j � k y V � 4i � 2j � 2k.a) Determine el producto cruz U � V. b) Use el producto punto para probar queU � V es perpendicular a U.

Estrategiaa) Como se conocen las componentes de U y V, se puede usar la ecuación (2.33) paradeterminar U � V. b) Una vez determinadas las componentes del vector U � V,puede probarse que éste es perpendicular a U al demostrar que (U � V) U � 0.

Solución

(a) Use las componentes de losvectores para determinar U � V.

(b) Demuestre que (U � V)�U � 0.

U � V � (UyVz � UzVy)i � (UxVz � UzVx)j

� �8i �16j � 32k.

� [(6)(2) � (�5)(4)]k

� [(�5)(2) � (�1)(2)]i � [(6)(2) � (�1)(4)]j

� (UxVy � UyVx)k

(U � V)�U � (U � V)x Ux � (U � V)y Uy � (U � V)z Uz

� (�8)(6) � (�16)(�5) � (32)(�1)

� 0.

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U � 3i � 2j � ky V � 5i � 3j � 4k. Determine las componentes de un vector unitario que sea perpen-dicular a U y perpendicular a V.

Respuesta: e � �0.477i � 0.304j � 0.825k o bien e � 0.477i � 0.304j � 0.825k.

Cuando U, V, W forman un sistema derecho, el volumen del paralelepípedo mostrado es igual a U�(V � W).

U

V

W

Producto triple mixtoLa operación U�(V � W) se llama el producto triple mixto de los vectores U, V y W. Puede expresarse en términos de las componentes de los vectores mediante el determinante

U�(V � W) � . (2.36)Ux Uy Uz

Vx Vy Vz

Wx Wy Wz

i � � 82


Ejemplo 2.15 Distancia mínima de un punto a una línea (� Relacionado con el problema 2.133)

Considere las líneas rectas OA y OB de la figura.a) Determine las componentes de un vector unitario que sea perpendicular a OA yOB.b) ¿Cuál es la distancia mínima del punto A a la línea OB?

Estrategiaa) Sean rOA y rOB los vectores de posición de O a A y de O a B (figura a). Como elproducto cruz rOA � rOB es perpendicular a rOA y a rOB, dicho producto será deter-minado para después dividirlo entre su magnitud para obtener un vector unitarioperpendicular a las líneas OA y OB.b) La distancia mínima de A a la línea OB es la longitud d de la línea recta que vadesde A hasta OB que es perpendicular a OB (figura b). Se puede ver que d � �rOA�sen u, donde u es el ángulo entre rOA y rOB. De la definición del producto cruz, lamagnitud de rOA � rOB, es �rOA��rOB� sen u, por lo que es posible determinar d divi-diendo la magnitud rOA � rOB entre la magnitud de rOB.

Solucióna) Las componentes de rOA y rOB son

Usando la ecuación (2.34) se obtiene rOA � rOB:

Este vector es perpendicular a rOA y a rOB. Al dividirlo entre su magnitud se obtie-ne un vector unitario e que es perpendicular a las líneas OA y OB:

b) De la figura (b) se sabe que la distancia mínima d es

d � �rOA� sen u.

La magnitud de rOA � rOB es

�rOA � rOB� � �rOA��rOB� sen u.

Despejando sen u de esta ecuación se obtiene que la distancia d es

Razonamiento críticoEste ejemplo es una ilustración del poder de los métodos vectoriales. La determi-nación de la distancia mínima del punto A a la línea OB puede formularse como unproblema de minimización en cálculo diferencial, pero la solución vectorial que sepresenta aquí es mucho más simple.

=21-12 m222 + 148 m222 + 172 m222216 m22 + 16 m22 + 1-3 m22 = 9.71 m.

d = ƒrOA ƒ a ƒrOA * rOB ƒ

ƒrOA ƒ ƒrOB ƒb =

ƒrOA * rOB ƒ

ƒrOB ƒ

= -0.137i + 0.549j + 0.824k.

e =rOA * rOB

ƒrOA * rOB ƒ=

-12i + 48j + 72k 1m2221-12 m222 + 148 m222 + 172 m222

rOA * rOB = 3 i j k10 -2 3

6 6 -3

3 = -12i + 48j + 72k 1m22.

rOB = 6i + 6j - 3k 1m2. rOA = 10i - 2j + 3k 1m2,

B(6, 6, �3) m

x

y

z

O

A (10, �2, 3) m

B

x

y

z

O

A

rOB

rOA

B

x

y

z

O

A

rOB

rOA

d

u

(a) Vectores rOA y rOB.

(b) Distancia mínima d de A a lalínea OB.

simple.

Problemas 75

Problemas

2.132 Demuestre la identidad sen (u1 � u2) � sen u1 cos u2 �

cos u1 sen u2, evaluando el producto cruz U � V.

y

x

B

A

rAB

(6, 3, 0) m

(6, 0, 4) m

F

z

F

y

x

z

4 pies

4 pies

5 pies

(6, 0, 4) pies

C

A

B

Problema 2.131

U

V

x

y

45�

30�

Problema 2.130

Problemas 2.126/2.127

x

y

VU

u1

u2

Problema 2.132

2.131 Se tiene la fuerza F � 10i � 4j (N). Determine el produc-to cruz rAB � F.

� 2.124 En el ejemplo activo 2.14, suponga que el vector Vse cambia a V � 4i � 6j � 10k. a) Determine el producto cruz U � V. b) Use el producto punto para probar que U � V es per-pendicular a V.

2.125 Se tienen los vectores U � 3i � 2j y V � 2i � 4j.

a) ¿Qué valor tiene el producto cruz U � V?

b) ¿Qué valor tiene el producto cruz V � U?

2.126 Los dos segmentos de la barra en forma de L que semuestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda ABejerce una fuerza de magnitud �F� � 500 lb sobre la barra en A.Determine el producto cruz rCA � F, donde rCA es el vector deposición del punto C al punto A.

2.127 Los dos segmentos de la barra en forma de L que semuestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda ABejerce una fuerza de magnitud �F� � 500 lb sobre la barra en A.Determine el producto cruz rCB � F, donde rCB es el vector deposición del punto C al punto B. Compare su respuesta con la queobtuvo para el problema 2.126.

2.128 Suponga que el producto cruz de dos vectores U y V es U � V � 0. Si �U� � 0, ¿qué se sabe acerca del vector V?

2.129 El producto cruz de dos vectores U y V es U � V � �30i� 40k. El vector V � 4i � 2j � 3k. El vector U � 4i � Uy j �

Uz k. Determine Uy y Uz.

2.130 Se tienen las magnitudes �U� � 10 y �V� � 20.

a) Use la definición del producto cruz para determinar U � V.

b) Use la definición del producto cruz para determinar V � U.

c) Use la ecuación (2.34) para determinar U � V.

d) Use la ecuación (2.34) para determinar V � U.

� 2.133 En el ejemplo 2.15, ¿cuál es la distancia mínima delpunto B a la línea OA?�� 2.1333 En el ejemplo 2.15, ¿cuál es la distancia mínima deln epunto p B a la líneaa la línea OAOA?

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