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´ Algebra Lineal UCR Octavo tema, 2013

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Álgebra lineal

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Algebra Lineal

UCR

Octavo tema, 2013

Presentaciones basadas principalmente en Arce,C, Castillo,W yGonzalez, J. (2004) Algebra lineal. Tercera edicion. UCR. SanPedro. Otras fuentes seran mencionadas cuando corresponda. Engeneral el autor no clama que el contenido del documento seaoriginal, sino solamente su presentacion. Se permite el uso de estedocumento, siempre y cuando no sea por fines de lucro y se cite lafuente.

TEMAValores y vectores propios

DefinicionSea A una matriz de orden n. Decimos que un numero real λ es unvalor propio de A si existe un vector columna x, no nulo, de Rn, talque Ax = λx. El vector x se llama vector propio de A asociado a λ.

Tambien se usan los nombres valor caracterıstico y autovalor, yvector caracterıstico y autovector para dicho valor y vector, resp..Todas las matrices, como siempre, tienen entradas reales.

Ejemplo

(1, 1, 1)t es un vector propio de

2 7 11 −1 103 3 4

asociado al valor

propio 10.

Ejemplo

(1,−1, 1)t es un vector propio de

1 0 −10 1 11 1 0

asociado al

valor propio 0.

Ejemplo

(0, 1, 0)t es un vector propio de

1 0 −10 1 11 0 0

asociado al valor

propio 1.

NotaCualquier multiplo de un vector propio es un vector propio.

DefinicionSea λ un valor propio de A, el conjunto Vλ = {x |Ax = λx} sellama subespacio propio o espacio caracterıstico de A asociado a λ.Y la dimension de Vλ se denomina multiplicidad geometrica de λ.

TeoremaSi λ1, λ2, . . . , λk son k valores propios de A, diferentes entre sı yasociados resp. a los vectores propios v1, v2, . . . , vk son linealmenteindependientes.

Procedimiento para encontrar valores propios de una matriz A:

Teoremaλ es un valor propio de A ⇐⇒ det (A-λI)=0

Ejemplo

Encuentre los autovalores de

5 6 −6−3 −4 60 0 2

.

Ejercicio

Encuentre los autovalores de

5 6 −60 −4 60 0 2

, 5 6 −6−3 −4 60 0 1

, la matriz nula de orden 3 y la identidad de

orden 3.

Procedimiento para encontrar vectores propios de una matriz A:

Teoremav es un vector propio de A asociado a λ si (A-λI)v=0

Este procedimiento nos permite encontrar tambien el subespaciocorrespondiente.

Ejemplo

Encuentre los autovectores de

5 6 −6−3 −4 60 0 2

, los subespacios

correspondientes y su dimension.

Ejercicio

Encuentre los autovectores y los subespacios correspondientes de 5 6 −60 −4 60 0 2

,

5 6 −6−3 −4 60 0 1

, la matriz nula de orden 3

y la identidad de orden 3.

DefinicionSea A una matriz de orden n. El polinomio caracterıstico de A, PA,es el polinomio de grado n:

PA(λ) = |A− λI |.

Al factorizarlo en factores irreducible en R llegamos eventualmentea la forma

PA(λ) = (λ− λ1)n1(λ− λ2)n2 . . . (λ− λr )nr Q(λ),

y decimos que ni es la multiplicidad algebraica del autovalor λi .

Ejemplo

Para

3 6 −6−3 −6 60 0 0

, encuentre sus autovalores y

autovectores, y las correspondientes multiplicidades.

Ejercicio

Encuentre las dos multiplicidades de cada autovalor de 5 6 −60 −4 60 0 2

,

5 6 −6−3 −4 60 0 1

, la matriz nula de orden 3

y la identidad de orden 3.

DefinicionUna matriz A es diagonalizable si existen una matriz C invertible yuna matriz D diagonal tales que

C−1AC = D.

TeoremaSi A es una matriz de orden n,A es diagonalizable ⇐⇒ A tiene n autovectores l.i..En tal caso, la D de la definicion anterior corresponde a una matrizdonde los autovalores de A viven en la diagonal, y C corresponde auna matriz donde los autovectores, l.i., correspondientes viven enlas columnas (o sea, la primera columna de C es un autovector delautovalor que vaya en la primera columna de D y ası se sigue).

Ejemplo

Diagonalice, si se puede, las siguientes matrices:

1 1 01 1 00 1 2

y 5 6 −6−3 −4 60 0 2

.

Ejercicio

Diagonalice, si se puede,

5 6 −60 −4 60 0 2

,

5 6 −6−3 −4 60 0 1

,

la matriz nula de orden 3 y la identidad de orden 3.

TeoremaSea A una matriz de orden n cuyo polinomio caracterıstico sepuede factorizar como:

PA(λ) = |A− λI | = (λ− λ1)n1(λ− λ2)n2 · · · (λ− λr )nr

donde∑r

i=1 ni = n, todos los λi son autovalores distintos, y seanVλi

los espacios propios correspondientes. Son equivalentes:

1. A es diagonalizable.

2. ∃B = {v1, . . . , vn}, una base de autovectores para Rn.

3. Para todo autovalor, sus multiplicidades algebraica ygeometrica son iguales.

4.∑r

i=1dim(Vλi)=n.

5. Todo vector x ∈ Rn se puede escribir de forma unica en laforma x =

∑ri=1 xi , xi ∈ Vλi

.

CorolarioSi una matriz de orden n tiene n valores propios distintos, esdiagonalizable.

Ejemplo

Deduzca que

5 6 90 −4 60 0 2

es diagonalizable.

Ejercicio

Determine si se pueden diagonalizar, usando solamente el corolario

anterior,

5 6 −6 00 −4 6 50 0 2 10 0 −1 −1

,

0 0 −70 0 00 0 0

, y la identidad

de orden 3.

DefinicionUna matriz A de orden n es ortogonalmente diagonalizable siexisten una matriz C ortogonal y una matriz D diagonal tales que

C tAC = D.

Teorema

1. Si A es simetrica, su polinomio caracterıstico solo tiene raıcesreales.

2. Si A es simetrica y tengo dos autovectores asociados a valoresdistintos, aquellos son ortogonales.

3. A es simetrica si y solo si A es ortogonalmente diagonalizable.

Cuando diagonalizo ortogonalmente, la unica diferencia es que losautovectores que elija para ser columnas de C deben formar unabase ortonormal.

Ejemplo

Diagonalice ortogonalmente, si se puede, la matriz

1 2 02 1 00 0 −1

Ejercicio

Diagonalice ortogonalmente, si se puede,

5 0 00 1 30 3 1

, 1 1 11 1 11 1 1

, la matriz nula de orden 3 y la identidad de orden 3.

Todo lo visto hasta ahora aplica a operadores, pero primeronecesitamos saber sobre ellos para que los conceptos tengansentido.