VECTORESProf. : Oscar Tang

Cruz

REPRESENTACIÓN DE FUERZASHay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES

Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una cantidad y su unidad correspondiente:

L (Longitud) = 12’35 m m (Masa) = 5’678 kg d (Densidad) = 3’4 g/cm3

Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados). Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha para indicar que se trata de una magnitud vectorial:

v

v

F a

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Las características de un vector son cuatro:

MÓDULO

DIRECCIÓN

SENTIDO

PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala Þ 1 cm : 2 N

3 cm . 2 N = 6 N

1 cm

DIRECCIÓN

La DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

- 100º = 260º

120º

- 30º = 330º

!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:

2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

SENTIDO

El SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

FUERZA RESULTANTEA menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre

un cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se suman.

En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.

1F

?

COMPOSICIÓN DE FUERZASA continuación estudiaremos la manera de calcular la

fuerza resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.

Vamos a distinguir varias situaciones:

a) Misma dirección

a.1) Mismo sentido

a.2) Sentidos contrarios

b) Distinta dirección

b.1) Perpendiculares

b.2) No perpendiculares

c) Paralelas

c.1) Igual sentido

c.2) Sentidos contrarios

Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no siempre aplicaremos ambos. Son:

Gráfico

Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

Resultante R

Numérico

Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más complejas.

a) Misma direccióna.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

1F

2F

1F

2F

F1

2F

R

Numéricamente:R = F1 + F2

a) Misma dirección

a.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

1F

2F

1F

2F

Numéricamente:R = F1 - F2

F1

2F

R

b) Distinta dirección

1F

22

21

2 F F R

b.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo (para los despistados).

2F

1F

2FR

RF

sen 2

F1

RF2 R

F cos 1

1

2

1

2

FF

R / FR / F

cos sen

tg

1

2

FF

arctg

b) Distinta dirección

1F

b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente. El método numérico se dejará para cursos más avanzados.

2F

R

1F

2F

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos sucesivamente, uno a uno:

Resultante R

c) Paralelasc.1) Igual sentido (paralelas)

d

Punto de aplicación de la resultante

xd -x

1F

2F

1F

2F

1F

2F

1F

2F

R

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d – x) = F2 · xPor otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

c) Paralelasc.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)

d

Punto de aplicación de la resultante 1F

2F

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

1F

2F

2F

1F

R

2F

1F

xd

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASDescomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la composición. Veamos algunos ejemplos:

1F

2F

F

Aunque hay otras posibilidades:

F

F

1F

2F

Y otra más:

F

F

1F

2F

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASEntonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la definición de descomposición vectorial.Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.

2y

2x

2 F F F

F

F α sen y

Fx

FFy

F

x

yF

yF

xF x

F

yF

xF

y

Fx = componente x

De forma que…

F·senF y

FF

cos x F·cosF x

Fy = componente y

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:

x

y

xP

yP

P

PP

sen X α P·senP x

P

P cos y P·cosP y

Py = componente normal del peso

Px = componente tangencial del peso

yP

P

xP

yP

P

xP

yP

PxP

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

F

N 3.613 3 2F F F 222y

2x

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:

y

x1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

(2,3) F

1F

y

x1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

12F

(2,3) F1

(4,1) F2

1.523

F

F tg

x

y

)F,F( F yx

xF

yF

(2,0) Fx

(0,3) Fy

56.3º 1.5 arctg

Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

R

(4,1) (2,3) R

21 FF R

(6,4) R

0.6764

tg 33.7º 0.67 arctg

N 7.252 46F F F 222y

2x