varias variables variables

Introducción a las funciones de varias variables

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Funciones de varias variables.

Definición.

Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma )(xfy = ,

f :D ⊂ →

Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y

dependía de una sola variable x. En este apartado se estudian funciones cuyo valor depende de más

de una variable. Estas funciones reciben el nombre global de funciones de varias variables o

funciones de variable vectorial. Algunos ejemplos de las mismas son:

EJEMPLO:

)72(sen3),( 23yxxyxyxf +++= ; )( ln 53),,( 3212121321 xxxxxxxxxxg +++++=

son funciones reales de dos y tres variables respectivamente.

)1,23,3(),( 32++++= yxyxxyxyxf

�

; )2),( cos ,,3(),,( 3312121321 xyyxxxxxxxxxg −+=

�

también son funciones de varias variables pero aquí el resultado de la función es un vector por

eso se llaman funciones vectoriales de variable vectorial.

Para determinar completamente esta idea e función de varias variables se da la siguiente:

Definición: Se denomina función de varias variables con dominio de definición D ⊂n ,

con 1>n entero y m entero, a cualquier aplicación de la forma:

f�

:D ⊂n

→m

NOTAS: 1.- Estas funciones también se denominan funciones de variable vectorial donde:

- n es el conjunto inicial.

- m es el conjunto final.

- D ⊂n es el dominio de la función.

- f�

(D) ⊂m es el recorrido de la función.

2.- Cuando 1=m la función se llama función real de variable vectorial o, de forma más

breve, campo escalar (esta nomenclatura se utiliza sobre todo en física).

3.- Cuando 1>m la función recibe el nombre de función vectorial de variable vectorial o

campo vectorial. El valor m se denomina dimensión de la función. En ese caso la función se

representa por el símbolo f�

(esto es se pone una flechita sobre la letra que le da nombre).

EJEMPLO: En el ejemplo anterior se han presentado:

),( yxf un campo escalar de dos variables.

),,( 321 xxxg un campo escalar de tres variables.


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),( yxf�

un campo vectorial de dos variables y dimensión dos.

),,( 321 xxxg�

un campo vectorial de tres variables y dimensión cuatro.

Existen situaciones del mundo real que se estudian mediante funciones de este tipo.

Así, la función que a cada punto ),,( zyx de una habitación con calefacción le hace

corresponder su temperatura es un campo escalar de tres variables. Y la función que a cada

punto ),,( zyx de una sala ventilada le hace corresponder un vector que representa la

velocidad del aire (en magnitud y dirección) en dicho punto es un campo vectorial de

dimensión tres y tres variables.

4.- Cuando no se especifica el domino de definición D se entiende que el mayor subconjunto

de n

para el que la función tenga sentido.

5.- Para completar todas las posibilidades hay que hablar de las funciones vectoriales de

variable real que se ajustan a un esquema de la forma: :f�

D ⊂ →m

. En general representan

curvas en un espacio de dos o más dimensiones.

6.- Formas de expresión: en este apartado se estudiarán, sobre todo, campos escalares de dos

o tres variables. Estas funciones suelen venir expresadas de dos formas:

6.1.- Forma explícita donde la función se presenta del modo expuesto anteriormente:

)72(sen3),( 23yxxyxyxf +++= , que a veces se suele expresar de la forma

zyxf =),( con )72(sen3 23yxxyxz +++=

)( ln 53),,( 3212121321 xxxxxxxxxxg +++++= , que también se expresa como

wxxxg =),,( 321 con )( ln 53 3212121 xxxxxxxw +++++=

6.2. Forma implícita, donde el valor de la función z se presenta por medio de una ecuación

con sus variables (en la que en ocasiones no es posible despejar dicho valor). Por ejemplo:

zyxf =),( con 03)cos()ln( 4232=−−++ zyxyxxzxy

El estudio da campos escalares de dimensiones superiores es análogo a estos. En el caso de

campos vectoriales, se hace por componentes (cada una de las cuales es un campo escalar).

Estudio sin derivar.

Cuando se estudian estas funciones, como en el caso general de cualquier tipo de función, en

primer lugar hay que centrarse en las informaciones que se pueden obtener de la simple definición

de la función. Luego se profundiza este estudio con su derivación y su integración.

Dominio de definición.

En este caso se trata de determinar los puntos del conjunto n

para los que la función tiene

sentido:

EJEMPLO: Ver el ejercicio 1 de la hoja de problemas.


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Representación gráfica.

La representación gráfica estas funciones aporta mucha información sobre las mismas. Sin

embargo sólo es posible en algunos casos de dimensión pequeña. Se han ideado muchas tipos

diferentes de representación pero aquí sólo se ven algunas de las más sencillas.

Para campos escalares de dos variables.

Curvas de nivel.

Dado el campo escalar f :D ⊂2

→ se define la curva de nivel de valor e al conjunto

de puntos ∈),( yx D, tales que eyxf =),( .

NOTAS: 1.- Las curvas de nivel son líneas que están en el dominio de definición D, esto es

en el plano 2

.

EJEMPLO 1: Sea la función yxyxf −−= 1),( , hallar las curvas de nivel de valor 1, -2 y 5.

Cuando 1=e la curva de nivel está formada por los puntos de 2 que cumplen la

condición 11 =−− yx . Estos puntos forman una recta de ecuación xy −= . La representación

gráfica de esta recta es:

El resto de las curvas de nivel son 21 −=−− yx y 51 =−− yx . Que corresponden,

respectivamente, a las rectas: 3+−= xy e 4−−= xy . La representación gráfica de todas

ellas es:

En general, para esta función, la curva de nivel de valor e tiene por ecuación

eyx =−−1 y corresponde a la recta exy −+−= 1 .

EJEMPLO 2.- Sea el campo escalar dado por 22 3yxz += . Hallar las curvas de nivel

de valor e =1,2 y 3.

En este caso se debe destacar que, por la naturaleza de esta función, no existen curvas


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de nivel de valor negativo.

Para e =1 la curva de nivel está formada por los puntos de 2 que satisfacen la

condición 13 22=+ yx . Estos puntos corresponden a una elipse, centrada en el origen y con

semiejes 1 y 57735.03/1 = . La representación gráfica de esta curva de nivel es:

Las demás curvas de nivel son también elipses cuyos semiejes van creciendo a medida

que aumenta el valor e. Así las tres curvas de nivel para los valores e =1, 2 y 3 se representan

en la siguiente gráfica.

Gráfica de la función.

La gráfica del campo escalar zyxf =),( está formada por los puntos de 3 de la forma

)),(,,( yxfyx , cuando el punto ),( yx pertenece al dominio de definición. En general, si se dan las

condiciones de regularidad suficiente dichos puntos forman una superficie.

EJEMPLO: La gráfica de la función yxyxf −−= 1),( está formada por los puntos ),,( zyx

que satisfacen la condición yxz −−= 1 . Estos puntos forman el plano que tiene por ecuación

01 =−++ zyx . La representación gráfica de dicho plano es:


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La gráfica de la función 22 3yxz += está formada por los puntos de 3 de la

forma )3,,( 22yxyx + , estos puntos forman una figura llamada paraboloide elíptico.

NOTA.- La curva de nivel de valor e de una función zyxf =),( se puede interpretar como

proyección, en el plano XY, del corte de su gráfica con el plano ez = . Este hecho suele ser una

indicación muy valiosa para dibujar gráficas.

Trazas.

Las trazas de una función son curvas en el espacio (curvas en 3 ) producidas por la

intersección de su gráfica con un plano vertical.

NOTA: Aunque el plano puede ser cualquiera, se suelen utilizar los planos coordenados.

Las trazas suelen ser un buen elemento de ayuda para dibujar la gráfica de una función.

EJEMPLO: Calcular las trazas de la función 22 3yxz += con los planos coordenados.

Primero se calcula el corte con el plano XZ en el cual se tiene 0=y . Sustituyendo

este valor en la ecuación de la función se obtiene: 2

xz = . Esta ecuación es la de una parábola

en el plano XZ, abierta hacia arriba y con vértice en el punto )0,0,0( . Su gráfica es:

Si ahora se calcula el corte con el plano YZ, en el cual se tiene 0=x , se obtiene que la

traza es la curva 23yz = , que también es una parábola, con las mismas características de la

anterior, aunque un poco más cerrada, y situada en el plano YZ. Su gráfica es:


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Dibujando las dos trazas a la vez se puede obtener una idea bastante aproximada de la

gráfica de la función.

Trazado de gráficas.

Utilizando las curvas de nivel y las trazas es posible obtener la información suficiente para

dibujar la gráfica de una función de la forma. ),( yxfz = . Para ello es importante tener en cuenta

que las curvas de nivel corresponden a cortes con planos horizontales y las trazas a cortes con

planos verticales.

EJEMPLO: Obtener la gráfica de la función 22yxz −= .

En primer lugar se calculan las curvas de nivel. En este caso es posible que tengan

valores positivos, negativos e, incluso, el valor 0.

Cuando 0>e las curvas de nivel tienen por ecuación eyx =−22 , estás curvas son

hipérbolas simétricas que cortan al eje X en los puntos )0,( e y )0,( e− , en el caso 0<e ,

las curvas de nivel son también hipérbolas de la forma exy −=−22 que cortan al eje Y en

los puntos ),0( e− y ),0( e−− , cuando 0=e , las curvas de nivel tienen por ecuación

022=− yx y corresponden a las rectas xy = e xy −= . El aspecto de tales curvas de nivel

es el siguiente:


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0>e 0=e 0<e

Si ahora se calculan las trazas se encuentra que: El corte con el plano XZ (de ecuación

0=y ) es la parábola 2xz = , esta curva está contenida en el plano XZ, abierta hacia arriba y

tiene como vértice el origen de coordenadas (punto )0,0,0( ). En cambio la traza resultante del

corte con el plano YZ es la curva 2yz −= , esta parábola está en el plano YZ, abierta hacia

abajo y con vértice también en el punto )0,0,0( . La representación gráfica de esta trazas es la

siguiente:

Entonces, con toda la información obtenida a través de las curvas de nivel y las trazas

se puede concluir que la gráfica de esta función tiene el siguiente aspecto:

Esta superficie pertenece a la familia de las cuádricas y lleva el nombre de paraboloide

hiperbólico. En este ejemplo se trata del caso más sencillo, esto es: simétrico y centrado en el

origen. También es posible referirse a él como el conjunto de puntos que satisfacen la

condición: 022=+− yxz

NOTA: Otras superficies pertenecientes a la familia de las cuádricas, son las siguientes

La esfera: 2222azyx =++


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El elipsoide: 1222222=++ zcybxa

El paraboloide: 02222=−− ybxaz .

El hiperboloide de una hoja: 1222222=−+ zcybxa

El hiperboloide de dos hojas: 1222222−=−+ zcybxa

La superficie cónica: 022222=−− ybxaz

Para campos escalares de tres variables.

En este caso se trata de campos escalares definidos por funciones de varias variables de la

forma:

f :D ⊂3

→

Superficies de nivel.

Para obtener información gráfica de estás funciones se definen las superficies de nivel de

valor e como el conjunto de puntos ∈),,( zyx3 que satisfacen la condición ezyxf =),,( .

Cuando se dan las condiciones suficientes de regularidad, este conjunto de puntos forman una

superficie en 3 que podría interpretarse como la gráfica del campo escalar de dos variables

definido implícitamente por la condición:

0),,(),,( =−= ezyxfzyxF .

Las técnicas para representar estas superficies de nivel son las mismas que las empleadas

para encontrar las gráficas de las funciones reales de dos variables en el apartado anterior.

EJEMPLO: Hallas las superficies de nivel, de valor e = 1, 0 y -1 de la función de tres

variables:

222),,( zyxzyxf −+=

En primer lugar se toma el valor 1=e en tal caso la superficie que se obtiene es la

formada por los puntos ∈),,( zyx3

que cumplen la condición:

1222=−+ zyx

Lo primero que se observa, viendo la expresión de la función, es que el origen de

coordenadas )0,0,0( no pertenece a la gráfica. Además la suma de los valores 22yx + debe

ser siempre mayor o igual a 1. También se puede ver que las curvas de nivel de valor w son

circunferencias de radio 21 w+ y que las trazas son las hipérbolas 122=− zx y 122

=− zy .

Con todos estos datos se puede concluir que esta superficie de nivel tiene la forma:


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Esta figura recibe el nombre de hiperboloide de una hoja.

La superficie de nivel correspondiente a 0=e tiene por ecuación 0222=−+ zyx que

puede escribirse como:

222yxz +=

Mediante razonamientos análogos a los anteriores se llega a la conclusión de que la

superficie de nivel para este valor 0=e tiene el siguiente aspecto:

Esta figura recibe el nombre de superficie cónica.

Por último, la superficie de nivel correspondiente a 1−=e tiene por ecuación

1222−=−+ zyx que puede escribirse como:

1222=−− yxz

Cuya gráfica es:

Que recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas.

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