e

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOGUIÁ DE ESTUDIO

~NTRODUCCIÓNl

Un dólar que se recibe hoy, tendrá mayor valor que un dólar que se esperarecibir en el futuro, debido a que podrá ser invertido y obtener unrendimiento positivo. Una de las técnicas más importantes usadas en lasfinanzas es .Iadel valor del dinero en el tiempo, o el análisis del flujo de cajadescontado. Los principios del análisis del valor del dinero a través de¡¡tiempo, desarrollados en este cap[tulo tienen muchas aplicaciones, lascuales van desde la puesta en práctica de programas para la liquidación depréstamos, hasta la decisión de adquirir un equipo nuevo.

!OBJETIVOS¡

1.2.

3.4.

5.6.

Analizar la función del valor del dinero en .eltiempo en las finanzasComprender el concepto del valor futuro y el impacto que produce el .hecho de efectuar la composición con una frecuencia mayor a la anualDeterminarel valor futuro de una anualidadEntender el concepto del valor presente, y su relación con el valorfuturoCalcular el valor presente de un flujo de caja desigualDescribir los procedimientos que participan en:a. Cálculo de los depósitos con el fin de acumular una suma futurab. La amortización de préstamosc. La determinación de las tasas de interés o de crecimiento

~ ,IMETODOSDE SOLUCION PARA EL VALORDEL DINEROEN EL TIEMPO!

1. ¡SOLUCIONNUMéRICA:1USANDO UNA CALCUlADORA REGULAR SIN FUNCIONESFINANCIERAS

2.

3.

¡SOLUCiÓNTABULAR:IAL FINALDELTEXTO: TABlAS A1,A2,A3 Y A4

¡SOLUCIÓNMEDIANTECALCULADORAFINANCIERA:IUTILIZANDOCINCO ClAVES ESPECIFICAS, QUE CORRESPONDEN ALAS VARIABLESMAS USADAS:

L3 CONCEPTOS BASICOS

UNEAS DE TIEMPO

UNA IMPORTANTE HERRAMIENTA QUE SE USA EN EL ANALlS:3 DEL VALOR DELDINERO A TRAVES DEL TIEMPO, ES UNA REPRESENTACION GRAFICA QUE SEAPLICA PARA MOSTRAR LA PERIODICIDAD DE LOS FLUJOS DE EFECTIVO.VALOR FUTUROEL MONTO AL CUAL UN FLUJO DE EFECTIVO O UNA SERIE DE FLUJOS DEEFECTIVO CRECERAN A LO LARGO DE UN PERIODO DETERMINADO DE TIEMPO,DESPUES QUE SE SUJETEN A UN PROCESO DE COMPOSICION, A UNA TASA DEINTERÉS DETERMINADAVALOR PRESENTEEL VALOR QUE TENDRIA HOY UN FLUJO DE EFECTIVO FUTURO O UNA SERIE DEFLUJOS DE EFECTIVOANUALIDAD -UNA SERIE DE PAGOS DE MONTOS IGUALES A INTERVALOS FIJOS DURANTE UNNUMERO ESPECIFICO DE PERIODOSANUALIDAD ORDINARIAUNA ANUALIDAD CUYOS PAGOS OCURREN AL FINAL DE CADA PERIODOANUAUDAD ANTICIPADA .UNA ANUALIDAD CUYOS PAGOS OCURREN AL INICIO DE CADA PERIODOVALOR FUTURO DE UNA ANUALIDADCADA PAGO DE LA ANUALIDADSE SUJETAA UN PROCESODE COMPOSICIONHASTA EL FINAL DEL PERIODO n, Y LA SUMA.DE LOS PAGOS COMPUESTOS ES ELVALOR FUTURO DE LA ANUALIDADVALOR PRESENTE DE UNA ANUAUDADSE CALCULA EL VALOR PRESENTE DE CADA FLUJO DE EFECTIVO YPOSTERIORMENTE SE REALIZA LA SUMATORIAPERPETUIDADUNA CORRIENTE DE PAGOS IGUALES QUE SE ESPERA CONTINUEINDEFINIDAMENTEFLUJO DE CAJA DESIGUAL

UNA SERIE DE FLUJOS DE EFECTIVO EN LOS CUALES EL MONTO VARIA DE UNPERIODO AL SIGUIENTETASA DE INTERÉS SIMPLE O COTIZADAES LA TASA DE INTERÉS CONTRATADATASA PERlODICA

TASA CARGADA POR UN PRESTAMISTA O PAGADA POR UN PRESTATARIO, CADAPERIODO DE INTERESES (MENSUAL,TRIMESTRAL, ANUAL, ETC,>TASA ANUAL EFECTIVA (TAE)TASA ANUAL QUE SE GANA O SE PAGA CONSIDERANDO UNA CAPITALlZACION DE

/INTERESES DURANTE EL añoPRESTAMO AMORTlZADOUN PRESTAMO QUE ES REEMBOLSADO EN PAGOS IGUALES A LO LARGO DE SUVIDA.(Nota: UIilizaremosin<istintamentePtI o VP paraValorpresente.FV o VFpara Valor MUlO. VPAo PtlA paraValorpresentede una anuarldady FVA oVFA, paraValor Mil\) de unaanualidad)

ILUSTMCION DE LA LINEA DE TIEMPO. LA LINEA DELTIEMPO ES UNA DE LAS HERRAMIENTAS MAS UTILES PARAVISUALIZAR y AYUDARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DEL VALORDEL DINERO EN EL TIEMPO. DIBUJAR LINEAS DE TIEMPO PARA:

UNA SUMA ACUMULADA DE BS. 700 AL FINAL DEL 2DO. AñO.

7 2O . ----------------------

; % 100 FLUJO DE CAJA

Vf:JA ANUALIDAD ES UNA' SERIE DE FLUJOS DE. CAJA IGUALES;:>QUEPCURREN EN INTERVALOS IGUALES. POR EjEMPLO: UNA ANUALIDAD'oRDINARIA DE BS. '00 POR AñO DURANTE TRESAñOS~

O 7 2 31%----------------------------------------------------------------

O 700 700 700

01.231%---------------------------------------------------------------

-50 700 75 50

SUPONGA QUE USTED INVIERTE 7000 EUROS Y ESPERA RECIBIR 80 ALFINAL DE LOS AñOS 1,2, 3 Y 4, Y TAMBIEN RECIBIRA LOS 1000 EUROSQUE USTED INVIRTIO EN EL AñO 4. LA LINEA DE TIEMPO SERA:\ .

O- 1000

780

280

380

480 + 1000

EL SIGNO MENOS SIGNIFICA LA INVERSION Y LOS OTROSVALORESESEL RENDIMIENTO DE LA INVERSION.

¡VALOR FUTURO.I UN DÓLAR HOY, VALE MAS QUE UN D6LARQUE SE VA A RECIBIR EN EL FUTURO, YA QUE SE PUEDE INVERTIRY GANAR INTERESES. EL VALOR ACTUAL DEL DINERO SE LA VP.,Y EL VALOR DEL DINERO EN EL FUTURú SE LLAMA VF. ELPROCESO DE IR DEL VP AL VF SE LLAMA CAPITALIZACION.

SE DEPOSITAN $ 2000 EN UN BANCO QUE PAGA EL 10% DEINTERES. ¿CUÁNTO SE TENDRA AL FINAL DEL AñO? ELEMENTOSQUE INTERVIENEN:VP = $ 2000i = 10% = 0.10 (TASA DE INTERES)INT = (INTERESES GANADOS) $ 2000 X 0.10 = $ 200VF = VALOR FUTUROn = NUMERO DE PERIODOS n= 1

-VP + INTERESVP + VP (OVP (1 + O2000 (1 + O2000 (1 + 0.10) = $ 2200

VFn = VF =1

-

-

VALOR FUTURO ES EL MONTO HASTA EL CUAL CRECERA UNFLUJO DE EFECTIVO O UNA SERIE DE FLUJOS DE EFECTIVO A LOLARGO DE UN PERIODO DETERMINADO CUANDO SE CAPITALIZAA UNA TASA DETERMINADA.

SI SE MANTIENEN LOS $ 2000 AL 10% EN 5 AñOS, TENDREMOS:

CALCULADORA FINANCIERA: N = 5; i% = 10%; VP = 2000; PMT=O; VF =? = 3221.02

AñO O 1 2 3 4 5DEPOSITO INICIAL -2000INTERESESGANADOS 200 220 242 266.20 292.82CANTIDADAL FINALDE

CADA PERIODO 2.200 2.420 2.662 2928.20 3221.02

VALOR PRESENTE.OBSERVAMOS ANTERIORMENTE QUE ELVALOR FINAL DE $ 2000 ES IGUALAL FINAL DEL QUINTO AñO A$ 3221.02. USTED PODRIA SER INDIFERENTE ENTRESELECCIONAR $ 2000 AHORA O $ 3221.02 AL FINAL DE CINCOAñOS.

LOS $ 2000, ES EL VALOR PRESENTE DE $ 3221.02 EN CINCOAñOS, CUANDO EL COSTO DE OPORTUNIDAD ES EL 10%. ELCOSTO DE OPORTUNIDAD ES LA TASA DE RENDIMIENTOSOBRELA MEJOR INVERSION DISPONIBLE DE RIESGO SIMILAR. ELVALOR PRESENTE = VP ES EL VALOR HOY DE UN FLUJODE CAJAFUTURO O DE UNA SERIE DE FLUJOSDE CAJA.

/ /VP VF= $ 3221.02

VF n = VP(1 + il

VP = VFn/ (1 + i)" = VFn (1/1 +il

VP = $ 3221.02 (1/1.1 Oys

VP = $ 3221.02 (1/1.6105) = $ 2000

CALCULADORA:N =5I/y = 10%PMT= OVF = $ 3221.02VP =? = $ 2000

TABLA:$ 3221.02 ( PVIF i,n)

, $ 3221.02 (0.6209)$ 2000

ANUALIDADES. UNA ANUALIDAD ES UNA SERIE DE PAGOSIGUALESQUESE REALIZANA INTERVALOS FI)OS A LO LARGODEUN NUMERO ESPECIFICO DE PERIODOS. (ESTOS PAGOS SONIDENTIFICADOS EN LA MAYORIA DE LOS LIBROS SOBREFINANZAS CON LAS LETRASPMT)

UNA ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA ES AQUELLA EN LACUAL LO~. PAGOS OCURREN AL .FINAL DEL PERIODO. UNAANUALIDAD ANTICIPADA ESAQUELLA EN LA CUAL LOS PAGOSOCURRENAL INICIO DE CADA PERIODO.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA.

SI PARA GASTOS GENERALES DURANTE SUS ESTUDIOSUNIVERSITARIOS USTED.DEPOSITA $ 500 AL FINAL DE CADAAñO POR 5 AñOS CON UN INTERESDEL 6%, ¿CUÁNTO TENDRAAL FINAL DE LOS CINCO AñOS? .

VF = 500 (1+0.061 + 500 (1+0.06)3 + 500 (1+0.061 + 500(1+0.06) + 500DOLARES DEPOSITADOS O 1 2 3

500 500 5004

500l

5500

.7 530~ 562

-t 595-7 631

2818.50

AL FINAL DE CADA AñO

VF DE UNA ANUALIDAD $CALCULADORA:N = 5I/y = 6O = vp-500 = PMT (SE SEñALA COMO UN VALOR NEGATIVO DESDE QUE ES UNA INVERSION)

VF = 2818.55

CUANTO DEBEMOS DEPOSITAR CON UNA TASA DEL 8% AL FINAL DECADA AñO PARA ACUMULAR $ 5000 AL FINAL DE DIEZ AñOS?N = 10; I/y 8; VF = 5000; O = PV; PMT =$ 345.14. DEBEMOSDEPOSITAR $ 345.14 POR 10 AñOS AL 8% PARA ACUMULAR $ 5000

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA

$ 500, AL 6% EN 5 AñOS.

o 1500

$ 471.50 ~445..00 f-420.00 ~396.00 ~373.50 f

VP=21 06.00

TABLADEINTEREs:VPAn=PMT(PVIFA ¡,n) =$ 500 ( 4.2124)=$2106.00

2500

3500

4500

5500

N= 5 I/y = tjO" PMT= 500 VF= O

VALOR FINAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADAvp = 2106.18

CALCULAMOS QUE EL VALOR FINAL DE UNA ANUALIDAD ORDINARIAA 5 AñOS AL 6% ES IGUAL A $ 2818.50, AL SER UNA ANUALIDADANTICIPADA EL VALOR ES IGUAL A $ 2987.61

b~7

BEGIN:N= 5 I/y= se" PMT = 500 VFc:2987.65 vp=O

o 1 2 3 4 5

500 500 500 500 5004- I

I

I ) 530I

1 561.80-7 595.507 631.257 669.10$ 2987.65

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

EL VALOR PRESENTEDE UNA ANUALIDAD ORDINARIA DE $ 500AL 6% EN 5 AñOS = $ 2106 Y EL VALOR PRESENTEDE UNAANUALIDAD ANTICIPADA ESIGUAL A $ 2232.36

VP-500(PVIFA6%,5AñOS)(1.06)=500 (4.212) (1.06) = $ 2232.36

o500

500.00 . f-1471.69 f-444.99 "f419.81 ~

396.03 f BEGIN2232.52 N=5 1/Y=6%

1500

J

2500

3500

4500

5

PMT = 500 VF=O VP= 2232.55,

LOS RESULTADOS DE LA ANUALIDD ANTICIPAI;)A. SON MASAL TOS QUE LOS DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA, DEBIDO A QUELOS PAGOS SON RECIBIDOS CON ANTERIORIDAD

PERPETUIDAD

CORRIENTE DE PAGOS IGUALES QUE SE ESPERA QUE CONTINUENPARA SIEMPRE.

VP (PERPETUIDAD)= PAGO / TASA DE INTERES= PMT / ;

SUPONGA UNA PROMESADE PAGO DE $ 2000 PORAñO, SIENDOLA TASA DE DESCUENTO = 6%.

PERPETUIDAD= 2000/0.06 = 33.333,00

SI LA TASA DE INTERESSUBEAL 10% EL VALOR DISMINUYE

PERPETUIDAD= 2000 / 0.10 = 20.000,00

FLUJO DE CAJA DESIGUAL

¿Cuál. es el valor presente de .~..la$iguientecorriente desigual de flujQS de efectivo? (La tasade interés apropiada es del 10% anualcompuesta)

o

Bs. 90.91 ~

247.93 ~225.39 ~

{34.15} ~Bs.530.08

1 2 3 4

I~

-.

Reconocer el componente de la anualidad:".

o 1 2 3 4~~-10~~--~ ~~~~ ~~----

-50o 100 300 300Bs. 90.91 <- Iv'

473.72<- §.2Q.65)- Bs.300(1. 7355)I

{34.151 <- V',JoJ~ .

85.530.08

SOLUCiÓNCALCUlADORA

Ne: 1 I/y = 10%N=2 I/y= 10%Ne:3 I/y e:10%N...4 I/ye: 10%

VF=100VFe:300VFa 300VFe:.50

PMT=OPMTe:OPMTe:OPMT-O

VP = 90.91

VPe: 247.93VP=225.39VP -(34.15)Ss. 530.08

DETERMINACiÓN DE LA TASA DEINTERÉS

¿ Qué tasa de interés anual hará que una sumade 8s.100 crezca hasta 8s.125.97 en 3 años?

o 1 2 3

-10o~~.I~~25.97

/ /. .--/.8s.100(1+i) 8s.100 (1+i)2 88.100 (1+i)g

8s.100 (1+i)38s.100 (FVIF i,g)FVIF i'3 = 1.2597

.=..Bs.125.97= Bs. 125.97

(Ver línea 3 de la tabla A-3)

El resultado 1.2597 está en la columna del 8%.Por lo tanto, i = 8%

~-..'.

.:......

PMTc:o VP c:-100

EXISTEN DIFERENTES PERIODOS DE CAPITALIZAC!ON PARADISTINTOS TIPOS DE INVERSIONES. LAS CUENTAS BANCARIASCALCULAN A VECES LOS INTERESES SOBRE UNA BASE DIARIA.LOS BONOS SE PAGAN EN FORMA SEMESTRAL, LAS ACCIONESPAGAN DIVIDENDOS EN FORMA TRIMESTRAL. POR ELLO ESNECESARIO EXPRESARLOS SOBRE UNA BASE COMUN, LO QUEREQUIERE DISTINGUIR ENTRE TASA DE INTERES SIMPLE (OCOTIZADA) Y LA TASA ANUAL EFECTIVA (TAE).

LA TAE SE DEFINE COMO AQUELLA TASA QUE PRODUCIRA ELMISMO VALOR FUTURO (FINAL) SI SE HUBIERA APLICADO UNACAPITALIZACION ANUAL.

ITAE = (1 + ¡simple / m)m- 1.Q(1 + 0.10/ 2Y - 1.0 = ( 1.05Y - 1.0 = 1.1025 - 1.0 = 10.25%¡simple = TASA DE INTERES SIMPLE O COTIZADAm = Número de periodos de capitalización por año

SUPONGAMOS QUE LOS BANCOS CARGAN 1.5% POR MES A LASTARJETAS DE CREOITO, y EN LA PRENSA DECLARAN QUE LATASA PORCENTUAL ANUAL (TPA) = 18%, SIN EMBARGO LA TASAANUAL EFECTIVA ES DEL 19.6%.

TAE = (1 + 0.18/ 12 )'2 -. 1 = (1.015)'2 -1 = 0.196 = 19.6%

"?I"

TASA EFECTIVA ANUAL

¿Cuál es la tasa anual efectiva para una tasanominal del1 0%semestral compuesta?

Si iNom= 10% Y el interés es compuestosemestralmente tenemos:

TASA ANUAL EFECTIVA = (1+0.10/2)2-1.0= (1.05)2 -1.0= 1.1025 -1.0= .0.1025 = 10.25%

COMPOSICION TRIMESTRAL:(1+0.10/4)4-1.0

(1.025)-1.0

1.1038 -1.0 = 10.38%

COMPOSICION DIARIA: (1+0.1 0/365)365 -1.0

(1.0003)365 - 1.0

1.1052-1.0 = 10.52%

PERIODOS DE CAPITALIZACION SEMESTRAL y DE OTRANATURALEZA.

EN ALGUNAS CASOS ELINTERES ES PAGADO CADA SEIS MESES, YSE DENOMINA COMPOSICION SEMESTRAL. EN LA MAYORIA DELOS BONOS EL PAGO DE LOS INTERESESES SEMESTRAL. EN LOSBANCOS A VECES ES DIARIO.

SUPONGA QUE $ 100 SE COLOCAN EN UN BANCO CONCOMPOSICION ANUAL A UNA TASA DE INTERES DEL 10% Y SEMANTIENE DURANTE 3 AñOS.

VF = 100 (1.1 oy = 133.10

CAPITALIZACION SEMESTRAL:

5% 112-l

3oI

-100

VF = VP (1 + i]N

$ 100 (1.05)6 = $100 (1.3401) = $ 134.01

CALCULADORA:

N = 6" i = 5.I I VP= -100; PMT= O; VF= 134.01 *

2 3 AñOS4 5 6

l' .,

VF

EJEMPLOS DE DIFERENTES PERIODOSDESCU.ENTO y CORRIENTE DE PAGOS

DE

¿Cuál es el valor presente de una corriente de efectivo con unatasa del,10%, compuesta semestral?

1 2

I I 1-

100, 100Ss. 90.7~

82.27~74.62. .

Ss. 247.59

ol

3.t-

100

~resenta esta corriente una anualidad?1

PVA3 = Bs.100(PVIFA 5%,3)= 100 (2.7232) = Ss. 272.32 esdiferent~ a Bs. 247.59

INose puede usar la fórmula de anualidades.1

. Nota: Las tablas de PVIFAno se pueden usar.

En esta situación la corriente de pagos es una anualidad en elsentido de que existen cantidades constantes a intervalosregulares, pero los intervalos no corresponden con losperiodos de composición. Esta situación ocurre a menudo. Eneste caso, el interés es compuesto semestralmente. Con unatasa establecida del1 0%, la EARserá del1 0.25%.

DISEÑE UN PROGRAMA DEAMORTIZACION COR.RESPONDIENTE A UNPRESTAMO DE 8S.1000 CON UNA TASA ANUALDEL 10% REEMBOLSABLE EN TRES PAGOSIGUALES.

PAGO ALFINAL

, PVA8s.1000PMT

= PMT (PVIFAi,n)~ PMT (PVIFA10%,3)= SS. 402,11

AñO BALANCEINICIAL

123

Bs.1000.00697.89365.57

PAGO INTERESES PAGO PRINCIPAL

402.11402.11402.13*

100.0067.7936.56

302.11332.32365.57

BALANCE FINAL

Bs. 697.89365.57

0.00

*Para llevar el balance a cero.

PERIODOS FRACCIONALES

A veces los pagos ocurren al inicioo al final de los periodos, sin embargocon frecuencia encontramos situaciones que requieren de una capitalizacióno un descuento de flujos a lo largo de periodos fraccionados. SUpongaqueusted depósito $ 100 en un Banco que paga un rendimiento anual efectivodel 10%, si usted deja el dinero durante nueve meses, es decir 0.75 delaño, determine que cantidad de dinero tendrá en la cuenta.

ESTOS CASOS SE MANEJAN CON FACILIDAD, PERO NO SE PUEDENUTILIZAR TABLAS.

~NEA DE TIEMPo:1

0--100

0.25 0.50. 0.75VF?

1.00

!soLUCION NUMERICA:I

VFO.75 = $ 100 (1.10)°.75= $ 100 (1.0741)= $ 107.41

IsoLUCION MEDIANTE CALCULADORAFINANCIERA :1

INSUMOS: 0.75

~10

~

-100

~O

~1= 107.411