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UT 06: EL INTERS COMPUESTO con EL LUISMA Domingo Gonzlez Garca IES Benjamn Jarns Fuentes de Ebro (Zaragoza)

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NDICE DE LA UNIDAD 6.1.- Capitalizacin Compuesta A) Montante o Capital Final A) Montante o Capital Final B) Capital Inicial o Valor Actual B) Capital Inicial o Valor Actual C) Clculo de los Intereses Totales C) Clculo de los Intereses Totales D) Clculo del Tipo de Inters D) Clculo del Tipo de Inters E) Clculo del TiempoE) Clculo del Tiempo 6.2.- Diferencia entre Capitalizacin Compuesta y Simple A) Inters Nominal B) Inters Efectivo o Tasa Anual Equivalente C) Comparacin entre el tipo de inters nominal y efectivo 6.3.- CAPITALIZACIN FRCCIONADACAPITALIZACIN FRCCIONADA A) Capitalizacin en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial. A) Capitalizacin en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial. TE ESTOY CONTRO LANDO

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LLAMAREMOS: Co: Capital inicialn: Duracin de la operacin i: Tipo de intersCs: Montante del ao s Is: Inters del ao s, cuyo valor ser: Cs 1*i It: Inters Total. It = I 1 + I 2 + + In Cn: Capital Final o MONTANTE Llamamos CAPITALIZACIN COMPUESTA a la ley financiera en la que los INTERESES de cada perodo de capitalizacin se AGREGAN AL C APITAL para calcular los intereses del perodo siguiente INDICE

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A.MONTANTE O CAPITAL FINAL CMO OBTENEMOS LA FRMULA?... CALCULAREMOS LOS SUCESIVOS MONTANTES AL FINAL DE CADA AO AL FINAL DEL PRIMER AO:C 1 = Co I 1 Como I 1 = Co*i, EntoncesC 1 = Co + Co*i Sacando F.C. = Co(1+i) AL FINAL DEL SEGUNDO AO:C 2 = C 1 + I 2 Como I 2 = C 1 *i Entonces C 2 = C 1 + C 1 *i = C1(1 + i) Como C 1 =Co(1+i) Entonces C 2 =Co(1+i)*(1+i) Sacando F.C. C 2 = Co(1 + i) 2

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El Montante AL FINAL DEL TERCER AO: C 3 = C 2 + I 3 I 3 = C 2 *i Entonces C 3 =C 2 + C 2 *i C 3 = C 2 (1 + i) Entonces: C 3 = Co(1 +i) 2 (1+i)C 3 = Co(1+i) 3 Y as sucesivamente hasta el ao n (ltimo ao). Cn = C (n-1) + In ComoIn = C (n-1) *i Entonces Cn = C (n-1) +C (n-1) *i, Es decirCn = C (n-1) (1 + i) Entonces C n = Co(1 + i) (n-1) *(1+i) Y GENERALIZANDO.. C n = Co(1+i) n APRNDETE ESO

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GRFICAMENTE

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EJEMPLO: Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta. SOLUCIN: Cn = Co(1+i) n ; Cn = 200(1 + 0,05) 10 =

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B) Capital Inicial o Valor Actual EJEM,EJEM SEGUIIMOS SEORES/AS Nos permite expresar el valor actual (Co) de un Valor Futuro (Cn). Co Cn Co = Cn/(1+i) n O Tambin Co = Cn(1 + i) -n

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Solucin EJEMPLO Calcula el Capital inicial que se convirtio en 1.500 durante 2 aos y a un tipo de inters del 6% Co = Cn(1+i) -n ; Co = 1.500(1 + 0,06) -2 = 1.334,99

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C, D,CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Y TIPO DE INTERS TE SIGO VIGILANDO C.- It= Co[(1 + i) n -1] D.- CALCULO DEL TIPO DE INTERS Partiendo de la frmula general del montante: Cn/Co= (1+i) n ; Tomamos la raz de orden n en ambos miembros de la igualdad y nos queda n Cn/Co = 1+i n Cn/Co -1 ; De donde i = (Cn/Co) 1/n - 1 i = O tambin

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EJEMPLO Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 aos se obtenga un montante de 1.601,03 euros. SOLUCIN i = (Cn/Co) 1/n 1; i=(1.601,03/1.000) 1/12 -1= 0,04

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E. Clculo del tiempo Igual que en los casos anteriores, partiendo de la frmula general del contante y tomando logaritmos: Log Cn = Log Co(1 + i) n y desarrollando la expresin, nos queda Log Cn = Log Co + Log. (1 + i) n = LogCn Log Co Log (1 + i) Despejando n

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Calculo del tiempo Un capital de 2.000 euros colocado a inters compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto. SOLUCIN n =(Log.Cn Log.Co)/(Log (1+i); n=( 3,5054-3,30103)/0,01703 =11,81 aos

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6.2.- Diferencia entre Capitalizacin Compuesta y Simple CAPITALIZACIN COMPUESTA Cn = Co(1+i) n CAPITALIZACIN SIMPLE Cn = Co(1 + in) RECUERDA: EL TIPO DE INTERS Y EL TIEMPO SIEMPRE DEBEN ESTAR EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES TEMPORALES

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6.2.- Diferencia entre Capitalizacin Compuesta y Simple continucacin De todo lo expuesto anteriormente podemos concluir diciendo: Que el montante de la capitalizacin ES MAYOR en la capitalizacin simple en perodos inferiores al ao. IGUAL en perodos de un ao y MENOR en perodos superiores al ao. TiempoCapitales n = 0 Cn(simple) = Cn(compuesta) n = 1 Cn(simple) = Cn(compuesta) 0 Cn(compuesta) n>1 Cn(simple) < Cn(compuesta)

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A) Inters Nominal En todos los documentos financieros, aparen normalmente dos tipos de inters: 1.- J m Es el inters NOMINAL O PROPORCIONAL ANUAL.(Es decir, es el tanto proporcional anual; y que se obtiene multiplicando m veces el tipo de inters de un perodo fraccionado. 2.- i. Es la Tasa Anual Equivalente (TAE) De ah que podemos establecer la siguiente relacin: J m =m * i m Y en consecuencia: i m = J m /m

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B) Inters Efectivo o Tasa Anual Equivalente El Inters Efectivo o TAE, (i) es el inters REALMENTE ABONADO O CARGADO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS POR LO TANTO Si 1 invertido al tanto i durante 1 ao, proporciona un montante de Cn=1(1+i) 1. El mismo Euro invertido durante un ao pero con capitalizacin fraccionada (i m ) proporcionar un montante igual a (1 + i (m) ) m OBERVAOBERVA

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B) Inters Efectivo o Tasa Anual EquivalenteB) Inters Efectivo o Tasa Anual Equivalente CONTINUACIN PARA QUE EL TANTO i SEA EQUIVALENTE A i m, AMBOS MONTANTES TENDRN QUE SER IGUALES (1 + i) = (1 + i (m) ) m i = (1 + i m ) m - 1 i (m) = (1 + i) 1/m -1

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C) Comparacin entre el tipo de inters nominal y efectivo DADO QUE EN MUCHOS DOCUMENTOS MERCANTILES SE EXPRESA EL INTERS NOMINAL SOLAMENTE, ES NECESARIO PODER CALCULAR EL INTERS EFECTIVO EN FUNCIN DEL NOMINAL PARA ELLO VASTA SUSTITUIR ENLA FRMULA DE EQUIVALENCIA EL VALOR i m, POR EL CORRESPONDIENTE NOMINNAL ES DECIR i = (1 + i (m) ) m 1 ; i (m) = J (m) m GRFICAMENTE, LA COMPARACIN ENTRE EL INTERS NOMINAL Y EL EFECTIVO J (m) i TAE

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6.3.- CAPITALIZACIN FRCCIONADA A) Capitalizacin en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial. Las variables con las que trabajaremos son: Co = Capital inicial i m = Tanto fraccionado referido al perodo de capitalizacin n*m = Tiempo total de la operacin, medido en la misma unidad que el tanto fraccionado Entendemos por CAPITALIZACIN COMPUESTA EN TIEMPO FRACCIONADO, la operacin financiera en la que el tiempo no es un nmero exacto de perodos (aos). Su clculo se puede realizar CONVENIO EXPONENCIAL Cn = Co(1 + i) (n+m) CONVENIO LINEAL Cn = Co(1+i) n (1 + i*m)

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http://www.youtube.com/watch?v =J0iYFPUdCE8 Y de regalo.