universidad complutense de madrid mÁster en ciencias actuariales y financieras microeconomía tema...
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 2 : La demanda con incertidumbre
Prof. Juan Gabriel Rodríguez
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
“La teoría es asesinada tarde o temprano por la experiencia”
A. Einstein
Otras extensiones del modelo básico...
Modelización de problemas económicos específicos oferta de trabajo (comportamiento) Ahorro
Nuevos conceptos Incertidumbre Información asimétrica
La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante ……
Esquema
Modelización de la incertidumbre
Axiomas
Utilidad esperada
Teoría del Consumo: incertidumbre
Prima de riesgo
Incertidumbre
conceptos axiomas sobre el consumidor restricciones sobre la estructura de las
funciones de utilidad
Aparecen nuevos:
Conceptos
Estados de la naturaleza
Ejemplo
Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
Ejemplo
Existe incertidumbre sobre quién gobernará en U.S. en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
probabilidades p{p| p}
consumo contingente {x }
Un vector de consumo sobre el espacio
Un vector de consumo sobre el espacio
ex ante antes de la realización
ex post después de la realización
Otro ejemplo
Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
Otro ejemplo
Existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
Distinción ex ante/ex post
tiempo
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Las decisiones se realizan aquí
Las decisiones se realizan aquí
La visión ex ante
La visión ex post
“Momento de la verdad”
La línea del tiempo
Abanico de estados posibles (
Abanico de estados posibles (
Sólo un estado se realiza
Sólo un estado se realiza
Un enfoque simplificado
El espacio de los estados es finito
Se simplifica si los planes de consumo son escalares
El consumo, resultado o premio en el estado de la naturaleza es x (un número real)
Ejemplo: el caso bidimensional
Tomamos = {ROJO,AZUL}
Representación gráfica...
Espacio de los estados (=2)
xAZUL
xROJOO
Espacio de consumo bajo incertidumbre con 2 estados de la naturaleza
Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados
Y0 r
esu
ltado
si
ocu
rre
AZ
UL
resultado si ocurre ROJO
45°
Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados
Consu
mos
con
certi
dumbre
per
fecta
Preferencias
El espacio de bienes se ha expandido: Si hay un número N de estados posibles entonces... ...en vez de n bienes tenemos n N bienes
La teoría del consumo se puede aplicar:
Los axiomas estándar sobre las preferencias son apropiados pero requieren una reinterpretación
veamosveamos
Axiomas
pp’
x|
Consecuencialismo (premisa): La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas de los resultados últimos.
Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2),
donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces:
(x1, L’;p1,p2) ~ (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).
Ejemplo
Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)
Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)
Aunque hay datos empíricos que muestran que los consumidores se comportan de distinta forma ante estas loterías…
Axiomas
CompletitudTransitividadContinuidadMonotoníaDominancia estocásticaConvexidad (estricta)Diferenciabilidad Independencia
Aseguran la existencia de una función de utilidad
Dan forma a la función de utilidad y a las curvas de indiferencia
Preferencias
sus probabilidades p
Los consumos contingentes
{x| }
Se establecen sobre:
Si entonces se establecen sobre:
(x1,x2;p1,p2)
En lo que sigue, xes un número real
Completitud
pp’
xx’|
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).
Entonces
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).
Entonces:
(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)
ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)
ó (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1’,p2’)
Transitividad
pp’ p’’
xx’x’’|
Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’):
si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’) y
(x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)
Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)
Continuidad
xAZUL
xROJOO
Preferencias no contínuas
Y0
Imponemos continuidad
huecoshuecosno huecos
no huecos
Un plan de consumo contingente Y0
E
Buscamos el punto E, posible gracias a continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0
Monotonía (débil)
p
xx’|
(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)
Monotonía (estricta)
p
xx’|
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2)con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:
(x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)
Monotonía
xAZUL
xROJOO
El plan de consumo contingente Y1 es estrictamente preferido a Y0 tanto por monotonía estricta como débil
Y1
Y0
Dominancia estocástica
pp’
x|
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’)si x1>x2 y si p1’>p1 (y p2’<p2) . Entonces:
(x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)
Ejemplo: (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)
Convexidad (estricta)
p
xx’|
Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)
(x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’)
(x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) ~ (x1’,x2’;p1,p2)
t
Convexidad (estricta)
xAZUL
xROJOO
Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 e Y1
Y0
Y1
Puntos en el interior de la línea Y0Y1 representan una combinación de Y0 y Y1
Y2 representa un menor riesgo
Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 e Y1
Y2
Independencia
Sean L, L’, L’’ tres loterias diferentes y (0,1), entonces:
L L’ L + (1-)L’’ L’ + (1-)L’’
La relación de preferencia entre dos loterias es independiente de la valoración de las restantes
Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades
Axiomas
Dados los axiomas anteriores:
Existe una función de utilidad U y ésta pertenece a la clase de funciones de utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:
donde u(xes una función cuasicóncava, independiente del estado
U(x p pux
U es cardinal: solo transformaciones afines (V=a+bU, b>0) representan las mismas preferencias
Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
xAZUL
xROJOO
¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?
Una típica CI
Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º
pROJO– _____
pAZUL
pROJO– _____
pAZUL
Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
xAZUL
xROJOO
pROJO– _____
pAZUL
pROJO– _____
pAZUL
Dado un consumo contingente Y0
E(x)
Y (renta) media
Y0
Y1
Y
Prolongamos la línea desde Y0 hasta Y1
Por convexidad de
las preferencias:
U(Y) U(Y0)
un resultado útil
un resultado útil
E(x)
xAZUL
xROJO
A
M
- pROJO
pAZUL
B
PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo
PR= E(x) - cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo
La prima de riesgo De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A...
La pendiente es el ratio de probabilidades
Corta a la diagonal en...
...la renta media
Nos sirve para definir...
La prima de riesgo
u
u(x)
x1
xx2
u( x1 )
u(x2)
E(x)
u(Ex)
Eu(x )
Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo
Cantidad que estamos dispuestos a sacrificar para eliminar el riesgo
La prima de riesgo
Utilidad de dos resultados posibles El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo
La prima de riesgo
La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p
Una aproximación de PR:
2)('
)('' 2xu
xuPR
El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo
Depende de:
Modelo de Seguros
Riqueza w Valor de la propiedad L Probabilidad de pérdida p Prima de seguro por cada euro de cobertura Dinero recuperado q
¿Cuál será el grado de cobertura óptimo?
Max pu(w-L+q- q)+(1-p)u(w- q)
CPO:'( *(1 )) 1
'( *) 1
u w L q p
u w q p
Modelo de Seguros
El beneficio esperado para el asegurador es:
p(q-q)+(1-p)q
Pero si hay competencia perfecta…
p(q-q)+(1-p)q = 0 p=
(Prima actuarialmente justa). Entonces…
Como u’’(w)<0 (hay máximo):
q*=L
Si hay riesgo moral…
'( *(1 )) '( *)u w L q u w q
*(1 ) *w L q w q
Modelo de Cartera
2 periodos 2 activos: seguro e incierto Riqueza w a activo incierto y w-a activo seguro Rendimiento activo incierto R (variable aleatoria) Rendimiento activo seguro r=0
¿Cuál será la demanda del activo incierto?
La riqueza del periodo 2:
W = a(1+R)+(w-a)(1+r) = w+aR (variable aleatoria)Utilidad esperada:
v(a)=Eu(w+aR)CPO:
v’(a)=Eu’(w+aR)R v’’(a)=Eu’’(w+aR)R2 < 0 (por aversión al riesgo)
Modelo de Cartera
Solución esquina a=0:
v’(0)=Eu’(w+0R)R=u’(w)ER
Si ER≤0 entonces v’(0) ≤ 0 por aversión estricta… v’(a)<0 a>0
Si ER>0 entonces v’(0) = u’(w)ER > 0 por lo que invertirá….
Eu’(w+aR)R = 0 …hasta que Eu’(w+aR) = 0
¿Cómo varía a cuando cambia w?
Sabemos que Eu’(w+a(w)R)R = 0
Diferenciamos respecto a w:
Eu’’(w+aR)R[1+a’(w)R] = 0 por lo que…
2
''( )'( )
''( )
Eu w aR Ra w
Eu w aR R
Modelo de Cartera
2
''( )'( )
''( )
Eu w aR Ra w
Eu w aR R
A’(w) tendrá el signo del numerador…pero sabemos que este es positivo (nulo o negativo) si la aversión absoluta al riesgo es decreciente (constante, creciente)Supongamos que es decreciente…
''( )( ) ( )
'( )
u w aRr w aR r w
u w aR
''( ) ( ) '( )u w aR r w u w aR
Si R>0
Si R<0 (lo mismo) por lo que…
''( ) ( ) '( )u w aR R r w u w aR R
''( ) ( ) '( ) 0Eu w aR R r w Eu w aR R
Práctica
(1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01.(a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad esperada u(x)=x1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 300.000 u.m.?
(b) Suponiendo que el riesgo del incendio sea el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?
Práctica
(2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?
Práctica
(3) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3.
(a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable?(b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.
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Tema 2 : La demanda con incertidumbre
Prof. Juan Gabriel Rodríguez