universidad complutense de madrid mÁster en ciencias actuariales y financieras microeconomía tema...
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad
Prof. Juan Gabriel Rodríguez
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
“Sin haber conocido la miseria es imposible valorar el lujo”
Charles Chaplin
Índice
1. Enfoque ordinal y cardinal.
2. Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las preferencias.
3. Las curvas de indiferencia. Propiedades.
4. La función de utilidad.
5. La Relación Marginal de Substitución.
Dos enfoques de la utilidad
1. Enfoque cardinal: marginalistas.La utilidad es medible y comparable
cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa
Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x' 2. Enfoque ordinal moderno: Hicks
La utilidad es medible pero comparable ordinalmente: la utilidad sólo transmite información cualitativa. Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x', pero no dice nada sobre cuánto más preferido
Es un enfoque más general (no tan restrictivo)
Ejemplos
La distancia El pesoLa temperatura
•cardinal
•Cardinal
•ordinal
oF 50 100
oC 10 37,8
Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida
Km 1,692 3,384
M 1 2
Enfoque ordinal
Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida). Enfoques:
(1) Enfoque axiomático:
Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia (Hicks, 1939).(2) Enfoque de la preferencia revelada:
Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias (Samuelson, 1947).
La relación (débil) de preferencias
La relación de preferencia débil básica:
x x'
“ La cesta x es al menos tan preferida como la cesta x' ... ”
…y la relación de preferencia estricta…
x x'“ x x' ” y no “ x‘ x”
Podemos derivar a partir de la anterior la relación de
indiferencia:
x ~ x'
“ x x' ” y “ x‘ x”
Nótese que
no es x
x'
Nótese que
no es x
x'
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
(Estricta) Cuasi-concavidad
Diferenciabilidad
Axiomas (enfoque axiomático)
“ Para todo x, x' Rn+ , bien x x' , ó
x‘ x , ó los dos son verdad (en cuyo caso son indiferentes). ”
...ó ambos (para todas las cestas)
bien...
ó...
Completitud
La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad”. Ej. películas
Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias
Completitud
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
(Estricta) Cuasi-concavidad
Diferenciabilidad
Axiomas
“ Para todo x, x', x' ' Rn+, si x‘ x y
x' ' x' , entonces x' ' x ”
Transitividad
si
y ...
entonces
La idea que transmite es una cierta consistencia en las preferencias y evitar circularidades perversas
Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor
Transitividad
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
(Estricta) Cuasi-concavidad
Diferenciabilidad
Axiomas
“La conducta de los consumidores no experimenta saltos”
Las curvas de indiferenciaEl conjunto I(x) ={x' X, si x ~ x' } se denomina conjunto
o curva de indiferencia .
De los axiomas (1) a (3) se puede crear un mapa de
curvas de indiferencias tal que:
Por todo punto pasa una curva de indiferencia que de
ser una función es contínua
Continuidad
Dada una cesta de consumo A.
La curva de indiferencia es contínua.
x1
x2
A
La función de utilidad
completitud
transitividad
continuidad
axiomas 1 a 3 son cruciales ...
U(x) U(x')x x'
La función de utilidad representa el orden de preferencias
Una función de utilidadu
0
U(x1,x2)
x2
x1
Curva de indiferencia
Otra función de utilidad que representa las mismas preferenciasu
0
U*(x1,x2)
x2
x1
La misma curva de
indiferencia
x1
x2
A
B
C
Las curvas de indiferencia
U(x)
100
150
200
Son contínuas
Representan órdenes de preferencias
Por lo tanto, la escala no importa
Asi, si transformamos la función de utilidad utilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía
Claves de las funciones de utilidad
Irrelevancia de la cardinalización
Dada cualquier función de utilidad...
y, en general, éstas...
( es cualquier función creciente y a es cualquier número real)
…y éstas también
a+( U(x1, x2,..., xn) )
U(x1, x2,..., xn)
( U(x1, x2,..., xn) )
exp(U(x1, x2,..., xn) )
Esta transformación representa las mismas preferencias...
5+log( U(x1, x2,..., xn) )
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad (fuerte)
Convexidad
Diferenciabilidad
Axiomas
“Para todo x x' X, si i, xi x’i
entonces x x’ ”
x1
x2
Estas cestas son preferidas estrictamente a A
Da una clara dirección
Increm
ento
de las
prefer
encias
Dada una cesta de consumo en X...
Dada una cesta de consumo en X...
Monotonicidad...
A
Monotonicidad...
Impone que xi i sea un bien…
Si imponemos no saciabilidad local:
“Dados x y >0 cualesquiera , x’ tal que ||x’-x|| y
x’ x’ ”
Ahora puede haber males aunque no todos pueden serlo.
Las curvas de indiferencia no pueden ser gordas
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
Convexidad débil
Diferenciabilidad
Axiomas
“ Para todo x X, el conjunto preferido
débilmente a x, PD(x) ={x' X, si x‘ x}
es convexo ”
Convexidad débil...
Dada una cesta de consumo x.
El conjunto débilmente preferido a x es convexo:
Dados y, z PD(x) y t [0,1], entonces t y + (1-t) z PD(x)
Admite tramos lineales en las curvas de indiferencia
x1
x2
x
z
y t y + (1-t) zpreferidas débilmente a x...
t y + (1-t) zpreferidas débilmente a x...
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
Convexidad estricta
Diferenciabilidad
Axiomas
“ Para todo x X, el conjunto preferido
débilmente a x, PD(x) ={x' X, si x' x}
es estrictamente convexo ”
Convexidad estricta...
Dada una cesta de consumo x.
El conjunto débilmente preferido a x es estrictamente convexo:
Dados y z I(x) y t (0,1), entonces
t y + (1-t) z x
No admite tramos lineales en las curvas de indiferenciax1
x2
x
z
y t y + (1-t) zpreferidas estrictamente a x...
t y + (1-t) zpreferidas estrictamente a x...
Dados dos puntos indiferentes entre sí…
cualquier combinación lineal entre ellos (excluidos ellos)…
x1
x2
A
B
C Alcanza un mayor nivel de utilidad
Preferencia por la diversificación
Convexidad estricta
Se excluyen casos como:
x1
x2
B
A
Relación Marginal de Sustitución
Una medida del grado de sustitubilidad entre bienes nos la da la Relación Marginal de Sustitución:
La Relación Marginal de Sustitución RMS entre x2 y x1 se define como el número de unidades que el consumidor está dispuesto a renunciar de x2 si aumenta el consumo de x1 en una unidad y permanecer indiferente.
2
1
1
2
2,1 Umgx
Umgx
dx
dxRMS
U
x1
x2 (-) la pendiente de la C.I. es la Relación Marginal de Sustitución
entre x2 y x1
Umg (x1) ———— Umg(x2) .
(-) la pendiente de la C.I. es la Relación Marginal de Sustitución
entre x2 y x1
Umg (x1) ———— Umg(x2) .
La Relación Marginal de Sustitución
x1
x2
La Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 es estrictamente decreciente al aumentar x1
.
La Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 es estrictamente decreciente al aumentar x1
.
Convexidad estricta…
Función de utilidad
De los axiomas (1) a (5) se puede crear un mapa de
curvas de indiferencia con las siguientes propiedades:
Por todo punto pasa una curva de indiferencia
La curva de indiferencia es contínua
La curva de indiferencia no es creciente
No se cortan entre si
Mientras más alejadas del origen, más satisfacción
Son convexas (estrictas, si covexidad estricta)
La convexidad estricta no evita...
preferencias
crecientes
x1
x2
RMS no definida aquí
RMS no definida aquí
Completitud
Transitividad
Continuidad
Monotonicidad
Convexidad estricta
Diferenciabilidad
Axiomas
“ La función de utilidad es diferenciable
en todo punto ”
Preferencias y Utilidad
EJERCICIOS:
(1) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se pueden cortar.
(2) Represéntese el orden de preferencias lexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y
x y
¿Podemos representarlo por una función de utilidad?
.
2211
11
, yxyxó
yx
2R
Preferencias y Utilidad
EJERCICIOS:
(3) a)Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0?
b)Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0 representa las mismas preferencias?
c)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y los
dados por U= 14x1 + 14x2 y V= (x1 + x2)
.
Preferencias y Utilidad
(4)Considere los cuatro tipos de preferencias:
U=log(x1) + (1- log(x2)U=x1 + x2
U=min(x1, x2)U=lnX1+ x2
donde es un parámetro positivo. Represente sus curvas de indiferencias. ¿Cumplen los axiomas (1) a (6)?
.
Preferencias y Utilidad(5) El orden de preferencias representado por curvas de indiferencias concéntricas ¿cumple los axiomas vistos?
.
Una función de utilidad general: CES
.
Considere las preferencias:
donde es la elasticidad de sustitución, engloba tres casos:
=1: bienes sustitutivos 0: preferencias Cobb-Douglas -: bienes complementarios
1
2121 21),( xxxxU
Ejemplos de funciones de utilidad diferentes
K es el factor capital utilizado por la empresa l1 and l2 son el número de trabajadores en el grupo 1 y grupo
2, respectivamente son los beneficios v es la función de aversión al colectivo 2
.
)(),,(),,( 22121 lvKllKllU
UA =U(X1,UB)
A)
B) [Andreoni y Miller (2002)]
[Becker (1957)]
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad
Prof. Juan Gabriel Rodríguez