Notas de Clase de Matemticas Actuariales del Seguro de Personas I aJ. Enrique P. Salvador jose enrique@comunidad.unam.mx, jenriqps@gmail.com Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autnoma de Mxico o e

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Semestre 2012-1, 25 de noviembre de 2011

Indice general1. Notas Preliminares 2. La Econom del Seguro a 2.1. Teor de la Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2. El Seguro y la Teor de la Utilidad a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 13 14 14

2.3. Elementos del Seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Seleccin del Seguro Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Modelos de Riesgo Individual para el Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Modelos para Variables Aleatorias de Reclamo Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Sumas de Variables Aleatorias Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Aproximacin a la Distribucin de la Suma de Variables Aleatorias (Teorema Central del L o o mite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funciones Biomtricas y Tablas de Mortalidad e 3.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tiempo de Vida Futuro Truncado (Curtate-Future-Lifetime) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Fuerza de Mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Tablas de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Enfoque de Grupo de Sobrevivencia Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.4.2. Enfoque de Grupo de Sobrevivencia Determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Otras Caracter sticas de la Tabla de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Supuestos para Edades Fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Algunas Leyes de Mortalidad Anal ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Tablas Selectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Primas Netas Unicas de Seguros de Vida 4.1. Seguros Pagables al Momento de la Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Seguros con Benecio Nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Seguros con Benecio Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Seguros Pagables al Final del Ao de la Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 4.3. Relaciones entre Seguros Pagaderos al Momento de la Muerte y los que se Pagan al Final del Ao de Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 5. Primas Netas Unicas de Anualidades 5.1. Anualidades de Vida Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Anualidades de Vida Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Anualidades de Vida con Pagos cada m-simo de Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e n 5.3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Anualidades de Vida con Pagos cada m-simo de Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e n 6. Primas Netas Peridicas o 6.1. Primas Totalmente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Primas Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Primas Niveladas Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Primas que se Pagan cada m-sima Parte del Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e n 7. Reservas Matemticas a 2

14 15 16 16 17 19 19 19 21 22 22 24 24 26 27 27 28 30 31 32 32 33 34

7.1. Reservas Matemticas Puras Totalmente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.2. Otras Frmulas para Reservas de Benecio Totalmente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.3. Reservas Matemticas Puras Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.4. Reservas Matemticas Puras Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.5. Reservas Matemticas Puras basadas en primas niveladas que se Pagan cada m-simo de ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e n 7.6. Anlisis de Reservas Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 7.6.1. Reservas Matemticas Puras para Seguros Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.6.2. Relaciones Recursivas para Reservas Matemticas Puras Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.6.3. Reservas Matemticas Puras en Duraciones Fraccionales a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 36 37 37 37 37 38 39 40 41 41 42 44

7.7. Terminolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8. Prima de Tarifa 8.1. Modelos Aumentados con los Gastos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Gastos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Asset Shares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Cap tulo 1

Notas PreliminaresLas reas donde los actuarios han trabajado por muchos aos son los seguros de a n Ejemplo: vida (life insurance), seguros de daos (non-life insurace o property and casualty n Supn que una aseguradora decide vender anualidades de vida cuyo pago se o insurance) y benecios al retiro (pensiones y benecios relacionados), y nuevas incrementa con la inacin. Cuando la aseguradora vende una anualidad recibe un o oportunidades se estn presentando en consultor para proveedores de energ y a a a pago de contado (single premium). Su compromiso a cambio es hacer incrementos nanciamiento de los cuidados de la salud. regulares y crecientes en los pagos durante el tiempo en que este vivo el cliente. El El Ciclo de Control Actuarial es un marco conceptual, representando una visin actuario asesorando a la aseguradora tiene responsabilidades profesionales, porque o general de los procesos requeridos para el desarrollo y administracin de una em- los clientes estarn conando una gran parte de sus ahorros al retiro al asegurador o a presa del sector nanciero, producto o proyecto. La Figura 1.1 muestra el Ciclo de a cambio de un ingreso de por vida. Control Actuarial: El entorno debe ser tomado en cuenta: qu legislaciones y regulaciones afece tan tales productos?, cmo se les calculan los impuestos?, hay productos de la o Figura 1.1: El Ciclo de Control Actuarial, (Understanding Actuarial Management: competencia?, cul es la perspectiva para tasas de inters, tasas de inacin y a e o the actuarial control cycle, p. 2 [3]) tasas de mortalidad?, por qu las personas querrn comprar las anualidades?. e a La aseguradora debe entender las fuentes de riesgo para este producto, como la volatilidad de la inacin e incremento en la longevidad. o El producto tiene que estar claramente especicado, por ejempo, si la anualidad tiene un periodo de pago m nimo garantizado, cul es el periodo, y cmo se denen a o los incrementos de inacin. o Una vez que el producto es especicado, el actuario de la aseguradora puede desarrollar un modelo para pronosticar los ujos de efectivo futuros para el producto. El modelo ser util de varias maneras: a

1. Ayudar para determinar la extensin del riesgo que la aseguradora enfrena o tar. La aseguradora necesita conocer cunto capital mantener para estas a a anualidades, en caso de que la inacin sea ms alta, o los tiempos de vida o a sean ms largos que los anticipados. a 4

2. El modelo ayudar a la aseguradora a decidir qu precios, o primas, cargar a e para el producto. En la determinacin de la prima para la anualidad, la aseo guradora necesita estar enterada del valor de los pasivos a largo plazo de los que se esta haciendo cargo. As el proceso de valuar pasivos es parte de la , determinacin de los precios, sin embargo, este no es el n del requerimiento o de valuar pasivos. La aseguradora invierte la single premium para generar ingresos con los cuales realiza los pagos de la anualidad. Las leyes relacionadas con los seguros de vida y estndares contables requieren que la compa revise regularmente que las invera na siones respaldan adecuadamente los compromisos futuros de todos sus clientes. La aseguradora querr demostrar a sus asegurados, sus accionistas, analistas a nancieros, agencias calicadoras, reguladores, asesores nancieros y asegurados futuros que continua en una posicin slida para cumplir sus obligaciones futuras, o o i.e. es solvente. Los accionistas y la autoridad hacendaria, tambin estarn interee a sados en la ganancia que proviene de las anualidades de vida, y en la rentabilidad del producto. En el diseo, determinacin del precio y administracin del producto, el actuario n o o de la aseguradora har supuestos acerca de los rendimientos de las inversiones, tasas a de inacin, tasas de mortalidad y gastos en el futuro. Al pasar del tiempo, las tasas o reales observadas sern comparadas con las supuestas. Cualquier diferencia debe a ser analizada y entendida. El actuario aconsejar a la aseguradora como responder a a las nuevas tendencias que salen a la luz del monitoreo de la experiencia. En el marco del ciclo de control, el proceso de retroalimentacin cierra el ciclo. o En la prctica, el proceso ayuda a los actuarios, y a los administradores y a los a tomadores de decisiones que aconsejan, a entender mejor el producto, clases de negocio, empresa o proyecto en cuestin. o En el curso de Matemticas Actuariales del Seguro de Personas, se identican y a especican los problemas clsicos de los seguros de vida. Se desarrollan soluciones a al presentar principios para determinar las primas y valuar los pasivos, asumiendo que ya hubo un anlisis previo para pronosticar el rendimiento de las inversiones, a tasas de inacin y tasas de mortalidad, entre otros supuestos. No se cubren las o etapas del proceso de inversin ni de monitoreo y respuesta a la experiencia. o Las presentes notas de clase no contienen la expresin de los valores presentes o actuariales en valores conmutados por las razones expresadas por John Shepherd, p. 44 [3]: Technological development, especially in computing and communications, 5

has had a major impact on actuarial work since the early 1970s. Until then, many developments in actuarial science were focused on nding better ways to calculate the present value of expected future cash ows. Improvements in the storage capacity, processing speed and cost of computers, and the development of easy-to-use software like spreadsheets, has meant that what was once the cornerstone of actuarial work (commutation functions, assurance and anunuity functions and a complex system of symbolic notation) has been made almost redundant.

Cap tulo 2

La Econom del Seguro aEste cap tulo esta basado en los Cap tulos 1 y 2 de [1]. Cada uno de nosotros hace planes y tiene expectativas acerca del camino que su vida seguir. Sin embargo, la experiencia nos ensea que los planes no se desarroa n llarn con certidumbre ya que algunas veces las expectativas no sern alcanzadas. a a Ocasionalmente los planes son frustrados porque estn basados en suposiciones a poco realistas mientras que en otras situaciones, circunstancias fortuitas intereren. El seguro esta diseado para proteger contra reveses nancieros graves que n resultan de eventos aleatorios que se entrometen en los planes de los individuos. La Teor de la Utilidad es un campo del conocimiento que ha sido desarrollado a para entender la toma de decisiones bajo situaciones de incertidumbre. Un tomador de decisiones toma decisiones -valga la redundancia-, tericamente, adoptando un o principio. Uno de esos principios es el principio del valor esperado (expected value 1. Est restringida a reducir aquellas consecuencias de eventos aleatorios que principle), en base a ste, un tomador de decisiones preere la distribucin de X a e o pueden ser medidos en trminos monetarios. e (la variable aleatoria que signica el resultado de un proyecto econmico) sobre la o distribucin de Y (la variable aleatoria del resultado de otro proyecto econmico) si o o E[X] > E[Y ], y el tomador de decisiones es indiferente entre las dos distribuciones 2. El seguro no reduce, directamente, la probabilidad de prdida. e si E[X] = E[Y ]. Las limitaciones bsicas de la proteccin que ofrece un seguro son: a o La teor inicia con el supuesto de que un tomador de decisiones racional, cuando a Denicin: Un sistema de seguro es un mecanismo para reducir el impacto - se enfrenta con dos distribuciones de resultados afectando su riqueza, es capaz de o nanciero adverso de eventos aleatorios que impiden la realizacin de expectativas expresar una preferencia por una de las distribuciones o indiferencia entre ellas. o razonables. Adems, las preferencias deben satisfacer ciertos requerimientos de consistencia a que no mencionaremos porque van ms all de los objetivos del curso. a a La justicacin econmica para un sistema de seguro es que contribuye a la rio o queza general mejorando la posibilidad de que los planes no sean frustrados por La teor culmina en un teorema, estableciendo que si las preferencias satisfacen a eventos aleatorios. Dichos sistemas tambin pueden incrementar la produccin to- los requerimientos de consistencia, hay una funcin de utilidad u(w) tal que si la e o o tal animando a los individuos y a las corporaciones a embarcarse en aventuras distribucin de X es preferida a la distribucin de Y , entonces E[u(X)] > E[u(Y )], o o donde la posibilidad de grandes prdidas podr inhibir tales proyectos en la au- y si el tomador de decisiones es indiferente entre las dos distribuciones, entonces, e a sencia de un seguro. E[u(X)] = E[u(Y )] 6

2.1.

Teor de la Utilidad a

2.2.

El Seguro y la Teor de la Utilidad a

Es importante recordar que la ecuacin anterior es desde el punto de vista del o dueo de la propiedad. n Acerca de la funcin de utilidad, es natural asumir que u(w) es una funcin creo o ciente, i. e., ms es mejor. Adems, se ha observado que para muchos tomadores a a de decisiones, cada incremento adicional de riqueza resulta en un incremento ms a pequeo de utilidad asociada. Esta es la idea de la utilidad marginal decreciente n en la Econom a. Desigualdad de Jensen: Para una variable aleatoria X y una funcin u(w), y o dado que existen E[u(X)], u(E[X]): si u (w) < 0, E[u(X)] u(E[X]) si u (w) > 0, E[u(X)] u(E[X]) (2.2) (2.3)

Supongamos que una aseguradora (insurer ) fue establecida para ayudar a reducir las consecuencias nancieras del dao o destruccin de una propiedad. El n o asegurador emite contratos (policies) que prometen pagar al dueo de la propien dad un monto denido igual o menor que la prdida nanciera si la propiedad e fuera daada o destruida durante el plazo de la pliza. El pago contingente ligado n o al monto de la prdida es llamado pago del reclamo (claim). A cambio de la proe mesa contenida en la pliza, el dueo de la propiedad (insured ) paga una prima o n (premium). El monto de la prima es determinado despus de que un principio de decisin e o econmica es adoptado por el asegurador y el asegurado. En adelante, X signica o la variable aleatoria monto del reclamo, y asumiremos que es no negativa.

El asegurador podr establecer un precio base para una cobertura total como la a Vamos a aplicar la desigualdad (2.2) para el problema del tomador de decisiones prdida esperada, E[X] = . En este contexto es llamada la prima pura para la e descrito en (2.1). Asumiremos que las preferencias del tomador de decisiones son pliza de seguro con plazo de un periodo (1 ao, 1 mes, 1 d etc.). Para enfrentar o n a, gastos, impuestos, ganancias y proteccin contra experiencia adversa de prdidas, tales que u (w) > 0 y u (w) < 0. Aplicando la desigualdad de Jensen a (2.1) o e la aseguradora podr determinar la prima de la pliza con un recargo (loading) tenemos que: a o agregado a la prima pura. E[u(w G)] = u(w G) Un ejemplo de lo descrito en el prrafo anterior ser una pliza de automvil. a a o o = E[u(w X)] (2.4) Sea X la variable aleatoria prdida por el choque de automvil: e o u(E[w X]) H = (1 + a) + c = + a + c = u(w ) donde: a > 0, c > 0 a: Gastos que var con las prdidas esperadas an e c: Gastos que no var con las prdidas an e o porque u (w) > 0, u(w) es una funcin creciente. Por lo tanto, (2.4) implica que w G w , o G . Formalmente, decimos que un tomador de decisiones con funcin de utilidad o u(w) es averso al riesgo (risk averse), si y solo si, u (w) < 0.

Ahora empleamos una funcin de utilidad general para el asegurador. Sea uI (w) o la funcin de utilidad del asegurador y sea wI la riqueza actual del asegurador o Ahora aplicamos la Teor de la Utilidad a los problemas de decisin enfrentados medida en trminos monetarios; entonces la prima m a o e nima aceptable H para asupor el dueo de la propiedad sujeta a prdidas. El dueo de la propiedad tiene una mir una prdida aleatoria X, desde el punto de vista del asegurador puede ser n e n e funcin de utilidad u(w) donde la riqueza w es medida en trminos monetarios. El determinada por: o e dueo enfrenta una posible prdida debida a eventos aleatorios que pueden daar n e n la propiedad. La distribucin de la prdida aleatoria X se asume conocida. El o e E[uI (wI )] = uI (wI ) = E[uI (wI + H X)] (2.5) dueo ser indiferente entre pagar un monto G al asegurador, quin asumir la n a e a prdida nanciera, o asumir el riesgo l mismo, si: e e La ecuacin (2.5) nos dice que el asegurador es indiferente entre la posicin actual o o E[u(w G)] = u(w G) = E[u(w X)] (2.1) y proveer seguro para X a la prima H. Si la funcin de utilidad del asegurador es o 7

tal que uI (w) > 0, uI (w) < 0 aplicamos la desigualdad de Jensen (2.2) a (2.5): E[uI (wI )] = uI (wI ) = E[uI (wI + H X)] uI (E[wI + H X]) = uI (wI + H ) (2.6)

para recolectar y analizar datos de la operacin del seguro tal que el sistema del o seguro se pueda adaptar. Adaptacin en este caso puede signicar cambios en las o primas, pagar un dividendo basado en la experiencia o reembolsos de primas, o modicaciones futuras en las condiciones de la pliza. o

Como la funcin de utilidad uI (w) es creciente, podemos concluir que H . Si o G, determinada por el dueo de la propiedad resolviendo la ecuacin (2.4) es tal n o Teorema 1 : Si un tomador de decisiones: que G H , un contrato de seguro es posible. Ejemplos de funciones de utilidad son: Funcin de utilidad exponencial: u(w) = ew , w, > 0 o Funcin de utilidad potencia fraccional: u(w) = w , w > 0, (0, 1) o Funcin de utilidad cuadrtica: u(w) = w w2 , w < (2)1 , > 0 o a (2.7) (2.8) (2.9) 1. Tiene un monto de riqueza w

2.4.

Seleccin del Seguro Optimo o

2. Es averso al riesgo, en otras palabras, tiene una funcin de utilidad u(w) tal o que u (w) < 0 3. Enfrenta una prdida aleatoria de monto X e

2.3.

Elementos del Seguro

4. Gastar un monto P en la compra de un seguro a y el mercado de seguros ofrece por un pago de P todos los contratos de seguro viables con cobertura I(x), 0 I(x) x, con E[I(x)] = , entonces, la utilidad esperada del tomador de decisiones ser maximizada comprando una pliza de seguro con a o una cobertura: 0 x d si x < d si x d

En este subtema revisaremos algunos de los factores que inuyen en la organizacin y la administracin de un sistema de seguro. o o Un sistema de seguro puede ser organizado solo despus de la identicacin e o de una clase de situaciones donde prdidas aleatorias pueden ocurrir. La palabra e a aleatorio se usa para signicar que la frecuencia, el tamao o el tiempo de la a n prdida no sta bajo control del posible asegurado. e e Una vez que una clase de situaciones asegurables es identicada, informacin o sobre las utilidades esperadas y el proceso generador de las prdidas pueden ser e obtenidos. La investigacin de mercado de los seguros puede ser vista como un o esfuerzo para aprender acerca de las funciones de utilidad, es decir, las preferencias de riesgo de los consumidores.

Id (x) = donde d es la solucin de o

=d

(x d )f (x)dx

(2.10)

Los procesos generadores del tamao y tiempo de prdidas pueden ser sucien- Notas: n e temente estables en el tiempo para que informacin pasada pueda ser usada para o planear el sistema. Cuando un nuevo sistema de seguro es organizado, estad sticas es la prima neta o pura por la cobertura I(x), P ser la prima de tarifa a relevantes al seguro no estn a menudo disponibles. Sin embargo, informacin coma o por lo que P plementaria de situaciones de riesgo similares puede ser obtenida para identicar los riesgos y para proveer estimadores preliminares de las distribuciones de proba Ejemplos de otras coberturas son: bilidad necesarias para determinar las primas. Porque la mayor de los sistemas a de seguro operan bajo condiciones dinmicas, es importante que exista un plan a 1. Coaseguro I(x) = X, (0, 1) 8

2. L mite de pliza o I(x) = x u si x u si x > u

3. Deducible franchise, d es el deducible I(x) = 0 x si x < d si x d

1. Modelo Riesgo Individual: S = X1 + X2 + + Xn donde Xi es la prdida en e la unidad asegurada i y n es el nmero de unidades aseguradas. Usualmente u las Xi s se asumen independientes, porque as son ms fciles los clculos a a a y porque a menudo no hay datos histricos acerca de la dependencia entre o las Xi s. El supuesto de independencia funciona en la mayor de los casos a prcticos. a 2. Modelo de Riesgo Colectivo: S = X1 + X2 + + XN donde N tambin es e una variable aleatoria (este modelo no lo estudiaremos en el curso). El modelo de riesgo individual en este tema no reconoce el valor del dinero a travs e del tiempo (inters) ya que estamos tratando riesgos a corto plazo (menor o igual e a 1 ao). En este curso discutimos solamente modelos cerrados, esto es, el nmero n u de unidades aseguradas en el Modelo de Riesgo Individual es conocido y constante al inicio del periodo. Si asumieramos entradas y salidas en el sistema de seguro, tendr amos un modelo abierto.

4. Deducible ordinario, d es el deducible I(x) = Para un seguro deducible ordinario,d

0 xd

si x < d si x d

E[I(x)] =0

0f (x)dx +d

(x d)f (x)dx

=d

(x d)f (x)dx (1 F (x))dxd

2.6.

Modelos para Variables Aleatorias de Reclamo Individual

=

donde X es una variable aleatoria continua (para demostrar la ultima igualdad se usa una integral por partes). El teorema se prueba llegando a la desigualdad E[u(w (X I(x)) P )] E[u(w (X Id (x)) P )]

1. Cuando ocurre el evento, el monto del reclamo es constante (b), por ejemplo, en un seguro de vida temporal a 1 ao con suma asegurada constante. n X = Ib, X es el monto del reclamo I es una variable aleatoria indicadora [si ocurre un reclamo entonces I = 1] con funcin de probabilidad: o P r[I = i] = 1q q si i = 0 si i = 1

para toda I(x).

es decir, I Bernoulli(q), en consecuencia, E[X] = E[Ib] = bE[I] = b[0(1 q) + 1q] = bq, V ar[X] = V ar[Ib] = b2 V ar[I] = b2 (E(I 2 ) E(I)2 ) = b2 q(1 q)

2.5.

Modelos de Riesgo Individual para el Corto Plazo

Para una organizacin aseguradora, sea S la prdida aleatoria de un segmeno e to de sus riesgos la cul es la variable aleatoria de la que buscamos su funcin a o de distribucin. Histricamente, han habido dos conjuntos de postulados para la o o distribucin de S: o 9

2. Cuando ocurre el evento, el monto del reclamo es aleatorio (B), por ejemplo, en un seguro de salud o de choque de automvil a un ao. o n X = IB, X es el monto del reclamo. I es una variable aleatoria indicadora [si ocurre un reclamo entonces I=1] con funcin de probabilidad: o P r[I = i] = 1q q si i = 0 si i = 1

es decir, I Bernoulli(q) Usualmente nos dan la distribucin de la variable aleatoria B|I. Para hallar o E[X] y V ar[X] se tienen dos alternativas: a) Encontrar la funcin de distribucin marginal de X con la ley de las o o probabilidades totales: F (x) = P r(X x) = P r(X x|I = 0)P r(I = 0) + P r(X x|I = 1)P r(I = 1) = P r(IB x|I = 0)P r(I = 0) + P r(IB x|I = 1)P r(I = 1) = P r(0 x|I = 0)P r(I = 0) + P r(B x|I = 1)P r(I = 1) Si B|I es una variable aleatoria continua entonces f (x) = F (x), una vez obtenida f (x) se calculan E[X] y V ar[X] por denicin. o b) Las siguientes relaciones se demuestran en Probabilidad II: E[X] = E[E[X|I]] V ar[X] = V ar(E[X|I]) + E[V ar(X|I)] (2.11) (2.12)

Si denotamos 2 = V ar[B | I = 1], entonces E[V ar(X | I)] = 2 q Por lo tanto, V ar(X) = 2 q(1 q) + 2 q (2.14)

2.7.

Sumas de Variables Aleatorias Independientes

En este parte vamos a revisar la distribucin de la suma de variables aleatorias o independientes. Primero, consideraremos la suma de dos variables aleatorias, S = X + Y , con funcin de distribucin FS (s) = P r[S s] = P r[X + Y s] o o Caso 1: X y Y son dos variables aleatorias discretas no negativas, si aplicamos la ley de las probabilidades totales a FS (s) obtenemos: FS (s) =ys

P r(X + Y s | Y = y)P r(Y = y) P r(X + y s | Y = y)P r(Y = y)ys

Sea Z1 = E[X|I], esta variable aleatoria depende de otra variable aleatoria (I), es decir: Z1 = E[X | I = 1] = E[1B | I = 1] = E[B | I = 1] E[X | I = 0] = E[0B | I = 0] = E[0 | I = 0] = 0 I=1 I=0

= =ys

P r(X s y | Y = y)P r(Y = y)

Cuando X y Y son variables independientes tenemos que: Sea Z2 = V ar(X | I), esta variable aleatoria depende de otra variable aleatoria (I), es decir: Z2 = Por lo tanto, E[X] = E[Z1 ] = qE[B|I = 1] + (1 q)0 = qE[B|I = 1] Si denotamos = E[B | I = 1], entonces E[X] = q2 V ar(E[X|I]) = V ar[Z1 ] = E[Z1 ] E[Z1 ]2 2 E[Z1 ] = E[B|I = 1]2 q + 02 (1 q) = 2 q

FS (s) =ys

P r(X s y)P r(Y = y)

(2.15)

V ar(X | I = 1) = V ar(B | I = 1) V ar(X | I = 0) = V ar(0 | I = 0) = 0

I=1 I=0

y su respectiva funcin de probabilidades puede ser calculada como: o fS (s) =ys

fX (s y)fY (y)

(2.16)

Caso 2: X y Y son dos variables aleatorias continuas no negativas, si aplicamos la ley de las probabilidades totales a FS (s) obtenemos: (2.13)s

FS (s) =0

P r(X s y | Y = y)fY (y)dy

Cuando X y Y son variables independientes:s 2 2

V ar(E[X | I]) = V ar[Z1 ] =

2 E[Z1 ]

E[Z1 ] = q (q) = q(1 q)

2

2

FS (s) =0 s

FX (s y)fY (y)dy fX (s y)fY (y)dy0

(2.17) (2.18)

E[V ar(X | I)] = E[Z2 ] = V ar(B | I = 1)q + 0(1 q) = V ar(B | I = 1)q

fS (s) =

10

e En probabilidad, la operacin en las ecuaciones (2.15) y (2.17) es llamada la convo- idnticamente distribuidas pero si son independientes. o lucin de las funciones de distribucin FX (x) y FY (y), y es denotada por FX FY . o o n Para determinar la distribucin de la suma de ms de dos variables aleatorias, o a podemos usar el proceso de convolucin iterativamente. Para S = X1 + X2 + o + Xn donde las Xi s son variables aleatorias independientes, Fi es la funcin o de distribucin de Xi , y F (k) es la funcin de distribucin de X1 + X2 + + Xk , o o o procedemos as : F (2) = F2 F (1) = F2 F1 F (3) = F3 F (2) F(4)

E[S] =i=1 n

E[Xi ] V ar(Xi )i=1

(2.20) (2.21)

V ar(S) =

Cuando n es sucientemente grande, S N (E[S], V ar(S)), por lo que: a a P r[S s] = P r[ (2.19) S E[S] s E[S] ] (2.22)

= F4 F . . .

(3)

V ar(S) V ar(S) s E[S] P r[Z ] V ar(S)

F (n) = Fn F (n1) donde Z N (0, 1) Calcular P r[Z z] es d cil pues no tiene una expresin algebraica y por ello se o recurre a tablas de la distribucin normal o a programas de cmputo como Excel o o A R y Mathematica A R .

2.8.

Aproximacin a la Distribucin de la Suma o o de Variables Aleatorias (Teorema Central del L mite)

El enunciado usual del Teorema Central del L mite es que tenemos una sucesin o de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas X1 , X2 , . . . con e E[Xi ] = y V ar(Xi ) = 2 . Para cada n, la variable aleatoria n(Xn )/, 1 tiene media 0 y varianza 1. Cuando n es grande, el teorema es aplicado para apro ximar la distribucin de Xn con una distribucin normal con media y varianza o o 2 /n. La efectividad de esta aproximacin no solamente depende del nmero de vao u riables sino tambin de la desviacin de la distribucin de los sumandos de la e o o normalidad. Muchos libros de texto de estad stica elemental recomiendan que n sea al menos 30 para que la aproximacin sea razonable. o a a El Teorema Central del L mite puede extenderse a sucesiones de variables aleatorias que no son idnticamente distribuidas (pero si independientes). e La aplicacin del teorema al Modelo de Riesgo Individual es la siguiente: o Sea S = X1 + X2 + + Xn = nXn donde no necesariamente las Xi s son1X n

=

1 n

n i=1

Xi

11

Cap tulo 3

Funciones Biomtricas y Tablas de Mortalidad eEste cap tulo esta basado en el Cap tulo 3 de [1]. En este tema desarrollamos un conjunto de ideas para describir y usar la distribucin del tiempo hasta la muerte y la distribucin de la correspondiente edad a o o la muerte. Mostramos como la distribucin de la variable aleatoria edad a la muerte puede o ser resumida en una tabla de vida. Tales tablas son utiles en muchos campos de la ciencia, por ejemplo, 1) los ingenieros usan tablas de vida para estudiar la conabilidad de sistemas electrnicos complejos; b) los bioestad o sticos usan las tablas de vida para comparar la efectividad de tratamientos alternativos de enfermedades y 3) los demgrafos usan las tablas de vida como herramientas en las proyecciones o de poblacin. o Una tabla de vida es un componente indispensable de muchos modelos en la ciencia actuarial, de hecho, algunos eruditos establecen el ao de inicio de la ciencia n actuarial como 1693 en el que Edmund Halley public An Estimate of the Degrees oa of the Mortality of Mankind, Drawn from Various Tables of Births and Funerals at the City of Breslau. a s(x) = 1 FX (x) = P r(X > x): es la funcin de sobrevivencia y representa la o probabilidad de que un recin nacido alcance la edad x, s(0) = 1 FX (0) = e 1 0 = 1. Denicin de probabilidad condicional: La probabilidad del evento A dado o que ocurri el evento B es o P r[A | B] = P r[A B] P r[B] (3.1)

donde P r[B] > 0, en consecuencia, P r[A B] = P r[A | B]P r[B]. P r(x < X z | X > x) = P r(x < X z) P r(X > x) FX (z) FX (x) = 1 FX (x) s(x) s(z) = s(x)

(3.2)

3.1.

Deniciones

es la probabilidad condicional de que un recin nacido muera entre las edades e x y z dado que sobrevive a la edad x. (x): vida o persona de edad x T (x) = X x | X > x representa la variable aleatoria tiempo de vida futuro de (x) t qx = P r[T (x) t], t 0 representa la probabilidad de que (x) muera dentro de los prximos t aos. o n 12

X: variable aleatoria continua que representa la edad a la muerte de un recin e nacido, es no negativa (X 0). FX (x) = P r(X x) es la funcin de distribucin de la variable aleatoria o o X, (asumimos que FX (0) = 0) y representa la probabilidad de que un recin e nacido muera antes o en la edad x.

t px = P r[T (x) > t] = 1 t qx , t 0 representa la probabilidad de que (x) alcance la edad x + t Solo cuando t = 1, por convencin, escribimos qx , px y no 1 qx , 1 px o t|u qx

3.t|u qx

= P r[x + t < X x + t + u | X > x] P r[x + t < X x + t + u] P r[X > x] s(x + t) s(x + t + u) = s(x) s(x + t) s(x + t) s(x + t + u) = s(x + t) s(x) s(x + t) s(x + t) s(x + t + u) = s(x) s(x + t) = (t px )(u qx+t ) =

(3.6)

= P r[t < T (x) < t + u] = P r[T (x) < t + u] P r[T (x) < t] = t+u qx t qx = (1 t+u px ) (1 t px ) = t px t+u px (3.3)

es la probabilidad de que (x) sobreviva t aos y muera dentro los siguientes u n aos, dicho de otra manera, la probabilidad de que (x) muera entre las edades n x+t y x+t+u Solo cuando u = 1, por convencin escribimos t| qx y no ot|1 qx

3.2.

Tiempo de Vida Futuro Truncado (CurtateFuture-Lifetime)

Una variable aleatoria discreta asociada con el tiempo de vida futuro es el nmeu Si expresamos a t qx , t px , t|u qx en trminos de la variable aleatoria edad a la ro de aos futuros completados por (x) antes de la muerte. La variable recibe el e n muerte X, obtenemos: nombre de Tiempo de Vida Futuro Truncado (Curtate-Future-Lifetime) de (x) y es denotada por K(x). Su funcin de probabilidades es: o 1. P r[K(x) = k] = P r[k ( x] s(x) s(x + t) = s(x) s(x + t) =1 s(x) =

= P r[T (x) > k] P r[T (x) > k + 1] = k px k+1 px = (k px )(qx+k ) (3.4) = k| qx , para k = 0, 1, 2, . . . (3.7)

3.3.

Fuerza de Mortalidad

2.t px

= P r[X > x + t | X > x] = P r[X > x + t] P r[X > x] s(x + t) = s(x) (3.5)

La fuerza de mortalidad es una funcin de densidad condicional, es decir, para o cada x nos da el valor de la funcin de densidad condicional de X a la edad x dada o la sobrevivencia a dicha edad, y es denotada por (x): (x) = fX (x) d ln[s(x)] s (x) = = 1 FX (x) dx s(x) (3.8)

Dentro de la teor de la conabilidad (de la ingenier en el estudio de las a a a a), 13

probabilidades de sobrevivencia de partes fabricadas y sistemas, (x), es llamada la tasa de falla o tasa de riesgo o, ms generalmente, la funcin tasa de riesgo. a o La fuerza de mortalidad puede ser usada para especicar la distribucin de X, o si a partir de (3.8) realizamos despejes y cambiamos a x por y: (y)dy = d ln[s(y)] Integrando de ambos lados, de x a x + n, obtenemos:x+n x+n

3.4.3.4.1.

Tablas de VidaEnfoque de Grupo de Sobrevivencia Aleatorio

Consideremos un grupo de l0 recin nacidos, cada uno de los cuales tiene una e edad a la muerte con funcin de sobrevivencia s(x). Sea L(x) la variable aleatoria o que denota el nmero de sobrevivientes de edad x de los l0 recin nacidos, por lo u e que:l0

x

(y)dy =x

d ln(s(y)) 1 0

L(x) =j=1

Ij

= ln(s(x + n)) ln(s(x)) s(x + n) = ln s(x) = ln(n px ) n px = ex+n x

Ij =

si el recin nacido sobrevive a la edad x e en otro caso P r[Ij = 1] = s(x) E[Ij ] = s(x)l0

(y)dy

y realizando el cambio de variable s = y x, obtenemosn px

E[L(x)] =j=1

E[Ij ] = l0 s(x) = lx

Sea n Dx la variable aleatoria que denota el nmero de muertes entre las edades x u y x + n de los iniciales l0 recin nacidos. Realizando un anlisis similar al de L(x), e a En el caso particular de x = 0 (un recin nacido), recuperamos la funcin de obtenemos que: e o sobrevivencia de la variable aleatoria edad a la muerte X: E[n Dx ] = l0 [s(x) s(x + n)] = lx lx+n = n dx n p0 = s(n) = e 0 (s)ds n La relacin con la fuerza de mortalidad es: o Sean FT (x) (t) y fT (x) (t) la funcin de distribucin y la funcin de densidad de o o o probabilidades de T (x), respectivamente. Ya sabemos que t qx = P r[T (x) t] = FT (x) (t), por lo tanto: fT (x) (t) = d d d FT (x) (t) = t qx = (1 t px ) dt dt dt d s(x + t) d s(x + t) = (1 ) = ( ) dt s(x) dt s(x) s (x + t) s(x + t) s (x + t) = = s(x) s(x) s(x + t) = t px (x + t) (x) = l0 s (x) (l0 s(x)) (lx ) s (x) = = = s(x) l0 s(x) l0 s(x) lx

= e

n 0

(x+s)ds

(3.9)

3.4.2.

Enfoque de Grupo de Sobrevivencia Determinista

Un grupo de sobrevivencia determinista tiene las siguientes caracter sticas: (3.10) El grupo inicialmente consiste de l0 vidas de edad cero (radix ). Los miembros del grupo estn sujetos a tasas anuales de mortalidad especia cadas por qx 14

El grupo es cerrado, ningn entrante es permitido. Las unicas salidas son u resultado de las tasas anuales de mortalidad. El nmero de vivos y muertos en la edad x se obtienen: u l1 = l0 (1 q0 ) = l0 d0 l2 = l1 (1 q1 ) = l1 d1 = l0 (d0 + d1 ) . . .x1

Esperanza de Vida Completa (complete-expectation-of-life): ex = E[T (x)] =0

tt px (x + t)dt =0

t px dt

La ultima igualdad se prueba integrando por partes: t px dt 0

tt px (x + t)dt = tt px | + 00

=0+0

t px dt

E[T (x)2 ] = dy0

t2 t px (x + t)dt = 20

tt px dt

lx = lx1 (1 qx1 ) = lx1 dx1 = l0 y=0

La ultima igualdad se prueba integrando por partes. V ar[T (x)] = E[T (x)2 ] E[T (x)]2

La expresin para lx puede ser reescrita como: ox1

lx = lx1 px1 = l0 (y=0

py )

Mediana del tiempo de vida futuro de (x), denotada por m(x): P r[T (x) > m(x)] = 1 = P r[T (x) m(x)], m(x) =? 2

A partir de las frmulas anteriores se puede demostrar que: o lx+t t px = lx t dx t qx = lx u dx+t t|u qx = lx (3.11) (3.12) (3.13)

La moda de la distribucin de T (x), es un nmero t , tal que fT (x) (t) = o u a t px (x + t) alcanza un mximo local. La moda no necesariamente es unica. n Lx :

nmero total esperado de aos vividos entre las edades x y x + n por los u n sobrevivientes de un grupo inicial de l0 vidasn n Lx

= lx [0 n

tt px (x + t)dt + nn px ]

Nota: Aunque los fundamentos matemticos de los dos enfoques son distintos, las a funciones resultantes t qx , lx , t dx , son numricamente iguales. El enfoque del grupo e de sobrevivencia aleatorio tiene la ventaja de permitir el uso completo de la teor a de la probabilidad, por ejemplo, se puede estudiar la variacin en el nmero de o u sobrevivientes.

=0

tlxt px (x + t)dt + nlx+nn

=0

tlx+t (x + t)dt + nlx+n

= [aos vividos por aquellos que murieron entre las edades x y x + n] n +[aos vividos por aquellos que sobrevivieron a la edad x + n] n Integrando por partes vamos a simplicar el primer sumando de la expresin anterior: on n n

3.5.

Otras Caracter sticas de la Tabla de Vida

tlx+t (x + t) = tlx+t |n + 00 n 0

lx+t dt = nlx+n +0 n

lx+t dt

Para la variable aleatoria T (x): 15

n Lx = (nlx+n +0

lx+t dt) + nlx+n =0

lx+t dt

Tasa Central de Mortalidad (Central-Death-Rate)n mx

=

n l 0 x

lx t px (x + t)dt = n l dt 0 x+t

n p (x 0 t x n Lx

+ t)dt

Esperanza de Vida Truncada Temporal (temporary curtate life expectancy): Nmero esperado de aos vividos (completos) entre las edades x y x + n por u n los lx sobrevivientes a edad x:n

=

lx (1 n px ) lx lx+n n dx = = n Lx n Lx n Lx

ex:n| = k=1

k px

Tx : nmero total esperado de aos vividos ms all de la edad x por el grupo u n a a de sobrevivientes con l0 miembros iniciales:

3.6.

Supuestos para Edades Fraccionales

Tx =0

tlx+t (x + t)dt =0

lx+t dt = l m

n

n Lx

Otra forma de expresar ex : Tx = lx lx+t dt 0

lx

=

lxt px dt 0

lx

=0

t px dt

= ex

Para especicar la distribucin de T , debemos postular una forma anal o tica o adoptar una tabla de vida con un supuesto acerca de la distribucin entre enteros, o para el segundo caso, examinaremos tres supuestos que son ampliamente usados en la ciencia actuarial. Estarn establecidos en trminos de la funcin de sobrevivencia a e o y en una forma para mostrar la naturaleza de interpolacin sobre el intervalo o (x, x + 1) implicada por cada supuesto.

Esperanza de Vida Completa Temporal (temporary complete life expectancy): En cada enunciado, x es un entero no negativo y 0 < t < 1. Los supuestos Nmero esperado de aos vividos entre las edades x y x + n por los lx sobre- se muestran en el Cuadro 3.1. Las implicaciones de usar cada una de las interu n vivientes a edad x: polaciones sobre las funciones t qx , (x + t) y t px se presentan en la Figura 3.1 n n lx+t dt Lx Tx Tx+n n ex:n| = = 0 = = t px dt lx lx lx 0 Para la variable aleatoria K(x): Esperanza de Vida Truncada (curtate-expectation-of-life):

3.7.

Algunas Leyes de Mortalidad Anal ticas

Hay tres justicaciones para postular una forma anal tica para funciones de sobrevivencia: 1. Filosca: Muchos fenmenos estudiados en la f o o sica pueden ser explicados ecientemente por frmulas simples, por lo tanto, usando argumentos biolgicos, o o algunos autores sugieren que la sobrevivencia humana puede ser gobernada por frmulas igualmente simples. o 2. Prctica: Es ms fcil entender y comunicar una funcin con pocos parmetros a a a o a en vez de comunicar una tabla con cien o ms probabilidades (como una tabla a de mortalidad). 3. Estimacin: Una funcin de sobrevivencia anal o o tica y simple con pocos parmetros es fcil de estimar (con datos observados y un mtodo de estia a e macin como mtodo de momentos o mxima verosimilitud). o e a 16

ex = E[K(x)] =k=0

k k px qx+k =k=1

k px

La ultima igualdad se prueba sumando por partes.

E[K(x) ] =k=0

2

k k px qx+k =k=1

2

(2k 1)k px

La ultima igualdad se prueba sumando por partes. V ar[K(x)] = E[K(x)2 ] E[K(x)]2

Cuadro 3.1: Supuestos para Edades Fraccionales con t (0, 1), x Z+ 0 Interpolacin o Lineal Distribucin o Es conocida como la distribucin unio forme o distribucin uniforme de las o muertes dentro de cada ao de edad n Fuerza de mortalidad constante dentro de cada ao de n edad Se conoce como el supuesto hiperblio co o de Balducci, aqu t px es una cur va hiprbolica e Expresin o s(x + t) = (1 t)s(x) + ts(x + 1)

Figura 3.1: Funciones de Probabilidad para Supuestos de Edades Fraccionales, (Actuarial Mathematics, p. 75 [1])

Exponencial

ln s(x + t) = (1 t) ln s(x) + t ln s(x + 1)

Armnica o

1 s(x+t)

=

1t s(x)

+

t s(x+1)

El apoyo a funciones de sobrevivencia simples ha declinado en aos recientes. n Muchos opinan que la creencia en leyes de mortalidad universales es ingenua. Sin embargo, algunas investigaciones recientes han reiterado los argumentos biolgicos o para leyes de mortalidad anal ticas. El Cuadro 3.2 presenta tres leyes de mortalidad.1

2. Una persona est discapacitada a la edad x. Esta informacin nos llevar a a o a creer que el tiempo de vida futuro de (x) tiene una distribucin distinta de o los que no estn discapacitados a edad x. a

La informacin adicional nos conduce a que el modelo completo para esos vivos o es un conjunto de funciones de sobrevivencia, una para cada edad en la que la 3.8. Tablas Selectas informacin est disponible, por ejemplo, la emisin del seguro o la declaracin de o a o o discapacidad. Este conjunto de funciones de sobrevivencia puede ser pensado como Existen situaciones con informacin adicional disponible acerca de (x) que har una funcin de dos variables: una variable es la edad a la seleccin (por ejemplo, o a o o que la funcin de sobrevivencia original fuera inapropiada para evaluar probabili- la emisin de la pliza o la declaracin de discapacidad), [x], y la segunda variable o o o o dades acerca del tiempo de vida futuro de (x). es la duracin desde la edad a la seleccin, t. En actuar tal tabla de vida de dos o o a, dimensiones es llamada Tabla de Vida Selecta (select life table). Ejemplos: El impacto de la seleccin en la distribucin del tiempo futuro de vida T (x) o o puede disminuir despus de la seleccin. Ms all de un periodo r (llamado per e o a a odo 1. Una persona de edad x tiene un seguro de vida. Esta informacin podr hacer o a selecto) las qs de las edades alcanzadas pueden ser casi iguales sin observar el creer que la distribucin del tiempo futuro de vida de (x) fuera diferente de o tiempo de seleccin, es decir: o la funcin de sobrevivencia de las personas no aseguradas. o1m

= B/ ln(c), u = k/(n + 1)

q[xj]+r+j q[x]+r , j > 0 17

(3.14)

Creador De Moivre (1729) Gompertz (1825) Makeham (1860) Weibull (1939)

Cuadro 3.2: Funciones de Sobrevivencia bajo varias Leyes (x) s(x) Restricciones (x )1 1x

0x

Bcx A + Bcx kxn

exp [m(cx 1)] exp [Ax m(cx 1)] exp [uxn+1 ]

B > 0, c > 1, x 0 B > 0, A B, c > 1, x 0 k > 0, n > 0, x 0

Una tabla de vida en la cual las funciones dependen solamente de edades alcanzadas se llama tabla agregada (aggregate table). Figura 3.2: Estructura de una Tabla Agregada

Figura 3.3: Estructura de una Tabla de Vida Selecta

18

Cap tulo 4

Primas Netas Unicas de Seguros de VidaEste cap tulo esta basado en el Cap tulo 4 de [1].

4.1.1.

Seguros con Benecio Nivelado

En este tema desarrollamos modelos para los seguros de vida cuyo n es reducir Un seguro de vida temporal n aos (n-year term life insurance) provee un pago n el impacto nanciero del evento muerte. Debido que la mayor parte de estos seguros solo si el asegurado muere dentro de un plazo de n aos que comienza a partir n son a largo plazo, el monto de las ganancias de las inversiones hasta el momento de la emisin de la pliza. Si una unidad monetaria es pagable al momento de la o o del pago provee un elemento signicativo de incertidumbre cuyas causas son la muerte de (x), entonces: tasa desconocida de rendimientos y el periodo de inversin. En este curso se usa o una distribucin de probabilidad para modelar el periodo de inversin pero se usa o o un modelo determinista para los rendimientos desconocidos, dicho de otra manera, 1 tn nuestro modelo ser construido en funcin de T (x), la variable aleatoria tiempo de a o bt = 0 t>n vida futuro del asegurado. Nuestro modelo ser util en cualquier situacin donde el monto y el momento a o del impacto nanciero puedan ser expresados unicamente en trminos del tiempo e a la ocurrencia del evento aleatorio. vt = v t = exp [t] Z=2

vT 0

T n T >n

4.1.

Seguros Pagables al Momento de la Muerte

bt : monto del benecio al tiempo de muerte t. vt : factor de descuento desde la emisin de la pliza hasta el tiempo de muerte o o t, es determinista, i.e., no tiene una distribucin de probabilidad. o zt = bt vt : valor presente al momento de la emisin de la pliza (t = 0) del o o pago del benecio. ZT = bT vT : variable aleatoria que representa el valor presente al momento de la emisin de la pliza (t = 0) del pago del benecio.1 o o1T

La esperanza de la variable aleatoria valor presente, Z, es llamada valor presente actuarial: n E[Z] = A 1 = zt fT (t)dt = v t t px x (t)dt (4.1)x:n| 0 0

El j-simo momento de la distribucin de Z es: e on n

E[Z j ] =0 n

(v t )j fT (t)dt =0

(et )j t px x (t)dt (4.2)j x:n|

=02A

e

(j)t

t px x (t)dt = A 1

= T (x)

menos que se diga lo contrario, se asume que la fuerza de inters es constante y positiva e

19

Cuando usamos una fuerza de inters constante , calcular el j-simo momento de e e la distribucin de Z, es equivalente a calcular el valor presente actuarial de Z con o una fuerza de inters = j. e Un seguro de vida vitalicio (whole life insurance) otorga un pago a la muerte del asegurado en cualquier momento del futuro. Si el pago es por una unidad monetaria al momento de la muerte de (x), entonces: bt = 1, t 0 vt = v t = exp [t] Z = vT , T 0 y su valor presente actuarial es:

bt = 1, t 0 vt = Z= vt vn vT vn tn t>n T n T >n

Este seguro puede ser visto como la combinacin de un seguro de vida temporal o n aos y un dotal puro temporal n aos, cada uno con un pago de una unidad n n monetaria, y sean Z1 y Z2 sus respectivas variables aleatorias valor presente. Sea Z3 = Z1 + Z2 , por lo tanto:t t

E[Z] = Ax =0

Z1 = (4.3) Z2 =

v fT (t)dt =0

v t px x (t)dt

vT 0 0 vn

T n T >n T n T >n vT vn T n T >n x:n|

La relacin con el seguro temporal n aos es l n A 1 o n m

x:n|

Un dotal puro temporal n aos(n-year pure endowment) otorga un pago al nal n de los n aos, si y solo si, el asegurado sobrevive al menos n aos desde el tiempo n n de la emisin de la pliza. Si el monto pagable es una unidad monetaria, entonces: o o bt = vt = v t = exp [t], t 0 Z= Su valor presente actuarial es:

Z3 = Z1 + Z2 =

Ax:n| = E[Z3 ] = E[Z1 ] + E[Z2 ] = A 1

+A

x:n|

1

(4.5)

0 1

tn t>n

V ar(Z3 ) = V ar(Z1 ) + V ar(Z2 ) + 2Cov(Z1 , Z2 ) Cov(Z1 , Z2 ) = E[Z1 Z2 ] E[Z1 ]E[Z2 ] pero Z1 Z2 = 0 Cov(Z1 , Z2 ) = E[Z1 ]E[Z2 ] = A 1 A 1x:n| x:n|

V ar(Z3 ) = V ar(Z1 ) + V ar(Z2 ) 2A 1 0 vn T n T >n

x:n|

A

x:n|

1

Un seguro diferido m aos (m-year deferred insurance) otorga un benecio a la n muerte del asegurado solo si este ultimo muere m aos despus de la emisin de la n e o E[Z] = A 1 = v n fT (t)dt = v n fT (t)dt = v n n px = n Ex (4.4) pliza. El benecio y el plazo del seguro puede ser alguno de los ya discutidos, por o x:n| n n ejemplo, un seguro de vida vitalicio diferido m aos con un pago de una unidad n Ntesen las diferencias con la notacin del seguro de vida temporal n aos. o o n monetaria al momento de la muerte tiene:

Un seguro dotal mixto n aos (n-year endowment insurance) provee un pago si n ocurre la muerte del asegurado o si el asegurado sobrevive al nal del plazo de n aos, cualquiera que ocurra primero. Si el seguro es por una unidad monetaria, n entonces: 20

bt = 1 0 t>m tm

vt = v t = exp [t] Z= El valor presente actuarial es:

bt = vT 0 T >m T m

tm+1 m

,t 0

vt = v t , t 0 Z=T m+1 m

vT , T 0

y su valor presente actuarial es:

E[Z] = m| Ax =m

v fT (t)dt =m

t

v t px x (t)dt

t

(4.6)

E[Z] = (I (m) A)x =

0

tm + 1 t v t px x (t)dt m

(4.8)

4.1.2.

Seguros con Benecio Variable

El caso l mite, cuando m , en el seguro de vida vitalicio con incrementos cada m-sima parte de ao, es un seguro que paga t al momento de la muerte t. e n Sus funciones son: bt = t, t 0 vt = v t , t 0 Z = T vT , T 0

El modelo general Z = bT vT puede ser usado para una gran variedad de situaciones. Ya hemos visto modelos donde el benecio es constante (una unidad monetaria). El modelo tambin puede ser aplicado donde el monto del benecio e por muerte se incrementa o disminuye en progresin aritmtica sobre todo o parte o e del plazo del seguro.

Un seguro de vida vitalicio con incrementos anuales (anually increasing whole y su valor presente actuarial es: life insurance) provee un monto de 1 al momento de la muerte si esta ocurre en el E[Z] = (I A)x = primer ao, un monto de 2 si la muerte ocurre en el segundo ao, y as sucesivan n mente: bt = t + 1 , t 0 vt = v t , t 0 Z = T + 1 vT , T 0 La funcin se llama mximo entero menor o igual a y puede interpretarse o a como un truncamiento, por ejemplo, 1.01 =1, 1.99 =1, 1.50 =1 (solo queda la parte entera del nmero). El valor presente actuarial del seguro en cuestin es: u o

tv t t px x (t)dt0

(4.9)

El seguro de vida temporal a n aos con pagos anuales decrecientes (anually n decreasing n-year term life insurance), otorgando n unidades monetarias cuando la muerte ocurre durante el primer ao, n 1 si la muerte ocurre durante el n segundo ao, y as sucesivamente, con cobertura terminando al nal del n-simo n e ao. Tal seguro tiene las siguientes funciones: n bt = vt = v t , t 0 t + 1 v t px x (t)dt0 t

n t 0

tn t>n

E[Z] = (I A)x =

(4.7)

Z=

(n T )v T 0

T n T >n

Los incrementos en el benecio del seguro pueden ocurrir ms de una vez al a ao. Para un seguro de vida vitalicio con incrementos cada m-sima parte de ao El valor presente actuarial es: n e n (m-thly increasing whole life insurance), el benecio ser 1/m si la muerte ocurre a durante la primera m-sima parte del primer ao, 2/m si la muerte ocurre durante e n E[Z] = (DA) 1 = x:n| la segunda m-sima parte del primer ao, y as sucesivamente: e n 21

n

(n t )v t t px x (t)dt0

(4.10)

4.2.

Seguros Pagables al Final del A o de la 4.3. n Muerte

Relaciones entre Seguros Pagaderos al Momento de la Muerte y los que se Pagan al Final del A o de Muerte n

En la prctica, la mayor de los benecios son considerados pagables al momento a a de la muerte y ganan inters hasta que el pago realmente es hecho. No se pagan e T (x) = T : variable aleatoria tiempo de vida futuro exactamente al momento en que muere el asegurado ya que la aseguradora tiene K(x) = K: variable aleatoria tiempo de vida futuro truncado que comprobar que la muerte ocurri y adems bajo las condiciones de la pliza. En o a o la mayor de las aplicaciones de seguro de vida, la mejor informacin disponible a o S: variable aleatoria que representa la parte fraccional del ao vivida durante n de la distribucin de probabilidad de T est en la forma de una tabla de vida. Esta o a el ao de muerte, S [0, 1] n es la distribucin de probabilidad de K, el tiempo de vida futuro truncado del o asegurado al momento de la emisin de la pliza, una funcin de T . En este tema o o o o construiremos modelos para seguros de vida en los cuales el monto y el tiempo Ejemplo: (x) muri a la edad x+40.32, entonces, T =40.32, K = 40 y S =0.32, T = K + S =40+0.32 del pago de los benecios por muerte dependen solamente del nmero de aos u n enteros vividos por el asegurado desde la emisin de la pliza hasta el tiempo de o o El evento (K = k S s) es igual al evento (k < T k + s), por lo muerte. Nos referimos a estos seguros simplemente como pagaderos al nal del ao n tanto, P r(K = k S s) = P r(k < T k + s) = (k px )(s qx+k ). Si sude muerte (payable at the end of the year of death). ponemos una distribucin uniforme de las muertes a lo largo del ao, entonces, o n k+1 qx+k = sqx+k , s (0, 1). La funcin de benecio, bk+1 , y la funcin de descuento, v o o son respectivamen- s te, el monto del benecio y el factor de descuento cuando el tiempo de vida futuro truncado es k, esto es, cuando el asegurado muere en el ao k + 1. La variable n aleatoria valor presente ser Z = bK+1 vK+1 . a Para un seguro temporal n aos que provee un pago de una unidad monetaria n al nal del ao de muerte, tenemos: n bk+1 = vk+1 = v k+1 , t 0 Z= v K+1 0 K = 0, 1, . . . , n 1 en otro caso 1 0 P r[(K = k) (S s)] = k px s qx+k = k px sqx+k = k px qx+k s = k| qx s = P r[K = k]P r[S s] donde S U (0, 1) Por lo tanto, K S, y adems S tiene una distribucin uniforme en (0, 1) a o Ahora vamos a demostrar que si S U (0, 1) entonces R = 1 S U (0, 1) Dem. P r[R r] = P r[1 S r] = P r[S 1 r] = 1 P r[S < 1 r] = 1 (1 r) = r Por lo tanto R = 1 S U (0, 1) En clases de Probabilidad se prueba que si X Y E[g(X)]E[h(Y )]. E[g(X)h(Y )] =

k = 0, 1, . . . , n 1 en otro caso

El valor presente actuarial para este seguro es:n1

Recordemos que el modelo general para un seguro que se paga al momento de la muerte es (4.11)n1 k+1 j ) k px qx+k k=0 (v

E[Z] = A 1

x:n|

=k=0

v k+1 k px qx+k

Z = bT vT que para este tema lo vamos a restringir a: vT = v T 22

Si queremos obtener el j-simo momento de Z: E[Z j ] = e El resto de los seguros se presentan en la Figura 4.1.

bT : funcin que solo depende de la parte entera de T , es decir, K, por esta o Figura 4.1: Resumen de Seguros Pagables al Final del Ao de Muerte (Actuarial n razn, bT = b o o K+1 es una mejor notacin Mathematics, p. 118 [1]) Adems, recordemos que T = K + S, S U (0, 1) a Z = bT vT = b v T = b v K+1 (1 + i)1S K+1 K+1 E[Z] = E[b v K+1 (1 + i)1S ] = E[b v K+1 ]E[(1 + i)1S ] K+1 K+1 Calculemos la esperanza:1 1

E[(1 + i)1S ] =0

(1 + i)1s (1)ds =0

e(1s) ln(1+i) ds

1 eln(1+i) e(1s) ln(1+i) 1 |0 = + = ln(1 + i) ln(1 + i) ln(1 + i) 1+i i 1 + = = ln(1 + i) ln(1 + i) Por lo tanto, i E[Z] = E[b v K+1 ] K+1 Ejemplos: 1. La distribucin de las muertes a lo largo del ao es uniforme. Usted conoce el o n valor de Ax . Calcular Ax . El benecio depende de K, es decir, bT = 1 = b o K+1 (la funcin constante), Ax = (i/)Ax 2. La distribucin de las muertes a lo largo del ao es uniforme. Usted conoce el o n valor de (IA) 1 . Calcular (I A) 1 .x:n| x:n|

(4.12)

El benecio depende de K, es decir, bT = K + 1, (I A) 1

x:n|

= (i/)(IA) 1

x:n|

23

Cap tulo 5

Primas Netas Unicas de AnualidadesEste cap tulo esta basado en el Cap tulo 5 de [1]. La funcin de densidad de probabilidades se obtiene de la siguiente manera: o d d ln(1 y) Una anualidad de vida es una serie de pagos hechos continuamente o cada igual fY (y) = FY (y) = FT ( ) intervalo de tiempo (tales como meses, cuatrimestres o aos) mientras una person dy dy na determinada sobrevive. Puede ser temporal o de por vida. Los pagos pueden fT ( ln(1y) ) 1 comenzar inmediatamente o ser diferidos. Los pagos pueden ser al inicio del in = ,0 < y < tervalo de pago (anualidad anticipada) o al nal de dichos intervalos (anualidades 1 y vencidas). El valor presente actuarial para una anualidad vitalicia continua es: A menos que se diga otra cosa, asumimos una tasa de inters efectiva anual e constante i (o su equivalente fuerza de inters constante ), dicho de otra manera, e el inters no es aleatorio. e

(5.2)

ax = E[Y ] = 0

at| t px (x + t)dt

(5.3)

Usando integracin por partes se obtiene que: o

ax =

v t t px dt =0 0

t Ex dt

(5.4)

5.1.

Esta es la forma de pago actual (current payment form) del valor presente actuarial de la anualidad vitalicia continua. En general, la tcnica de pago actual e Iniciamos con anualidades que se pagan continuamente a una tasa de 1 por para determinar un valor presente actuarial para una anualidad es:1 ao que no son comunes en la prctica. Una anualidad vitalicia continua (whole n a life annuity) da pagos hasta la muerte. Por lo tanto, la variable aleatoria valor AP V = v t P r[pagos sean hechos al tiempo t] [monto del pago al tiempo t] 0 presente de los pagos es Y = aT | para T 0 donde T es el tiempo futuro de vida (5.5) (x). La distribucin de Y puede ser obtenida de la de T como sigue: o Por lo general, es ms fcil calcular un valor presente actuarial de anualidad con a a la tcnica de pago actual. e FY (y) = P r(Y y) = P r(T | y) = P r(1 v T y) a Ntese que la siguiente relacin es vlida para todos los valores de t: o o a ln(1 y) = P r(v T 1 y) = P r[T ] (5.1) 1 = T | + v T a (5.6) ln(1 y) 1 1 APV: actuarial present value = FT ( ), 0 < y < 24

Anualidades de Vida Continuas

Tomando esperanzas de ambos lados de (5.6): 1 = x + Ax a Una forma de obtener la varianza de Y es:2 V ar(v T ) Ax (Ax )2 1 vT )= = V ar(T | ) = V ar( a 2 2

La variable aleatoria Y tiene un mximo de l T Y = 1/ an| = v n / y la a m probabilidad de que tome un valor de cero es P r[Y = 0] = P r[T n] = n qx . Su (5.7) valor presente actuarial es:

(5.8)

n| ax

= E[Y ] = 0 n qx +n

v n atn| t px (x + t)dt (5.13)

El valor presente de una anualidad de vida temporal n aos (n-year temporary life n annuity) de 1 por ao, pagable continuamente mientras (x) sobreviva durante los n prximos n aos es: o n aT | 0T