unidad iii ecuaciones

37

Capitulo IIIEcuaciones

Recordemos que en una expresión algebraica no constante, a las variables se les puede asignar valores reales para obtener así el valor numérico de la expresión dada:

Ejemplos

1. En la expresión a las variables se les puede asignar cualquier valor real, y el resultado siempre es un número real.

2. Si en le asignamos el valor de 2 o sea entonces la expresión resultante no representa un número real. (Recuerde que si el denominador de una fracción es cero, entonces ésta no representa un número real). Se puede demostrar que si se sustituyen por cualquier valor real diferente de , el resultado es un número real.

3. En se puede demostrar que si se sustituye por cualquier número real menor que entonces la expresión resultante no representa un número real (a modo de ejemplo probar con). ( Recuerde que la raíz cuadrada de un número negativo no representa un número real)

Los casos (2) y (3) anteriores son ejemplos que ilustran el hecho de que para algunas expresiones algebraicas no constantes, existen números reales, los cuales al ser sustituidos por las variables correspondientes en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no represente un número real.

DefiniciónDada una expresión algebraica de una sola variable y un subconjunto del conjunto de los números reales, cuyos elementos son aquellos números que al ser sustituidos en la expresión algebraica dada el resultado, no representa un número real, entonces el conjunto definido por:

Recibe el nombre de dominio de la variable para la expresión algebraica dada. Esto significa que al dominio de la variable en una expresión algebraica, pertenecen únicamente los números reales que al ser sustituidos por la variable hacen que el resultado obtenido represente al número real.

Ejemplo

Determine el dominio de la variable para cada una de las siguientes expresiones:

a)

Solución:

Si se sustituye por se obtiene como resultado una expresión que no representa un número real, además se puede demostrar que es el único valor de para el cual no representa

Msc. Alberto Pazmiño O.

38

un número real, Así tenemos que el dominio para en la expresión es o sea:

Lo anterior significa que a se le puede asignar cualquier valor real, diferente de .

b)

Solución:

Si se sustituye por o por , se obtiene como resultado una expresión que no representa un número real, además se puede demostrar que y son los únicos valores de para los cuales

es o sea:

Lo anterior significa que a en se le puede asignar cualquier valor real, diferente de y de .

Definición

Una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de las expresiones involucra variables, recibe el nombre de ecuación.

Ejemplo

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]


39

Definición

En una ecuación las variables reciben el nombre de incógnitas.

Definición

En una ecuación de una incógnita cualquier número que esté contenido en el dominio de la incógnita y que al ser sustituido en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera, es una solución de la ecuación.

Ejemplo

1. En ,el dominio de la incógnita es , además si , se obtiene la igualdad verdadera

,por lo que es una solución de la ecuación

2. En, el dominio de es, un valor de que hace que la igualdad sea

verdadera es y cómo es un elemento de entonces es una solución de la

ecuación dada.

3. En , el dominio de , es una igualdad verdadera, y como

es un elemento de entonces es una solución de la ecuación

Definición

Dada una ecuación de una incógnita, el subconjunto del dominio de la incógnita que contiene únicamente las soluciones de la ecuación dada recibe el nombre de conjunto solución. Lo anterior afirma que si es el conjunto solución de una ecuación, entonces en están las soluciones y todo elemento de es una solución de la ecuación dada.

Ejemplos

1. En , el dominio de es , un valor de que hace que la igualdad

sea verdadera es y como es un elemento de y además se puede demostrar que es la única solución de la ecuación dada, entonces su conjunto solución es o sea:


40

2. En el dominio de es , y son dos soluciones de la

ecuación dada. Como y son elementos de y además se puede demostrar que y son las únicas soluciones de la ecuación dada, entonces su conjunto solución

es o sea:

Definición

Resolver una ecuación significa determinar su conjunto solución.

Actividad

1. Para cada uno de los casos siguientes, escriba los números reales que al ser sustituidos por la variable en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no represente un número real.

[a]

[b]

2.[c]

[d]

3.[e]

[f]

4. Para cada uno de los casos siguientes, escriba cinco números reales, que al ser sustituidos por la variable en la expresión dada, hacen que el resultado obtenido no representa un número real

1.


41

2.

3.

4.

5.

6.

5. Determine el dominio de la variable para cada una de las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4.

Ecuaciones lineales con una incógnita

DefiniciónSean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación de la forma

Por ejemplo, son ecuaciones lineales con una incógnita:

1)

2)

3)

Definición


42

Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo conjunto solución decimos que son equivalentes entre sí

Ejemplo

1. El conjunto solución de es {5}

El conjunto solución de es {5}

Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.

2. El conjunto solución

El conjunto solución

Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.

Para resolver algunas ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto "transformaremos" la ecuación en otras equivalentes a la original, hasta obtener una ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real.

Algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre sí

1. Permutar miembros de la ecuación

La ecuación es equivalente a la ecuación

2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad


3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo número (diferente de cero)


4. Algunas propiedades de la adición y la multiplicación definidas en (conmutativa, asociativa, etc.)

Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando las propiedades anteriores:

Ejemplos Resueltos


43

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1)

Solución

=

==

Por lo que el conjunto solución de es {4}

2) Solución

=

==

=

=

=

Por lo que el conjunto solución de es

3)

Solución

=

=


44

=

=

=

=

=

Por lo que el conjunto solución de es

Nota

En el proceso de resolución de ecuaciones no es necesario enumerar todas las transformaciones que se realicen, pues a veces se pueden "dejar de escribir" algunos pasos.

Actividad


a)

b)

c) 13 x√a

=a3

x−5

d) x (x+1 ) ( x+2 )−( x+1 ) (x−2 ) ( x+3 )=x2−1

e)12 (x−7

3 )−13 (x−7

4 )+ 14 (x−7

5 )=0

f)

12 (1+ 1

2x)

13

+

14 (1+ 1

4x)

15

−

16 (1+ 1

6x)

17

=2

g)(a+b ) xa−b

+ axa+b

−a−ba+b

= axa−b

+(a+b )2

a2−b2

h)0 ,2 x

2−0,2 x

2 , 2=0 ,02+0,2


45

i)a

(a+b )2x+ a

(a−b )2= a

a2−b2+ a

(a−b )2x

Resolución de Problemas

Toda ecuación en la que se persigue la determinación de uno o varios números desconocidos mediante la relación (o relaciones) que existen entre ellos y otros conocidos, se dice que es un problema.

Los números y las relaciones conocidas constituyen los datos del problema. Los números cuya determinación se pide son las incógnitas.

En lo que sigue ilustraremos la técnica de la resolución de los problemas por medio de ecuaciones (resolución algebraica)

En el proceso de la resolución algebraica de un problema distinguiremos las etapas siguientes.

a) Representaciónb) Planteo de la ecuaciónc) Resolución de la ecuaciónd) Verificación de la solución hallada

Actividad

1. El triplo de un número es igual al número aumentado en 8. Hallar el numeroa) El numero: x

El triplo del número: 3x

El numero aumentado en 8: x+8

b)

3 x=x+8

c)

d) El triplo de 4 es 12 y 4 aumentado en 8 también es 12.


3 x−x=+82 x=8x=4

46

2. Repartir 4000 pesetas entre dos personas, de manera que la primera reciba 540 pesetas más que la segunda.

Primera persona: x +540

Segunda persona: x

x+x+540=4000x=1730 ps

La primera persona recibe: 1730 +540 =2270ps y la segunda recibe1730 ps

3. Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques, en el primero entran una tercera parte más que en el segundo, y en este la cuarta parte de los que entran en el tercero.

4. Los dos factores de una multiplicación, suman 91. Si se aumentan 5 unidades al multiplicando y se disminuye 2 al multiplicador el producto aumenta en 67. ¿Cuáles son los factores?

5. Aumentado un número en sus tres centésimas partes, se obtiene 103 unidades más la quinta parte de aquella suma. ¿Cuál es el número?

6. Descomponer el número 440 en dos sumandos, de manera que las dos quintas partes del primero excedan en 15 unidades a las tres cuartas partes del segundo.

7. Un señor tiene dos terrenos y , ambos de forma rectangular. En el terreno el largo mide 7 metros más que el ancho. En el terreno , el largo mide 2 metros más que el largo del terreno y el ancho mide 3 metros menos que el ancho del terreno . Si el área del terreno es 37 metros cuadrados menor que el área del terreno , determine las medidas de los lados de los terrenos.

8. Luis tiene tanto dinero como José. Si diese a José 20$ entonces tendría solamente el doble, ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

9. Un fabricante tiene para la venta un cierto número de tubos de barro. Vende primero las tres quintas partes, y después se le hace un pedido de las siete octavas partes de los que quedaban, pero antes de servir este pedido, se le inutilizan 240 tubos, y no puede entregar más que las cuatro quintas partes de la cantidad pedida. ¿Qué número de tubos se vendieron?


47

10. Una persona sale de paseo. Parte en un vehículo, a 15km por hora? A qué distancia del punto de partida tiene que apearse para que, regresando a su casa a pie, con velocidad de 6km por hora, llegue a las cuatro horas de la salida?

A continuación nuestro objetivo es resolver ecuaciones, en las cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que uno. En el proceso de resolución de este tipo de ecuaciones haremos uso de los métodos de factorización estudiados anteriormente, con el fin de obtener una ecuación equivalente a la original, la cual se puede resolver por medio de la propiedad anterior. Por esto veamos diferentes tipos de ecuaciones que se pueden presentar:

Ecuación Cuadrática

DefiniciónSean constantes reales con . Se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación de la forma:

Ejemplos (Ecuaciones cuadráticas)

1. 2 .

3. 4.

Veamos algunos ejemplos resueltos, donde se ilustran algunas técnicas que pueden usar para resolver ecuaciones cuadráticas y algunas ecuaciones que "se pueden transformar" a la forma cuadrática

Ejemplo Resueltos


1.

Solución


48

==

Entonces

= ó == ó =

Por lo que el conjunto solución es

2.

Solución

==

Entonces

= ó =

= ó =


3.

Solución

=

=

=

Entonces

= ó == ó =


4.

Solución


49

=

=

=

=

=

Entonces

= ó =

= ó =


5.

Solución

=

=

=

=

Entonces

= ó == ó =


6.

Solución

=

=

=

=


50

Entonces

= ó =

= ó =

= ó =


Observe que dentro del proceso de resolución de las ecuaciones anteriores hemos usado, según el caso, de los métodos de factorización: factor común y por la fórmula notable, esto por las características particulares que presentaban las expresiones algebraicas involucradas en cada una de las ecuaciones.

A continuación estudiaremos un procedimiento, que nos permite, en general resolver cualquier ecuación de la forma constantes reales y .

TeoremaSean constantes reales con tal que

1. Si entonces la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, es decir el conjunto solución de es

2. Si entonces tiene una única solución, la cual viene dada por

es decir el conjunto solución de es

3. Si entonces tiene dos soluciones, las cuales vienen dadas por

es decir el conjunto solución de es

DEMOSTRACIÓN:

1. Si entonces no es factorizable en , es decir

Por lo que:

Si entonces no tiene solución en es decir su conjunto solución es

2. Si entoncesAsí que:

=


51

=

=

3.

= ó =

= ó =

Por lo que:

Si entonces el conjunto solución de

4. Si

Así tenemos que:

= =

= ó == ó =

= ó =

y como

entonces

Por lo que

Si entonces el conjunto solución de

Ejemplo Resueltos

Resuelva las siguientes ecuaciones:

1.


52

Solución

=

=

==

Como entonces la ecuación correspondiente tiene dos soluciones

= y =

= y =

= y =

= y =


2.

Solución

=

=

=

Como , entonces la ecuación correspondiente no tiene solución en , por lo que el conjunto solución es

3.

Solución

=

=

=


53

=

==

= y =

= y =

= y =

= y =


4.

Solución

=

=

=

=

==

Como , entonces la ecuación correspondiente tiene una única solución real

=

=

=


Ecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor o igual que tres.


54

En la resolución de este tipo de ecuaciones haremos uso de los conceptos de factorización ya estudiados, de los procedimientos usados para resolver ecuaciones cuadráticas, así como de la propiedad enunciada anteriormente.

Ejemplos Resueltos


1.

Solución

=

=

=

Entonces

= ó = ó =

= ó = ó =


2.

Solución

=

=

=

=

=

Entonces

= ó = ó =


55

= ó = ó =


Nuestro objetivo en los ejemplos siguientes es mostrar el uso de la división sintética, como un procedimiento que se puede utilizar para resolver ecuaciones (con soluciones racionales, en las cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que dos con coeficientes enteros)

Ejemplo

Resuelva las siguientes ecuaciones:

a.

Hagamos:

1. (divisores enteros de -2) 2. (divisores naturales de 2) 3. (cada elemento de D es un posible cero racional de)

4. Calculemos

Como entonces -1 no es cero de

5. Calculemos

Como,

Entonces se tiene que

Por lo que:

=


56

=

Entonces

= ó =

(Es decir es una solución de )(*)

6. Resolvamos

=

=

= y =

= y =

= y =

= y =(**)

7. El conjunto solución de es por (*) y (**)

=

Ejemplo


a.

SoluciónNota: En la resolución de este ejemplo omitiremos el cálculo de las divisiones, así como de los posibles ceros de los polinomios correspondientes.

=

=

=

Hagamos


57

1. Calculemos

Como entonces -3 es una solución de ( *)

2. Resolvamos ahora

=

=

= y =

= y =

= y =

= y =

= y =(**)

Por (*) y (**) el conjunto solución de y por lo tanto también el de

es

Recordemos que anteriormente, se definió el conjunto solución de una ecuación, como aquel conjunto que está contenido en el dominio de la incógnita y que consta de los números reales que al ser sustituidos en la ecuación, da como resultado un número real.

En los ejemplos anteriores no determinamos explícitamente el dominio de la incógnita, debido a que en estos casos el dominio de la incógnita era el conjunto de los números reales. En esta sección nos interesa estudiar ecuaciones de las cuales el dominio de la incógnita puede ser un subconjunto propio de .

Pero, antes de empezar el estudio de este tipo de ecuaciones, es necesario tener presente las dos reglas siguientes.


58

REGLA 1

Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad verdadera, entonces el conjunto solución de la ecuación original es el dominio de la incógnita.

REGLA 2

Si en el proceso de la resolución de una ecuación se obtiene una igualdad falsa, entonces el conjunto solución original es el conjunto vacío.

Ejemplo Resueltos


1.

SoluciónEl dominio de la incógnita es

=

=

==

Como el resultado es una igualdad verdadera y entonces el conjunto solución es el dominio de la incógnita es decir ( ver Regla 1)

2.

Solución

El dominio de la incógnita es

=

==

Como el resultado es una igualdad falsa entonces el conjunto solución es vacío (ver Regla 2)

Ecuaciones que involucran fracciones racionales


59

Recordemos que una fracción racional es una expresión de la forma polinomios.

Para resolver ecuaciones que involucran fracciones racionales haremos uso de los procedimientos utilizados anteriormente, así como de las siguientes propiedades:

Propiedades

Sea . Entonces se cumple:

1.

2.

Ejemplos Resueltos


a.

Solución

En este caso debe cumplirse:

Por lo que el dominio de la incógnita es

=

=

=

=(I)(*)

= (II)

(*) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad anterior.

Como obtuvimos una igualdad falsa, entonces la ecuación original no tiene solución, es decir su conjunto solución es .


60

b.

Solución

En este caso debe cumplirse


=

=

=(I)(*)

= (II)=

==

(*) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad anterior.

Como el resultado es una igualdad verdadera y el dominio de la incógnita es tenemos

que el conjunto solución de la ecuación es .

c.

d.

e.


61

Solución

=

= (*)

(*) Los denominadores de las fracciones racionales correspondientes han sido factorizados usando los métodos de factorización por fórmula general y por división sintética.

En este caso debe cumplirse que:


=

=(I)(**)

= (II)

=

=

(**) La igualdad (II) se obtuvo a partir de la igualdad (I), aplicando el punto de la propiedad enunciada anteriormente.

Como obtuvimos una igualdad verdadera, entonces la ecuación original tiene como solución, conjunto solución el dominio de la incógnita es decir.

f.

g.


62

Actividad


a.

b.

c.

d.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.


63

15.

16.

Ecuación Radical

Definición

Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.

Ejemplos Son ecuaciones radicales:

a.

b.

c.

d.

e.

Nota: Las ecuaciones radicales que estudiaremos en este texto involucrarán solamente una incógnita. Para resolver ecuaciones radicales usaremos el siguiente resultado.

Resultado (*)

Si es una solución de la ecuación entonces es una solución de la ecuación

dónde Este resultado es una consecuencia de la siguiente propiedad de los números reales.

Si El conjunto de solución de está contenido en el conjunto de solución de

Ejemplos Resueltos



64

1.

Solución

=

=

==

El conjunto solución de es

2.

Solución

=

=

=

=

=

= y =

= y =

= y =

El conjunto de solución de es

En el caso anterior podemos observar que es una solución de la ecuación y

también es una solución de .

Sin embargo, observemos que es una solución de pero no de

esto quiere decir que .

Observación


65

Sean y dos expresiones algebraicas en una variable, Si es una solución

de la ecuación entonces no necesariamente es solución de la ecuación

Por ejemplo,

en el caso anterior es solución de pero no es solución de .

Convenio

Sea una ecuación con una variable , y sea un número real tal que es una

solución de , es una solución de la ecuación si y sólo si al sustituir

x por en , se obtiene una igualdad verdadera.

Ejemplo Resueltos

Resuelva cada una de las ecuaciones racionales:

a.

b.

c.

Solución:

1. (I) (*)

= (II)

=

=

=

= ó =

= ó =

= ó =


66

(*) Observe que el paso II se obtuvo a partir de I, como consecuencia de que , donde. Además el valor de se escogió igual al índice del radical (es decir n=2).

Posibles soluciones.

Determinemos si y son solución de la ecuación

=

=

=

=

=

Cierto!

=

=

=

=

=

Falso!

Como con se obtiene una igualdad verdadera y con no, así que 2 es solución y no lo es.

Por lo anterior se concluye que es el conjunto de solución de

2.=

=

=

=

=

=

Entonces:


67

= ó =

= ó =

= ó =

Posibles soluciones.

Determinemos si y son solución de la ecuación

= 0

= 0+2

=

=

=

=

Cierto!

=

=

=

=

=

=

Cierto!

Como al sustituir ó en obtenemos igualdades verdaderas entonces y son soluciones de dicha ecuación.

Por lo anterior se concluye que es el conjunto de solución de

3.

=

=

=

=


68

=

=

Posible solución.

Determinemos si es solución de la ecuación

=

=

=

=

=

Falso!

es decir no es solución de la ecuación.

Por lo anterior la ecuación no tiene solución, es decir, su conjunto de solución es .

Nota:

Observe que en los ejemplos anteriores, en el proceso de resolución de ecuaciones radicales, con el fin de obtener una ecuación polinomial (la cual se puede resolver usando los conceptos estudiados anteriormente), se utilizó el resultado:

Antes de analizar otro tipo de ecuaciones radicales, veamos el siguiente caso:

Resolviendo la ecuación anterior, usando lo estudiado hasta ahora en ecuaciones radicales.

=

=


69

=

=

Observemos que en esta última ecuación tenemos todavía radicales, es decir, no hemos obtenido una ecuación polinomial, como sucedía en los ejemplos anteriores.

Así, para resolver ecuaciones del tipo anterior, se recomienda seguir el procedimiento que enuncia a continuación:

Sean polinomios (o fracciones racionales) y . Para resolver ecuaciones del tipo:

se recomienda transformarlas a una ecuación del tipo:

A partir de la ecuación anterior se obtiene que:

La cual a su vez implica que:

que es una ecuación que se puede resolver por los métodos estudiados anteriormente.

Ejemplo Resueltos


1.

Solución

=

=

=

=

=


70

=

=

=

= 9+16

= 25

= =

= =

Posibles soluciones:

Prueba:

=

=

=

=

=

Falso!

=

=

=

=

==

Cierto!

Por tanto es solución de y su conjunto de solución es pues no es solución.


71

2.

Solución

=

=

=

=

=

=

=

Entonces

= ó =

= ó =

Prueba:

=

=

=

=

=

=


72

Cierto!

=

=

=

=

=

=

Cierto!

Por tanto son soluciones de y su conjunto de solución es

3.

4.

Actividad


1.√4 x+29−x−2=0

2.

2√x+ 54+2 x=−1


73

3.

−x+√−3x+16+4=0

4.√3√x−1=√ x−1

5.

√x+3√x−3

−2=√x−3√ x+3

+3

6.

2√ xa+3√ a

x=b

a+ 6 a

b

7.

3√2 x

−√2 x5

=59

10

8.

x3+1x2−1

=x+√ 6x

9.

x2−5 x+2√ x2−5 x+3=12

10.

8+9√(3 x−1 ) ( x−2 )=3 x2−7 x

11.√4 x2−7 x−15−√x2−3 x=√ x2−9

12.

( x−5 ) ( x−7 ) ( x+6 ) ( x+4 )=504

13.

( x+9 ) ( x−3 ) ( x−7 ) ( x+5 )=385

14.

22 x+3−57=65 ( 2x−1 )

15.4 x4−9 x3−26 x2−9 x+4=0


74

16.

4 x4+1−3 ( x3+x )=2x2

Aplicación de las ecuaciones a la solución de situaciones planteadas en lenguaje corriente

¿Qué es un problema?

La palabra "problema" a menudo se emplea con un sentido equivocado en las clases de matemática. A menudo, determinado ejercicio es simple rutina para algunos individuos, mientras que para otros se convierte en tarea que requiere decisión y reflexión cuidadosa. Se ha dicho que: "Lo que para una persona es un problema para otra es un ejercicio y para una tercera un fracaso”

Se considera que la existencia de ciertas condiciones determina si una situación es un problema para determinado individuo, entre las cuales podemos mencionar:

i) El camino para llegar a la meta deseada está bloqueado y los patrones fijos de conducta del individuo, sus respuestas habituales, no son suficientes para romper ese bloqueo.

ii) Tiene que haber deliberación

¿Por qué es importante la solución de problemas?

La realidad concreta no es simple, ni inalterable. Más bien cambia rápidamente. En un mundo tal, la capacidad de ajuste y solución de los propios problemas es de importancia primordial.

Si la vida fuera de una naturaleza tan constante que sólo tuviéramos que hacer unas cuantas tareas una y otra vez de exactamente el mismo modo, el conocimiento de cómo resolver problemas podría resultar artificioso. Pues, todo lo que se tendría que hacer sería aprender cómo ejecutar las pocas tareas desde el primer momento.

Esta parte el objetivo es presentar situaciones planteadas en el lenguaje corriente, con el fin de que el estudiante se agilice con el proceso de trasladar situaciones en el lenguaje matemático, y le sirva de preparación para próximos cursos de matemática, así como en aquellos cursos propios de la carrera donde el estudiante tenga que construir algunos modelos matemáticos.

Existe algún procedimiento modelo que se pueda usar para resolver todo problema, o más específicamente, toda situación planteada en el lenguaje corriente?´

La respuesta es: no existe tal procedimiento.

Sin embargo, a menudo podemos seguir algunos pasos, los cuales nos pueden ayudar en la resolución de problemas:


75

Paso 1: Lea el problema cuidadosamente

Debe estar seguro de haber entendido el significado de todos los términos usados en el problema,

o sea, usted debe comprender el problema.

Paso 2: Determine cuáles son las incógnitas

Con base en la lectura usted debe determinar, cuáles son los datos conocidos y cuáles datos son los que usted debe averiguar para resolver el problema. Represente cada uno de los datos desconocidos con una letra (incógnita).

Nota: En algunos casos un dibujo puede ayudar a comprender la situación.

Paso 3: Escriba la ecuación o el sistema de ecuaciones correspondientes

Relacione los datos conocidos con los datos desconocidos estableciendo una ecuación o un sistema de ecuaciones.

Nota: A menudo es conveniente usar el menor número de incógnitas que sea posible,

Paso 4: Resuelva las ecuaciones obtenidas

Usted debe resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones que se obtuvo en el paso anterior.

Paso 5: Compruebe las soluciones obtenidas

Usted debe comprobar cada solución obtenida contra las condiciones establecidas en la situación expresada en lenguaje corriente.

Nota: Comprobar la solución en la ecuación misma no es suficiente, porque la ecuación podría no ser la correspondiente al problema.

Además debe escribir la respuesta del problema.

Recuerde el procedimiento para resolver un problema mediante el uso de un ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable.

A continuación resolveremos algunos problemas, con ilustración:

Ejemplo 1

De una caja con monedas de oro un ladrón tomó 25 monedas. Luego decidió volver y tomó la cuarta parte de lo que quedaba. Cuando el dueño volvió a tomar monedas descubrió que solamente había 12 monedas.


76

Con base en la información anterior, determine cuántas monedas había al principio.

Solución

Sea : número de monedas que había al principio.

Entonces:

: número de monedas que quedaron después del primer robo

: número de monedas que quedaron después del segundo robo

Por la información dada:

=

=

=

=

=

R/ Al inicio habían 41 monedas.

Ejemplo 2

Los asistentes a una cena tienen que pagar en total . Pero se decide que dos de ellos no paguen la cena, por lo cual los demás tienen que pagar cada uno más de lo que les correspondía pagar originalmente. Con base en la información anterior determine el número de personas que asistieron a la cena.

Solución

Sea: : número de personas que asistieron a la cena

: Cantidad de dinero que originalmente le correspondía pagar a cada uno


77

Entonces:

: número de personas que pagaron la cena

: Cantidad de dinero que pagaron las personas.

Por lo que:

,

(*)

=

=

=

=

=

=

=

En este caso tenemos que:

Por lo que:


78

Observe que como representa el número de personas, entonces debe ser positivo, o sea

R/ El número de personas que asistieron a la cena es de 15.

Actividad

1. Hallar tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo.

2. Dos ciclistas parten al mismo tiempo y del mismo punto para un pueblo situado a 90kilometros.El primero, que recorre por hora un kilómetro más que el segundo tarda una hora menos que este en hacer el recorrido. ¿Con que velocidad marcho cada uno de los ciclistas? Sol. 10 y 9 km/h

3. Cuando dos bombas actúan a la vez tarda en agotar un pozo 15 horas. Si actuara solo la menor, tardaría en agotarle 16 horas más que si actuara solo la mayor. ¿Cuánto tardaría esta?

4. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuantos hombres hay en la tropa?

5. Si a los dos términos e la fracción a/b se le suma x, y a la fracción resultante se le resta x , ha de resultar a/b, ¿Cuál es el valor de x?


unidad iii ecuaciones

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