investigacion unidad iii de ecuaciones diferenciales

8/16/2019 Investigacion Unidad III DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICOINSTITUTO TECNOLÓGICO DE LÁZARO CÁRDENAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

INVESTIGACION IIITRANSFORMADA DE LAPLACE

NOMBRE DEL ALUMNO:APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBREROJAS DUARTE BILLY JOEL

CARRERA: ING. ELECTRÓNICA

GRUPO: 41S

SALON: M2

SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2015

FECHA DE ENTREGA: 1 D! A"#$% D!% 201&

.1 TEORIA PRELIMINAR


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La transformada de Laplace es una aplicación entre dos

espacios de funciones que puede reducir una ecuación

diferencial lineal con coecientes constantes a una ecuación

algebraica, de manera que proporciona un método rápido y

ecaz para resolver este tipo de problemas.

.1.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Sea f ( t ) una función denida en el intervalo ¿ , se dene la

transformada de Laplace de f ( t ) por medio de la

transformada integral.

L {f ( t ) }=∫0

∞

f ( t ) e−st

dt

La transformada de Laplace se denomina a veces

transformada operacional; esto es porque transforma las

operaciones de integración en simples operaciones

algebraicas que son muco más convenientes de resolver.

Nota: Las transformadas de Laplace fueron formuladas para

transformar una ecuación diferencial que contiene las

diferenciales de una función indenida, a partir de una

ecuación t!espaciada acia una ecuación s!espaciada que

puede ser resuelta con muca facilidad.

.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE E'ISTENCIA PARALA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Si f ( t ) es una función continua por partes en el intervalo ¿

y de orden e"ponencial # para t > t 0 , entonces e"iste

transformada de Laplace $%s& para s'#.

(omo puede observarse, las funciones)


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{1, t , t 2 , eat ,sin t ,cos t , sinh t , cosh t }

Son todas continuas por partes y de orden e"ponencial; en

consecuencia, la e"istencia de su transformada de Laplace se

*ustica, no as+ para el caso de las funciones y=et 2

y y=et 3

.

“Continuidad por Partes” )

na función f ( t ) se dice continua por partes en el intervalo

a ≤ t ≤ b cuando el intervalo puede subdividirse en un n-mero

nito de subintervalos) a=t 0


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.2 TRANSFORMADA DIRECTA.na primera forma de calcular la transformada de Laplace de

alguna función es la aplicación directa de la denición, los

cual implica resolver de manera impl+cita una integralimpropia.

na transformada de Laplace se calcula de manera directa si

se aplica alguna de la formulas mostradas en el teorema

anterior en combinación con identidades algebraicas y

trigonométricas.

. TRANSFORMADA INVERSA.

Sea una f ( t ) una función denida para t >0 , si L {f ( t ) }= F ( s) ,

entonces denimos la transformada inversa de Laplace de

F ( s) como


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L−1{ F ( s ) }=f (t )

L y L−1

son operaciones rec+procas.

Si L {f ( t ) }= F ( s ) entonces por denición L−1{ F ( s ) }=f (t ) , luego

L {f ( t ) }= L { L−1{ F ( s ) }}= F (s )

L−1{ F ( s ) }= L−1 { L {f ( t ) }}=f (t )

4s decir, L y L−1

son operaciones inversas. La

transformada inversa de Laplace es lineal.

Ejemplo:

(alcular L

−1={1s6 } .

L−1{ 1s6 }= L

−1{5!5! 1s6 } 5ultiplicamos y dividimos por 67


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L−1{ 1s6 }=

1

5! L

−1{5!s6 } 3plicamos linealidad de L−1

L−1

{

1

s6

}=

1

5!

t 5

L−1

{

5 !

s6

}=t 5

Ejemplo:

(alcular L

−1{4 s−3s2+16 } .

L−1{4 s−3s2+16 }=4 L

−1{ ss2+16 }−3

4 L

−1{ 4s2+16} 8or linealidad de L−1

L−1{4 s−3s2+16 }=4cos4 t −

3

4 sin 4 t

9ransformamos cada término.

.4 PROPIEDADES.Se e"ponen un con*unto de propiedades de la transformada

que arán más fácil su cálculo.

4n el caso más general.

:e fácil cálculo.


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4sta propiedad es muy -til para la resolución de ecuaciones

diferenciales.

.4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONESDEFINIDAS POR TRAMOS.

(omo la transformada de Laplace se dene en términos de

una integral impropia que puede ser divergente, e"isten

funciones para las cuales no e"iste dica transformada,

incluso ay funciones discontinuas.:ecimos que una función ( : )*+ ", -- R es continua atrozos si

.! f está denida y es continua en todo ' E )*+ ", salvo enun n-mero nito de puntos ' para


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#/ ,2...n

Nota: na función continua a trozos es aquella que es

continua y está dividida en pedazos. na función continua es

aquella que no se divide en su gráco, es decir, se dene

continuamente a lo largo de todo el dominio de la función.

Nota: na función a trozos es aquella que no está denida

continuamente, esto es, la gráca de la función está dividida,

como es el caso de una función escalonada.

.4.2 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.

9ambién llamada función salto unidad de eaviside, y con

frecuencia se utiliza en aplicaciones que tratan casos o

situaciones que cambian de manera abrupta en tiempos

espec+cos. 8ara esto se necesita una notación para unafunción que suprima un término dado asta cierto valor de e

inserte ese término para todo valor mayor que. 4sta función

nos proporciona una erramienta poderosa para construir

transformadas inversas.


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Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa

de Laplace también tiene sus propias propiedades. 3lgunas de

las propiedades más importantes se discuten a continuación)

.! 8ropiedad de Linealidad) La transformada de Laplace es

lineal, es decir, la transformada de una suma de funciones es

la suma de las transformadas, y la transformada del m-ltiplo

de una función es el m-ltiplo de una transformada.

Si L{f ( t )}= F (s) y L {g(t )}=G(s) , entonces para dos constantes

cualesquiera c y c2 tenemos,

L−1 {c 1 f (t )+ c2g (t )}=c1 L−1 {f (t )}+c2 L−1 {g(t )}=c 1 f (t )+c2g (t )

4sto puede probarse como,

8or la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

conocemos que,

L{c1 f (t )+c 2g(t )}=c1 F (s)+c 2G(s)

3ora tomando la transformada inversa de Laplace en ambos

lados obtenemos,c1 f (t )+c 2g( t )= L−1 {c1 F (s)+c 2G(s)}

f (t )= L−1{ F (s)} y, g(t )= L−1 {G(s)}

.4.4 T.L. DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR T/ Y

DIVIDIDAS ENTRE T.(onsidérese la función f (t ) y su transformada de F (s)

donde s es una variable continua. Si se deriva la función

F (s) con respecto a la variable s de manera consecutiva se

tiene)


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:e la ecuación > se puede concluir que al multiplicar por

t n

una función y obtener su transformada de Laplace, es

equivalente a diferenciar la función $%s& n veces y

multiplicarla por(−1)a

.

:e manera similar, si una función f (t ) satisface las

condiciones de e"istencia de la transformada de Laplace y

además el e"iste cuando t se apro"ima a cero por

el lado dereco, se cumple que)

4sto es la integral de la transformada de una función ʄ (t )

equivalente a dividir la función entre t.

.4.5 TRANSFORMADA DE DERIVADAS.3l igual que en una función ordinaria, la transformada de

Laplace también puede aplicarse al diferencial de una función.4n tal situación, colocamosen la fórmula el diferencial de la

función en el lugar de la función real para derivar la

transformada de Laplace, que es,


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Sin embargo, mientras nos ocupamos de los diferenciales dela función, necesitamos modicar el l+mite inferior de

integración y colocar un valor mayor que cero en el lugar de

cero, como el l+mite inferior de integración. 4sto se ace

principalmente porque el cero no manipula la solución

obtenida a partir de la integración, y de esta forma nos

limitamos a la función clásica.

4"isten, sin embargo, ciertas condiciones para que esto sea

verdadero. La función real debe ser denida para la variabletiempo t y el diferencial debe e"istir para todos los valores

mayores que cero. 3simismo, la función debe ser denida de

forma continua en el intervalo ?0,&. :e igual manera, el

diferencial de esta función debe ser una función continua a

trozos para el mismo intervalo, este es, ?0&.

@, por -ltimo, tanto la función real, as+ como el diferencial de

la función real deben ser de orden e"ponencial cuando el

valor de t tiende al innito. 4sto signica que deben e"istir

dos n-meros reales positivos 5 y, y un n-mero 9 tal que,

3qu+ el valor de t debe ser siempre mayor o igual que 9.

.4.& TRANSFORMADA DE INTEGRALES.asta aora emos estudiado la forma de determinar latransformada de Laplace de una función dada. 8ero, como

sabemos, e"isten varias operaciones que pueden realizarse en

una determinada función. na de las principales operaciones

entre ellas es la integración. (omo sabemos, la integración de

una función nos da otra función. 8or lo tanto, es esencial


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saber si la técnica de la transformada de Laplace puede

aplicarse a la integral de una función real.

La respuesta a la pregunta anterior es armativa, asta cierto

punto. La cláusula de Aasta cierto puntoB, se aCade aqu+

porque esto no es cierto para todas las integrales. 4"isten

ciertos pre!requisitos que deben ser verdaderos para obtener

la transformada de Laplace de la integral de la función real.

La función real debe estar denida para la variable de tiempo

t, también la función debe ser denida de forma continua en

el intervalo ?0,&. 3simismo, el integral de esta función debe

ser una función continua a trozos para el mismo intervalo,

esto es, ?0,&.

@, por -ltimo, ambas, la función real como el diferencial de la

función real deben ser de orden e"ponencial cuando el valor

de t tiende al innito. 4sto signica que deben e"istir dos

n-meros reales positivos 5 y, un n-mero 9 tal que,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T. Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y

L{f ( t )}= F (s) , entonces la transformada de Laplace de la integral de la función

real puede darse como,

.4. TEOEREMA DE CONVOLUCIÓN.

Si L−1 { F (s)}=f (t ) y L−1{G (s )}=g(t ) entonces,


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D esta puede ser reescrita como,

3qu+

f ∗g

se llama la convolución de

F

y

G

. esto esllamado el teorema de convolución de la transformada de

Laplace. 4s una propiedad importante de la transformada de

Laplace. 4l teorema anterior indica que puede probarse como,

a partir de la denición de la transformada de Laplace

sabemos que,

L{f (u)g(t – u)du }=e−st {f (u)g( t – u)du}dt =e−stf (u)g( t – u)dudt

3qu+ la región de integración es la parte sombreada de lasiguiente gura,

3ora, cambiando el orden de integración, tenemos la

siguiente parte sombreada como la región de integración.


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4l teorema de convolución tiene amplias aplicaciones en la

práctica. 9ambién se utiliza en la teor+a de circuitos para

calcular la respuesta al impulso de un circuito concreto.

3qu+ x (t ) es la entrada del sistema, y (t ) es la salida del

sistema y h(t ) es la respuesta al impulso del sistema.

.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓNPERIÓDICA.

4s muy com-n, especialmente en aplicaciones ligadas a

circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza e"terna

periódica. 4s usual tener volta*es en forma de ondas diente de

sierra, ondas en escalón, etc. 8or lo que es necesario calcular

sus transformadas.

94DE453 %9ransformada de una función periódica&

3lgunos e*emplos de funciones periódicas importantes.


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.4. FUNCIÓN DELTA DIRAC.Las funciones deltade :irac son las funciones que e*ercen una

enorme cantidad de fuerza sobre un ob*eto, por una gran

cantidad de tiempo. 3unque a veces una función escalonada

unitaria es comparada con una función fuerza, la comparación

no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza e*ercidapor ellas es muy limitada. na función delta de :irac es una

diferencial de la función escalón unitario. 4sta puede

entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza

generalizadas.

4sto implica que la función delta de :irac no es una funciónreal sino que es una distribución que se e"tiende por un

intervalo denido para la función dada. 9ambién es llamada

una función singular. (omo tal, no e"iste una denición formal

de esta función. 8ero puede ser denida mediante utilizar la

propiedad de la propia función, la cual es,

4n términos simples, podemos decir que una función delta de

:irac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor

del argumento de entrada, e"cepto cuando el valor del

argumento de la función en s+ es igual a cero. 3qu+ el

argumento de la función es un parámetro valorado real. La


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integral de la función en el rango de parámetros %!0, 0 & es

uno. 3 la luz de la armación anterior, podemos concluir que

esta es una función real desde el punto de vista matemático,

ya que para cualquier función real cuyo valor es constante,

e"cepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse acero, el cual no es este caso.

na propiedad muy importante de esta función es,

4n este caso, sabemos que la función (t ) toma el valor de

cero para todos los valores de t , e"cepto en t =0 . 4sto

implica que el valor de la función f (t ) también se vuelve

insignicante, e"cepto cuando el argumento t de la función

se convierte en cero. 4n tal situación, tenemos el valor del

integrando f (0) %t&, f (0) que puede tomarse fuera dado que

se convierte en una constante, aciéndolo de esta manera

obtenemos el lado dereco de la ecuación.

8or lo tanto, podemos pensar en (t )dt como el operador

funcional que saca el valor de la función cuando el argumento

de la función es igual a cero.

.4.10 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓNDELTA DE DIRAC.

Si t 0>0 , entonces L {δ (t −t 0 )}=e−t 0 s .

FLa transformada de Laplace más pequeCa. Se verica que

para el caso t 0=0 , entonces L {δ (t ) }=1 y además L−1 {1 }=δ ( t ) .


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8odemos observar que la función delta de :irac no satisface

las condiciones del teorema de e"istencia y sin embargo, la

transformada inversa de Laplace del e"iste.

.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES

La transformada de Laplace es especialmente -til para

obtener la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias

no omogéneas con coecientes constantes, donde todas las

condiciones de contorno se dan para la función desconocida y

sus diferencias en un solo punto. 4l procedimiento de traba*o

de la misma es la siguiente)

Sea el problema de valores iniciales dado como,

%=& :onde. y (0)=k 0e y ’ (0)=k 1 . 3demás a1,a2,k 0, k 1 son todos

constantes y f (t ) es función de t solamente.

. 3plicando la transformada de Laplace en ambos lados de la

ecuación %i& tomando en cuenta que

L(d 2 y /dt 2)=s2Y (s) – sy (0) – y ’ (0) y ,

L(dy /dt )=sY (s ) – y (0)

:onde, Y (s)= L { y (t )}e F (s)= L {f (t )}

4ntonces, la ecuación %i& produce,

[s2Y (s) – sy(0) – y ’ (0)]+a1[sY (s ) – y (0)]+a2Y = F (s)

3ora, aciendo uso de las condiciones iniciales tenemos que,

(s 2+a1 s+a2)Y (s)= F (s)+ sk 0+k 1+a1k 0 %==&


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2. Eesuelve la ecuación %==& y luego e"presa el lado dereco

como una sumatoria de fracciones parciales.

3plica la transformada inversa de Laplace a Y (s) , obtenida

en el paso anterior. 4sto dará la solución de la ecuación dada%=& con condiciones iniciales,

y (t )= L−1 {Y (s)}

4l procedimiento anterior también puede aplicarse a las

ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

3ora demos un vistazo a un e*emplo ilustrativo en la

categor+a anterior.

Eesuelve y ’ ’+2 y ’+5 y=e−t sin(t ) dados y (0)=0 e y ’ (0)=1 .

3l tomar la transformada de Laplace de ambos lados

conseguimos,

L{ y ’ ’}+ L{2 y ’}+ L{5 y }= L {e−t sin(t )}

D,[s2Y (s) – sy(0) – y ’ (0)]+2[sY (s ) – y (0)]+5Y =[1/(( s+1)2+1)]

sando y (0)=0 e y ’ (0)=1 tenemos,

(s 2+2 s+5)Y (s) – 1=[1/( s2+2 s+2)]

Y (s)=[1/ (s2+2 s+2)(s 2+2 s+2)]+[1/ (s2+2 s+2)]

¿(1/3){[1/( s2+2 s+2)] – [1/( s2+2 s+2)]}+[1/( s2+2 s+2)]

¿(1/3)[1/( s2+2 s+2)]+(2/3)[1/ (s2+2 s+2)]

¿(1/3)[1/((s+1)2+1)]+(2/3)[1 /((s+1)2+4)]


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=nvirtiendo ambos ladostenemos,

y (t )=(1/3) L−1[1 /((s+1)2+1)]+(2/3) L−1[1/(( s+1)2+4)]

¿(1/3)e−t L−1[1/( s2+1)]+(2 /3)e−t L−1 [1/( s2+4)] ?tilizando el primer

teorema de desplazamientoG

¿(1/3)e−t sin(t )+(1/3)e−t sin(2 t )

¿(1/3)e−t (sin(t )+sin(2t ))

La transformada de Laplace también puede utilizarse pararesolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias

simultáneas en n variables dependientes, las cuales son

funciones de la variable independiente t.

(onsidera un sistema de dos ecuaciones diferenciales

ordinarias simultáneas en dos variables dependientes " e y,

las cuales son funciones de t.

(a1

D2+a

2 D+a

3) x+(a

4 D

2+a

5 D+a

6) y=f

1( t )

(b1 D2+b2 D+b3) x+(b4 D2+b5 D+b6) y=f 2( t )

3qu+ D=(d /dt ) y las condiciones iniciales son

x (0 )=c1, x ’ (0 )=c2, y (0 )=c 3, y ’ (0)=c 4 . 9ambién ai (i=1, ) , bi (i=1, ) , ci(i=1,)

son constantes.

4l procedimiento de traba*o de la misma es la siguiente)

. 3plicando la transformada de Laplace a ambos lados de las

dos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas, obtenemos

{a1[ s2 X (s ) – sx (0) – x ’(0)]+a2[sX – x (0)]+a3 X }+{a4 [s2Y (s ) – sy (0) – y ’ (0)]+a5[sY – y (0)]


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{b1[ s2 X (s ) – sx (0) – x ’(0)]+b2[sX – x (0)]+b3 X }+{b 4 [s2Y (s ) – sy (0) – y ’ (0)]+b5[sY – y (0)]

D,

(a1 s2+a2 s+a3) X +(a4 s2+a5 s+a6)Y = F 1(s)+ s(a1c 1+a4 c3)+(a1c 2+a2c 1+a4 c 4+a5c 3

(b1 s2+b2 s+b3) X +(b4 s2+b5 s+b6)Y = F 2(s)+ s(b1c 1+b4 c3)+(b1c 2+b2c1+b4 c 4+b5c 3

:onde, X (s)= L−1{ x( t )} y Y (s)= L−1 { y ( t )}

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