demostraciones de ecuaciones en yaci iii

YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.

DEMOSTRACIONES

1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Esta ecuación se basa en el principio de conservación de la materia. Su

deducción se obtiene aplicando un balance material a un elemento

diferencial del medio poroso.

M entrada – M salida = M acumulada

M = flujo másico = x Ur x V

Ur = velocidad de flujo

V = volumen

Mentrada = x Ur x 2rz

Msalida = x (Ur + Ur) x 2(r + r)z

Macumulada = [ x Ur x 2rz] – [ x (Ur + Ur) x 2(r + r)z]

= [ x Ur x 2rz] – [ x (rUr + rUr + Urr + Urr) x 2z]

= - 2z (rUr + Urr + Urr)

El volumen del elemento diferencial del medio poroso es:

V = [(r + r)2 – r2]z = (r2 + 2rr + r2 – r2)z = (2rr + r2)z

Para un tiempo t la masa dentro del elemento poroso es: []t (2rr +

r2)z

Para un tiempo (t + t), la masa dentro del elemento poroso es:

z

rr


=

Igualando las dos expresiones anteriormente obtenidas:

- 2z (rUr + Urr + Urr) =

Si se supone flujo solo en la dirección radial, z = 0:

- 2 (rUr + Urr + Urr) =

2rUr + 2Urr + 2Urr = -

Como Urr, Urr, y r2 representan valores muy pequeños, estos pueden

ser despreciados:

2rUr = -

Simplificando valores semejantes y variando la densidad y el radio en el

término de la izquierda, resulta:

(rUr) = -

Si se agrupan las variables semejantes y se aplican límites infinitesimales,

se obtiene la ecuación de continuidad:

ECUACIÓN COMBINADA DE FLUJO


Aplicando el principio de conservación de momento al flujo másico en el

elemento poroso diferencial, resulta la ecuación de flujo Darcy expresada

de la siguiente manera:

Como anteriormente se suponía flujo solo en la dirección radial, g sen =

0:

Reemplazando Ur en la ecuación de continuidad, se obtiene la ecuación

combinada de flujo:

que reescribiéndola quedaría:

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN

Si se asume que la permeabilidad del medio poroso es constante en

dirección radial en la ecuación combinada de flujo; , entonces, ésta

puede sacarse del diferencial.

Sabiendo que la compresibilidad de fluidos puede definirse como:

Despejando y reemplazando en la ecuación combinada:


La anterior es la ecuación de difusión.

ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD

Aplicando la ecuación de difusión sólo para fluidos incompresibles,

Simplificando y agrupando términos se obtiene la ecuación de difusividad:

Esta ecuación no es válida para fluidos altamente compresibles (gases) ni

para velocidades de flujo muy altas (flujo turbulento).

2. Variables adimensionales:

3. Tiempo Adimensional


4. Ecuación de la Difisividad Adimensional:

5. PERMEABILIDAD PROMEDIO:

Calcular la permeabilidad promedio del siguiente pozo:


Donde: Rw = 0.35ft Re = 3000 ft K1 = 10md

K2 = 100md R1 = 3ft

Aplicando:

6. SOLUCION LINEA FUENTE

Para solucionar la ecuación de difusividad; diferencial de segundo grado

respecto a la presión, y de primer grado respecto al tiempo; se acude al

método de Boltzman.

Ecuación No.1

Asumiendo un valor


Usando la regla de la cadena:

; ; ;

Estas diferenciales también se pueden expresar como:

Reemplazando en la ecuación de difusividad: Ecuación 1.

Reagrupando términos:

La anterior es la ecuación de difusividad en función de la transformada de

Boltzman. Teniendo que:


Haciendo y ,

Integrando y transformando la ecuación anterior, resulta:

Ln z= -Ln x -x +C'

Ln z = Ln (1/x) -x +C´

Haciendo : C = ln C’ y -x = Ln e-x

ln z = ln

ln z = ln

z =

Esta es la solución general para la ecuación de difusividad; para

particularizarla se asumen las siguientes condiciones límite para el

yacimiento:

P = Pi para un tiempo t = 0 r

P = Pi para un radio r = r

q w= cte. r

t > 0

Para rw > 0:

(Flujo Darcy para un yacimiento circular homogéneo)


Reemplazando en la condición de flujo Darcy:

Se puede decir que y

Aplicando límites, se tiene:

Igualando términos:

El valor de la integral exponencial presente en esta ecuación se llama

función Ei(-X), y es igual a: esta ecuación tiene una

serie resultante:

donde r : constante de Euler-Mascheroni = 0.5772


Aplicando la ecuación de Ei tendremos:

La ecuación en unidades de campo es:

7. DEDUCCION DE LOS VALORES LIMITES QUE DETERMINAN LA

FUNCION E(-X).

límite inferior:

Se conoce que para que no haya imprecisión en la solución de Ei(-X), tDW

debe ser<100, por lo que la expresión para corresponde el limite

inferior de la solución Ei(-X).


límite superior:

8. Radio de Investigación :

Consideremos un pozo dentro del cual inyectamos instantaneamente un

volumen de líquido. Esta inyección introduce un disturbio en la presión de

la formación; este disturbio tiene radio ri el cual sera máximo en un

tiempo tm después de introducido dicho volumen a la formación.

Miraremos la relación entre ri y tm. De la solución de la ecuación de

difusividad se la línea fuente en un medio infinito:


9. TIEMPO DE ESTABILIZACION:

Partiendo de la solución logaritmica para yacimientos , para un tiempo de

producción largo:

Para período transitorio:

para periodos de flujo seudo-estable para yacimiento finito:


El mejor valor de tD para pasar de una a otra ecuación será cuando

las dos tengan la mínima diferencia en el valor de P:

-

Asumiento los terminos de la ecuación constantes excepto tD, tendremos:

D será mímimo cuando entonces ;

sabiendo que

donde rDe=re/rw y =cte entonces:

reemplazando y haciendo : queda:


entonces .

10. Práctica con el PoolSlim

11. Ejemplo de la Linea Fuente (EJERCICIO 1.1)

Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: El pozo

produce solo aceite; éste produce a una tasa constante de 20 STB/D. Los

datos que describen la formación son:

Viscosidad: 0.72 cpPermeabilidad: 0.1 mdCompresibilidad total: 1.5 x 10-5 psi-1

Presión inicial: 3000 psiRadio exterior: 3000 ftRadio del pozo: 0.5 ftFactor volumétrico: 1.475 RB/STBEspesor productor: 150 ft.Porosidad: 0.23Daño: 0

Calcular la presión de yacimiento en un radio de 1 ft después de 3 horas

de producción; calcular la presión en un radio de 10 y de 100 ft después de

3 horas de producción.

DESARROLLO

Como tengo un tiempo de producción corto (3 horas) puedo suponer que el

yacimiento se comporta como infinito. Esta suposición es correcta si:

< t <


= 2.35 < 3horas

> 3 horas

Esto indica que efectivamente el yacimiento actúa como infinito. La

ecuación de caída de presión que lo rige es:

Ei (- X) = ln (1.781 x) para X < 0.02. Para valores de X entre 0.02 y 10.9, Ei (-x) lo

determinamos de la tabla 1.1 del libro de Lee. La siguiente tabla muestra los valores de

Ei (-x) y de presión para los diferentes radios dados.

r (ft) X Ei P (psi)

1 0.00784944 -4.26677485 2573

10 0.784944 -0.338395335 2968

100 78.4944 -78.49 3000


Gráficamente, el comportamiento del pozo se muestra como sigue:


12. Solución Logarítmica:

Para x<0.01 los dos primeros miembros de la serie (desarrollo de la

función Ei), dan una aproximación aceptable de manera que:

reemplazando

entonces:


13. ECUACION DE ALMACENAMIENTO:

Balance de masa en el pozo:Vwb = Volumen del pozo = Awb*zAwb = Area del pozo = cte.z = altura del pozo.Pt = Presión de superficie

=

=

Considerando el gradiente de presión dentro del pozo:

Reemplazando en el balance másico:

Definimos el almacenamiento:

Si Pt = 0

Considerando variables adimensionales:


Este es el almacenamiento adimensional

Podemos relacionar las variables adimensionales con el almacenamiento

adimensional.

Fluido monofásico: balance de masa

; ; Cs = Cwb Vwb

tD = CSD PD

14. DEMOSTRACION ECUACION 1.11 J.LEE


Partiendo de la ecuación 1.7

y de la ecuación 1.9

Por medio de una combinación de estas ecuaciones hallamos la calidad

total de presión.

Reemplazando el valor de Ps y sacando factor común.

Para r=rw el argumento de la función Ei es suficientemente pequeño después de

periodo corto de tiempo por lo que se puede usar una aproximación logarítmica.

Definimos un factor de daño (s) en terminos de las propiedades de la zona

alterada.



Cuando ocurre daño o hay estimulación, hay una caída de presión adicional

(Ps). La ec. 1.15, ahora es escribiría así:

+ Ps

Definiendo el daño como:

Reemplazando Ps, se tiene la ec. 1.16:

Aplicando esta definición a la ec. 1.12, resulta la ec. 1.17:

Reemplazando k por una permeabilidad promedio kj que incluya el factor

de daño, e igualándola a la ec. 1.17:

=


Despejando kj, se obtiene la ec. 1.18:

Si aplicamos a la definición de índice de productividad a la ec. 1.16,

expresada en términos de permeabilidad promedio, se tiene la ec. 1.19:

Definición de IP: ;

La ec. 1.16 es sólo para un pozo localizado en el centro de un yacimiento

circular. El área de drenaje de este pozo es: A = re2

Manipulando la ec. 1.16, ésta se puede expresar en función de su área de

drenaje:

multiplicando y dividiendo 2


Multiplicando y dividiendo por un factor de forma Ca:

El factor de forma determinado empíricamente para un yacimiento

cilíndrico con su pozo ubicado en centro del mismo es: Ca = 31.62


Partimos de la ec. 1.6 del libro de Lee. Para tiempos muy largos (periodo

pseudoestable), tD , entonces: 0

La ecuación queda reducida a:


Reemplazando tD y reD por sus respectivas ecuaciones, resulta la ecuación

1.12:

Diferenciando respecto al tiempo:

Volumen poroso del yacimiento: Vp = re2h

Despejando re2h, y reemplazando en la ec. anterior, resulta la ec. 1.13:

17. DEMOSTRACION ECUACION 1.15 APARTIR DE LA 1.12 J.LEE

Utilizando la definición de compresibilidad isotérmica, se puede calcular la

caída de presión por hora de producción en pc:

,

donde V = 5.615 qB (t/24) = 0.234 qBt

Reemplazando los valores, queda la ec. 1.14:


Reemplazando la expresión anterior en la ec. 1.12, resulta la ec. 1.15:

18. DETERMINACION DEL VOLUMEN POROSO EN UNA PRUEBA

EXTENSA Pr

19. EJERCICIO SUPERPOSICION EN EL TIEMPO Y ESPACIO

(EJER.1.3)

Un pozo ha estado produciendo durante 5cinco meses. Las tasas de

producción son mostradas en la tabla Nº 1. Se conocen los siguientes

datos de la formación del poZo:

Espesor productor: 65 piesFactor volumétrico: 1423 RB/STBPresión inicial: 3254 psiPorosidad: 21%Compresibilidad total: 1.8*10-5 psi-1

Viscosidad del aceite: 1.1 cpsRadio del pozo: 0.35 piesPermeabilidad: 14mds

Tiempo Tasa (STB/D)


(horas)

1 480 150

2 280 220

3 720 85

4 540 160

5 1580 105

Tabla Nº 1

Determinar la presión del pozo fluyendo, a los cinco meses de flujo.

a) Utilizando el principio de superposición

b) Utilizando la aproximación de Horner

c) Utilizando una tasa promedio para este lapso de tiempo

DESARROLLO

a) Usando el principio de superposición:

T = 5 meses = 3600 hrs

El pozo esta produciendo en un yacimiento infinito.

220

16015010585

480 720 1480 2020 3600 T(horas)

q(STB/D)


t1 = 3600 hrs Xq1 = 9.58*10-9

Ei(-Xq1) = Ln(1.781*9.58*10-9) Ei(-Xq1) = -17.88

q1 = 150 STB/D

t2 = 3600-480 =3120 hrs Xq2= 1.105*10-8

Ei(-Xq2) = Ln (1.781*1.105*10-8)

q2=q2-q1 = 220-150 = 70 (STB/D)

t3=3600-760=2840 hrs Xq3=1.105*10-8

Ei(-Xq3) = Ln (1.781*1.105*10-8) Ei(-Xq3) = -17.64

q3=q3-q2 = 85-220 = -135 (STB/D)

t4=3600-1480=2120 hrs Xq4=1.62*10-8

Ei(-Xq4) = Ln (1.781*1.62*10-8) Ei(-Xq3) = -17.35

q4=q4-q3 = 160-85 = 75 (STB/D)

t5=3600-2220=1580 hrs Xq5=2.18*10-8

Ei(-Xq5) = Ln (1.781*2.18*10-8) Ei(-Xq5) = -17.06

q5=q5-q4= 105-160 = -55 (STB/D)

(q)q = -70.6*(qB/kh)Ei(-x)

(q)q = -70.6*(1.1*1423q/(14*68))Ei(-x)


(q)q = -0.1214q Ei(-x)

(q)q1 =325.7 psi (q)q2 =150.8 psi (q)q3 =-289.19 psi

(q)q4 =158.02 psi (q)q5 =-113.94 psi

q =231.39

q = pi-pw

Pwf=pi-p

Pwf=3254 – 231.9

Pwf= 3022.61 ps

b) Por aproximación de Horner:

Como se ve en la tabulación la ultima tasa se mantuvo por un tiempo

suficientemente largo lo que indica que se puede aplicar el método de

Horner.

Al comprobar lo anterior se tiene:

Esta relación es mayor que dos, luego se puede aplicar Horner

Hallando el tiempo de seudo producción:

Para hallar la producción acumulada se da la tabla Nº2:

Ti (horas) qi (STB/D) Ni=(ti*qi)/24 (STB)


480 150 3000

280 220 2566.66

720 85 2550

540 160 3600

1580 105 6912

Np=18629.16 (STB)

Tabla No. 2

Producción acumulada:

Np= 18629.16 (STB/D) qlas = 105 (STB/D)

Haciendo los respectivos reemplazos se tiene:

tp = 4258.09 hrs

Se halla X =(948* Ctr2/kt)

r=rw =0.35 pies tp = 4258.09 hrs X=8.1*10-9

Ei(-X) = Ln (1.781*8.1*10-9) = -18.05

Pi-Pwf =-70.6*(qlast/kh)Ei(-x) = 230.15 psi

Pwf = Pi-230.15

Pwf = 3254-230.15

Pwf = 3023.85 psi

c) Empleando una tasa promedio para este lapso de tiempo

t = 3600 horas


Para hallar el se halla la tasa promedio por parejas haciendo el recorrido

hacia adelante. Cada tasa promedio que se obtiene se emplea para

promediarla con la tasa siguiente.

t =3600 hrs

X =(948* Ctr2/kt) =9.58*10-9

Ei(-X) = Ln (1.781*9.58*10-9) =-17.88

Pi-Pwf = -70.6*( B/kh)Ei(-x) = 274.13 psi

Pwf = Pi-274.13

Pwf = 3254-274.13

Pwf = 2979.86 psi

20. DEDUCCION ECUACION DE HORNER:

Se tiene el siguiente esquema de una prueba Build-up. Resolver por el

principio de superposición.

tp tp+t

qq1

q2

tp tp+t

P

Pwf

Pws


Aplicando la ec. 1.51 de Lee para el principio de superposición:

Pi–Pws = P1 + P2=-70.6 -70.6

q’2 = q2 - q1 = 0 – q1 = - q1

Despejando Pws, factorizando y eliminando términos, la ecuación se

reduce a:

Pws = Pi + 70.6

Aplicando reglas de logaritmos, podemos reducir la ecuación a:

Pws = Pi + 70.6

Para un manejo en papel semilog, se debe pasar de logaritmo natural a

logaritmo

base 10: Pws = Pi + 162.6

21. DEDUCCION DE LA ECUACION DE DAÑO (MEDIANTE UNA

PRUEBA DE BUILD-UP

20.

tp tp+t

P Pws

Pws 1h


En el momento de cierre:

Despejando Pi y reemplazando en la primera ecuación:

Despejando presiones y pendiente:

Despejando el daño:

Aplicando reglas de logaritmos:

Pwf


Por lo que, en la ecuación de daño, la parte logarítmica quedaría:

Para t = 1h, la expresión es despreciable:

demostraciones de ecuaciones en yaci iii

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