1.1teora PreliminarUn sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan varias funciones incgnitas, las derivadas de esta funcin, las variables con respeto a las que estn definidas y ciertas constantes Este sistema tiene el tiempo t como nica variable independiente y dos funciones incgnitas x(t) e y(t).1.1.1Definiciones (Ecuacin diferencial, orden, grado, linealidad)Como su nombre lo indica, una ecuacin diferencial es aquella ecuacin que contiene algunos trminos diferenciales. Estos son los diferenciales de la funcin que contiene la variable dependiente de la ecuacin diferencial dada. Contiene tambin una o varias variables independientes. El formato general de una ecuacin diferencial es,dy +f(x,y)=g(x) o,dx

Dy(x)+f(x) y (x)=g(x)Al hablar de las ecuaciones diferenciales, tenemos que entender algunas terminologas bsicas relacionadas con estas ecuaciones. Algunas de estas se analizan a continuacin.

1. Orden de una ecuacin diferencial: El orden ms alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuacin diferencial dada es el orden de la ecuacin diferencial. Tomemos un ejemplo para clarificar el trmino.d2y/ dx2 2yx2 = 9xEl diferencial presente en la ecuacin anterior esd2y/ dx2y el orden de este diferencial es segundo. Por lo tanto, el orden de la ecuacin diferencial es uno. 2. Grado de una ecuacin diferencial: El grado ms alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuacin diferencial dada es el grado de la ecuacin diferencial. El siguiente ejemplo debe aclarar la definicin.d2y/ dx2 2yx2 = 9xEn la ecuacin diferencial anterior que contiene el diferencial d2y/ dx2, el grado del diferencial es uno, por lo tanto, el grado de la ecuacin diferencial es uno. 3. Ecuacin diferencial lineal: Una ecuacin diferencial que no contiene trminos como producto de la funcin indefinida ni los del diferencial de la funcin indefinida se llama ecuacin diferencial lineal. Mantenindola recta, todos los trminos coeficientes son funciones que contienen variables aumentadas. Esta es de la forma,b(x)y+c(x)y=d(x) Esta es una ecuacin diferencial lineal de primer orden. 4. Ecuacin diferencial no lineal: Las ecuaciones diferenciales que no se ajustan a las condiciones antes mencionadas son llamadas ecuaciones diferenciales no lineales. Esto significa que una ecuacin diferencial no lineal contiene los trminos donde la variable dependiente y su diferencial aparecen juntos. Un ejemplo de ello sera, Xy+2y+x=1 5. Ecuacin diferencial Cuasi lineal: Una ecuacin diferencial cuasi lineal es un caso especial de la ecuacin diferencial lineal. En este tipo de ecuacin diferencial, la funcin indefinida y sus diferenciales pueden aparecer juntos para todos los trminos excepto para los trminos que contienen el diferencial de ms alto orden. 6. Ecuaciones diferenciales homogneas: Una ecuacin diferencial en la cual cada trmino tiene como coeficiente sea el diferencial de la variable dependiente o la variable dependiente en s es una ecuacin diferencial homognea. 7. Ecuaciones diferenciales no homogneas: Las ecuaciones diferenciales que no cumplen la condicin establecida anterior son llamadas ecuaciones diferenciales no homogneas 8. Solucin general de la ecuacin diferencial: La integracin de la ecuacin diferencial produce una solucin general para aquella ecuacin diferencial. Una ecuacin diferencial ordinaria de orden m que contendra n constantes de integracin que resultan del proceso de integracin en la cascada para m tiempos. 9. Solucin particular de la ecuacin diferencial: El resultado obtenido en el proceso anterior puede ser modificado para obtener una solucin particular mediante la sustitucin de algunos valores de las constantes de integracin.

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sistemas de ecuaciones diferenciales Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o ms ecuaciones en las que aparecen una o ms funciones incgnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo de cintica qumica que estudiamos en la leccin anterior, pero preguntndonos ahora una cuestin diferente y, como veremos, mas complicada. Este tema est dedicado a la discusin de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relacin con varias variables dependientes que son funcin de la misma variable independiente.Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partcula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3las componentes de la fuerza actuante sobre la partcula en dicha posicin, que pueden ser funcin de la posicin, de la velocidad y del tiempo.Hay una importante conexin entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuacin de orden n(1)

puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

Entonces se puede reescribir (1) como

...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.En el caso ms general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:

Antes de proseguir ser necesario establecer en qu caso hay solucin del sistema y si sta es nica. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:Sean continuas en una regin R del espacio (n+1) dimensionallas funciones

y tal que dicha regin contiene el punto. Entonces existe un intervaloen el que hay solucin nica de la forma:

...

del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condicin

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogneosEs de la forma:

Esta se da cuando una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema comn, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogneas. Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuacin anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales estn definidas en algn intervalo, digamos I y la solucin general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuacin anterior, los trminos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j]Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

4.1.3 Solucin General y Solucin Particular de sistema de Ecuaciones Diferenciales LinealesEn general podemos decir que la solucin de un sistema de ecuacin diferencial es llamada solucin general si los valores de las constantes no se obtienen en la solucin final. La misma solucin puede convertirse en una solucin particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuacin diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinacin de los trminos constantes.Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A est dada como, Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solucin general del problema se da como, Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 1 0 +s1* 1 1La solucin particular de este problema sera vT(p) = (1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solucin homognea dando el vector propiov1.

Y la solucin general del problema es,

4.2 Mtodos de solucin para sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias tcnicas para resolver una ecuacin diferencial lineal, tambin las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el mtodo de eliminacin de Gauss, mtodo separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como, Entonces, la representacin de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales ser,

1.Motivacin2.NotacinVectorial3. Sistemas LinealesHomogneos4. Sistemas LinealesHomogeneces

4.2.1 Mtodo de los operadores. Un operador es un objeto matemtico que convierte una funcin en otra, por ejemplo, el operador

Derivada convierte una funcin en una funcin diferente llamada la funcin derivada. Podemos

Definir el operador derivada

Dque al actuar sobre una funcin diferenciable produce la derivada de esta, esto es:

D0f(x) =f(x);D1f(x) =f0(x);D2f(x) =f00(x); : : : ;Dnf(x) =f(n)(x):Es posible construir la siguiente combinacin lineal con los operadores diferenciales:P(D) =a0+a1D+a2D2++anDn; an6= 0:(1)Dondea2; a1; a2; : : : anson constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial de orden n.Por otro lado, recordemos que una ecuacin diferencial lineal de ordenncon coeficientes constantes es una ecuacin de la forma A

ny(n)+an1y(n1)++a2y00+a1y0+a0y=Q(x);(3)Por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta comoP(D)y=Q(x):(4)El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedadesSif1(x) yf2(x) son dos funciones diferenciables de ordenn, entonesP(D) [f1(x) +f2(x)] =P(D)f1(x) +P(D)f2(x)Dondeyson constantes. Adems:Siy1(x); y2(x); : : : ; yn(x) sonnsoluciones de la ecuacin diferencial homogneaP(D)y= 0Entoncesyh(x) =C1y1(x) +C2y2(x) ++Cnyn(x) es tambin una solucin.Siyh(x) es una solucin deP(D)y= 0 yyp(x) es una solucin deP(D)y=Q(x) entoncesy(x) =yh(x) +yp(x) es una solucin deP(D)y=Q(x).

4.2.2 Mtodo Utilizando transformada de Laplace La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemtico francsPierre-Simon Laplace, que la present dentro de su teora de la probabilidad. En 1744,Leonard Eulerhaba investigado un conjunto de integrales de la forma: como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundiz en ellas y pronto abandon su investigacin.Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, tambin investig ese tipo de integrales, y las lig a la teora de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma: Que algunos historiadores interpretan como autnticas transformadas de Laplace.Este tipo de integrales atrajeron la atencin de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trat de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso ms all, y reenfoc el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en da se entienden. Us una integralde la forma: anloga a latransformada de Mellin, con la que transform una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica de la que busc su solucin. Plante alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoci que el mtodo deJoseph Fourierpara resolver por medio deseries de Fourierlaecuacin de difusinpodra relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones peridicas.Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad ajeno a su moderna aplicacin en la fsica y la ingeniera, y ser tratadas sobre todo como objetos matemticos meramente tericos.La moderna aplicacin de las transformadas de Laplace y toda su teora subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teora de vibraciones, el ingeniero inglsOliver Heaviside(1850-1925) descubri que los operadores diferenciales podan tratarse analticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el"clculo operacional", si se tiene una ecuacin diferencial de la forma: donde D es el operador diferencial, esto es,, entonces la solucin general a dicha ecuacin es de la forma:.Heaviside observ que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solucin de toda ecuacin pareja a la de arriba. En efecto, segn la solucin general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuacin diferencial de segundo orden como la siguiente:

sta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendra que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresin integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solucin de la ecuacin diferencial:

Heaviside public sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la fsica y la ingeniera hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las crticas de algunos matemticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podan surgir de tal forma. No obstante, el xito del mtodo hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y fsicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atencin de cierto nmero de matemticos tratando de justificar el mtodo de manera rigurosa. Tras varias dcadas de intentos, se descubri que la Transformada descubierta por Laplace haca un siglo no slo ofreca un fundamento terico al mtodo de clculo operacional de Heaviside, sino que adems ofreca una alternativa mucho ms sistemtica a tales mtodos.Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirti en una herramienta comn de la teora de vibraciones y de la teora de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con ms xito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas ms significativas radica en que laintegracinyderivacinse convierten enmultiplicacinydivisin. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinmicas, mucho ms fciles de resolver. Tambin se aplica en EDP y ecuaciones diferenciales en diferencias.PropiedadesLinealidad

Derivacin

==Integracin

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota:es lafuncin escaln unitario.Desplazamiento potencian-sima

Convolucin

Transformada de Laplace de una funcin con periodop

Condiciones de convergencia(que crece ms rpido que) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que, es una funcin de orden exponencial de ngulos.Teorema del valor inicialSea una funcinderivable a trozos y queEntonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.Teorema del valor finaSeauna funcin derivable a trozos tal que.Entonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.Tabla de las transformadas de Laplace ms comunesLa siguiente tabla provee la mayora de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada trmino

4.3 Aplicaciones Sistemas de ecuaciones diferenciales linealesAplicaciones de los Sistemas de ecuaciones diferenciales linealesLos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se discuten a continuacin.1. Problema mecnico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa est libre de friccin. Los dos cuerpos estn conectados entre s con la ayuda de un resorte. Este resorte est en una posicin no estirada. Tambin cada uno de estos cuerpos est conectado a una superficie esttica con la ayuda de los resortes. Una vez ms, estos resortes no estn estirados. La constante elstica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situacin anterior puede ilustrarse como,

Aqu O1 es la posicin inicial del primer cuerpo y O2 es la posicin inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posicin de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier direccin y luego soltarlos. Un ejemplo de esto es,

En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posicin de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posicin de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posicin esttica por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posicin esttica por una distancia de x2 x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras estn actuando sobre el primer cuerpo, estas son: La fuerza del primer resorte la cual acta en direccin izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak11. La fuerza del segundo resorte que acta en direccin derecha. Esta fuerza es igual a k2(x2 x1). Esto nos da la ecuacin del movimiento,

De manera similar, la ecuacin del movimiento para el segundo cuerpo es,

Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y pueden resolverse mediante el uso de las tcnicas de solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.2. Problemas elctricos: Muchos de los circuitos elctricos pueden ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales. Sea un circuito elctrico dado como,

Ahora, mediante la aplicacin de Kirchhoff se tiene la ecuacin del flujo de corriente en un nodo como,

Esta ecuacin puede ser reducida como,

De manera similar, la ecuacin del flujo de corriente del nodo dos se da como,

Esta ecuacin puede ser reducida como,

Ahora, aplicando la ley de Kirchoff a la parte izquierda del circuito dado. Por lo tanto tenemos,

Del mismo modo, mediante la aplicacin de la ley de Kirchoff a la parte derecha del circuito dado obtenemos,

Ahora, diferencia las dos ltimas ecuaciones para obtener el sistema de ecuaciones como,

Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para las variables i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con la ayuda de estas dos variables. Un punto importante a mencionar es que pueden existir ms que ecuaciones para el ejemplo anterior. Por ejemplo, una de las ecuaciones puede ser,