MATERIAL DE USO DID CTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD T CNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCI N TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIOOCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008Reciba asesora virtual en: www.utpl.edu.ecCICLOUNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA2ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN TrigonometraGua Didctica DATOS DE IDENTIFICACIN:MENCIN:Fsico - MatemticasPROFESOR(A):Lic. Salvador Granda LassoTELFONO:(07) 2 570 275 Ext. 2340E-MAIL:esgranda@utpl.edu.ec TUTORA:Lunes a Jueves de 07h30 a 08h30Estimado Estudiante, dgnese confirmar la informacin aqui sealada llamando al Call Center 072588730, lnea gratuita 1800 887588 o al mail callcenter@utpl.edu.ecTRIGONOMETRAGua DidcticaSalvador Granda Lasso 2006, UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJADiagramacin, diseo e impresin:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador Primera edicinPrimera reimpresinReservados todos los derechos conforme a la ley. No est permitida la reproduccin total o parcial de esta gua, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.Julio, 2007NDICEINTRODUCCINOBJETIVOS GENERALESBIBLIOGRAFAORIENTACIONESPARA EL ESTUDIOPRIMER BIMESTREOBJETIVOS ESPECFICOSCONTENIDOS DESARROLLO DEL APRENDIZAJECAPITULO I: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS CAPITULO II: NGULOS AGUDOS Y TRINGULOS RECTNGULOSCAPITULO III:MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARESSEGUNDO BIMESTRE OBJETIVOS ESPECFICOSCONTENIDOSDESARROLLO DEL APRENDIZAJECAPITULO IV: GRFICAS DE FUNCIONES CIRCULARES CAPITULO V: IDENTIDADES TRIGONOMTRICASCAPITULO VI: FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Y ECUACIONESTRIGONOMTRICASSOLUCIONARIOANEXOSu EVALUACIONES A DISTANCIA57791314151523293940414149576385...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Trigonometra,esunaramadelasmatemticasqueestudialasrelacionesentrelos ladosylosngulosdetringulos,delaspropiedadesyaplicacionesdelasfunciones trigonomtricasdengulos.Lasdosramasfundamentalesdelatrigonometrasonla trigonometra plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa de tringulos que forman parte de la superficie de una esfera.Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia y la astronoma, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no poda ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometra se pueden encontrar en la fsica, qumica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenos peridicos, como el sonido o el flujo de corriente alternaConestosantecedentespodemosdecirqueesunapocaenlacualelcambiodelos seres humanos en todos los mbitos, es fundamental, para conseguir el desarrollo que lasociedadrequiere,unprogresosustentableydecalidad,paralocuallaeducacin constituye el elemento social que evidencia el avance o retroceso de los pueblos; es as que, en este contexto, se aspira que el estudio y aplicacin de la matemtica evolucione comotrasuntosimblicodeluniversoydelasociedadenparticular.Escomosiel universomismohubieseinvolucradoalahumanidadenelaprendizajedeella;as mismo junto a ello tenemos su utilidad inmediata y aplicacin, razones por las que se hancreadomultituddeestructurasysistemas.Porestaperspectiva,entreotras,hay que emprender el estudio de la matemtica en general y, en especial, de Trigonometra, porque su estudio es parte de la formacin del maestro de Fsica y de Matemtica y el soporte de varios temas de fsica, de topografa, de geometra y del clculo. Distinguidos estudiantes, vuestra dedicacin al estudio, os permitir buscar la verdad y formaros como hombres o mujeres, a travs de la ciencia para que sirvis a la sociedad, el aprendizaje y aplicacin de la matemtica es el xito, es la razn fundamental de su existencia, continuad y llegad con xito a la meta trazada. Laguatienecomopropsitobrindarunapoyometodolgicoparaelestudiode Trigonometra, para desarrollar categoras de aplicacin, anlisis, sntesis y generalizacin, as como la creacin y uso de destrezas intelectuales y motrices; de ah que, la finalidad delaGuaDidcticaesorientarsuestudioparalaautoformacindelestudiantedel Sistema de Estudios a Distancia. Apreciadosestudiantes,lavisinquetengansobrelanaturalezadelamatemticaes importanteparaorientarsuestudiobasadoenvaloresculturalesysocialesycrearun desarrollo sostenido en beneficio del medio ambiente que os rodea y de vosotros mismos; de igual forma para capacitaros en la construccin y generacin de nuevas concepciones matemticas. Con esta visin, se estudiarn en el primer bimestre los captulos: Funciones Trigonomtricas,ngulosagudosytringulosrectngulos,Medidasenradianes yFuncionescirculares,yenelsegundobimestreGrficasdeFuncionescirculares, Identidades trigonomtricas, Funciones circulares inversas y ecuaciones trigonomtricas. INTRODUCCINGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Captulos que han sido programados por su gran aplicabilidad tanto en el ejercicio de la docencia como para cursos superiores de Matemtica. Para estudiar Trigonometra debe dedicar por lo menos una hora y media diaria al anlisis ycomprensindeloscontenidostericosqueluegosernaplicadosenlasolucinde ejerciciosyproblemas,estudioquedeberealizarloenformasistemticayordenada. Para lograrlo, la gua contiene ejercicios resueltos. Sobre temas mas importantes y con mayordificultad,delamismamaneraalgunasaclaracionesorecomendaciones,auto evaluaciones,actividadesrecomendadasyorientacionesprcticasqueservirnpara conseguir aprendizajes significativos. Laevaluacinesformativa-sumativa,conformadapordosevaluacionesadistancia las mismas que estn estructuradas en dos partes; la primera, consta de un cuestionario objetivo y la segunda es un cuestionario de ensayo. Contienen problemas de aplicacin oactividadesdereflexinyconstruccin.Delamismamaneratenemosevaluaciones presencialesqueestnestructuradasporpreguntasdealternativamltipleyde verdadero o falso. Con el primer trabajo a distancia se evala el primer bimestre y con el segundo trabajo a distancia se evala el segundo bimestre .Los trabajos a distancia o evaluaciones a distancia sirven de estrategia de aprendizaje y tiene una valoracin de 6 puntos (la parte objetiva 2 y la parte de ensayo 4), mientras que las presenciales tienen una valoracin de 14 puntos que sumados con los trabajos a distancia tienen un total de 20. Comoestudiantedelacarreradedocencia,debispreparaosparacumplirelproceso enseanza-aprendizaje, as que, iniciad la misma con entusiasmo pues, ser Maestr@, es unaprofesindignaymaravillosa,deservicioyformacindejvenesqueaspirana formar en el maana una sociedad mejor, ms justa y equitativa. Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

InteriorizarlasdefnicionesbsicasqueseutilizanenTrigonometra Analizar las identidades trigonomtricas, las variaciones y grfcas de lasfunciones. Aplicarlasleyes,losprincipiosyteoremaspararesolverproblemas. Utilizar el anlisis trigonomtrico para elaborar estructuras matemticasfundamentalesparaelestudiodematemticassuperiores. Aplicarlasfrmulas,losteoremasylosprincipiospararesolverproblemasrelativosatringulosrectngulosyoblicungulos. Potenciarlascapacidadesdelosalumnosqueseformanparamaestros,paraqueseorientensusactividadesparaquerelacionenlosejerciciosconsituacionesdelavidareal,conlalocalizacinyeldiseotrigonomtrico.Texto Bsico- LialMaragaretL.;HornsbyJohn;SchneiderDavidI.yMarkDugopolsky(2006)TRIGONOMETRA,Octavaedicin,PearsonEducacin,Mxico El texto presenta los temas de Trigonometra con un anlisis actualizado y conuna orientacin metodolgica para que el estudiante comprenda los conceptosmatemticos.Adems,contienevariedaddeejerciciosresueltosparareforzarlosconceptos,ascomoejerciciospropuestosparaqueelestudianteestime,calculeeinterpreteunresultado.Seproponenactividadesparaescribirresmenes,elaborarmodelosodetermineunageneralizacinysepresentaelmanejoactualizadodelacalculadoragrafcadora. El texto bsico Trigonometra contiene todos los temas que abarca el pnsum dela asignatura, con ilustraciones que demuestran el uso de defniciones, leyes yteoremas,contablasyejemplosqueofrecenunafcilcomprensindepropiedades,leyesgrfcas,relacionesydefniciones.Incluyeaplicacionesquetienenlafnalidadderelacionarlosejerciciosconacontecimientosdelavidareal.- GrandaEulerSalvador,(2007)GuaDidcticadeTrigonometraU.T.P.L.OBJETIVOS GENERALESBIBLIOGRAFAGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Es un material elaborado con la fnalidad de viabilizar el autoaprendizaje de laasignatura, con una metodologa apropiada para los estudios a distancia se haprogramado estrategias de aprendizaje que optimizan los recursos para lograraprendizajessignifcativos.Complementaria SWOKOWSKI,EarlyJefferyA.COLE,(2001),TRIGONOMETRIA,Internacional ThomsonEditores.Mxico. El texto complementario ha sido seleccionado para ayudar al estudiante de staasignatura, porque presenta los contenidos con una orientacin metodolgica,y se puede encontrar una variedad de ejercidos resueltos y propuestos para sudesarrolloydestamaneraestarpreparadoparalasexigenciassocialesquesenospresentencomomaestros. ENRQUEZ, Nancy, (1994), TRIGONOMETRIA, Editorial UTPL, San Cayetano,Loja. Es un texto autoinstruccional con una metodologa concebida para mejorar enformadidcticaelestudiodeTrigonometra,yaquepermitealestudianteelaborarsupropioconocimientoyconseguiraprendizajessignifcativos,contienetodoslostemasbsicosdelaasignaturaconunavariedaddeejerciciosresueltosqueayudanpara la comprensin de los mismos. Adems, posee actividades de refuerzo,resmenesdelosmdulosdeestudioconlasconceptualizacionesbsicasnecesariasparacontinuarconlostemasposterioresyalfnaldecadaunidadseencuentranlasautoevaluaciones, con soluciones y comentarios para que el estudiante verifquesuslogros. GRANVILLE,SMITHyMIKESH(1969),TRIGONOMETRAPLANAYESFRICA,UTEHA,Mxico. Este texto contiene una amplia gama de ejercicios desarrollados y problemas deaplicacinalosdiversoscamposdelaciencia.Presentaunaampliaexplicacindelasfuncionestrigonomtricasdeunamanerafuncional,claraysencilla.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Recuerde que la trigonometra debe ser estudiada en forma sistemtica y ordenada para que su aprendizaje sea significativo, le sugiero tome encuenta lo siguiente: Esimportantequetrabajeparalelamentelaguayeltexto,paramejorentendimientodeloscontenidos,eltextoguaestadivididosenseiscaptulos,trescaptulosparaelestudiodelprimer bimestrequeestacomprendidodesdelapgina1hastalapgina 129 y para el segundobimestre los otros tres captulos que comprendedesdelaspginas131hastalapagina274;Cabeaclararqueenlaprimeraunidad(prerrequisitos) se encuentran temas que ayudan a la compresin de una mejormaneraelestudiodelatrigonometraylasptimaunidadseencuentraunavariadagamadeejerciciosdeaplicacinenlavidapractica;porloquelerecomiendonodejarlosdeladoyaqueleayudaranaconseguirlosobjetivosplanteadosenesteciclodeestudios. Leadetenidamentelainformacincorrespondientealoscontenidos. Subrayeloquecreaimportanteencadaunodelostemas. Comprendayaprendaloscontenidos. Analice los ejercicios resueltos para que pueda proponer y resolver losproblemas. Resuelvalosejercicioshastatenerundominiodeltema. Noseolvidedecontestarlaautoevaluacinqueconstaencadacaptulo,comparesurespuestaydetermineellogrodesuaprendizajesignifcativo. Enelestudiodelatrigonometraselerecomiendautilizar,desuvaliosotiempoporlomenosunahoraymediadiarias. Lerecuerdoqueenlasevaluaciones presnciales,paraobtenerunpuntajedeporlomenos14puntosesnecesariotener35aciertosde50preguntasdicotmicas,ysisonlaspreguntasdeseleccinmltiplesedebeobtenerporlomenos28aciertosde40preguntasparatenercomomnimo14puntos.Sinoestsegurodelarespuestanocontestealapreguntaporqueporcadaerrorseleanulaunacierto. Si usted tiene acceso al Internet, le adjunto direcciones, con la fnalidad de querevise temas de trigonometra y nuevas formas de estudio, as como resolverproblemasqueusteddiariamenteseplanteeotenganecesidadderesolverlo.ORIENTACIONES GENERALESGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA101. http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometra%C3%ADaContiene: Unidadesangulares. Funcionessenoycoseno. Funcintangente. Frmulastrigonomtricaselementales. Identidadestrigonomtricas. Funcioneshiperblicas.2. http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/trigonometria.htmContiene: Identidadestrigonomtricas. Resolucindetringulosrectngulos. Resolucindetringulosoblicungulos.3. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trig...Contiene: Enesteartculoseencuentraformasderesolverecuacionestrigonomtricasenformagrfcayanalticamente. Presenta varios ejemplos resueltos y en detalle la forma de trabajar concalculadora.4. http://www.profesorenlinea.cl/trigonometria/TrigonometraHistoria.htmContiene: Historiadelatrigonometra Le sugiero revisar mtodo: resolucin de problemas puesto a continuacin,esperoqueleservirmuchoparahallarplantearlasolucindelosproblemas.MTODO PARA SOLUCIONAR PROBLEMASSegn la editorial Santillana. Quito. Ecuador.Este mtodo contiene estrategias para solucionar tanto problemas trigonomtricos como cualquierproblemaquenecesiteresolver,peroparautilizaresteprocesoesnecesario seguir los siguientes pasos:1. Comprensindelproblema Identifcaryorganizarlosdatos. Hacerundiagrama HacerunesquemaundibujoGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA11 Imaginarproblemas Leertodoelproblemayluego,parteporparte. Asociarelproblemaaotroyaconocido Plantearlapreguntadeotramanera. Escenifcarelproblema.2. Bsquedaydeterminacindealternativasparasolucionarelproblema. Elegirlapreguntaquesedeberesolverprimero Seleccionarlosdatosindispensables Plantearunarespuestaposible Realizarclculosaproximados Razonarvariasalternativasdesolucin Refexionarsobrelaposibilidadderesolverelproblemaporelfnal. Pensarenlarelacinquehayentrelosdatos Hacerpruebasportanteo.3. Ejecucindelaalternativaelegida. Realizarlaoperacin(es)matemticas. Completarlosdatosdeldiagrama. Aplicarelensayoerror Elegirlaprimeraoperacin.4. Verifcacindelresultado Compararlasolucinconloscompaeros. Probarotrasestrategiasdesolucin. Elegirlasolucin. Reemplazarlosdatosenelproblemainicial Verifcarquelosalgoritmostenganunasecuencialgica.5. Proyeccindelproblemaresuelto. Proponerunproblemasimilarconunasituacincotidiana. Asociarelproblemaconotrosquesepresentenennuestravida. ConstruirmodelosGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA12EstimadoscompaerossedirigeaustedessuamigoSalvadorGrandaquientieneel privilegio y el agrado de orientarlos en los conocimientos trigonomtricos mediante las tutoras telefnicas y correo electrnico Cada persona tiene la responsabilidad de recorrer un camino particular en un proceso lento e infalible. Lo que siguen adelante con fe, esperanza, conmetas,objetivos,poniendoenaccinsusvaloreshumanos, actitudes positivas, talentos, habilidades, buenos h-abitos, inteligencias, competencias; alcanzarn lo ms excelso de la vidaTomado del manual de TriunfadoresGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA13 Convertirmedidasangularesdeunsistemaaotro. Deducir funciones trigonomtricas de ngulos agudos de cualquiermagnitud. Deducirlasidentidadestrigonomtricasfundamentales. Aplicar las identidades fundamentales para demostracin deidentidadestrigonomtricas. Resolverproblemasrelativosatringulosrectngulos.OBJETIVOS ESPECFICOSPRIMERRIMERBIMESTREBIMESTREGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA14CAPITULO I: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 1.1: NGULOS1.2: RELACIN DE NGULOS Y TRINGULOS SEMEJANTES1.3: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 1.4: USO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS CAPITULO II: NGULOS AGUDOS Y TRINGULOS RECTNGULOS2.1: FUNCIONES TRIGONOMTRICASY NGULOS AGUDOS 2.2: FUNCONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NO AGUDOS 2.3:DETERMINACINDELOSVALORESDELASFUNCIONES TRIGONOMTRICAS CON EL USO DE UNA CALCULADORA 2.4: SOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS2.5: MS APLICACIONES DE LOS TRIANGULOS RECTANGULOSCAPITULO III: MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARES3.1: MEDIDAS EN RADIANES 3.2: APLICACIN DE MEDIDAS EN RADIANES 3.3: EL CRCULO UNITARIO Y LAS FUNCIONES CRCULARES 3.4: RAPIDEZ LINEAL Y ANGULARNopuedocambiarladireccindel viento,perosajustarmisvelaspara llegar siempre a mi destino.JAMES DEAMCONTENIDOSGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1 Elcontenidocientficoqueustedencontraraalhacerlarevisindeestecapituloque comprende desde la pgina 2 hasta la pgina 129, es muy importante que tome encuenta la simbologa que este autor utiliza e ir aprendiendo las definiciones que se utilizaran en el desarrollo de los ejemplos y a la vez en todo el proceso del estudio de la trigonometra. Para el aprendizaje ser necesario que se tome en cuenta lo siguiente.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Para aprender estos temas, le sugiero las siguientes actividades: 1. Conceptualice el ngulo desde el punto de vista trigonomtrico, la posicinestndardeunngulo.2. DetngaseenelestudiodelossistemasdemedidasangularesdelaguayaqueeneltextobsiconoseencuentranestoscontenidoslomismosquesonmuyimportanteparalaconversindemedidasangularesoSexagesimal,cuyaunidaddemedidaeselgradosexagesimal;Radiantalocclica,enlacualelradianessuunidad.3. Revise los conceptos fundamentales para que interiorice los contenidos de launidad,quelepresentanlasrelacionesentregradosyradianesyloscambiosdemedidasangulares.4. Estudieelprocedimientoparacambiarradianesengrados,minutosysegundosyviceversa,queseencuentranenlaspginas4y5deltextobsicoylagua.5. Analicelasilustracionesdelaguaquelepermitencomprenderlaformadecalcularlalongituddeunarcodecircunferenciayelreadeunsectorcircular.6. Inicie la elaboracin de su formulario, ya que le ser de gran ayuda para laresolucindeproblemas.8. Resuelvaalgunosdelosejerciciosplanteadoseneltextobsico.CAPTULO I FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DESARROLLO DELAPRENDIZAJEGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA11.1.NGULOSUn ngulo es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extiendendesdeP.ElpuntoPeselvrticedelnguloylosrayossonlosladosdel ngulo.El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ngulo.El ngulo comienza en la posicin del lado inicial y gira alrededor del punto final comn P en un plano hasta que alcanza su posicin terminal. lados terminal

p lado inicialr

Una rotacin en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ngulo positivo (Figura1)yunarotacinenelsentidodelasmanecillasdelrelojproduceunngulo negativo (Figura 2).El tamao de la rotacin en cualquier direccin no est limitado. Dos ngulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ngulos se llaman ngulos coterminales.ladolado inicialterminallado terminallado inicialladoinicialngulo positivo ngulo negativoy ngulos coterminalesNota:ngulo positivongulo negativo

Figura 1Figura 2Figura 3Unnguloenunsistemadecoordenadasrectangularestenlaposicinnormalo estndar si su vrtice est en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x.Si el lado terminal de un ngulo que est en la posicin normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ngulo cuadrantal.Observa la ilustracin a continuacin.lado terminal

vrtice lado inicial ngulo en posicin normal ngulo cuadrantal Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1Defniciones:Un ngulo llano es un ngulo que mide 1800.Un ngulo recto es un ngulo que mide 900.Un ngulo agudo es un ngulo que mide menos de 900.Un ngulo obtuso es un ngulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ngulo central es un ngulo cuyo vrtice est en el centro del crculo y cuyos lados son radios del crculongulo llano ngulo recto ngulo agudo ngulo obtuso

ngulo central

Dosngulospositivossoncomplementariossisusumaes900.Dosngulosson suplementarios si su suma es 1800.Nota: Los ngulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ngulos cuadrantales (ngulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x y).1. Realiceunresumensobrelaterminologabsicaqueseempleaenlosngulos2.- Cmoseformanlosngulossuplementariosycomplementarios?Qumedidatienen?3.- Aqusedenominanguloscoterminales?Autoevaluacin I Cadahombrepuedemejorar su vida mejorando su actitud. - Hctor TassinariGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA11.2. Relacin de ngulos y Tringulos semejantes En esta seccin se analizar el concepto de semejanza de tringulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solucin de problemas.Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizar solamente el concepto de semejanza.Paraloquesequiererealizar,esnecesarioelconocimientodeloquesonlados correspondientesyloqueesproporcionalidad,paraelloconsiderelafiguraquese muestra abajo en la que los lados correspondientes son respectivamente:c y c (lado grande y lado grande)a y a (lado pequeo y lado pequeo)b y b (lado mediano y lado mediano) Observequealrealizarladivisinentrelosladoshomlogos(correspondientes)el resultadoqueseobtienees2(dividiendo10entre5,8entre4y6entre3),estevalor recibe el nombre de razn y cuando la razn es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.El concepto de semejanza en la vida cotidianaCuando se utiliza el trmino de semejanza en el lenguaje cotidiano, a qu nos estamos refiriendo?Ser acaso: Unobjetoquesepareceaotro Objetosdeigualtamao Objetosdeigualforma ObjetosexactamenteigualesEsdifcilpoderseleccionarunaopcinquerespondacorrectamentealapregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversacin, el significado y utilizacin delapalabrasemejanza,podrahacerreferenciaaobjetosqueseparecenentamao, forma o exactamente iguales, entre otros.Por ejemplo:1. ElcolordelautomvildePedroessemejantealcolordelautomvildeMara.2. LaestaturadeMarcelaessemejantealadeEnriquec = 5 cma = 6 cma = 3 cmc = 10 cmb = 8 cmb = 4 cmGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA13. La llave que usa Sofa, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de suhermanoJos.Resumiendo:elusodelconceptodesemejanzaenellenguajecotidianoserefieraal parecido, en una o ms caractersticas, que existe entre dos personas u objetos.El concepto de semejanza en matemticaEl concepto de semejanza en matemtica est muy ligado al concepto de proporcionalidad. Enestacienciasedicequedosobjetossonsemejantessiguardanunaproporcin entreellos.Veamosalgunosejemplosdelarelacinexistenteentresemejanzay proporcionalidad.1. Un gegrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para elloutilizaunmapa.Sepercataquelaescalautilizadaenelmapaesde1:5000,es decir, un centmetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtienequeesde3cm,locualrepresenta15000metrosenlarealidad.Notequeelmapaesunarepresentacinsemejanteaunaporcindelgloboterrqueo,deallque,debaguardarunamismaproporcin,conelfndequelasmedidasquesetomensobrelseanlomscercanasasuvalorreal.2. Dosanillosidnticos,cuyosdimetrossonexactamenteiguales,guardanlamismaproporcinysemejanzaentrecadaunadesuspartes(circunferencia,radio,rea,dimetro).Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporcin entre cada una de sus partes respectivas.Semejanza de tringulosYa se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemtico.Se aplicarn ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de tringulos.Se podra afirmar, con lo que ya se conoce, que dos tringulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporcin.DefinicinDostringulossonsemejantessilosnguloshomlogossoncongruentesyloslados homlogos son proporcionalesGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA201. CulessonlasmedidasdelosngulosdeltringuloABC?2. CulessonlasmedidasdelosngulosdeltringuloABC?3. Qurelacinexisteentreambasmedidas?4. Cul es la razn existente entre los lados homlogos, o sea, los ladoscorrespondientes?5. Sonproporcionaleslosladoshomlogos?6. Creesupropiadefnicindetringulossemejantes Paraampliaryreforzarsusconocimientoslesugieroremtasealtextobsicodesdela pgina 9 hasta la 20, adems resuelva los ejercicios propuestos para mayorcomprensindeltema.1.3. Funciones trigonomtricasLas funciones trigonomtricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ngulo. Se dice que un ngulo situado en un plano de coordenadas rectangulares est en su posicin normal si su vrtice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P est situado en una lnea recta que pasa por el origen y que formaunnguloqconlapartepositivadelejex.Lascoordenadasxeypuedenser positivasonegativassegnelcuadrante(I,II,III,IV)enqueseencuentreelpuntoP; x ser cero si el punto P est en el eje y o y ser cero si P est en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x2+ y2, aplicando el teorema de Autoevaluacin IICreoquepartedemiamoralavidaselo debo a mi amor a los libros.Bioy Casares.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA21Pitgoras.II(-, +)P(x, y)I(+, +)III(-, -)IV (+, -) FIGURA 3 Las seis funciones trigonomtricas ms utilizadas se definen de la siguiente manera:

seno (sen) del ngulo = sen = yrcoseno (cos) del ngulo = cos = xrtangente (tg) del ngulo = tg = yxcotangente (cotg) del ngulo = cotg = xysecante (sec) del ngulo = sec = rxcosecante (cosec) del ngulo = cosec = ryComo la x y la y son iguales si se aaden 2p radianes al ngulo es decir, si se aaden 360 es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadassusrespectivasdefiniciones,tresfuncionessonlasinversasdelasotrastres,es decir, cot g 1tg; sec 1cos; cosec 1senSi el punto P, de la definicin de funcin trigonomtrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la divisin por cero no est definida en el conjunto de los nmeros reales, la tangente y la secante de esos ngulos, como 90, 270 y -270 no estn definidas. Si el punto P est en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ngulos, como 0, 180 y -180 tampoco est definida. Todos los ngulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA22Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varan entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.Comosehapodidoverenlosanterioresapartados,elvalordelasfunciones trigonomtricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son slo funcin del ngulo.Si q es uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonomtricas dadas ms arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuacin. Si el vrtice A estuviera situado en la interseccin de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y as sucesivamente:

Ejercicios PropuestosEnlosejercicios1y2sedanlascoordenadasdeP;calculeelvalordelasfunciones trigonomtricas del ngulo correspondiente.1.- , P(-3,4)2.- , P(5,-1)Autoevaluacin III sen = opuestohipotenusa= accos = adyacentehipotenusa=bctg =opuestoadyacente=abcotg = adyacenteopuesto = basec = hipotenusaadyacente =cacosec = hipotenusaopuesto =rycBCabA 90Figura 4Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA23Para ampliar y reforzar sus conocimientos le sugiero remtase al texto bsico desde la pgina 20 hasta la 26, adems resuelva los ejercicios propuestos para mayor compren-sin del tema. 1.4 Uso de las definiciones de las funciones trigonomtricas En este capitulo se har la definicin y uso de las identidades reciprocas, signos y rangos delosvaloresdelasfunciones,identidadespitagricasydecocientes.Amedidaque avancemos en nuestros estudios la abordaremos ms profundamente.Enestoscasosvamosautilizareltextobsicopararealizarejercicioseinteriorizar algunos ejemplos de ejercicios de este tema, por favor remtase alas pginas 27 a la 36 2.1. Funciones trigonometrcas y ngulos agudos Razones trigonomtricas Debido a que un tringulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cadaparejadeestoslados.Lasrazonestrigonomtricasdeunnguloagudoenun tringulo rectngulo son las siguientes:

Seno: razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Cualquiera puede simpatizar con las penas de un amigo, simpatizarconsusxitosrequiereunanaturaleza delicadsima. - Oscar WildeYo soy slo uno; pero todava soy uno.Yo no puedo hacerlo todo, Pero no me voy a negar a hacer lo poco que puedo hacer.Por: Helen KellerCAPTULO II NGULOS AGUDOS Y TRINGULOS RECTNGULOSaCAbcBABC, rectngulo en AB y C: ngulos agudosa: hipotenusab: cateto, opuesto al B y adyacente al Cc: cateto, opuesto al C y adyacente al BGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA24Coseno: razn entre el cateto adyacente al ngulo y la hipotenusa.Tangente: razn entre el cateto opuesto al ngulo y el cateto adyacente.Cotangente: razn entre el cateto adyacente al ngulo y el cateto opuesto.Secante: razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ngulo.Cosecante: razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ngulo. sen B = cateto opuestohipotenusa = basen C = cateto opuestohipotenusa= ca

cos B = cateto adyacentehipotenusa = casen C = cateto opuestohipotenusa= batan B = cateto opuestocateto adyacente= bc sen C = cateto opuestohipotenusa= cbcot B = cateto adyacentecateto opuesto = cbsen C = cateto opuestohipotenusa= bcsec B = hipotenusacateto adyacente = ac sen C = cateto opuestohipotenusa= abcsc B = hipotenusacateto opuesto = ab sen C = cateto opuestohipotenusa= acTeorema de Pitgoras: Entodotringulorectngulo,el cuadrado dela hipotenusa esigual ala suma delos cuadrados de los catetos. Y, En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.

Ejercicios Propuestos aCAbcBABC, rectngulo en Aa: hipotenusab: catetoc: catetoa2 = b2 + c2b2 = a2 - c2Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA2

1.- Hallar las razones trigonomtricas del ngulo agudo menor de un tringulorectngulosilahipotenusamide5m.yunodeloscatetosmide3m.2.- Setieneunringulorectngulocuyoscatetosmiden8y15m.,hallarlasrazonestrigonomtricasdelnguloagudomayor.Paraampliaryreforzarsusconocimientoslesugieroremtasealtextobsicodesdela pgina 46 hasta la 54, adems resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensin del tema. 2.2. Funciones trigonometrcas de ngulos no agudos 1. NGULOS SUPLEMENTARIOS(y=(180-))Observamosqueobtenemosdostringulosigualesenel primer y segundo cuadrante.sen=y/r=sencos=x/r=-cos tg=sen/cos=-tg2. NGULOS COMPLEMENTARIOS (y=(90-))Observamosquey=xyquex=ysen=sen(90-)=y/r=x/r=coscos=cos(90-)=x/r=y/r=sentg=cotg3. NGULOS QUE DIFIEREN EN 180( y=(180+))Autoevaluacin IVHay tres grupos de personas: los que hacen que las cosas pasen; los que miran las cosas que pasan y los que se preguntan qu pas.Por: Nicholas M. ButlerGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA26 Observamos que y = y y que x = - xsen = sen (180+) = -sencos = cos (180+) = - cos tg = sen / cos = -sen / - cos = tg 4.- NGULOS OPUESTOS. ( y =(360-) )

Observamos que y = - y y que x = xsen = y/r = - y/r = -sen cos = x/r = x/r = - y/r = cos tg = sen / cos = -sen /cos = - tg Ejercicios PropuestosEnlosejercicios4a6deduzcalossignosdelasfuncionestrigonomtricasparael ngulo que se da.4. = 124 5. = 2016. = 666 Paraampliaryreforzarsusconocimientoslesugieroremtasealtextobsicodesdela pgina 55. hasta la 58, adems resuelva los ejercicios propuestos para mayor comprensin del tema. Autoevaluacin VNopermitamosqueningnniosesientedisminuido,niquesuimaginacinseveadisminuidaacausadenuestra ignorancia o falta de accin.Nopermitamosqueunnioseaprivadodelaoportunidaddeaprenderporquenosotrosnodediquemosnuestros recursos para descubrir su problema.No permitamos nunca que un nio dude de si mismo o de su mente porque no nos sentimos seguros de cumplir con nuestro compromiso para su educacin.Por: Allen Martin.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA272.3. Determinacindevaloresdelasfuncionestrigonometrcasconelusodeuna calculadora.En el estudio de esta unidad nos vamos ha referir a los contenidos del texto bsico que seencuentraenlaspginas62ala68debidoaque,esuntemamastcnicoquede razonamientolodejamosparaqueustedlointerpreteyloutiliceenlaresolucinde problemas, por favor no se descuide, porque el buen uso de la calculadora le dar mayor efectividad en la practica y resolucin de ejercicios de cada uno de los temas.2.4. Solucin de tringulos rectngulos Enuntringulorectnguloexistesiempreunngulorecto(90)recibiendoellado opuesto al ngulo recto el nombre de hipotenusa y los otros lados el nombre de catetos. Deunaformageneral,sesueleusarunanotacinqueesnombrarlosngulosconlas maysculasA,ByCyreservanlasmismasletrasminsculasa,bycparaloslados opuestos a cada ngulo. De forma general se suele reservar la letra C para el ngulo recto y por tanto c sera la hipotenusa.Esta al menos es la notacin que nosotros usaremos.En cualquier tringulo rectngulo se tienen que cumplir las relaciones trigonomtricas, y as se cumple: a = c*sen A= c*cos B(b = c*sen B = c*cos A)a= b*tan A = b/tan B (b= a*tan B = a/tan A) etc.y adems se cumplir el conocido Teorema de Pitgoras: a2 + b2 = c2 Resolveruntringuloconsisteencalculartodossuselementos(3ladosy3ngulos) conocidosalmenostresdeellos.Enelcasodeuntringulorectnguloademsdel ngulo de 90, se necesitan otros dos datos, de modo que segn cules se conozcan, se pueden presentar cuatro casos:I) La hipotenusa y uno de los ngulos agudos. (c, A)II) Un cateto y el ngulo opuesto a l. ( a, A )III) La hipotenusa y uno de los catetos.(c, a)IV) Los dos catetos. ( a, b)1.Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm. 2.Resolver un tringulo issceles en el cul la base mide 19,8 m y la altura 12,5 m. Cadaunolabrasupropiacorona, cada quien es hijo de sus obras. JOS INGENIEROSAutoevaluacin VIGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA23. La base de un tringulo issceles es de 64,5 cm y el ngulo opuesto es de 72,8.Calcularelrestodeelementos.4. Unrectnguloposeeunasdimensionesde120,4x70,18m.Determinarlosngulosqueunadesusdiagonalesformaconloslados.5. Untrapecioisscelestiene unasbases de12y 20m.Determinarelnguloen subaseparaqueelladonoparaleloseade6m.6. Resolveruntringulorectnguloeisscelesenelquelahipotenusavale9m.7. Calcularlalongituddelacuerdaquecorrespondeaunngulocentralde64enunacircunferenciade4cmderadio8. Hallarlalongituddelasombradeunarbolde10mdealturacuandolosrayosdelsolformanconlahorizontalunngulode159. Calcularlalongituddelasombradeunrbolde18mdealturacuandoelnguloqueformanlosrayossolaresconelsueloesde22.En el texto bsico encontrara ms especificaciones sobre el tema de la unidad 2.4 en las pginas 68 a la 85.Ademsporfavorrevisarlosresmenesdecadacapituloyresolverlosejercicios propuestos al final de cada unidad.2. 5. Ms aplicaciones de los tringulos rectngulos En esta unidad tenemos mltiples aplicaciones de los triangulo rectngulos por lo que pedimos se remita a la pgina 77 a la 85 para que refuerce los contenidos y adems relace y compruebe los avances de su estudio.Para contestar esta autoevaluacin consulte o remtase a la bibliografa complementaria que se recomienda o cualquier texto de trigonometra.Quin descubri, defini o us por primera vez un Tringulo Rectngulo?Qu teorema es el ms usado en la prctica desde tiempos remotos?Qu propiedad conoces sobre la bisectriz del ngulo recto y en qu se basa?EnquepolgonosqueconocessepuedeyesconvenienteaplicarelTeoremade Pitgoras?En que cuerpos geomtricos del espacio se puede aplicar el Teorema de Pitgoras?Todos somos especiales. Hemos nacido capaces.El truco es descubrir para qu somos capaces.Por: Darcie D.Autoevaluacin VIIGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA23.1. Medidas en radianes As como los segmento se miden en pulgadas, centmetros o pies, los ngulos se miden comnmente en grados o radianes.Definicin: Medicin en gradosUn ngulo formado por la rotacin completa tiene una medida de 360 grados (360).Un ngulo formado por 1/360 de una rotacin completa tiene una medida de 1 grado (10). El smbolo denota grados.Definicin: Medicin en radianesSi el vrtice de un nguloest en el centro de un crculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto aen la circunferencia es s, entoncesmedido en radianes est dado por:

s

Unradineseltamaodelngulocentraldeuncrculoqueintersecaunarcodela misma longitud que el radio del crculo.Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades.Adems, se usa de dos maneras: para nombrar el ngulo y como medida del ngulo. Nota: La medida en radin es un nmero sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un nmero sin unidades.Ejemplos para discusin: Halla en radianes la medida de un ngulo central opuesto a la longitud de un arco s de un crculo de radio r, donde s y r estn dados a continuacin:1) s=8pulgadas;r=4pulgadas2) s=24centmetros;r=8centmetros- Ejercicio de prctica: Cul es la medida de un ngulo central opuesto a un arco de 60 pies en un crculo de radio de 12 pies?Haydosclasesdehombres:aquellosqueduermenysueande noche y aquellos que suean despiertos y de da...esos son peligrosos, porque no cedern hasta ver sus sueos convertidos en realidad.Por: Lawrence of Arabiar = s radianesrCAPTULO III MEDIDAS EN RADIANES Y FUNCIONES CIRCULARESGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA30Conversin entre grados y radianes:La conversin de grados a radianes y de radianes a grados est basada en que:Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes frmulas:Radianes a grados Grados a radianes180 180Usando la calculadoraTambin podemos hacer la conversin de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora.Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.Para cambiar radianes a grados:Ejemplo:5 radiates a gradosCalculadora cientfica Calculadora grfica- Seleccionarel modoradianescon latecla[DRG].- Entrarelnmero5.-Oprimir las teclas [2nd][DRG] hastaobtenerelmododegrados.-Larespuestaes286.50- Seleccionar el modo grados con lasteclas[MODE],[ENTER],[Exit].- Entraralmen[Math].- Elegir.- Entrarelnmero5.- Elegiryoprimir[ENTER].- Larespuestaes286.5Paracambiargradosaradianes:Ejemplo:750aradianesCalculadora cientfica Calculadora grfica- Seleccionarelmododegradosconlatecla[DRG].- Entrarelnmero75.- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hastaobtenerelmododeradianes.- Larespuestaes1.31- Seleccionarelmodoradianesconlasteclas[MODE],[ENTER],[EXIT].- Entraralmen[Math]- Elegir- Entrarelnmero75.- Elegiryoprimir[ENTER].- Larespuestaes1.31180grados = radianes Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA31Ejercicio de prctica:1. Determinesiesverdaderoofalsocadaunodelossiguientesenunciadosy justifque su respuesta: ( ) Enunacircunferenciaderadio5,unradianesunngulomayorqueunradianmedidosobrelacircunferenciaderadio1 ( ) Laamplituddeunnguloqueeseltripledelsuplementomide202. Realiza cada una de las siguientes operaciones a) 5076+183142=b) Calcula2/3delngulo514345c) Dosngulossoncomplementariosyunoes1/5delotro.Calculalaamplituddelosngulos.d) Dosngulossonsuplementariosysudiferenciaesde14.Calculalaamplituddelosngulos.3.Cambia de radianes a grado:a)5 radianes b) 7 6c) -5 124.Cambia de grados a radianes: a)75 b)150 c)-155. Cambia de radianes a grado:a)1radian b) 17 106.Cambia de grados a radianes: a)240 b)2700 Autoevaluacin VIIIGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA327. Completa la tabla a continuacin: Radianes Grados 6 4 3901203 45 6 1802102254 32705 3315Refuercesusconocimientoseneltextobsicodonde,seencuentranalgunostemas sobrelaconversindegrados aradianes o viceversa, determinacinde los valores de la funcin para ngulos en radianes, en las pginas 94,95, 96, y realice los ejercicios que estn en las pginas 97, 98,99.Lacategoradevencidoseobtienedespusde haber luchado, y eso lo distingue del desertor y del cobarde.Sacado de una historia del Maki.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA333.2. Aplicaciones de medidas en radianes.Sobre la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

UnadelasformasmsdifundidasdelaNaturalezaesla circular. Casi todas las formas tienden a hacerse ms o menos redondeadas. Cuando en matemticas un conjunto de puntos tiene una propiedad comn dicho conjunto se denomina lugar geomtrico. El lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de otro, que se denomina centro, es una circunferencia. Elsegmentoderectaqueuneelcentroconcualquierpuntodelacircunferenciaesel radio de la circunferencia.Laporcindeplanolimitadaporunacircunferencia(incluidalamisma)sedenomina crculo y el centro de la circunferencia es el centro del crculo. Sector circular

Sector circular de ngulo .Se denomina sector circular al rea de crculo comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores.La frmula por la cual est dada dicha rea es la siguiente:A =r2 2Sidividimoslalongitudentreeldimetrodela rueda obtenemos un valor que es independiente del tamao de la rueda. Es decir, cualquier rueda, deltamaoquesea,aldarunavueltacompleta recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud entre el dimetro de la rueda siempre obtenemos el mismo valor. Unarueda,aldarvueltacompleta, describe una trayectoria cuya longitud es el permetro de la circuferencia de la rueda (0, R)(0, R)RL = 2RGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA34Donde r es el radio de la circunferencia y el ngulo en el que est comprendido el arco de circunferencia, expresado en radianes.La aplicacin de medidas en radianes se muestra en el unidad nmero 3.2 del texto bsico de las pginas 99 a la 107 donde se encuentran incluidos los ejercicios de aplicacin, lo cual le pido los resulta, por cuanto son ejercicios que le ayudaran alentendimiento del tema .3.3. El circulo unitario y las funciones circulares

Lasseisfuncionescircularestambinllamadasfuncionestrigonomtricasson:seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, ycsc x. Definicin:Sixesunnmerorealy(a,b)soncoordenadasdelpuntocircularP(x), entonces las seis funciones circulares o trigonomtricas se definen como:y

P(X) = (a,b) x

Con esta definicin podemos evaluar las seis funciones trigonomtricas de los puntos:

Losnicoserroresque cometemosenlavidasonlas cosas que no hacemos.Por: Emma Thompsoncos x = asec x =1 ,a 0a sen x = bcsc x =1 ,b 0btan x = b, a 0cot x =a ,b 0 a b P 0( ), P6j(,,\,((, P4j(,,\,((, P3j(,,\,((, P2j(,,\,((Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3Autoevaluacin IXDebedeseartodohombrevivirparasaber,ysaberpara bien vivir.Mateo Alemn (1547-1613) Novelista espaol.Ejercicios para resolver: Evaluar las seis funciones trigonomtricas para: 1) P(0):P(0)=(1,0),dondea=1yb=0

2) P 3j(,\,(: P3j(,\,( = 12,32j(,,\,((, donde a = 12,b = 33P 2j(,\,(: P4j(,\,( = ?3)Ejercicio de prctica: Evala las seis funciones trigonomtricas de: 1) P 2j(,\,(P 6j(,\,(2)El tema de funciones circulares lo podemos detallar e interiorizar de una manera ms amplia en las pginas 108, 109,110, 111, 112. Del texto bsico, y para un mayor domino del tema realice los ejercicios que estn a continuacin de las paginas antes indicadas. 3.4. Rapidez lineal y angular Velocidad tangencial y velocidad angularSi el mvil parte de A y da una vuelta completa, d = 2.p.r (Longitud de la circunferencia) y si da n vueltas. 2.p.r.n. Si este arco es descrito en un tiempo t. Esta velocidad se expresa simplemente como V que no es ms que la velocidad debida al movimiento de traslacin de la partcula. Velocidad AngularSeconsideraunobjetofsicoquedescribecircunferenciasdecentroOyradiorcon MCU. Si en un intervalo de tiempo t el objeto fsico pasa de la posicin A a la posicin B Vr =2.r.n= V; Unidades:cm/ segt m/seg km/hGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3describiendo el arco AB y el radio r barre el ngulo . Comotiene su vrtice en el centro de la circunferencia, se cumple que la medida del ngulo es igual a la medida del arco AB.Por consiguiente, si el objeto fsico describe reas iguales, se tendr que el radio r barre ngulosigualesentiempoiguales,porloquesehabladeunaVelocidadAngulardel objeto fsico. Una caracterstica que distingue a este tipo de movimientos es que el ngulo que recorre una partcula por unidad detiempo es constante,por lo que su velocidad angular es constante. La velocidad angular en un movimiento circular uniforme se mide por elcociente entre el ngulo recorrido por el radio y el tiempo empleado enbarrerlo. Designando la velocidad angular por la letra griega ? (omega) setiene=t =Angulo recorrido por el radio.t =Tiempo empleado en recorrer dicho ngulo.Relacin entre el mdulo de la Velocidad tangencial y la velocidad angular.Observe que la velocidad lineal es:Es la velocidad angular, se concluye que: V = w. r. La rapidez tangencial de una partcula que describe circunferencias con MCU es igual al producto de la rapidez angular por el radio de la circunferencia descrita por la partcula. Ecuacionesdelarapidezangularyrapideztangencialenfuncindelperodoyla frecuencia. Las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial de un MCU son respectivamente: =2V=2.r.n t ;tSi en cualquiera de estas ecuaciones se hace n = 1 vuelta se tendr que t = T. Sustituyendo seobtienelasecuacionesdelarapidezangularyrapideztangencialenfuncindel perodo T: =2V=2.rt ;tInteractividad Diferenciasentrelavelocidadtangencialylavelocidadangular.V=2.r =2 T; como:TGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3Comof=1/T,alsustituirseobtienelasecuacionesdelarapidezangularyrapidez circular en funcin de la frecuencia f: w = 2p.f ; V = 2p.f.r

Ejemplo 1 Laruedadeunmotorgiraconrapidezangularw=500rad/seg.a)Culeselperodo?b)Culeslafrecuencia?

Ejemplo 2Un estudiante de Fsica hace girar una pelota con MCU en un crculo de 50 cm. de radio. El crculo est a una altura de 2 m sobre el piso. Repentinamente la cuerda se rompe y la pelota sale despedida horizontalmente cayendo en el piso a una distancia de 10 m del punto donde se rompi la cuerda. Con que rapidez angular estaba volando la pelota?1. Conceptualice los siguientes temas y defnalos brevemente: Tringulorectngulo. Catetosehipotenusa. ngulosnotables. Relacionesentrengulosylados.2. Haga un cuadro sinptico de: Lasfuncionestrigonomtricasdefnidasenelcrculotrigonomtricoydelasdefnidasenunnguloagudodeltringulorectngulo.Autoevaluacin XInteractividad Seleccionalarespuestacorrecta AUTOEVALUACINGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3 Establezcalasdiferenciasysemejanzas,entreellas.El tema de funciones circulares lo podemos detallar e interiorizar de una manera ms amplia en las pginas 116, 117,118, 119, 120. Del texto bsico, y para un mayor domino del tema realice los ejercicios que estn a continuacin de las paginas antes indicadas. Lavidafcilsueleserlamsdifcil.EnriqueJardielPoncela(1901-1952)Escritorespaol.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3 Defnirlasgrafcasdelasfuncionescirculares Simplifcarexpresionestrigonomtricascomplicadas. Resolverecuacionesdondeaparecenfuncionestrigonomtricas. Aplicarlasfrmulasrelativasasumas,diferenciasymltiples. Conocerlasfuncionestrigonomtricasinversas. Demostraridentidadestrigonomtricas. Resolvertringulosoblicungulos.SEGUNDOEGUNDOBIMESTREBIMESTREOBJETIVOS ESPECFICOSGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA40Capitulo IV: grfcas de funciones circulares 4.1: grfcasdefuncionessenoycoseno4.2: traslacionesdelasgrfcasdelasfuncionessenoycoseno4.3: grfcasdelasotrasfuncionescirculares4.4: movimientoarmnico Capitulo V: identidades trigonomtricas5.1: identidadesfundamentales5.2: comprobacindeidentidadestrigonomtricas5.3: identidadesdesumayrestaparaelcoseno5.4: identidadesdelsenoylatangenteparalasumayladiferencia.5.5: identidadesdelngulodoble.5.6: identidadesdengulosmitad.Capitulo VI: funciones circulares inversas y ecuacionestrigonomtricas6.1: funcionescircularesinversas6.2: ecuacionestrigonometrcasI6.3: ecuacionestrigonometrcasII6.4: ecuacionesqueimplicanfuncionestrigonomtricasinversas.Los sueos y la perseverancia son una poderosa combinacin. WILLIAM LONGGOODCONTENIDOSGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA414.1: Grfcas de funciones seno y coseno Las funciones Seno y Coseno La funcin seno se define de la siguiente manera sen:R R , senx = S (x/ )

Se define la funcin coseno como cos:R R, cosx = C (x/ )Ambas, funciones cumplen las siguientes propiedades x, y RTeorema 18 Parase tiene: 1.Identidad pitagrica:cos2 x + sen2 x = 1 2.cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y, sen (x+y)= senx sen y + sen y cos x3.cos (/2 + x) = - sen x, sen (/2 + x) = C (x)4.cos (/2- x) = sen x,sen (/2 - x ) = cos x 5.cos (x + ) = - cos x, sen (x + ) = - sen x, 6.Las funciones seno y coseno son peridicas de perodo2. 7.Ambas funciones son continuas, y adems cumplen 8. 9.Las funciones seno y coseno son derivables, y adems 10.

Prueba La prueba de estos puntos es una consecuencia directa de las propiedades de las funciones S yC, y queda como ejercicio para el lector.CAPTULO IV GRFICAS DE FUNCIONES CIRCULARES limx0senxx 1, limx01 cosxx ddxsenxcosx,ddxcosxsenxDESARROLLO DELAPRENDIZAJEGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA42Note que las grficas de las funciones seno y coseno son dilataciones, en el eje, de las de las funcionesyrespectivamente. A continuacin se presentan las grficas de estas funciones. Grfica de la funcin seno Grfica de la funcin coseno Tomando como base el mtodo de exhausin de Arqumedes y haciendo uso de elementos del anlisis, se ha logrado construir las Funciones Trigonomtricas seno y coseno, y a la vezsehademostradounaseriedepropiedadesdeestasfunciones,concluyendocon su graficacin. Esperamos que estas notas sean de utilidad para el lector, en cuanto al anlisis y aplicacin de la teora de funciones trigonomtricas. En esta unidad para reforzar nuestros conocimientos vamos ha estudiar los contenidos que se encuentran en le texto bsico de la pagina 132 a la 145, donde se incluyen ejercicios y algunos ejemplos resueltos, por lo que pedimos no los pase por alto.4.2. Traslaciones de las grfcas de las funciones seno y coseno Traslaciones:Traslacioneshorizontales:lafuncinsedesplazahacialaderechaohacialaizquierda sobre el eje OXT. Horizontal. (EJEMPLO: y = 2 (x-3)2...se interpreta. Como que se desplaza a la derecha por el (-) y Como esta al cuadrado quiere decir que es una t. Horizontal. Si fuera +3 seria traslacin a la izquierda.)La vida carece de valor si no nos produce satisfacciones. Entre stas, la ms valiosa es la sociedad racional, que ilustra la mente, suaviza el temperamento, alegra el nimo y promueve la salud.Thomas Jefferson (1743-1826) Poltico Estadounidense Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA43Traslaciones verticales: la funcin se desplaza hacia arriba o hacia abajo sobre el eje OY.T. vertical. (EJEMPLO: y = 2 (x-3) +5...el +5 quiere Decir que la traslacin es el eje vertical. Y el 2 nos dice si Es ms abierta o ms cerrada.Ambas traslaciones: Se traslada en el eje OX y en el OYHacia abajo y desplazada hacia la derecha.Traslacin horizontal.......... (-) a la derecha(+) a la izquierdaTraslacin vertical.............. (-) hacia arriba(+) hacia abajoNo olvidar las igualdades notables.(x + y) (2) al cuadrado:...Cuadrado del primero ms cuadrado del segundo, ms el doble del primero por el segundo.(x+Y)(2)alcuadrado:...Cuadradodelprimeromscuadradodelsegundo,menosel doble del primero por el segundo.Launidaddetraslacionesdelsenoycosenoseencuentraenlaspginas146ala154, incluidos los ejercicios propuestos los mismos que ayudarn una mejor comprensin del tema.4.3. Grficas de las otras funciones circulares El seno y su inversa: Caractersticas de y = sen x: Funcin seno: funcin real de variable realDominio: Dom(sen(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: sen x = - sen(-x) [funcin impar] La cosecante: y= cosec x = 1/sen x Funcin cosecante: Funcin real de variable real:Dominio: Dom(cosec(x))= R-Rango: R - (-1, 1) Paridad: cosec x = -cosec(-x) [funcin impar] Si no se tomara la vida como una misin, dejara de ser vida para convertirse en infierno.Leon Tolstoi (1828-1910) Escritor ruso.Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA44Grficas: El coseno y su inversa: Caractersticas de y = cos x: Funcin coseno: funcin real de variable realDominio: Dom(cos(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: cos x = cos(-x) [funcin par] La secante: y= sec x = 1/cos x Funcin secante: Funcin real de variable real:R RDominio: Dom(sec(x))=R-Rango: R - (-1, 1) Paridad: sec x = sec(-x) [funcin par] 2n 1nnN 0 Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Grficas: La tangente y su inversa: Caractersticas de y = tg x: Funcin tangente: funcin real de variable realtg: RR Dominio: Dom(tg(x))=R-Rango: R Paridad: tg x = - tg(-x) [funcin impar] La cotangente: y= ctg x = 1/tg x Funcin cotangente: Funcin real de variable real:ctg:R RDominio: Dom(ctg(x))={ n ^ n N {o}}Rango: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar] 2n 1nnN 0 Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Grficas: Para ampliara y reforzar sus conocimientos, por favor revise los contenidos de la pgina 155ala168,dondeseincluyenejemplosyejerciciosprcticosqueleayudaranenla comprensin de sus conocimientos.4.4. Movimiento armnico El movimiento armnico simple es un movimiento peridico de vaivn, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determi-nada, y en intervalos iguales de tiempo. Vivimos mientras nos renovamos.Henry F. Amiel (1821-1881) Escritor suizo.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja. Es tambin, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda deunaguitarracuandoestaentraenvibracin;pero,pongamosatencin,noesel movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultneo de todos los puntos de la cuerda.FIGURA 1: En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido. Movimiento armnico simple Y = elongacin Representaladistanciaqueseparaa lapartculavibrantedelaposicin deequilibrioencualquierinstante. Fsicamente,laelongacinrepresenta elestadodevibracindelapartculaen cualquier instante.A = amplitud Representaelmximovalorquepuede tomar la elongacin.Fo = fase inicial Representa la posicin angular de la partcula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar.w = pulsacin Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s.F = w.t + Fo faseRepresentalaposicinangulardela partcula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t. La elongacin de la partcula para un tiempo t viene dada por el seno del ngulo que nos da la posicin de la partcula del m.c.u.y = A.sen(.t + o) AYYo0A.toGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Estaexpresinrecibeelnombredeecuacingeneraldelm.a.s.Comopuedeverse,la elongacin es una funcin peridica del tiempo y el mximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partcula sometida a un m.a.s. vendr dada por la derivada con respecto al tiempo de la funcin yv = dy/dt = A. cos (.t + o)donde observamos que la velocidad es tambin funcin peridica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su mximo valor cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partcula se encuentre en los extremos el ngulo de fase es 90 y 270, por ello la velocidad es nula. Esta unidad es una aplicacin de las funciones trigonometrcas en la fsica, para lo cual le recomiendo estudie los contenidos de la pgina 168 a la 172, en donde se encuentra ejemplosyejerciciosparadesarrollarsuhabilidadpararesolverproblemasdelavida real. Una partcula oscila con un movimiento armnico simple de tal forma que sudesplazamientovaradeacuerdoconlaexpresinx=5cos(2t+/6).Dondexestencmytens.Ent=0encuentre eldesplazamiento, suvelocidad, suaceleracin. Determinarelperiodoylaamplituddelmovimiento ComponerlossiguientesMAS:x1=2sen(t+5/4)ex2=5sen(t+5/3) Una partcula de 300 g de masa est unida a un muelle elstico de constantek=43.2 N/m y describe un movimiento armnico simple de 20 cm de amplitud.Sabiendoqueenelinstantet=0seencuentraa10cmdelorigenmovindosehacialaizquierda,determinar: Lasecuacionesdelaposicin,velocidadyaceleracinenfuncindeltiempo. Las energas potencial, cintica y total en el instante inicial y en cualquierinstante. Valoresdetenlosquelapartculapasaporelorigen.Autoevaluacin XIAlgrate de la vida porque ella te da la oportunidad de amar, de trabajar, de jugar y de mirar a las estrellas.Henry Van Dyke (1852-1933) Escritor estadounidenseGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA45.1. Identidades fundamentales Si P = (a,b) es el punto sobre el crculo unitario correspondiente a, entonces,sen b cos asen b , si a 0acsc 1 , si b 0sec 1 , si a 0cot a , si b 0bab Tenemos entonces las identidades recprocas:IDENTIDADES RECIPROCAS

Dos otras identidades fundamentales sencillas son las identidades de cociente:IDENTIDADES DE COCIENTE Las siguientes identidades fundamentales son:

sen2 + cos2 1 tan2 + 1 sec2 1 + cot2 csc2 Propiedad par e impar Recuerde que la funcin f es par si f (- ) = f ( ) para todaen el dominio de f; una funcin f es impar si f (-) = -f () para todaen el dominio de f. Mostraremos ahora que las funciones trigonomtricas seno, tangente cotangente y cosecante son funciones impares, mientras que las funciones coseno y secante son funciones pares.

CAPTULO V IDENTIDADES TRIGONOMTRICAScsc 1sec 1cot 1sen cos tan (2)tan sen tan cos cos sen (3)sen(-) = -sen cos(-) = cos tan(-) = -tan csc(-) = -csc sec(-) = sec cot(-) = -cot Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA0En las identidades trigonometrcas, le sugiere poner total atencin ya que son temas un poco complejos, pero que reflejan en si el estudio y el entendimiento de toda la materia, para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto bsico en las pginas 182 a la 188, donde se incluyen ejercicios prcticos.5.2. Comprobacin de identidades trigonomtricas.Recprocas: Apartirdelasdefinicionesdelasfuncionestrigonomtricasdengulosenposicin cannica, deducimos 1. Igualmente,teniendoencuentalasdefnicionesdadas: 2. IdentidadesPitagricas: a. sen2 t + cos2 t = 1Recordamos que sies un punto que est en el lado final de un ngulo en posicin cannica y rx2+ y2 sent yr, costxr Entonces:

sen2t + cos2t y2r2+x2r2 b.1 + tan2 t= sec2 tSe obtiene dividiendo, porsen2 t + cos2 t = 1, por cos2 tHayunaleydevida,cruelyexacta,queafirmaqueunodebe crecer o, en caso contrario, pagar ms por seguir siendo el mismo.Norman Mailer (1923-?) Escritor estadounidense. cos 1sen, sec 1cos, cot 1tan tan sencos, cot cossen

y2+ x2r2

r2r2 1Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1c.1 + cot2 csc2 Si se divide la igualdad:, porsen2 + cos2 = 1 , por sen2 A partir de estas identidades es posible obtener otras ms complejas. No hay realmente un mtodo especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se aconseja iniciar con el lado que parezca ms complejo y hacer las transformaciones que se considere adecuadas, para obtener la expresin del otro extremo de la igualdad. No es bueno transformar los dos extremos simultneamente por que se estara suponiendo que la igualdad es verdadera. En comprobacin de identidades trigonometrcas, le sugiere poner total atencin ya que son temas un poco complejos, pero que reflejan en si el estudio y el entendimiento de toda la materia, para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto bsico en las pginas 188 a la 196, donde se incluyen ejercicios prcticos.Ejercicio 1. Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo si:y tan34ysen > 0En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonomtricas: Ejercicio 2.cos - sen =cotcos Ejercicio 3.tan t + 2 cos t csc t = sec t csc t + cot t Ejercicio 4.(sec u - tan u) (csc u + 1) = cot uEjercicio 5.sen4 r - cos4 r = sen2 r - cos2rEjercicio 6. 11 cos v+11+ cos v 2csc2vAutoevaluacin XII 1+cos2sen2

1sen21+ cot2csc2Porqucontentarnosconvivirarastrascuandosentimosel anhelo de volar?HelenAdamsKeller(1880-1968)Escritorayconferenciante estadounidense.Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA25.3. Identidades de suma y resta para el cosenoEn ocasiones se encuentran expresiones de la forma: cos (+), sen (- ),.., y es importante poder escribirlas directamente en trminos desen , sen , cos , cos Mediante construcciones geomtricas, la definicin de distancia y el uso de la identidades fundamentales se puede demostrar que cos ( - ) = cos cos + sen sen , y a partir de ella, determinar el valor del coseno de la suma y otros resultados. Las igualdades son vlidas para cualquier tipo de ngulos y su medida puede estar dada en grados sexagesimales o en radianes. As: Lafrmulaparadeterminarelcosenodelasumaseencuentraapartirdelaanterior, expresando acomo: s + t como s - (-t):cos (s + t) = cos (s-(-t)) = cos s cos (-t) + sen s sen (-t) Teniendo en cuenta quey que:cos (-t) = cos t y que sen (-t) = - sen t cos (s+ t) = cos scos t - sen s sen t Usandoestasidentidadespodemoshallarelsenoyelcosenodelcomplementodeun ngulo: cos2 j(,,\,(( cos2cos+ sen2sen Como cos2 0ysen2 1 cos2 j(,,\,(( sencoscos22 j(,,\,((j(,,\,((coscos2cos2 j(,,\,((+ sen2sen2 j(,,\,((cossen2 j(,,\,((Conclusin:Elsenodeunnguloeselcosenodesucomplementoyelcosenodeun ngulo es el seno de su complemento. Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3Haciendo uso de este resultado podemos encontrar el seno de la suma y de la diferencia de dos ngulos. sen(+)cos2(+)j(,,\,(( cos2 j(,,\,((j(,,\,(( Se utiliza la identidad para el coseno de la diferencia: sen(+)cos2 j(,,\,(( cos + sen2 j(,,\,((senNuevamente a partir de la conclusin encontrada: sen (+ ) = sen cos + cos senMediante un razonamiento similar al que se hizo para el caso del coseno se puede hallar el seno de la diferencia: sen (+ ) = sen ( +(- )) = sen cos(-) + cos sen (-)sen (+ ) = sen cos- sen cos tan ( )se obtiene haciendo uso de la identidadtan t =sen t cos t tan ( + )=tan + tan 1- tan tantan ( + )=tan - tan 1+ tan tanEn las identidades trigonometrcas de suma y resta para el coseno, le sugiere poner total atencin para lo cual le recomiendo revisar los contenidos del texto bsico en las pginas 197 a la 204, donde se incluyen ejercicios prcticos.Ejercicio 1: Como 11=2+ . A partir de los valores de seno y coseno de2y1234 3 , se puede hallar,ysen11 cos11 y tan (/12)4 1212 Autoevaluacin XIIIGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Ejercicio 2 : Sies un ngulo en el primer cuadrante con cos = 4 5y es un ngulo en el segundo cuadrante consen = . Evale,y. Determine el cuadrante de. Ejercicio 3: Si es un ngulo de segundo cuadrante y es un ngulo de tercer cuadrante, concos =cos= 3 7, calculey sen (-) y cos(-) determine el cuadrante para -. 5.4. Identidades del seno yla tangente para la suma y la diferencia.Enlaunidadanteriorhicimosunestudiossobreestasidentidades,debidoquetiene una secuencia lgica, por lo que le pido de favor ponga mucha atencin sobre como se obtiene dichas formulas.Para reforzar estos temas remtase a las pginas desde la205 a la 212 donde encuentran conceptos ms detallados y ejemplos resueltos para guiarse en la resolucin de ejercicios que constan en las pginas antes mencionadas 1. Realice un cuado sinptico sobre las formulas de identidad de la suma y la resta del seno y la tangente.2. defna con palabras cada una de las formulas de esta unidad.Para realizar esta actividad remtase a las pginas 205, 206, 207, 208.5.5: Identidades del ngulo doble.Apartirdelasfrmulasdelsenoycosenoparalasumadedosngulossepueden encontrar frmulas para calcular los valores de seno y coseno del doble de un ngulo: sen 2t = 2sen t cos t cos 2t = cos2 t - sen2 t 12 13La vida cobra sentido cuando se hace de ella una aspiracin a no renunciar a nada.Jos Ortega y Gasset (1883-1955) Filsofo y ensayista espaolAutoevaluacin XIVNo hay cosa que los humanos traten de conservar tanto, ni que administren tan mal, como su propia vida.Marco Tulio Cicern (106 AC-43 AC) Escritor, orador y poltico romano.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

tan 2t = 2 tan t 1- tan2 tParademostrarestasafirmaciones,setoma2t=t+t,yseaplicanlasfrmulas respectivas: sen 2t = sen (t +t) sen t cost + cost sent = 2 sent cost cos 2t = cos (t +t) cos t cost + sent sent = cos2 t - sen2t tan 2t = tan (t +t) = tan t + tan t = 2 tan t 1- tan t tan t 1 + tan2 tPara reforzar estos temas remtase a las pginas desde la212 a la 220 donde encuentran conceptos ms detallados y ejemplos resueltos para guiarse en la resolucin de ejercicios que constan en las pginas antes mencionadas.En cada uno de los siguientes ejercicio hallaremos:,,, haciendo uso de la informacin dada. Ejercicio 1sen = - 4 : 270 360 ; 5Ejercicio 2sec = - 3 ; 180 < < 270; 5.6. Identidades de ngulos mitad. Para determinar las funciones trigonomtricas del ngulo mitad, hagamos=2Sabemos que:cos 2= cos2 sen2 cos 2 =1 - sen2 sen2 cos 2 =1 - 2 sen2 reemplazando=2obtenemoscos2.=1-2sen222Autoevaluacin XVSi el hombre no ha descubierto nada por lo que morir, no es digno de vivir.Martin Luther King (1929-1968) Religioso estadounidense.Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

despejando:2sen2=1-cos 2 sen2

1 cos2 consideremos ahora que cos2cos2 sen2cos2scos2(1 cos2)cos22cos21entonces cos2cos221 despejando cos22

1+ cos2cos2

1+ cos2Por ltimo, ya que las otras las puedes determinar t, trabajaremos con la identidad t g sencosreemplazando 2 obtenemos tg2

sen2cos2 o sea Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

tg2

1 cos1+ cosPara reforzar estos temas remtase a las pginas desde la221 a la 226 donde encuentran ejemplos resueltos para guiarse en la resolucin de ejercicios que constan en las pginas antes mencionadas Ejercicios:1.Si sen 45, calculemossen2, cos 2, tg2 sen2=2 sen cos 2.Si sen2

14, calculemos 6.1. Funciones circulares inversas El seno, en[-/2, /2] es montona creciente, entonces podemos definir el inverso de la funcin seno restringida al intervalo[-/2, /2]. Anlogamente podemos considerar la funcin coseno en el intervalo[0, ] La tangente en[-/2, /2]obtenemos una funcin creciente cuya inversa estar definida en todo R. As tendremos las siguientes definiciones: Autoevaluacin XVI sen2Cuando la vida te presente razones para llorar, demustrale que tienes mil y una razones para rer.AnnimoCAPTULO VI FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Y ECUACIONES TRIGONOMTRICAS Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

1.Funcin arcoseno. : [-1,1] R, (x) = arcsen x. El arcoseno se define como el nico y 2,2,,]]] tal que sin y = x. La imagen del arcoseno es el intervalo. 2,2,,]]]2.Funcin arcocoseno. : [-1,1] R, (x) = arcsen x. El arcocoseno se define como el nico y [0,] tal que cos y = x. La imagen del arcocoseno es el intervalo [0,]. Figura: Funciones arcoseno(x) = arccos xyarcocoseno (x) = arccos x3.Funcin arcotangente. :RR, (x) = arctan x. La arcotangente se define como el nico y 2,2,,]]] tal que tan y = x. La imagen de la arcotangente es el intervalo 2,2,,]]] . Figura: Funciones arcotangente y arcocotangente: (x) = arctan x, arcctg x Para construir las correspondientes grficas basta usar el mtodo descrito anteriormente. Como ejemplo lo mostraremos para la funcin inversa del seno (figura 17) y del coseno (figura 18) -1 -0.50.511.510.5-0.5-1-1,5-1 -0.5 0.5132.521.510.5 -1 -0.50.511.510.5-0.5-1-1,5 -10-0.5 0.5101.510.5-0.5-1-1,5 Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Figura 17: Construccin de la funcin inversa del seno.De manera anloga podemos definir las funciones inversas de la ctg x, f-1 (x)=arcctg x, sec x, f-1 (x) = arcsec xy de lacosec x, f-1 (x) = arccosec x. Figura 18: Construccin de la funcin inversa del coseno.Parareforzarsusconocimientosporfavorremtasealaspginas236ala245,donde encontrara ejercicio y ejemplos resueltos que le ayudaran en el aprendizaje del tema de Funciones inversas.Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA06.2. Ecuaciones trigonomtricasUna ecuacin trigonomtrica es una expresin que siempre tiene la incgnita como parte del argumento, el ngulo. En este tipo de ecuaciones, se trata de hallar el o los ngulos quesatisfacenlaigualdadpropuesta.Alresolverunaecuacindeestetipo,debemos tener en cuenta la periocidad de las funciones, para dar las soluciones generales.Algunas observaciones importantes:1) Laecuacintrigonomtricaseexpresaentrminosdeunmismongulo.2) Sedebeexpresarlaecuacinentrminosdeunamismafuncintrigonomtrica.3) En caso de no poder expresar la ecuacin en una misma funcin se debe tratardefactorizaryexpresarenproductoparaaplicarelteoremadelproductoigualacero.4) Seresuelvealgebraicamentelaecuacin,considerandocomoincgnitalafuncinqueapareceenlaecuacin.5) Siseelevancuadradososequitandenominadoresdebenprobarselassolucionesydescartaraquellosvaloresquenolossatisfacen.+6) Sedebetenerpresenteque1senx1y1cosx17) Algunassolucionesparticularesdengulosson , - ,+,-Resuelva las siguientes ecuaciones a) (senx)(tanx)=senxb) tanx+3cotx=4c) senx+cosx=0La vida exige a todo individuo una contribucin y depende del individuo descubrir en qu consiste.Viktor Frankl (1905-1997) Psiquiatra y psicoterapeuta austriaco.Autoevaluacin XVIIEn la vida no hay clases para principiantes; en seguida exigende uno lo ms difcil.Rainer Mara Rilke (1875-1926) Escritor austraco.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA16.3. Ecuaciones trigonomtricas IIEl tema de las ecuaciones dos se encuentra en las paginas 256 a la 262, donde se encuentra conceptos, ejemplos desarrollados que le orientaran en la resolucin de ejercicios que se encuentran en la misma unidad.a)2 sen2 t cos t 1 = 0 b)2 cos2 x+ 5 sen x = 4c)Cos 2x = cos x d)cos3 x 2 cos2 x + cos x 2 = 0e)sen 2x + cos x = 0 f)2 sen 2x . cos x 3 sen x = 06.4. Ecuacionesque implican funciones trigonomtricas inversas.-Funciones Trigonomtricas Inversasarctan(x)+arctan(1/x)=/2,six>0-/2,six 0Solucin: cot 1tancot 43sec21+ tan2sec21+916sec2 2516sec 2516Como la tangente es negativa y el seno positivo ,est en el segundo cuadrante, por lo tanto la secante es negativa. sec =-54Esto nos permite concluir que: cos =-45 Haciendo uso de la identidad : 1+ cot2csc21+169 csc2 csc2 259 csc 259Comosen > 0 Entonces:csc = 53Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonomtricas: Ejercicio 2. csc - sen = cot cosSolucin: Ejercicio 3. tan t+ 2cos tcsc t = sec tcsc t + cottSolucin: Ejercicio 4. (sec u - tan u) (csc u + 1) =cotu Solucin: csc- sen =1sen -sen = 1-sen2sen = cos2sen = cossencos tan t- 2cos t csc t =sen tcos t +2costsent = sen2t + 2cos2tcostsent = sen2t + cos2t + cos2t(cos t)(sent ) = 1(cos t)(sent ) + cos2t(cos t)(sent ) = (sec t)(csct ) +costsent = (sec t)(csct ) cot t (sec u- tan u)( csc u + 1) =1cos u - sen ucos uj(,\,(1sen u+1j(,\,( = 1 - sen ucos uj(,\,(1 + sen usen uj(,\,( = 1 - sen2 u(cos u)(sen u) = cos2 u(cos u)(senu) = cos usen u = cot uGua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA2Ejercicio 5. sen4r - cos4r= sen2r - cos2rSolucin:

Ejercicio 6. 11 - cos v + 11 +cos v = 2 csc2vSolucin:

Observe que en cada una de las demostraciones anteriores: Se inici en el lado ms complejo. Se efectuaron las operaciones bsicas. Se hizo uso de la factorizacin Se emplearon identidades fundamentales.AUTOEVALUACIN 13Ejercicio 1 Como 1112

23+4 . A partir de los valores de seno y coseno de 23y 4 , se puede hallar sen1112,cos 1112 y tan 12

sen4r - cos4r= (sen2r - cos2r )(sen2r + cos2r )= sen2r - cos2r 11 - cos v + 11 +cos v = (1+ cos v) + (1 - cos v)(1 - cos v)(1 + cos v)= 21 - cos2v = 2sen2v = 2 csc2v sen (1112) = sen 23 + 4j(,\,(= sen23cos4 + cos 23 sen4sen (1112) = 3222 +12j(,\,(22j(,\,(= 64 - 24Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3Ejercicio 2Sies un ngulo en el primer cuadrante con cos 45 y yes un ngulo en el segundo cuadrante con sen 1213 . Evale sen ( +), cos ( + ) y tan ( + ). Determine el cuadrante de + . Solucin: sen 11625 . Como es un ngulo de primer cuadrante: Comoes un ngulo de segundo cuadrante: cos 1112 = cos23cos4 - sen 23 sen4 =12j(,\,(22j(,\,( -32j(,\,(22j(,\,( =24j(,\,( - 64j(,\,( = -( 2 +6) 4 = -24(1 +3) tan (1112) = tan23 + tan 41 - tan23 tan 4 = - 3 + 11 +3 sen =1 - 1625 = 35tan =3545 = 34cos2 = 1 - 144169 = 25169cos=25169 =513Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4Entonces:

Como sen ( + ) es positivo ycos ( + ) es negativo, + es un ngulo de segundo cuadrante. Ejercicio 3. Si es un ngulo de segundo cuadrante y es un ngulo de tercer cuadrante, con cos cos37, calculesen ( - ) ycos ( - ) determine el cuadrante para - Solucin: sen = 1-949, como es un ngulo de segundo cuadrante:sen = 4049

2710como es un ngulo de tercer cuadrante:sen = -2710 cos = -513tan= 1213513 = -125 sen ( + ) = sen cos +sen cos = 35j(,\,(513j(,\,( + 1213j(,\,(45j(,\,(sen( + ) = 3365 cos ( + ) = cos cos -sen sen = 45j(,\,(513j(,\,( - 35j(,\,(1213j(,\,(cos( + ) = 5665 tan ( + ) = tan + tan 1 - tan tan = 24125134j(,\,(125j(,\,( tan ( + )= -3356 Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Entonces: Comosen ( - ) y cos (- ) son negativos, - es un ngulo de tercer cuadrante.AUTOEVALUACIN 141. Realice un cuado sinptico sobre las formulas de identidad de la suma y la resta del seno y la tangente.2. defina con palabras cada una de las formulas de esta unidad.Para realizar esta actividad remtase a las pginas 205, 206, 207, 208.AUTOEVALUACIN 15En cada uno de los siguientes ejemplos hallaremos:sen 2,cos 2,tan 2, haciendo uso de la informacin dada. Ejercicio 1 sen45; 270o 360o;Solucin: Como pertenece al cuarto cuadrantecos es positivo. Usando la identidad fundamental: sen ( - ) = sen cos -sen cos = 2710j(,\,(37j(,\,( - 2710j(,\,(37j(,\,(sen( - ) = -124910 cos ( - ) = cos cos +sen sen =37j(,\,(37j(,\,( + 2710j(,\,(2710j(,\,(cos( - ) = 949 - 44910 = 149(9 - 4(10)) = - 3149 < 0 Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

tan 2 puede hallarse directamente calculandosen 2 cos 2 tan 2= 24 7Ejercicio 2sec = - 3; 180 < < 270 Solucin: cos =1=- 1 sec 3 Por las identidades Pitagricas podemos afirmar:

sen 119 Como est en el tercer cuadrante: cos2 = 1 -- 45j(,\,(2 = 925cos=925 cos= 35sen2 = 2sen cos = 2 45j(,\,(35j(,\,( = - 2425cos2 = cos2 - sen2 = 925 - 1625 = - 725 sen = -89 = -2 23sen2 = 2sen cos = 2 2 23j(,\,(13j(,\,( sen2 = 492Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

AUTOEVALUACIN 16Ejemplos: 1.Si sen 45,calculemos sen2, cos 2, tg2sen 2= 2sen cos sen 2 = 2.45.35

2425cos 2= cos2 - sen2 cos 2= 925 - 1625

725tg 2=2425725 =-247 2.Si sen 14,calculemos sen2sen 2= 1 cos2sen 2= 1342

4 38 AUTOEVALUACIN 17Ejercicios1) Resuelva la ecuacin ( sen x ) ( tan x )=sen xSolucin 1 ( sen x ) ( tan x )=sen x ( sen x ) ( tan x )-sen x = 0 sen x( tan x 1 )= 0 sen x = 0 tan x 1 = 0( igualando los factores a cero ) tan x = 1 cos2 = cos2 - sen2 = 19 - 89cos2 = -79 tan2 = -472Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

las soluciones para sen x = 0son0, , 2, 3, es decir x = n donden las soluciones paratan x= 1son 4, 54 es decir x = 4 + n, donden Z De lo que podemos deducir que las soluciones para sen x = 0 x = n,donden Z tan x= 1 x = 4 +n,donden ZEn forma general: sen x = 0x = n,donden Zahora bienpara 1 < a < 1 y sen x=a +2 n,n ( - )+2n,na = 1, sen x = 1 ,x = 2+2n,na = 1 , sen x=1 , x= 2+2n,ncos x = 0 x= 2 + n,donden Zahora bienpara 1 < a < 1y cos x=a +2 n,n - +2n,na = 1, cos x=1, x = 2n,na = 1, cos x=1,x = ( 2 n+1 ),n o bien +2n,nypara la tangente se tiene tan x=a x+ n,nEjercicios:Solucin 2Tan x+3 cot x = 4tan x+ 3tagx = 4tanx+3=4 tan x( tan x 3 )( tan x 1 ) = 0Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

( tan x 3 ) = 0 ( tan x 1 ) = 0Tan x = 1Tan x= 3 x = 4 + nx = 71 34 Solucin3 sen x+cos x = 0 sen x = cos x sen x = 1 sen2x sen x = 1 sen x sen x = 12 sen x = 12 sen x = 12= 22

x = 4particularx = 4+2 n,n (- 4) +2n,n sen x = 12= - 22est III c. s.p. x = + 4 = 54 x = 54+2 n,n - 4 +2n,n 54 4Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA0AUTOEVALUACIN 18Resuelva las ecuaciones: 2 sen t cos t 1 = 0 2 cos x+ 5 sen x = 4Cos 2x = cos xsen 2x + cos x = 0 cos3 x2cos x+cos x2 = 0 h) 2 sen 2x . cos x 3 sen x = 0Solucin:

2 set cos t 1 = 02( 1 cost ) cos t 1= 02 cos t + cos t 1 = 0( 2 cos t 1 )( cos t + 1 ) = 0( cos t + 1 ) = 0 ( 2 cos t 1 ) = 0cos t = 1 cos t = 12 t = 180= t = 60 = 3 solucin generalt = 300= 53t* = +n solucin general t*= 3+2 n,n - 3 +2n,nSolucin 2cosx+ 5 sen x = 4( sen x 2 ) = 0( 1 sen x ) + 5 sen x = 4sen x = 22 senx 5 sen x 2= 0 S =solucin general( 2 sen x 1 )( sen x 2 ) = 0x*= 6+2 n,n (- 6) +2n,n

( 2 sen x 1 ) = 0sen x = 12 x = 6

*sisedesealassolucionesentre 0 y 2 lo que se hace esevaluarlassolucionesgenerales.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1Solucin: Cos 2x = cos xCos 2x cos x = 0 2 sen 32 sen x2 = 0 2 sen 32 = 0sen x2 = 0 sen 32 = 0 x2 = n 32 = nx = 2nx = 2n3 Solucin: Sen 2x + cos x = 0 ( 2 sen x + 1 ) = 02 sen x cos x + cos x = 0sen x = 12cos x ( 2 sen x + 1 ) = 0 x = 76+2 n,n (- 76) +2n,n cos x = 0x = 2 + n Solucin cos3 x 2 cos x + cos x 2 = 0 cos x ( cos x 2 ) + cos x 2 = 0( cos x 2 ) ( cos x + 1 ) = 0Solucin 2sen 2x . cos x 3 sen x = 0 4 sen x cos x 3 sen x = 0 sen x ( 4 cos x 3 ) = 0( cos x 2 ) = 0 ( cos x + 1 ) = 0cos x = 2 cos x = 1 S =S = ya que sen x = 12 est 1c. y sen x < 0 est III c. una solucin partc. es + = 6+ 76 Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA2Solucin: 2sen 2x . cos x- 3 sen x = 0 4sen x . cos2 x- 3 sen x = 0 sen x(4 cos2x- 3) = 0 sen x = 04 cos2 x- 3 x = n4 cos x 3 = 0 cos x = 32 cos x = 32 cos x = 32x = 6+2 n,n - 6 +2n,n x = 56+2 n,n - 56 +2n,nGua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3AUTOEVALUACIN 19Ejemplos: a. arc sen 0 = 0puessen 0 = 0b. arc sen(12) = 4 pues sen (4)= 12 c.arc sen(-12) = 3 pues sen (3)= -12d. arc sen(32) = 6 pues sen (6)= 32 Ejemplos:a. arc cos (-1) = pues cos = -1b. arc cos (32) 56 pues cos (56) = 32c. arc cos (2) 56 pues cos (2) = 0arc cos 12 3 pues cos (3) = 12 Ejemplosa.arc tan 1 = 4 pues tan 4 = 1b.arc tan 0 = 0 pues tan 0 = 0c. arc tan3 = (16) = -6 pues tan (6) = (-13)Ejemplos: a. arc cot 1 = 4 pues cot 4 = 1b. arc cot 0 = 2 pues cot 2 = 0 c.arc cot3 = 6 pues cot (6) =3Ejemplos :a.arc csec 23 = 6 pues sec 4 = 23b.arc csec -1 = pues sec = -1c. arc csec 2 = 3 pues sec (3) = 2Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA4 Ejemplos:a. arc ccsc 23 = 6 pues sec 6 = 23b.arc ccsc -1 = 2 pues csc 2 = -1c.arc ccsc2 = 4 pues csc 4 =2d. arc ccsc -2 = 56 pues csc (56) = -2ANEXOSEl presente material ha sido reproducido con fines netamente didcticos,cuyoobjetivoesbrindaralestudiantemayores elementos de juicio para la comprensin de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Frmulas de TrigonometraNota: En este trabajo se considerar lo siguiente:En un tringulo cualquiera1.el ngulo ser opuesto al lado a. 2.el ngulo ser opuesto al lado b. 3.el ngulo ser opuesto al lado c. El nguloser un ngulo cualquiera. RAZONES TRIGONOMTRICAS

sen = cateto opuestohipotenusa csc = hipotenusacateto opuestocos= cateto adyacentehipotenusasec= hipotenusacateto opuestotg = cateto opuestocateto adyacente = sen()cos() cot = cateto adyacentecateto opuesto = cos()sen() CRITERIOS DE REDUCCINNGULO(90 - ) sen (90 - ) = cos tan (90 - ) = cot sec (90 - ) = csc cos (90 - ) = sen cot (90 - ) = tan csc (90 - ) = sec NGULO(90 + ) sen (90 + ) = cos tan (90 + ) = -cot sec (90 + ) = -csc cos (90 + ) = -sen cot (90 + ) = -tan csc (90 + ) = -sec NGULO(180 - ) sen (180 - ) = cos tan (180 -) = -tan sec (180 - ) = -sec Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

cos (180 - ) = -cos cot (180 - ) = -cot csc (180 - ) = csc NGULO(180 + ) sen (180 + ) = -sen tan (180 + ) = tan sec (180 + ) = -sec cos (180 + ) = -cos cot (180 + ) = cot csc (180 + ) = -csc NGULO(90 + ) sen (360 - ) = -sen tan (360 - ) = tan sec (360 - ) = -sec cos (360 - ) = -cos cot (360 - ) = cot csc (360 - ) = -csc ANGULOS NEGATIVOS sen (- ) = -sen tan (- ) = -tan sec (- ) = sec cos (- ) = cos cot (- ) = -cot csc (- ) = -csc NGULOS COTERMINALES cot (90 + ) = -tan tan (n360+) = tan sec (n360 + ) = sec cos (n360 +) = cos cot (n360 + ) = cot csc (n360+) = csc IDENTIDADES FUNDAMENTALES sen2 + cos2 = 1 sec2 - tan2 = 1csc2 - cot2 = 1TEOREMA DEL SENO asen

bsen

csen Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

TEOREMA DEL COSENO

sen = a2 b2 c22bcc os= b2 a2 c22accos= c2 a2 b22ab LEY DE LAS TANGENTES a ba + b= tan12()tan12()

b cb + c= tan12( )tan12( ) a ca + c= tan12( )tan12( )

FRMULAS DE PROYECCIN a = bcos + c cos b = acos + c cosc = a cos + c cos FRMULAS DE MOLLWEIDE

a + bc= cos12()sen12

b + ca= cos12( )sen12 c + ab= cos12( )sen12

a bc= sen12()cos12

b ca= sen12( )cos12 c ab= sen12( )cos12

SUMA Y DIFERENCIA DE NGULOS

sen(+)sen cos + cos sen sen()sen cos - cos sen cos(+)cos cos - sen sen cos()cos cos + sen sen tg (+)tg+ tg1 tg tg tg ()tg+ tg1 tg tg Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA0NGULO DOBLE sen (2)=2 sen cos cos (2)= cos2 - sen2 tg (2)2tg1 tg2 cos (2)= 1 - sen2 cos (2)= 2cos2 - 1 NGULO TRIPLE sen (3)=3 sen 4cos3 cos (3)= 4cos3 - 3cos cos 12sen (+)-sen(-),]] SEMI-NGULO

a + bc= cos12()sen12

b + ca= cos12( )sen12 c + ab= cos12( )sen12

a bc= sen12()cos12

b ca= sen12( )cos12 c ab= sen12( )cos12

PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS

sen cos = 12sen(+) + sen ( - ),]]cos sen = 12sen(+) - sen ( - ),]]cos cos = 12cos(+) + cos ( - ),]]sen sen = 12cos(+) -cos ( - ),]] SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS sen + sen = 2 sen 12(+)cos12(-) sen - sen = 2 cos 12(+)sen12(-)cos + cos = 2 cos 12(+)cos12(-)cos - cos = 2 sen 12(+)sen12(-)Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1REAS A bc sen 2A ac sen 2A ab sen 2 A a2 sen sen2sen A b2 sen sen2sen A c2 sen sen2sen A a2 sen sen (+)2sen A b2 sen sen (+)2sen A c2 sen sen (+)2sen FRMULA DE HERN A=s(s-a) (s-b) (s-c)dondes=a + b + c2tan12 = rs , tan12 rs b, tan12 rs c donde r = (s a)(s b)(s c)sCASO AMBIGUOCuando tenemos 2 lados y un ngulo no comn a ambos, tendremos la posibilidad de un caso ambiguo.Sean a ^ blos lados ydel ngulo conocido. Determinamos la altura. h= a sen . TrigonometraDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda La trigonometra (del griego, la medicin de los tringulos) es una rama de las matemticas queestudialosngulosylosladosdeunTringulorectnguloylasrelacionesentre ellos.Poseemuchasaplicaciones:lastcnicasdetriangulacin,porejemplo,sonusadasen astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en geografa para medir distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites. anlisisde soluciones a < b, genera una solucin, donde < 90oa > bb < h, sin solucin, dado que es un polgono abierto.b = h, genera una solucin, donde = 90ob > h, genera dos soluciones - caso ambiguo, donde 1 + 2 = 180o Gua Didctica: Trigonometra UTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA2Tabla de contenidos1 Unidades angulares 2 Funciones trigonomtricas 2.1Otras funciones trigonomtricas 3 Funciones trigonomtricas inversas 4 Valor de las funciones trigonomtricas 5 Sentido de las funciones trigonomtricas 5.1Primer cuadrante 5.2Segundo cuadrante 5.3Tercer cuadrante 5.4Cuarto cuadrante 6Representacin grfica 7 Identidades trigonomtricas 8 Funcin tangente 9 Vase tambin Unidades angularesEnlamedidadengulos,yportantoentrigonometra,seempleantresunidades,si bienlamsutilizadaenlavidacotidianaeselGradosexagesimal,enmatemticases elRadinlamsutilizada,ysedefinecomolaunidadnaturalparamedirngulos,el Grado centesimal se desarroll como la unidad ms prximo al sistema decimal, pero su uso prcticamente es inexistente.Radin:unidadangularnaturalentrigonometra,serlaqueaquutilicemos,enuna circunferencia completa hay 2 radianes. 1Sen cos Gua Didctica: TrigonometraUTPLLa Universidad Catlica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA3Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360. Gradocentesimal:unidadangularquedividelacircunferenciaen400grados centesimales. Funciones trigonomtricas El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C, lo usaremos para definir las funciones seno, cosen