Colegio de bachilleres del estado de Oaxaca

Plantel 22 huatulco

Profesor: Crecencio

Integrantes del equipo:

Diana Montserrat Salinas Elizondo.

Regina Sibaja Galguera

Yesica Sánchez Guerra.

Luis Gerardo Velásquez Garcia

l. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que

se forman con los puntos:

1. A (-5,-2) y B (7 ,5)

Mab= 5+2

7+5 =

7

12

Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 (7

12)

Angulo = 30° 15"23.17"

2. A (0,3) y B (11,-1)

Mab= −1−3

11−0 =

−4

11

Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 (−4

11)

Angulo = -19 º 58′ 59.18"

3. M (7,8) y N (4,3)

Mmn= 3−8

4−7 =

−5

−3 =

5

3

Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 (5

3)

Angulo= 59°2" 10.48"

4. P (7,4) y Q (1,-2)

Mpq = −𝟐−𝟒

𝟏−𝟕=

−𝟔

−𝟔=

𝟔

𝟔

Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 (𝟔

𝟔)

Angulo = 45°

ll. Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son

colineales.

1. A ( -2,3) B (2/3, 1) Y C (6,-3)

Mab= 3−12

3+2

=−2

8

3

Mbc= 3−1

6−2

3

= 2

16

3

Mac= −3−3

6+2 =

−6

8 =

−3

4

2. A (7, -9), B (2,-2) Y C (-3,5)

Mab = −2+9

2−7 =

7

−5

Mbc = 5+2

−3−2 =

7

−5

Mac = 5+9

−3−7=

11

10

3. K (-4,7), L (2,2) Y M (5, -1/2)

Mkl= 2−7

2+4=

−5

6

Mlm =−1

2−2

5−2 =

−5

2

3

Mkm = −

1

2−7

5+7=

15

2

12

4. Q (2,7), R (4,3 ) Y S (6,-1)

Mqr= 3−7

4−2 =

−4

2 =

−2

1 = -2

Mqs = −1−7

6−2 =

−8

4 =

−4

2 =

−2

1 = -2

Mrs = −1−3

6−4 =

−4

2

−2

1 = -2

lll. Resuelve los siguientes problemas.

1. Una recta de pendiente (-2/3) pasa por el punto A (-2,5); la ordenada

de otro punto B de la recta es (1), halla su abscisa.

M = −2

3 A(-2,5) B ( x,1)

Mab = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 =

1−5

𝑥+2 =

−4

𝑥+2

M = mab

−2

3 =

−4

𝑥+2

-2x-4= -12

-2x= -12+4

-2X= -12+4

X= -8 / -2

X= 4

2. Una recta de pendiente (-6/5) pasa por el punto P (3, -5); y por los

puntos A y B. Si la ordenada de A es (-2) y la abscisa de B es (-2), ¿Cuál

es la abscisa de A y cual la ordenada de B?

M= -6/5 P= (3,-5) A(x,-2) B (-2, Y)

MPA= -2-(-5)/ X-3 = -2+5/x-3 = 3/X-3

MPB= y-(-5)/ -2-3 = y+5/-5

MPA = M MPB= M

3/x-3 = -6/5 𝑦+5

−5 = -

6

5

3(5)= -6x+18 5(y+5) = -6 (-5)

15+6x-18=0 5y + 25 = 30

6x-3= 0 5y+25-30 = 0

6x= 3 5y -5= 0

X= 3/6 = ½ 5y= 5

Y= 5/5 = 1

3. Una recta pasa por los dos puntos A (1,4) y B (4,5). Si su punto P de

abscisa (-5) pertenece a la recta, ¿Cuál es su ordenada?

A (1,4) MAB= 5-4/4-1 = 1/3

B (4,5) MBP= y-5/-5-4 = y-5/-9

P (-5, Y) MBP= MAB

Y-5/-9 = 1/3

3(y-5) = 1 (-9)

3y-15= -9

3y-15+9 =0 P= (-5, 2)

3y-6 = 0

3y=6

Y= 6/3 Y= 2

5. Demuestra por pendientes que los puntos A(-2,1 ), B (2,5) y C (8,-1)

son los vértices de un triángulo rectángulo; halla su área y perímetro.

M = −1−5

8−2 =

−6

6= -1

Mab = 5−1

2−(−2) =

4

4 = 1

Mbc = −1−5

8−2 =

−6

6 = -1

M ac = −1−1

8−(−2) =

−2

10 =

−1

5

Reciprocas:

-1= -1

(1)(-1) = -1

( 𝑚1𝑙1 ) 𝑙𝑚 𝑙2 = -1

m𝑙1= −1

𝑚2

Área =

a= 1

2

= 1

2 (

−10−2+8

4) -2 1

2 5

8 -1

1

2(48) = 48/2 = 24

8. halla la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x,y) que

pertenezca a la recta que pasa por el punto A (3,-1) y que tiene una

pendiente igual a (4).

P =(x,y)

A(3,-1)

M = 4

M = 𝑥−(−1)

𝑥−3

4= 𝑥+1

𝑥−3

4(x-3) = y+1

4x-12= y+1

4x-12-1=y

Y=4x -13

Y=mx + b

Ax + By + c = 0

4x -12 –y-1=0

4x-y-13=0

-2 1

9.-Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y, así como las definidas

por los puntos M y N: determina si son paralelas o perpendiculares entre sí:

a) A (4,1)

B(-2,5)

M (3,7)

N (-1,1)

b) A (-7,1), B (1,-6) y M (-4,6), N (3,2)

c) A (2,2), B (9,9) y M (6,5), N(5,6)

10.- Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado, cuya

pendiente se indica.

a) A (6,-2) ; m =3

4

b) P (2,1) ; m =3

4

c) R(2,-7) m = -4

d) A(4,-0); m = -3

11.- Demuestra por medio de pendientes, que los puntos dados son los

vértices de un paralelogramo.

a) A(4,6),B,(2,-2),C (-11,-1) y D (-3,-9)

b) A (2,4), B, (6,2),C (8,6) y D (4,8)

12.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que

sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

a) A(6,5), B,((9,9), C,(5,6) y D(2,2)

b) K (5,0), L (0.2) N,(0,-2)

x Y

0 -13 1 -9

2 -5 3 -1

-1 -17

13.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un cuadrado y que

sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes

iguales

a) A(2,4),B(7,3),C(6,-2) y D (1,-1)

r: LOS PUNTOS A,B,C Y D LOS VERTICES DE UN CUADRADO Y SUS

DIAGONALES PERPENDICULARES SE DIVIDEN MUTUAMENTE EN PARTES

IGUALES

PARALELAS

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =−1

5 𝑚𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =

−1

5

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 5 𝑚𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 5

PERPENDICULARES

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =−3

2 𝑚𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =

2

3

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3−4

7−2=

−1

5 𝑚𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =

−2−(−1)

6−1=

−1

5

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =−2−3

6−7=

−5

−1= 5 𝑚𝐴𝐷̅̅ ̅̅ =

−1−4

1−2=

−5

−1= 5

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =−2−4

6−2=

−6

4=

−3

2 𝑚𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =

−1−3

1−7=

−4

−6=

2

3

PUNTOS MEDIOS

PM𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =(4, 1) PM𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =(4, 1)

PM𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = PM𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =

X=6+2

2=

8

2= 4 Y=

4−2

2=

8

2= 1 X=

7+1

2=

8

2= 4 Y=

3−1

2=

2

2= 1

DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA

DISTANCIA

𝑑𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(7 − 2)2 + (3 − 4)2 𝑑𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √(6 − 7)2 + (−2 − 3)2

𝑑𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔

𝑑𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = √(1 − 6)2 + (−1 + 2)2 𝑑𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = √(1 − 2)2 + (−1 − 4)2

𝑑𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = √1 + 52 = √𝟐𝟔

b) K (4,-2), L (7,2) M (3,5) y N (0,1)

PARALELAS

𝑚𝐿𝑀̅̅ ̅̅ =3

−4 𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ =

3

−4 𝑚𝐾𝐿̅̅ ̅̅ =

4

3 𝑚𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ =

4

3

PERPENDICULARES

𝑚𝐾𝑀̅̅ ̅̅ ̅ = −7 𝑚𝐿𝑁̅̅ ̅̅ =1

7

𝑚𝐿𝑀̅̅ ̅̅ = 5+2

3−4=

3

−4 𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ =

1+2)

0−4=

3

−4

𝑚𝐾𝐿̅̅ ̅̅ =2+2

7−4=

4

3 𝑚𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ =

1−5

0−3=

−4

−3

PUNTOS MEDIOS

PM𝐾𝑀̅̅ ̅̅ ̅=(7

2,

3

2 ) PM𝐿𝑁̅̅ ̅̅ =(

7

2,

3

2)

PM𝐾𝑀̅̅ ̅̅ ̅= PM𝐿𝑁̅̅ ̅̅ =

X=5+2

2=

7

2 Y=

−2+5

2=

3

2 X=

7

2 Y=

2+1

2=

3

2

DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA

DISTANCIA

𝑑𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = √(−3)2 + (1 − 5)2 𝑑𝐾𝐿̅̅ ̅̅ = √(7 − 4)2 + (2 + 2)2

𝑑𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐾𝐿̅̅ ̅̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓

𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √(0 − 4)2 + (3)2 𝑑𝐿𝑀̅̅ ̅̅ = √(3 − 7)2 + (5−2)2

𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐿𝑀̅̅ ̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓

14.- Una recta L1, pasa por el punto los puntos A ( 3,2) y B (-4,-6); otra recta

L 2 pasa por el punto P (-7,1) y el punto Q cuya ordenada es (-6). Halla la

abscisa del punto Q; sabemos que L1 es perpendicular a L 2..

A (3,2)

B (-4,6)

P ( 7,1)

Q(X1 -6)

MAB= =−6

−4−

2

−3=

−8

−7 reciproco

MPQ=−6−1

𝑋−(−7 ) =

−7

𝑥+7

MAB=MPQ

−7

8 = −

7

𝑋+7

-7 (X+7) = 8 (-7)

-7X-49 =-56

-7X – 49 + 56 =0

-7X +7 = 0

-7X = 7X = −7

−7

X=1

15.- Demuestra que el punto A (-5,3) está sobre la mediatriz del segmento

cuyos extremos son ( 2,5) y Q (-3,-4).

A= (-5,3)

P= (2,5)

Q= (-3-4)

Pm (1

2, ,

1

2)

MPQ==−4 −5

−3−2 =

9

5

MAB = 𝑥 =3−

1

2

−5 (1

2) =

5

9

(MPQ) (MAB) = -1

=9

5

5

−9 = -1

-1=1

Ejercicio XII

Determina los angulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los

puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados.

1-. A (-2,0) B (5, -5) y C (3, 7)

mAC= 7−0

3+2=

−7

5 tan𝜃 =

−7

5 −

12

−2

1+(12

−2 )(

−7

5)

=

mBC= 7+5

3−5=

12

−2

mAB= −5−0

5+2=

−5

7 tan𝜃=

−12

2−

−5

7

1+(−12

2)(

−5

7)

mCB= −5−7

5−3=

−12

2

mCA=0−7

−2−3=

−7

−5 tan𝜃=

5

−7−

−7

−5

1+5

−7+

−7

−5

=

mBA= 0+5

−2−5=

5

−7

2.-

K (2,5) L (-3,-2) M (4,2)

m KL= −2−5

−3−2=

−7

−5 tan𝜃=

−4

−7−

−7

−5

1+−4

−7+

−7

−5

=

m ML= −2−2

−3−4=

−4

−7

m KM=2−5

4−2=

−3

2 tan𝜃=

4

7−

−3

2

1+(4

7 ) (

−3

2)=

m LM= 2+2

4+3=

4

7

m LK= 5+2

2+3=

7

5 tan𝜃=

3

−2−

7

5

1+(3

−2)(

7

5)=

m MK=5−2

2−4=

3

−2

II.-

1.-Dos rectas se cortan formando un angulo de 135◦; si la recta inicial pasa

por los puntos A (-4,5) y B (3,9) y la recta final pasa por los puntos K (-2,4) y

L (x,1), determina la abscisa de L.

Recta inicial

A (-4,5)

B (3,9)

Recta final

K (-2,4)

L(x,1)

Mab= 9−5

3−(−4) =

4

7

Mkl= 1−4

𝑥−(−2) =

−3

𝑥+2

ᶿtan= 𝑚2−𝑚1

1+𝑚2𝑚1

135(tan) = 𝑚

2−47

1+𝑚2

47

-1= 𝑚

2−47

1+4

7 𝑚2

-1(1+ 4

7 𝑚2) = 𝑚2 -

4

7

-1- 4

2 𝑚2= 𝑚2-

4

7

-1- 4

7 𝑚2- 𝑚2= -

4

7

-4

7 𝑚2 -

7

7 𝑚2 = -

4

7+

7

7

-11

7 𝑚2 =

3

7

𝑚2= 3

7−11

7

𝒎𝟐 = 𝟑

−𝟏𝟏

𝟑

−𝟏𝟏=

−𝟑

𝒙 + 𝟐

3(x+2) = -11 (-3)

3x+6= 33

3x= 33-6

X= 23/3

X=9

2.- La recta l1 forma un angulo de 30◦ con la recta l2; si la pendiente de l2 es

𝟐√𝟑, halla la pendiente de l1.

𝑙1 y 𝑙2 = ᶱ30°

𝑚𝑙1= 2√3ᶿ

m𝑙2= ¿?

30 (tan)= 2√3−𝑚1

1+ √3𝑚12

0.577= 3.46−𝑚1

1+3.46𝑚1

0.577(1+3.46𝑚1) = 3.46 - 𝑚1

0.577+1.996 𝑚1= 3.46- 𝑚1

1.996𝑚1+𝑚1= 3.46-0.577

2.996𝑚1= 3.883

𝑚1= 3.883

2.996

𝒎𝟏= 0.96

3.- Dos rectas se cortan formando un angulo de 45◦, si la recta final pasa por los puntos

A (5,3) y B (2,-1), determina la pendiente de la recta inicial.

𝑙1 y 𝑙2 = 45°

A(5,3)

B(2,-1)

Mab= −1−3

2−5 =

−3

−4 =

3

4

45(tan)= 4

3−𝑚1

1+4

3𝑚1

1=4

3−𝑚1

1+4

3𝑚1

1(14

3𝑚1)=

4

3𝑚1

1+4

3𝑚1=

4

3𝑚1

1+4

3𝑚1 + 𝑚1=

4

3

4

3𝑚1 + 𝑚1=

4

3-1

7

3𝑚1=

1

3

𝑚1= 1

37

3

= 𝟏

𝟕

4.-Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y forma un angulo de

135◦ con la recta de ecuación 4x-2y+2=0.

5.-Determina el angulo que se forma entre las rectas 2x-6y+12=0 y 2x-y+1=0.

2x-6y+12=0 2x-y+1=0

M = −𝐴

𝐵 =

−2

−6=

1

3 M =

−𝐴

𝐵 =

−2

−1= 2

Tan 𝜃= 2−

1

3

1+2(1

3)

= 5

3

1+2

3

= 5

35

3

= 5

5 = 1

Tan𝜃 = 1

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(1)

𝜃 = 45º

6.- El angulo formado entre dos rectas es de 45◦, si una de la rectasp tiene por pendiente

(-2/3), determina la pendiente de la otra recta.

7.- Determina los angulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son A

(4,8), B(8,6), C (6,2) D (2,4): comprueba los resultados.

8.- Halla el área del triangulo cuyos vértices son A(2,-4), B(4,4) y C (7,-2); emplea la

formula A=𝟏

𝟐 ab sen C

9.- Aplicando la formula A=𝟏

𝟐 ab sen C; determina el área del triangulo, cuyos vértices son

A(-8,-2) B(-4,-6) C (-1,5).

A=𝟏

𝟐 ab sen C

Dac = √(−𝟏 + 𝟖)𝟐 + (𝟓 + 𝟐)𝟐

DAc =√(𝟕)𝟐 + (𝟕)𝟐

DDAc=√𝟒𝟗 + 𝟒𝟗

Ac= √𝟗𝟖

Dbc = √(−𝟏 + 𝟒)𝟐 + (𝟓 + 𝟔)𝟐

dBC=√(𝟑)𝟐 + (𝟏𝟏)𝟐

dBC = √𝟗 + 𝟏𝟐𝟏

dBC= √𝟏𝟑𝟎

Mac = 𝟓+𝟐

−𝟏+𝟖 = =

𝟕

𝟕 = 1

Mbc = 𝟓+𝟔

−𝟏+𝟒=

𝟏𝟏

𝟑

Tan 𝜃= 11

3−1

1+11

3(1)

= 8

3

1+11

3

= 8

314

3

= 8

14 =

4

7

Tan 𝜃=4

7

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(4

7)

𝜃 = 29º 44"41.57""

A=𝟏

𝟐 ab sen C

A= (𝟏

𝟐) (√𝟗𝟖) (√𝟏𝟑𝟎) sen 29º 44"41.57"" = 27.99

10.- La ecuación de una recta es x + 6y + 16=0;escribe la ecuación que representa todas

las rectas paralelas a la recta dada; determina específicamente la ecuación de la recta

paralela a la dad y que pasa por A(2,-3)

A(2,-3) x+6y+16= 0

M = −𝐴

𝐵 = -(

1

6) = -

1

6 m = -

1

6

y-𝑦1= m(x-𝑥1)

y-(-3) = -1

6 (x-2)

6(y+3 =1

6x +

2

6)

6y+18= -x+2

x-2+6y-18=0

x+6y+16= 0

11.-Demustra que las rectas 3x+2y=0 y 2x-3y+6=0 satisfacen la condición de

la perpendicular.

3x+2y=0

2x-3y+6=0

𝑀1=−𝐴

𝐵 =

−𝟑

𝟐

𝑀2= −𝐴

𝐵 =

−2

−3 =

𝟐

𝟑

12.- Una recta l1 pasa por el origen y por A (4,3); otra recta l2 pasa por A y es perpendicular a la

recta 6x-5y-16=0; determina el angulo formado por l1 y l2.

Iii. Dados los siguientes pares de ecuaciones, graficalos y demuestra las condiciones

x-y +1 =0 M= 1/1 = 1 Reciproco

x+y -5 = 0 M = 1/1 = ¡ Hay perpendiculares

x-y + 1 = 0

x+y -5 =0

2x -4 = 0

2x = 4

X= 4/2

X=2 punto de intersección

2+y – 5 = 0

Y -3 = 0

Y =3 interseccion intersección total en el punto (2,3)

IV.-

3 x -9y +33= 0 x-3y-11 = 0 = x= 3y+11

X=3y -15

5

x y

2 -3

5 -2

8 -1

11 0

17 2

20 3

x Y

-1.2 -3

-4.8 3