Download - trabajos de matematicas
Colegio de bachilleres del estado de Oaxaca
Plantel 22 huatulco
Profesor: Crecencio
Integrantes del equipo:
Diana Montserrat Salinas Elizondo.
Regina Sibaja Galguera
Yesica SΓ‘nchez Guerra.
Luis Gerardo VelΓ‘squez Garcia
l. Halla la pendiente y el Γ‘ngulo de inclinaciΓ³n para las siguientes rectas que
se forman con los puntos:
1. A (-5,-2) y B (7 ,5)
Mab= 5+2
7+5 =
7
12
Angulo π‘ππβ1 (7
12)
Angulo = 30Β° 15"23.17"
2. A (0,3) y B (11,-1)
Mab= β1β3
11β0 =
β4
11
Angulo π‘ππβ1 (β4
11)
Angulo = -19 ΒΊ 58β² 59.18"
3. M (7,8) y N (4,3)
Mmn= 3β8
4β7 =
β5
β3 =
5
3
Angulo π‘ππβ1 (5
3)
Angulo= 59Β°2" 10.48"
4. P (7,4) y Q (1,-2)
Mpq = βπβπ
πβπ=
βπ
βπ=
π
π
Angulo π‘ππβ1 (π
π)
Angulo = 45Β°
ll. Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son
colineales.
1. A ( -2,3) B (2/3, 1) Y C (6,-3)
Mab= 3β12
3+2
=β2
8
3
Mbc= 3β1
6β2
3
= 2
16
3
Mac= β3β3
6+2 =
β6
8 =
β3
4
2. A (7, -9), B (2,-2) Y C (-3,5)
Mab = β2+9
2β7 =
7
β5
Mbc = 5+2
β3β2 =
7
β5
Mac = 5+9
β3β7=
11
10
3. K (-4,7), L (2,2) Y M (5, -1/2)
Mkl= 2β7
2+4=
β5
6
Mlm =β1
2β2
5β2 =
β5
2
3
Mkm = β
1
2β7
5+7=
15
2
12
4. Q (2,7), R (4,3 ) Y S (6,-1)
Mqr= 3β7
4β2 =
β4
2 =
β2
1 = -2
Mqs = β1β7
6β2 =
β8
4 =
β4
2 =
β2
1 = -2
Mrs = β1β3
6β4 =
β4
2
β2
1 = -2
lll. Resuelve los siguientes problemas.
1. Una recta de pendiente (-2/3) pasa por el punto A (-2,5); la ordenada
de otro punto B de la recta es (1), halla su abscisa.
M = β2
3 A(-2,5) B ( x,1)
Mab = π¦2βπ¦1
π₯2βπ₯1 =
1β5
π₯+2 =
β4
π₯+2
M = mab
β2
3 =
β4
π₯+2
-2x-4= -12
-2x= -12+4
-2X= -12+4
X= -8 / -2
X= 4
2. Una recta de pendiente (-6/5) pasa por el punto P (3, -5); y por los
puntos A y B. Si la ordenada de A es (-2) y la abscisa de B es (-2), ΒΏCuΓ‘l
es la abscisa de A y cual la ordenada de B?
M= -6/5 P= (3,-5) A(x,-2) B (-2, Y)
MPA= -2-(-5)/ X-3 = -2+5/x-3 = 3/X-3
MPB= y-(-5)/ -2-3 = y+5/-5
MPA = M MPB= M
3/x-3 = -6/5 π¦+5
β5 = -
6
5
3(5)= -6x+18 5(y+5) = -6 (-5)
15+6x-18=0 5y + 25 = 30
6x-3= 0 5y+25-30 = 0
6x= 3 5y -5= 0
X= 3/6 = Β½ 5y= 5
Y= 5/5 = 1
3. Una recta pasa por los dos puntos A (1,4) y B (4,5). Si su punto P de
abscisa (-5) pertenece a la recta, ΒΏCuΓ‘l es su ordenada?
A (1,4) MAB= 5-4/4-1 = 1/3
B (4,5) MBP= y-5/-5-4 = y-5/-9
P (-5, Y) MBP= MAB
Y-5/-9 = 1/3
3(y-5) = 1 (-9)
3y-15= -9
3y-15+9 =0 P= (-5, 2)
3y-6 = 0
3y=6
Y= 6/3 Y= 2
5. Demuestra por pendientes que los puntos A(-2,1 ), B (2,5) y C (8,-1)
son los vΓ©rtices de un triΓ‘ngulo rectΓ‘ngulo; halla su Γ‘rea y perΓmetro.
M = β1β5
8β2 =
β6
6= -1
Mab = 5β1
2β(β2) =
4
4 = 1
Mbc = β1β5
8β2 =
β6
6 = -1
M ac = β1β1
8β(β2) =
β2
10 =
β1
5
Reciprocas:
-1= -1
(1)(-1) = -1
( π1π1 ) ππ π2 = -1
mπ1= β1
π2
Γrea =
a= 1
2
= 1
2 (
β10β2+8
4) -2 1
2 5
8 -1
1
2(48) = 48/2 = 24
8. halla la ecuaciΓ³n a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x,y) que
pertenezca a la recta que pasa por el punto A (3,-1) y que tiene una
pendiente igual a (4).
P =(x,y)
A(3,-1)
M = 4
M = π₯β(β1)
π₯β3
4= π₯+1
π₯β3
4(x-3) = y+1
4x-12= y+1
4x-12-1=y
Y=4x -13
Y=mx + b
Ax + By + c = 0
4x -12 βy-1=0
4x-y-13=0
-2 1
9.-Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y, asΓ como las definidas
por los puntos M y N: determina si son paralelas o perpendiculares entre sΓ:
a) A (4,1)
B(-2,5)
M (3,7)
N (-1,1)
b) A (-7,1), B (1,-6) y M (-4,6), N (3,2)
c) A (2,2), B (9,9) y M (6,5), N(5,6)
10.- Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado, cuya
pendiente se indica.
a) A (6,-2) ; m =3
4
b) P (2,1) ; m =3
4
c) R(2,-7) m = -4
d) A(4,-0); m = -3
11.- Demuestra por medio de pendientes, que los puntos dados son los
vΓ©rtices de un paralelogramo.
a) A(4,6),B,(2,-2),C (-11,-1) y D (-3,-9)
b) A (2,4), B, (6,2),C (8,6) y D (4,8)
12.- Demuestra que los puntos dados son los vΓ©rtices de un rombo y que
sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
a) A(6,5), B,((9,9), C,(5,6) y D(2,2)
b) K (5,0), L (0.2) N,(0,-2)
x Y
0 -13 1 -9
2 -5 3 -1
-1 -17
13.- Demuestra que los puntos dados son los vΓ©rtices de un cuadrado y que
sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes
iguales
a) A(2,4),B(7,3),C(6,-2) y D (1,-1)
r: LOS PUNTOS A,B,C Y D LOS VERTICES DE UN CUADRADO Y SUS
DIAGONALES PERPENDICULARES SE DIVIDEN MUTUAMENTE EN PARTES
IGUALES
PARALELAS
ππ΄π΅Μ Μ Μ Μ =β1
5 ππΆπ·Μ Μ Μ Μ =
β1
5
ππ΅πΆΜ Μ Μ Μ = 5 ππ΄π·Μ Μ Μ Μ = 5
PERPENDICULARES
ππ΄πΆΜ Μ Μ Μ =β3
2 ππ΅π·Μ Μ Μ Μ =
2
3
ππ΄π΅Μ Μ Μ Μ = 3β4
7β2=
β1
5 ππΆπ·Μ Μ Μ Μ =
β2β(β1)
6β1=
β1
5
ππ΅πΆΜ Μ Μ Μ =β2β3
6β7=
β5
β1= 5 ππ΄π·Μ Μ Μ Μ =
β1β4
1β2=
β5
β1= 5
ππ΄πΆΜ Μ Μ Μ =β2β4
6β2=
β6
4=
β3
2 ππ΅π·Μ Μ Μ Μ =
β1β3
1β7=
β4
β6=
2
3
PUNTOS MEDIOS
PMπ΄πΆΜ Μ Μ Μ =(4, 1) PMπ΅π·Μ Μ Μ Μ =(4, 1)
PMπ΄πΆΜ Μ Μ Μ = PMπ΅π·Μ Μ Μ Μ =
X=6+2
2=
8
2= 4 Y=
4β2
2=
8
2= 1 X=
7+1
2=
8
2= 4 Y=
3β1
2=
2
2= 1
DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA
DISTANCIA
ππ΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(7 β 2)2 + (3 β 4)2 ππ΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(6 β 7)2 + (β2 β 3)2
ππ΄π΅Μ Μ Μ Μ = β52 + 1 = βππ ππ΅πΆΜ Μ Μ Μ = β52 + 1 = βππ
ππΆπ·Μ Μ Μ Μ = β(1 β 6)2 + (β1 + 2)2 ππ΄π·Μ Μ Μ Μ = β(1 β 2)2 + (β1 β 4)2
ππΆπ·Μ Μ Μ Μ = β52 + 1 = βππ ππ΄π·Μ Μ Μ Μ = β1 + 52 = βππ
b) K (4,-2), L (7,2) M (3,5) y N (0,1)
PARALELAS
ππΏπΜ Μ Μ Μ =3
β4 ππΎπΜ Μ Μ Μ Μ =
3
β4 ππΎπΏΜ Μ Μ Μ =
4
3 πππΜ Μ Μ Μ Μ =
4
3
PERPENDICULARES
ππΎπΜ Μ Μ Μ Μ = β7 ππΏπΜ Μ Μ Μ =1
7
ππΏπΜ Μ Μ Μ = 5+2
3β4=
3
β4 ππΎπΜ Μ Μ Μ Μ =
1+2)
0β4=
3
β4
ππΎπΏΜ Μ Μ Μ =2+2
7β4=
4
3 πππΜ Μ Μ Μ Μ =
1β5
0β3=
β4
β3
PUNTOS MEDIOS
PMπΎπΜ Μ Μ Μ Μ =(7
2,
3
2 ) PMπΏπΜ Μ Μ Μ =(
7
2,
3
2)
PMπΎπΜ Μ Μ Μ Μ = PMπΏπΜ Μ Μ Μ =
X=5+2
2=
7
2 Y=
β2+5
2=
3
2 X=
7
2 Y=
2+1
2=
3
2
DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA
DISTANCIA
πππΜ Μ Μ Μ Μ = β(β3)2 + (1 β 5)2 ππΎπΏΜ Μ Μ Μ = β(7 β 4)2 + (2 + 2)2
πππΜ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ = β9 + 16 = βππ = π ππΎπΏΜ Μ Μ Μ = β9 + 16 = βππ = π
ππΎπΜ Μ Μ Μ Μ = β(0 β 4)2 + (3)2 ππΏπΜ Μ Μ Μ = β(3 β 7)2 + (5β2)2
ππΎπΜ Μ Μ Μ Μ = β16 + 9 = βππ = π ππΏπΜ Μ Μ Μ = β16 + 9 = βππ = π
14.- Una recta L1, pasa por el punto los puntos A ( 3,2) y B (-4,-6); otra recta
L 2 pasa por el punto P (-7,1) y el punto Q cuya ordenada es (-6). Halla la
abscisa del punto Q; sabemos que L1 es perpendicular a L 2..
A (3,2)
B (-4,6)
P ( 7,1)
Q(X1 -6)
MAB= =β6
β4β
2
β3=
β8
β7 reciproco
MPQ=β6β1
πβ(β7 ) =
β7
π₯+7
MAB=MPQ
β7
8 = β
7
π+7
-7 (X+7) = 8 (-7)
-7X-49 =-56
-7X β 49 + 56 =0
-7X +7 = 0
-7X = 7X = β7
β7
X=1
15.- Demuestra que el punto A (-5,3) estΓ‘ sobre la mediatriz del segmento
cuyos extremos son ( 2,5) y Q (-3,-4).
A= (-5,3)
P= (2,5)
Q= (-3-4)
Pm (1
2, ,
1
2)
MPQ==β4 β5
β3β2 =
9
5
MAB = π₯ =3β
1
2
β5 (1
2) =
5
9
(MPQ) (MAB) = -1
=9
5
5
β9 = -1
-1=1
Ejercicio XII
Determina los angulos interiores de los siguientes triΓ‘ngulos cuyos vΓ©rtices son los
puntos que a continuaciΓ³n se indican; comprueba los resultados.
1-. A (-2,0) B (5, -5) y C (3, 7)
mAC= 7β0
3+2=
β7
5 tanπ =
β7
5 β
12
β2
1+(12
β2 )(
β7
5)
=
mBC= 7+5
3β5=
12
β2
mAB= β5β0
5+2=
β5
7 tanπ=
β12
2β
β5
7
1+(β12
2)(
β5
7)
mCB= β5β7
5β3=
β12
2
mCA=0β7
β2β3=
β7
β5 tanπ=
5
β7β
β7
β5
1+5
β7+
β7
β5
=
mBA= 0+5
β2β5=
5
β7
2.-
K (2,5) L (-3,-2) M (4,2)
m KL= β2β5
β3β2=
β7
β5 tanπ=
β4
β7β
β7
β5
1+β4
β7+
β7
β5
=
m ML= β2β2
β3β4=
β4
β7
m KM=2β5
4β2=
β3
2 tanπ=
4
7β
β3
2
1+(4
7 ) (
β3
2)=
m LM= 2+2
4+3=
4
7
m LK= 5+2
2+3=
7
5 tanπ=
3
β2β
7
5
1+(3
β2)(
7
5)=
m MK=5β2
2β4=
3
β2
II.-
1.-Dos rectas se cortan formando un angulo de 135β¦; si la recta inicial pasa
por los puntos A (-4,5) y B (3,9) y la recta final pasa por los puntos K (-2,4) y
L (x,1), determina la abscisa de L.
Recta inicial
A (-4,5)
B (3,9)
Recta final
K (-2,4)
L(x,1)
Mab= 9β5
3β(β4) =
4
7
Mkl= 1β4
π₯β(β2) =
β3
π₯+2
αΆΏtan= π2βπ1
1+π2π1
135(tan) = π
2β47
1+π2
47
-1= π
2β47
1+4
7 π2
-1(1+ 4
7 π2) = π2 -
4
7
-1- 4
2 π2= π2-
4
7
-1- 4
7 π2- π2= -
4
7
-4
7 π2 -
7
7 π2 = -
4
7+
7
7
-11
7 π2 =
3
7
π2= 3
7β11
7
ππ = π
βππ
π
βππ=
βπ
π + π
3(x+2) = -11 (-3)
3x+6= 33
3x= 33-6
X= 23/3
X=9
2.- La recta l1 forma un angulo de 30β¦ con la recta l2; si la pendiente de l2 es
πβπ, halla la pendiente de l1.
π1 y π2 = αΆ±30Β°
ππ1= 2β3αΆΏ
mπ2= ΒΏ?
30 (tan)= 2β3βπ1
1+ β3π12
0.577= 3.46βπ1
1+3.46π1
0.577(1+3.46π1) = 3.46 - π1
0.577+1.996 π1= 3.46- π1
1.996π1+π1= 3.46-0.577
2.996π1= 3.883
π1= 3.883
2.996
ππ= 0.96
3.- Dos rectas se cortan formando un angulo de 45β¦, si la recta final pasa por los puntos
A (5,3) y B (2,-1), determina la pendiente de la recta inicial.
π1 y π2 = 45Β°
A(5,3)
B(2,-1)
Mab= β1β3
2β5 =
β3
β4 =
3
4
45(tan)= 4
3βπ1
1+4
3π1
1=4
3βπ1
1+4
3π1
1(14
3π1)=
4
3π1
1+4
3π1=
4
3π1
1+4
3π1 + π1=
4
3
4
3π1 + π1=
4
3-1
7
3π1=
1
3
π1= 1
37
3
= π
π
4.-Determina la ecuaciΓ³n de la recta que pasa por el punto P(4,5) y forma un angulo de
135β¦ con la recta de ecuaciΓ³n 4x-2y+2=0.
5.-Determina el angulo que se forma entre las rectas 2x-6y+12=0 y 2x-y+1=0.
2x-6y+12=0 2x-y+1=0
M = βπ΄
π΅ =
β2
β6=
1
3 M =
βπ΄
π΅ =
β2
β1= 2
Tan π= 2β
1
3
1+2(1
3)
= 5
3
1+2
3
= 5
35
3
= 5
5 = 1
Tanπ = 1
π = π‘ππβ1(1)
π = 45ΒΊ
6.- El angulo formado entre dos rectas es de 45β¦, si una de la rectasp tiene por pendiente
(-2/3), determina la pendiente de la otra recta.
7.- Determina los angulos interiores del paralelogramo, cuyos vΓ©rtices son A
(4,8), B(8,6), C (6,2) D (2,4): comprueba los resultados.
8.- Halla el Γ‘rea del triangulo cuyos vΓ©rtices son A(2,-4), B(4,4) y C (7,-2); emplea la
formula A=π
π ab sen C
9.- Aplicando la formula A=π
π ab sen C; determina el Γ‘rea del triangulo, cuyos vΓ©rtices son
A(-8,-2) B(-4,-6) C (-1,5).
A=π
π ab sen C
Dac = β(βπ + π)π + (π + π)π
DAc =β(π)π + (π)π
DDAc=βππ + ππ
Ac= βππ
Dbc = β(βπ + π)π + (π + π)π
dBC=β(π)π + (ππ)π
dBC = βπ + πππ
dBC= βπππ
Mac = π+π
βπ+π = =
π
π = 1
Mbc = π+π
βπ+π=
ππ
π
Tan π= 11
3β1
1+11
3(1)
= 8
3
1+11
3
= 8
314
3
= 8
14 =
4
7
Tan π=4
7
π = π‘ππβ1(4
7)
π = 29ΒΊ 44"41.57""
A=π
π ab sen C
A= (π
π) (βππ) (βπππ) sen 29ΒΊ 44"41.57"" = 27.99
10.- La ecuaciΓ³n de una recta es x + 6y + 16=0;escribe la ecuaciΓ³n que representa todas
las rectas paralelas a la recta dada; determina especΓficamente la ecuaciΓ³n de la recta
paralela a la dad y que pasa por A(2,-3)
A(2,-3) x+6y+16= 0
M = βπ΄
π΅ = -(
1
6) = -
1
6 m = -
1
6
y-π¦1= m(x-π₯1)
y-(-3) = -1
6 (x-2)
6(y+3 =1
6x +
2
6)
6y+18= -x+2
x-2+6y-18=0
x+6y+16= 0
11.-Demustra que las rectas 3x+2y=0 y 2x-3y+6=0 satisfacen la condiciΓ³n de
la perpendicular.
3x+2y=0
2x-3y+6=0
π1=βπ΄
π΅ =
βπ
π
π2= βπ΄
π΅ =
β2
β3 =
π
π
12.- Una recta l1 pasa por el origen y por A (4,3); otra recta l2 pasa por A y es perpendicular a la
recta 6x-5y-16=0; determina el angulo formado por l1 y l2.
Iii. Dados los siguientes pares de ecuaciones, graficalos y demuestra las condiciones
x-y +1 =0 M= 1/1 = 1 Reciproco
x+y -5 = 0 M = 1/1 = Β‘ Hay perpendiculares
x-y + 1 = 0
x+y -5 =0
2x -4 = 0
2x = 4
X= 4/2
X=2 punto de intersecciΓ³n
2+y β 5 = 0
Y -3 = 0
Y =3 interseccion intersecciΓ³n total en el punto (2,3)
IV.-
3 x -9y +33= 0 x-3y-11 = 0 = x= 3y+11
X=3y -15
5
x y
2 -3
5 -2
8 -1
11 0
17 2
20 3
x Y
-1.2 -3
-4.8 3