Jerarquia de las operaciones1.Efectuar las operaciones entreparntesis, corchetes y llaves.2.Calcular laspotencias y races.3.Efectuar losproductosycocientes.4.Realizar lassumasyrestas.

Tipos de operaciones combinadas1.Operaciones combinadas sin parntesis1.1Combinacin de sumas y diferencias.9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen.= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =71.2Combinacin de sumas, restas y productos.3 2 - 5 + 4 3 - 8 + 5 2 =Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =Efectuamos las sumas y restas.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =151.3Combinacin de sumas, restas, productos y divisiones.10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 2 - 16 : 4 =Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =101.4Combinacin de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.23+ 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 22- 16 : 4 =Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 4 - 16 : 4 =Seguimos con los productos y cocientes.= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.=262.Operaciones combinadas con parntesis(15 - 4) + 3 - (12 - 5 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=Quitamos parntesis realizando las operaciones.= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 =183.Operaciones combinadas con parntesis y corchetes[15 - (23- 10 : 2 )] [5 + (3 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 3 ) =Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis.= [15 - (8 - 5 )] [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =Realizamos las sumas y restas de los parntesis.= [15 -3 ] [5 + 2 ] - 3 + 2=Operamos en los parntesis.= 12 7 - 3 + 2Multiplicamos.= 84 - 3 + 2=Restamos y sumamos.= 83

4.Con fracciones

Primero operamos con lasproductosynmeros mixtosde losparntesis.

Operamos en el primerparntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el ltimo.

Realizamos elproductoy losimplificamos.

Realizamos lasoperaciones del parntesis.

Hacemos lasoperacionesdelnumerador,dividimosysimplificamosel resultado.

Ejercicio de operaciones combinadas14 {7 + 4 3 - [(-2)2 2 - 6)]}+ (22+ 6 - 5 3) + 3 - (5 - 23: 2) =Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis.14 [7 + 4 3 -(4 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =Operamos con los productos y cocientes de los parntesis.14 [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =Realizamos las sumas y diferencias de los parntesis.14 (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =14 (17) + (-5) + 3 - (1) =La supresin de parntesis ha de realizarse considerando que:Si el parntesis va precedido delsigno +, se suprimirmanteniendo su signolos trminos que contenga.Si el parntesis va precedido delsigno , al suprimir el parntesis hay quecambiar de signoa todo los trminos que contenga.14 17 - 5 + 3 - 1 = 6

Las reglas de los signos de las operaciones:La intuicin opera fcilmente con los nmeros positivos; con los nmeros negativos se resiste. Intentar esbozar algunas reflexiones que expliquen las reglas de los signos de las operaciones.CUADRO SINPTICO

Tenemos la idea intuitiva de que el resultado de la suma o adicin es siempre un nmero mayor que los sumandos. Lo contrario ocurre con la sustraccin o diferencia. Esto se entiende fcilmente en estos casos:Nmero positivo + Nmero positivo =Nmero positivo(+5) + (+3) = (+8)Nmero positivo - Nmero positivo menor =N positivo(+5) - (+3) = (+2)Usualmente se escriben as:5 + 3 = 8 y 5 - 3 = 2Obsrvese lo anterior, que he llamado escritura usual, se han suprimido los signos (+) Quiere decir que son innecesarios? No! Se trata de un convenio por el cual, todo nmero sin signo expreso supone, implcitamente, el signo (+).El problema se complica cuando introducimos signos negativos:Nmero negativo + Nmero negativo = Nmero negativo(-3) + (-5) = (-8)Y se complica an ms en estos casos de ambigedad:Nmero negativo - Nmero negativo =Nmero negativo(-5) - (-3) = (-2)Nmero negativo - Nmero negativo = Nmero positivo(-3) - (-5) = (+2)Aqu la intuicin de que el resultado de la suma o adicin es siempre un nmero mayor que los sumandos o que en la diferencia es menor, falla;(-8) es menor que (-3) y (-5) y (+2) es mayor que (-3) (-5)Les brindo una estrategia que me dio Siempre! Muy buen resultado. Si al signo (+) lo asociamos a la idea de tener dinero contante y sonante y el (-) lo asociamos a deber dinero; esto es a tener que pagar, no s que tienen los dineros que aclaran, instantneamente, las ideas.Ejemplo 1: La regla de los signos en la suma.La idea intuitiva que tenemos de la adicin o suma es la de aadir o agregar. Los nmeros que se agregan se llaman sumandos y el resultado, suma.En elcuadro n 1, se simbolizan pora, b, S.Usando esta idea y la estrategia anterior justificaremos la regla de los signos en la suma.Cuadro n 1: Regla de los signos en la suma.a + b = SLeyenda

(+) + (+) = +La suma de dos nmeros positivos es positivo. Si nos entregan dinero, tendremos ms dinero

(+) + (-) = ?(-) + (+) = ? (*)La suma de un nmero positivo y otro negativo tiene resultado incierto. Si tengo dinero y he de pagar una deuda que es lo mismo que si tengo una deuda que pagar y recibo dinero para satisfacerla, el resultado depende de dos valores: Lo que tengo y la deuda. Es mayor la deuda? Seguir teniendo deuda, resultado negativo Tengo dinero suficiente? Seguir teniendo dinero, resultado positivo

(-) + (-) = -La suma de dos nmeros negativos es negativo. Si tengo una deuda y contraigo otra deuda, tendr una deuda mayor

(*) Propiedad conmutativa de la suma. Ver propiedades.Observaciones sobre los signosContraer una deuda lo asociamos al signo (-). Tener dinero lo asociamos al signo (+). Los valores lo representamos por nmeros, los mismos para las deudas que para lo disponible. Cuando queremos representar el valor numrico, independiente del signo, esto es, que sea deuda o no, la matemtica introduce el concepto de valor absoluto o mdulo; as: [+3] = 3 y [-3] = 3El valor absoluto o mdulo de un nmero es su valor aritmtico independiente de su signo.

Con esta definicin interpretamos la columna de la izquierda de esta manera:Cuadro n 1': Regla de los signos en la suma.a + b = SLeyenda

(+) + (+) = +(-) + (-) = -La suma de dos nmeros de igual signo, es otro nmero de igual signo que los sumandos:(+5) + (+3) = (+ 8) y(-5) + (-3) = (-8)

(+) + (-) = ?(-) + (+) = ? (*)La suma de dos nmeros de signo contrario , es otro nmero de igual signo que el del mayor valor absoluto de los sumandos:(+5) + (-3) = +2 y(-5) + (+3) = - 2

Ejemplo 2: La regla de los signos en la sustraccin o diferencia.La idea intuitiva que tenemos de la resta, sustraccin o diferencia es la contraria u opuesta a la suma; esto es, disminuir o reducir.La definicin de la resta, sustraccin o diferencia, se apoya en la suma, as:La resta, sustraccin o diferencia de dos nmeros llamados minuendo (M) y sustraendo (S), es otro nmero, diferencia (D) que sumado al sustraendo se obtenga el minuendo. En smbolos: M - S = DM = S + DNOTA: Smbolo de la doble implicacin que se traduce por: Es equivalente aUna diferencia se transforma en suma cambiando el signo al sustraendo

Toda construccin matemtica, nueva, se apoya en lo ya construido; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemtico se llega a una situacin ya estudiada se dice: estamos en el caso anterior. Si la resta se puede transformar en suma, la regla de los signos de la resta se justificar a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la suma.Usando de esta estrategia justificaremos la regla de los signos en la resta o sustraccin, transformndolos en la suma. As:M - S = M + (-S)Cuadro n 2: Regla de los signos en la en la sustraccin o diferencia.M - S = DTransformacin aplicando la estrategia M + (-S) = D

(+) - (+) = (+) + (-) = ?Valor indeterminado. Situacin equivalente a la fila segunda de la suma en cuadro 1(Ir)

(-) - (-) = (-) + (+) = ?Valor indeterminado. Situacin equivalente a la fila segunda de la suma en cuadro 1(Ir)

(-) - (+) = (-) + (-) = -Situacin equivalente a la fila tercera de la suma en cuadro 1(Ir)

(+) - (-) = (+) + (+) = +Situacin equivalente a la fila primera de la suma en cuadro 1(Ir)

Ejemplo 3: La regla de los signos en la multiplicacin.Recuerdo que la primera definicin formal que o en matemticas la debo a mi maestro Rafael Miranda, al que desde aqu le rindo el tributo de mi ms sentido homenaje. El Profesor Miranda nos deca:Multiplicar dos nmeros, multiplicando y multiplicador, es hallar un tercero, producto, que sea en magnitud y signo respecto al primero lo que el segundo es a la unidad entera y positiva

NOTA:La palabra magnitud se toma como valor numrico.Usando de esta definicin justificaremos la regla de los signos en la multiplicacin; as:Comparo el signo del multiplicador con la unidad positiva, pueden ser iguales o contrarios; la misma relacin ha de darse entre el producto y el multiplicando.Cuadro n 3: La regla de los signos en la multiplicacin.M x m = P(+1)Es la unidad entera y positiva de referencia con la que se ha de comparar el signo del multiplicador

(+) x (+) = +Cmo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. As han de ser los signos del producto y multiplicando

(+) x (-) = -Cmo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. As han de ser los signos del producto y multiplicando

(-) x (+) = -Cmo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. As han de ser los signos del producto y multiplicando

(-) x (-) = +Cmo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. As han de ser los signos del producto y multiplicando

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la multiplicacin y se puede concluir as:El producto de signos iguales es positivo.El producto de signos contrarios es negativo

Ejemplo 4: La regla de los signos en la divisin.La definicin de la divisin es:Dividir dos nmeros, dividendo y divisor, es hallar un tercero, cociente, que multiplicado por el divisor se obtenga el dividendo

Como se ha dicho en la suma, toda construccin matemtica, nueva, se apoya en lo ya construido; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemtico se llega a una situacin ya estudiada se dice estamos en el caso anterior. Si la divisin se define partiendo de la definicin de multiplicacin o producto, la regla de los signos de la divisin se justificar a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la multiplicacin. Dicho de otra manera: Se elige el signo del cociente que al multiplicarlo por el signo del divisor obtenemos el signo del dividendo.Cuadro n 4: La regla de los signos en la divisin.D : d = cPor la definicin: d x c = D

(+) :(+) = +Porque (+) x (+) = +

(+) : (-) = -Porque (-) x (-) = +

(-) : (+)= -Porque (+) x (-) = -

(-) : (-) = +Porque (-) x (+) = -

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la Divisin y se puede concluir as:El cociente de signos iguales es positivo.El cociente de signos contrarios es negativo

OBSERVACIN:Es de destacar en todo lo anteriormente expuesto la estrategia empleada:Apoyarse en lo conocido para indagar y resolver lo desconocido.Ejemplo 5: La regla de los signos en la potencia.La potencia de exponente natural y base entera se define as:Elevar un nmero enteroallamado base a un exponente naturalnconsiste en repetiracomo factor tantas veces como indican

Como se ha dicho anteriormente, toda construccin matemtica, nueva, se apoya en lo ya construido; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemtico se llega a una situacin ya estudiada se dice estamos en el caso anterior. Si la potencia se define partiendo de la definicin de multiplicacin o producto, la regla de los signos de la potencia se justificar a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la multiplicacin.Cuadro n 5: La regla de los signos en la potencia.N = ann vecesPor la definicin: N = a.a.a....a

base positiva:a > 0La potencia es positiva porque producto de signos positivos es positivo N > 0

base negativa:a < 0Dos casos pueden presentarse:Exponente par: La potencia es positiva porque producto par de signos negativos es positivo N >0Exponente impar: La potencia es negativa porque producto impar de signos negativos es negativoN < 0

Parece una buena estrategia para justificar la regla de los signos en la potencia y se puede concluir as:La potencia de base positiva siempre es positivaLa potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar

OBSERVACIN:Es de destacar en todo lo anteriormente expuesto la estrategia empleada:Apoyarse en lo conocido para indagar y resolver lo desconocido.Ejemplo 6: La regla de los signos en la radicacin.La raz de ndice natural de un nmero se define as:La raz ensima de un nmeroNllamado radicandoconsiste en hallar un nmeroa que elevado al ndicen,obtengamosN

Los signos de la raz se deducen a partir de los signos de la potenciaCuadro n 5: La regla de los signos en la raiz. nN = a n es un nmero naturalPor la definicin: N = an

Radicando positivo:N > 0Dos caso pueden presentarse:ndice par: Dos races una positiva y otra negativa porque cualquiera que sea la base elevada a exponente par la potencia es positivandice impar: Una raz positiva ya todo nmero positivo elevado a exponente entero es positivo

Radicando negativo:N < 0La operacin solo es posible si el exponente es impar. La raz es negativa porque producto impar de signos negativos es negativo, ya que si el exponente es impar el signo de la potencia es el de la base

OBSERVACIN:Se est hablando de races reales. No sehan tenido en cuenta las races complejas cuyaresolucin escapa al contenido que nos proponamos.La regla de los signos en la radicacin se puede resumir as:La raz de ndice impar es positiva si el radicando es positivo y negativa si es negativoLa raz de ndice par tiene dos soluciones opuestas; esto es: Una positiva y otra negativa

OBSERVACIN:Es de destacar que los nmeros negativosno tienen raz de ndice par en los nmeros reales.