INTRODUCCIÓN………………………………………………………..1

¿Qué es el algebra?.....................................................................................2EXPRESIONES ALGEBRÁICAS……………………………………….3EXPONENTES…………………………………………………………...4PERÍMETRO ALGEBRÁICO……………………………………………5SUMA ALGEBRÁICA…………………………………………………..6RESTA…………………………………………………………………7- 8MULTIPLICACIÓN…………………………………………9-10-11-12-13DIVISIÓN……………………………………………………14-15-16-17PRODUCTOS NOTABLES………………………………… 18-19-20FACTORIZACIÓN……………………………….21-22-23-24-25-26-27ECUACIONES CUADRATICAS………………………………..

La introducción en el algebra puede comenzar con un simple problema:

X + 7= 12

¿Cuál es el número faltante?, es decir, ¿Cuánto vale la x?

La respuesta es bastante sencilla quedando claro que el resultado de la suma es 12, por tanto podemos decir que el valor de x se sitúa en el número “5”.Básicamente por que tener un el resultado al final de dicha suma se deduce que si el número que conocemos es 7 y el resultado debe ser 12, ¿Cuánto nos falta para completar 12, hay es donde entra el valor de la x, al tener un valor variado, esto quiere decir, que x ,o cualquier otra literal, tiene un valor único el cual es 1 ,pero esto cambia si nosotros le damos un cierto valor, por ejemplo 5x, (5 * 1= 5) quiere decir que x vale 5, que directamente es lo que vale x en el problema.

Es así de sencillo. La letra (en este caso una x) sólo quiere decir “aún no lo sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o la variable.

En este trabajo examinaremos lo que se vio en el primer semestre de aprovechamiento académico matemático en el instituto David Alfaro Siqueiros, nos adentraremos en el tema específico del álgebra y sus métodos de resolución que se han descubierto y se han vuelto regla a lo largo de la historia.

El Algebra es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades.

En el álgebra generalmente los números son utilizados o expresados por números letras o básicamente el abecedario que conocemos, es por ello el término tan común hoy en día la “x”.Esto es útil por que:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

• Permite la formulación de relaciones funcionales.

Básicamente en todo lo que hacemos cosas tan simple como ir de compras se vuelve una tarea en la que utilizaos o se utiliza el algebra, por ejemplo, las cajas registradoras digitales que utilizando diferentes códigos que involucran al algebra para dar una cierta cantidad y que al cliente se le sume un cantidad “x”.Cosas como construir una casa, es esencial el algebra ya que se usa en el diseño, medidas de la casa etc.

Básicamente la usamos para mejorar nuestra vida contemporánea, para hacer infraestructura, para desarrollarnos matemáticamente y millones de cosas mas, técnicamente todo.

Una expresión algebraica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo:

2(5x+9y)

Un término algebraico se compone de un signo que puede ser positivo (+) o negativo (-).También se contiene un coeficiente, estos se encuentran e el producto de dos o mas factores, y a cualquiera de estos se le puede llamar coeficiente.En general se le llama coeficiente a una constante (con todo y sigo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.

Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza un término como factor para multiplicarse por sí mismo. Normalmente, el exponente se coloca como superíndice después del término.

El grado de una expresión algebraica con varias variables es, respecto de todas sus variables, la mayor suma de sus exponentes.Por ejemplo:5x²y³+2xy²El exponente mayor en esta operación seria 5x²y³ por q a suma de todos sus exponentes es mayor a 2xy².

Perímetro del cuadrilátero = 5g + 2j + 3

El perímetro de una figura es exactamente igual con literales o sin literales la temática es la misma solo que con literales el resultado no se maneja con un solo coeficiente si hay varias literales.

a) (5a²- 2a³+ a) + (4 a+ 3a²) + (5a³- 2 a + 7) + (3 a – 2a³+5) =

1 a³ + 8 a² + 6 a + 12 Poli. Cúbico

b) (3/4 x² - 4/3 x+ 2) + (1/6 x – 5/2 x² + 7/8) =-7/4 x² - 7/6 + 23/8 Trin. Cuadrado c) (4y – 5z + 3) + (4z – y + 2) + (3y – 2z – 1)6y - 3z + 4 Trin. Lineal

d) (1/2 m² + 3/5 m – 4/7) + (3/8 m – 5/4) + (5/3 m – 3/10 m²)1/5 m² + 317/120 m – 51/28 Trin. Cuadrado

e) (2pq – 3p²q + 4pq²) + (pq – 5pq² - 7p²q) + (4pq² + 3pq - p²q)-11p²q + 3pq²+6pq Trin. Cuadrado

Un tiburón se encuentra sumergido a -4x de profundidad mientras que en ese mismo momento un avión vuela sobre el a 4x de altura ¿Cuál será la distancia “x” entre el punto en el que se encuentra el tiburón con el punto donde se encuentra el avión?

4x – (-4x) = 8

Ejercicios de resta

a)linealTrinomio

nm

nmnmnnm

−−−

=−+−−+−+−−−+61115

)346()534()78()7415(

b)gradoPolinomio

mmmm

mmmmmmm

−−++−

=+−−−−++−581494

)1386()45634(234

23234

c)gradoPolinomio

xxxx

xxxxxxx

−−−+−

=+−−+−+−+258616

)425610()2736(235

23525

d)gradoPolinomio

yxyyxy

xyyyxyxyyxy

−−+−−−

=++−−−+−++−−753(

)56()252()7(234

234234

e)

linealTrinomio

yx

xyyx

−

−−

=++−−−+

36

127

24

55

3

5

)9

2

2

3()

4

5

3

8()5

8

3

6

1(

Resta fraccionaria

linealTrinomio

yx

xyyx

−

−−

=+−−−+

)2

3

3

2

8

3(

9

2

12

3

3

4()

5

3

3

2

8

1(

a) LEY DE SIGNOS

En la de la suma(+) + (+) = +(-) + (-) = -(+) + (-) = según sea el valor del mayor (-) + (+) = lo mismo que arriba

En la de la resta es = solo cambias el signo que esta entre medio de los paréntesis.

(-) - (-) = +(+) - (+) = +(-) - (+) = según sea el valor del mayor(+) - (+) = según sea el valor del mayorÓsea que si es un -3+1=-2

La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.

Multiplicación y División(+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+)(+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-)(-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-)(-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+)

Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x (y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Ley de los exponentes

MULTIPLACION.- El la multiplicación los exponentes se suman después de haber multiplicado el producto en si por ejemplo:

(5x+6y) (4x-9y) = 20x² - 45xy + 24yx – 54x²

DIVISION.- En la división los exponentes a contrario de la multiplicación se restan en vez de sumarse, como por ejemplo:

2

2

4

2

32

1

6

3

18 cba

c

c

b

b

a

a −=−

Y el número que tiene en si un exponente mayor se le da el merito de colocar la literal con su exponente sobrante.

Regla del Radical Todo Expresión Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fraccionario

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

Potencia

Una relación en forma de ley de potencias entre dos escalares x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

La multiplicación algebraica lleva:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) (+) = +(-) (-) = +

(+) (-) = -(-) (+) = -

Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n

Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz

Pero en el algebra se obedece también la ley de los coeficientes.

Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

Primer paso: (2a – 3) (5a + 4)

Multiplicar términos aunque sean no semejantes por ejemplo:2a * 5a = 10a²2a * 4 = 8a-3 * 5a = 15a-3 * 4 = -12

Segundo pasoOrdenar - clasificar:10a² + 8a - 15a – 12Justificar:10a²-7a-12Identificar resultado:“Trinomio-cuadrado”

Ejercicios de multiplicación

gradoPolinomio

xxxx

xxxx

−−+−

=−−−−2124

)252)(32(234

22

cúbicoPolinomio

xxx

xxx

−+−−

=−−−)11012(

)124)(13(23

2

cúbicoPolinomio

aaa

aaa

−

−−+

=+−−

4

3

40

83

2

3

15

8

)2

3

5

2)(

2

1

4

5

3

4(

23

2

cúbicoTrinomio

yxyxyx

yxxyyxxy

−++−

=+−323334

2222

184624

)62)(49(

linealPolinomio

mmmym

mmmm

−+−−

−−−−

−

14

12

112

173

534

23

12

2012106

)24)(35(

gradoPolinomio

zz

zzz

zzzz

−

−−+−

−−+−

3

4

9

5

70

11

35

54

35

6

)32

7

7

3)(

9

4

3

1

5

2(

234

22

cuadradoTrinomio

yy

yy

−−+

=+−2026

)42)(53(2

cúbicoPolinomio

xxx

xxx

−+++

=++−143315

)25)(73(23

3

cúbicoPolinomio

abbababa

abbabab

−−+−

=−+3223223

22

618824

)26)(34(

2x-4

A= -4x-12 5x+3

f)

f) Modelo de la ecuación

xxx4

1561215 +++

La división por términos algebraicos es aquella en la que se usa una regla general de las matemáticas (la división) para resolver problemas con términos algebraicos.Existen tres tipos de división:

División de monomios

Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

Ejemplo:

restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:

División de polinomios entre polinomios

La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;

Si se tiene la división

1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:

2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x2) por el primer término del divisor (x):

3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.

4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.

Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0

Resolver:

1)53357

3283654729

61054

2/1220108

mnnmnmm

nmnmnmnmnm

+−−=+−−

2)324

5/151052023

234

−++−=−+−−

xxx

xxxxx

3)2

554

2/5104

35

3468

aaa

aaaa

−−

=−−/

4)xyyx

xyyxxyxyyx

543

2/10862 2222

+−+=+−+

5)43

2/823 2

−=+−+

x

xxx

6)13

22/2422

3

++=+−−

xx

xxx

7)222

32/37223

34

−++=+−+−

aaa

aaaa

8)112

37/337114 2

−=+−−

y

yyy

Si un espacio rectangular mide 6x²-19x+15 y la anchura es 3x-5. ¿Cuánto mide la base?

32

53/15196 2

+=−−−

x

xxx

Conclusión sobre matemáticas primera unidad:Para avanzar a más complejidad en las matemáticas debemos tener en cuenta la suma la resta la multiplicación y la división como bases en cada problema para llegar al resultado, por lo cual debemos dominarlas y efectuarlas con facilidad en cada método matemático que se nos presente.En este nivel ya no solamente debemos saber estos cuatro métodos básicos sino que debemos saber efectuarlos en una operación algebraica variada con una regla distinta pero similar a la que conocemos generalmente.

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

Binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Resolver:

16249)43( 22 ++=+ aaa

25204)52( 2422 +−=− xxx

222 6411249)87( nmnmnm ++=+

12530024064)54( 233 +++=+ aaaa

343294848)72( 36933 ++−=− aaaa

64240300125)45( 233 +++=+ mmmm

68018324172881)43( 2344 ++++=+ xxxax

14741040080001000032)42( 24681052 +++++=− xxxxxx

62089652436005120001296000079626444096)34( 36912151863 ++++++=+ yyyxyyy

1584)52)(32( 2 ++=++ xxxx

1)1)(1( 422 −=+− xxx

82)2)(4( 2 −+=−+ mmmm

499)73)(73( 2 −=+− aaa

babababa 6525)25)(35( 2 −−=−+

916)34)(34( 933 −=−+ xxx

45)4)(1( 2422 +−=−− aaaa

Hay diversas aplicaciones para los productos notables, en este caso el área de un terreno dividido en dos partes, la operación está manejada por el sistema de factor común, que nos dice que multiplicando los dos coeficientes por un tercero, el resultado nos queda distribuido en dos partes.

ConclusiónCada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.Los productos notables están hechos para factorizar un problema a manera de que este quede reducido a su forma original.

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

4x²+6x= 2x(2x+3)

Agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.)

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El

primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Suma o diferencia de cubos 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda

raíz.y3 - 27 = (y - 3)(y2 + 3y + 9)

a))85)(85(

6425 22

baba

ba

−+=−

b))52)(34(

15148 2

−+=−−

mm

mm

c))9)(6(

54152

−−=+−

xx

xx

d))3)(25(

6135 2

++−=+−

xx

xx

e))39)(3(

272363

39

bbaaba

ba

+−−=−

f))5(5

105 2

+=+

aa

aa

i)????

19 6 =−x

j)252016)(54(

125642

3

+++=+

xxx

x

k))12)(12(

1442

−−=−xx

x

l))4)(32(

12112 2

++=++

xx

xx

m))3(4

124 22

yxxy

xyyx

−=−

n) ))(( yxzw

yzxzywxw

−+=−+−

o))9)(5(

45142

++=++

xx

xx

p))12)(23(

26 2

−−=−−

yy

yy

q))72)(72(

494 2

−−=−mm

m

r))7)(6(

422

−+=−−

xx

xx

s))72)(5(

3532 2

−+=−+

mm

mm

t))17)(7(

119242

−−=+−

aa

aa

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple2. Completando el Cuadrado3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x² + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0x + 4 = 0 x – 2 = 0x = 0 – 4 x = 0 + 2x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___[Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3x = 2 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

CONCLUSION:En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como productos, cuando esto sea posible se dirá que se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental.

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Número real

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Número real

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:

.

1)

7

3

0

0217

2

1

2

−=

==−

x

x

xx

2)

2

2

0164

2

1

2

−==

=−

x

x

x

3)

207.2

207.2

023

2

1

2

−==

=−−

a

a

aa

4)

38.9

38.10

0529

2

1

2

==

=−+

m

m

mm

5)

732.1

732.1

03

2

1

2

−==

=−

x

x

xx

6)

414.1

414.1

0105

2

1

2

−==

=−

x

x

x

7)

1

428.1

01037

2

1

2

−==

=−−

y

y

yy

8)

it

it

tt

5.04

5.04

12

2

1

2

−=+=++

9)

935.0

935.0

078

2

1

2

−==

=−

x

x

xx

10)

5

5

025

2

1

2

−==

=−

a

a

a

Conclusión:En lo que a este semestre respecta, comprendí mas a fondo lo que son las matemáticas, fue irme mas haya de las operaciones básicas que realmente no estaba mas que hay, por suerte ahora me sentí muy cómodo con las clases y aunque se que aún me falta mucho no siento que las matemáticas sea algo como para romperse la cabeza como muchos literalmente expresan.El adentrarme mas en el tema me hizo razonar sobre la dependencia que tenemos los humanos para usar estos métodos, es decir, las matemáticas se ha vuelto otra parte de lo que nos hace humanos.