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COM P L E 11 E N T 0 S
ELEMENTOS DEL ALGEBRA DE MATRICES
1 Definicion Se da el nombre de matriz en particular matriz numerica de dimensiones m x n a un conjunto de numeros escrishytos en m filas horizontales -lineas- y en n filas verticales -columnas- Los elementos que constituyen las matrices suelen ser representashydos de manera general por aiJ donde el primer in dice a saber i indica el orden de la linea el segundo indice j el orden de la columshyna a que pertenece el elemento considerado Asi por ejemplo aM es el elemento que ocupa la intersecci6n de la tercera linea y la cuarta columna Este procedimiento de ubicaci6n de un elemento se refieshyre a las explicaciones te6ricas haciendose innecesario en el trabajo de orden practico
Este sistema de indicaci6n del lugar es el de doble sub-indice y sera el que empleemos en esta exposici6n Existe ademas el sistema de sub-in dice y superindice segun el cual el elemento ail es el que ocupa la intersecci6n de la linea icon la columna j
Para escribir las matrices el cuadro formado por sus elemenshytos se encierra entre parentesis corchetes 0 dobles barras Aqui utishylizaremos las siguientes designaciones equivalentes
Se puede decir para facilitar la comprensi6n que las matrices numericas son colecciones ordenadas de numeros Los vect~res coshymo veremos luego son un caso particular los numeros aislados pue~ den ser considerados como matrices 1 x 1
101
2 19ualdad Dos matrices A B son iguales sl al ser de iguashyles dimensiones 0 sea al contener el mismo numero de lineas y el mismo numero de columnas respectivamente sus elementos cumplen la siguiente condici6n
(1)
para todos los valores de i y de j
La igualdadi de dosmatrices implica en consecuencia m x n igualdades la de cada elemento de la matriz A y su hom610go en la matriz B
3 Surna Por suma de dos niab~ices A Bde las mismas di mension~s m x n se entiende la matriz cuyos elementos son suma de los elementos homologos de A y B
De maneraque si se tiene
(1)
Ill matriz surna se expresa asi
(2)
Segun la definicion Ill suma de matrices goza de las propiedashydes conrnutativa y asociativa correspondientes a la suma de numeshyros A saber
(3) A+ B= B A
(4) A + (B + C) - (A + B) + C
~ 4 Matriz nula 0 cero Matriz cero m x n es la matriz de esshy
I r tas dimensiones cuyos elementos son el numero cero Se Ie represhy
senta por (0) 0 bien por O Para toda matriz A se verifiea I (1) A+O=O+A=A
5 Ptoducto Dada una matriz A m x n y una matriz B n x p se define el producto AB como Ill matriz C cuyos elementos CiJ se forman segun el siguiente esquema
(1)
10 que para fijar mejor los conceptos escribiremos aSl
102
all at aln bu b1 b1Pshy
~ bl b
b2Pal a=2 a~n
(2)
a bn1 bn bnp
ell Cl2 Clp
C21 C2 C~igt
am1 a m2 mn
-
e m1 Cm2 Cmp
Debemos dar enfasis a la circunstancia que hace posible el proshyducto Este esta definido -es posible- unicarnente cuando el numero de columnas de la primera matriz A eSigual alnumero de lineas de la segunda B L1s dimensiones de la matriz producto C vienen a ser m numero de lfneas de la primera y p numero de columnas de Ill segu~da
6 Substituciones lineales La multiplicaci6n de matrices tieshyl1euro su origen en la teorfa de las substituciones lineales Veamosle por medio del siguiente ejemplo
Supongamos que las variables Xl X~ X3 estan vinculadas a YI Y2 de Ill manera siguiente
(1)
Si por otra parte las Xl X
relaciones X dependen de Zh Z2 segun las
(2) ~
Xl=- bllz1 + b12Z
X2 - blZ1 + bbullZn_
Xa - b3lZ1 tmiddot ba2Z2
103
- an al aln - bll bl~ b1P shy
aZl a2 am bZI b~2 b2p 1
(2)
cn CZp
em1 Cm2 bullbull Cmp
Debemos dar enfasis a la circunstancia que hace posible el pro ducto Esteesta definido -es po sible- unicamente cuando el numero de columnas de la primera matriz A eSigual al numero de l~neas de la segunda B Las dimensiones de la matriz producto C vienen a ser m Iumero de lineas de la primera Y p numero de eolumnas de la segunda
6 Substitucipnes lineales La multiplicacion de matrices tieshyBE su origen en la teoria de las substituciones lineales Veamosle p~n medio del siguiente ejemplo
Supongamos que las variables Xl X2 X3 estan vinculadas a Yl1 Y~ de la manera siguiente
(1) allXI + a12X2 + al1Xa = Yl
a 21X l + a22 XZ + a23X - Y2
Si por otnt parte las XI X2 Xa dependen de Zl Z2 segun las relaciones
(2) ~
Xl= bllz1 + b12ZZ
X2 === b21 Z1 + b2Z z z
xsmiddot= b31Z 1 Fb32ZZ
103
la dependencia de lasmiddot Zl con las Yl se podra establecer directamente mediante la substitucion de las (2) en las (1)
Quedara al substituir y ordenar
(a11 bll + a12 b2l + a13b3d Zl + (all b12 + a12 Q22 + a13b32 ) Z2 = Yl (3)
(a21bll + a2 2 b21 + a23b3d Zl + (a2lb12 + a22 b22 + a23 b32 ) Z2 = Y2
Veamos ahora middotla dis posicion matricial de las operaciones anteshyriores
I- XlI-all a12 Yla13 (1) X2
a2l a22 a23 J Y2
Xa J shy
J 1- Xl bll b12 1-
Zl (2) X2 b2l b22-
Z2 JXa bal b32 J La substitucion de (2) en (1) da
- I-bll b12 shyall a12 a13
1-Zl Yl
(3) b 2l b22 -Z2 Y2 Ja2l a22 a23
_ b3l 1gt32J- -10 cual hace ver como la matriz de la substitucion (3) producto de las substituciones (1) y (2) viene a ser
(4)
all a12 a13 bZl b22
an a22 a23 b3l b32
-
J 7 Vectores Una matriz de orden 1 x n recibe el nombre de
vector-linea de orden n Demanera analoga una matriz de orden
104
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de ordeI m EI producshyto matriCial de dos vectores exige para ser posible que los ordenes de estos sean iguales
Sean los vectores
b2
(1) v
Se tiene
(2)
Por otra parte es
(3) vu -
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decir a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe elnom~ bre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de orden m EI producshyto matricial de dos vectores exige para ser posible que los 6rdenes de estos sean iguales
Sean los vectores
(1) v=
Se tiene
(2)
L bn
Por otra parte es
(3) vu -I
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decii a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe el-nomshybre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
2 19ualdad Dos matrices A B son iguales sl al ser de iguashyles dimensiones 0 sea al contener el mismo numero de lineas y el mismo numero de columnas respectivamente sus elementos cumplen la siguiente condici6n
(1)
para todos los valores de i y de j
La igualdadi de dosmatrices implica en consecuencia m x n igualdades la de cada elemento de la matriz A y su hom610go en la matriz B
3 Surna Por suma de dos niab~ices A Bde las mismas di mension~s m x n se entiende la matriz cuyos elementos son suma de los elementos homologos de A y B
De maneraque si se tiene
(1)
Ill matriz surna se expresa asi
(2)
Segun la definicion Ill suma de matrices goza de las propiedashydes conrnutativa y asociativa correspondientes a la suma de numeshyros A saber
(3) A+ B= B A
(4) A + (B + C) - (A + B) + C
~ 4 Matriz nula 0 cero Matriz cero m x n es la matriz de esshy
I r tas dimensiones cuyos elementos son el numero cero Se Ie represhy
senta por (0) 0 bien por O Para toda matriz A se verifiea I (1) A+O=O+A=A
5 Ptoducto Dada una matriz A m x n y una matriz B n x p se define el producto AB como Ill matriz C cuyos elementos CiJ se forman segun el siguiente esquema
(1)
10 que para fijar mejor los conceptos escribiremos aSl
102
all at aln bu b1 b1Pshy
~ bl b
b2Pal a=2 a~n
(2)
a bn1 bn bnp
ell Cl2 Clp
C21 C2 C~igt
am1 a m2 mn
-
e m1 Cm2 Cmp
Debemos dar enfasis a la circunstancia que hace posible el proshyducto Este esta definido -es posible- unicarnente cuando el numero de columnas de la primera matriz A eSigual alnumero de lineas de la segunda B L1s dimensiones de la matriz producto C vienen a ser m numero de lfneas de la primera y p numero de columnas de Ill segu~da
6 Substituciones lineales La multiplicaci6n de matrices tieshyl1euro su origen en la teorfa de las substituciones lineales Veamosle por medio del siguiente ejemplo
Supongamos que las variables Xl X~ X3 estan vinculadas a YI Y2 de Ill manera siguiente
(1)
Si por otra parte las Xl X
relaciones X dependen de Zh Z2 segun las
(2) ~
Xl=- bllz1 + b12Z
X2 - blZ1 + bbullZn_
Xa - b3lZ1 tmiddot ba2Z2
103
- an al aln - bll bl~ b1P shy
aZl a2 am bZI b~2 b2p 1
(2)
cn CZp
em1 Cm2 bullbull Cmp
Debemos dar enfasis a la circunstancia que hace posible el pro ducto Esteesta definido -es po sible- unicamente cuando el numero de columnas de la primera matriz A eSigual al numero de l~neas de la segunda B Las dimensiones de la matriz producto C vienen a ser m Iumero de lineas de la primera Y p numero de eolumnas de la segunda
6 Substitucipnes lineales La multiplicacion de matrices tieshyBE su origen en la teoria de las substituciones lineales Veamosle p~n medio del siguiente ejemplo
Supongamos que las variables Xl X2 X3 estan vinculadas a Yl1 Y~ de la manera siguiente
(1) allXI + a12X2 + al1Xa = Yl
a 21X l + a22 XZ + a23X - Y2
Si por otnt parte las XI X2 Xa dependen de Zl Z2 segun las relaciones
(2) ~
Xl= bllz1 + b12ZZ
X2 === b21 Z1 + b2Z z z
xsmiddot= b31Z 1 Fb32ZZ
103
la dependencia de lasmiddot Zl con las Yl se podra establecer directamente mediante la substitucion de las (2) en las (1)
Quedara al substituir y ordenar
(a11 bll + a12 b2l + a13b3d Zl + (all b12 + a12 Q22 + a13b32 ) Z2 = Yl (3)
(a21bll + a2 2 b21 + a23b3d Zl + (a2lb12 + a22 b22 + a23 b32 ) Z2 = Y2
Veamos ahora middotla dis posicion matricial de las operaciones anteshyriores
I- XlI-all a12 Yla13 (1) X2
a2l a22 a23 J Y2
Xa J shy
J 1- Xl bll b12 1-
Zl (2) X2 b2l b22-
Z2 JXa bal b32 J La substitucion de (2) en (1) da
- I-bll b12 shyall a12 a13
1-Zl Yl
(3) b 2l b22 -Z2 Y2 Ja2l a22 a23
_ b3l 1gt32J- -10 cual hace ver como la matriz de la substitucion (3) producto de las substituciones (1) y (2) viene a ser
(4)
all a12 a13 bZl b22
an a22 a23 b3l b32
-
J 7 Vectores Una matriz de orden 1 x n recibe el nombre de
vector-linea de orden n Demanera analoga una matriz de orden
104
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de ordeI m EI producshyto matriCial de dos vectores exige para ser posible que los ordenes de estos sean iguales
Sean los vectores
b2
(1) v
Se tiene
(2)
Por otra parte es
(3) vu -
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decir a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe elnom~ bre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de orden m EI producshyto matricial de dos vectores exige para ser posible que los 6rdenes de estos sean iguales
Sean los vectores
(1) v=
Se tiene
(2)
L bn
Por otra parte es
(3) vu -I
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decii a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe el-nomshybre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
- an al aln - bll bl~ b1P shy
aZl a2 am bZI b~2 b2p 1
(2)
cn CZp
em1 Cm2 bullbull Cmp
Debemos dar enfasis a la circunstancia que hace posible el pro ducto Esteesta definido -es po sible- unicamente cuando el numero de columnas de la primera matriz A eSigual al numero de l~neas de la segunda B Las dimensiones de la matriz producto C vienen a ser m Iumero de lineas de la primera Y p numero de eolumnas de la segunda
6 Substitucipnes lineales La multiplicacion de matrices tieshyBE su origen en la teoria de las substituciones lineales Veamosle p~n medio del siguiente ejemplo
Supongamos que las variables Xl X2 X3 estan vinculadas a Yl1 Y~ de la manera siguiente
(1) allXI + a12X2 + al1Xa = Yl
a 21X l + a22 XZ + a23X - Y2
Si por otnt parte las XI X2 Xa dependen de Zl Z2 segun las relaciones
(2) ~
Xl= bllz1 + b12ZZ
X2 === b21 Z1 + b2Z z z
xsmiddot= b31Z 1 Fb32ZZ
103
la dependencia de lasmiddot Zl con las Yl se podra establecer directamente mediante la substitucion de las (2) en las (1)
Quedara al substituir y ordenar
(a11 bll + a12 b2l + a13b3d Zl + (all b12 + a12 Q22 + a13b32 ) Z2 = Yl (3)
(a21bll + a2 2 b21 + a23b3d Zl + (a2lb12 + a22 b22 + a23 b32 ) Z2 = Y2
Veamos ahora middotla dis posicion matricial de las operaciones anteshyriores
I- XlI-all a12 Yla13 (1) X2
a2l a22 a23 J Y2
Xa J shy
J 1- Xl bll b12 1-
Zl (2) X2 b2l b22-
Z2 JXa bal b32 J La substitucion de (2) en (1) da
- I-bll b12 shyall a12 a13
1-Zl Yl
(3) b 2l b22 -Z2 Y2 Ja2l a22 a23
_ b3l 1gt32J- -10 cual hace ver como la matriz de la substitucion (3) producto de las substituciones (1) y (2) viene a ser
(4)
all a12 a13 bZl b22
an a22 a23 b3l b32
-
J 7 Vectores Una matriz de orden 1 x n recibe el nombre de
vector-linea de orden n Demanera analoga una matriz de orden
104
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de ordeI m EI producshyto matriCial de dos vectores exige para ser posible que los ordenes de estos sean iguales
Sean los vectores
b2
(1) v
Se tiene
(2)
Por otra parte es
(3) vu -
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decir a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe elnom~ bre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de orden m EI producshyto matricial de dos vectores exige para ser posible que los 6rdenes de estos sean iguales
Sean los vectores
(1) v=
Se tiene
(2)
L bn
Por otra parte es
(3) vu -I
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decii a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe el-nomshybre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
la dependencia de lasmiddot Zl con las Yl se podra establecer directamente mediante la substitucion de las (2) en las (1)
Quedara al substituir y ordenar
(a11 bll + a12 b2l + a13b3d Zl + (all b12 + a12 Q22 + a13b32 ) Z2 = Yl (3)
(a21bll + a2 2 b21 + a23b3d Zl + (a2lb12 + a22 b22 + a23 b32 ) Z2 = Y2
Veamos ahora middotla dis posicion matricial de las operaciones anteshyriores
I- XlI-all a12 Yla13 (1) X2
a2l a22 a23 J Y2
Xa J shy
J 1- Xl bll b12 1-
Zl (2) X2 b2l b22-
Z2 JXa bal b32 J La substitucion de (2) en (1) da
- I-bll b12 shyall a12 a13
1-Zl Yl
(3) b 2l b22 -Z2 Y2 Ja2l a22 a23
_ b3l 1gt32J- -10 cual hace ver como la matriz de la substitucion (3) producto de las substituciones (1) y (2) viene a ser
(4)
all a12 a13 bZl b22
an a22 a23 b3l b32
-
J 7 Vectores Una matriz de orden 1 x n recibe el nombre de
vector-linea de orden n Demanera analoga una matriz de orden
104
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de ordeI m EI producshyto matriCial de dos vectores exige para ser posible que los ordenes de estos sean iguales
Sean los vectores
b2
(1) v
Se tiene
(2)
Por otra parte es
(3) vu -
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decir a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe elnom~ bre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de orden m EI producshyto matricial de dos vectores exige para ser posible que los 6rdenes de estos sean iguales
Sean los vectores
(1) v=
Se tiene
(2)
L bn
Por otra parte es
(3) vu -I
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decii a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe el-nomshybre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
m x 1 recibe el nombre de vector-columna de orden m EI producshyto matricial de dos vectores exige para ser posible que los 6rdenes de estos sean iguales
Sean los vectores
(1) v=
Se tiene
(2)
L bn
Por otra parte es
(3) vu -I
EI primer producto uv conduce a una matriz 1 xl es decii a un numero el segundo producto vu conduce a una matriz n x n EI producto de un vector-linea por un vector columna recibe el-nomshybre de producto interior 0 tambien producto escalar
105
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
AIObsEI Calculo vectorial define elvector como un ntuploorde riad6 de numeros reales sin que interese en esta definici6n que se 10 escriba como limea 0 como columna En Calculo matricialcomo veshyremos poco despues el vector-columna resulta de efectuar una t1ansshyposicion en un vector-Unea v
8 PTopiedades del Producto El producto de matrices no es en general conmutativo Es decir que AB y BA son en general distintos Acabamos de ver un producto no conmutativo al efectuar la multiplicaci6n de dos vectores u v Esto ocurre aun en el caso de matrices cuadradas
Veamos elsiguiente ejemplo
Sean las matrices
0 1 -1 0 (1) A= B=
1 0 - o 1
Se obtiene
0 1 o li_1
(2) AB= -1 0
BA = 1 0
Podemos dar ahora un nuevo concepto en relaci6n al producto AB de dos matrices La relaci6n 5i indica la estructUTa de los tershyminos en la matriz producto y en efecto dicha relaci6npuede ser escrita asi
b Ij
b2J
(3) CiJ - [alh ai2 Rin]
A
es decir que el elemento Clj del producto se obtiene al multiplicar interiormente el vector linea i de la primera matrizpor elvector columna j de Ia segunda 1
106
9MatTices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de Ia diashygonal principal soh iguales a cera Tales matrices poseen la parti shycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplomiddot sishyguiente
- hI 0 0 0 tl 0 0 0shy
0 h~ 0 0 0 to 0 0 (1) Hi
0 0 h3 0
T -0 0 t3 0
0 0 0 h4 0 0 0 t4 _
Se tiene - hitl 0 0 0
0 ht~ 0 0 (2) HT=
0 0 h3t 3 0
0 0 0 h4t4 _
por 10 cual se ve que es liT = TH
10 Matrizun~dad Existe una matrizdiagonalparticular coshyrrespondientea cada orden Ia cmil recibe el nombre de 1natTiz uni dad Es la siglliente
~
(
1 0 0 - -I
0 1 0 (1) d In =
0 0 1
EI subiridice n corresponde al ~rderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha Hamado tambien matriz identica porrashyzones que seran vistas en seguida
Para todaslas matrices A de dimensiones n x n se cumple la siguiente relaci6n
107
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
9 J1fatrices diagonales Se da este nombre a matrices cuadrashydas en las cuales los elementos que estan situados fuera de la diashygonal principal soh iguales a ceroTales matrices poseen la partishycularidad de ser conmutativo su producto Veamos el ejemplo sishyguiente
- hI 0 0 0
0 h~ 0 0 H (1)
~
0 0 h3 0
0 0 0 h~shySe tiene
- hItl 0
0 hlt~ (2) HT=
0 Omiddot
0 0
por 10 cual se ve que es HT = TH
T shy
0
0
hata
0
tI 0 0 0shy
0 tJ 0 0
0 0 ta 0
0 0 0 t4 _
0
0
0
h4t4 _
10 Matriz un~dad Existe una matriz diagonal particular coshyrrespondientea cada orden la cual reCibe el nombnl de matriz uni dad Es la siguiente
I o o
1 o (1 ) ~ j In =
o o 1
El subindice ri dorresponde al orderi de la matriz
A esta matriz se Ie ha llamado tambit~n matriz identica porra- zones que seran vistas en seguida
Para todas las matrices A de dimensiones n x ri se cumple la siguiente relaci6n
107
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
(2) AIn = InA = A
Dejamos al lector como ejercicio la verificaci6n de estas relashydones
Se puede establecer tambien designando por 0 lru matriz nula de dimensiones adecuadas a cada caso que se tiene
(3) AO = OA = 0
La reciproca de (3) no es derta Es decir el producto de dos matrices puede ser nulo (matriz cero) sin ser nulo uno de los facshytoresPor ejemplo si son
(4) A - r1
0
0
1
0
0
0
0
0
B -
0
0
1
0
0
0
0
0
0 J resulta
Omiddot 0 0 shy
(5) AB 0 0 0-0 0 0 J
11 Determinantes Dado un numero complejo sedefinen la norma y el mOdulo como funciones numericas de las componentes de aquel De manera anaJoga dada una matriz cuadrada existe el determinante correspondiente a los elementos de aquella dispuestos en el mismo orden EI determinante ilO es pues cosa distinta a una simple funci6nnumerica de los elementos de una matri~ cuadrada
Para multiplicar determinantes se puede proceder de dos mashyneras una de las cuales coincide con la que se sigue en Ia multi plicashycion de matrices
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden y dado el producshyto a saber
(1) AB =c si se designa el determinante de Ia matriz Apor IAI et~ s~ tiene por otra parte
108
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia didendo
El determinante del producta de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces jactores
Una matriz cuadrada cuyo determinante sea nulo recibe el nombre de 1natriz singular
AI h~blar del determinante correspondiente 0 asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante cuyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
al
(1) A=T(A)shy
a~n
o sea que Ia primera segunda tercera lineas de Ia primera matriz se escriben como primera segunda tercera columnas respectivamente de Ia transpuesta Esto produce a Ia vez el camshybio de las colu~nas de A en lineas del correspondiente orden en T(A)
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las cuaJ~s se cum pIe Ia relaci6ri
lt bull ~ bull t
(2)
para todos los valores de losindice~
Las matrices cuadradas simetricas cumplen la relaci6n A - T(A)
09
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
(2)
La relaci6n (2) puede concebirse como consecuencia de la (1) y enunciar la circunstancia dieiendo
El determinante del product a de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrishyces factores
Una matriz cuadrada euyo determinante seanulo reeibe el nombre de matriz singular
Al hablar dEll determinante correspondiente o asociado a una matriz cuadrada nos referimos al determinante euyo orden es igual al de la matriz
12 Matriz transpuesta Dada una matriz por ejemplo la 1-1 se define la matriz transpuesta como sigue
ail an am1
a12 an am2
(1) A T(A)
aln i
a2n amnI
o sea que la primera segunda tercera lineas dela primera matriz se eseriben como primera segunda tercera eolumnas respectivamente de la transpuesta Estg produce a la vez el camshybio de Jas columnas de A en llneas del correspondiente orden eri T(A)middot
Entre las matrices cuadradas existen las simetricas que son aquellas para las euales se eumple la relacion
j 1 bull J f r ~ bull bull bull
(2) ~ f ~
alj ajl bull
para todos los val ores de los indice~
Las matrices cuadradas simetricas eumplen la relaci6nmiddot A - T(A)middot
109
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
Puesto que el numero de columnas de una matriz A es igual por definicion al numero de lineas de Ii transpuesta T(A) se conshycluye que el producto
(3) AT(A)
exis~e siexnpre vinilt~ndo a serel resultudo una matriz cuadrada sishymetrica
Una matriz de una sola linea -vector-linea- tiene como transshypuesta una matriz de una solacolunina -vector-columna- y vicevershysa
Refiriendonos a los vectores que aparecen en (7-1) vamos a deshymostrar que se tiene
(4) uv =T(v) T(u) 1-
Al efecto escribimos
(5) T(v) = [bl b2 bullbullbull bn]
(6) T(u) shy
P~r consiguiente
(7) lt
= alb l + a2b2 + + anbn
10 cual demuestra la aserci6n Ahora demostraremos el teorema geshyneralque dice
La transpuesta del producto de dos matriceses igual al proshyducto de las transpuestas en orden contrario
En simbolo~ de la reIaci6n j
- bull 1 ~ r (~) I lJ
se deduce
110
(9) T(B)T(A)=X(C) =Cl middot
Demostraci6n Por la transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento CJi de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es por consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado hecho anteriormente segun el cual el producto de una matriz por su transpuesta es una matriz simetrica
Al efecto escribimos
(10) AT(A) - S
ApIicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dosmiddot transposiciones consecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se tiene al afect~ar transposicion en (10)
(11) AT(A) = T (S)
de donde al comparar las (10) y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multi plica un escalar K por una matriz multiplicando K por cada uno de los elementos de Ia matriz Lo mismo puede decirse en cuanto al producto de una matriz por un escalar
I
En simbolos
(1)
(2) (A +B)G=ltAG+ BC bull ~ ~ r -
(3) C(A +B) - CA CB
las cuales hacen ver que el producto matricial goza de Ia propiedad distributiva respecto de la adici6n
111
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
(9) T (B)T(A)= T(G) =C1
DemostraciOn PorIa transposicion ha pasado la columna j de Baser la lineaj de T(B) la linea i de A se ha convertido en la columna i de T (A) Este producto nos da el elemento Cji de C1 que debe ser igual segun (7) al elemento Clj de C C1 es POl consiguienshyte la transpuesta de C
Ahora podemos demostrar el enunciado heeho anteriormente segun el eual el produeto de llna matriz POl su transpuesta es una matriz simetriea
Al efeeto eseribimos
(10) AT(A) - S
Aplicando el teorema que se acaba dedemostrar y si se tiene en cuenta que dos transposiciones eonsecutivas sobre una misma matriz dan por resultado la matriz original se ti~ne al afectuar
transposicion en (10)
(11) AT(A) = T(S)
de donde al eomparar las (iO)y (11)
(12) S =T(S)
10 que demuestra que es S es simetrica
13 Relaciones algebraicas Se multipiica un escalar K por una matriz multiplicando K por cad a uno de los elementos de la matriz Lo mismo priede decirse encuanto alproducto de una matriz POl un escalar
En simbolos
(1) KA = (Kalj) = (aijK) = AK
Es fiCii deniostra~ ademas las siguientes i~ua~dad~s~
(2) (A + B)C=ltAC+ BC 11 I
(3) C(A B) - CA +CB t
las euales hacen ver que el produeto matricial goza de la propiedad distributiva respecto de la adici9n
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
14 Matriz adjunfa Sea la matriz cuadrada
(1) Ashy
anI anmiddot ann
Formemos la transpuesta
- all an anI
a1 ai2 an2
(2) T(A) shy
Se da el nombre de matriz adjunta de A ala lnatriz ormada con los co-factores de la transpuesta A saber
- All
(3) adj A shy
Ann
en otras palabras la adjunta de (aij) es la matriz formada con los cofactores Ajl de (ajl)
15 Matriz Inversa Supongamos que A es una matriz no sinshygular Al dividir la matriz adjunta (3) por el escalar IAI deterinishynante de la matriz (1) se obtiene la matriz inversa
1 1(4) A-I = -- (Ajl)
IAI
112
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las relashyciones sigurent~s ~
amp11middot (5) AA-I = A-1A = In
de fundamental impor~ancia las cuales pasamos a demostrar
Al efecto es suficiente calcular el termino elj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
o bien
(7)
La expresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI cuando es i = j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishy110S que estan fuera de la diagonal principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia escribir
I-IAI 0 0 -1 0 0
AA-l =_1_ 0 IAI 0
-0 1 0
=In IAI 0 0 IAI middot 0 0 1
- Analoga demostraci6n para la segunda igualdad--contenida en (5)
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui unicamente el caso de un sistema 1egular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
A esta matriz se Ie llama inversa de A por satisfacer las rela~ cionessigulent~s
AA-I = A-1A = In
de fundamental importancia las cuales pasamos a demostrar ~ shy
Al efecto es suficiente calcular el terminOClj correspondiente al primer miembro en (5) Se tiene
(6f ~
o bien
(7) CIJ = Laexpresi6n encerrada en el corchete adquiere el valor IAI
cuando es i= j es decir para terminos de la diagonal principal en la matriz producto Por el contrario para i diferente de j la expreshysion del corchete tiene por valor cero En otras palabras los termishynos que estan fuera de la diagonalmiddot principal en la matriz producto son nulos
Se puede en consecuencia ~scribir
-10 0 001-IAI
0 IAI 0 0 1 0 _ 1AA-l In --shy -IAI 0 o 1 0 0 IAI middot
J
16 Ecuaciones lineales Veremos aqui nnicamente el caso de un sistema regular 0 sea de tantas ecuaciones como incognitas y cushy
113
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
4
yodeterminantede coeficientes es diferente de cero Equivale esto a decir que la matriz de los coeficientes es no-singular
Seapues el sistema
(1)
an1X1 + an2X2 + + annXn = bn
La dis posicion matricial de este sistema de ecuaciones viene a ser
all a12 a1n
an a22 a2n
(2)
all an2 ann Xn bn
o tambien de manerasintetica
(3) AX B
En esta ultima igualdad A indica la matriz de los coeficientes (aij) X la Imatriz-columnade hls incognitas Bla matriz-columna de los terminos conocidos bi La resolucion del sistema (~1) equishyvale a la resolucion de la ecuacion hIatricial (3) es decir a la obshytencion del vector columnar X 10 que se logra as
Sea A-I la matriz inversa de A Sise multiplican a izquierda los dos miembros de (3) por A-I y se tiene en cuenta que el producto de matrices tambien posee la propiedad asociativa s~gun la cualse cumple
(4) (AB) C- A (BC) ABC
se tiene Imiddot
(5) A-l (AX) =A-1 B
114
(A~IA) X = A-1B
(7) InX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos del vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en la matrizshycolumna A-IE La esencial en la resolucion es el caJculo de la mashytriz inversaEl ejemplo que damos a continuacion dara mas clarishydad a las expli~aciones anteriores
Sedebe resolver el sistema siguiente
3x - 2y + 5z =6
(8) 4x+ y+3z=-5
7x + 5y- 2z = 8
Se tiene
r3 -2 - 3
4 1 1A=
7 5 -2 5 3 -I bull ~ 3 -2 5
4 1 3 =-44IAI shy
7 5 -2 I
- -17 21 -11
adj A = 29 -41 11 ) I lt
13 -29 middot11
- -17 21 -11
1A-l-- shy 29 -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
(7) lnX = X = A-I B
Con esto las incognitas 0 sea los elementos delmiddot vector X queshydan conocidos por el valor de los elementos homologos en Ia matrizshycolumna A-IE Lo esencial en Ia resoluci6n es el caiculo de Ia mashytriz inversaEI ejemplo que damas a continuac1on dara mas clarishydad a las explicaciones anteriores )
Se debe resolver el sistema siguiente
3x-2y+ 5z= 6
(8) 4x + y + 3z= -5
7x + 5y-2z = 8
Se tiene
- 3 4-2
1 J
5 37 5 -2
3 -2 5middot r
4 1 3 =-44IAI = f 5 -2 I
- -17
29 -41 11adj A=middot
f
1113 ~29
- -17 21 -11
1A-I =___ 29 bull -41 11 44
13 -29 11
En consecuencia
115
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
295121r-17 -11- r6shyr x
I -467 +4429 -41 11 -511 =--shy -44
-31113 -29 11J_ 8z -
de donde
x = 295v44 11 = -46744 z =-31144
No cabe duda que la resoluci6n del sistema (8) por el procedishymiento ordinario de eliminaci6n habrfa conducidomas rapidamenshy
te al resultado Sin embargo ocurre muchas veces en calculos tecnishycos que un mismo sistema de ecuaciones debe ser resuelto para dishyferentes val ores de los terminos que constituyen los segundos miemshybros As en el caso numerico resuelto antes se tendria
x = ( 17b1 - 21b Mba) + 44
11 = (----29b1 + 41b - Hba) + 44
z = (-13b1 + 29b2 - Hba) + 44
Es aquf donde la resohicion matricial del sistema muestra su ventaja
Para sistemas de orden superior al tercerp el calculo de la mashytriz adjunta se vuelve fatigoso y presenta ademas el inconveniente de que el proceso de las operaciones se lleva a cabo sin comprobashy
ci6n
Se acude entonces a otros proledimientos de inversion de una matriz Estos se dividen en dos tipos unos de reiteraci6n 0 aproshyximaciones sucesivas otros directos
Dada lapequefia extensi6n de este lib~o n6 hiClufremos en el tales metodos El lector que deseeconocer Ia cuesti6n a fondo poshydra consultarla copiosa bibliograffa modernasobre teorfa de Mashytrices y callt~ulo numerico
IIliT I I
EJERCICIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 3 2 -5 shy
4 -1 B= 4 9 32A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 7 2shy
Resps A+B shy 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB shy 17 40 -5
52 27 65
-15 4 29
2A - 3B = -8 -19 -11
-15 6 5 fl J
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1
C= -3 4 0
2 5 6
117
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
EJERGIGIOS
1) Efectuar la suma y el producto de las dos matrices siguienshytes
-3 5 7 shy 3 2 -5 shy
2 4 -1 B= 4 9 3A=
o 3 8 5 o 7
Formar ademas la matriz 2A - 3B
-0 2shy7
Resps A+B = 6 13 2
5 3 15
-46 39 79shy
AB = 17 40 -5
52 27 65
--15 4 29
2A shy 3B = -8 -19 -11
-15 6 -5 11
2) Considerando ahora Ii matriz
2 1 1 shy
C shy -3 4 0
2 5 6
117
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
se debe constatar la propiedad asociativa del producto efectuando las operaciones (AB) C A (Be) Ashy
I If597 520 shy1shy 133 satisface a la ecuaci6n
Resp ABCshy -96 152 --J3 (1) 82
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de153 485 442 den 2
3) Dada la matriz de transformaci6n de coordenadas por giro de los ejes La ecuaci6n (1) se expresa en forma de determinante por
cosp senp shy= oT shy
-senp cos p
demostrar que se tiene
cos np sen np shy I Tn =
-sen np cos np
en la cual n es un entero positivo Se presenta aqui un caso de isoshy1norjis1no con la potenciaci6n de la forma compleja cos p + j sen p
4) Dado el isteImi de ecuacloll~s lineales II Ill 2x 3y+ 5z =p
-x + 5y 6z=qmiddotmiddot
2x + 9y 6z - r
resuelvase por inversion de la matriz de los coeficientes~
Resp
x = (24p 27q-7r)7
y = (-18p-22q +~r)7
z = (---19p 24q + 7r)7 1 J 5) Demostrar que la matriz
118
r~ gt~ t ~ ~ r ~ r ~ f
~J bull bullbull ~ Itf
J~iTi)lJ~il ~( c i~
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull
1 I I i
Ashy
satisface a 1a ecuaci6n
(1) S2 - (all + a12) s + Idet A = 0
al reemplazar en esta s por AI designa la matriz unidad de orshyden 2
La ecuaci6n (1)
-
se expresa en forma de determinante pOl
=0 ~2-S
m11in II
bull