MTODOS NUMRICOS

ACT.6 TRABAJO COLABORATIVO CONSOLIDADO

MAPAS CONCEPTUALES Y EJERCICIOS

GRUPO: 100401_12

PRESENTADO POR

LADY UNIGARRO ARTEAGA

CDIGO 69055650

NALIA DELGADO ARTEAGA

CDIGO 69055658

GABRIEL JAIME GMEZ ESCOBAR

CDIGO 71.263.563

DIEGO DE JESS CASTRILLN CRUZ

CDIGO 70784725

TUTOR

CARLOS EDMUNDO LPEZ SARASTY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGAS E INGENIERAS

CEAD PASTO, NARIO

2013

TABLA DE CONTENIDO

Pagina

INTRODUCCIN 3

1. Objetivos del trabajo colaborativo 4

2. Actividades a resolver 5

2.1 Primera parte: Mapas Conceptuales Consolidados 5

2.2 Segunda parte: Ejercicios 8

3. Conclusiones 14

4. Bibliografa y Cibergrafia 15

INTRODUCCIN

Con la realizacin del presente trabajo se tiene como intencin que conozcamos y manejemos los

conceptos bsicos de Mtodos Numricos, como lo son el concepto de error (error relativo y Absoluto)

y aprendamos sobre los errores de redondeo y truncamiento. Al Igual que la bsqueda de races por

medio de mtodos iterativos, como lo realiza un computador (como lo son el mtodo de Biseccin,

Newton Raphson y otros).

As como la interaccin entre el grupo de trabajo para la realizacin y consolidacin de un Trabajo

Colaborativo Final Consolidado que abarque lo exigido por el Tutor y que nos permita reconocer con

facilidad la temtica propuesta en la Unidad 1.

1. OBJETIVOS DEL TRABAJO COLABORATIVO

1. Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada captulo de la unidad.

2. Evaluar e implementar los procesos de aplicacin de los diversos casos de errores y races de ecuaciones.

3. Desarrollar competencias comunicativas con sus compaeros de grupo al realizar un procedimiento matemtico.

4. Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolucin de un problema utilizando los conceptos del modulo

Nmeros diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dgito diferente de cero y terminan con el tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa.

Se debe a la interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin. Sucede cuando se toman slo algunos trminos de una serie infinita o cuando se toma slo un nmero finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada slo toma en cuenta los dgitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dgito perdido.

MTODOS NUMRICOS

CAPITULO 1: CONCEPTOS BSICOS

Errores: se generan con el uso de aproximaciones para representar

cantidades y/o operaciones

Truncamiento: resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemtico exacto Redondeo: resultan de representar aproximadamente nmeros que son exactos.

En ambos casos tenemos que: Valor verdadero = valor aproximado + error Definimos el error absoluto como: Ev= valor verdadero - valor aproximado

DGITOS

SIGNIFICATIVOS

Nmero de cifras significativas que representan una cantidad, doble precisin, dependiendo de la mquina que estemos utilizando PRECISIN

Cercana de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. EXACTITUD

ERRORES

INHERENTES O

HEREDADOS Errores Accidentales: Debidos a la apreciacin del observador y otras causas.

Errores Sistemticos: Debidos a la imprecisin de los aparatos de medicin.

Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la mquina para representar cantidades que requieren un gran nmero de dgitos. Dependiendo de cmo se redondea puede ser de dos formas.

2. ERROR DE

REDONDEO

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Son errores en los valores numricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemticos o accidentales

1. EXACTITUD Y PRECISIN

-Error de Redondeo Superior: segn el signo del nmero en particular. a) Para nmeros positivos, b) Para nmeros negativos

Error de Redondeo Inferior: Se desprecian los dgitos que no pueden conservarse dentro de la localizacin de memoria correspondiente

ERROR DE

DESBORDAMIENTO

DE INFORMACIN

Ovarlo: sobre flujo. Existe cuando dentro de una localizacin de almacenamiento no cabe un nmero, debido a que es mayor que la capacidad de la mencionada localizacin de almacenamiento.

Underflow: subflujo. Existe cuando dentro de una localizacin de almacenamiento no se puede representar un nmero positivo muy pequeo, debido a que ste es menor que la capacidad de la mencionada localizacin de

almacenamiento.

ERROR ABSOLUTO Si p* es una aproximacin de p, y si p es el valor real, entonces: Error Absoluto = Ip-p*I O sea el valor absoluto de p menos p*.

Si p* es una aproximacin de p, y si p es el valor real, entonces, el Error relativo se define como: Error relativo = Ip-p*I con la condicin de p= 0. IpI

ERROR RELATIVO

UNIDAD I

CONCEPTOS BSICOS, EXACTITUD Y RACES DE ECUACIONES

ERROR RELATIVO

APROXIMADO

1) Error relativo aproximado = ERA ERA = (Valor actual - Valor anterior) * 100%

Valor actual 2) Tolerancia = (0.5x10

2-n) %. Donde n = nmero de cifras significativas

3) Trmino de convergencia permite finalizar los clculos. Es la desigualdad: ERA < Tolerancia

CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIN

MTODOS PRELIMINARES

Sirven para obtener aproximaciones a las soluciones de ecuaciones de las cuales no es posible obtener respuesta exacta con mtodos algebraicos (Solo respuestas aproximadas).

RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

Una raz de una funcin f (x) es un nmero X0 tal que f(X0) = 0. Tambin se dice que X0 es una raz de la ecuacin f(X0) = 0. En este curso, consideraremos solamente races reales.

El mtodo de biseccin es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raz. El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es mucho ms seguro para

garantizar la convergencia. Si f es una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(a) f (b) < 0, entonces este mtodo converge a la raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es: en la n-sima iteracin. La biseccin converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. Si existieran ms de una raz en el intervalo entonces el mtodo sigue siendo convergente pero no resulta tan fcil caracterizar hacia qu raz converge el mtodo.

3. MTODO DE NEWTON- RAPHSON

4. MTODO ITERATIVO DE PUNTO FIJO

2. MTODO DE LA REGLA FALSA

Como en el mtodo de biseccin, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo ms pequeo [ak, bk] que

sigue incluyendo una raz de la funcin f. A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck: Dicho punto es la interseccin de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el

mtodo de la secante). Se evala entonces f(ck). Si es suficientemente pequeo, ck es la raz buscada. Si no, el prximo intervalo [ak+1, bk+1] ser: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos y [ck, bk] en caso contrario.

Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o races de una funcin real. Tambin puede ser usado para encontrar el mximo o mnimo de una funcin, encontrando los ceros de su primera derivada. El mtodo de Newton-Raphson es un mtodo abierto, en el sentido de que su convergencia global no est garantizada. La nica manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raz buscada. As, se ha de comenzar la iteracin con un valor

razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercana del punto inicial a la raz depende mucho de la naturaleza de la propia funcin; si sta presenta mltiples puntos de inflexin o pendientes grandes en el entorno de la raz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raz. Una vez que se ha hecho esto, el mtodo linealiza la funcin por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el

origen de dicha recta ser, segn el mtodo, una mejor aproximacin de la raz que el valor anterior. Se realizarn sucesivas iteraciones hasta que el mtodo haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R funcin derivable definida en el intervalo real [a, b].

Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada nmero natural n. . Donde f ' denota la derivada de f.

El mtodo del punto fijo es un mtodo iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar races de una funcin de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

DESCRIPCIN DEL MTODO El mtodo de iteracin de punto fijo, tambin denominado mtodo de

aproximacin sucesiva, requiere volver a escribir la ecuacin en la

forma . Llamemos a la raz de . Supongamos que existe y es

conocida la funcin tal que: del dominio. Entonces:

Tenemos, pues, a como punto fijo de

PROCEDIMIENTO El procedimiento empieza con una estimacin o conjetura inicial de , que

es mejorada por iteracin hasta alcanzar la convergencia. Para que

converja, la derivada debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia ser establecida mediante el requisito de que el cambio

en de una iteracin a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequea cantidad .

ALGORITMO PARA ITERACIN DE PUNTO FIJO

1. Se ubica la raz de analizando la grfica

2. Se obtiene un despeje de la funcin.

3. Obtenemos de su derivada .

4. Resolviendo la desigualdad -1 1 obtenemos el rango de valores en los cuales est el punto fijo llamado R.

5. Con R buscamos la raz en , es decir haciendo iteracin de las operaciones.

1. MTODO DE BISECCIN

MTODOS NUMRICOS

ERROR DE

REDONDEO

USO DEL

EXCEL

ESTUDIA

PROGRAMACIN

DE MACROS

SOLUCIN DE

ECUACIONES DE

UNA VARIABLE

CONCEPTOS

FUNDAMENTALES DE

PROGRAMACIN

SE BASA EN LA FORMULA PARA

CALCULAR EL REA DE UN

TRAPECIO

Cuando un proceso que requiere un nmero infinito de pasos se detiene en un numero finito de pasos.

Para resolver ecuaciones de la forma: X=g(x):

1. Conocer f(x)=0 2. Conocer el valor inicial x 3. Despejar f(x) y encontrar

nueva funcin g(x) 4. Derivad de g(x) 5. Se evala g(x), utilizando

primero x, el resultado es el nuevo valor de x y continuar hasta encontrar la raz.

INTRODUCCIN A LOS MTODOS NUMRICOS

RAICES DE ECUACIONES

CONOCER

REGLA DEL

TRAPECIO

GRAFICACION DE FUNCIONES

EVALUACIN DE FUNCIONES

REGLA DE

SIMPSON

SOLUCIN DE

ECUACIONES DE UNA

VARIABLE

INTEGRACIN

APROXIMADA

Es el que resulta de remplazar un nmero por su forma de punto flotante

ERROR DE

REDONDEO

DGITOS

SIGNIFICATIVOS

ERROR DE REDONDEO

EXACTITUD Y PRECISIN

OVARLO: SOBRE

FLUJO

Cuando dentro de una localizacin de

almacenamiento no se puede representar

un nmero positivo muy pequeo

Error de Redondeo superior: para positivos, el ltimo que puede conservarse se incrementa en una unidad si

el primer digito despreciado es menor de 5. Para negativos el ultimo digito puede conservarse si el

primer digito despreciado es 5

Debido a las limitaciones propias de la mquina para representar cantidades con gran nmero de dgitos

Error de Redondeo inferior: se desprecian los dgitos que no puedan conservarse dentro de la localizacin

de memoria correspondiente.

Cuando dentro de una localizacin de

almacenamiento no cabe un nmero.

Nmeros diferente de cero en una cifra o guarismo , empiezan

con el primer digito diferente de cero y terminan con el

tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa

Interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin, cuando se toma solo algunos trminos de una serie infinita o

cuando se toma un nmero finito de intervalos

ERRORES INHERENTES

PRECISIN Se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad (doble precisin)

Son errores en los valores numricos con que se va a operar (sistemticos o accidentales)

Se refiere a la cercana de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa

EXACTITUD

ERROR DE

TRUNCAMIENTO

UNDERFLOW:

SUBFLUJO

Cuando una maquina

involucra nmeros con

solo un nmero finito

de dgitos, los clculos

se realizan con

representaciones

aproximadas de los

verdaderos.

ERROR DE

TRUNCAMIENTO

CONOCER

MTODO DE NEWTON

RAPHSON

MTODO DE LA REGLA FALSA

Se trata de encontrar la raz de una ecuacin, la ecuacin tener la forma f(x) , es una funcin de x y est definida por el intervalo (a,f). condiciones:

1. F(a)*f(b)

2.2 SEGUNDA PARTE: EJERCICIOS

Se resolvern una lista de 5 (CINCO) ejercicios enfocados a poner en prctica los procesos

desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:

a) p = 1/3 p* = 0.333 b) p = pi p* = 3.14

SOLUCIN

a) p = 1/3 p** = 0.333

i). El error relativo ii). El error absoluto

p-p*p

ER=0,00113

ER=0,003=3x10-3

p-p*

13- 0.333

0,001=1x10-3

b) p = pi p* = 3.14

i). El error relativo ii). El error absoluto

ER=p-p*p

ER=0,00159273,1415927

ER=5,06972 x10-4

EA=p-p*

EA=3,1415927-3,14

EA=0,0015927

EA=1,597x10-3

2. Determine las races reales de f(x)= -0,3x2+ 3,2x - 5,7

SOLUCIN

a) Usando la formula cuadrtica

x=-b b2-4ac/2a x=-3.2 (3,2)2-4 (-0,3)(-5,7)/2(-0,3) x=-3,210,24-4(1,71)/-0,6

x=-3,210,24-6,84/-0,6

x=-3,210,24-6.84/-0,6

x=-3,23,4/-0,6

x=-3,21,843/-0,6

x1=-3,2-1,843/-0,6= x1 =8,405

x2=-3,2+1,843/-0,6= x2 = 2,26

b) Usando el mtodo de biseccin hasta tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee

como valores inciales x=5 y x=10.

fx= -0,3x2+ 3,2x-5,7

x1=5 xu=10

Verificar que f(5) y f(10) tengan signos opuestos:

f5=-03(5)2+3.2 5-5,7

f5=2,8>0

f10=-0,3 (10)2+3,210-5,7

f10=-3,7& t;0

entonces calculamos el punto medio:

xr=a+b2

xr=5+102

xr =7,5

f7,5=-0,3(7,5)2+3.2 7,5-5,7

f5=1,425>0 La raz se encuentra en el intervalo 7.5 , 10

5 | 7,5 | 10 |

+ | + | - |

2. Aproximacin

Xr2= 7.5+102=8.75

Podemos calcular el primer error aproximado

EA=xr2 -xr1xr2 X 100%

EA=8,75-7,58,75

EA=14,28%

Evaluamos:

f8,75=-0,3(8,75)2+3.2 8,75-5,7

f8,75=-0,66

7,5 | 8,75 | 10 |

+ | - | - |

La raz se encuentra en el intervalo 7.5 , 8,75

Calculamos el punto medio

Xr3= 8,75+7,52=8,125

3.Aproximacin

Nuevo error aproximado:

EA=xr3 -xr2xr3 X 100%

EA=8,125-8.758,125

EA=7,69%

Evaluamos

f8,125=-0,3(8,125)2+3.2 8,125-5,7

f8,125=-0,417

Tabla:

7 | 8 | 9 |

- | | + |

La raz se encuentra en el intervalo [8,9]

2. Aproximacin:

calcular el punto medio:

xr2=8+92=8,5

calcular el primer error aproximado:

ea=xr2 -xr1xr2 X 100%

ea=8,5-88,5

ea=5,88%

evalar:

f8,5=28,53-218,52+378.5+24

f8,5=1228,25-1517,25+314,5+24=49,5>0

Tabla:

8 | 8,5 | 9 |

| + | + |

La raz se encuentra en el intervalo [8 , 8.5]

3. Aproximacin:

calcular el punto medio:

xr3=8+8,52=8,25

calcular el segundo error aproximado:

ea=xr3 -xr2xr3 X 100%

ea=8,25-8,58,25

ea=3,03%

Evalar:

f8,25=28,253-218,252+378.25+24

f8,5=1123,03-1429,31+305,35+24=23,07>0

Tabla:

8 | 8,25 | 8,5 |

| + | + |

La raz se encuentra en el intervalo [8 , 8.25]

Conclusin: para la primer evaluacin el resultado es cero, es decir que 8 es la raz, al continuar con el

procedimiento y el ltimo resultado en el intervalo [8,8.25] da un error aproximado de 3,03%.

4. Determine la raz real de f(x)= -0.2 + 6x - 4x2 + 0.5x

3. Usando el mtodo de Newton Raphson (tres

iteraciones usando x = 4.2).

SOLUCIN

Se ordena la ecuacin y se tiene: fx=0,5x3-4x2+6x-0,2

fx=0,5x3-4x2+6x-0,2

f'x=1,5x2-8x+6

Para la 1. Iteracin:

fx0=4.2=0,54.23-44.22+64.2-0,2=-8,516

f'x0=4.2=1,54.22-84,2+6=-1,14

x1=x0-fx0f'x0=4,2-8,516-1,14 x1=4,2-7,47

x1=-3,27

EAx1, x0=-3,27-4.2-3,27=2,2844

2. iteracin :

fx1=-3,27=0,5-3,273-4-3,272+6-3,27-0,2=-80,0744

f'x1=-3,27=1,5-3,272-8-3,27+6=48,1993

x2=x1-fx1f'x1=-3,27-80,074448,1993 x2=-3,27+1,6613

x2=-1,6087

EAx2, x1=-1,6087--3,27-3,27=0,5080

3. Iteracin:

fx1=-4,9313=0,5-4,93133-4-4,93132+6-4,9313-0,2=-187,0247

f'x1=-4,9313=1,5-4,93132-8-4,9313+6=81,9269

x2=x1-fx1f'x1=-4,9313 -187, 024781,9269

x2=-4,9313-1,6613

x2=-4,9313

EAx2, x1=-4,9313--3,27-3,27=0,5080

La raz es 0,5080 porque se repite en las dos ltimas iteraciones.

5. Determine un cero aproximado de la funcin f(x) = (0.9 0.4x)/x usando el mtodo de la regla falsa o falsa posicin en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones)

SOLUCIN

1) =0,9-0,42,52,5

fxb=-0,04

2) Tercera aproximacin a la raz:

xr=xb-fxbxa-xbf(xa)-f(xb)

xr=2,5-0,04(2,166-2,5)0,0155-(-0,04)

xr=2,2592

3) Evaluar f(xr):

fxr2=0,9-0, 42,25922,2592

fxr1=-0,001628

3. CONCLUSIONES

Con el desarrollo de la temtica propuesta en la gua de trabajo para la Unidad 1 de Mtodos

Numricos se comprendi y entendi los conceptos y aplicaciones de dicha temtica; se evalu e

implemento los procesos para dichas aplicaciones en los diversos casos de errores y races de

ecuaciones.

Desarrollamos competencias de comunicacin entre todos los compaeros para el desarrollo de este

trabajo colaborativo, cumpliendo con lo exigido por el Tutor, adems desarrollamos una competencia

argumentativa al exponer la resolucin de los problemas expuestos por el Tutor aplicando lo aprendido

en el mdulo.

4. BIBLIOGRAFA Y CIBERGRAFIA

Buchelly Chaves, Carlos Ivn. MTODOS NUMRICOS. UNAD,

Corregido por Ricardo Gmez Narvez

Revisado por Carlos Edmundo Lpez Sarasty

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_regla_falsa

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_del_punto_fijo